Normalized defining polynomial
\( x^{20} - 6 x^{19} - 38 x^{18} + 282 x^{17} + 379 x^{16} - 4992 x^{15} + 1570 x^{14} + 41306 x^{13} + \cdots + 13729 \)
Invariants
Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[20, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(7303816416639774784171798530359296\) \(\medspace = 2^{30}\cdot 11^{16}\cdot 23^{6}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(49.34\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{31/16}11^{4/5}23^{1/2}\approx 125.0903140152616$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(11\), \(23\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $4$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{79\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{92\!\cdots\!65}{54\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!63}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!45}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!98}{54\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!33}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!83}a-\frac{27\!\cdots\!15}{54\!\cdots\!83}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{85\!\cdots\!32}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!64}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!36}{54\!\cdots\!83}a-\frac{76\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{66\!\cdots\!08}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!33}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!36}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!84}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!27}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!19}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!83}a-\frac{13\!\cdots\!95}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{65\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!37}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!98}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!40}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!24}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!54}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!83}a+\frac{43\!\cdots\!45}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{19\!\cdots\!24}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!95}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!38}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{89\!\cdots\!92}{54\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!14}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!08}{54\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!83}a+\frac{54\!\cdots\!87}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{14\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!07}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!36}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!44}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!66}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!15}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!59}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!53}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!14}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!32}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a-\frac{76\!\cdots\!45}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{22\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!38}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!55}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!77}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!84}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!61}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!83}a-\frac{46\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{52\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!20}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!71}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!50}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!77}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!63}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!85}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!98}{54\!\cdots\!83}a-\frac{44\!\cdots\!15}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{12\!\cdots\!08}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!33}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!98}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!05}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!76}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!15}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!92}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{99\!\cdots\!08}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{65\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!83}a-\frac{93\!\cdots\!35}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{19\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!58}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!49}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!59}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!92}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!65}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!64}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!83}a-\frac{81\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{68\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!38}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!24}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!32}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!86}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!36}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!83}a-\frac{93\!\cdots\!32}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{12\!\cdots\!50}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!63}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!77}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!96}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!38}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!84}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a-\frac{97\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{20\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{93\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!49}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!85}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!98}{54\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!91}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{80\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!85}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!83}a-\frac{82\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{24\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!51}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!32}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{97\!\cdots\!00}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!79}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!36}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!07}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!64}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!55}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!20}{54\!\cdots\!83}a-\frac{37\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{85\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!63}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!41}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!13}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!92}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!49}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!76}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!65}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!37}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!00}{54\!\cdots\!83}a-\frac{17\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{23\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!57}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{89\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!07}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!79}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!19}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{65\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}a-\frac{79\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{39\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!92}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!62}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!20}{54\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!91}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!86}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!37}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!38}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!83}a-\frac{47\!\cdots\!18}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{19\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!32}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!49}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!95}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!54}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!65}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!61}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!58}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!66}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!14}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!24}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!92}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!77}{54\!\cdots\!83}a-\frac{10\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{68\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!18}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!21}{54\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!87}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!95}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!61}{54\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!61}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!07}{54\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!70}{54\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!57}{54\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!66}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!83}a-\frac{20\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}$, $\frac{34\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!44}{54\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!51}{54\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!83}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!62}{54\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!16}{54\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!55}{54\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!63}{54\!\cdots\!83}a+\frac{55\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!83}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 41333671085.1 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{20}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 41333671085.1 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{7303816416639774784171798530359296}}\cr\approx \mathstrut & 0.253570643378 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2\wr C_5$ (as 20T40):
A solvable group of order 160 |
The 16 conjugacy class representatives for $C_2\wr C_5$ |
Character table for $C_2\wr C_5$ |
Intermediate fields
\(\Q(\zeta_{11})^+\), 10.10.2670699013250048.1, 10.10.5048580365312.1, 10.10.116117348402176.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 10 siblings: | data not computed |
Degree 20 siblings: | data not computed |
Degree 32 sibling: | data not computed |
Degree 40 siblings: | data not computed |
Arithmetically equvalently siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | 10.10.5048580365312.1 |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.5.0.1}{5} }^{4}$ | R | ${\href{/padicField/13.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{4}$ | R | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{8}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | Deg $20$ | $4$ | $5$ | $30$ | |||
\(11\) | 11.5.4.4 | $x^{5} + 11$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ |
11.5.4.4 | $x^{5} + 11$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ | |
11.5.4.4 | $x^{5} + 11$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ | |
11.5.4.4 | $x^{5} + 11$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ | |
\(23\) | 23.2.0.1 | $x^{2} + 21 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ |
23.2.1.2 | $x^{2} + 23$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
23.2.1.1 | $x^{2} + 115$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
23.2.1.1 | $x^{2} + 115$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
23.2.1.2 | $x^{2} + 23$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
23.2.0.1 | $x^{2} + 21 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
23.2.0.1 | $x^{2} + 21 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
23.2.0.1 | $x^{2} + 21 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
23.4.2.1 | $x^{4} + 42 x^{3} + 497 x^{2} + 1176 x + 10467$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |