# Properties

 Label 92.2.e.a Level $92$ Weight $2$ Character orbit 92.e Analytic conductor $0.735$ Analytic rank $0$ Dimension $20$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [92,2,Mod(9,92)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(92, base_ring=CyclotomicField(22))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 10]))

N = Newforms(chi, 2, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("92.9");

S:= CuspForms(chi, 2);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$92 = 2^{2} \cdot 23$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$2$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 92.e (of order $$11$$, degree $$10$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$0.734623698596$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$20$$ Relative dimension: $$2$$ over $$\Q(\zeta_{11})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{20} - 9 x^{19} + 51 x^{18} - 200 x^{17} + 633 x^{16} - 1688 x^{15} + 3957 x^{14} - 8161 x^{13} + 14788 x^{12} - 23925 x^{11} + 35080 x^{10} - 43945 x^{9} + 57269 x^{8} + \cdots + 529$$ x^20 - 9*x^19 + 51*x^18 - 200*x^17 + 633*x^16 - 1688*x^15 + 3957*x^14 - 8161*x^13 + 14788*x^12 - 23925*x^11 + 35080*x^10 - 43945*x^9 + 57269*x^8 - 57348*x^7 + 52821*x^6 - 34986*x^5 + 26231*x^4 + 96928*x^3 + 49370*x^2 + 8165*x + 529 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{5}]$$ Coefficient ring index: $$1$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{11}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{19}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_{18} - \beta_{15} - \beta_{14} - \beta_{12} - \beta_{11} - \beta_{10} - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{6} + \cdots + 1) q^{3}+ \cdots + ( - \beta_{17} - \beta_{14} - \beta_{10} + \beta_{9} - \beta_{6} + \beta_{5}) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b18 - b15 - b14 - b12 - b11 - b10 - b9 + b8 - b6 + 1) * q^3 + (b17 - b16 - b15 - b13 + b10 + b6 + b4 - b3) * q^5 + (b16 + b13 + b11 - b8 + b7 + b3 - b1 + 1) * q^7 + (-b17 - b14 - b10 + b9 - b6 + b5) * q^9 $$q + ( - \beta_{18} - \beta_{15} - \beta_{14} - \beta_{12} - \beta_{11} - \beta_{10} - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{6} + \cdots + 1) q^{3}+ \cdots + (\beta_{19} + 2 \beta_{16} - \beta_{15} + 6 \beta_{13} + 2 \beta_{12} + 5 \beta_{11} + \beta_{10} + \cdots - 3 \beta_1) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b18 - b15 - b14 - b12 - b11 - b10 - b9 + b8 - b6 + 1) * q^3 + (b17 - b16 - b15 - b13 + b10 + b6 + b4 - b3) * q^5 + (b16 + b13 + b11 - b8 + b7 + b3 - b1 + 1) * q^7 + (-b17 - b14 - b10 + b9 - b6 + b5) * q^9 + (-b19 + b18 - b16 + b15 + b14 - 2*b13 - b12 - 2*b11 - b9 - b7 - b5 + b2 + b1 - 1) * q^11 + (2*b19 + b16 + b13 + 2*b12 + b11 + b9 - b7 - b2 + b1 - 1) * q^13 + (-b19 + 3*b15 + 2*b14 + 2*b13 + b12 + 2*b11 + 2*b10 - b8 + b7 + 2*b6 - 2*b4 - 2) * q^15 + (2*b8 - b5 - b4 - b1) * q^17 + (b18 - b17 + b16 + 2*b14 + b13 - b10 - b7 + b5 - b2 - 1) * q^19 + (b17 - b14 - b13 + b12 - b11 + b10 + 2*b9 - b5 - b1 - 2) * q^21 + (-b17 + b16 + b15 + b14 + 2*b13 + 2*b12 + 2*b11 + 2*b10 - b8 + b7 - b6 + b1 - 2) * q^23 + (b19 + 2*b18 - 2*b17 + b14 - b13 - 2*b12 + 2*b11 - 2*b10 + 2*b9 - 2*b8 + b6 + 2*b5 + b4 + 2*b3 + 2*b1 - 2) * q^25 + (-b19 + b18 + b17 - 2*b16 + b15 - 2*b14 - 4*b13 - 2*b11 - b10 - 2*b9 - b7 + b6 - b5 + b4 - b3 + b2 - 1) * q^27 + (-b19 + 2*b17 - b16 + 3*b15 + 2*b13 + b12 - b11 + 3*b10 + b9 - 2*b8 + b6 - b4 + 2*b2 - b1 - 1) * q^29 + (b19 - b17 + b16 + b15 + 2*b14 + 2*b12 + 2*b11 - b10 + b9 - 3*b8 + b6 + b5 + b3 - b2 - b1 - 1) * q^31 + (-b18 - 4*b15 - 2*b14 - b13 - 4*b12 - b11 - 2*b10 - 2*b9 + 2*b8 + b7 - 4*b6 - 2*b5 - 2*b3 + b2 + 2) * q^33 + (-2*b18 + b17 + b16 - 4*b15 - 4*b14 - b12 - 2*b9 + 3*b8 + b7 - 3*b6 + b5 - b2 - b1 + 4) * q^35 + (4*b14 + 2*b13 + 3*b12 + b11 + b10 + 3*b9 - 2*b8 - b7 + 4*b6 + b4 - b2 + b1 - 1) * q^37 + (b17 - 2*b16 - 2*b15 + b14 + b13 - 2*b12 - 3*b11 + 2*b10 - 2*b9 + 3*b8 - b7 + 3*b6 + 2*b4 + b1 + 1) * q^39 + (-2*b18 - 2*b17 + 2*b16 - 2*b15 - 4*b14 - 2*b13 - 2*b12 - 2*b11 - 2*b10 - 2*b9 + 4*b8 + 2*b7 - 2*b6 + b5 - b4 - 2*b2 - 2*b1 + 6) * q^41 + (b19 - 2*b18 + b17 - 2*b14 - 3*b12 + b11 - 4*b10 - b9 + 4*b8 + b7 - 4*b6 - b5 - b2 - b1 + 5) * q^43 + (-2*b19 + 2*b17 - 2*b16 + 4*b15 + 4*b14 + b13 + 4*b12 + b11 + 4*b10 - b7 - b3 + b2 + b1 + 1) * q^45 + (b19 - b18 - b17 - b15 - 3*b14 - b13 - 3*b12 - 2*b11 - b10 + b9 - b8 - b7 - b6 - b4 - b3 + b2 + b1 + 1) * q^47 + (b16 - 3*b15 - 4*b14 + b13 - 2*b12 - 3*b11 - 5*b10 - 4*b9 - b8 + b7 - b4 + b3 - b1 + 6) * q^49 + (b18 + b17 - b16 - 3*b15 + b14 - 4*b13 + b12 - b11 + b10 - b9 - b8 - b7 + b6 - b5 + 3*b2 + b1 + 2) * q^51 + (-b17 - 2*b16 + 2*b15 + 4*b14 + b13 + 2*b12 + 5*b11 + 3*b10 + 2*b9 - 5*b8 - 3*b7 + 3*b6 + 2*b4 + 3*b1 - 5) * q^53 + (b19 - b18 + b17 + b16 - b15 - 3*b14 + 2*b13 + b12 - 2*b11 - 3*b10 - b8 - 3*b6 - b5 - b3 + b2 - 2*b1 + 3) * q^55 + (-b18 - b17 + 2*b16 - b15 - b14 - 3*b13 - 5*b12 - 3*b11 - 4*b9 + 3*b8 + 2*b7 - 6*b6 + 2*b5 + b3 - 2*b2 - b1 + 5) * q^57 + (-2*b19 + b18 - b16 + 4*b15 + 2*b14 + 4*b13 + 2*b12 + 2*b10 + 5*b9 - 2*b8 + 3*b7 + 3*b6 + b5 + b3 - b1 - 1) * q^59 + (b16 + 2*b15 - 3*b14 - 2*b13 - 2*b12 + 3*b11 - 2*b10 + b9 + 2*b8 + b7 + 2*b6 + b5 + 2*b4 - b2 - b1 - 1) * q^61 + (b19 + b18 - b17 - 2*b15 - 2*b13 + 2*b12 + 3*b11 + 3*b10 + 4*b9 + 3*b6 + b4 - b2 + b1 - 3) * q^63 + (b18 + b17 - 3*b16 - 6*b15 - 3*b14 - 4*b13 - 4*b12 - 6*b11 - 5*b10 - 8*b9 + 6*b8 - b7 - 2*b6 - b5 + 2*b4 + b2 - 1) * q^65 + (b18 - b17 - 2*b15 + 2*b14 + b13 + 2*b12 + 2*b11 + 2*b10 + 4*b9 - b8 - 2*b6 + 2*b5 + b3 + 2*b1 - 4) * q^67 + (-2*b19 + 3*b17 - b16 + 3*b15 + 5*b14 + 6*b13 + 5*b12 + 4*b11 + 6*b10 + b9 - 3*b8 + 4*b6 - b5 - 2*b3 + b2 - 3*b1 - 5) * q^69 + (-2*b18 + 2*b17 - b15 - 3*b13 - 3*b12 - 3*b10 + 2*b8 - b7 - b6 - 2*b5 - 2*b3 - b2 - 2*b1) * q^71 + (b19 - 2*b18 + 4*b16 - b15 - 3*b14 + 2*b12 - b11 - b10 - 7*b9 + 2*b7 - 2*b6 - b5 - 4*b4 + b3 + b2 + 2) * q^73 + (4*b19 - b18 - 4*b17 + 5*b16 + 3*b15 + 8*b13 - 2*b12 + 2*b11 + 4*b10 + 8*b9 - 7*b8 + 5*b6 + b5 - b4 - 4*b2 - b1 - 5) * q^75 + (-b19 + b18 + b17 - 2*b16 + 5*b15 + 6*b14 - b13 + 4*b12 - 2*b11 + b10 - b9 - 3*b8 - b7 - b5 - b4 - b3 + 2*b2 + 2*b1 - 6) * q^77 + (-2*b19 + 4*b18 - 4*b16 + 2*b15 + b14 - 2*b13 + 2*b9 - 2*b7 + 2*b5 + 2*b3 + 2*b1 - 3) * q^79 + (3*b18 - 2*b17 - b16 - b13 + 2*b11 - 3*b9 - 2*b8 - b7 - 2*b6 - b5 - b4 + 2*b3 + 2*b2 + 3*b1 - 3) * q^81 + (b17 - 5*b13 + 2*b12 - 3*b10 + b9 + 5*b8 + b7 - b5 - b4 - b3) * q^83 + (-b19 - 3*b17 + 2*b16 + 6*b15 + 5*b14 + 7*b13 + 2*b12 + b11 + b10 + 5*b9 - b8 - b7 + 5*b6 - b5 - 2*b4 - b1 - 3) * q^85 + (2*b18 + 2*b17 - 2*b16 + 2*b15 - 7*b14 - 7*b13 + 2*b12 - 2*b11 - 3*b10 - 2*b9 + 7*b8 - 2*b7 - 3*b6 + 2*b4 + b2 + 2*b1 + 3) * q^87 + (3*b18 - 2*b17 + b16 + 2*b15 - b14 + b13 - 6*b12 + 2*b11 - b10 - b9 - b7 - b6 + 2*b5 - b4 + b3 + b1) * q^89 + (2*b19 - 2*b17 + b16 + 6*b15 + 7*b14 + 5*b13 + 7*b12 + 5*b11 + 6*b10 + 3*b9 - 3*b8 - b7 + b1 - 4) * q^91 + (b19 - b17 + 3*b16 + b15 - 2*b13 - 2*b11 + b10 + 3*b9 - 3*b8 + b7 + 4*b3 - 4*b2 - b1 + 1) * q^93 + (-2*b19 + 3*b18 - b17 - 3*b15 + 3*b14 + 2*b12 - 5*b11 - 2*b10 + b9 + 2*b2 + b1 + 1) * q^95 + (-2*b18 - 4*b17 + 4*b16 - b15 + 4*b14 + 5*b13 - 2*b12 + 4*b11 + b10 + 4*b9 - 4*b8 + 3*b7 + b6 + b5 - 3*b4 + b3 - 3*b2 - 2*b1 + 1) * q^97 + (b19 + 2*b16 - b15 + 6*b13 + 2*b12 + 5*b11 + b10 - 5*b8 + 2*b7 + 4*b6 + b5 - 3*b4 - b3 - 3*b1) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$20 q + 2 q^{3} + 2 q^{5} + 2 q^{7} - 4 q^{9}+O(q^{10})$$ 20 * q + 2 * q^3 + 2 * q^5 + 2 * q^7 - 4 * q^9 $$20 q + 2 q^{3} + 2 q^{5} + 2 q^{7} - 4 q^{9} - 2 q^{11} + 6 q^{13} - 17 q^{15} - 9 q^{17} - 11 q^{19} - 47 q^{21} - 22 q^{23} - 16 q^{25} - 19 q^{27} - q^{29} - 13 q^{31} - 5 q^{33} + 14 q^{35} + 34 q^{37} + 30 q^{39} + 28 q^{41} + 44 q^{43} + 78 q^{45} + 26 q^{47} + 60 q^{49} + 62 q^{51} + 14 q^{53} + 26 q^{55} + 3 q^{57} - 10 q^{59} - 56 q^{61} - 27 q^{63} - 87 q^{65} - 44 q^{67} - 51 q^{69} - 37 q^{71} - 12 q^{73} - 53 q^{75} - 47 q^{77} - 6 q^{79} - 10 q^{81} - 25 q^{83} + 8 q^{85} + 48 q^{87} + 10 q^{89} + 26 q^{91} - 14 q^{93} + 29 q^{95} - q^{97} - q^{99}+O(q^{100})$$ 20 * q + 2 * q^3 + 2 * q^5 + 2 * q^7 - 4 * q^9 - 2 * q^11 + 6 * q^13 - 17 * q^15 - 9 * q^17 - 11 * q^19 - 47 * q^21 - 22 * q^23 - 16 * q^25 - 19 * q^27 - q^29 - 13 * q^31 - 5 * q^33 + 14 * q^35 + 34 * q^37 + 30 * q^39 + 28 * q^41 + 44 * q^43 + 78 * q^45 + 26 * q^47 + 60 * q^49 + 62 * q^51 + 14 * q^53 + 26 * q^55 + 3 * q^57 - 10 * q^59 - 56 * q^61 - 27 * q^63 - 87 * q^65 - 44 * q^67 - 51 * q^69 - 37 * q^71 - 12 * q^73 - 53 * q^75 - 47 * q^77 - 6 * q^79 - 10 * q^81 - 25 * q^83 + 8 * q^85 + 48 * q^87 + 10 * q^89 + 26 * q^91 - 14 * q^93 + 29 * q^95 - q^97 - q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{20} - 9 x^{19} + 51 x^{18} - 200 x^{17} + 633 x^{16} - 1688 x^{15} + 3957 x^{14} - 8161 x^{13} + 14788 x^{12} - 23925 x^{11} + 35080 x^{10} - 43945 x^{9} + 57269 x^{8} + \cdots + 529$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 26\!\cdots\!24 \nu^{19} + \cdots + 24\!\cdots\!76 ) / 20\!\cdots\!31$$ (-268187882846042131771490741640428884825430824*v^19 + 3121944329010074989617856130398370930068477485*v^18 - 20493414199911862484685392402139014512865167818*v^17 + 93946679372434964452571029034050291588991980010*v^16 - 335951656904225123797676609477796997457746203845*v^15 + 1001908077395219454216592790744632624814691377507*v^14 - 2590199372970666424746256395736742879336955652557*v^13 + 5922428550343324181107566180093448420950133800555*v^12 - 12016201019960469497405028786638114415567968706331*v^11 + 21763180475632657844931032762891881498366507172126*v^10 - 35583827004357279805200233888522728522001756258764*v^9 + 52286903258169538367022394398614517400022397933481*v^8 - 70522587341466705299261951214850979652370363431520*v^7 + 87518472648057778923045316946799322767444923280938*v^6 - 95019675872868463614522748883840641828469176054470*v^5 + 90124967541444702023321372512130716942485710798449*v^4 - 73055219384457235753540568069055285642005306278375*v^3 + 28802046341429242845145619235727535984995364774188*v^2 + 38603083855726975823469096272077881276798082718377*v + 2419075458216744928184444533079354566808260216776) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 58\!\cdots\!64 \nu^{19} + \cdots + 73\!\cdots\!27 ) / 20\!\cdots\!31$$ (588603425473937495466363980803544686404290864*v^19 - 4850198495437270459511678294223271247477342894*v^18 + 25720224370486901238742091862009236663566168161*v^17 - 91827316957188518521922874787437889677935251980*v^16 + 263925850418050142648032870944062868854613308108*v^15 - 627621937759911697281510038727818719034696506797*v^14 + 1299500902387382237289164926019921165953892988574*v^13 - 2276731288514485295961957850040943503619021534554*v^12 + 3242128073785948856818596386981788868655797339310*v^11 - 3615019831355309728246434872670114444749271719760*v^10 + 2690763180553533438349135201788905201172366678261*v^9 + 1939385094976858744060193675160804941591466387908*v^8 - 4407376665671039008791896541326802191681469963286*v^7 + 17189668366437573730049217198283085607260481098570*v^6 - 27554064166317504755179453648844149115494932805154*v^5 + 43303475650444697154303964725923576857246500751153*v^4 - 38968822636527631312707344741288704919047598464958*v^3 + 100471342593404878100473789300068989353946641982915*v^2 + 53819932462780574282049720911482791024702677664252*v + 7333366195107462798925212631362283178369032071227) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 95\!\cdots\!62 \nu^{19} + \cdots - 48\!\cdots\!81 ) / 20\!\cdots\!31$$ (958538853372200883798073432374878104561643462*v^19 - 9589846555568493448805639975682401031119782132*v^18 + 57989365041326796811415869306912587268903753381*v^17 - 245153761761310391915985971757825343326774113216*v^16 + 824892070639550047212625194903365621877150479821*v^15 - 2331867727779298988392176416306060203019164100922*v^14 + 5753829732119620335871614448593776929661827017468*v^13 - 12536565729299671605074731421339605030163795138724*v^12 + 24161483363919816695416574571770641899579573034629*v^11 - 41598348071410254927192851864259921811619428904721*v^10 + 64750211836836803747354493481955286534924093358091*v^9 - 88877063823667817528466272253301397672323999810682*v^8 + 116027594361742227213333718067035861863729787501192*v^7 - 133866497203814507624789034401186985256613440741965*v^6 + 135858968922684023875329562176113117159997928175234*v^5 - 117505170653265508072998306606278548624201466341565*v^4 + 86682182527985534718697093252358768043634298810005*v^3 + 44280399442362318970554211063926765544962753042965*v^2 - 28196377278460391725828220264465530943297137092348*v - 4862831950390946104529490307850466390470231688481) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!69 \nu^{19} + \cdots + 45\!\cdots\!85 ) / 20\!\cdots\!31$$ (1041491016212115264788332444341197368413664869*v^19 - 9936090367911955680776614419795302325608369367*v^18 + 58624295689670665589280389461042824153755878026*v^17 - 241022402586164638496235860854119278175109441422*v^16 + 794841016752011030696427928326782453352116112233*v^15 - 2205724917580824978764859036404589593561140567928*v^14 + 5364705976223833339546009239870089543376605504079*v^13 - 11523121851795273590487339081345847501708069121964*v^12 + 21900746185631796923326951434580554859994094862344*v^11 - 37284025766520326451289668975555308867863133876689*v^10 + 57590138248880596804561168206022986205516016544666*v^9 - 78320497493377909823030071886236701171772340293611*v^8 + 104109205502545844661679456812040658386876080819209*v^7 - 118683269289078218405864723034263922039187004156084*v^6 + 124401101414868455643012077549245862889554576128628*v^5 - 105907930030320016936659676450355480424972244172990*v^4 + 86305921655326316798195608507369046180055768334744*v^3 + 55200864220371605553255043307753883581656582914012*v^2 + 20215437182574852903108002314807601610151373975018*v + 4584207604458838417415386377723389870611482264285) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!65 \nu^{19} + \cdots - 35\!\cdots\!17 ) / 20\!\cdots\!31$$ (1603078268802530394192195824083407124791178765*v^19 - 17105254205412253026296112446242305450688639300*v^18 + 106834138052158470815898253640184293766624667256*v^17 - 466059765589090643776107279113053007142184141328*v^16 + 1600787265943381875852419071531399088744645615958*v^15 - 4599704607110626839566414855516778187105334045322*v^14 + 11493454722728876097235350326308014541403090098313*v^13 - 25363703926319454402895875167164923589460183033141*v^12 + 49523559277351970385197263667554671832087672969000*v^11 - 86166448564417161091987714082217876209698197862641*v^10 + 135238138108326841143895821834676293894015038268549*v^9 - 188650978673775485616808250986574389982935158132031*v^8 + 245290810249502391752465267445947217211468160874037*v^7 - 290831880053265269469820057349913695656491778641334*v^6 + 297779615336734036765283874233569341340724158366553*v^5 - 258658137219102188485605418186641146947962026925966*v^4 + 194147110852559927953133700820401813319444616037587*v^3 + 43388032580786210329456240326141607895085474583984*v^2 - 148957248325719867666511013524548409368213356829626*v - 35210690340482669477417296691265064963655546734217) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 28\!\cdots\!41 \nu^{19} + \cdots + 87\!\cdots\!95 ) / 20\!\cdots\!31$$ (2851767898558267810789177754443999323994051741*v^19 - 26551758675583354780281000542735128840960445548*v^18 + 153827198464818571936549760144720875176948947315*v^17 - 618897735682859778754660841098585190149833666725*v^16 + 2000261409386047864345200510407785477288270105300*v^15 - 5439626011859073456087769142570370517712001681558*v^14 + 12974256207072995227712882407477497499621662812922*v^13 - 27269569541448893352150921897005420319901464799941*v^12 + 50502779728267553446999329780380424697787547691591*v^11 - 83491415771436353247763604843193204457198231741175*v^10 + 124963548844669427301933008920769691700148053889020*v^9 - 162213073125005968774825698126769892362638630889390*v^8 + 210631827157033641674133539409867895265049294421033*v^7 - 224175944114083907541461322279827029688182032438891*v^6 + 216208785383137035379912177062604572814113447181602*v^5 - 159586347646449610731141878672202960280667760779591*v^4 + 119586217180479973263399264453202288647367606335987*v^3 + 241893712666231899971248903754136013865651481264069*v^2 + 71995223808470108336496380838503721274064214728845*v + 8738697238213833004550759889323211414194513712795) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 30\!\cdots\!51 \nu^{19} + \cdots - 28\!\cdots\!69 ) / 20\!\cdots\!31$$ (3004032679321645707917960522512471400993298951*v^19 - 29862185158912664741652717333947058114879016411*v^18 + 179945085788793259906027907985502067410429140014*v^17 - 757051765579474053426180336758965260136520758984*v^16 + 2536684664297518709332048009784635763961872505667*v^15 - 7139794563313811748665882067919476156013288523762*v^14 + 17559477867605721589554184545557925295122143856061*v^13 - 38150040290707558586072276625108873743588668546696*v^12 + 73346202391008294418444713828955245964979219091510*v^11 - 126037609709271597810735932286917177794621894588546*v^10 + 196064601156714867475163380909475622226097608358138*v^9 - 269695950191255549168585398373427581265914083567785*v^8 + 354799551456894762971148748568059542861197088465968*v^7 - 411819222883316258878511567214842060417300974030200*v^6 + 423343746929214046593449528161666499988006362072812*v^5 - 366408193284987059445230878937171672037011032498232*v^4 + 287789772081839077252269998378642446544056939018053*v^3 + 131148631646542014890065171475631990683409090409860*v^2 - 59857527425619259762845309226102559228638362751910*v - 28121446467643603936420948543813171715060782622769) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 45\!\cdots\!44 \nu^{19} + \cdots + 12\!\cdots\!17 ) / 20\!\cdots\!31$$ (-4572921471109158654412938625858893320998601544*v^19 + 40888105357136385757944956891089611004161983072*v^18 - 230097050697557016385442013788405188440860201259*v^17 + 894090880021919868397902332769639649686855140982*v^16 - 2800712611839662463790819121134629180603122797342*v^15 + 7383139786328034684851363790972014928387893202427*v^14 - 17093142183783721341295405351779008246376774932101*v^13 + 34729412752751177353917735729897685513332631548027*v^12 - 61701934164418914000350970219107866009977185832117*v^11 + 97390945176326151309424527837035908289323573233869*v^10 - 138654904730876627751874854232238096202264434991394*v^9 + 165373207043534697262976354024846338469281788592316*v^8 - 209599736470780868612552187765698444200246513889855*v^7 + 191725313183701325214011253100904834520257437913792*v^6 - 154027812377399090361700514209693281341022208874686*v^5 + 64968554715356561068768321880458599899987897563914*v^4 - 29827335567219638640584420582773913760628606302215*v^3 - 516299351736125765808477883196306097459757756735207*v^2 - 196963086687229919923221160722926027272705593453092*v + 1265180044120695410187452391940017310844501111617) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 86\!\cdots\!65 \nu^{19} + \cdots + 50\!\cdots\!07 ) / 20\!\cdots\!31$$ (8665798874213305136891089560913780473745713165*v^19 - 79033680884131861496808138492565221632125083354*v^18 + 451891832952790517662222182026398106486639740782*v^17 - 1791784070532331692967498301643798918902898511026*v^16 + 5726473089963186790148295552912542318056145874867*v^15 - 15422709516424070101768587107149243893034879934753*v^14 + 36496291062842873405442900428940418928172927561833*v^13 - 76086290588678616561714191146487451989615370643644*v^12 + 139672955603661629954832771508138833147459675405984*v^11 - 229229984251185122323446269179442752694360282334969*v^10 + 341280250273923070653429090772410727886862751704889*v^9 - 438408669776184291045240098960379069124271381580591*v^8 + 574602133220699681707645879950207995122715587539996*v^7 - 601075439340930467652109660951324140995245239405629*v^6 + 576419431623899209041588964731290720442909319244549*v^5 - 427582740828095149162283736927375386544022096919318*v^4 + 333220500299809223982449846722684856031796046204105*v^3 + 753652631624420923510383920452881867579168717322376*v^2 + 372629626199539269055058048314559458407169276042038*v + 50540810625376783539607743950053415957982374017207) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 91\!\cdots\!89 \nu^{19} + \cdots - 46\!\cdots\!37 ) / 20\!\cdots\!31$$ (-9192498961041486019904518540360049887467356689*v^19 + 81773951796001173295342593430865570882644566739*v^18 - 459227600457547293566324805582680143229715409007*v^17 + 1780510427166970407169487838765097390224567584419*v^16 - 5573698080577950258683574264290086235440062670921*v^15 + 14692046175598478354386202101224398588167747611211*v^14 - 34042850661061861192370003447898657201689166317451*v^13 + 69266154288939947072569161359284590201959270921461*v^12 - 123402108906581823657273288753504812705703475578208*v^11 + 195769054278997736330799031506343551658076935749696*v^10 - 280874515481925074651057658531570628240735443745399*v^9 + 339214155006131299397349573774167105769828896340014*v^8 - 437568159176217045345445600034578299333044050411659*v^7 + 411143836056064913056150611185532279082748183899580*v^6 - 351690490417357825432587539419171209849299806927704*v^5 + 185749799728313406017049923476923588202935012946120*v^4 - 123623269593813711715117119225905919973954766967594*v^3 - 977692721823814691656002266332377683536070247961397*v^2 - 498114073148980483773240291401502428489226152778895*v - 46860376738443341626692173617574276387873830273337) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 12\!\cdots\!80 \nu^{19} + \cdots + 40\!\cdots\!07 ) / 20\!\cdots\!31$$ (12679937779434674480881972155263965016986856480*v^19 - 115713759681173884620981833908289128108902334525*v^18 + 661364075205419461033696061742396043506150363220*v^17 - 2620529906694602078831837482849874158697587138321*v^16 + 8364305656284096587124901653810245126834619961481*v^15 - 22491302339440278322461884067640563072246874533694*v^14 + 53124330772812386236615127491260213866434914477693*v^13 - 110509023798719645009313595608985288650816427685978*v^12 + 202274141548080399985226484571378320579060237955395*v^11 - 330712860470103827264744757949613515583026634543466*v^10 + 490123809162986365699878531629520537586877314865208*v^9 - 625360999385957925569829465179971893113588283609488*v^8 + 815120813621678821002310530780873140537148946506118*v^7 - 844186253856218326535408111560006621495937712744713*v^6 + 795392267120504046466780773527698439080422459218415*v^5 - 567143284088631929407539011470235514949577710286893*v^4 + 429395043752824530347864517136338381131215884469894*v^3 + 1144836496489139699576719649701910566878521614716780*v^2 + 502301292858237315629370176379631087445593288023583*v + 40126603351725216714304777568295472009567875806407) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!63 \nu^{19} + \cdots + 59\!\cdots\!43 ) / 20\!\cdots\!31$$ (13862696020997094137854844293690516405234465163*v^19 - 125352867614447784736159962624018192333514477331*v^18 + 711847695566289071490108737272439607914435066207*v^17 - 2798259428569905728809710950600112517710459200761*v^16 + 8866913898248349107784039312693534774191351700159*v^15 - 23664156733861145047347010038693654560890390503252*v^14 + 55482310092845413200773128908861192134547475156788*v^13 - 114432963129744667496322549206828225549072363183817*v^12 + 207278280047019513406559395265136300104226292364998*v^11 - 334907130376141426104995746113527393863890376364085*v^10 + 489918396247933372084194372695333429940374309637800*v^9 - 611886939823270835326380267688018648629200938266296*v^8 + 791963353331505725436748884180201379069781119031939*v^7 - 790590514746470315608907714013236932615704638204438*v^6 + 715051798158649935725581513238743681433629203276253*v^5 - 457446218824286830751810128810212257838038065387564*v^4 + 320328903676330079175766455941872358968458754939500*v^3 + 1382652222559733971906701692440123079045613837784222*v^2 + 583929959963221659485419873479431805572478903114395*v + 59368980548660699353535082746500275424036730391643) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!55 \nu^{19} + \cdots - 62\!\cdots\!30 ) / 20\!\cdots\!31$$ (-16519276442748266549245292796452195489970725355*v^19 + 151525255883292666753996812922513758733730579936*v^18 - 869034857255744948791790933161797098829467438653*v^17 + 3457682487014471881785608319435159973171094018315*v^16 - 11075599723942512504426931181252824935301302816440*v^15 + 29884800044745121799471254750819091464358854504540*v^14 - 70806402895813964191451392738131708071526161911293*v^13 + 147788071256341598536103716919323864893272752435077*v^12 - 271556629576810259082390311770940487225588551349681*v^11 + 445726468621019830637692959935499201795337151809966*v^10 - 662987633383045543795288476142736222245371277194575*v^9 + 850903152121242000808517400860861422506911579614495*v^8 - 1108255515724756445783554371286790675877772101244885*v^7 + 1157979292595761231740252590700808402223890452079573*v^6 - 1096740645096490094939146933081228447663925716415346*v^5 + 794152191009127888871807990839281084226229244451632*v^4 - 592903488016179390584395154015940500178089857566596*v^3 - 1481594209862224006821848475721316115804514860873453*v^2 - 573662965312250019564991201606708877474203229512281*v - 62884668346569488038091434844528454901546757794730) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 18\!\cdots\!81 \nu^{19} + \cdots - 37\!\cdots\!88 ) / 20\!\cdots\!31$$ (-18587195836787417992806223853604621733726873381*v^19 + 171646397909137556562079287977502764172116670742*v^18 - 988430441398253389217098145821028725501880097550*v^17 + 3951390180482556495631913028612570895883355509877*v^16 - 12705178430556604913809720074673116703434590543201*v^15 + 34409334346708907195465699321667342441320072668785*v^14 - 81805799013779157541196657747065495322255957601097*v^13 + 171411404852739937631713553981849017853016037163674*v^12 - 316402011036868506033929819317568163332401469622527*v^11 + 521827951019710638229450024740193597605664295998925*v^10 - 780075528064409796287677646767683306190932873549448*v^9 + 1009506716444323738110217855384308376467335910154861*v^8 - 1316174966386921121548051339957904371453911734237026*v^7 + 1394714212498674493185849940228662901491660001840595*v^6 - 1334543898382924696906763482786462952083782702005379*v^5 + 991309715849013649003433868474798255331142368852227*v^4 - 747136848768946226839818438096909333099916430061323*v^3 - 1600254225361117495854284404439191370402101906741381*v^2 - 551957765954446717855431233298926486761430783628192*v - 37068260260421157958512282911594172513685220319588) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( 20\!\cdots\!15 \nu^{19} + \cdots - 37\!\cdots\!16 ) / 20\!\cdots\!31$$ (20362417148637639980803102577617340116039944515*v^19 - 190222979143600953004637453487254491731596497836*v^18 + 1102447389645878054625762389924024763950565862409*v^17 - 4440066337807903744188061451419517356386065642128*v^16 + 14355030149720401686419761816116503542347007673555*v^15 - 39074660057784838932220039996689199903737639239895*v^14 + 93277712084690031796794997503334439996114120632699*v^13 - 196288428699539739729590659794851856702668150583689*v^12 + 363974502981491685258936147630808832864175809124586*v^11 - 602648068649988008831346257792399126650836092324125*v^10 + 903704994524803018918457256722477909248468267146384*v^9 - 1175881551188035110645950384048603779585498993642600*v^8 + 1525789693222314057711339650658197132266213926529483*v^7 - 1634309685892957472731636398826150556114173141311792*v^6 + 1560420590510991746293067472559214066458104897844260*v^5 - 1169466298708719503397523872738262414711951105993734*v^4 + 855131175901633677420311498594080098510827894622316*v^3 + 1749129107283206592548683994848138502517236503535722*v^2 + 370487677290555236494726958659906660277865922560809*v - 37394141233741815721619738038080462322277785595016) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!50 \nu^{19} + \cdots - 97\!\cdots\!34 ) / 20\!\cdots\!31$$ (-22940056319909793910817146227091188446753195850*v^19 + 209434689019556808626505454224788177380848100619*v^18 - 1197798258965877161351361295565875305293005946323*v^17 + 4750219019128881412525949064021828348682425458988*v^16 - 15178346114001831176006312276277777568463826631802*v^15 + 40863828835453727739995634847670511259499677854780*v^14 - 96648673416408526212893848770076702941794533992224*v^13 + 201358536053198695332971667094807546548290402658777*v^12 - 369292446248871270249702830214440306278136006620845*v^11 + 605254436581706934498729975551916913068365306425243*v^10 - 899545193105610591860778821218828215915840942165985*v^9 + 1152723126093376664771750431561412090217188327943077*v^8 - 1506740128923577117115745183131009891361640001375787*v^7 + 1570886966870133899899631894825831305409342665238677*v^6 - 1495334679681733663527772071905159594388607327940577*v^5 + 1091513620777200662609672253929220216264233459349225*v^4 - 846820056648538182836522511222538271450992340850659*v^3 - 2022196363426013186578876359080543299900738148433173*v^2 - 938336007675135485106524749773625348206892371418414*v - 97375101062422943054299084788483525461536296901534) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{18}$$ $$=$$ $$( 31\!\cdots\!77 \nu^{19} + \cdots + 90\!\cdots\!66 ) / 20\!\cdots\!31$$ (31837714159828791172890505339801929288347608777*v^19 - 290355358329421925333880397620152576021988449042*v^18 + 1657854668754915865487438650097716783822473066966*v^17 - 6559971252918888079731580877360734335025570797357*v^16 + 20902817631399911201313969068319072122747009093233*v^15 - 56096796455537868280279396455720414043611137553253*v^14 + 132206011755137939936280678997951100115178968354652*v^13 - 274273453876814023654210452489171726681342279003402*v^12 + 500257719132190343620941605445977883185453157267530*v^11 - 814279665723004297249291450476811554994266586469674*v^10 + 1200394885520993885969302117524720386576064691742458*v^9 - 1518969400765418332994409421827001958340277260674321*v^8 + 1968167921605631049432737077504904863661879132781112*v^7 - 2011274349396116339973738444758454143902825287751334*v^6 + 1855469748886583796643550471365620796925107615106652*v^5 - 1258238792523487495138793943268887976229446233040486*v^4 + 902221865520192811468841508405779286866901440300275*v^3 + 3057905388029523141898844418292783002869299742499388*v^2 + 1134469337606785357780701440127479956973520168706750*v + 90736355094196369422169651050388519825888547634266) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831 $$\beta_{19}$$ $$=$$ $$( - 39\!\cdots\!49 \nu^{19} + \cdots - 10\!\cdots\!67 ) / 20\!\cdots\!31$$ (-39468107657586479168874789945117985792272409049*v^19 + 363655107514525294900056830187209539987656805797*v^18 - 2091416311779071235079557336874472373469328369880*v^17 + 8348556133367197701780901723389122015039929221220*v^16 - 26814925928710863041845444712708682593525003761298*v^15 + 72550399479065373538599384030838441027577646805805*v^14 - 172333501538310941125070011597778903277853143013723*v^13 + 360734035111537704924128651871635899880337255663050*v^12 - 665087931238250427867881250131211673184238871330708*v^11 + 1095591117750637641967178298658925975172795603152859*v^10 - 1635755556844155994499314471048072802815012610170839*v^9 + 2112114716575508219436766962330991088359354912349893*v^8 - 2753206187762267213466004325916840101637575102668918*v^7 + 2905443132182412216034848463544684531202145977067746*v^6 - 2772302625782583834953025736600278359102682395165286*v^5 + 2045038021632317003345760239507085839959898427708171*v^4 - 1541405829492138972776650853355847238282582763960106*v^3 - 3447540527731089611125544918514041174439281722806612*v^2 - 1240316925013644847373172969758722928177828713976750*v - 109785555204651190114798210174679472312373494132867) / 20797324654386575782284431044470086324823844268831
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$-\beta_{17} - \beta_{15} - 4\beta_{12} - \beta_{11} + \beta _1 - 1$$ -b17 - b15 - 4*b12 - b11 + b1 - 1 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{19} - 5 \beta_{17} - 2 \beta_{15} - 2 \beta_{14} - 7 \beta_{12} - \beta_{11} - 7 \beta_{10} + \beta_{9} - \beta_{6} + \beta_{4} - 1$$ b19 - 5*b17 - 2*b15 - 2*b14 - 7*b12 - b11 - 7*b10 + b9 - b6 + b4 - 1 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$2 \beta_{19} - 2 \beta_{18} - 7 \beta_{17} + 2 \beta_{16} - 2 \beta_{15} - 11 \beta_{14} - 3 \beta_{12} - 25 \beta_{10} + 4 \beta_{9} + 2 \beta_{8} - 11 \beta_{6} + 7 \beta_{5} + \beta_{2} - 3 \beta _1 + 2$$ 2*b19 - 2*b18 - 7*b17 + 2*b16 - 2*b15 - 11*b14 - 3*b12 - 25*b10 + 4*b9 + 2*b8 - 11*b6 + 7*b5 + b2 - 3*b1 + 2 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 11 \beta_{18} + 11 \beta_{16} + 12 \beta_{15} + 23 \beta_{13} + 24 \beta_{12} + 24 \beta_{11} - 8 \beta_{10} - 8 \beta_{9} - 7 \beta_{8} - 12 \beta_{6} + 30 \beta_{5} - 12 \beta_{4} - 12 \beta _1 + 12$$ -11*b18 + 11*b16 + 12*b15 + 23*b13 + 24*b12 + 24*b11 - 8*b10 - 8*b9 - 7*b8 - 12*b6 + 30*b5 - 12*b4 - 12*b1 + 12 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 5 \beta_{19} + 18 \beta_{17} + 18 \beta_{16} + 77 \beta_{15} + 98 \beta_{14} + 93 \beta_{13} + 114 \beta_{12} + 112 \beta_{11} + 130 \beta_{10} - 30 \beta_{9} - 72 \beta_{8} + 78 \beta_{6} + 45 \beta_{5} - 36 \beta_{4} - 5 \beta_{3} - 45 \beta_{2}$$ -5*b19 + 18*b17 + 18*b16 + 77*b15 + 98*b14 + 93*b13 + 114*b12 + 112*b11 + 130*b10 - 30*b9 - 72*b8 + 78*b6 + 45*b5 - 36*b4 - 5*b3 - 45*b2 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$114 \beta_{18} + 19 \beta_{17} - 19 \beta_{16} + 148 \beta_{15} + 227 \beta_{14} - \beta_{13} + 114 \beta_{12} + 50 \beta_{11} + 353 \beta_{10} + 50 \beta_{9} - 227 \beta_{8} - 16 \beta_{7} + 353 \beta_{6} - 8 \beta_{5} + 11 \beta_{4} - 3 \beta_{3} + \cdots - 132$$ 114*b18 + 19*b17 - 19*b16 + 148*b15 + 227*b14 - b13 + 114*b12 + 50*b11 + 353*b10 + 50*b9 - 227*b8 - 16*b7 + 353*b6 - 8*b5 + 11*b4 - 3*b3 - 197*b2 + 114*b1 - 132 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$82 \beta_{19} + 342 \beta_{18} - 211 \beta_{17} - 131 \beta_{16} - 102 \beta_{15} - 102 \beta_{14} - 787 \beta_{13} - 656 \beta_{12} - 738 \beta_{11} + 283 \beta_{9} - 174 \beta_{8} - 131 \beta_{7} + 414 \beta_{6} - 131 \beta_{5} + \cdots - 305$$ 82*b19 + 342*b18 - 211*b17 - 131*b16 - 102*b15 - 102*b14 - 787*b13 - 656*b12 - 738*b11 + 283*b9 - 174*b8 - 131*b7 + 414*b6 - 131*b5 + 500*b4 + 209*b3 - 369*b2 + 340*b1 - 305 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$67 \beta_{19} - 86 \beta_{18} - 830 \beta_{17} - 80 \beta_{16} - 1124 \beta_{15} - 2005 \beta_{14} - 2190 \beta_{13} - 2885 \beta_{12} - 2559 \beta_{11} - 3106 \beta_{10} - 166 \beta_{9} + 2055 \beta_{8} - 147 \beta_{7} + \cdots + 977$$ 67*b19 - 86*b18 - 830*b17 - 80*b16 - 1124*b15 - 2005*b14 - 2190*b13 - 2885*b12 - 2559*b11 - 3106*b10 - 166*b9 + 2055*b8 - 147*b7 - 2479*b6 - 166*b5 + 1521*b4 + 830*b3 + 80*b2 + 80*b1 + 977 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$- 1761 \beta_{19} - 4000 \beta_{18} + 1035 \beta_{16} - 1908 \beta_{15} - 3683 \beta_{14} + 615 \beta_{13} - 3669 \beta_{12} - 2965 \beta_{11} - 8810 \beta_{10} - 3385 \beta_{9} + 8810 \beta_{8} + 1848 \beta_{7} + \cdots + 6479$$ -1761*b19 - 4000*b18 + 1035*b16 - 1908*b15 - 3683*b14 + 615*b13 - 3669*b12 - 2965*b11 - 8810*b10 - 3385*b9 + 8810*b8 + 1848*b7 - 11824*b6 + 55*b5 + 55*b3 + 2965*b2 - 2796*b1 + 6479 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 6957 \beta_{19} - 11824 \beta_{18} + 6957 \beta_{17} + 3994 \beta_{16} + 3237 \beta_{15} + 11652 \beta_{14} + 23795 \beta_{13} + 11652 \beta_{12} + 11971 \beta_{11} + 3237 \beta_{10} - 6092 \beta_{9} + \cdots + 7927$$ -6957*b19 - 11824*b18 + 6957*b17 + 3994*b16 + 3237*b15 + 11652*b14 + 23795*b13 + 11652*b12 + 11971*b11 + 3237*b10 - 6092*b9 + 6092*b8 + 9989*b7 - 11824*b6 - 11824*b4 - 8390*b3 + 8390*b2 - 9989*b1 + 7927 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$- 939 \beta_{19} + 15349 \beta_{17} + 6292 \beta_{16} + 21527 \beta_{15} + 64536 \beta_{14} + 68375 \beta_{13} + 62706 \beta_{12} + 65099 \beta_{11} + 78946 \beta_{10} + 20588 \beta_{9} - 65099 \beta_{8} + \cdots - 41065$$ -939*b19 + 15349*b17 + 6292*b16 + 21527*b15 + 64536*b14 + 68375*b13 + 62706*b12 + 65099*b11 + 78946*b10 + 20588*b9 - 65099*b8 + 21641*b7 + 62083*b6 - 939*b5 - 32185*b4 - 25893*b3 - 12051*b1 - 41065 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$69465 \beta_{19} + 94268 \beta_{18} - 22527 \beta_{17} + 3016 \beta_{16} + 37992 \beta_{15} + 61882 \beta_{14} + 3016 \beta_{13} + 98874 \beta_{12} + 107457 \beta_{11} + 178476 \beta_{10} + 131347 \beta_{9} + \cdots - 197987$$ 69465*b19 + 94268*b18 - 22527*b17 + 3016*b16 + 37992*b15 + 61882*b14 + 3016*b13 + 98874*b12 + 107457*b11 + 178476*b10 + 131347*b9 - 260035*b8 - 8091*b7 + 257019*b6 + 11107*b5 - 3016*b4 + 3016*b3 - 69465*b2 + 19511*b1 - 197987 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$219027 \beta_{19} + 260035 \beta_{18} - 180672 \beta_{17} + 10817 \beta_{15} - 353220 \beta_{14} - 501879 \beta_{13} - 101178 \beta_{12} - 134193 \beta_{11} - 101178 \beta_{10} + 227454 \beta_{9} + \cdots - 227454$$ 219027*b19 + 260035*b18 - 180672*b17 + 10817*b15 - 353220*b14 - 501879*b13 - 101178*b12 - 134193*b11 - 101178*b10 + 227454*b9 - 260035*b8 - 206244*b7 + 229844*b6 + 89650*b5 + 219027*b4 + 260035*b3 - 206244*b2 + 89650*b1 - 227454 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$- 10817 \beta_{19} + 10817 \beta_{18} - 190828 \beta_{17} - 10817 \beta_{16} + 10817 \beta_{15} - 1270139 \beta_{14} - 1345570 \beta_{13} - 668518 \beta_{12} - 1049152 \beta_{11} + \cdots + 1038335$$ -10817*b19 + 10817*b18 - 190828*b17 - 10817*b16 + 10817*b15 - 1270139*b14 - 1345570*b13 - 668518*b12 - 1049152*b11 - 1381010*b10 - 477690*b9 + 1334753*b8 - 570281*b7 - 1270139*b6 + 190828*b5 + 570281*b4 + 761914*b3 - 68440*b2 + 79257*b1 + 1038335 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$- 2107484 \beta_{19} - 1840420 \beta_{18} + 1359709 \beta_{17} - 267064 \beta_{16} + 292387 \beta_{15} + 25323 \beta_{13} - 672330 \beta_{12} - 2032039 \beta_{11} - 2010725 \beta_{10} + \cdots + 4815018$$ -2107484*b19 - 1840420*b18 + 1359709*b17 - 267064*b16 + 292387*b15 + 25323*b13 - 672330*b12 - 2032039*b11 - 2010725*b10 - 3370434*b9 + 5913241*b8 - 4815018*b6 - 524829*b5 - 152547*b4 + 1359709*b2 - 152547*b1 + 4815018 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$- 6205628 \beta_{19} - 4662471 \beta_{18} + 5660522 \beta_{17} - 1517834 \beta_{16} - 194412 \beta_{15} + 10748978 \beta_{14} + 9205821 \beta_{13} + 1673060 \beta_{12} + \cdots + 4662471$$ -6205628*b19 - 4662471*b18 + 5660522*b17 - 1517834*b16 - 194412*b15 + 10748978*b14 + 9205821*b13 + 1673060*b12 + 682551*b11 + 6343073*b10 - 5590034*b9 + 6400040*b8 + 4662471*b7 - 2469628*b6 - 4427345*b5 - 4142688*b4 - 6205628*b3 + 4427345*b2 + 4662471 $$\nu^{18}$$ $$=$$ $$1673060 \beta_{18} + 3385306 \beta_{17} - 3385306 \beta_{16} - 8227854 \beta_{15} + 25425140 \beta_{14} + 20925100 \beta_{13} + 1673060 \beta_{12} + 12040041 \beta_{11} + \cdots - 25983466$$ 1673060*b18 + 3385306*b17 - 3385306*b16 - 8227854*b15 + 25425140*b14 + 20925100*b13 + 1673060*b12 + 12040041*b11 + 27435577*b10 + 12040041*b9 - 25425140*b8 + 13738389*b7 + 27435577*b6 - 10964830*b5 - 7579524*b4 - 17123695*b3 + 3459068*b2 + 1673060*b1 - 25983466 $$\nu^{19}$$ $$=$$ $$50776689 \beta_{19} + 35015101 \beta_{18} - 39163529 \beta_{17} + 4148428 \beta_{16} - 32082975 \beta_{15} - 32082975 \beta_{14} - 16208439 \beta_{13} - 20356867 \beta_{12} + \cdots - 104318793$$ 50776689*b19 + 35015101*b18 - 39163529*b17 + 4148428*b16 - 32082975*b15 - 32082975*b14 - 16208439*b13 - 20356867*b12 + 22591893*b11 + 77278974*b9 - 108467221*b8 + 4148428*b7 + 73130546*b6 + 4148428*b5 + 11936468*b4 + 1114734*b3 - 16084896*b2 - 3033694*b1 - 104318793

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/92\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$5$$ $$47$$ $$\chi(n)$$ $$-\beta_{13}$$ $$1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
9.1
 −0.858865 + 1.88065i 1.20400 − 2.63640i −0.420431 − 0.123450i 2.26168 + 0.664090i 1.82483 − 2.10597i −0.967148 + 1.11615i 0.291382 − 2.02660i −0.250875 + 1.74487i −0.858865 − 1.88065i 1.20400 + 2.63640i 1.53106 − 0.983952i −0.115644 + 0.0743196i 0.291382 + 2.02660i −0.250875 − 1.74487i 1.53106 + 0.983952i −0.115644 − 0.0743196i 1.82483 + 2.10597i −0.967148 − 1.11615i −0.420431 + 0.123450i 2.26168 − 0.664090i
0 −1.35392 1.56250i 0 −0.187926 1.30705i 0 1.18148 2.58708i 0 −0.181380 + 1.26153i 0
9.2 0 1.89799 + 2.19040i 0 −0.556197 3.86843i 0 −1.06324 + 2.32817i 0 −0.768534 + 5.34527i 0
13.1 0 −0.368621 0.236898i 0 0.781296 1.71080i 0 4.72847 + 1.38840i 0 −1.16648 2.55425i 0
13.2 0 1.98297 + 1.27438i 0 −0.105327 + 0.230633i 0 −3.93129 1.15433i 0 1.06190 + 2.32523i 0
25.1 0 −0.396574 2.75823i 0 −1.50454 0.441774i 0 −0.107929 + 0.124557i 0 −4.57211 + 1.34249i 0
25.2 0 0.210181 + 1.46184i 0 0.926812 + 0.272136i 0 −1.14874 + 1.32572i 0 0.785668 0.230693i 0
29.1 0 −1.96451 0.576832i 0 3.22799 2.07450i 0 0.267813 1.86268i 0 1.00280 + 0.644459i 0
29.2 0 1.69141 + 0.496642i 0 −0.630070 + 0.404921i 0 −0.0283674 + 0.197300i 0 0.0904475 + 0.0581271i 0
41.1 0 −1.35392 + 1.56250i 0 −0.187926 + 1.30705i 0 1.18148 + 2.58708i 0 −0.181380 1.26153i 0
41.2 0 1.89799 2.19040i 0 −0.556197 + 3.86843i 0 −1.06324 2.32817i 0 −0.768534 5.34527i 0
49.1 0 −0.756044 + 1.65551i 0 −2.72780 + 3.14805i 0 1.70185 1.09371i 0 −0.204514 0.236022i 0
49.2 0 0.0571054 0.125043i 0 1.77577 2.04934i 0 −0.600040 + 0.385622i 0 1.95221 + 2.25297i 0
73.1 0 −1.96451 + 0.576832i 0 3.22799 + 2.07450i 0 0.267813 + 1.86268i 0 1.00280 0.644459i 0
73.2 0 1.69141 0.496642i 0 −0.630070 0.404921i 0 −0.0283674 0.197300i 0 0.0904475 0.0581271i 0
77.1 0 −0.756044 1.65551i 0 −2.72780 3.14805i 0 1.70185 + 1.09371i 0 −0.204514 + 0.236022i 0
77.2 0 0.0571054 + 0.125043i 0 1.77577 + 2.04934i 0 −0.600040 0.385622i 0 1.95221 2.25297i 0
81.1 0 −0.396574 + 2.75823i 0 −1.50454 + 0.441774i 0 −0.107929 0.124557i 0 −4.57211 1.34249i 0
81.2 0 0.210181 1.46184i 0 0.926812 0.272136i 0 −1.14874 1.32572i 0 0.785668 + 0.230693i 0
85.1 0 −0.368621 + 0.236898i 0 0.781296 + 1.71080i 0 4.72847 1.38840i 0 −1.16648 + 2.55425i 0
85.2 0 1.98297 1.27438i 0 −0.105327 0.230633i 0 −3.93129 + 1.15433i 0 1.06190 2.32523i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 9.2 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
23.c even 11 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 92.2.e.a 20
3.b odd 2 1 828.2.q.a 20
4.b odd 2 1 368.2.m.d 20
23.c even 11 1 inner 92.2.e.a 20
23.c even 11 1 2116.2.a.j 10
23.d odd 22 1 2116.2.a.i 10
69.h odd 22 1 828.2.q.a 20
92.g odd 22 1 368.2.m.d 20
92.g odd 22 1 8464.2.a.ce 10
92.h even 22 1 8464.2.a.cd 10

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
92.2.e.a 20 1.a even 1 1 trivial
92.2.e.a 20 23.c even 11 1 inner
368.2.m.d 20 4.b odd 2 1
368.2.m.d 20 92.g odd 22 1
828.2.q.a 20 3.b odd 2 1
828.2.q.a 20 69.h odd 22 1
2116.2.a.i 10 23.d odd 22 1
2116.2.a.j 10 23.c even 11 1
8464.2.a.cd 10 92.h even 22 1
8464.2.a.ce 10 92.g odd 22 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{2}^{\mathrm{new}}(92, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{20}$$
$3$ $$T^{20} - 2 T^{19} + 7 T^{18} - 9 T^{17} + \cdots + 529$$
$5$ $$T^{20} - 2 T^{19} + 15 T^{18} + \cdots + 14641$$
$7$ $$T^{20} - 2 T^{19} - 21 T^{18} + 26 T^{17} + \cdots + 529$$
$11$ $$T^{20} + 2 T^{19} + 4 T^{18} + \cdots + 25715041$$
$13$ $$T^{20} - 6 T^{19} + \cdots + 14988860041$$
$17$ $$T^{20} + 9 T^{19} + 83 T^{18} + \cdots + 139129$$
$19$ $$T^{20} + 11 T^{19} + 125 T^{18} + \cdots + 1024$$
$23$ $$T^{20} + 22 T^{19} + \cdots + 41426511213649$$
$29$ $$T^{20} + T^{19} + \cdots + 10805664116809$$
$31$ $$T^{20} + 13 T^{19} + \cdots + 2079845655889$$
$37$ $$T^{20} - 34 T^{19} + \cdots + 1866439595329$$
$41$ $$T^{20} - 28 T^{19} + \cdots + 65806215082609$$
$43$ $$T^{20} + \cdots + 150230641573321$$
$47$ $$(T^{10} - 13 T^{9} - 139 T^{8} + \cdots - 3761152)^{2}$$
$53$ $$T^{20} + \cdots + 130889227506489$$
$59$ $$T^{20} + 10 T^{19} + \cdots + 6274789532209$$
$61$ $$T^{20} + \cdots + 791079807551881$$
$67$ $$T^{20} + 44 T^{19} + \cdots + 14858951082361$$
$71$ $$T^{20} + 37 T^{19} + \cdots + 59472089161$$
$73$ $$T^{20} + 12 T^{19} + \cdots + 12\!\cdots\!81$$
$79$ $$T^{20} + 6 T^{19} + \cdots + 1214604572281$$
$83$ $$T^{20} + 25 T^{19} + \cdots + 19165912096321$$
$89$ $$T^{20} + \cdots + 153528281766409$$
$97$ $$T^{20} + T^{19} + \cdots + 14\!\cdots\!61$$