Normalized defining polynomial
\( x^{16} - 2 x^{15} - 78 x^{14} + 159 x^{13} + 2362 x^{12} - 5016 x^{11} - 34929 x^{10} + 79762 x^{9} + 256088 x^{8} - 659347 x^{7} - 785803 x^{6} + 2560624 x^{5} + \cdots - 317375 \)
Invariants
Degree: | $16$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[16, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(440166027395300672133281640625\) \(\medspace = 5^{8}\cdot 101^{12}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(71.24\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $5^{1/2}101^{3/4}\approx 71.24034803863643$ | ||
Ramified primes: | \(5\), \(101\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $16$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $\frac{1}{5}a^{10}-\frac{2}{5}a^{6}+\frac{1}{5}a^{2}$, $\frac{1}{5}a^{11}-\frac{2}{5}a^{7}+\frac{1}{5}a^{3}$, $\frac{1}{5}a^{12}-\frac{2}{5}a^{8}+\frac{1}{5}a^{4}$, $\frac{1}{65}a^{13}+\frac{6}{65}a^{12}-\frac{1}{13}a^{11}-\frac{27}{65}a^{9}+\frac{1}{5}a^{8}-\frac{2}{13}a^{7}-\frac{5}{13}a^{6}+\frac{6}{65}a^{5}-\frac{19}{65}a^{4}+\frac{2}{13}a^{3}+\frac{4}{13}a^{2}-\frac{3}{13}a-\frac{1}{13}$, $\frac{1}{325}a^{14}+\frac{2}{325}a^{13}+\frac{2}{65}a^{12}-\frac{6}{325}a^{11}-\frac{27}{325}a^{10}+\frac{121}{325}a^{9}+\frac{24}{65}a^{8}+\frac{2}{325}a^{7}-\frac{24}{325}a^{6}-\frac{108}{325}a^{5}-\frac{1}{65}a^{4}+\frac{149}{325}a^{3}-\frac{19}{65}a^{2}+\frac{24}{65}a+\frac{6}{13}$, $\frac{1}{39\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!98}{79\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!47}{79\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!09}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!01}{79\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!15}a+\frac{10\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!23}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $5$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $15$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{71\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!73}{98\!\cdots\!45}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!86}{64\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!25}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!39}{64\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!79}{64\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{89\!\cdots\!08}{64\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!28}{98\!\cdots\!45}a+\frac{10\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!77}$, $\frac{16\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{86\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!98}{79\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{95\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!68}{30\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!99}{30\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!37}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!62}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!14}{61\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!59}{79\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!15}a+\frac{17\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{38\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!06}{30\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{92\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!55}a^{13}-\frac{92\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!88}{79\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!12}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{99\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!17}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!42}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!59}{79\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!55}a+\frac{43\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{24\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!55}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!74}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!34}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!88}{79\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!55}a+\frac{23\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{72\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!84}{79\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!76}{79\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!44}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!61}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!67}{79\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!15}a+\frac{42\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{55\!\cdots\!68}{79\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!15}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!12}{79\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!73}{79\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!55}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!31}{79\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!74}{79\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!56}{79\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!15}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!72}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!82}{79\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!96}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!15}a+\frac{31\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{50\!\cdots\!92}{39\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{86\!\cdots\!44}{39\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!16}{79\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!62}{79\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{97\!\cdots\!97}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!36}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!69}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!15}a+\frac{59\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{71\!\cdots\!78}{30\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!67}{79\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!89}{79\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!44}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!28}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!89}{79\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!15}a+\frac{13\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{87\!\cdots\!58}{79\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!96}{79\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!43}{79\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!54}{79\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!93}{79\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!15}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!69}{79\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!93}{79\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!54}{79\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!15}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!72}{79\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!55}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!15}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!23}a+\frac{47\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{14\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!25}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!25}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!25}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!25}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!53}{77\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!85}a^{2}-\frac{93\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!85}a+\frac{81\!\cdots\!53}{40\!\cdots\!37}$, $\frac{45\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!52}{79\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!13}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!38}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!53}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!66}{79\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!15}a+\frac{42\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{58\!\cdots\!17}{79\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!26}{79\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!01}{79\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!47}{79\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!09}{79\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!28}{79\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!68}{79\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{90\!\cdots\!54}{79\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!11}{79\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!29}{79\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{57\!\cdots\!51}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!33}{79\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!88}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!15}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!15}a+\frac{34\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{30\!\cdots\!13}{30\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!13}{30\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!92}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!77}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!29}{79\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!15}a+\frac{41\!\cdots\!28}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{22\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!86}{79\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!26}{79\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!93}{79\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!15}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!22}{61\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!15}a+\frac{13\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!23}$, $\frac{53\!\cdots\!49}{61\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!61}{79\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!02}{61\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!07}{79\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!89}{79\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!73}{79\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!68}{79\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!99}{79\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!66}{79\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!23}{61\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!76}{79\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!73}{79\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{83\!\cdots\!08}{79\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!15}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!15}a+\frac{43\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!23}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 18951197490.7 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{16}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 18951197490.7 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{440166027395300672133281640625}}\cr\approx \mathstrut & 0.936005352737 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$\SD_{16}$ (as 16T12):
A solvable group of order 16 |
The 7 conjugacy class representatives for $QD_{16}$ |
Character table for $QD_{16}$ |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{505}) \), \(\Q(\sqrt{101}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{101})\), 4.4.51005.1 x2, 4.4.2525.1 x2, 8.8.65037750625.1, 8.8.132690018825125.1 x4 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/3.8.0.1}{8} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/7.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{8}$ | ${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{8}$ | ${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{8}$ | ${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{8}$ | ${\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{8}$ | ${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{8}$ | ${\href{/padicField/53.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(5\) | 5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |
5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
\(101\) | 101.4.3.1 | $x^{4} + 404$ | $4$ | $1$ | $3$ | $C_4$ | $[\ ]_{4}$ |
101.4.3.1 | $x^{4} + 404$ | $4$ | $1$ | $3$ | $C_4$ | $[\ ]_{4}$ | |
101.4.3.1 | $x^{4} + 404$ | $4$ | $1$ | $3$ | $C_4$ | $[\ ]_{4}$ | |
101.4.3.1 | $x^{4} + 404$ | $4$ | $1$ | $3$ | $C_4$ | $[\ ]_{4}$ |