Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^17 - x^16 - 64*x^15 + 43*x^14 + 1478*x^13 - 932*x^12 - 16008*x^11 + 12183*x^10 + 86347*x^9 - 84507*x^8 - 213223*x^7 + 271237*x^6 + 152800*x^5 - 314540*x^4 + 100605*x^3 + 20132*x^2 - 13981*x + 1681)
gp: K = bnfinit(y^17 - y^16 - 64*y^15 + 43*y^14 + 1478*y^13 - 932*y^12 - 16008*y^11 + 12183*y^10 + 86347*y^9 - 84507*y^8 - 213223*y^7 + 271237*y^6 + 152800*y^5 - 314540*y^4 + 100605*y^3 + 20132*y^2 - 13981*y + 1681, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^17 - x^16 - 64*x^15 + 43*x^14 + 1478*x^13 - 932*x^12 - 16008*x^11 + 12183*x^10 + 86347*x^9 - 84507*x^8 - 213223*x^7 + 271237*x^6 + 152800*x^5 - 314540*x^4 + 100605*x^3 + 20132*x^2 - 13981*x + 1681);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^17 - x^16 - 64*x^15 + 43*x^14 + 1478*x^13 - 932*x^12 - 16008*x^11 + 12183*x^10 + 86347*x^9 - 84507*x^8 - 213223*x^7 + 271237*x^6 + 152800*x^5 - 314540*x^4 + 100605*x^3 + 20132*x^2 - 13981*x + 1681)
\( x^{17} - x^{16} - 64 x^{15} + 43 x^{14} + 1478 x^{13} - 932 x^{12} - 16008 x^{11} + 12183 x^{10} + \cdots + 1681 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $17$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[17, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(15400296222263289476715621650663041\)
\(\medspace = 137^{16}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(102.57\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $137^{16/17}\approx 102.57254282521204$ | ||
| Ramified primes: |
\(137\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $17$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(137\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{137}(1,·)$, $\chi_{137}(133,·)$, $\chi_{137}(72,·)$, $\chi_{137}(73,·)$, $\chi_{137}(74,·)$, $\chi_{137}(16,·)$, $\chi_{137}(88,·)$, $\chi_{137}(34,·)$, $\chi_{137}(59,·)$, $\chi_{137}(38,·)$, $\chi_{137}(50,·)$, $\chi_{137}(115,·)$, $\chi_{137}(119,·)$, $\chi_{137}(56,·)$, $\chi_{137}(122,·)$, $\chi_{137}(123,·)$, $\chi_{137}(60,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{37}a^{14}+\frac{2}{37}a^{12}+\frac{4}{37}a^{11}-\frac{14}{37}a^{10}+\frac{13}{37}a^{9}+\frac{11}{37}a^{8}+\frac{10}{37}a^{7}+\frac{7}{37}a^{6}-\frac{5}{37}a^{5}+\frac{18}{37}a^{4}-\frac{17}{37}a^{3}-\frac{3}{37}a^{2}-\frac{16}{37}a+\frac{4}{37}$, $\frac{1}{192659}a^{15}+\frac{2389}{192659}a^{14}-\frac{69632}{192659}a^{13}+\frac{82408}{192659}a^{12}+\frac{93458}{192659}a^{11}+\frac{17664}{192659}a^{10}+\frac{48606}{192659}a^{9}+\frac{49007}{192659}a^{8}+\frac{53978}{192659}a^{7}-\frac{35822}{192659}a^{6}-\frac{56623}{192659}a^{5}+\frac{86016}{192659}a^{4}-\frac{81908}{192659}a^{3}+\frac{70406}{192659}a^{2}+\frac{89356}{192659}a-\frac{53}{4699}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{75\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!99}a+\frac{27\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!39}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $16$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{38\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!99}a-\frac{36\!\cdots\!88}{88\!\cdots\!57}$, $\frac{10\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{82\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{86\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!99}a-\frac{12\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{14\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!66}{36\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!39}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!99}a-\frac{15\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{10\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!99}a-\frac{12\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{39\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{86\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!99}a-\frac{24\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{20\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!27}a-\frac{23\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{96\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!27}a+\frac{50\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{18\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{98\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!99}a-\frac{21\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{24\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{95\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!99}a-\frac{48\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{10\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!99}a-\frac{12\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{84\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{74\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!99}a-\frac{96\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{29\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!46}{36\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!99}a-\frac{34\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{34\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{92\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!99}a-\frac{34\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{98\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{63\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!99}a-\frac{11\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{15\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{83\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!99}a-\frac{17\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{57\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{88\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!99}a-\frac{64\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!39}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 559957546560 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{17}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 559957546560 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{15400296222263289476715621650663041}}\cr\approx \mathstrut & 0.295713053238789 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^17 - x^16 - 64*x^15 + 43*x^14 + 1478*x^13 - 932*x^12 - 16008*x^11 + 12183*x^10 + 86347*x^9 - 84507*x^8 - 213223*x^7 + 271237*x^6 + 152800*x^5 - 314540*x^4 + 100605*x^3 + 20132*x^2 - 13981*x + 1681)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^17 - x^16 - 64*x^15 + 43*x^14 + 1478*x^13 - 932*x^12 - 16008*x^11 + 12183*x^10 + 86347*x^9 - 84507*x^8 - 213223*x^7 + 271237*x^6 + 152800*x^5 - 314540*x^4 + 100605*x^3 + 20132*x^2 - 13981*x + 1681, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^17 - x^16 - 64*x^15 + 43*x^14 + 1478*x^13 - 932*x^12 - 16008*x^11 + 12183*x^10 + 86347*x^9 - 84507*x^8 - 213223*x^7 + 271237*x^6 + 152800*x^5 - 314540*x^4 + 100605*x^3 + 20132*x^2 - 13981*x + 1681);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^17 - x^16 - 64*x^15 + 43*x^14 + 1478*x^13 - 932*x^12 - 16008*x^11 + 12183*x^10 + 86347*x^9 - 84507*x^8 - 213223*x^7 + 271237*x^6 + 152800*x^5 - 314540*x^4 + 100605*x^3 + 20132*x^2 - 13981*x + 1681);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 17 |
| The 17 conjugacy class representatives for $C_{17}$ |
| Character table for $C_{17}$ |
Intermediate fields
| The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ | ${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{17}$ | ${\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{17}$ | $17$ | $17$ | $17$ | $17$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(137\)
| 137.17.16.1 | $x^{17} + 137$ | $17$ | $1$ | $16$ | $C_{17}$ | $[\ ]_{17}$ |