Normalized defining polynomial
\( x^{18} - 8 x^{17} - 9 x^{16} + 214 x^{15} - 296 x^{14} - 1586 x^{13} + 3387 x^{12} + 4963 x^{11} - 12716 x^{10} - 8725 x^{9} + 21199 x^{8} + 10625 x^{7} - 15005 x^{6} - 7039 x^{5} + \cdots + 1 \)
Invariants
Degree: | $18$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[18, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(255992816294107128730405733761\) \(\medspace = 19^{16}\cdot 31^{6}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(43.03\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $19^{8/9}31^{1/2}\approx 76.26946753496667$ | ||
Ramified primes: | \(19\), \(31\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $6$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!09}a+\frac{18\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!09}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{32\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{98\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{64\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!09}a-\frac{34\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{41\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{87\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!09}a-\frac{68\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{59\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!09}a-\frac{21\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{19\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!09}a-\frac{12\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{10\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{97\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!95}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!70}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!09}a-\frac{54\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{89\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{70\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a-\frac{16\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{41\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{87\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!09}a-\frac{11\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{89\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{70\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a-\frac{11\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{89\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{70\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!09}a-\frac{11\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{36\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!09}a-\frac{84\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{24\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{85\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!09}a+\frac{30\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{27\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!09}a-\frac{15\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!09}$, $a$, $\frac{34\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{77\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a+\frac{54\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{22\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{92\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!09}a-\frac{11\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{91\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{96\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{99\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!09}a-\frac{18\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!09}$, $\frac{30\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!09}a+\frac{21\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!09}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 618241654.691 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{18}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 618241654.691 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{255992816294107128730405733761}}\cr\approx \mathstrut & 0.160160088432 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^2:C_9$ (as 18T7):
A solvable group of order 36 |
The 12 conjugacy class representatives for $C_2^2 : C_9$ |
Character table for $C_2^2 : C_9$ |
Intermediate fields
3.3.361.1, 6.6.125238481.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\) |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Galois closure: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/3.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{6}$ | ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(19\) | 19.9.8.8 | $x^{9} + 19$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |
19.9.8.8 | $x^{9} + 19$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
\(31\) | 31.6.3.2 | $x^{6} + 95 x^{4} + 56 x^{3} + 2884 x^{2} - 5152 x + 28684$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ |
31.6.0.1 | $x^{6} + 19 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x + 3$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
31.6.3.1 | $x^{6} + 961 x^{2} - 834148$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ |