Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^18 - 2*x^17 - 66*x^16 + 108*x^15 + 1544*x^14 - 1850*x^13 - 16889*x^12 + 15264*x^11 + 95078*x^10 - 72124*x^9 - 281919*x^8 + 202114*x^7 + 412283*x^6 - 313520*x^5 - 223063*x^4 + 212908*x^3 - 16553*x^2 - 12592*x + 647)
gp: K = bnfinit(y^18 - 2*y^17 - 66*y^16 + 108*y^15 + 1544*y^14 - 1850*y^13 - 16889*y^12 + 15264*y^11 + 95078*y^10 - 72124*y^9 - 281919*y^8 + 202114*y^7 + 412283*y^6 - 313520*y^5 - 223063*y^4 + 212908*y^3 - 16553*y^2 - 12592*y + 647, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^18 - 2*x^17 - 66*x^16 + 108*x^15 + 1544*x^14 - 1850*x^13 - 16889*x^12 + 15264*x^11 + 95078*x^10 - 72124*x^9 - 281919*x^8 + 202114*x^7 + 412283*x^6 - 313520*x^5 - 223063*x^4 + 212908*x^3 - 16553*x^2 - 12592*x + 647);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^18 - 2*x^17 - 66*x^16 + 108*x^15 + 1544*x^14 - 1850*x^13 - 16889*x^12 + 15264*x^11 + 95078*x^10 - 72124*x^9 - 281919*x^8 + 202114*x^7 + 412283*x^6 - 313520*x^5 - 223063*x^4 + 212908*x^3 - 16553*x^2 - 12592*x + 647)
\( x^{18} - 2 x^{17} - 66 x^{16} + 108 x^{15} + 1544 x^{14} - 1850 x^{13} - 16889 x^{12} + 15264 x^{11} + \cdots + 647 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $18$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[18, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(3830034706318154794675914145792\)
\(\medspace = 2^{18}\cdot 19^{16}\cdot 37^{3}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(50.01\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2^{3/2}19^{8/9}37^{1/2}\approx 235.67619781468147$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(19\), \(37\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{37}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $6$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{113}a^{16}+\frac{9}{113}a^{15}+\frac{3}{113}a^{14}-\frac{16}{113}a^{13}+\frac{35}{113}a^{12}+\frac{32}{113}a^{11}+\frac{41}{113}a^{10}-\frac{48}{113}a^{9}-\frac{18}{113}a^{8}-\frac{31}{113}a^{7}-\frac{11}{113}a^{6}-\frac{25}{113}a^{5}+\frac{1}{113}a^{4}+\frac{25}{113}a^{3}+\frac{18}{113}a^{2}+\frac{29}{113}a-\frac{50}{113}$, $\frac{1}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!18}{84\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!88}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!01}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!24}{84\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!16}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!23}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!08}{84\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!23}a+\frac{29\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!23}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{13\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!90}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{93\!\cdots\!92}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!14}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!32}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{77\!\cdots\!87}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!98}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!53}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!98}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{98\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!23}a-\frac{17\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{14\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{98\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!10}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!33}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{89\!\cdots\!37}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!34}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!14}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!91}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!62}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!24}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!23}a-\frac{16\!\cdots\!09}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{37\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!70}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!70}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!12}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!08}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!52}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{80\!\cdots\!68}{84\!\cdots\!23}a-\frac{46\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{26\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!46}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!26}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{77\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!67}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!00}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!93}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!23}a-\frac{31\!\cdots\!29}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{33\!\cdots\!18}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!51}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!90}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!14}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!04}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!18}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!62}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!48}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!08}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!75}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!23}a-\frac{36\!\cdots\!84}{74\!\cdots\!71}$, $\frac{22\!\cdots\!24}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!57}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{91\!\cdots\!37}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{95\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!74}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!23}a-\frac{27\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{30\!\cdots\!52}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!51}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{91\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!88}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!92}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!70}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!43}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!23}a-\frac{39\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{57\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!85}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{90\!\cdots\!00}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!92}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{71\!\cdots\!88}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!00}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!92}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!47}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!53}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!68}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a-\frac{71\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{87\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!74}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{76\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!24}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!48}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!53}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!24}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!47}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!87}{84\!\cdots\!23}a-\frac{11\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{91\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!05}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!44}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!31}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!34}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{88\!\cdots\!23}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!92}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!23}a-\frac{99\!\cdots\!29}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{11\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!79}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!44}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!74}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!98}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!87}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a-\frac{10\!\cdots\!62}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{48\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{42\!\cdots\!91}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!88}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!87}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!65}{84\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!74}{84\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!86}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!40}{84\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!46}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!55}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!68}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!23}a-\frac{39\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{10\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{90\!\cdots\!23}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!16}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!26}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!37}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!00}{84\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!88}{84\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!37}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!65}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!47}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!22}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!01}{84\!\cdots\!23}a-\frac{73\!\cdots\!52}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{21\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!17}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!36}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!66}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!39}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!46}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!87}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!70}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!48}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!23}a-\frac{34\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{27\!\cdots\!04}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!24}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!32}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!68}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!48}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{78\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!08}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!05}{84\!\cdots\!23}a-\frac{31\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{13\!\cdots\!16}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!09}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!23}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!36}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!00}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!88}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!46}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!23}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{98\!\cdots\!43}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!23}a-\frac{16\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!23}$, $\frac{46\!\cdots\!32}{84\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!12}{84\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!52}{84\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!31}{84\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!92}{84\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!46}{84\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!08}{84\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!29}{84\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{99\!\cdots\!45}{84\!\cdots\!23}a-\frac{56\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!23}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 2587028370.07 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{18}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 2587028370.07 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3830034706318154794675914145792}}\cr\approx \mathstrut & 0.173264569133 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^18 - 2*x^17 - 66*x^16 + 108*x^15 + 1544*x^14 - 1850*x^13 - 16889*x^12 + 15264*x^11 + 95078*x^10 - 72124*x^9 - 281919*x^8 + 202114*x^7 + 412283*x^6 - 313520*x^5 - 223063*x^4 + 212908*x^3 - 16553*x^2 - 12592*x + 647)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^18 - 2*x^17 - 66*x^16 + 108*x^15 + 1544*x^14 - 1850*x^13 - 16889*x^12 + 15264*x^11 + 95078*x^10 - 72124*x^9 - 281919*x^8 + 202114*x^7 + 412283*x^6 - 313520*x^5 - 223063*x^4 + 212908*x^3 - 16553*x^2 - 12592*x + 647, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^18 - 2*x^17 - 66*x^16 + 108*x^15 + 1544*x^14 - 1850*x^13 - 16889*x^12 + 15264*x^11 + 95078*x^10 - 72124*x^9 - 281919*x^8 + 202114*x^7 + 412283*x^6 - 313520*x^5 - 223063*x^4 + 212908*x^3 - 16553*x^2 - 12592*x + 647);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^18 - 2*x^17 - 66*x^16 + 108*x^15 + 1544*x^14 - 1850*x^13 - 16889*x^12 + 15264*x^11 + 95078*x^10 - 72124*x^9 - 281919*x^8 + 202114*x^7 + 412283*x^6 - 313520*x^5 - 223063*x^4 + 212908*x^3 - 16553*x^2 - 12592*x + 647);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^2:C_{18}$ (as 18T26):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 72 |
| The 24 conjugacy class representatives for $C_2^2:C_{18}$ |
| Character table for $C_2^2:C_{18}$ is not computed |
Intermediate fields
| 3.3.361.1, 6.6.308600128.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\) |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 36 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.9.0.1}{9} }^{2}$ | $18$ | ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{2}$ | $18$ | $18$ | R | $18$ | $18$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{4}$ | R | ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{2}$ | $18$ | ${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}$ | $18$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.18.18.105 | $x^{18} + 18 x^{17} + 102 x^{16} + 424 x^{15} - 600 x^{14} - 10608 x^{13} - 57872 x^{12} - 58912 x^{11} + 1014464 x^{10} + 8833408 x^{9} + 43656576 x^{8} + 155706240 x^{7} + 431529856 x^{6} + 938690304 x^{5} + 1596196096 x^{4} + 2067057152 x^{3} + 1894533888 x^{2} + 1068709376 x + 255554048$ | $2$ | $9$ | $18$ | 18T26 | $[2, 2]^{18}$ |
|
\(19\)
| 19.18.16.1 | $x^{18} + 162 x^{17} + 11682 x^{16} + 492480 x^{15} + 13390416 x^{14} + 243982368 x^{13} + 2990277024 x^{12} + 23974071552 x^{11} + 116854153056 x^{10} + 292311592166 x^{9} + 233708309190 x^{8} + 95896505088 x^{7} + 23931351696 x^{6} + 4148844336 x^{5} + 4813362864 x^{4} + 52323118080 x^{3} + 400888193472 x^{2} + 1792784840544 x + 3563298115785$ | $9$ | $2$ | $16$ | $C_{18}$ | $[\ ]_{9}^{2}$ |
|
\(37\)
| $\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{37}$ | $x + 35$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 37.2.0.1 | $x^{2} + 33 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 37.2.0.1 | $x^{2} + 33 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 37.2.1.2 | $x^{2} + 74$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 37.2.1.2 | $x^{2} + 74$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 37.2.1.2 | $x^{2} + 74$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 37.2.0.1 | $x^{2} + 33 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ |