↑

Properties

Label 20.0.57362304122...8125.1
Degree $20$
Signature $[0, 10]$
Discriminant $5^{15}\cdot 11^{12}\cdot 41^{12}\cdot 61^{12}$
Root discriminant $1541.46$
Ramified primes $5, 11, 41, 61$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_5\times F_5$ (as 20T29)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![725830423259092273389151, -508045130993392801755650, 177378875955066879158870, -38480091547554245555724, 5752830050933993979591, -622457267869487652912, 52433632090043553846, -3933531629742272088, 302277263506153992, -21566981447020668, 1034359675135247, -10834777388248, -2064108884245, 118143737840, -775112280, -136176698, 3725721, 56360, -3063, -2, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 2*x^19 - 3063*x^18 + 56360*x^17 + 3725721*x^16 - 136176698*x^15 - 775112280*x^14 + 118143737840*x^13 - 2064108884245*x^12 - 10834777388248*x^11 + 1034359675135247*x^10 - 21566981447020668*x^9 + 302277263506153992*x^8 - 3933531629742272088*x^7 + 52433632090043553846*x^6 - 622457267869487652912*x^5 + 5752830050933993979591*x^4 - 38480091547554245555724*x^3 + 177378875955066879158870*x^2 - 508045130993392801755650*x + 725830423259092273389151)
 
gp: K = bnfinit(x^20 - 2*x^19 - 3063*x^18 + 56360*x^17 + 3725721*x^16 - 136176698*x^15 - 775112280*x^14 + 118143737840*x^13 - 2064108884245*x^12 - 10834777388248*x^11 + 1034359675135247*x^10 - 21566981447020668*x^9 + 302277263506153992*x^8 - 3933531629742272088*x^7 + 52433632090043553846*x^6 - 622457267869487652912*x^5 + 5752830050933993979591*x^4 - 38480091547554245555724*x^3 + 177378875955066879158870*x^2 - 508045130993392801755650*x + 725830423259092273389151, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{20} - 2 x^{19} - 3063 x^{18} + 56360 x^{17} + 3725721 x^{16} - 136176698 x^{15} - 775112280 x^{14} + 118143737840 x^{13} - 2064108884245 x^{12} - 10834777388248 x^{11} + 1034359675135247 x^{10} - 21566981447020668 x^{9} + 302277263506153992 x^{8} - 3933531629742272088 x^{7} + 52433632090043553846 x^{6} - 622457267869487652912 x^{5} + 5752830050933993979591 x^{4} - 38480091547554245555724 x^{3} + 177378875955066879158870 x^{2} - 508045130993392801755650 x + 725830423259092273389151 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $20$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 10]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(5736230412297638662801171274018816826654075993118491241455078125=5^{15}\cdot 11^{12}\cdot 41^{12}\cdot 61^{12}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1541.46$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 11, 41, 61$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $\frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{19} + \frac{3416755765432503199921296372138014547356468875411984916690311414302697612550511429979482017200780819039261105462428718955456786912383114799296471099741826799574532368820374188167238670624172344663676839807264458918387}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{18} + \frac{3346108346235156505915858268633031029933580316554703004706092374471416880168609315662226601473485898476090782121367661190657459011358155790578665728489859357602239107799768785334400197182997280955127923807810913081953}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{17} + \frac{940799415879132952282614655075799646803669761859895935572739663480446525297498649355839222247749725637387671979245030239868181610637151932699084457047781226118026346105881111169465767041013190662107675687365374284678}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{16} + \frac{3352421337132285642825862480646333165632502058317039487716244863456123500009996295339430948596324003676792796457060415707882737642580538718474049726687185319935240378947968208151430761219585004185395327752419962082853}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{15} - \frac{1431178607826059560052952708626669118870459190115083444694712380401696725640029823346508075178440344835798967580865546119017619017130794080938687876205990199432226574391107796721030424458862319894315086434616153864367}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{14} - \frac{969217086687733948995211513024581398413550383199621983038251553172554121566748885383670408022924720113821837045564191013105206353380277220706337678531282843777419809336854193197261123634232370073437529056649139514773}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{13} - \frac{793674869712219624222980507346826623305244562648431024274896225795917746259095434489281012114308515812903732321880372133017235860712947096501979942318843098285044594670228490929557962260441638778073769618409768510984}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{12} - \frac{3122789591231807961644043059814158436039478838079479993667810549587071519632459359330489641082400389920905561777826133738600110870224235459766920341135089725244266763611327471814380284025130082544207749993136942317943}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{11} + \frac{1799869261137198350548742612067834176746519714078548722179917205037057104949306536759900764581507143446365676850776711406381722962071934046561473032597168660322442101986916980297755424777485866828772465615593427038128}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{10} + \frac{888901248014564268429341527209459954242803009426004033540360794949484554024506077650084439482225295506610410003088742024966013156464320624091309947944938010025314174747754373442147195078105674503040608001728562333198}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{9} - \frac{1869146932668610064642580613000611610433403846835220873757853209625181540857394424971038095156293043239475187693436322064381023396222600033421944567838530437469362754588161350496031195463435022973618922502691760406818}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{8} - \frac{3583923269561838093787293812967483990227639125509042515186472788500011897909545899888924813372552994552139237715079362556300515351166135747976755017000554963196808798562189174332327318153132863787953209797878034260913}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{7} - \frac{5520588955660535098466471240145798557608369935197599941913704093410895788250000485676906784337673994417967585638671497841328939915610975737198060563742164049023805382533991480297846800829326374597916805591745988226545}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{6} - \frac{1746365213813649082320332478419029981698286301249436133021494591439147731545649515872117957515432381773812932537587951149665162146133519083326138979512968526710856081218932655326499462422959560284735012449247917472543}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{5} + \frac{1942176906096253366728831396276648481490388107742546537311572194753926416585230113564041809026591701188262771296798086407243197143319964462006317269573696438643420294187576924709019535925101862837956830511564771167256}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{4} + \frac{5044160473766189021678252228800507756852334769919809343545824416115454689265817283837423521514671476916142526651985773904526432594339522352998934246126649301210426490542765809197441037827960026308985242281554010379219}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a^{3} + \frac{1298433691093189399767029465705027620235302364647646315825304055691678223362674504729103248951778507023702300293628145655288893101801406537417382894935598982321608255871892879694464639129272479266856392588313613158901}{9560455437778255314436140295318442257626760950865946058982340894266459537825768655664960363539970528475291978055376828968372346180699630504846102658771214663009484624578115319003617490814740076147890013942634176148481} a^{2} + \frac{582255268742160247661581983067063715545537489546566681923742528930845247250803405079818163862194543445383230476743817313601222577010539852775355045330028239833329581124047386861868580351011808834533168159940264020977}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962} a - \frac{9051562920007950795970638040864963118294359947237653437594938445885503152518370769098224117876503583987136738913452816005679605704553429821423061847607576632836735340011746764949735094720389237282265880450801863007883}{19120910875556510628872280590636884515253521901731892117964681788532919075651537311329920727079941056950583956110753657936744692361399261009692205317542429326018969249156230638007234981629480152295780027885268352296962}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $9$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{7040134880031127276994458161428497007428910696132635306535485204659848271789236813400789006005805034665383342537105098576148535141852146143132762632040478836497363659}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{19} - \frac{15554528681073447413478250983289773575488229048673143101251177239054725936388081387869292239942130905930466077989357456468664021569342406025748052627741761698285597897}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{18} - \frac{22106888021684460915244362029338876303788125763760340094631848574628540005090720462249645685110533563180057518330704567184689091079253540710097517392551523989952063447375}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{17} + \frac{397291260075858821948740873897936798250937916579254095771590246765680219531274061399323029143246417156131030552900420097560257992679395871700019162546209113065317367251565}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{16} + \frac{27819477112777285078812380963267373734335362508209750290939245046684877458747193934922357790720167323037915492996531080511474728779630523849705356868168934904612130563885155}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{15} - \frac{1958139804320118326745322789511955996913679163877286291578323937478994893846323665050603981133524744752277593487451511375960985784454898315459914288418742976576706051786729191}{74587623389491165098612786978999308362925963904352241072830732826231751074025372559739930465243248509509190073037615481047561736888306211945794907808114923244631692407359144820346801960402} a^{14} - \frac{7547051250890722044875694120500490504528589915964350374002478951529840505922117584749773187467587496734334079267007833711489814327346419130958197936937357619394547549954453344}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{13} + \frac{886899333011715484890736849989551274325927971940596811665800695839326786868593573554953896948946315023175755769024997341711585206205568228867914157167203192577593299853001891719}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{12} - \frac{27232509820806173071596382603971498949638201193337821483092896103366532390893085158898859990153950947970294261774423788757438450447074419420492614466686284667712479777318698541299}{74587623389491165098612786978999308362925963904352241072830732826231751074025372559739930465243248509509190073037615481047561736888306211945794907808114923244631692407359144820346801960402} a^{11} - \frac{262754378443230972138642718765324745473509211617084826487048058978017716089862413794261951179435964680249348312264733971090506134408529082798543119705250198503390596214014083559083}{74587623389491165098612786978999308362925963904352241072830732826231751074025372559739930465243248509509190073037615481047561736888306211945794907808114923244631692407359144820346801960402} a^{10} + \frac{7804270192969933138967542994093523369729958231388305088200939257454809519689973635650469845761957349735842112833975426767328938205980517213939249522269086403919816012758077346005582}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{9} - \frac{277211905005009862561796970719579141119815546175066347044559968388479179630176031750782397821565916448664351420424748991824904196662673051495147092415565829747063827246337292350969637}{74587623389491165098612786978999308362925963904352241072830732826231751074025372559739930465243248509509190073037615481047561736888306211945794907808114923244631692407359144820346801960402} a^{8} + \frac{1697777921414657760831605095116134139573376526066446684715341368297289517241298662841149170608793776738966313341340896033488143370934022042439310857996297691750481720411963391192976399}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{7} - \frac{43464374925604143773833640057308429862040351661341278059225966963255084210155751867007742577680722365950772366307410238132021604187006613152388878326035335946977730509987175161491394107}{74587623389491165098612786978999308362925963904352241072830732826231751074025372559739930465243248509509190073037615481047561736888306211945794907808114923244631692407359144820346801960402} a^{6} + \frac{604496817280174496740914664505651617014229399891117761957110604281292551982762998986171005841307875132127723625680084839357927570437221337833607220280469303197223928858004289957545831073}{74587623389491165098612786978999308362925963904352241072830732826231751074025372559739930465243248509509190073037615481047561736888306211945794907808114923244631692407359144820346801960402} a^{5} - \frac{6875855465107298242087931930810698855926846260547034882065903474710188524732083375570399455444402980788853870156851275091190841375678328138567686147171223948169984971616130043395474706145}{74587623389491165098612786978999308362925963904352241072830732826231751074025372559739930465243248509509190073037615481047561736888306211945794907808114923244631692407359144820346801960402} a^{4} + \frac{54800355891765664858252333324610441947462108160249422014069451555568418230590612642127191894585753928211453259790072284026001953461742512282681410899870842460062863007569274802004116339927}{74587623389491165098612786978999308362925963904352241072830732826231751074025372559739930465243248509509190073037615481047561736888306211945794907808114923244631692407359144820346801960402} a^{3} - \frac{142066553521750803765363915485094620426574984161255394820473964069456560681422796940749154956659184700113272161064312586626083478518440637565125266967237480857797210331971604820966432726799}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a^{2} + \frac{430315809871288429712479671392760803435304305687001869210885344181168047083644284644779870633482534894439101766311556459029164319126399258906306229775016116155719413227857076969194013040534}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} a - \frac{573695111585396893559433931260339163614913359935376461205692300493725671548902301612284267847933589219656035534973518113980320588345466212524120331528017697630430603183039109669206724341589}{37293811694745582549306393489499654181462981952176120536415366413115875537012686279869965232621624254754595036518807740523780868444153105972897453904057461622315846203679572410173400980201} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_5\times F_5$ (as 20T29):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A solvable group of order 100
The 25 conjugacy class representatives for $C_5\times F_5$
Character table for $C_5\times F_5$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{5})\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 25 sibling: data not computed

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.4.0.1}{4} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/3.4.0.1}{4} }^{5}$ R $20$ R $20$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }^{2}$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/29.10.0.1}{10} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.5.0.1}{5} }^{4}$ $20$ R $20$ ${\href{/LocalNumberField/47.4.0.1}{4} }^{5}$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
$11$11.5.4.2$x^{5} - 891$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.3$x^{5} + 33$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.1$x^{5} + 297$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.0.1$x^{5} + x^{2} - x + 5$$1$$5$$0$$C_5$$[\ ]^{5}$
$41$41.5.4.1$x^{5} - 41$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
41.5.4.3$x^{5} - 1476$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
41.5.0.1$x^{5} - x + 7$$1$$5$$0$$C_5$$[\ ]^{5}$
41.5.4.5$x^{5} - 53136$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
$61$61.5.4.3$x^{5} - 244$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
61.5.0.1$x^{5} - x + 6$$1$$5$$0$$C_5$$[\ ]^{5}$
61.5.4.5$x^{5} - 976$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
61.5.4.1$x^{5} - 61$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$