Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^18 - 9*x^17 - 42*x^16 + 498*x^15 + 231*x^14 - 8343*x^13 + 2989*x^12 + 59949*x^11 - 20253*x^10 - 226761*x^9 + 8409*x^8 + 452259*x^7 + 153052*x^6 - 375174*x^5 - 264699*x^4 + 1605*x^3 + 26424*x^2 + 2088*x + 12)
gp: K = bnfinit(y^18 - 9*y^17 - 42*y^16 + 498*y^15 + 231*y^14 - 8343*y^13 + 2989*y^12 + 59949*y^11 - 20253*y^10 - 226761*y^9 + 8409*y^8 + 452259*y^7 + 153052*y^6 - 375174*y^5 - 264699*y^4 + 1605*y^3 + 26424*y^2 + 2088*y + 12, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^18 - 9*x^17 - 42*x^16 + 498*x^15 + 231*x^14 - 8343*x^13 + 2989*x^12 + 59949*x^11 - 20253*x^10 - 226761*x^9 + 8409*x^8 + 452259*x^7 + 153052*x^6 - 375174*x^5 - 264699*x^4 + 1605*x^3 + 26424*x^2 + 2088*x + 12);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^18 - 9*x^17 - 42*x^16 + 498*x^15 + 231*x^14 - 8343*x^13 + 2989*x^12 + 59949*x^11 - 20253*x^10 - 226761*x^9 + 8409*x^8 + 452259*x^7 + 153052*x^6 - 375174*x^5 - 264699*x^4 + 1605*x^3 + 26424*x^2 + 2088*x + 12)
\( x^{18} - 9 x^{17} - 42 x^{16} + 498 x^{15} + 231 x^{14} - 8343 x^{13} + 2989 x^{12} + 59949 x^{11} + \cdots + 12 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $18$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[18, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(6523520634696466078625264232972681216\)
\(\medspace = 2^{20}\cdot 3^{33}\cdot 47^{9}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(110.98\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2^{4/3}3^{11/6}47^{1/2}\approx 129.4626691961398$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\), \(47\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{141}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{38}a^{16}-\frac{7}{19}a^{15}-\frac{9}{19}a^{14}+\frac{8}{19}a^{13}-\frac{9}{38}a^{12}+\frac{5}{19}a^{11}+\frac{9}{38}a^{10}+\frac{6}{19}a^{9}-\frac{17}{38}a^{8}+\frac{6}{19}a^{7}+\frac{11}{38}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}+\frac{9}{19}a^{4}+\frac{17}{38}a^{2}-\frac{4}{19}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!10}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!06}{79\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!47}{79\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!91}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{78\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!82}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!39}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!97}{41\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!23}{79\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!54}{41\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!82}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!30}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!29}{79\!\cdots\!91}a-\frac{11\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!91}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{12}$, which has order $12$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{77\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!82}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!55}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!66}{41\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!82}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!43}{83\!\cdots\!78}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!82}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!82}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!20}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!04}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!82}a^{2}+\frac{99\!\cdots\!24}{79\!\cdots\!91}a+\frac{24\!\cdots\!25}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{47\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!50}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{78\!\cdots\!40}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!02}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!89}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!42}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!86}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!95}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!44}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!75}{79\!\cdots\!91}a+\frac{11\!\cdots\!55}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{16\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{66\!\cdots\!77}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{41\!\cdots\!48}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!30}{79\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{72\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!41}{79\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!66}{79\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!92}{41\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!51}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!98}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!30}{79\!\cdots\!91}a+\frac{11\!\cdots\!39}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{12\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!76}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!83}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!10}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!40}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!82}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{91\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!21}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!08}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!94}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!90}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!53}{79\!\cdots\!91}a+\frac{13\!\cdots\!93}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{15\!\cdots\!49}{79\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!78}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!43}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!02}{79\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!39}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!86}{79\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{73\!\cdots\!51}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!11}{79\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!40}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!68}{79\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!33}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!50}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!22}{41\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!02}{79\!\cdots\!91}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!30}{41\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!59}{79\!\cdots\!91}a+\frac{28\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!89}$, $\frac{15\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!49}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!29}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!71}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!92}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!35}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{97\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!14}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!80}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!68}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!44}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!08}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!86}{79\!\cdots\!91}a+\frac{39\!\cdots\!57}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{58\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!82}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!60}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!98}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!69}{83\!\cdots\!78}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!82}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!82}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!97}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!08}{79\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!82}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!61}{79\!\cdots\!91}a+\frac{73\!\cdots\!47}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{15\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{85\!\cdots\!56}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!41}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!92}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!56}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!42}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!66}{41\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!45}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!04}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!27}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!37}{79\!\cdots\!91}a+\frac{15\!\cdots\!31}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{11\!\cdots\!55}{79\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!75}{83\!\cdots\!78}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!89}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!08}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!78}{79\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!75}{79\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!82}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!49}{79\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!82}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!98}{79\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!82}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!32}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!25}{79\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!92}{79\!\cdots\!91}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!82}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!74}{79\!\cdots\!91}a+\frac{29\!\cdots\!17}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{92\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!94}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!94}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!94}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!94}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!94}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{72\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!94}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!97}a+\frac{51\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{77\!\cdots\!94}{79\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!59}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!84}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!20}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!45}{79\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!17}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!01}{79\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!84}{79\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!17}{79\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!07}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{90\!\cdots\!50}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!55}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!11}{79\!\cdots\!91}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!77}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!91}a+\frac{33\!\cdots\!97}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{33\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!71}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!10}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{88\!\cdots\!78}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!57}{83\!\cdots\!78}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!77}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!26}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!85}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!27}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!85}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!68}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!26}{79\!\cdots\!91}a+\frac{55\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{66\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!53}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!93}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!93}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!58}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!13}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{90\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{78\!\cdots\!97}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!49}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!54}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!40}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!91}a+\frac{12\!\cdots\!97}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{18\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!82}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!87}{41\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!09}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!82}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!82}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!82}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!75}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!11}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{72\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!82}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!04}{79\!\cdots\!91}a+\frac{32\!\cdots\!27}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{18\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!82}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!18}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!21}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!82}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!82}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!82}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!21}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!51}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!82}a^{2}+\frac{74\!\cdots\!51}{79\!\cdots\!91}a-\frac{68\!\cdots\!41}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{20\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!58}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!38}{41\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!92}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!59}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!28}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!46}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!60}{79\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!06}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!21}{79\!\cdots\!91}a-\frac{52\!\cdots\!79}{79\!\cdots\!91}$, $\frac{12\!\cdots\!61}{41\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!37}{79\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{86\!\cdots\!63}{79\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!16}{79\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!79}{79\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!57}{79\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!24}{79\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!35}{79\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!97}{79\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!73}{79\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!09}{79\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!72}{79\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!33}{41\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!59}{41\!\cdots\!89}a+\frac{14\!\cdots\!27}{79\!\cdots\!91}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 5751301540210 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{18}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 5751301540210 \cdot 12}{2\cdot\sqrt{6523520634696466078625264232972681216}}\cr\approx \mathstrut & 3.54173685182215 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^18 - 9*x^17 - 42*x^16 + 498*x^15 + 231*x^14 - 8343*x^13 + 2989*x^12 + 59949*x^11 - 20253*x^10 - 226761*x^9 + 8409*x^8 + 452259*x^7 + 153052*x^6 - 375174*x^5 - 264699*x^4 + 1605*x^3 + 26424*x^2 + 2088*x + 12)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^18 - 9*x^17 - 42*x^16 + 498*x^15 + 231*x^14 - 8343*x^13 + 2989*x^12 + 59949*x^11 - 20253*x^10 - 226761*x^9 + 8409*x^8 + 452259*x^7 + 153052*x^6 - 375174*x^5 - 264699*x^4 + 1605*x^3 + 26424*x^2 + 2088*x + 12, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^18 - 9*x^17 - 42*x^16 + 498*x^15 + 231*x^14 - 8343*x^13 + 2989*x^12 + 59949*x^11 - 20253*x^10 - 226761*x^9 + 8409*x^8 + 452259*x^7 + 153052*x^6 - 375174*x^5 - 264699*x^4 + 1605*x^3 + 26424*x^2 + 2088*x + 12);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^18 - 9*x^17 - 42*x^16 + 498*x^15 + 231*x^14 - 8343*x^13 + 2989*x^12 + 59949*x^11 - 20253*x^10 - 226761*x^9 + 8409*x^8 + 452259*x^7 + 153052*x^6 - 375174*x^5 - 264699*x^4 + 1605*x^3 + 26424*x^2 + 2088*x + 12);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 72 |
| The 9 conjugacy class representatives for $C_3:S_4$ |
| Character table for $C_3:S_4$ |
Intermediate fields
| 3.3.564.1, 3.3.45684.2, 3.3.45684.1, 3.3.11421.1, 6.6.294270927696.3, 9.9.13443473060864064.2 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 12 siblings: | data not computed |
| Degree 18 sibling: | data not computed |
| Degree 24 siblings: | data not computed |
| Degree 36 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 12.12.1941022414419797016576.1 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | ${\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{9}$ | ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{9}$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{9}$ | R | ${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{9}$ | ${\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{9}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.3.2.1 | $x^{3} + 2$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ |
| 2.3.2.1 | $x^{3} + 2$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
| 2.12.16.18 | $x^{12} + 4 x^{10} + 4 x^{9} + 8 x^{8} + 8 x^{7} + 12 x^{6} + 8 x^{5} + 4 x^{4} + 12$ | $6$ | $2$ | $16$ | $C_3 : C_4$ | $[2]_{3}^{2}$ | |
|
\(3\)
| 3.6.11.9 | $x^{6} + 3$ | $6$ | $1$ | $11$ | $S_3$ | $[5/2]_{2}$ |
| 3.6.11.9 | $x^{6} + 3$ | $6$ | $1$ | $11$ | $S_3$ | $[5/2]_{2}$ | |
| 3.6.11.9 | $x^{6} + 3$ | $6$ | $1$ | $11$ | $S_3$ | $[5/2]_{2}$ | |
|
\(47\)
| 47.2.1.1 | $x^{2} + 235$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |
| 47.2.1.1 | $x^{2} + 235$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 47.2.1.1 | $x^{2} + 235$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 47.4.2.1 | $x^{4} + 90 x^{3} + 2129 x^{2} + 4680 x + 96939$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 47.4.2.1 | $x^{4} + 90 x^{3} + 2129 x^{2} + 4680 x + 96939$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 47.4.2.1 | $x^{4} + 90 x^{3} + 2129 x^{2} + 4680 x + 96939$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |