Properties

 Label 96.9.e.b Level $96$ Weight $9$ Character orbit 96.e Analytic conductor $39.108$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $4$

Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [96,9,Mod(65,96)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(96, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 0, 1]))

N = Newforms(chi, 9, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("96.65");

S:= CuspForms(chi, 9);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$96 = 2^{5} \cdot 3$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$9$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 96.e (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$39.1083465659$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{16} - 8 x^{15} + 1632 x^{14} - 6200 x^{13} + 1101040 x^{12} - 214728 x^{11} + 414852536 x^{10} + 1040392136 x^{9} + 100771140894 x^{8} + \cdots + 46\!\cdots\!49$$ x^16 - 8*x^15 + 1632*x^14 - 6200*x^13 + 1101040*x^12 - 214728*x^11 + 414852536*x^10 + 1040392136*x^9 + 100771140894*x^8 + 387352305320*x^7 + 16695446167328*x^6 + 65667654693528*x^5 + 1813863987609888*x^4 + 6193122766006248*x^3 + 121856218421025672*x^2 + 221666835475910808*x + 4629152662628284449 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$2^{110}\cdot 3^{24}\cdot 7^{2}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

$q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - \beta_{2} q^{3} - \beta_{3} q^{5} + (\beta_{2} - \beta_1) q^{7} + ( - \beta_{4} + \beta_{3} + 197) q^{9}+O(q^{10})$$ q - b2 * q^3 - b3 * q^5 + (b2 - b1) * q^7 + (-b4 + b3 + 197) * q^9 $$q - \beta_{2} q^{3} - \beta_{3} q^{5} + (\beta_{2} - \beta_1) q^{7} + ( - \beta_{4} + \beta_{3} + 197) q^{9} + (\beta_{12} + \beta_{5} + 14 \beta_{2}) q^{11} + ( - \beta_{11} + 3154) q^{13} + ( - \beta_{12} + \beta_{8} - 3 \beta_{6} + 2 \beta_{5} - \beta_{2} + 2 \beta_1) q^{15} + ( - \beta_{7} - 2 \beta_{4} + 2 \beta_{3}) q^{17} + (\beta_{13} - \beta_{12} - \beta_{10} + 2 \beta_{8} + \beta_{6} + \beta_{5} - 72 \beta_{2} + 12 \beta_1) q^{19} + (3 \beta_{11} - \beta_{9} + 3 \beta_{7} - \beta_{4} - 37 \beta_{3} - 3878) q^{21} + (9 \beta_{12} + \beta_{10} + 4 \beta_{8} - 18 \beta_{6} + 22 \beta_{5} + 434 \beta_{2}) q^{23} + (\beta_{15} - \beta_{14} + 6 \beta_{11} - \beta_{7} + 25 \beta_{4} + \beta_{3} - 5575) q^{25} + ( - 3 \beta_{13} + 22 \beta_{12} - \beta_{10} + 4 \beta_{6} + 29 \beta_{5} + \cdots - 58 \beta_1) q^{27}+ \cdots + ( - 201 \beta_{13} - 101 \beta_{12} - 31 \beta_{10} - 540 \beta_{8} + \cdots + 21638 \beta_1) q^{99}+O(q^{100})$$ q - b2 * q^3 - b3 * q^5 + (b2 - b1) * q^7 + (-b4 + b3 + 197) * q^9 + (b12 + b5 + 14*b2) * q^11 + (-b11 + 3154) * q^13 + (-b12 + b8 - 3*b6 + 2*b5 - b2 + 2*b1) * q^15 + (-b7 - 2*b4 + 2*b3) * q^17 + (b13 - b12 - b10 + 2*b8 + b6 + b5 - 72*b2 + 12*b1) * q^19 + (3*b11 - b9 + 3*b7 - b4 - 37*b3 - 3878) * q^21 + (9*b12 + b10 + 4*b8 - 18*b6 + 22*b5 + 434*b2) * q^23 + (b15 - b14 + 6*b11 - b7 + 25*b4 + b3 - 5575) * q^25 + (-3*b13 + 22*b12 - b10 + 4*b6 + 29*b5 - 169*b2 - 58*b1) * q^27 + (-2*b15 + b14 - 7*b9 - 6*b7 + 44*b4 + 18*b3) * q^29 + (6*b13 + b12 + b10 - 2*b8 - b6 - 14*b5 + 575*b2 - 137*b1) * q^31 + (6*b15 - b14 - 18*b11 - 5*b9 + 3*b7 + 23*b4 + 372*b3 + 89996) * q^33 + (-57*b12 - 2*b10 - 8*b8 + 58*b6 - 116*b5 - 2228*b2) * q^35 + (-4*b15 - 11*b14 - 5*b11 - 15*b9 + 4*b7 - 160*b4 - 19*b3 + 318274) * q^37 + (-18*b13 - 78*b12 + 3*b10 - 15*b8 - 21*b6 + 24*b5 - 3370*b2 + 441*b1) * q^39 + (13*b15 + 10*b14 - 37*b9 - 12*b7 - 223*b4 - 1440*b3) * q^41 + (11*b13 + 15*b12 + 15*b10 - 30*b8 - 15*b6 - 275*b5 + 7488*b2 + 744*b1) * q^43 + (-6*b15 - 9*b14 - 60*b9 - 21*b7 + b4 - 3076*b3 + 426136) * q^45 + (28*b12 - 14*b10 - 56*b8 + 439*b6 + 152*b5 + 4410*b2) * q^47 + (27*b15 - 51*b14 - 34*b11 - 24*b9 - 27*b7 + 579*b4 + 3*b3 + 1059723) * q^49 + (-18*b13 - 69*b12 + 12*b10 - 6*b8 - 381*b6 - 510*b5 + 810*b2 - 1638*b1) * q^51 + (10*b15 + 40*b14 - 190*b9 + 88*b7 + 346*b4 + 3531*b3) * q^53 + (2*b13 - 11*b12 - 11*b10 + 22*b8 + 11*b6 + 842*b5 - 22018*b2 - 1928*b1) * q^55 + (15*b15 - 30*b14 + 192*b11 - 145*b9 - 120*b7 + 50*b4 + 8447*b3 + 433102) * q^57 + (184*b12 + 28*b10 + 112*b8 + 358*b6 - 745*b5 - 20694*b2) * q^59 + (36*b15 - 129*b14 + 91*b11 - 93*b9 - 36*b7 + 528*b4 - 57*b3 + 2290146) * q^61 + (84*b13 + 608*b12 - 44*b10 + 90*b8 - 1363*b6 + 2488*b5 + 2593*b2 + 3271*b1) * q^63 + (35*b15 + 80*b14 - 365*b9 + 38*b7 + 71*b4 - 20274*b3) * q^65 + (-40*b13 - 94*b12 - 94*b10 + 188*b8 + 94*b6 - 2157*b5 + 54540*b2 + 2580*b1) * q^67 + (66*b15 - 42*b14 - 252*b11 - 249*b9 - 21*b7 + 369*b4 - 23730*b3 + 2819976) * q^69 + (-367*b12 + 79*b10 + 316*b8 + 1689*b6 + 4446*b5 + 123852*b2) * q^71 + (-36*b15 - 189*b14 - 110*b11 - 225*b9 + 36*b7 - 1800*b4 - 261*b3 + 5694546) * q^73 + (189*b13 - 234*b12 - 45*b10 + 90*b8 - 4545*b6 - 6120*b5 + 8095*b2 - 1620*b1) * q^75 + (110*b15 + 80*b14 - 290*b9 - 560*b7 - 2850*b4 + 32366*b3) * q^77 + (-188*b13 + 31*b12 + 31*b10 - 62*b8 - 31*b6 + 8082*b5 - 224381*b2 - 1237*b1) * q^79 + (21*b15 - 18*b14 - 756*b11 - 339*b9 + 411*b7 + 329*b4 + 27898*b3 + 3262193) * q^81 + (1275*b12 - 154*b10 - 616*b8 + 11868*b6 - 10369*b5 - 262082*b2) * q^83 + (92*b15 - 122*b14 - 92*b11 - 30*b9 - 92*b7 + 2180*b4 + 62*b3 + 845376) * q^85 + (18*b13 - 1339*b12 + 258*b10 - 233*b8 - 13266*b6 + 10202*b5 + 3731*b2 - 9262*b1) * q^87 + (-219*b15 + 12*b14 - 279*b9 - 173*b7 + 4811*b4 - 54964*b3) * q^89 + (-287*b13 + 301*b12 + 301*b10 - 602*b8 - 301*b6 - 16212*b5 + 470508*b2 - 6912*b1) * q^91 + (216*b15 + 9*b14 + 1527*b11 + 265*b9 + 96*b7 - 356*b4 - 26618*b3 - 3388414) * q^93 + (-741*b12 - 213*b10 - 852*b8 + 25282*b6 + 17178*b5 + 504806*b2) * q^95 + (-25*b15 + 190*b14 + 1324*b11 + 165*b9 + 25*b7 + 35*b4 + 140*b3 - 4856006) * q^97 + (-201*b13 - 101*b12 - 31*b10 - 540*b8 - 25688*b6 - 25807*b5 - 89296*b2 + 21638*b1) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q + 3152 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q + 3152 * q^9 $$16 q + 3152 q^{9} + 50464 q^{13} - 62048 q^{21} - 89200 q^{25} + 1439936 q^{33} + 5092384 q^{37} + 6818176 q^{45} + 16955568 q^{49} + 6929632 q^{57} + 36642336 q^{61} + 45119616 q^{69} + 91112736 q^{73} + 52195088 q^{81} + 13526016 q^{85} - 54214624 q^{93} - 77696096 q^{97}+O(q^{100})$$ 16 * q + 3152 * q^9 + 50464 * q^13 - 62048 * q^21 - 89200 * q^25 + 1439936 * q^33 + 5092384 * q^37 + 6818176 * q^45 + 16955568 * q^49 + 6929632 * q^57 + 36642336 * q^61 + 45119616 * q^69 + 91112736 * q^73 + 52195088 * q^81 + 13526016 * q^85 - 54214624 * q^93 - 77696096 * q^97

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 8 x^{15} + 1632 x^{14} - 6200 x^{13} + 1101040 x^{12} - 214728 x^{11} + 414852536 x^{10} + 1040392136 x^{9} + 100771140894 x^{8} + \cdots + 46\!\cdots\!49$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( 41\!\cdots\!20 \nu^{15} + \cdots + 39\!\cdots\!61 ) / 40\!\cdots\!04$$ (4134695223579462129214666780211888460498086991670221168828620320*v^15 + 1680006717640427155996310263822752434410068998904217726072718164650*v^14 + 12558112895900736384485849994225946198323498492000189129863661147903*v^13 + 2358209742220824951349017710277388758013108461965713079668831254630529*v^12 + 24680492512595506562643604479170721025948842038062042787095839142449642*v^11 + 1389958255132100545553001658990421198966176692856444178762170740743050194*v^10 + 19315123388420742001412515030749142084671820010695793814882593550881188421*v^9 + 475662704178114211815717243069312586840299334620780104690606211012966003003*v^8 + 7125733068122912924139552747903373659995234980925455208047521601780541543316*v^7 + 107384079621480949818612087791145199863491585258368258749498456808765934628842*v^6 + 1377958692300922595190826138278737801145292481983884073617161949415169338609761*v^5 + 15187775601319886878159835058168961714272335293759247962375854958628915619348615*v^4 + 144928850814615422028901370554213349747227195085655407019413997814788327920036466*v^3 + 1123166666316369072413399342364753101833452421361341160017822268881549993686583338*v^2 + 7191193055365536734085403069921954973479138610210223270510211169700251080782876291*v + 39742882981103667715928644373714742900379986732130023002795061939927083314330960461) / 4073572498292347921771621534693590747714292426468276794068861991895982105001504 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 45\!\cdots\!00 \nu^{15} + \cdots + 65\!\cdots\!01 ) / 40\!\cdots\!04$$ (4524006366283040275583695996684764521599311641399931503911553200*v^15 - 9920694960346794539468080484214368344100526957502682324632372668*v^14 + 6968414994168923263235648699691717116016155871864144135026471463333*v^13 + 13517942102699476935158568601707852876187843694390031408428155872373*v^12 + 4461390530337109890903705475625242618451814028071362109164467012478970*v^11 + 25026118048606259938996047556461754123988031638945089984238547782378964*v^10 + 1611581657563626957180188744960723314286625833958185409287610485558351459*v^9 + 12966081649434835668900709289141337839798316711644115863250250738080050787*v^8 + 373950567033670953186779010575522017089885704867216635451448579226504829100*v^7 + 3215224137577844076796194283106184600233109391061779283714541348671795409056*v^6 + 55709796401285339625857158475795846986031436411269117477128926632249495418507*v^5 + 432333549540308401318009143380831198101144692707423830557480845638171721121723*v^4 + 4713504000152358576431010511399353246504215834548909913766180805824867385837386*v^3 + 29056633804783225833405204958926075432660406122738107485055823308259218974802280*v^2 + 196496086952293649110590096167094943682821370321605102373308851613798647882919509*v + 656905603383518933468356619113710795216115534978487019303964950070060616931550701) / 4073572498292347921771621534693590747714292426468276794068861991895982105001504 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 71\!\cdots\!26 \nu^{15} + \cdots + 34\!\cdots\!11 ) / 50\!\cdots\!88$$ (-715619970394839618413368085170744966672226651463466062620554826*v^15 + 22804591662122067645767531545507459391373302096072444403580620282*v^14 - 828604439008472734255991703242582639338403205974393017977001593846*v^13 + 25810095715167830916310345835041172511270054880643285969573495317552*v^12 - 278641660272711033591561722514858723263090106881082983537213774448984*v^11 + 12782366703047647175833680147527179953673282219004294887211671807229835*v^10 + 1311225484604607133089677476209254976425546700285131626873841946992534*v^9 + 3915450912345443592086158502865136885119096677197169364673914785714494545*v^8 + 18992994725439344925499477935616745340923802156500617395136175182037294730*v^7 + 801640360598708922872126562534668730928832151736060908934834267287767421482*v^6 + 4914852815442064763091232553298386608281760365448527081468030778839916357038*v^5 + 103270834764184126554676645566361996584267891581153612557047596279811115164696*v^4 + 636241587286129708859265629516816055034345037846550210682704577972391732517096*v^3 + 8153378268450376412481002504681401314317761215038890389108316942862475915546453*v^2 + 49148125054760330686969399352947926438512726393093380041702114015137604109098234*v + 345910694813541469244291997344377334617859214996787447842751682373390082136288811) / 509196562286543490221452691836698843464286553308534599258607748986997763125188 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 18\!\cdots\!77 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!48 ) / 25\!\cdots\!94$$ (1854117275419962024120430006559228856400780440998895461575835077*v^15 - 1939908669336785640923966032073840895245724957928624961066411643*v^14 + 3343984829378375788648240536141935780159633477587235360853253814607*v^13 - 13836310368876145156441808668317091434430646048837133053575285230353*v^12 + 2493110695269079712715301388603829686253533638030730344038533159053347*v^11 - 11491710111991749620817473636876594276846220140355555477259289281792866*v^10 + 924847868003660002609151250890110971975760789914077649562916186214487571*v^9 - 3765229796460938097292183273067852349864234882814767630700051070894718000*v^8 + 181429194784340545580940007786359512675153103129714943877461001487164293791*v^7 - 794082268127082712504092756908591493091115850623434095156884965702783609165*v^6 + 22029777539649786243345861948808262601134716666151760701993471006134286395653*v^5 - 161634031709229576510377210461454606471311224059564160231234370284774400755939*v^4 + 1577771200460909817463614083138717911539366163429940075501611967106461012479137*v^3 - 16614463420118382049474533623321379165240718888961637044453299631514841299432618*v^2 - 84445513094210950034602621695994906528652500626047663911541639814582983331893559*v - 1106393401245898694703028037497815515144413691591729204400923754548933991658863648) / 254598281143271745110726345918349421732143276654267299629303874493498881562594 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 32\!\cdots\!84 \nu^{15} + \cdots - 23\!\cdots\!70 ) / 20\!\cdots\!52$$ (32914609489481085589515852549452838840932335260411465444665482784*v^15 - 870137916463844822661173499111497417029623322785782188978827272931*v^14 + 48603489416785024155098376198083801443608096703193906803957550477181*v^13 - 1148373958374158678682295802926704131589976188036158659676191763924476*v^12 + 26392949341670027139965573907185851483834482287371274342856680682712788*v^11 - 644299442995194278403274624262853088163285185236283160845957405829428527*v^10 + 6022984536087570475564159107646111446772462713936455462470992430014774229*v^9 - 210387071693050224436746176626850455306266435060716878283454129290373463014*v^8 + 258609634925969235223164777011022878626193290142307027189498650773407822828*v^7 - 46054625142931104089022300801914044326249292522886678279415421863278566368941*v^6 - 136083109684199397168954264100674120577509941880301192190550130253956181120469*v^5 - 6715126242225839876872816651454675530915764253290197995730363160569107985112432*v^4 - 27267869215756000876266054893302969206757164911721950714779039465560162436376280*v^3 - 549774274528373812907569922919902181671937563550971678438982680003271864779715513*v^2 - 1816208530930847245486946395486042442229461710114978977420711760363622885597833869*v - 23123673073956908432801792036171659414384738295302809228226368129879058505791895670) / 2036786249146173960885810767346795373857146213234138397034430995947991052500752 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 52\!\cdots\!44 \nu^{15} + \cdots - 53\!\cdots\!57 ) / 20\!\cdots\!52$$ (52990435321496981487055895020345107320652803728512637128988753744*v^15 - 279566396169378651121707744332154578155819740938946576352994240580*v^14 + 79271917282315003194662465842445735840633191531358143313080454305371*v^13 - 104661837867157580170725034158802522295165000532216388050710545690229*v^12 + 48476742354293577336515667980363090582812569810420244464329231348530182*v^11 + 86600988414080528381967251336380347085480810455357722106323927184194604*v^10 + 16200862916942322746386781338829916057211189212432873317132567596349334941*v^9 + 57908215900078836498252762405366583902032265416451336589841642765620248477*v^8 + 3302722096555324331217936002239215743139688025536344987888813633115033747284*v^7 + 12098461185670185929015106419087630482039131180888690390333063045215614760288*v^6 + 405225354326464182658716996056510017616996425503170139880705699307959171955061*v^5 + 955984113850312852714357303959066659721421816147889639836582161434071185633861*v^4 + 25996519812208910214691484542052600130470080453924296524728377706174124986737846*v^3 - 5709855380505963760011574447467596045184456806064627399342115464922806581341032*v^2 + 710609853899256628617205163704726736589705071984296327673656377158538558081668523*v - 5345685711885019028465105853638757778532626024685935244423662157177544864036760557) / 2036786249146173960885810767346795373857146213234138397034430995947991052500752 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 19\!\cdots\!80 \nu^{15} + \cdots + 36\!\cdots\!03 ) / 25\!\cdots\!94$$ (19812675525221829404454111062630022381121218737639481645614598980*v^15 + 414918426476414692724589097431813608312889233123016124816390625916*v^14 + 26950686249903735356525020803122478762809742657816661966484602424160*v^13 + 833113349407222489817092328738242296113158570901123883037353168993014*v^12 + 15437171563032517190495338397644232990292418575926158012979584699560378*v^11 + 641787362837488744032182002683851380070788298125328762741260343319894159*v^10 + 5551304283098738723096055402234412312597577094974287956521357201541231748*v^9 + 249853083540098201723158565823426568241007463156627452411465851807366984001*v^8 + 1513594847162966716317340939382048112521469011562569671144563208470583004772*v^7 + 55609572622978059618514816109853582322418714561293562005586943733523271992248*v^6 + 269869512302785438466243721880805562414812669965406004643633797625072351723440*v^5 + 7983968227648480301011204647212897280814847202125907786679817492105108714368650*v^4 + 21440828691498082200341679291614941506695080089608704568034786480007207674327678*v^3 + 771446285568840860519915432618382185306051496560282250181736005390404679781839161*v^2 + 616472300436452732004465613161568153881889952420741648360996005030492638641757780*v + 36476248934829724677332649235767636400553178257974563532340761595498236879664004603) / 254598281143271745110726345918349421732143276654267299629303874493498881562594 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 35\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots - 37\!\cdots\!45 ) / 40\!\cdots\!04$$ (-353541721127686451582257867398667750172444299661054818935734128768*v^15 - 552313157542915178418108875184225206923481943134891745288938055294*v^14 - 277952902127868043159578215339894948701604139919335601092686521567743*v^13 - 8434122990595463440248941316030160417187425847253440893641065545123789*v^12 - 41030504406062549292127651965561360236431827220599529840156091675441874*v^11 - 8211464306130858057736968549168158419459992564492547346591587225326285942*v^10 - 9450124320199379789605177314685865034865852496330625227442926411336669453*v^9 - 3336581824595726862239258477231769294889974563212720309621409791804172725095*v^8 - 13578609041358747690328092206999368771281165225483399407763707809065636404340*v^7 - 789234125106838839906591138347530101798482069994400497756985467989504962473350*v^6 - 4388059722708875173647237604360489574248161360716407747866973649466918830355777*v^5 - 118794615053099456368781027650961859725220565159505966773885538674119547031211147*v^4 - 612616743344301483335909966353532983863065692916340926901778540860074742314355306*v^3 - 9525646526120820683795288794131954703838052419334296931872468874553705191156257334*v^2 - 38011232570912971530020695557333797991843815390983322622946152330675757486982627451*v - 374276500224999165117236177624679951299084742399760471687796647068797738759487466545) / 4073572498292347921771621534693590747714292426468276794068861991895982105001504 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 25\!\cdots\!49 \nu^{15} + \cdots - 39\!\cdots\!58 ) / 25\!\cdots\!94$$ (-25184751262136803709426763294279237333399869817427215220692941549*v^15 - 1284533886858992451175455888733999575522977556276097875590386056249*v^14 - 31888425421987397091370343550538176018273705119622539445321371829219*v^13 - 2016564457723561423927735228771146592185289920951045848158965813109655*v^12 - 22761991384023479282640459422510895964270013934247774564430380818924927*v^11 - 1264820192210648805334770863876269680917225864776759300732306128440790888*v^10 - 11645080407636405259803517884817336440733265820451999231727360089773847039*v^9 - 424293475067558828115466549134133730418372950505903242479464775800115100934*v^8 - 3667018752747503176944372194057317148433774684779364435509611838503071323415*v^7 - 86985036068004405855776017514449296973870762246212291238900648630704300426103*v^6 - 635401562766473416605886288053158310044857671670685527495033838815905514132209*v^5 - 11252939542305154903859831027084955281573768572166692119111036842273991113309637*v^4 - 64337242815660827230765578362125324525423375164019641512767764956802679233872709*v^3 - 846972831529698614200646647466582961543608504031552413951792767428953810597553228*v^2 - 3654512190643778009323250990465001028562837149395643405780877276418353374574285133*v - 39845906102558637349359770405469173753865111747805433229783924622457792462647523058) / 254598281143271745110726345918349421732143276654267299629303874493498881562594 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 44\!\cdots\!00 \nu^{15} + \cdots + 65\!\cdots\!89 ) / 20\!\cdots\!52$$ (-443585589759479579739999075199383348015306921056199598012464278800*v^15 + 23099623280053215168176300821818601264754752830131718584847421560918*v^14 - 286260923377119076388697341846326845333939196114983355637798017361517*v^13 + 32394060607311436979381326276013512147251796122096052842846912833410409*v^12 + 172344345529635461767986586847424062500744922488546653681098583227244666*v^11 + 21505880376286774472042953020910718054159236093420545913836120732401210382*v^10 + 215680782403192661202767752432507883548986996995556794652162589837190161321*v^9 + 8554377804468157584447624789672573807611407018914422223272844380301226932315*v^8 + 84722686636059220801936168231646035385835945072406419821759854119616351311348*v^7 + 2045491853928715459223852895881394462471178393062157783442206565573201782788574*v^6 + 17022052138542662877013851789462085969244804051232835828682062604872292056304109*v^5 + 280471537128798042835893414748186998236966176143865086133556193386639706549547599*v^4 + 1735056419453838341044723881172568269022907600254923976182911519601941457239345042*v^3 + 20767381379289206006028137760276502815011453984927759126845088364102574552135354158*v^2 + 75183607285897979214955271602273860704482046610392523935015502830331893074785449727*v + 658071362514791845389763861016483037969052419506842002588610363629896730433122856989) / 2036786249146173960885810767346795373857146213234138397034430995947991052500752 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 24\!\cdots\!35 \nu^{15} + \cdots + 96\!\cdots\!77 ) / 86\!\cdots\!89$$ (-2486671887614507149851742973027345359733161346363635*v^15 + 59346075604445485478485594302503757466581400263069111*v^14 - 3905793765791519995034471608612940145973455614550382143*v^13 + 68239836287409093787724795538846015586997395744949326403*v^12 - 2270041526559335554570123517726316455422701118464478525947*v^11 + 30800223387055284981998615907192685503758581439935038766647*v^10 - 645504171984490088628731714782734975310024144350913165457231*v^9 + 7769915012601917311366764223889386284258105357334034078615967*v^8 - 106610280539765472340227627928503167626787388660343667332649433*v^7 + 1418575817170325796890335583315420902404289288560554876736893101*v^6 - 11871657979319816344768681762354025836047009220048213722892871997*v^5 + 182924237729544696658275796439934362596885096738943802579957984465*v^4 - 797219294122544113064521422894896652305973998439888665589382137345*v^3 + 14295975360984183762500532414750912796018416174500983486718295071805*v^2 - 30948751147617252321989787105179451089029248569521144806847714689837*v + 964183215346986425881389044304146870899694379833330210223047595959877) / 8626536515736726964757171597913625233867871131579389863187632089 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 31\!\cdots\!96 \nu^{15} + \cdots + 83\!\cdots\!04 ) / 10\!\cdots\!76$$ (-317966391954748689841874341543079833465820370355671715124454138896*v^15 + 1418341004637579859549921032492898586222257112236292776265182354731*v^14 - 461314974403392389070977579603502803311214301773043617939237986095063*v^13 + 322445874542067096909005616091918124530856955400548815255869490798050*v^12 - 272676799547425035553871016166889980875715284647908474673112325888364232*v^11 - 620521596832734423115741431588496228338692354197746173809191893231115993*v^10 - 87983690857736498339969319052660299022719642234830582582143235847923115739*v^9 - 320248899356059745825811729333098341337911422236789424021428653063394461440*v^8 - 17502432867972169639731108626512620002981280274740935641467630353340441110004*v^7 - 45945845372500849432453278498480706320938820270123260172410523339802904127523*v^6 - 2087224899097688454776438996269711055946618330702827631320531079339139775161521*v^5 + 925319736152660186363766228642087449920512302380533556000296733191722802183978*v^4 - 114146793861140323097587650183781452787696982729737017414212119830642024513825468*v^3 + 804546170380954397777078040983162812011427267646659758001680026811454139301301449*v^2 - 2290538365247196337504650429229443272092990400880695448970482531202054873163228829*v + 83201724415361394622483393509271201368078936657886369792608261585463022652909140604) / 1018393124573086980442905383673397686928573106617069198517215497973995526250376 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 90\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots - 13\!\cdots\!93 ) / 20\!\cdots\!52$$ (-905338514823784143508898827353451531128000313212890747280995840176*v^15 - 57617281740399364738273623784697714932330374249262385398457373459120*v^14 - 1084458962449540758406812899696647844312220352164089942172883374167241*v^13 - 86219156661618211215084325085661445327919137773469689276645394282947325*v^12 - 828382623019966058675275199594193323250912735075042100595348613311675226*v^11 - 52849047791352153046934569729939724111785563445056706290786851908065483504*v^10 - 457517501044520739466923355919956984503552267343141677321021373541749484471*v^9 - 18011775731535934471419705438275678449671217649529738732618171276269893601955*v^8 - 150888388477994044830868295614669874092940450396989696749476388767589840162972*v^7 - 3852267494763437524112340841673455675220764475685733633291015505385795207885908*v^6 - 28096002178315240287447542571437875259234783637757468666745500625058046826829639*v^5 - 510446291304071922736128858989174462613198791114198518596501320943481891734757731*v^4 - 2912310055697680161624226884693365948288280294348708342300676278969899528931016410*v^3 - 37833859956451716557975647948120809773616334743447968617993631548229004862505111820*v^2 - 135617822077184861368582596819056000100743841816562113502209043284508922193002265633*v - 1399028862678680723015837601236884552484091735663062628349913279182060043333798184093) / 2036786249146173960885810767346795373857146213234138397034430995947991052500752 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 52\!\cdots\!88 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!51 ) / 50\!\cdots\!88$$ (529149929275084207584020212379317939692673723117480190771308111588*v^15 - 595952519861862577634899069686750788841909357990308133632264921784*v^14 + 715099226269774562549845637866052247673588159606644599211621196901388*v^13 + 1992957665401647705823758371442236858939338880942024101243103846362462*v^12 + 397835547367600759670199132916276573994275381313833654898733820334136678*v^11 + 2372547786428283567555046318322497968329619089510397356314840893475365069*v^10 + 124151066930421895307940137884870545666532716222069071807296425195371300888*v^9 + 923100783371075544852133332749267178094827982957559250292733505899334103539*v^8 + 24962976043094118319003027236826282352596819631112547299865400483414257364580*v^7 + 174223825574768092448640796992696521561478399007777094055259370324570581349972*v^6 + 3210686096679554475866205251834816276956658763283497469465195309861684079472996*v^5 + 19581133755478374054097182238846658232053919165954734516415292054727792320480338*v^4 + 245330568244088795555159235703503029211344667991491027883824601974274457345000850*v^3 + 1148701773890028383089859172263486462088938065160208506495520212121859129612336827*v^2 + 12894620080392370097315333052442719686588522025231163911456086265800406007534948656*v - 12269313017488671979552344056961016926285798808846160153782532916596054834221776351) / 509196562286543490221452691836698843464286553308534599258607748986997763125188 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 18\!\cdots\!10 \nu^{15} + \cdots + 48\!\cdots\!90 ) / 12\!\cdots\!97$$ (180995362292614994803120290183969442081270192046286583543632631610*v^15 + 214424853874189695571097962388458313177992185008464123715432106060*v^14 + 256175127177452669499400382626377259342925998972358824028446086743844*v^13 + 1295777503197212625132532450115223907099826786240680154299273463234264*v^12 + 154358534930771252132436517375332782404632494741482958517517253900197338*v^11 + 1256896682999973806340363968370363314153056802164153051456026141963130794*v^10 + 53810344596613559290692785192597753829947809532126359978691536324636542868*v^9 + 517187656667557886107558083393175154381952246486514366698183196820138853858*v^8 + 12248706430682545219092150404996509408656648826814218055877063951550480892934*v^7 + 114114294449281951027698816572822492730805400102156622922352302744270933678540*v^6 + 1827306891078691882651094059208693898220714669158926522612857014133904180741460*v^5 + 14935796753165616701360443330273744314500379870718210218067799016747660446980056*v^4 + 169220634652293336612407694197624423968728179619993142959610429822603963669258566*v^3 + 1208578518942959539247854525927691263556409633113490403192515808162802741271918918*v^2 + 9120712330063462153838792786255503761705224665667676634311842526848749647239930916*v + 48497115438218411951367039749484503880781144080414560925454096725595128844855965990) / 127299140571635872555363172959174710866071638327133649814651937246749440781297
 $$\nu$$ $$=$$ $$( 71 \beta_{15} + 2 \beta_{14} + 216 \beta_{11} + 430 \beta_{9} - 71 \beta_{7} + 2268 \beta_{6} - 3582 \beta_{4} + 21816 \beta_{3} + 4536 \beta_{2} + 1161216 ) / 2322432$$ (71*b15 + 2*b14 + 216*b11 + 430*b9 - 71*b7 + 2268*b6 - 3582*b4 + 21816*b3 + 4536*b2 + 1161216) / 2322432 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( 1834 \beta_{15} - 2303 \beta_{14} + 504 \beta_{13} - 1976 \beta_{12} + 3024 \beta_{11} - 536 \beta_{10} + 623 \beta_{9} + 1216 \beta_{8} + 1190 \beta_{7} + 6017 \beta_{6} - 20672 \beta_{5} + \cdots - 464486400 ) / 2322432$$ (1834*b15 - 2303*b14 + 504*b13 - 1976*b12 + 3024*b11 - 536*b10 + 623*b9 + 1216*b8 + 1190*b7 + 6017*b6 - 20672*b5 - 2478*b4 - 188139*b3 + 141186*b2 - 3360*b1 - 464486400) / 2322432 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( - 3777 \beta_{15} - 4894 \beta_{14} - 1008 \beta_{13} - 2744 \beta_{12} - 28584 \beta_{11} - 728 \beta_{10} - 61738 \beta_{9} + 6496 \beta_{8} - 8823 \beta_{7} - 495775 \beta_{6} + \cdots - 970389504 ) / 774144$$ (-3777*b15 - 4894*b14 - 1008*b13 - 2744*b12 - 28584*b11 - 728*b10 - 61738*b9 + 6496*b8 - 8823*b7 - 495775*b6 + 108640*b5 + 174698*b4 - 1894888*b3 + 2891826*b2 - 106176*b1 - 970389504) / 774144 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 827680 \beta_{15} + 830879 \beta_{14} - 207648 \beta_{13} + 703280 \beta_{12} - 1965600 \beta_{11} + 135920 \beta_{10} - 1241639 \beta_{9} - 667264 \beta_{8} + \cdots + 102679363584 ) / 2322432$$ (-827680*b15 + 830879*b14 - 207648*b13 + 703280*b12 - 1965600*b11 + 135920*b10 - 1241639*b9 - 667264*b8 + 439096*b7 - 15020426*b6 + 21449024*b5 + 3458826*b4 + 105555807*b3 - 135129588*b2 + 6049344*b1 + 102679363584) / 2322432 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 1533617 \beta_{15} + 10607837 \beta_{14} + 2478420 \beta_{13} + 10374560 \beta_{12} + 23584392 \beta_{11} + 2814560 \beta_{10} + 59304619 \beta_{9} + \cdots + 1569941968896 ) / 2322432$$ (1533617*b15 + 10607837*b14 + 2478420*b13 + 10374560*b12 + 23584392*b11 + 2814560*b10 + 59304619*b9 - 21263200*b8 + 8431975*b7 + 547893262*b6 - 108285520*b5 + 32117304*b4 + 2918221527*b3 - 6137666556*b2 + 90824160*b1 + 1569941968896) / 2322432 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( 98867818 \beta_{15} - 41627964 \beta_{14} + 42685776 \beta_{13} + 29582904 \beta_{12} + 328282416 \beta_{11} + 5298456 \beta_{10} + 258285076 \beta_{9} + \cdots - 7565010259968 ) / 774144$$ (98867818*b15 - 41627964*b14 + 42685776*b13 + 29582904*b12 + 328282416*b11 + 5298456*b10 + 258285076*b9 + 91364736*b8 - 90244882*b7 + 3678526563*b6 - 3718038880*b5 - 363799324*b4 - 15248081800*b3 + 12128923606*b2 - 675712800*b1 - 7565010259968) / 774144 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 821256031 \beta_{15} - 5045882210 \beta_{14} - 1532670804 \beta_{13} - 5835338264 \beta_{12} - 7182562248 \beta_{11} - 1205741432 \beta_{10} + \cdots - 540357140219904 ) / 2322432$$ (821256031*b15 - 5045882210*b14 - 1532670804*b13 - 5835338264*b12 - 7182562248*b11 - 1205741432*b10 - 14753529382*b9 + 13342306432*b8 - 2910282103*b7 - 145192099885*b6 - 35248214288*b5 - 65170051854*b4 - 1553623540332*b3 + 1643849858574*b2 - 22349085024*b1 - 540357140219904) / 2322432 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 3551872106 \beta_{15} - 1292772326 \beta_{14} - 2889880992 \beta_{13} - 4245318728 \beta_{12} - 15423821712 \beta_{11} - 1446268904 \beta_{10} + \cdots + 115644902999040 ) / 82944$$ (-3551872106*b15 - 1292772326*b14 - 2889880992*b13 - 4245318728*b12 - 15423821712*b11 - 1446268904*b10 - 11724361906*b9 - 2255642048*b8 + 3423980018*b7 - 171463538341*b6 + 157637145952*b5 - 9546693984*b4 + 552133452870*b3 + 131545478502*b2 + 13173870624*b1 + 115644902999040) / 82944 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 271146222143 \beta_{15} + 517907350830 \beta_{14} + 223964863920 \beta_{13} + 463939977312 \beta_{12} + 688249537128 \beta_{11} + \cdots + 42\!\cdots\!56 ) / 774144$$ (-271146222143*b15 + 517907350830*b14 + 223964863920*b13 + 463939977312*b12 + 688249537128*b11 + 8785568736*b10 + 770945363842*b9 - 2170999337472*b8 + 469157776415*b7 + 3715822274976*b6 + 15308607647424*b5 + 11982685773326*b4 + 245226427771784*b3 + 48757138735200*b2 + 2488099372416*b1 + 42816423150176256) / 774144 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( 29965600728266 \beta_{15} + 40862657381777 \beta_{14} + 43640997828120 \beta_{13} + 50619896914952 \beta_{12} + 177402157965648 \beta_{11} + \cdots + 27\!\cdots\!80 ) / 2322432$$ (29965600728266*b15 + 40862657381777*b14 + 43640997828120*b13 + 50619896914952*b12 + 177402157965648*b11 + 27978294336680*b10 + 103795570275103*b9 - 9519571354432*b8 - 29776681974074*b7 + 1283168565961945*b6 - 1284958971431488*b5 + 493296025183794*b4 - 3619702241384859*b3 - 1920938957406222*b2 - 41398254350880*b1 + 273330778938900480) / 2322432 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 429355911461273 \beta_{15} - 167488782530134 \beta_{14} - 184683968541072 \beta_{13} + 140125336006040 \beta_{12} - 434226957772824 \beta_{11} + \cdots - 63\!\cdots\!04 ) / 2322432$$ (429355911461273*b15 - 167488782530134*b14 - 184683968541072*b13 + 140125336006040*b12 - 434226957772824*b11 + 335148650737208*b10 + 181612350800542*b9 + 2620433313987104*b8 - 652381449900641*b7 + 12409327410998707*b6 - 23855495645005024*b5 - 14377432990796178*b4 - 312222735620859228*b3 - 451027633262715978*b2 - 1286930988619584*b1 - 6361323477068335104) / 2322432 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( - 24\!\cdots\!84 \beta_{15} + \cdots - 10\!\cdots\!44 ) / 774144$$ (-2458269384210584*b15 - 7279623163151367*b14 - 6816795416506656*b13 - 4076181296552592*b12 - 23155760026738080*b11 - 4277144635691472*b10 - 6819575998459217*b9 + 6175080680171904*b8 + 2767045893627680*b7 + 2974515019225182*b6 + 65555157612364352*b5 - 115710392194095370*b4 + 52093580324438345*b3 - 1282675044950322596*b2 + 645149549540160*b1 - 100150934839842668544) / 774144 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!59 \beta_{15} + \cdots - 15\!\cdots\!24 ) / 2322432$$ (-169773925011110459*b15 - 169637021139764627*b14 + 7979939902977588*b13 - 276212274804816896*b12 + 11475631229842728*b11 - 299753241618014912*b10 - 297420610170771589*b9 - 853116915054211808*b8 + 262244280432794867*b7 - 6922184850722319262*b6 + 7573655685814494640*b5 + 4268762294071136448*b4 + 119442926039890555695*b3 + 310068059463424714284*b2 - 730773975160119072*b1 - 15945015991534860109824) / 2322432 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( 11\!\cdots\!70 \beta_{15} + \cdots + 12\!\cdots\!16 ) / 2322432$$ (1138352884562741470*b15 + 8536389044435184856*b14 + 8459179970514433776*b13 - 1137969405659161304*b12 + 25840949113589451408*b11 + 4015795427184778696*b10 - 2154203690183633200*b9 - 11118507005589120128*b8 - 1939916823116970166*b7 - 264037867894378656775*b6 + 47764005342713184736*b5 + 182808664236247412916*b4 + 423249429498197013684*b3 + 5023250667151474253346*b2 - 5866275824035247712*b1 + 12310712574802523836416) / 2322432 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!57 \beta_{15} + \cdots + 41\!\cdots\!36 ) / 774144$$ (16713270751787726257*b15 + 53491395534456953922*b14 + 8519169780978864084*b13 + 43915261106574226488*b12 + 15792947124138311112*b11 + 58897803678857841432*b10 + 35236214079369207334*b9 + 67931643208858883328*b8 - 30295294019147885113*b7 + 256371783413085543273*b6 - 202645150498018920048*b5 - 221726471226216677362*b4 - 13626871604124805945684*b3 - 47879338557361865817942*b2 + 277958067513164456544*b1 + 4162363173000929387022336) / 774144

Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/96\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$31$$ $$37$$ $$65$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$1$$ $$-1$$

Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
65.1
 −0.195942 + 17.2691i −0.195942 − 17.2691i 3.86965 + 12.4191i 3.86965 − 12.4191i 5.31078 + 16.8759i 5.31078 − 16.8759i −6.98449 + 10.3192i −6.98449 − 10.3192i −6.98449 − 7.49075i −6.98449 + 7.49075i 5.31078 − 19.7044i 5.31078 + 19.7044i 3.86965 − 9.59065i 3.86965 + 9.59065i −0.195942 − 20.0975i −0.195942 + 20.0975i
0 −80.3709 10.0760i 0 969.842i 0 878.697 0 6357.95 + 1619.63i 0
65.2 0 −80.3709 + 10.0760i 0 969.842i 0 878.697 0 6357.95 1619.63i 0
65.3 0 −69.8984 40.9294i 0 427.907i 0 −2483.92 0 3210.56 + 5721.80i 0
65.4 0 −69.8984 + 40.9294i 0 427.907i 0 −2483.92 0 3210.56 5721.80i 0
65.5 0 −41.6091 69.4959i 0 590.447i 0 595.059 0 −3098.37 + 5783.32i 0
65.6 0 −41.6091 + 69.4959i 0 590.447i 0 595.059 0 −3098.37 5783.32i 0
65.7 0 −20.9626 78.2405i 0 335.371i 0 4472.36 0 −5682.14 + 3280.25i 0
65.8 0 −20.9626 + 78.2405i 0 335.371i 0 4472.36 0 −5682.14 3280.25i 0
65.9 0 20.9626 78.2405i 0 335.371i 0 −4472.36 0 −5682.14 3280.25i 0
65.10 0 20.9626 + 78.2405i 0 335.371i 0 −4472.36 0 −5682.14 + 3280.25i 0
65.11 0 41.6091 69.4959i 0 590.447i 0 −595.059 0 −3098.37 5783.32i 0
65.12 0 41.6091 + 69.4959i 0 590.447i 0 −595.059 0 −3098.37 + 5783.32i 0
65.13 0 69.8984 40.9294i 0 427.907i 0 2483.92 0 3210.56 5721.80i 0
65.14 0 69.8984 + 40.9294i 0 427.907i 0 2483.92 0 3210.56 + 5721.80i 0
65.15 0 80.3709 10.0760i 0 969.842i 0 −878.697 0 6357.95 1619.63i 0
65.16 0 80.3709 + 10.0760i 0 969.842i 0 −878.697 0 6357.95 + 1619.63i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 65.16 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
3.b odd 2 1 inner
4.b odd 2 1 inner
12.b even 2 1 inner

Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 96.9.e.b 16
3.b odd 2 1 inner 96.9.e.b 16
4.b odd 2 1 inner 96.9.e.b 16
8.b even 2 1 192.9.e.l 16
8.d odd 2 1 192.9.e.l 16
12.b even 2 1 inner 96.9.e.b 16
24.f even 2 1 192.9.e.l 16
24.h odd 2 1 192.9.e.l 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
96.9.e.b 16 1.a even 1 1 trivial
96.9.e.b 16 3.b odd 2 1 inner
96.9.e.b 16 4.b odd 2 1 inner
96.9.e.b 16 12.b even 2 1 inner
192.9.e.l 16 8.b even 2 1
192.9.e.l 16 8.d odd 2 1
192.9.e.l 16 24.f even 2 1
192.9.e.l 16 24.h odd 2 1

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{5}^{8} + 1584800T_{5}^{6} + 729577765248T_{5}^{4} + 123476140339865600T_{5}^{2} + 6753289812415982080000$$ acting on $$S_{9}^{\mathrm{new}}(96, [\chi])$$.

Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16}$$
$3$ $$T^{16} - 1576 T^{14} + \cdots + 34\!\cdots\!81$$
$5$ $$(T^{8} + 1584800 T^{6} + \cdots + 67\!\cdots\!00)^{2}$$
$7$ $$(T^{8} - 27298096 T^{6} + \cdots + 33\!\cdots\!92)^{2}$$
$11$ $$(T^{8} + 869687264 T^{6} + \cdots + 75\!\cdots\!00)^{2}$$
$13$ $$(T^{4} - 12616 T^{3} + \cdots + 41\!\cdots\!00)^{4}$$
$17$ $$(T^{8} + 16128645120 T^{6} + \cdots + 39\!\cdots\!00)^{2}$$
$19$ $$(T^{8} - 113875911856 T^{6} + \cdots + 43\!\cdots\!00)^{2}$$
$23$ $$(T^{8} + 346718655360 T^{6} + \cdots + 10\!\cdots\!16)^{2}$$
$29$ $$(T^{8} + 1892527938464 T^{6} + \cdots + 30\!\cdots\!00)^{2}$$
$31$ $$(T^{8} - 2694902057392 T^{6} + \cdots + 57\!\cdots\!00)^{2}$$
$37$ $$(T^{4} - 1273096 T^{3} + \cdots + 18\!\cdots\!00)^{4}$$
$41$ $$(T^{8} + 48994196190848 T^{6} + \cdots + 42\!\cdots\!32)^{2}$$
$43$ $$(T^{8} - 50795677404592 T^{6} + \cdots + 11\!\cdots\!52)^{2}$$
$47$ $$(T^{8} + 52662402321920 T^{6} + \cdots + 51\!\cdots\!36)^{2}$$
$53$ $$(T^{8} + 509421185089952 T^{6} + \cdots + 10\!\cdots\!00)^{2}$$
$59$ $$(T^{8} + 259443682637792 T^{6} + \cdots + 20\!\cdots\!00)^{2}$$
$61$ $$(T^{4} - 9160584 T^{3} + \cdots + 50\!\cdots\!20)^{4}$$
$67$ $$(T^{8} + \cdots + 33\!\cdots\!52)^{2}$$
$71$ $$(T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!00)^{2}$$
$73$ $$(T^{4} - 22778184 T^{3} + \cdots - 34\!\cdots\!00)^{4}$$
$79$ $$(T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!00)^{2}$$
$83$ $$(T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!04)^{2}$$
$89$ $$(T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!00)^{2}$$
$97$ $$(T^{4} + 19424024 T^{3} + \cdots + 56\!\cdots\!00)^{4}$$