Normalized defining polynomial
\( x^{20} - x^{18} - 64 x^{16} + 695 x^{14} - 2902 x^{12} - 42191 x^{10} + 149242 x^{8} + 808995 x^{6} + \cdots + 24039409 \)
Invariants
Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[0, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(19942275922746836458938355941376\) \(\medspace = 2^{20}\cdot 37^{2}\cdot 4903^{6}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(36.73\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | not computed | ||
Ramified primes: | \(2\), \(37\), \(4903\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $4$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{4903}a^{16}-\frac{1}{4903}a^{14}-\frac{64}{4903}a^{12}+\frac{695}{4903}a^{10}+\frac{2001}{4903}a^{8}+\frac{1936}{4903}a^{6}+\frac{2152}{4903}a^{4}$, $\frac{1}{4903}a^{17}-\frac{1}{4903}a^{15}-\frac{64}{4903}a^{13}+\frac{695}{4903}a^{11}+\frac{2001}{4903}a^{9}+\frac{1936}{4903}a^{7}+\frac{2152}{4903}a^{5}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!19}{49\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!85}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!19}{49\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!85}{49\!\cdots\!71}a$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{2}$, which has order $2$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $9$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{48\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!71}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!55}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{13\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{82\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!57}{49\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{98\!\cdots\!56}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{20\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{78\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!23}{49\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!21}{49\!\cdots\!71}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{27\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!76}{49\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!33}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{23\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!74}{49\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!53}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{13\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{98\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!98}{49\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!76}{49\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!71}a+\frac{19\!\cdots\!49}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{79\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!24}{49\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{89\!\cdots\!05}{49\!\cdots\!71}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!45}{49\!\cdots\!71}a+\frac{22\!\cdots\!24}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{10\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{81\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!96}{49\!\cdots\!71}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!28}{49\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{83\!\cdots\!44}{49\!\cdots\!71}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!82}{49\!\cdots\!71}a-\frac{16\!\cdots\!43}{49\!\cdots\!71}$, $\frac{47\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{77\!\cdots\!93}{49\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!15}{49\!\cdots\!71}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!71}a-\frac{22\!\cdots\!16}{49\!\cdots\!71}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 10584851.7162 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 10584851.7162 \cdot 2}{2\cdot\sqrt{19942275922746836458938355941376}}\cr\approx \mathstrut & 0.227298254936 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^{10}.S_5$ (as 20T799):
A non-solvable group of order 122880 |
The 252 conjugacy class representatives for $C_2^{10}.S_5$ |
Character table for $C_2^{10}.S_5$ |
Intermediate fields
5.3.4903.1, 10.2.120693987662848.1, 10.2.4465677543525376.2, 10.2.889458133.2 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 20 siblings: | data not computed |
Degree 40 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | not computed |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/3.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/5.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{4}$ | R | ${\href{/padicField/41.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{8}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | Deg $20$ | $2$ | $10$ | $20$ | |||
\(37\) | $\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
$\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
37.2.0.1 | $x^{2} + 33 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
37.2.0.1 | $x^{2} + 33 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
37.4.0.1 | $x^{4} + 6 x^{2} + 24 x + 2$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
37.4.2.1 | $x^{4} + 1916 x^{3} + 948367 x^{2} + 29317674 x + 2943243$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
37.4.0.1 | $x^{4} + 6 x^{2} + 24 x + 2$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
\(4903\) | Deg $4$ | $4$ | $1$ | $3$ | |||
Deg $4$ | $4$ | $1$ | $3$ | ||||
Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ |