↑

Properties

Label 15.15.4315329869...8656.1
Degree $15$
Signature $[15, 0]$
Discriminant $2^{10}\cdot 3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 977547178695646393504916980083487159487552097671798896957150836883645343997367458889813569049429761155337599685348473798249570104877947656554052472955002484858614091637694418970916278041120102547864225234634878614301386159441735398603^{2}$
Root discriminant $37{,}641{,}558{,}797{,}289{,}460{,}116{,}612{,}257{,}160{,}073.58$
Ramified primes $2, 3, 7, 977547178695646393504916980083487159487552097671798896957150836883645343997367458889813569049429761155337599685348473798249570104877947656554052472955002484858614091637694418970916278041120102547864225234634878614301386159441735398603$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group 15T103

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-1862350565305131754269801165431480203311311924697970220537624869577538866666332472102888016379856454708485963606152069180692473824996257515779272821974830524382348895683501928468108135725683587089319830991007586025083385087714, -358331498044011683369137838394734568793729144619439502957388771960860030308117563213045826031148746131597994434418962819750273523632124215559085747527434382566893137231273783971944896294857796980202840024296104890, 31992975519327851261488244855753113589281871346020951017875261661894469373179907643763080708058286539443485194979412502463061900571306134152629483321798484323534654221589039563992238039205359337537566, 48289058906863954886809276340245314233430190534546012632817767554693810252556657379376803536031751623918227207510936156431241415033549082989120174149268391864347529638405486389804966075, -185939728326540812216443307316257995548796349515614730102904984029787308882837162776107862941289526967590997258789803550527271245670461242543150905101802499111703704829969, -38578699046534874013040340436824895294135877847715385855724581279195106788112634318355399287835903754765629284615351410300699246590743479564498441342192476, 326683869846098044978092609526116450102068872868419127712422323820121517610943957757948356312839662926743742685869776163380748480058707484531, -199381466159240057619705724838804936403878218727037546105365546281797527608452154038159494907307983910975648507019999418706044, -33697709243721905054152252591855334721489853448734037787055716415386872089045941472773485428938880790887566657, 64602056789898574256926262206136858080967125931084643922590575676076508148167756527778331169331, -14362008159569853844540720730083793432812116474852958151205155011697664776172820, -3507023244192976964558416481099406573730496697448620459346328930, 1838670156860300310069312728919884823738949256286, -221584162646793998513255353501399, -5, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^15 - 5*x^14 - 221584162646793998513255353501399*x^13 + 1838670156860300310069312728919884823738949256286*x^12 - 3507023244192976964558416481099406573730496697448620459346328930*x^11 - 14362008159569853844540720730083793432812116474852958151205155011697664776172820*x^10 + 64602056789898574256926262206136858080967125931084643922590575676076508148167756527778331169331*x^9 - 33697709243721905054152252591855334721489853448734037787055716415386872089045941472773485428938880790887566657*x^8 - 199381466159240057619705724838804936403878218727037546105365546281797527608452154038159494907307983910975648507019999418706044*x^7 + 326683869846098044978092609526116450102068872868419127712422323820121517610943957757948356312839662926743742685869776163380748480058707484531*x^6 - 38578699046534874013040340436824895294135877847715385855724581279195106788112634318355399287835903754765629284615351410300699246590743479564498441342192476*x^5 - 185939728326540812216443307316257995548796349515614730102904984029787308882837162776107862941289526967590997258789803550527271245670461242543150905101802499111703704829969*x^4 + 48289058906863954886809276340245314233430190534546012632817767554693810252556657379376803536031751623918227207510936156431241415033549082989120174149268391864347529638405486389804966075*x^3 + 31992975519327851261488244855753113589281871346020951017875261661894469373179907643763080708058286539443485194979412502463061900571306134152629483321798484323534654221589039563992238039205359337537566*x^2 - 358331498044011683369137838394734568793729144619439502957388771960860030308117563213045826031148746131597994434418962819750273523632124215559085747527434382566893137231273783971944896294857796980202840024296104890*x - 1862350565305131754269801165431480203311311924697970220537624869577538866666332472102888016379856454708485963606152069180692473824996257515779272821974830524382348895683501928468108135725683587089319830991007586025083385087714)
 
gp: K = bnfinit(x^15 - 5*x^14 - 221584162646793998513255353501399*x^13 + 1838670156860300310069312728919884823738949256286*x^12 - 3507023244192976964558416481099406573730496697448620459346328930*x^11 - 14362008159569853844540720730083793432812116474852958151205155011697664776172820*x^10 + 64602056789898574256926262206136858080967125931084643922590575676076508148167756527778331169331*x^9 - 33697709243721905054152252591855334721489853448734037787055716415386872089045941472773485428938880790887566657*x^8 - 199381466159240057619705724838804936403878218727037546105365546281797527608452154038159494907307983910975648507019999418706044*x^7 + 326683869846098044978092609526116450102068872868419127712422323820121517610943957757948356312839662926743742685869776163380748480058707484531*x^6 - 38578699046534874013040340436824895294135877847715385855724581279195106788112634318355399287835903754765629284615351410300699246590743479564498441342192476*x^5 - 185939728326540812216443307316257995548796349515614730102904984029787308882837162776107862941289526967590997258789803550527271245670461242543150905101802499111703704829969*x^4 + 48289058906863954886809276340245314233430190534546012632817767554693810252556657379376803536031751623918227207510936156431241415033549082989120174149268391864347529638405486389804966075*x^3 + 31992975519327851261488244855753113589281871346020951017875261661894469373179907643763080708058286539443485194979412502463061900571306134152629483321798484323534654221589039563992238039205359337537566*x^2 - 358331498044011683369137838394734568793729144619439502957388771960860030308117563213045826031148746131597994434418962819750273523632124215559085747527434382566893137231273783971944896294857796980202840024296104890*x - 1862350565305131754269801165431480203311311924697970220537624869577538866666332472102888016379856454708485963606152069180692473824996257515779272821974830524382348895683501928468108135725683587089319830991007586025083385087714, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{15} - 5 x^{14} - 221584162646793998513255353501399 x^{13} + 1838670156860300310069312728919884823738949256286 x^{12} - 3507023244192976964558416481099406573730496697448620459346328930 x^{11} - 14362008159569853844540720730083793432812116474852958151205155011697664776172820 x^{10} + 64602056789898574256926262206136858080967125931084643922590575676076508148167756527778331169331 x^{9} - 33697709243721905054152252591855334721489853448734037787055716415386872089045941472773485428938880790887566657 x^{8} - 199381466159240057619705724838804936403878218727037546105365546281797527608452154038159494907307983910975648507019999418706044 x^{7} + 326683869846098044978092609526116450102068872868419127712422323820121517610943957757948356312839662926743742685869776163380748480058707484531 x^{6} - 38578699046534874013040340436824895294135877847715385855724581279195106788112634318355399287835903754765629284615351410300699246590743479564498441342192476 x^{5} - 185939728326540812216443307316257995548796349515614730102904984029787308882837162776107862941289526967590997258789803550527271245670461242543150905101802499111703704829969 x^{4} + 48289058906863954886809276340245314233430190534546012632817767554693810252556657379376803536031751623918227207510936156431241415033549082989120174149268391864347529638405486389804966075 x^{3} + 31992975519327851261488244855753113589281871346020951017875261661894469373179907643763080708058286539443485194979412502463061900571306134152629483321798484323534654221589039563992238039205359337537566 x^{2} - 358331498044011683369137838394734568793729144619439502957388771960860030308117563213045826031148746131597994434418962819750273523632124215559085747527434382566893137231273783971944896294857796980202840024296104890 x - 1862350565305131754269801165431480203311311924697970220537624869577538866666332472102888016379856454708485963606152069180692473824996257515779272821974830524382348895683501928468108135725683587089319830991007586025083385087714 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $15$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[15, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(431532986961854205735874241029661581690455119624232177801097211087990472711550735083550534089110553064091402242211293328818448378974307265640623377940520672532467690296186809943357180629442250896108584696392315609021997633267631803439697222801825179130186002190622948033960046439233895044210346185656226184395607854142786751149048059337801906275823022394631513068587659280498372612497973916926940364038931211261491471566855557777900370863182685381050435023494677308476998656=2^{10}\cdot 3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 977547178695646393504916980083487159487552097671798896957150836883645343997367458889813569049429761155337599685348473798249570104877947656554052472955002484858614091637694418970916278041120102547864225234634878614301386159441735398603^{2}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $37{,}641{,}558{,}797{,}289{,}460{,}116{,}612{,}257{,}160{,}073.58$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 7, 977547178695646393504916980083487159487552097671798896957150836883645343997367458889813569049429761155337599685348473798249570104877947656554052472955002484858614091637694418970916278041120102547864225234634878614301386159441735398603$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $\frac{1}{1606867914263049} a^{2} - \frac{29373517725826}{535622638087683} a - \frac{780553314014770}{1606867914263049}$, $\frac{1}{2582024493888081391888766776401} a^{3} + \frac{660289295957581}{2582024493888081391888766776401} a^{2} - \frac{584911527420120318928555477204}{2582024493888081391888766776401} a - \frac{1198026033533802541926894886465}{2582024493888081391888766776401}$, $\frac{1}{4148972313070046056739285112082927509279506649} a^{4} - \frac{198168769170409}{4148972313070046056739285112082927509279506649} a^{3} - \frac{127971355428065339250992363266}{460996923674449561859920568009214167697722961} a^{2} + \frac{96792469058957016542982932952161303669171350}{4148972313070046056739285112082927509279506649} a - \frac{1903327638812856876354495075043294738210882144}{4148972313070046056739285112082927509279506649}$, $\frac{1}{6666850487038002861057343255083162131297478490416225130512801} a^{5} + \frac{6793099752650}{82306796136271640259967200680039038657993561610076853463121} a^{4} + \frac{1281970836397387207876208237876}{6666850487038002861057343255083162131297478490416225130512801} a^{3} + \frac{939700398987801136744125934373997549657933085}{6666850487038002861057343255083162131297478490416225130512801} a^{2} + \frac{727194418212194156607531100336851903753471818048866954453693}{2222283495679334287019114418361054043765826163472075043504267} a - \frac{586336067993169850638172926480447678337731147367449017698048}{6666850487038002861057343255083162131297478490416225130512801}$, $\frac{1}{10712748136810348049838104605275723716348144090830659086646979897523375790249} a^{6} - \frac{308216985163340}{10712748136810348049838104605275723716348144090830659086646979897523375790249} a^{5} + \frac{809611943536998144649282684376}{10712748136810348049838104605275723716348144090830659086646979897523375790249} a^{4} - \frac{53605934925470301378512712595389670882605385}{3570916045603449349946034868425241238782714696943553028882326632507791930083} a^{3} + \frac{1374889868321514493301981883779656110125796859717301482811929}{10712748136810348049838104605275723716348144090830659086646979897523375790249} a^{2} - \frac{2743195807123396900315066302714194521710290813250251823607669892003175760825}{10712748136810348049838104605275723716348144090830659086646979897523375790249} a - \frac{55593334455416533133139461460442096409402529507291932482884280534230632188}{10712748136810348049838104605275723716348144090830659086646979897523375790249}$, $\frac{1}{17213971254621808269097148428955059141241843840866150648754491884416722037379138648835209201} a^{7} + \frac{440192863971719}{17213971254621808269097148428955059141241843840866150648754491884416722037379138648835209201} a^{6} + \frac{64326590685560015234938571924}{1912663472735756474344127603217228793471315982318461183194943542712969115264348738759467689} a^{5} + \frac{445103747744055782696875106404175276645322029}{17213971254621808269097148428955059141241843840866150648754491884416722037379138648835209201} a^{4} + \frac{1254532239310569437880653030243726519730303480294789485733784}{17213971254621808269097148428955059141241843840866150648754491884416722037379138648835209201} a^{3} - \frac{63489432896132263118740114952705710067322934810632297781198481212865127482}{637554490911918824781375867739076264490438660772820394398314514237656371754782912919822563} a^{2} + \frac{5444758528618945536289706980050373510328606805366290025242072056327423856302363209123869248}{17213971254621808269097148428955059141241843840866150648754491884416722037379138648835209201} a - \frac{3670225216355516861472390943454166986923643947741885674969619513798119026858904831609005002}{17213971254621808269097148428955059141241843840866150648754491884416722037379138648835209201}$, $\frac{1}{27660578086098225836829097602761128879122112334130865226669877134446847582625180862981156181001929659113849} a^{8} - \frac{139421733718757}{9220192695366075278943032534253709626374037444710288408889959044815615860875060287660385393667309886371283} a^{7} + \frac{201052201881729744990971832506}{27660578086098225836829097602761128879122112334130865226669877134446847582625180862981156181001929659113849} a^{6} - \frac{51891377441798527459331312374766117279652811}{27660578086098225836829097602761128879122112334130865226669877134446847582625180862981156181001929659113849} a^{5} + \frac{290809779080330122246957148408652019650616748773246944747358}{9220192695366075278943032534253709626374037444710288408889959044815615860875060287660385393667309886371283} a^{4} - \frac{121355565521513350400282869015513691290238019334955834523506887686712411138}{1202633829830357645079525982728744733874874449310037618550864223236819460114138298390485051347909985178863} a^{3} + \frac{6916339953061296185918439742322484668002937300203966592808507328938091245776850759027241108}{27660578086098225836829097602761128879122112334130865226669877134446847582625180862981156181001929659113849} a^{2} + \frac{507320863983420712553085390662108555746054374693367977183665213688497922315176522050267560071536724818502}{1024465855040675030993670281583745514041559716078920934321106560535068428986117809740042821518589987374587} a + \frac{3935037597408722792774367357974383688136383857574805652058604226197058064054420008691768254072223872392938}{27660578086098225836829097602761128879122112334130865226669877134446847582625180862981156181001929659113849}$, $\frac{1}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a^{9} + \frac{330144647978788}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a^{8} - \frac{111981594214080139325071972483}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a^{7} + \frac{98578070636778256182114960783038299040775043}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a^{6} + \frac{833593319278363526970699076770455689990245458233132666241225}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a^{5} - \frac{2138243298329277948365084848965189998193912704219236208148715907675659183808}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a^{4} + \frac{4827394841937217980506852889897803427669441258504429029420876062101488877360038395975836842}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a^{3} - \frac{8786657817708480873927791039443069661135418324232002826957809384833329289176290337801443467882105240208923}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a^{2} + \frac{13255834248751848097090275302387601975813020006895174777190858798275314493007549190123775720639883625371958099123455966028}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601} a + \frac{5797053751939324542148691004099464569193271330432001625154933263953315784241951673623667787340910422632240718097122308417}{44446895416518855954496528647603233097588818988142726937174952604675188029307975826933221454701107293571378226041224865601}$, $\frac{1}{71420290133409526601688184448189805631401686860288135613821881323020220143919081516508044309514570740748897712650540948775127385985477449} a^{10} - \frac{528313417149202}{71420290133409526601688184448189805631401686860288135613821881323020220143919081516508044309514570740748897712650540948775127385985477449} a^{9} - \frac{4881443579386566177099963563}{881731976955673167922076351212219822609897368645532538442245448432348396838507179216148695179192231367270342131488159861421325752907129} a^{8} + \frac{64903191111915070861835589766247895397958071}{23806763377803175533896061482729935210467228953429378537940627107673406714639693838836014769838190246916299237550180316258375795328492483} a^{7} + \frac{249656059831821513357908376973449617714729762274944024495885}{23806763377803175533896061482729935210467228953429378537940627107673406714639693838836014769838190246916299237550180316258375795328492483} a^{6} - \frac{105698081714837063223309786589771170882482567145590411551766940531759206354}{2645195930867019503766229053636659467829692105936597615326736345297045190515521537648446085537576694101811026394464479584263977258721387} a^{5} + \frac{2220995682197953806886892609170841631898465240405410255819726664906802685638247008810474254}{23806763377803175533896061482729935210467228953429378537940627107673406714639693838836014769838190246916299237550180316258375795328492483} a^{4} - \frac{4310257951108914712925485406623156046926971395782097184053421530395123730547393589649958488107361109205501}{23806763377803175533896061482729935210467228953429378537940627107673406714639693838836014769838190246916299237550180316258375795328492483} a^{3} + \frac{770326352514207320603716452403194674441105755941097952830149767453352026861721135300469356837779706943048184560436704474}{2645195930867019503766229053636659467829692105936597615326736345297045190515521537648446085537576694101811026394464479584263977258721387} a^{2} + \frac{18205184855547849977827622267996491482555579760902529575171707935662620960650582357542315596737661801957149496436089521733706876655560919}{71420290133409526601688184448189805631401686860288135613821881323020220143919081516508044309514570740748897712650540948775127385985477449} a - \frac{32135202644422124786827420876121694823020017922503292719000514541406278128820062514903100341317812040037367600065008397306525414947082876}{71420290133409526601688184448189805631401686860288135613821881323020220143919081516508044309514570740748897712650540948775127385985477449}$, $\frac{1}{114762972642733583617485444385757469281907761642806988239643009794157293382619180189865008197685173186366114384109402939744881943837105466524765243482001} a^{11} + \frac{73365477328619}{38254324214244527872495148128585823093969253880935662746547669931385764460873060063288336065895057728788704794703134313248293981279035155508255081160667} a^{10} - \frac{790791894754973621442349121521}{114762972642733583617485444385757469281907761642806988239643009794157293382619180189865008197685173186366114384109402939744881943837105466524765243482001} a^{9} - \frac{33736461113954993765911463427640555680132788}{38254324214244527872495148128585823093969253880935662746547669931385764460873060063288336065895057728788704794703134313248293981279035155508255081160667} a^{8} + \frac{1440725832368472336863880135887738180310739283115643104382}{184803498619538781992730184196066778231735525994858274137911448943892581936584831223615150076787718496563791278759102962552144837096788190861135657781} a^{7} - \frac{764437681359146767017818406168800285053697345931383263146393205810078124971}{38254324214244527872495148128585823093969253880935662746547669931385764460873060063288336065895057728788704794703134313248293981279035155508255081160667} a^{6} + \frac{1509046313687356704002928422917092861192806325888382210166928241543778878660924384037790280}{38254324214244527872495148128585823093969253880935662746547669931385764460873060063288336065895057728788704794703134313248293981279035155508255081160667} a^{5} - \frac{882680969221842220120772501903351205697640913971986859602804740716731156626810271080597926429966540311505}{12751441404748175957498382709528607697989751293645220915515889977128588153624353354429445355298352576262901598234378104416097993759678385169418360386889} a^{4} + \frac{3707097669705254513960188277993209119452783394583373155307667228002733721766563678006730385774785195513180063616395580707}{38254324214244527872495148128585823093969253880935662746547669931385764460873060063288336065895057728788704794703134313248293981279035155508255081160667} a^{3} + \frac{33771220245835640784149957596369806234107849829673259974885404915660379525718069471491066563138831610466094583294875695189490479635518001}{114762972642733583617485444385757469281907761642806988239643009794157293382619180189865008197685173186366114384109402939744881943837105466524765243482001} a^{2} - \frac{173456402063761158041696042787052219889833014598150301921006845250563479208896483322102531830593972388128129354509352315841436055948318873020994778127}{38254324214244527872495148128585823093969253880935662746547669931385764460873060063288336065895057728788704794703134313248293981279035155508255081160667} a + \frac{45256717191716707167627758184929276503124477723921314327570797859339220371716129338066860636164653544192908329833549433133228714383879040138712155520821}{114762972642733583617485444385757469281907761642806988239643009794157293382619180189865008197685173186366114384109402939744881943837105466524765243482001}$, $\frac{1}{368817876970113331911743672765002089270334638857046066179272861404137906977917135590166204787942148816195477164359382144397840950333492534474106223994996031897221762098} a^{12} - \frac{638361633142133}{368817876970113331911743672765002089270334638857046066179272861404137906977917135590166204787942148816195477164359382144397840950333492534474106223994996031897221762098} a^{11} + \frac{801144520994477360264921408725}{184408938485056665955871836382501044635167319428523033089636430702068953488958567795083102393971074408097738582179691072198920475166746267237053111997498015948610881049} a^{10} - \frac{393232943490282168379281879974111469450753788}{184408938485056665955871836382501044635167319428523033089636430702068953488958567795083102393971074408097738582179691072198920475166746267237053111997498015948610881049} a^{9} - \frac{13116601530312968972661146619410044836173719565822305329407}{122939292323371110637247890921667363090111546285682022059757620468045968992639045196722068262647382938731825721453127381465946983444497511491368741331665343965740587366} a^{8} - \frac{426437106618358910367604233471843325539149433503147740390130069336968621880}{61469646161685555318623945460833681545055773142841011029878810234022984496319522598361034131323691469365912860726563690732973491722248755745684370665832671982870293683} a^{7} - \frac{488014725022676854520636598465881153465964899849665447305733550481908581763182800228494102}{20489882053895185106207981820277893848351924380947003676626270078007661498773174199453678043774563823121970953575521230244324497240749585248561456888610890660956764561} a^{6} + \frac{2294503796578856213441949991250535037042566363150009607100107042038684260652312591032736370825512005697881}{61469646161685555318623945460833681545055773142841011029878810234022984496319522598361034131323691469365912860726563690732973491722248755745684370665832671982870293683} a^{5} - \frac{1336425940478427052767745746531358447430823770577860412703833378472132647879577523522751486810346929334727225241366710849}{61469646161685555318623945460833681545055773142841011029878810234022984496319522598361034131323691469365912860726563690732973491722248755745684370665832671982870293683} a^{4} - \frac{33547454329057531940294788736085585024754820011908858684114424829614208806719533801583046644765027797228361254480644251803981958955984253}{368817876970113331911743672765002089270334638857046066179272861404137906977917135590166204787942148816195477164359382144397840950333492534474106223994996031897221762098} a^{3} + \frac{15275074374797080625207636107229962239060953144919166490112045802190184962431199597555916336764042438847229676761662818612689173805738109248803116182994}{184408938485056665955871836382501044635167319428523033089636430702068953488958567795083102393971074408097738582179691072198920475166746267237053111997498015948610881049} a^{2} + \frac{65676115144611102263123696712099787535607918721418753960209836235927437766195443708797824576910036166823249505988299209071747203804403589223960024178222306138387064021}{184408938485056665955871836382501044635167319428523033089636430702068953488958567795083102393971074408097738582179691072198920475166746267237053111997498015948610881049} a - \frac{63559038596571751847006621758657001865682914065866412185002536361928022286972443889435274668095913061151546415742664973613706475358573497272218623301296906048490817183}{184408938485056665955871836382501044635167319428523033089636430702068953488958567795083102393971074408097738582179691072198920475166746267237053111997498015948610881049}$, $\frac{1}{592641612709891823711724529404649780768625437802637212980101243503669736473428824023259653000755043024220990111280199605304976587667864417349255032866135188328625906452349810870116802} a^{13} + \frac{55024107996463}{296320806354945911855862264702324890384312718901318606490050621751834868236714412011629826500377521512110495055640099802652488293833932208674627516433067594164312953226174905435058401} a^{12} + \frac{124948100937271231405709164067}{65849068078876869301302725489405531196513937533626356997789027055963304052603202669251072555639449224913443345697799956144997398629762713038806114762903909814291767383594423430012978} a^{11} + \frac{206351506602573740511499669326653083615235987}{296320806354945911855862264702324890384312718901318606490050621751834868236714412011629826500377521512110495055640099802652488293833932208674627516433067594164312953226174905435058401} a^{10} - \frac{627948620415933424355953331656226774884981711429081651695205}{592641612709891823711724529404649780768625437802637212980101243503669736473428824023259653000755043024220990111280199605304976587667864417349255032866135188328625906452349810870116802} a^{9} - \frac{95854534112131559316984668898862758333832641272205520473723769059884958197}{21949689359625623100434241829801843732171312511208785665929675685321101350867734223083690851879816408304481115232599985381665799543254237679602038254301303271430589127864807810004326} a^{8} - \frac{1783193905697867625480701950337404729584781058369514666666770728397916538743078941907973226}{98773602118315303951954088234108296794770906300439535496683540583944956078904804003876608833459173837370165018546699934217496097944644069558209172144355864721437651075391635145019467} a^{7} + \frac{1198798716389129552398683039241255824833730183024765626517914635044491821141140937764461944251699656931827}{98773602118315303951954088234108296794770906300439535496683540583944956078904804003876608833459173837370165018546699934217496097944644069558209172144355864721437651075391635145019467} a^{6} + \frac{4701275305666355935669130345892124996045910363057400149817088990977889491167889404843187416892257502526343945261140730}{1219427186645867950024124546100102429565072917289376981440537538073394519492651901282427269548878689350248950846255554743425877752403013204422335458572294626190588284881378211666907} a^{5} - \frac{39548620348019365516781785769395696357878955991720939375185798049511342874543089088703592139111326977697174368649239289407984949365314799}{592641612709891823711724529404649780768625437802637212980101243503669736473428824023259653000755043024220990111280199605304976587667864417349255032866135188328625906452349810870116802} a^{4} + \frac{5442903516318931824438391154674937066761507154845084614695277673909139080508097290091935257451529086694658999274150856641140900106109846668862158140061}{592641612709891823711724529404649780768625437802637212980101243503669736473428824023259653000755043024220990111280199605304976587667864417349255032866135188328625906452349810870116802} a^{3} + \frac{704164554879590431764078501565424047818101787498507947189392894576529599711502448913130271115956191352177668284796599920114861843742198752777836690213970412818389}{2706051947023788497628944090137483816738470351509260992758651559791374375466557190320172292086769508708533054397049394104750447876623765638152630671607787861193875539721970223967} a^{2} + \frac{49322274368411234227702246137246602759438311659121770071293428059540766752867328106239834713508162114187706102178600519598247753259712601845649801834376292608436402208468518625333441}{296320806354945911855862264702324890384312718901318606490050621751834868236714412011629826500377521512110495055640099802652488293833932208674627516433067594164312953226174905435058401} a - \frac{26842136524812148815366996378911895451462394591505084737818983164220057562101207223839673214143445389380567491633967899946115180895898867236823228215450094235492233361769890972955975}{296320806354945911855862264702324890384312718901318606490050621751834868236714412011629826500377521512110495055640099802652488293833932208674627516433067594164312953226174905435058401}$, $\frac{1}{952296792120633545515038866242626680859602194070666554908654924894750492794385111395327304828181524871505847167605749437062176289220568207550266911234912278452020251942103197057543275965664382649298} a^{14} - \frac{41578324951948}{52905377340035196973057714791257037825533455226148141939369718049708360710799172855295961379343418048416991509311430524281232016067809344863903717290828459914001125107894622058752404220314687924961} a^{13} + \frac{1030061129863366703838257877863}{952296792120633545515038866242626680859602194070666554908654924894750492794385111395327304828181524871505847167605749437062176289220568207550266911234912278452020251942103197057543275965664382649298} a^{12} - \frac{12014376772675922068740513825103552807498826}{20702104176535511859022584048752753931730482479797099019753367932494575930312719812941897931047424453728387981904472813849177745417838439294571019809454614748956961998741373849077027738384008318463} a^{11} - \frac{327412283534838545871569463502985792804151915869893356549155}{317432264040211181838346288747542226953200731356888851636218308298250164264795037131775768276060508290501949055868583145687392096406856069183422303744970759484006750647367732352514425321888127549766} a^{10} - \frac{2049004863345499254990115172962068325725848851878222424103463949938099583369}{952296792120633545515038866242626680859602194070666554908654924894750492794385111395327304828181524871505847167605749437062176289220568207550266911234912278452020251942103197057543275965664382649298} a^{9} - \frac{1412901965203463445821038005851865505619925888721656985515979042261022268820381611187120091}{158716132020105590919173144373771113476600365678444425818109154149125082132397518565887884138030254145250974527934291572843696048203428034591711151872485379742003375323683866176257212660944063774883} a^{8} + \frac{909865302140848152261753735918301809579538005060289123304834938843429262849890452056918240563422946709189}{52905377340035196973057714791257037825533455226148141939369718049708360710799172855295961379343418048416991509311430524281232016067809344863903717290828459914001125107894622058752404220314687924961} a^{7} - \frac{648315126790355359507934683809612861069512553264355860809237229704294483039895407721121874284652586991001222859307138600}{158716132020105590919173144373771113476600365678444425818109154149125082132397518565887884138030254145250974527934291572843696048203428034591711151872485379742003375323683866176257212660944063774883} a^{6} - \frac{41510042331452026600536684953798078747364772830404262347166254862162489430042050456934459696257414827539203774694781383836700923453206999}{952296792120633545515038866242626680859602194070666554908654924894750492794385111395327304828181524871505847167605749437062176289220568207550266911234912278452020251942103197057543275965664382649298} a^{5} + \frac{4377081735417898982982845176223089282455419821840325092008883323733716774721872453646200477356158046826192467069759425354634532437634328978170303807119}{105810754680070393946115429582514075651066910452296283878739436099416721421598345710591922758686836096833983018622861048562464032135618689727807434581656919828002250215789244117504808440629375849922} a^{4} + \frac{74771879042331049370497907623636013577117747814545729734159489626605426202032407099635355185322559179309343501111195403938665324155827501298741899436606185783696346972}{476148396060316772757519433121313340429801097035333277454327462447375246397192555697663652414090762435752923583802874718531088144610284103775133455617456139226010125971051598528771637982832191324649} a^{3} - \frac{16871822792656892399792009117608807355848953922390061847420349451317849840171154780098535559415567570683962302398370685685343852106082469133905284160554877767618563435086174694535889}{476148396060316772757519433121313340429801097035333277454327462447375246397192555697663652414090762435752923583802874718531088144610284103775133455617456139226010125971051598528771637982832191324649} a^{2} - \frac{48367372132192244280279823284557773488884453087973953228586953136426500724690418141454481166176367950725020920134274100806981915956905148949921456296253778557194475174945457642006403489893506925258}{158716132020105590919173144373771113476600365678444425818109154149125082132397518565887884138030254145250974527934291572843696048203428034591711151872485379742003375323683866176257212660944063774883} a + \frac{179448034315725237726805663904198542569356056873909910002747939302815367215786242896885991389824929004663374391484402899974327348131081655449580921291856263651760330485294433574308785015391780285215}{476148396060316772757519433121313340429801097035333277454327462447375246397192555697663652414090762435752923583802874718531088144610284103775133455617456139226010125971051598528771637982832191324649}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $14$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

15T103:

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A non-solvable group of order 653837184000
The 94 conjugacy class representatives for A15 are not computed
Character table for A15 is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R ${\href{/LocalNumberField/5.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/5.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/5.1.0.1}{1} }$ R ${\href{/LocalNumberField/11.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/11.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/11.1.0.1}{1} }$ ${\href{/LocalNumberField/13.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/13.5.0.1}{5} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/13.4.0.1}{4} }$ ${\href{/LocalNumberField/17.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.3.0.1}{3} }$ ${\href{/LocalNumberField/19.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/19.1.0.1}{1} }$ ${\href{/LocalNumberField/23.7.0.1}{7} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.1.0.1}{1} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.11.0.1}{11} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.1.0.1}{1} }$ $15$ ${\href{/LocalNumberField/37.11.0.1}{11} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.1.0.1}{1} }$ ${\href{/LocalNumberField/41.7.0.1}{7} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.1.0.1}{1} }$ ${\href{/LocalNumberField/43.7.0.1}{7} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/43.5.0.1}{5} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }$ ${\href{/LocalNumberField/53.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.1.0.1}{1} }$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.1.0.1}{1} }$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$2$2.2.0.1$x^{2} - x + 1$$1$$2$$0$$C_2$$[\ ]^{2}$
2.3.0.1$x^{3} - x + 1$$1$$3$$0$$C_3$$[\ ]^{3}$
2.3.0.1$x^{3} - x + 1$$1$$3$$0$$C_3$$[\ ]^{3}$
2.3.2.1$x^{3} - 2$$3$$1$$2$$S_3$$[\ ]_{3}^{2}$
2.4.8.3$x^{4} + 6 x^{2} + 4 x + 14$$4$$1$$8$$C_2^2$$[2, 3]$
$3$$\Q_{3}$$x + 1$$1$$1$$0$Trivial$[\ ]$
$\Q_{3}$$x + 1$$1$$1$$0$Trivial$[\ ]$
3.4.2.1$x^{4} + 9 x^{2} + 36$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
3.9.0.1$x^{9} - x^{3} + x^{2} + 1$$1$$9$$0$$C_9$$[\ ]^{9}$
$7$$\Q_{7}$$x + 2$$1$$1$$0$Trivial$[\ ]$
$\Q_{7}$$x + 2$$1$$1$$0$Trivial$[\ ]$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.0.1$x^{3} - x + 2$$1$$3$$0$$C_3$$[\ ]^{3}$
7.7.0.1$x^{7} - x + 2$$1$$7$$0$$C_7$$[\ ]^{7}$
977547178695646393504916980083487159487552097671798896957150836883645343997367458889813569049429761155337599685348473798249570104877947656554052472955002484858614091637694418970916278041120102547864225234634878614301386159441735398603Data not computed