↑

Properties

Label 20.0.25452532863...8125.1
Degree $20$
Signature $[0, 10]$
Discriminant $5^{15}\cdot 11^{12}\cdot 19^{16}\cdot 461^{12}$
Root discriminant $5892.32$
Ramified primes $5, 11, 19, 461$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_5\times F_5$ (as 20T29)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![6578911714393603275321248551, -9205451745388989028944, 21237432158942543809016, -3097304809802488626839, -13145794848179964973699, 4211111527467189063284, 16782740267443763, -16613144662595113, 10946763251886561, -4170822961364545, 771422587822781, 5145784683, -2748329129, 1057621205, -257595575, 29082274, 401, -165, 50, -10, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 10*x^19 + 50*x^18 - 165*x^17 + 401*x^16 + 29082274*x^15 - 257595575*x^14 + 1057621205*x^13 - 2748329129*x^12 + 5145784683*x^11 + 771422587822781*x^10 - 4170822961364545*x^9 + 10946763251886561*x^8 - 16613144662595113*x^7 + 16782740267443763*x^6 + 4211111527467189063284*x^5 - 13145794848179964973699*x^4 - 3097304809802488626839*x^3 + 21237432158942543809016*x^2 - 9205451745388989028944*x + 6578911714393603275321248551)
 
gp: K = bnfinit(x^20 - 10*x^19 + 50*x^18 - 165*x^17 + 401*x^16 + 29082274*x^15 - 257595575*x^14 + 1057621205*x^13 - 2748329129*x^12 + 5145784683*x^11 + 771422587822781*x^10 - 4170822961364545*x^9 + 10946763251886561*x^8 - 16613144662595113*x^7 + 16782740267443763*x^6 + 4211111527467189063284*x^5 - 13145794848179964973699*x^4 - 3097304809802488626839*x^3 + 21237432158942543809016*x^2 - 9205451745388989028944*x + 6578911714393603275321248551, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{20} - 10 x^{19} + 50 x^{18} - 165 x^{17} + 401 x^{16} + 29082274 x^{15} - 257595575 x^{14} + 1057621205 x^{13} - 2748329129 x^{12} + 5145784683 x^{11} + 771422587822781 x^{10} - 4170822961364545 x^{9} + 10946763251886561 x^{8} - 16613144662595113 x^{7} + 16782740267443763 x^{6} + 4211111527467189063284 x^{5} - 13145794848179964973699 x^{4} - 3097304809802488626839 x^{3} + 21237432158942543809016 x^{2} - 9205451745388989028944 x + 6578911714393603275321248551 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $20$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 10]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2545253286317407470203188318689628626794133961366397273208762363311767578125=5^{15}\cdot 11^{12}\cdot 19^{16}\cdot 461^{12}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $5892.32$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 11, 19, 461$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{38} a^{14} - \frac{7}{38} a^{13} - \frac{1}{38} a^{12} - \frac{17}{38} a^{11} - \frac{9}{38} a^{10} + \frac{15}{38} a^{9} - \frac{3}{38} a^{8} - \frac{17}{38} a^{7} + \frac{15}{38} a^{6} - \frac{13}{38} a^{5} + \frac{15}{38} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{15}{38} a^{2} + \frac{17}{38} a - \frac{3}{38}$, $\frac{1}{38} a^{15} - \frac{6}{19} a^{13} + \frac{7}{19} a^{12} - \frac{7}{19} a^{11} - \frac{5}{19} a^{10} - \frac{6}{19} a^{9} + \frac{5}{19} a^{7} + \frac{8}{19} a^{6} + \frac{5}{19} a^{4} + \frac{2}{19} a^{3} - \frac{6}{19} a^{2} + \frac{1}{19} a + \frac{17}{38}$, $\frac{1}{665684} a^{16} - \frac{1543}{332842} a^{15} - \frac{1049}{665684} a^{14} - \frac{170737}{665684} a^{13} - \frac{130151}{665684} a^{12} + \frac{231861}{665684} a^{11} - \frac{324657}{665684} a^{10} - \frac{184293}{665684} a^{9} - \frac{145155}{665684} a^{8} - \frac{259607}{665684} a^{7} - \frac{90277}{665684} a^{6} + \frac{129125}{665684} a^{5} - \frac{126401}{665684} a^{4} - \frac{307293}{665684} a^{3} - \frac{82805}{665684} a^{2} + \frac{72639}{332842} a + \frac{146881}{665684}$, $\frac{1}{7322524} a^{17} + \frac{5}{7322524} a^{16} + \frac{59989}{7322524} a^{15} + \frac{13842}{1830631} a^{14} - \frac{503425}{3661262} a^{13} + \frac{615194}{1830631} a^{12} + \frac{1214561}{3661262} a^{11} - \frac{145841}{1830631} a^{10} - \frac{1613831}{3661262} a^{9} - \frac{4361}{1830631} a^{8} + \frac{1681279}{3661262} a^{7} - \frac{1364147}{3661262} a^{6} + \frac{5805}{17518} a^{5} - \frac{335598}{1830631} a^{4} + \frac{115267}{1830631} a^{3} - \frac{988149}{7322524} a^{2} - \frac{2517969}{7322524} a - \frac{2965377}{7322524}$, $\frac{1}{278255912} a^{18} - \frac{9}{278255912} a^{17} - \frac{49}{69563978} a^{16} + \frac{401112}{34781989} a^{15} - \frac{770123}{278255912} a^{14} + \frac{78593915}{278255912} a^{13} - \frac{54656937}{278255912} a^{12} - \frac{117928887}{278255912} a^{11} + \frac{3135915}{14645048} a^{10} + \frac{54985003}{278255912} a^{9} - \frac{25055937}{278255912} a^{8} - \frac{9568359}{25295992} a^{7} - \frac{132179419}{278255912} a^{6} - \frac{5340903}{278255912} a^{5} - \frac{1413915}{14645048} a^{4} + \frac{2118201}{139127956} a^{3} + \frac{3588347}{34781989} a^{2} - \frac{21212069}{278255912} a - \frac{59787429}{278255912}$, $\frac{1}{777335561199279395591914804207269582466273170545087295730412119437100384185878765763105952084702244701435739909716613213893557142656369565816239644398149173915290777638191907548976761564653202375130969218699380230472} a^{19} + \frac{140677523731713917824300966846179674001622853819408790355011492768449207172978312772783082854513002196930754738829455462951025317753359901909517851095551081275921578605023079579524197654195544865234288903435}{388667780599639697795957402103634791233136585272543647865206059718550192092939382881552976042351122350717869954858306606946778571328184782908119822199074586957645388819095953774488380782326601187565484609349690115236} a^{18} + \frac{6103678655515034585497398834588706840761153601743608652824332485181467250910972734028716311732122246744778798502230371651559576943565507147213743232273442579353434578733028833753715671417818227074454528526235}{777335561199279395591914804207269582466273170545087295730412119437100384185878765763105952084702244701435739909716613213893557142656369565816239644398149173915290777638191907548976761564653202375130969218699380230472} a^{17} + \frac{109936756077398680076877292044873929660179354071006095974004485564257469582358671924055094079736475187806270261268993046935277127939635387312095617746160285365984822934145722638928459906861202811265330491884613}{194333890299819848897978701051817395616568292636271823932603029859275096046469691440776488021175561175358934977429153303473389285664092391454059911099537293478822694409547976887244190391163300593782742304674845057618} a^{16} + \frac{8794912943567677765124201352910893329209162937963001293770029045756971966728622506765656260942414016991309046431211134774120375121157742879038124807839765467620589256841503903085541110861532612389612360439406923715}{777335561199279395591914804207269582466273170545087295730412119437100384185878765763105952084702244701435739909716613213893557142656369565816239644398149173915290777638191907548976761564653202375130969218699380230472} a^{15} + \frac{996981147403827097839832059397040873567652024822900638546280324200739735540300755339725191962753018417859243844061726418350237448230648342032286634399159660075390749784427516630805731460812072444909674737884700898}{97166945149909924448989350525908697808284146318135911966301514929637548023234845720388244010587780587679467488714576651736694642832046195727029955549768646739411347204773988443622095195581650296891371152337422528809} a^{14} - \frac{179680703519179600082602089043781797693393355710326388037746278670757383846570614271029767406529777020531668121189989661298757468465313847967904023652416978707997818532059308374134412801537257275002633691113041770195}{388667780599639697795957402103634791233136585272543647865206059718550192092939382881552976042351122350717869954858306606946778571328184782908119822199074586957645388819095953774488380782326601187565484609349690115236} a^{13} + \frac{4635526314183021899225662578168619325760087129078605496977600118091055812271718765452535462131868067685913895484445797150628645364459643808151400950622174453702476364013174289210907461997473515378319004840425018170}{97166945149909924448989350525908697808284146318135911966301514929637548023234845720388244010587780587679467488714576651736694642832046195727029955549768646739411347204773988443622095195581650296891371152337422528809} a^{12} + \frac{139542993279751549610954870686753411719928793110174058904084941288492939262164718997368418021627562709924718628721035814639544562133442119676829448944016269589820854807296731909816948452609104253588473092235714892137}{388667780599639697795957402103634791233136585272543647865206059718550192092939382881552976042351122350717869954858306606946778571328184782908119822199074586957645388819095953774488380782326601187565484609349690115236} a^{11} - \frac{95141426996443590035879356820794448705223129945619316012349442517149640832936468593215414448781746673916800770205646935267226465620868654626216104993592853574935883672099124440725632362187334774951855026204582933781}{194333890299819848897978701051817395616568292636271823932603029859275096046469691440776488021175561175358934977429153303473389285664092391454059911099537293478822694409547976887244190391163300593782742304674845057618} a^{10} - \frac{40872308397952408745293116230817054214838793743759527150729887533231345606915954092095220509211832762284376051293834669723806399469280955943749680697780335280218823138183811860531843287192977669838416127604289178703}{388667780599639697795957402103634791233136585272543647865206059718550192092939382881552976042351122350717869954858306606946778571328184782908119822199074586957645388819095953774488380782326601187565484609349690115236} a^{9} + \frac{87892445324394547586068464877718572479073351233550552386084639359201574246662160257271650024516650943415075050391397096731039043589366476582168884709960617987509922431508260452131228403256594350034939041228518012745}{388667780599639697795957402103634791233136585272543647865206059718550192092939382881552976042351122350717869954858306606946778571328184782908119822199074586957645388819095953774488380782326601187565484609349690115236} a^{8} - \frac{2216170664284393459795687711725961773300900895662423352492292908822940978045556443868821088664803433667431382049315721681134256664870430732702376503195434759743649634456091782039692809019059334566962386465525459123}{10228099489464202573577826371148283979819383822961674943821212097856584002445773233725078316903976903966259735654165963340704699245478546918634732163133541762043299705765682994065483704798068452304354858140781318822} a^{7} - \frac{103596264640849868552026576441381347500760669361233963449913986719469215002138447845536279090785557652422353014502596013213989770309334218339818865016190891605354883992960350196808535538717513969195618539349664196187}{388667780599639697795957402103634791233136585272543647865206059718550192092939382881552976042351122350717869954858306606946778571328184782908119822199074586957645388819095953774488380782326601187565484609349690115236} a^{6} + \frac{21537275691135996790109377700654568092814105061042067736429585663995270564909495975080958475293642648407533823524252542195732391385079406181924464631809241295953390464498771119476033513320067095819475005556697739527}{97166945149909924448989350525908697808284146318135911966301514929637548023234845720388244010587780587679467488714576651736694642832046195727029955549768646739411347204773988443622095195581650296891371152337422528809} a^{5} + \frac{82136972051572486657790517829616334836957760129223951096240466642674619103138023139004834467577059842197509857548664451652255425695337166616431553569017187436150646623124342413656963198980741191480678640591571749405}{777335561199279395591914804207269582466273170545087295730412119437100384185878765763105952084702244701435739909716613213893557142656369565816239644398149173915290777638191907548976761564653202375130969218699380230472} a^{4} + \frac{44216771215700159215635295335061268543323106184784973686323857884240865403605340567631147628865557910346148790694063531039604962883420792708689159391271083172468059132143749120767635119051317899483387180555993124487}{97166945149909924448989350525908697808284146318135911966301514929637548023234845720388244010587780587679467488714576651736694642832046195727029955549768646739411347204773988443622095195581650296891371152337422528809} a^{3} + \frac{160497454972250932930726555818418747151033015341759334766465958090413029053719672176236343695812566927545521138541353652617805327723990845720439045403432134616201949595650747049135506644841908501216833267071983130391}{777335561199279395591914804207269582466273170545087295730412119437100384185878765763105952084702244701435739909716613213893557142656369565816239644398149173915290777638191907548976761564653202375130969218699380230472} a^{2} - \frac{193629000421459467618047498023401651743782802327478641917731804797170207414845245917627194095819709882369529274205856660502581465816217144556089171976575532235157941842552760322859797355232909026201513571626116832007}{388667780599639697795957402103634791233136585272543647865206059718550192092939382881552976042351122350717869954858306606946778571328184782908119822199074586957645388819095953774488380782326601187565484609349690115236} a + \frac{280343792616096580683175629755722981708008655471503840840832443713569667967183964885092172424982934100683275303831894307542220318860782627055495401937747973432923314112292336025368507043542558017775787992515837456481}{777335561199279395591914804207269582466273170545087295730412119437100384185878765763105952084702244701435739909716613213893557142656369565816239644398149173915290777638191907548976761564653202375130969218699380230472}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $9$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{84513726849085815288228284788855117479058607891492300333070326987920786085531053208943860100804130343024681977047704150619715288380395170170986749840082476362961081781187051750304367}{2031708686928010083274878020678172316206197122584145217254440403407167752529199590687598144505459275858485106681132146802377719484896647791466386510867473219898354910165487994242121224827160878567276898341368} a^{19} - \frac{1300019330264992127511316089141458767831596064000457752355083578560501224037447320416953335248610869482064603390412275863255345471161129854079592343064216637706573986364468182704921563}{1015854343464005041637439010339086158103098561292072608627220201703583876264599795343799072252729637929242553340566073401188859742448323895733193255433736609949177455082743997121060612413580439283638449170684} a^{18} + \frac{58117528026212240381927823861407158877754920868075680374843358168317015708223969768139487756814303833206592288393352994155705691574869512556215305680968652413977534568930637874603245771}{2031708686928010083274878020678172316206197122584145217254440403407167752529199590687598144505459275858485106681132146802377719484896647791466386510867473219898354910165487994242121224827160878567276898341368} a^{17} - \frac{608903528214102055719892247902437316284478282575167781598791223446995778162132712480976937209563488685784969589725433325053651012863072488029287188653887698009303520409392404903034749677}{1015854343464005041637439010339086158103098561292072608627220201703583876264599795343799072252729637929242553340566073401188859742448323895733193255433736609949177455082743997121060612413580439283638449170684} a^{16} + \frac{20917847955178129758505294667049697040845517953671269353866959590382916233505697905864430534929815839037017314055015934669128299310333926843288563288350413909547991233615790322947221509519}{2031708686928010083274878020678172316206197122584145217254440403407167752529199590687598144505459275858485106681132146802377719484896647791466386510867473219898354910165487994242121224827160878567276898341368} a^{15} + \frac{256840200237531064171105192097132536204024009987467997234333453389785475300889771776549283797455023500350192112701964652077909558901125917290700687801071135468998573758349586585931140987671}{253963585866001260409359752584771539525774640323018152156805050425895969066149948835949768063182409482310638335141518350297214935612080973933298313858434152487294363770685999280265153103395109820909612292671} a^{14} - \frac{32280541254762729034124587275407598032423270637480910491234439912375645415114026292847798258723897211572620961952916051693952882407966299057773580099068484795316630590296032586242238446105835}{1015854343464005041637439010339086158103098561292072608627220201703583876264599795343799072252729637929242553340566073401188859742448323895733193255433736609949177455082743997121060612413580439283638449170684} a^{13} + \frac{178477945584009481175232399820762957567808535525463696098330130884918918636002265135279885267285223259766412704657643496993661230056582562555481887663321651827752817404469743132896473874119019}{253963585866001260409359752584771539525774640323018152156805050425895969066149948835949768063182409482310638335141518350297214935612080973933298313858434152487294363770685999280265153103395109820909612292671} a^{12} - \frac{14904099483551822933732011767540862490162763985734257758887803073813553931766361912837098765405247671624049820497899190497103778338124696734938386674942811048969616859177583249564198011902158059}{1015854343464005041637439010339086158103098561292072608627220201703583876264599795343799072252729637929242553340566073401188859742448323895733193255433736609949177455082743997121060612413580439283638449170684} a^{11} + \frac{127107156330389456661474621951435512358684043244131103739835273794479167348459955074725182098091173019075428134387769243406440012608567143658752821051020588336955986428215091896398497752547366307}{507927171732002520818719505169543079051549280646036304313610100851791938132299897671899536126364818964621276670283036700594429871224161947866596627716868304974588727541371998560530306206790219641819224585342} a^{10} + \frac{27686287908816749266341466088735010901740388852080603144351962682979135728193521078092902160513235597131751659949825252159327321805012601114142600978138271098119997862526460667979612034514156280401}{1015854343464005041637439010339086158103098561292072608627220201703583876264599795343799072252729637929242553340566073401188859742448323895733193255433736609949177455082743997121060612413580439283638449170684} a^{9} - \frac{752351370330948764309695229551417529636613845802316331964875942166108055185489868669330026731591936245067328814209433728005174276235701719042607516918836347201331406113420471448149781845630471256641}{1015854343464005041637439010339086158103098561292072608627220201703583876264599795343799072252729637929242553340566073401188859742448323895733193255433736609949177455082743997121060612413580439283638449170684} a^{8} + \frac{4013583946596505400053674604554067729707841564213318684719177593522220358128465584938177779020893942861644303106020725231143944606107984945400444258410900573021907671118109742649368756323391359337601}{253963585866001260409359752584771539525774640323018152156805050425895969066149948835949768063182409482310638335141518350297214935612080973933298313858434152487294363770685999280265153103395109820909612292671} a^{7} - \frac{333221553532723943195299935227432368833244332157022911153664618206627133268379389543524060434401283565004983215698807039463126361771609863972751513626020880548036549970762306188571270289858370420598039}{1015854343464005041637439010339086158103098561292072608627220201703583876264599795343799072252729637929242553340566073401188859742448323895733193255433736609949177455082743997121060612413580439283638449170684} a^{6} + \frac{2742882334094211792397451379277872842175334846743779445831100428343587580528490114951800258485636410483316078479627722112415417044611510535441107143378330363239646895800019100403787006201015768380908393}{507927171732002520818719505169543079051549280646036304313610100851791938132299897671899536126364818964621276670283036700594429871224161947866596627716868304974588727541371998560530306206790219641819224585342} a^{5} + \frac{137777749718052421804928801936091515312818598178396534638719929782107113432697164420551925928410935652912875638848413465337691594887554986792167935793272856216809599169590586099629946416910735065873047491}{2031708686928010083274878020678172316206197122584145217254440403407167752529199590687598144505459275858485106681132146802377719484896647791466386510867473219898354910165487994242121224827160878567276898341368} a^{4} - \frac{500026642263060947440040097551035969885548178551518860039646483257899927403529333723179317600106132679000171776337347287956181692713544698519080158615405564191132009664597162126443896836972880932220811540}{253963585866001260409359752584771539525774640323018152156805050425895969066149948835949768063182409482310638335141518350297214935612080973933298313858434152487294363770685999280265153103395109820909612292671} a^{3} + \frac{82644499618541756645525350337794352868969439082334322951672176040880187569223744444878371384740281328112723448764347272380879141171085096508102309537056151751750366840098029794970389225707581158084958314851}{2031708686928010083274878020678172316206197122584145217254440403407167752529199590687598144505459275858485106681132146802377719484896647791466386510867473219898354910165487994242121224827160878567276898341368} a^{2} - \frac{427454156004313501834949336661861742292418108545984638718252460415081362652722971839786587869054409924650062467875875443407281446019827514684966389958580468046060343979003968593361422366669063912553377397723}{507927171732002520818719505169543079051549280646036304313610100851791938132299897671899536126364818964621276670283036700594429871224161947866596627716868304974588727541371998560530306206790219641819224585342} a + \frac{28884336357953513366951243614802253395408903147343320875481752270628971967436253171543908282265872296457400120532078543727875775097588715068501075600957709174460151865236127726410826679729581263215563430618981}{2031708686928010083274878020678172316206197122584145217254440403407167752529199590687598144505459275858485106681132146802377719484896647791466386510867473219898354910165487994242121224827160878567276898341368} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_5\times F_5$ (as 20T29):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A solvable group of order 100
The 25 conjugacy class representatives for $C_5\times F_5$
Character table for $C_5\times F_5$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{5})\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 25 sibling: data not computed

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.4.0.1}{4} }^{5}$ $20$ R $20$ R $20$ $20$ R ${\href{/LocalNumberField/23.4.0.1}{4} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/29.2.0.1}{2} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/31.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/LocalNumberField/31.1.0.1}{1} }^{5}$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/41.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.1.0.1}{1} }^{5}$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/47.4.0.1}{4} }^{5}$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
$11$11.5.4.2$x^{5} - 891$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.1$x^{5} + 297$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.0.1$x^{5} + x^{2} - x + 5$$1$$5$$0$$C_5$$[\ ]^{5}$
$19$19.10.8.2$x^{10} - 19 x^{5} + 722$$5$$2$$8$$D_5\times C_5$$[\ ]_{5}^{10}$
19.10.8.3$x^{10} + 57 x^{5} + 1444$$5$$2$$8$$D_5\times C_5$$[\ ]_{5}^{10}$
461Data not computed