Normalized defining polynomial
\( x^{16} - 6 x^{15} - 54 x^{14} + 316 x^{13} + 1129 x^{12} - 5904 x^{11} - 12476 x^{10} + 49215 x^{9} + 76870 x^{8} - 187170 x^{7} - 241469 x^{6} + 304908 x^{5} + \cdots + 30259 \)
Invariants
Degree: | $16$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[16, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(10483151353726139536553735554369\) \(\medspace = 17^{14}\cdot 53^{8}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(86.85\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $17^{7/8}53^{1/2}\approx 86.8521834484431$ | ||
Ramified primes: | \(17\), \(53\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $8$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{26}a^{14}+\frac{2}{13}a^{13}-\frac{3}{13}a^{12}-\frac{11}{26}a^{11}-\frac{2}{13}a^{10}+\frac{11}{26}a^{8}-\frac{5}{13}a^{7}+\frac{1}{13}a^{6}+\frac{9}{26}a^{5}+\frac{4}{13}a^{4}+\frac{1}{13}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{3}{13}a+\frac{6}{13}$, $\frac{1}{59\!\cdots\!18}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!35}{29\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!18}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!21}{29\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!18}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!18}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!18}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!90}{29\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!18}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!18}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!35}{29\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!18}a+\frac{76\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!09}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
$C_{2}$, which has order $2$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $15$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{11\!\cdots\!10}{42\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!66}{42\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!12}{42\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{94\!\cdots\!97}{42\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!40}{42\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!89}{42\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!03}{42\!\cdots\!09}a-\frac{15\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!93}$, $\frac{10\!\cdots\!92}{42\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!85}{42\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!97}{42\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!80}{42\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!13}{42\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!26}{42\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!03}{42\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!04}{42\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!41}{42\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!92}{42\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!65}{42\!\cdots\!09}a-\frac{30\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!93}$, $\frac{26\!\cdots\!18}{42\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!97}{42\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!19}{42\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!54}{42\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!92}{42\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!64}{42\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!52}{42\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!62}{42\!\cdots\!09}a+\frac{21\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!93}$, $\frac{76\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!86}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!86}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!86}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!86}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!86}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!86}a+\frac{11\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!86}$, $\frac{65\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!18}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!86}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!78}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{86\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!18}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!18}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!86}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!86}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!98}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!18}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!34}{29\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!18}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!18}a-\frac{19\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!18}$, $\frac{43\!\cdots\!10}{29\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!18}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!68}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!18}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!18}{29\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{65\!\cdots\!89}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!86}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!80}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!18}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!62}{29\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!66}{29\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!18}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!73}{29\!\cdots\!09}a-\frac{75\!\cdots\!43}{29\!\cdots\!09}$, $\frac{72\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!18}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!98}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!18}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!18}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!18}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!46}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!18}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!18}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!18}a-\frac{28\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!18}$, $\frac{29\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!51}{29\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!99}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!50}{29\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!86}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!62}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!20}{29\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{99\!\cdots\!04}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!92}{29\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!11}{29\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!18}a-\frac{11\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!86}$, $\frac{36\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!76}{29\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!19}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!86}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!18}a-\frac{12\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!86}$, $\frac{41\!\cdots\!87}{59\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!87}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!49}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!15}{29\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!86}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!51}{29\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!96}{29\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!18}a-\frac{37\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!86}$, $\frac{33\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!18}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!18}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!86}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!28}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!07}{59\!\cdots\!18}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!92}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!18}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!13}{59\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!18}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!18}a+\frac{12\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!86}$, $\frac{55\!\cdots\!45}{29\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!72}{29\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!87}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!87}{59\!\cdots\!18}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!10}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!27}{29\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!23}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!77}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!86}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!60}{29\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!18}a+\frac{27\!\cdots\!67}{29\!\cdots\!09}$, $\frac{31\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!86}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!01}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!48}{29\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!18}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!04}{29\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!64}{29\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!23}{59\!\cdots\!18}a-\frac{93\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!18}$, $\frac{59\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!19}{59\!\cdots\!18}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!25}{29\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!18}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!23}{59\!\cdots\!18}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!25}{29\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!18}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!18}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!18}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!18}a+\frac{76\!\cdots\!14}{29\!\cdots\!09}$, $\frac{10\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!18}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!78}{29\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!18}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!86}{29\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!86}{22\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!18}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!62}{29\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!46}{29\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!18}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!33}{29\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!05}{29\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!18}a+\frac{29\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!18}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 7359535457.67 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{16}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 7359535457.67 \cdot 2}{2\cdot\sqrt{10483151353726139536553735554369}}\cr\approx \mathstrut & 0.148965056137 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^2:C_8$ (as 16T24):
A solvable group of order 32 |
The 20 conjugacy class representatives for $C_2^2 : C_8$ |
Character table for $C_2^2 : C_8$ |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, 4.4.15317.1, 4.4.260389.1, 8.8.3237769502871713.1, 8.8.1152641332457.1, 8.8.67802431321.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Galois closure: | deg 32 |
Degree 16 sibling: | 16.16.1328582041288248401656849.1 |
Minimal sibling: | 16.16.1328582041288248401656849.1 |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/3.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{8}$ | R | ${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{8}$ | R | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(17\) | 17.16.14.1 | $x^{16} + 128 x^{15} + 7192 x^{14} + 232064 x^{13} + 4716796 x^{12} + 62185088 x^{11} + 525781480 x^{10} + 2696730752 x^{9} + 7365142088 x^{8} + 8090194432 x^{7} + 4732152320 x^{6} + 1682759680 x^{5} + 456414056 x^{4} + 996830464 x^{3} + 7439529968 x^{2} + 33582546688 x + 66368009604$ | $8$ | $2$ | $14$ | $C_8\times C_2$ | $[\ ]_{8}^{2}$ |
\(53\) | 53.4.2.2 | $x^{4} - 2597 x^{2} + 5618$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |
53.4.2.2 | $x^{4} - 2597 x^{2} + 5618$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
53.8.4.1 | $x^{8} + 9752 x^{7} + 35663294 x^{6} + 57966048984 x^{5} + 35333436724405 x^{4} + 3595233169984 x^{3} + 320278224174124 x^{2} + 1356456509257952 x + 99990743929156$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ |