↑

Properties

Label 20.0.13655771840...8125.1
Degree $20$
Signature $[0, 10]$
Discriminant $5^{15}\cdot 11^{16}\cdot 31^{12}\cdot 181^{12}$
Root discriminant $4043.58$
Ramified primes $5, 11, 31, 181$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_5\times F_5$ (as 20T29)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![6616039969022180498502070261, 3872795249613793564434947278, 1152215888689249604582827267, 223683928418871140736442876, 31182656611119677641118731, 3260774067552606207924018, 260355500215372228216244, 15845552032766343133183, 716821696556315266424, 22397712541078584313, 369783648942913960, -3519052998417431, -366025154454816, -7831652014980, 3297596774, 3165845986, 43133865, -349639, -11030, -4, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 4*x^19 - 11030*x^18 - 349639*x^17 + 43133865*x^16 + 3165845986*x^15 + 3297596774*x^14 - 7831652014980*x^13 - 366025154454816*x^12 - 3519052998417431*x^11 + 369783648942913960*x^10 + 22397712541078584313*x^9 + 716821696556315266424*x^8 + 15845552032766343133183*x^7 + 260355500215372228216244*x^6 + 3260774067552606207924018*x^5 + 31182656611119677641118731*x^4 + 223683928418871140736442876*x^3 + 1152215888689249604582827267*x^2 + 3872795249613793564434947278*x + 6616039969022180498502070261)
 
gp: K = bnfinit(x^20 - 4*x^19 - 11030*x^18 - 349639*x^17 + 43133865*x^16 + 3165845986*x^15 + 3297596774*x^14 - 7831652014980*x^13 - 366025154454816*x^12 - 3519052998417431*x^11 + 369783648942913960*x^10 + 22397712541078584313*x^9 + 716821696556315266424*x^8 + 15845552032766343133183*x^7 + 260355500215372228216244*x^6 + 3260774067552606207924018*x^5 + 31182656611119677641118731*x^4 + 223683928418871140736442876*x^3 + 1152215888689249604582827267*x^2 + 3872795249613793564434947278*x + 6616039969022180498502070261, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{20} - 4 x^{19} - 11030 x^{18} - 349639 x^{17} + 43133865 x^{16} + 3165845986 x^{15} + 3297596774 x^{14} - 7831652014980 x^{13} - 366025154454816 x^{12} - 3519052998417431 x^{11} + 369783648942913960 x^{10} + 22397712541078584313 x^{9} + 716821696556315266424 x^{8} + 15845552032766343133183 x^{7} + 260355500215372228216244 x^{6} + 3260774067552606207924018 x^{5} + 31182656611119677641118731 x^{4} + 223683928418871140736442876 x^{3} + 1152215888689249604582827267 x^{2} + 3872795249613793564434947278 x + 6616039969022180498502070261 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $20$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 10]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1365577184056770177137464349146300806980188999019006919566506378173828125=5^{15}\cdot 11^{16}\cdot 31^{12}\cdot 181^{12}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $4043.58$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 11, 31, 181$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{27} a^{12} + \frac{4}{27} a^{11} - \frac{4}{27} a^{10} - \frac{1}{27} a^{9} + \frac{4}{27} a^{8} - \frac{2}{27} a^{7} - \frac{13}{27} a^{6} - \frac{2}{9} a^{5} - \frac{8}{27} a^{4} - \frac{13}{27} a^{3} + \frac{13}{27} a^{2} - \frac{8}{27} a - \frac{5}{27}$, $\frac{1}{27} a^{13} - \frac{2}{27} a^{11} - \frac{1}{9} a^{10} - \frac{1}{27} a^{9} + \frac{13}{27} a^{7} - \frac{8}{27} a^{6} - \frac{2}{27} a^{5} + \frac{10}{27} a^{4} + \frac{2}{27} a^{3} + \frac{1}{9} a^{2} + \frac{1}{3} a + \frac{2}{27}$, $\frac{1}{27} a^{14} - \frac{4}{27} a^{11} - \frac{2}{27} a^{9} + \frac{1}{9} a^{8} - \frac{4}{9} a^{7} - \frac{1}{27} a^{6} - \frac{2}{27} a^{5} - \frac{5}{27} a^{4} + \frac{13}{27} a^{3} + \frac{8}{27} a^{2} + \frac{13}{27} a - \frac{1}{27}$, $\frac{1}{27} a^{15} - \frac{2}{27} a^{11} - \frac{1}{27} a^{9} + \frac{4}{27} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{2}{27} a^{5} - \frac{10}{27} a^{4} - \frac{8}{27} a^{3} + \frac{2}{27} a^{2} + \frac{4}{9} a - \frac{11}{27}$, $\frac{1}{243} a^{16} + \frac{1}{81} a^{15} - \frac{2}{243} a^{14} - \frac{1}{81} a^{13} + \frac{4}{243} a^{12} - \frac{22}{243} a^{11} - \frac{16}{243} a^{10} + \frac{29}{243} a^{9} + \frac{4}{81} a^{8} + \frac{7}{27} a^{7} + \frac{4}{9} a^{6} - \frac{23}{81} a^{5} + \frac{83}{243} a^{4} + \frac{37}{81} a^{3} - \frac{118}{243} a^{2} + \frac{32}{243} a - \frac{13}{243}$, $\frac{1}{243} a^{17} - \frac{2}{243} a^{15} + \frac{1}{81} a^{14} + \frac{4}{243} a^{13} + \frac{2}{243} a^{12} + \frac{32}{243} a^{11} - \frac{40}{243} a^{10} - \frac{10}{81} a^{9} - \frac{4}{27} a^{8} + \frac{2}{9} a^{7} + \frac{34}{81} a^{6} + \frac{74}{243} a^{5} - \frac{40}{81} a^{4} - \frac{37}{243} a^{3} - \frac{46}{243} a^{2} + \frac{35}{243} a - \frac{5}{81}$, $\frac{1}{14337} a^{18} - \frac{5}{4779} a^{17} - \frac{16}{14337} a^{16} + \frac{11}{1593} a^{15} + \frac{230}{14337} a^{14} - \frac{241}{14337} a^{13} - \frac{4}{1593} a^{12} - \frac{1202}{14337} a^{11} - \frac{466}{14337} a^{10} + \frac{1403}{14337} a^{9} + \frac{175}{4779} a^{8} - \frac{869}{4779} a^{7} - \frac{113}{243} a^{6} + \frac{2195}{4779} a^{5} + \frac{6523}{14337} a^{4} - \frac{973}{14337} a^{3} - \frac{1169}{14337} a^{2} + \frac{5753}{14337} a - \frac{835}{14337}$, $\frac{1}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{19} + \frac{23327159901516429601411328893575546201366801740630393464679922533397498550555288699436720905680467641286671813447393040814253239144716094287914389400614572260077285127467238501513005040180381256931773270759772096232435531}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{18} + \frac{1547020690917024830963113895410767005025843769414310362602017938900352636523992603673281666709069701878901309125043783958137330424037537512263113808242296368635199752551106863920930165457386799052641890226803692648552538705}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{17} + \frac{3102024805607806060581934223931988627727463324042199915193972699067773220733140179239164781202314549848473105306743143025383907186531156940818316885455568007143164202093037817172221912770393990149643585898720195172203428254}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{16} - \frac{58421420546165368722329490480373227692525723193949271833067376607679975290975781276736772035094636904952376979380727137089115200753871421424380900585409046983892240691678941969089172093802468582133973553879396420838260261422}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{15} + \frac{38300011886122080264672238331260594980458512016380948029212181886267361678672624151420342547236191320112914891343946090103560446149247854611496134293668877328358169298134130453548999795727964310577205849965151267577205988447}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{14} - \frac{57599484984851812081957428757206529641448311999344899432815502539790199670949770915702213793831987542339670244446672502891095911519352098002793621537413467020325449417296307327530090434127318323572528151891831093593520680712}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{13} + \frac{44274335925854316995958339916321638133447426907623915494476307294747821227428178711981378177277878382418158514001160525391696863389147347152684392365591892402412224959762152694950882103871839950383524590353865323872172405444}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{12} - \frac{26626512600338798458470436039532015312286245546582283847230612141458915807746362710385247740225915553200166500697659623638297221978793207862967692859706295410633156864663665546452224718184976669392434561889324363837136950646}{1306667537138832325181930632009489472264708207150156631833610941215507222994200030265757363202996113773922736126455033465183091792589506013650966420830090870776661034381811431809367161755197175193634434805812060049012935063261} a^{11} + \frac{446206587935613934251102194054599135898922941157783115962625068323683025494416910388014440865727657009568333044031543398651884507273918422994917105212731362561627620183484411566105362203541011003610101959566309734332158232671}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{10} + \frac{488191611562734228942293231498764253397631557100816188420928374063077786798317050009463724743037944967074138617427107715967520046745356147852175480010363096359140022217581877208568411444389817119946711671353596609177330082764}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{9} + \frac{91916405579800849838875247682979364498711816286352861104755967810123976802451395770317773446234603859028397201131517946325726310956679313514510393385588368717697714216675605908687640452213284974423682869659236658634036966011}{1306667537138832325181930632009489472264708207150156631833610941215507222994200030265757363202996113773922736126455033465183091792589506013650966420830090870776661034381811431809367161755197175193634434805812060049012935063261} a^{8} - \frac{387664450542352932326425169056644029924628483205125571285383804847890672803658616618302382453556697008034272946783044447073047916221085407513229744435508991340081629654188558594017603925885973088607128240691273407247356786901}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{7} + \frac{634269705564298432095435710733136628868394230701574741501343909997459573599597822471665641835369328789933566496459899023523518326402902013224955096726871954842135293609563423493267035533091913641892432858124334063483431839161}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{6} + \frac{709984097656308202458390107344818104070165356090916289135806818278902695620861765531088322954671343946946873043708140021100251569417007641726142746860920805831799085639259541840592344379308902025879475200690515096636935545735}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a^{5} - \frac{67355497380943695077525893860159640254196588246429792014894278065342869598419274104603025221060026236687871304877553898439322140360936373098232946881551141099324296283856168785629201249345660724544146655162346564048303910528}{145185281904314702797992292445498830251634245238906292425956771246167469221577781140639707022555123752658081791828337051687010199176611779294551824536676763419629003820201270201040795750577463910403826089534673338779215007029} a^{4} + \frac{130765758789930524477225510758723551596886789539203358849423497046548626761693206648033219420722865266764626097660761994393987897842260192761409603144912763848896172747298006769100764014748111274175114132239298755663159092668}{435555845712944108393976877336496490754902735716718877277870313738502407664733343421919121067665371257974245375485011155061030597529835337883655473610030290258887011460603810603122387251732391731211478268604020016337645021087} a^{3} + \frac{588159437921897289261382457677244898112652674979880427843077367885135932410996574797406717097754473333852254418915854875241180091333314798592208193370846184492805893595277723532920032517948234651265346929410649309012783667805}{1306667537138832325181930632009489472264708207150156631833610941215507222994200030265757363202996113773922736126455033465183091792589506013650966420830090870776661034381811431809367161755197175193634434805812060049012935063261} a^{2} - \frac{363258001741990988285533240219512074062564863450006796734414540467201992204330153457199777895604239251821383828818822112188599753142236494204745460783827922770367113062281192128543177687443655071620783582758865789200272622687}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783} a + \frac{1915567736572807689944856456609495704070380486828238557630269891261083997010548424149790245281339321029937238289838872778128163016089348614277021042804876637601294317603790400506083730457720258663374205494167920904541111972729}{3920002611416496975545791896028468416794124621450469895500832823646521668982600090797272089608988341321768208379365100395549275377768518040952899262490272612329983103145434295428101485265591525580903304417436180147038805189783}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $9$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{1613970413805929740717829479574934097788219912274191056390541762726635561345234182119406743385916721268231491431424071454884087266724334061886232937122829277819374421502938271840639514980}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{19} + \frac{81779570457180607641879565551076683528665806291073855863973938443717451619985560554765850235463987226504755236883042666466386226848208239392210517791360567494151336987943302996633746316174}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{18} + \frac{16365977384444904828309962047818255440941148983220935193256740366040165279315386319654567598339544905173253482664259065596435451987796760330920603920357420872761404037684914767249444233716203}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{17} - \frac{251095018644984771419458723907915757348698984855160085845648666020846086130967188140787048883543499593755246849825491252769163204832219290748595738950537198733923163578931753628621280777502305}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{16} - \frac{83606337051215285806086786969703070651561301412974151280461348850034555458543995048742404101301240239329528274261683294446059658178877690612038470613939657419942723487904587038152934122972762865}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{15} - \frac{1579970745773470769098744247483395185582312972730666698838066012139646212980709321890443323355279204384094052301410304596674605360218192460085641180153077947606929861217292803534168237101117700953}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{14} + \frac{181684260035378426950910255390796736316655930875730288792445406633548069999096504189729387047402172574997795676890424189829623220208037610660314657213420998566494313526440816245110829802452086548929}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{13} + \frac{9775177815091109148164602470267640233391727299722336628358400873833712780903652041721105804587100117105676458177442444823293077776095889631743155153931530131531770550223141764930255653016755519189916}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{12} + \frac{25874291472164149952500194868200716959722562491164775297501943389674569800591392584950470223862547033060736274970510287790579425462780948886545517014174687889794923338291285954101239508358656236622308}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{11} - \frac{13215776943039541802340776535733459660311913516548658972562943153165321854391185867193566177353350635955519631332277444086769646561514364278554306601434840990416250863415941797810591816793485377218245129}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{10} - \frac{525902211237115187502260283192621809831953055688638720935118644236441630883748317096589854229127284467649907105953004963482167074012025419690490753361366974691122293417810965849138236656004208726107450169}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{9} - \frac{7475116806962851088992076901500356520220794448732900614104182593177089669032575905237975292809053830131259855183631839091731105075158552827920533739447132272872552437478118066932799706390875968060789311277}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{8} + \frac{97129199647252701222118743768508886124612964373148379190734507093543549251707740875748074643448653233363081654162741234470082908628124805887582673116601387233940284002317840025615016194220821694494948587148}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{7} + \frac{6892259511155278784483258721385278841154192974515230018940274563889753833284104581330536874956755695811145524690444195681216041092533419493539204022354891317706141769615114855229511993264797063152624241957204}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{6} + \frac{163989915872350100915612673111727202174449024371386306361415262764516151325268487170350442954164321193447086012001909067419290671939644107658515181025154518772332485572583442818003510745537101079311161147922185}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{5} + \frac{2399615778050843041064554706649875878156140441535174231799818991305441073598009892502248068366395968661204047201816839612454487984485039928846097461043556885733521165804261324604344638685302547583149391796581284}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{4} + \frac{23616256269987642769991260803760545939505810459138111361054586110611121126018560822669642725993355020243401490160388017977290804900450670177374135232466030268939195313989256157973478265495887991935133476804597984}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{3} + \frac{155481919789632701604230589403564138572520785678781077341788761295080564602856395184623953705325112220476390295850272970459830382428586642708187025484607407855442480168755588737402411156329154596363938087087499099}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a^{2} + \frac{632747742684909619707202312161843197208675156887942733687158552577027974460712349285764226021468176052971667295375146112411686455882308935319234253407362439146609658533016357762714812630352065045082968634647874435}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} a + \frac{1261256835251487990438737291812397898589890985160995503357915455636865918541999303887497130642064623850553092351407811769039564637330858484874330875016446789671822334501922924763830436367394520923714474149774496317}{23106484492588363487649559460413896289013690215475033840272520388314320354704138694113386786545187619203796746676459046098549188920257173964357834348136657342617570812442859267542362667589618457627781149144352691} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_5\times F_5$ (as 20T29):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A solvable group of order 100
The 25 conjugacy class representatives for $C_5\times F_5$
Character table for $C_5\times F_5$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{5})\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 25 sibling: data not computed

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20$ ${\href{/LocalNumberField/3.4.0.1}{4} }^{5}$ R $20$ R $20$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }^{2}$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/29.10.0.1}{10} }^{2}$ R $20$ ${\href{/LocalNumberField/41.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.1.0.1}{1} }^{5}$ $20$ $20$ ${\href{/LocalNumberField/53.4.0.1}{4} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/59.2.0.1}{2} }^{10}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
$11$11.5.4.2$x^{5} - 891$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.5$x^{5} - 99$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.1$x^{5} + 297$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
$31$31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.4.5$x^{5} - 74431$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.0.1$x^{5} - x + 10$$1$$5$$0$$C_5$$[\ ]^{5}$
31.5.4.4$x^{5} + 10633$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
$181$181.5.4.5$x^{5} - 2896$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
181.5.4.2$x^{5} + 362$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
181.5.4.3$x^{5} - 724$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
181.5.0.1$x^{5} - x + 10$$1$$5$$0$$C_5$$[\ ]^{5}$