Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 5*x^19 - 75*x^18 + 515*x^17 + 1095*x^16 - 15246*x^15 + 20785*x^14 + 128000*x^13 - 442755*x^12 + 134935*x^11 + 1404121*x^10 - 2101065*x^9 - 301350*x^8 + 2772445*x^7 - 1487715*x^6 - 957916*x^5 + 1069270*x^4 - 110925*x^3 - 172410*x^2 + 65070*x - 6759)
gp: K = bnfinit(y^20 - 5*y^19 - 75*y^18 + 515*y^17 + 1095*y^16 - 15246*y^15 + 20785*y^14 + 128000*y^13 - 442755*y^12 + 134935*y^11 + 1404121*y^10 - 2101065*y^9 - 301350*y^8 + 2772445*y^7 - 1487715*y^6 - 957916*y^5 + 1069270*y^4 - 110925*y^3 - 172410*y^2 + 65070*y - 6759, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^20 - 5*x^19 - 75*x^18 + 515*x^17 + 1095*x^16 - 15246*x^15 + 20785*x^14 + 128000*x^13 - 442755*x^12 + 134935*x^11 + 1404121*x^10 - 2101065*x^9 - 301350*x^8 + 2772445*x^7 - 1487715*x^6 - 957916*x^5 + 1069270*x^4 - 110925*x^3 - 172410*x^2 + 65070*x - 6759);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 5*x^19 - 75*x^18 + 515*x^17 + 1095*x^16 - 15246*x^15 + 20785*x^14 + 128000*x^13 - 442755*x^12 + 134935*x^11 + 1404121*x^10 - 2101065*x^9 - 301350*x^8 + 2772445*x^7 - 1487715*x^6 - 957916*x^5 + 1069270*x^4 - 110925*x^3 - 172410*x^2 + 65070*x - 6759)
\( x^{20} - 5 x^{19} - 75 x^{18} + 515 x^{17} + 1095 x^{16} - 15246 x^{15} + 20785 x^{14} + 128000 x^{13} + \cdots - 6759 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[20, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(4669942026995164342224597930908203125\)
\(\medspace = 3^{10}\cdot 5^{31}\cdot 19^{8}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(68.15\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{1/2}5^{163/100}19^{4/5}\approx 251.70081117843628$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(5\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $10$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $\frac{1}{15}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{7}+\frac{7}{15}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{2}{5}$, $\frac{1}{30}a^{11}-\frac{1}{30}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}+\frac{7}{30}a^{6}+\frac{13}{30}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{3}{10}a+\frac{3}{10}$, $\frac{1}{30}a^{12}-\frac{1}{30}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{13}{30}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}+\frac{13}{30}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{11}{30}a^{2}+\frac{3}{10}$, $\frac{1}{30}a^{13}-\frac{1}{30}a^{10}-\frac{1}{10}a^{8}-\frac{1}{3}a^{6}+\frac{13}{30}a^{5}+\frac{11}{30}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{3}{10}$, $\frac{1}{30}a^{14}-\frac{1}{30}a^{10}+\frac{7}{30}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}+\frac{13}{30}a^{5}-\frac{3}{10}a^{4}+\frac{3}{10}$, $\frac{1}{30}a^{15}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}-\frac{4}{15}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{10}$, $\frac{1}{30}a^{16}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{4}{15}a^{6}+\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{10}a$, $\frac{1}{30}a^{17}+\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{15}a^{7}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}-\frac{7}{30}a^{2}$, $\frac{1}{69300}a^{18}+\frac{493}{69300}a^{17}+\frac{379}{34650}a^{16}-\frac{17}{3150}a^{15}-\frac{193}{13860}a^{14}+\frac{439}{34650}a^{13}-\frac{191}{11550}a^{12}+\frac{149}{11550}a^{11}-\frac{569}{23100}a^{10}-\frac{6151}{13860}a^{9}-\frac{3151}{34650}a^{8}+\frac{757}{34650}a^{7}-\frac{3694}{17325}a^{6}-\frac{6847}{69300}a^{5}-\frac{173}{1260}a^{4}+\frac{601}{3300}a^{3}-\frac{1933}{7700}a^{2}-\frac{292}{1925}a+\frac{529}{7700}$, $\frac{1}{51\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!50}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!97}{73\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!33}{47\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!65}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!43}{36\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!11}{86\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!40}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!00}a+\frac{27\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!00}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$, $3$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{28\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!56}a^{19}-\frac{79\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!58}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!14}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!03}{76\!\cdots\!60}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!52}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!28}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!56}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!28}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!09}{41\!\cdots\!96}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!40}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!38}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!56}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!52}a+\frac{23\!\cdots\!23}{76\!\cdots\!60}$, $\frac{59\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!17}{71\!\cdots\!20}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!40}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!93}{71\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!07}{95\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!13}{71\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!85}a^{10}+\frac{63\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!88}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!10}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!10}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!20}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!40}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!80}a-\frac{11\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!80}$, $\frac{12\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!21}{71\!\cdots\!82}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!55}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!40}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!31}{71\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!60}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!60}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!55}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!63}{68\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!88}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!10}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!20}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!73}{86\!\cdots\!16}a+\frac{19\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!80}$, $\frac{16\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!50}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!62}{64\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!50}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!50}a^{12}-\frac{62\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!50}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!17}{86\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!50}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!47}{92\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!29}{86\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!38}{71\!\cdots\!25}a+\frac{20\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!00}$, $\frac{39\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!52}{64\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!17}{36\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!50}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!51}{73\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!50}a^{5}-\frac{97\!\cdots\!12}{64\!\cdots\!25}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!00}a-\frac{23\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!00}$, $\frac{18\!\cdots\!72}{64\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!50}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!50}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!50}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!77}{61\!\cdots\!50}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!50}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!61}{64\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!50}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!50}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!50}a^{6}-\frac{85\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!69}{61\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!58}{71\!\cdots\!25}a+\frac{13\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!50}$, $\frac{83\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!89}{86\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!50}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!82}{64\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!43}{64\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!87}{86\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{65\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!00}a+\frac{58\!\cdots\!87}{57\!\cdots\!00}$, $\frac{23\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!03}{26\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!47}{73\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!29}{97\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{52\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!41}{29\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!89}{73\!\cdots\!50}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!63}{41\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!63}{97\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!27}{73\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!00}a+\frac{21\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!00}$, $\frac{82\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!77}{64\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!99}{51\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!48}{64\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!97}{86\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!83}{51\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{61\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!50}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!00}a+\frac{27\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!00}$, $\frac{53\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!63}{64\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!77}{86\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!42}{30\!\cdots\!25}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!00}a+\frac{15\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!00}$, $\frac{98\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!50}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!74}{92\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!56}{92\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!50}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!50}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!16}{30\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!02}{93\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!50}a^{9}-\frac{88\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!50}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!62}{92\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!52}{92\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!53}{92\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!88}{30\!\cdots\!25}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!50}a+\frac{35\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!75}$, $\frac{48\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!60}a^{18}-\frac{81\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!60}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!47}{86\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{98\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!87}{71\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!60}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!56}{64\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!21}{51\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!50}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!08}{64\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!20}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!67}{57\!\cdots\!00}a+\frac{67\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!00}$, $\frac{52\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!72}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!50}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!79}{43\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{84\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!50}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!30}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!50}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!69}{86\!\cdots\!10}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!89}{86\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!20}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!77}{41\!\cdots\!00}a+\frac{17\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!50}$, $\frac{18\!\cdots\!91}{73\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{91\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!16}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!58}{71\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!50}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{59\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!65}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!79}{64\!\cdots\!25}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!40}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!00}a-\frac{36\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!00}$, $\frac{34\!\cdots\!67}{86\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!58}{64\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!34}{64\!\cdots\!25}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!60}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!26}{64\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!50}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!09}{86\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!34}{64\!\cdots\!25}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!09}{64\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!65}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!81}{64\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!50}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!61}{86\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!00}a+\frac{35\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!40}$, $\frac{83\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!20}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!50}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!01}{92\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!92}{64\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!65}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!50}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!52}{71\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!43}{86\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!20}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!16}{71\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!00}a-\frac{20\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!50}$, $\frac{18\!\cdots\!13}{61\!\cdots\!50}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!08}{43\!\cdots\!55}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!50}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!47}{43\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!70}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!09}{43\!\cdots\!50}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!93}{86\!\cdots\!10}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!48}{71\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!50}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!30}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!98}{71\!\cdots\!25}a+\frac{28\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!50}$, $\frac{89\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!30}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!48}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!20}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!50}a^{5}-\frac{95\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{45\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!80}a+\frac{82\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!00}$, $\frac{68\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!50}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!93}{51\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!20}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!20}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{88\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!24}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!50}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!00}a+\frac{51\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!00}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1820507440260 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{20}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1820507440260 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{4669942026995164342224597930908203125}}\cr\approx \mathstrut & 0.441678878309197 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 5*x^19 - 75*x^18 + 515*x^17 + 1095*x^16 - 15246*x^15 + 20785*x^14 + 128000*x^13 - 442755*x^12 + 134935*x^11 + 1404121*x^10 - 2101065*x^9 - 301350*x^8 + 2772445*x^7 - 1487715*x^6 - 957916*x^5 + 1069270*x^4 - 110925*x^3 - 172410*x^2 + 65070*x - 6759)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^20 - 5*x^19 - 75*x^18 + 515*x^17 + 1095*x^16 - 15246*x^15 + 20785*x^14 + 128000*x^13 - 442755*x^12 + 134935*x^11 + 1404121*x^10 - 2101065*x^9 - 301350*x^8 + 2772445*x^7 - 1487715*x^6 - 957916*x^5 + 1069270*x^4 - 110925*x^3 - 172410*x^2 + 65070*x - 6759, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^20 - 5*x^19 - 75*x^18 + 515*x^17 + 1095*x^16 - 15246*x^15 + 20785*x^14 + 128000*x^13 - 442755*x^12 + 134935*x^11 + 1404121*x^10 - 2101065*x^9 - 301350*x^8 + 2772445*x^7 - 1487715*x^6 - 957916*x^5 + 1069270*x^4 - 110925*x^3 - 172410*x^2 + 65070*x - 6759);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 5*x^19 - 75*x^18 + 515*x^17 + 1095*x^16 - 15246*x^15 + 20785*x^14 + 128000*x^13 - 442755*x^12 + 134935*x^11 + 1404121*x^10 - 2101065*x^9 - 301350*x^8 + 2772445*x^7 - 1487715*x^6 - 957916*x^5 + 1069270*x^4 - 110925*x^3 - 172410*x^2 + 65070*x - 6759);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 100 |
| The 10 conjugacy class representatives for $C_5:F_5$ |
| Character table for $C_5:F_5$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{15})^+\), 10.10.322143585205078125.1 x5 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 10 siblings: | data not computed |
| Degree 20 sibling: | data not computed |
| Degree 25 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | 10.10.322143585205078125.1 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.4.0.1}{4} }^{5}$ | R | R | ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{10}$ | ${\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{5}$ | R | ${\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{10}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/59.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{10}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| 3.4.2.2 | $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 18$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |
| 3.4.2.2 | $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 18$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 3.4.2.2 | $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 18$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 3.4.2.2 | $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 18$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 3.4.2.2 | $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 18$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
|
\(5\)
| Deg $20$ | $20$ | $1$ | $31$ | |||
|
\(19\)
| 19.2.0.1 | $x^{2} + 18 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ |
| 19.2.0.1 | $x^{2} + 18 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 19.2.0.1 | $x^{2} + 18 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 19.2.0.1 | $x^{2} + 18 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 19.2.0.1 | $x^{2} + 18 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 19.10.8.1 | $x^{10} + 90 x^{9} + 3250 x^{8} + 59040 x^{7} + 544360 x^{6} + 2125046 x^{5} + 1090430 x^{4} + 296960 x^{3} + 1113560 x^{2} + 9728680 x + 34800945$ | $5$ | $2$ | $8$ | $D_5$ | $[\ ]_{5}^{2}$ |