Normalized defining polynomial
\( x^{20} - 2 x^{19} + 28 x^{18} - 49 x^{17} + 299 x^{16} - 440 x^{15} + 1587 x^{14} - 1735 x^{13} + \cdots + 11 \)
Invariants
Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[0, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(203681981950950327645213870961\) \(\medspace = 11^{16}\cdot 1451^{4}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(29.20\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $11^{4/5}1451^{1/2}\approx 259.3867898202987$ | ||
Ramified primes: | \(11\), \(1451\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $4$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is a CM field. | |||
Reflex fields: | unavailable$^{512}$ |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{11}a^{18}-\frac{1}{11}a^{17}+\frac{2}{11}a^{16}-\frac{4}{11}a^{14}-\frac{4}{11}a^{13}+\frac{4}{11}a^{11}+\frac{1}{11}a^{10}+\frac{2}{11}a^{9}+\frac{3}{11}a^{8}+\frac{5}{11}a^{7}+\frac{5}{11}a^{6}+\frac{4}{11}a^{5}$, $\frac{1}{84\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!98}{84\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!39}{84\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!67}{84\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!55}{84\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!04}{84\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!10}{84\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!27}{77\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!97}a-\frac{24\!\cdots\!98}{77\!\cdots\!97}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$
Unit group
Rank: | $9$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{19\!\cdots\!79}{84\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!59}{84\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!36}{84\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!67}{84\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!04}{84\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!92}{84\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!62}{84\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{77\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!54}{77\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!97}a+\frac{13\!\cdots\!72}{77\!\cdots\!97}$, $\frac{29\!\cdots\!75}{84\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!71}{84\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!68}{84\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!12}{84\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!68}{84\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!26}{84\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!57}{84\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!86}{77\!\cdots\!97}$, $\frac{41\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!28}{77\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!05}{84\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{65\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!55}{84\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!90}{84\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!51}{84\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!59}{77\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!97}a+\frac{58\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!97}$, $\frac{41\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!28}{77\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!05}{84\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{65\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!55}{84\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!90}{84\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!51}{84\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!59}{77\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!97}a-\frac{18\!\cdots\!51}{77\!\cdots\!97}$, $\frac{51\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{97\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!35}{84\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!26}{84\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!86}{84\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!17}{84\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!22}{77\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!97}a+\frac{80\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!97}$, $\frac{10\!\cdots\!35}{84\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!18}{84\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!46}{84\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!79}{84\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!37}{84\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!59}{77\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!70}{84\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!23}{84\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!52}{77\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!97}a-\frac{88\!\cdots\!37}{77\!\cdots\!97}$, $\frac{23\!\cdots\!51}{77\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{75\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!36}{84\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!46}{84\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!67}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!04}{77\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!91}{84\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!93}{84\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!55}{84\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!79}{84\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!04}{84\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!27}{77\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!97}a-\frac{13\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!97}$, $\frac{18\!\cdots\!39}{84\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{98\!\cdots\!60}{84\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!67}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!33}{84\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!45}{84\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!25}{84\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!43}{84\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!59}{84\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!30}{77\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!02}{77\!\cdots\!97}a-\frac{33\!\cdots\!80}{77\!\cdots\!97}$, $\frac{13\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!60}{84\!\cdots\!67}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!67}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!65}{84\!\cdots\!67}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!67}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!53}{84\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!91}{84\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!92}{84\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!67}a^{8}-\frac{72\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!00}{84\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!14}{77\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!82}{77\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!78}{77\!\cdots\!97}a+\frac{14\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!97}$ | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 2631079.35388 \) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 2631079.35388 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{203681981950950327645213870961}}\cr\approx \mathstrut & 0.279528650901 \end{aligned}\]
Galois group
$C_2\wr C_5$ (as 20T41):
A solvable group of order 160 |
The 16 conjugacy class representatives for $C_2\wr C_5$ |
Character table for $C_2\wr C_5$ |
Intermediate fields
\(\Q(\zeta_{11})^+\), 10.0.311034736331.1 x2, 10.10.451311402416281.2 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 10 siblings: | data not computed |
Degree 20 siblings: | data not computed |
Degree 32 sibling: | data not computed |
Degree 40 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | 10.0.311034736331.1 |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/3.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/5.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/7.10.0.1}{10} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{8}{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{8}$ | ${\href{/padicField/47.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(11\) | 11.5.4.4 | $x^{5} + 11$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ |
11.5.4.4 | $x^{5} + 11$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ | |
11.5.4.4 | $x^{5} + 11$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ | |
11.5.4.4 | $x^{5} + 11$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ | |
\(1451\) | $\Q_{1451}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{1451}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{1451}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{1451}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ |