Normalized defining polynomial
\( x^{11} - x^{10} - 300 x^{9} + 2185 x^{8} + 8376 x^{7} - 135886 x^{6} + 437196 x^{5} + 166743 x^{4} + \cdots + 3691321 \)
Invariants
Degree: | $11$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[11, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(15922622355555940184939928601\) \(\medspace = 661^{10}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(366.29\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $661^{10/11}\approx 366.2853160227791$ | ||
Ramified primes: | \(661\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $11$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(661\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{661}(1,·)$, $\chi_{661}(418,·)$, $\chi_{661}(68,·)$, $\chi_{661}(9,·)$, $\chi_{661}(81,·)$, $\chi_{661}(658,·)$, $\chi_{661}(147,·)$, $\chi_{661}(457,·)$, $\chi_{661}(612,·)$, $\chi_{661}(634,·)$, $\chi_{661}(220,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{61}a^{9}-\frac{26}{61}a^{8}+\frac{12}{61}a^{7}-\frac{2}{61}a^{6}-\frac{22}{61}a^{5}+\frac{28}{61}a^{4}-\frac{26}{61}a^{3}-\frac{20}{61}a-\frac{1}{61}$, $\frac{1}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{83\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!47}a+\frac{78\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!47}$
Monogenic: | No | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $10$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{54\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{98\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!47}a-\frac{14\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{10\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{85\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!47}a-\frac{21\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{14\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!90}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!47}a-\frac{18\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{16\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{96\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!47}a-\frac{32\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{79\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!47}a-\frac{19\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{40\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!47}a-\frac{10\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{26\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!47}a-\frac{29\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{27\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!47}a-\frac{28\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{72\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!47}a-\frac{11\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!47}$, $\frac{62\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!47}a-\frac{14\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!47}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 17494437669.3 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{11}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 17494437669.3 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{15922622355555940184939928601}}\cr\approx \mathstrut & 0.141968713407 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 11 |
The 11 conjugacy class representatives for $C_{11}$ |
Character table for $C_{11}$ |
Intermediate fields
The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/3.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/5.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/7.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/11.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/13.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/17.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/19.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/23.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/29.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/31.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/37.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/41.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/43.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/47.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/53.11.0.1}{11} }$ | ${\href{/padicField/59.11.0.1}{11} }$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(661\) | Deg $11$ | $11$ | $1$ | $10$ |