LMFDB - Newform orbit 756.4.j.b

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [756,4,Mod(253,756)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(756, base_ring=CyclotomicField(6))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 2, 0]))

N = Newforms(chi, 4, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("756.253");

S:= CuspForms(chi, 4);

N := Newforms(S);

Level:	$ N $	$=$	$ 756 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7 $
Weight:	$ k $	$=$	$ 4 $
Character orbit:	$[\chi]$	$=$	756.j (of order $3$, degree $2$, not minimal)

Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

Self dual:	no
Analytic conductor:	$44.6054439643$
Analytic rank:	$0$
Dimension:	$18$
Relative dimension:	$9$ over $\Q(\zeta_{3})$
Coefficient field:	$\mathbb{Q}[x]/(x^{18} - \cdots)$
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	$ x^{18} - 7 x^{17} + 81 x^{16} - 470 x^{15} + 2687 x^{14} - 12243 x^{13} + 43732 x^{12} + \cdots + 5500612092612 $ x^18 - 7x^17 + 81x^16 - 470x^15 + 2687x^14 - 12243x^13 + 43732x^12 - 169303x^11 + 166449x^10 - 57172x^9 - 3758051x^8 + 73649097x^7 + 358194386x^6 + 3599409199x^5 + 26802380109x^4 + 114591208112x^3 + 655546044172x^2 + 1324018291596*x + 5500612092612
Coefficient ring:	$\Z[a_1, \ldots, a_{17}]$
Coefficient ring index:	$ 2^{6}\cdot 3^{22} $
Twist minimal:	no (minimal twist has level 252)
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{3}]$

$q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $q$-expansion are expressed in terms of a basis $1,\beta_1,\ldots,\beta_{17}$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $q$-expansion of the trace form.

$f(q)$	$=$	$ q + (\beta_{2} - \beta_1) q^{5} + ( - 7 \beta_1 - 7) q^{7}+O(q^{10}) $ q + (b2 - b1) * q^5 + (-7b1 - 7) q^7	$ q + (\beta_{2} - \beta_1) q^{5} + ( - 7 \beta_1 - 7) q^{7} + (\beta_{10} + \beta_{5} + 10 \beta_1 + 10) q^{11} + (\beta_{17} + \beta_{16} + \cdots + 2 \beta_1) q^{13}+ \cdots + (2 \beta_{13} - 7 \beta_{12} + \cdots + 105) q^{97}+O(q^{100}) $ q + (b2 - b1) * q^5 + (-7b1 - 7) q^7 + (b10 + b5 + 10b1 + 10) q^11 + (b17 + b16 - b14 + b10 - b9 - b2 + 2b1) q^13 + (b17 + b16 - b14 + b13 - b7 + b5 - b2 + 3) * q^17 + (-b17 - b11 + b8 + b7 - b4 + b3 - 5) * q^19 + (-b17 - 2b16 + b15 - b10 - b7 - b6 - b2 - 27b1) * q^23 + (-b12 - 3b10 - b9 - b8 - 2b6 - b4 - 36b1 - 36) q^25 + (b13 - b12 - b9 + 3b8 + b6 + 2b5 - b4 + 35b1 + 35) q^29 + (b16 + b15 - b14 - 4b11 - b9 - 2b7 - 2b6 + 2b3 - 6b2 + 3b1) * q^31 + (7b5 - 7b2 - 7) * q^35 + (-4b14 + 2b11 - 2b8 + b7 - 5b5 - b4 + b3 + 5b2 - 2) q^37 + (4b17 - 2b15 + 4b14 + 3b11 + 4b10 + 4b9 + 3b7 + 3b6 + 2b3 + 5b2 - 5b1) q^41 + (-4b13 - b12 - b10 + 4b9 - 3b8 + 5b5 + b4 - 20b1 - 20) q^43 + (-b13 + 2b10 - b9 + 2b6 + 9b5 + 3b4 + 115b1 + 115) q^47 + 49b1 q^49 + (-3b17 - 2b16 - 4b15 + b14 - 2b13 - 4b12 - 3b11 + 3b8 - 4b7 - 8b5 - b4 + b3 + 8b2 - 81) * q^53 + (8b17 + 3b16 - 6b15 + 3b13 - 6b12 - b11 + b8 + b7 - 30b5 - 4b4 + 4b3 + 30b2 - 91) q^55 + (-2b16 - 2b15 - 3b14 + 3b11 - 3b9 - b7 - b6 + 2b3 + 6b2 - 47b1) * q^59 + (-2b13 - b12 - 6b10 + 4b9 + 4b8 - b6 + 17b5 - 6b4 - 27b1 - 27) q^61 + (6b13 - 4b12 - 10b10 + 16b9 - 6b8 + 3b6 - 5b5 + 5b4 + 154b1 + 154) q^65 + (-7b17 - b16 + b15 + 8b14 + 10b11 - 7b10 + 8b9 + 8b7 + 8b6 - 18b2 + 61b1) q^67 + (5b17 - 2b16 - 8b15 - 2b13 - 8b12 + 9b11 - 9b8 + 11b7 - b5 - 3b4 + 3b3 + b2 - 199) * q^71 + (6b17 + 4b15 - 8b14 + 4b12 - 2b11 + 2b8 - 7b7 - 14b5 - 6b4 + 6b3 + 14b2 + 9) q^73 + (-7b17 - 7b10 - 7b2 - 70b1) * q^77 + (10b13 - 9b12 - 8b10 + 8b9 + 3b8 + 3b6 + 20b5 - 3b4 + 4b1 + 4) q^79 + (-7b13 - 6b12 - 6b10 - 10b9 - 9b8 - 7b6 - 10b5 + 6b4 + 61b1 + 61) q^83 + (-17b17 - 9b16 + 7b15 + 18b14 - 2b11 - 17b10 + 18b9 + 5b7 + 5b6 + 4b2 + 116b1) q^85 + (8b17 - 8b16 - 3b15 - 4b14 - 8b13 - 3b12 + 3b11 - 3b8 - 7b7 - 3b5 - 2b4 + 2b3 + 3b2 - 154) q^89 + (-7b17 - 7b16 + 7b14 - 7b13 - 7b5 + 7b2 + 14) * q^91 + (16b17 + 21b16 - 7b15 - 16b14 - 18b11 + 16b10 - 16b9 - 3b7 - 3b6 + 18b3 - 5b2 - 21b1) * q^95 + (2b13 - 7b12 + 2b10 + 14b9 - 5b8 + 8b6 - 3b5 + 105b1 + 105) * q^97
$\operatorname{Tr}(f)(q)$	$=$	$ 18 q + 6 q^{5} - 63 q^{7}+O(q^{10}) $ 18 * q + 6 * q^5 - 63 * q^7	$ 18 q + 6 q^{5} - 63 q^{7} + 93 q^{11} - 18 q^{13} + 54 q^{17} - 90 q^{19} + 246 q^{23} - 315 q^{25} + 318 q^{29} - 18 q^{31} - 84 q^{35} - 72 q^{37} + 57 q^{41} - 171 q^{43} + 1056 q^{47} - 441 q^{49} - 1512 q^{53} - 1800 q^{55} + 411 q^{59} - 198 q^{61} + 1326 q^{65} - 441 q^{67} - 3516 q^{71} + 54 q^{73} + 651 q^{77} + 72 q^{79} + 558 q^{83} - 1008 q^{85} - 2784 q^{89} + 252 q^{91} + 156 q^{95} + 909 q^{97}+O(q^{100}) $ 18 * q + 6 * q^5 - 63 * q^7 + 93 * q^11 - 18 * q^13 + 54 * q^17 - 90 * q^19 + 246 * q^23 - 315 * q^25 + 318 * q^29 - 18 * q^31 - 84 * q^35 - 72 * q^37 + 57 * q^41 - 171 * q^43 + 1056 * q^47 - 441 * q^49 - 1512 * q^53 - 1800 * q^55 + 411 * q^59 - 198 * q^61 + 1326 * q^65 - 441 * q^67 - 3516 * q^71 + 54 * q^73 + 651 * q^77 + 72 * q^79 + 558 * q^83 - 1008 * q^85 - 2784 * q^89 + 252 * q^91 + 156 * q^95 + 909 * q^97

Display 100 coefficients 10 coefficients

Basis of coefficient ring in terms of a root $\nu$ of $ x^{18} - 7 x^{17} + 81 x^{16} - 470 x^{15} + 2687 x^{14} - 12243 x^{13} + 43732 x^{12} + \cdots + 5500612092612 $ x^18 - 7*x^17 + 81*x^16 - 470*x^15 + 2687*x^14 - 12243*x^13 + 43732*x^12 - 169303*x^11 + 166449*x^10 - 57172*x^9 - 3758051*x^8 + 73649097*x^7 + 358194386*x^6 + 3599409199*x^5 + 26802380109*x^4 + 114591208112*x^3 + 655546044172*x^2 + 1324018291596*x + 5500612092612 :

$\beta_{1}$	$=$	$ ( - 13315800857 \nu^{17} - 468924789381 \nu^{16} + 3153303989877 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!28 ) / 28\!\cdots\!60 $ (-13315800857v^17 - 468924789381v^16 + 3153303989877v^15 - 26780596660724v^14 + 144361057555383v^13 - 639270116555289v^12 + 2482336757105530v^11 - 5357935068192207v^10 + 27019261047320319v^9 + 50256977890674110v^8 - 590608070231663955v^7 - 412547145864241521v^6 - 29543405127212658064v^5 - 245152146093031333293v^4 - 1615394096202361273185v^3 - 10383177724615955168890v^2 - 31868395054573493278170*v - 119418602658891287627928) / 2837853609355218130560
$\beta_{2}$	$=$	$ ( 9988724986 \nu^{17} + 2313647830569 \nu^{16} - 16444663818747 \nu^{15} + \cdots + 46\!\cdots\!90 ) / 14\!\cdots\!80 $ (9988724986v^17 + 2313647830569v^16 - 16444663818747v^15 + 124540717085305v^14 - 629547150035334v^13 + 2680955378956353v^12 - 10141182689344577v^11 + 22536757427037804v^10 - 99047133357274653v^9 - 265594891716414313v^8 + 2629925749006371672v^7 - 458413780959705585v^6 + 99814262517300381347v^5 + 909433856547434475246v^4 + 5850450196503191312541v^3 + 38670595329535605423791v^2 + 114461929263992641354566*v + 464396716562452808324190) / 1418926804677609065280
$\beta_{3}$	$=$	$ ( - 146226447643 \nu^{17} - 7268066260941 \nu^{16} + 50210953821825 \nu^{15} + \cdots - 16\!\cdots\!24 ) / 28\!\cdots\!60 $ (-146226447643v^17 - 7268066260941v^16 + 50210953821825v^15 - 407075009751742v^14 + 2103516695742357v^13 - 9020862450653673v^12 + 33880349040252104v^11 - 68210821768368969v^10 + 362291879163257403v^9 + 592524603685741396v^8 - 7421089585254459549v^7 - 13871981550519426093v^6 - 370806989510041535606v^5 - 3588776612800413281391v^4 - 22465770989869049112537v^3 - 146752733771182123821092v^2 - 441183086117087330019762*v - 1698146515554148969058724) / 2837853609355218130560
$\beta_{4}$	$=$	$ ( 278860848133 \nu^{17} - 11888867871249 \nu^{16} + 87937182313725 \nu^{15} + \cdots - 19\!\cdots\!76 ) / 28\!\cdots\!60 $ (278860848133v^17 - 11888867871249v^16 + 87937182313725v^15 - 653325890095418v^14 + 3378773581394613v^13 - 14448858171081837v^12 + 51764087428638676v^11 - 124464183338952081v^10 + 426619570322835327v^9 + 1270105471004571104v^8 - 10366511127982015701v^7 + 10429644400944831303v^6 - 296819286232419814954v^5 - 3081598919222625273759v^4 - 18341434039423755911853v^3 - 150520576899360756621688v^2 - 432219191277064383218538*v - 1995295320298874584196076) / 2837853609355218130560
$\beta_{5}$	$=$	$ ( - 52446298994 \nu^{17} + 1450917493401 \nu^{16} - 10638858706899 \nu^{15} + \cdots + 23\!\cdots\!02 ) / 47\!\cdots\!60 $ (-52446298994v^17 + 1450917493401v^16 - 10638858706899v^15 + 76601942339581v^14 - 387846820484274v^13 + 1648336188413505v^12 - 5851869770644781v^11 + 14845223982533040v^10 - 43270860967811925v^9 - 201857339992033189v^8 + 1310508564781732476v^7 - 3150072701260064121v^6 + 27391848724391882687v^5 + 279317041563965678850v^4 + 1727428316646712567533v^3 + 15709959719493607025843v^2 + 44475396597257734186038*v + 235405553302236589374102) / 472975601559203021760
$\beta_{6}$	$=$	$ ( - 5924783639 \nu^{17} - 49836366303 \nu^{16} + 329733563655 \nu^{15} + \cdots - 19\!\cdots\!32 ) / 14\!\cdots\!60 $ (-5924783639v^17 - 49836366303v^16 + 329733563655v^15 - 3481627703096v^14 + 19489642246041v^13 - 86674162888779v^12 + 359642569614562v^11 - 668936099515977v^10 + 4252855033118469v^9 + 7638591214634078v^8 - 111933549902982837v^7 - 150120051413596059v^6 - 6360268088092625908v^5 - 48705295930425109203v^4 - 320563829942179219731v^3 - 1841447202139237559626v^2 - 5845322828463133598046*v - 19729388080064819172432) / 14857872300289100160
$\beta_{7}$	$=$	$ ( 169672952 \nu^{17} - 1036772391 \nu^{16} + 8301427305 \nu^{15} - 39329131417 \nu^{14} + \cdots + 45\!\cdots\!66 ) / 14\!\cdots\!40 $ (169672952v^17 - 1036772391v^16 + 8301427305v^15 - 39329131417v^14 + 161688093672v^13 - 590234747943v^12 + 1111026185909v^11 - 6238981758654v^10 - 25463021863737v^9 + 154429098661861v^8 + 127206525569646v^7 + 7175981668728747v^6 + 70651661793990469v^5 + 483622745745717564v^4 + 3279936621155102013v^3 + 11923382268541312093v^2 + 45952135997897859678*v + 45317423038481614866) / 142864156733549040
$\beta_{8}$	$=$	$ ( 43515894851 \nu^{17} + 218458409478 \nu^{16} - 1353774191736 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!94 ) / 36\!\cdots\!20 $ (43515894851v^17 + 218458409478v^16 - 1353774191736v^15 + 17086958507717v^14 - 99865112992269v^13 + 461088255924402v^12 - 2024183687365075v^11 + 3781487416057371v^10 - 28146388900759572v^9 - 20946942202934015v^8 + 597510683126592555v^7 + 1412889168187582248v^6 + 39725753961191191867v^5 + 300088265350194023019v^4 + 1996712853779823010230v^3 + 11064796027363218184465v^2 + 35565455915896976849520*v + 112664388324685447284294) / 36382738581477155520
$\beta_{9}$	$=$	$ ( 1800312252956 \nu^{17} + 3150639639357 \nu^{16} - 10194755353275 \nu^{15} + \cdots + 34\!\cdots\!78 ) / 14\!\cdots\!80 $ (1800312252956v^17 + 3150639639357v^16 - 10194755353275v^15 + 345375641529719v^14 - 2265531383345604v^13 + 11323744702984221v^12 - 56654934822115123v^11 + 102752906952529278v^10 - 973580129223068901v^9 + 116184661005305053v^8 + 16806873658511384778v^7 + 69229572342264423471v^6 + 1382924477528294345317v^5 + 10335407623612911575232v^4 + 69912205430921961855249v^3 + 363731816773279553117269v^2 + 1204751190153525844124934*v + 3443148246631345566486978) / 1418926804677609065280
$\beta_{10}$	$=$	$ ( 1805061544958 \nu^{17} - 6203458758963 \nu^{16} + 49762273316289 \nu^{15} + \cdots + 14\!\cdots\!70 ) / 14\!\cdots\!80 $ (1805061544958v^17 - 6203458758963v^16 + 49762273316289v^15 - 124197144716455v^14 + 203766918434238v^13 + 361761423202869v^12 - 14710623359954041v^11 + 7599674712011112v^10 - 546576101095188009v^9 + 1316378555175206671v^8 + 6229532828061762276v^7 + 72127116175728485955v^6 + 955860838586648532691v^5 + 6790384354864835753538v^4 + 45284344448937983016753v^3 + 195335287946913151497223v^2 + 688231685961717310894158*v + 1429803054157857390887070) / 1418926804677609065280
$\beta_{11}$	$=$	$ ( - 22029359983 \nu^{17} + 310091330376 \nu^{16} - 2336357942082 \nu^{15} + \cdots + 32\!\cdots\!38 ) / 12\!\cdots\!40 $ (-22029359983v^17 + 310091330376v^16 - 2336357942082v^15 + 15092730660209v^14 - 73184980128543v^13 + 302507924280204v^12 - 992788857570595v^11 + 2732362652715957v^10 - 4108651858359714v^9 - 44873484291332615v^8 + 197092286277190605v^7 - 1121048259346499094v^6 - 1334722957763886761v^5 + 2936472082356514113v^4 - 4180103476565993040v^3 + 1444815561166360473145v^2 + 2869096043962443636900*v + 32204676144195484107438) / 12127579527159051840
$\beta_{12}$	$=$	$ ( - 415942152611 \nu^{17} + 5260605596049 \nu^{16} - 38742103153041 \nu^{15} + \cdots + 50\!\cdots\!28 ) / 21\!\cdots\!20 $ (-415942152611v^17 + 5260605596049v^16 - 38742103153041v^15 + 245357415417964v^14 - 1185800944237491v^13 + 4884014912487285v^12 - 15613651644853034v^11 + 44734152408012315v^10 - 62005010542291635v^9 - 740483776089835006v^8 + 2878949316966813519v^7 - 19378049660558616099v^6 - 49809464976177468472v^5 - 130691782624408048095v^4 - 1138960020720063729603v^3 + 20120346904845944640602v^2 + 36208162772883657785682*v + 501123603098555488777128) / 218296431488862933120
$\beta_{13}$	$=$	$ ( - 927851554363 \nu^{17} - 7150672575030 \nu^{16} + 45993207313464 \nu^{15} + \cdots - 29\!\cdots\!18 ) / 47\!\cdots\!60 $ (-927851554363v^17 - 7150672575030v^16 + 45993207313464v^15 - 500422292418829v^14 + 2853152658003477v^13 - 13099255577966082v^12 + 56125374426228107v^11 - 115361577160600851v^10 + 750345966323449332v^9 + 628414022125808023v^8 - 15188181513647244387v^7 - 29691751113929294376v^6 - 959040546103881195251v^5 - 7342377639664823486499v^4 - 48925365775547198099046v^3 - 279847370494611536871161v^2 - 891221251769809843472496*v - 2953116695852315200788918) / 472975601559203021760
$\beta_{14}$	$=$	$ ( - 743381512 \nu^{17} + 5134833501 \nu^{16} - 40642013235 \nu^{15} + 209874551987 \nu^{14} + \cdots - 38\!\cdots\!06 ) / 28\!\cdots\!80 $ (-743381512v^17 + 5134833501v^16 - 40642013235v^15 + 209874551987v^14 - 905468519112v^13 + 3377323340493v^12 - 7481195959879v^11 + 31579887423114v^10 + 97914210831267v^9 - 826642462573991v^8 + 402781700352054v^7 - 33036102025273977v^6 - 283246159908494999v^5 - 1847562379914174564v^4 - 13039687721367147183v^3 - 40171411829099525903v^2 - 165871677959985876138*v - 38970504486981846006) / 285728313467098080
$\beta_{15}$	$=$	$ ( - 582801871453 \nu^{17} + 2138618755743 \nu^{16} - 18863089527999 \nu^{15} + \cdots - 39\!\cdots\!20 ) / 21\!\cdots\!20 $ (-582801871453v^17 + 2138618755743v^16 - 18863089527999v^15 + 65434883029220v^14 - 193957617569613v^13 + 396947399669691v^12 + 2557160142986906v^11 + 6224141715982533v^10 + 158140432241515779v^9 - 428500335582242066v^8 - 1846371747696415791v^7 - 25006783587771374925v^6 - 303621530699543197016v^5 - 2160088292238093084513v^4 - 14793622162700057094093v^3 - 62982831347915501821418v^2 - 220719481380323202379698*v - 395249428888461627646920) / 218296431488862933120
$\beta_{16}$	$=$	$ ( - 1334581410325 \nu^{17} + 21626434546584 \nu^{16} - 161416316490294 \nu^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!14 ) / 47\!\cdots\!60 $ (-1334581410325v^17 + 21626434546584v^16 - 161416316490294v^15 + 1069860556983947v^14 - 5250986467982565v^13 + 21952900216700484v^12 - 74133724105555153v^11 + 200030805481144887v^10 - 388901862218174934v^9 - 3019237382836342877v^8 + 15087667159403685183v^7 - 69396862058159288082v^6 + 39812171615595343885v^5 + 1264986928843052515323v^4 + 6572652251571844351824v^3 + 136592285265380464054819v^2 + 315794117373189373407564*v + 2555720355711546772722714) / 472975601559203021760
$\beta_{17}$	$=$	$ ( - 331615208 \nu^{17} + 2224971849 \nu^{16} - 17523366855 \nu^{15} + 88677743623 \nu^{14} + \cdots - 29\!\cdots\!54 ) / 95\!\cdots\!60 $ (-331615208v^17 + 2224971849v^16 - 17523366855v^15 + 88677743623v^14 - 377720654088v^13 + 1399117314297v^12 - 2967119046251v^11 + 13139390112066v^10 + 47583238468503v^9 - 365985252627019v^8 + 87965693979486v^7 - 14408146379840853v^6 - 129485011504532731v^5 - 848447451556024596v^4 - 5920554171791665587v^3 - 18790343940947833747v^2 - 76795042660170478722*v - 29035089762421492254) / 95242771155699360

Display $\nu^j$ in terms of $\beta_i$

$\nu$	$=$	$ ( - \beta_{17} + \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{12} - 2 \beta_{10} + 2 \beta_{9} - \beta_{5} + \cdots + 9 ) / 27 $ (-b17 + b15 + b14 - b12 - 2b10 + 2b9 - b5 - 2b4 + b3 + 2b2 - 3*b1 + 9) / 27
$\nu^{2}$	$=$	$ ( 8 \beta_{17} + \beta_{15} - 8 \beta_{14} - 9 \beta_{13} - \beta_{12} - 2 \beta_{10} - 7 \beta_{9} + \cdots - 159 ) / 27 $ (8b17 + b15 - 8b14 - 9b13 - b12 - 2b10 - 7b9 - 9b8 + 9b7 - 22b5 - 5b4 + 7b3 + 17b2 + 12b1 - 159) / 27
$\nu^{3}$	$=$	$ ( - 16 \beta_{17} - 9 \beta_{16} - 2 \beta_{15} - 29 \beta_{14} - 36 \beta_{13} + 8 \beta_{12} + \cdots + 147 ) / 27 $ (-16b17 - 9b16 - 2b15 - 29b14 - 36b13 + 8b12 + 36b11 - 8b10 - 46b9 - 90b8 + 9b7 - 45b6 + 50b5 + 13b4 - 5b3 + 65b2 + 165*b1 + 147) / 27
$\nu^{4}$	$=$	$ ( - 55 \beta_{17} - 90 \beta_{16} - 116 \beta_{15} + 307 \beta_{14} - 153 \beta_{13} - 124 \beta_{12} + \cdots + 2568 ) / 27 $ (-55b17 - 90b16 - 116b15 + 307b14 - 153b13 - 124b12 + 171b11 + b10 + 98b9 - 477b8 + 153b7 - 234b6 + 152b5 + b4 - 74b3 - 271b2 - 537*b1 + 2568) / 27
$\nu^{5}$	$=$	$ ( 569 \beta_{17} - 729 \beta_{16} - 371 \beta_{15} + 889 \beta_{14} - 1413 \beta_{13} - 835 \beta_{12} + \cdots + 9417 ) / 27 $ (569b17 - 729b16 - 371b15 + 889b14 - 1413b13 - 835b12 + 810b11 - 545b10 + 752b9 - 1899b8 - 450b7 - 1701b6 - 3520b5 - 719b4 - 572b3 - 3661b2 + 21684*b1 + 9417) / 27
$\nu^{6}$	$=$	$ ( 7760 \beta_{17} - 2763 \beta_{16} - 2270 \beta_{15} - 4241 \beta_{14} - 3762 \beta_{13} - 1297 \beta_{12} + \cdots + 132897 ) / 27 $ (7760b17 - 2763b16 - 2270b15 - 4241b14 - 3762b13 - 1297b12 + 765b11 - 1556b10 + 2069b9 - 2034b8 - 3555b7 - 4257b6 - 2758b5 - 8636b4 - 2777b3 - 13480b2 + 325497*b1 + 132897) / 27
$\nu^{7}$	$=$	$ ( - 18316 \beta_{17} + 14382 \beta_{16} - 4076 \beta_{15} + 3448 \beta_{14} + 2709 \beta_{13} + \cdots + 1887114 ) / 27 $ (-18316b17 + 14382b16 - 4076b15 + 3448b14 + 2709b13 + 14798b12 - 23859b11 - 29042b10 + 8378b9 + 14373b8 - 12915b7 - 15354b6 - 10009b5 - 41651b4 - 16913b3 - 8434b2 + 3073170*b1 + 1887114) / 27
$\nu^{8}$	$=$	$ ( - 375487 \beta_{17} + 252936 \beta_{16} + 135979 \beta_{15} + 86425 \beta_{14} + 87228 \beta_{13} + \cdots + 9296634 ) / 27 $ (-375487b17 + 252936b16 + 135979b15 + 86425b14 + 87228b13 + 104654b12 - 295461b11 - 210389b10 + 57803b9 + 76374b8 - 143523b7 - 187488b6 - 678277b5 - 136637b4 - 201182b3 + 64433b2 + 9783426*b1 + 9296634) / 27
$\nu^{9}$	$=$	$ ( - 1428019 \beta_{17} + 2074131 \beta_{16} + 1159378 \beta_{15} - 628994 \beta_{14} + 707607 \beta_{13} + \cdots + 3540216 ) / 27 $ (-1428019b17 + 2074131b16 + 1159378b15 - 628994b14 + 707607b13 + 220211b12 - 3001311b11 - 1083743b10 + 332873b9 + 488286b8 - 1800405b7 - 2328444b6 - 3305992b5 - 596696b4 - 795470b3 - 402685b2 + 14670813*b1 + 3540216) / 27
$\nu^{10}$	$=$	$ ( - 2724337 \beta_{17} + 10909746 \beta_{16} + 4371652 \beta_{15} - 5475635 \beta_{14} + \cdots - 176781417 ) / 27 $ (-2724337b17 + 10909746b16 + 4371652b15 - 5475635b14 + 810225b13 + 1451036b12 - 22007637b11 - 1945880b10 - 3133423b9 + 1084410b8 - 15122439b7 - 15022440b6 - 405370b5 + 1164628b4 - 2373392b3 - 4188277b2 + 5718036*b1 - 176781417) / 27
$\nu^{11}$	$=$	$ ( - 24976375 \beta_{17} + 50054868 \beta_{16} + 8253907 \beta_{15} - 5302991 \beta_{14} + \cdots - 893121963 ) / 27 $ (-24976375b17 + 50054868b16 + 8253907b15 - 5302991b14 - 8810838b13 - 3637546b12 - 112762557b11 - 21786602b10 - 36557302b9 + 70488b8 - 97233795b7 - 74859174b6 + 117161144b5 + 40178332b4 - 40390250b3 - 87895087b2 - 147962319*b1 - 893121963) / 27
$\nu^{12}$	$=$	$ ( - 239075134 \beta_{17} + 246246336 \beta_{16} - 978401 \beta_{15} + 125712322 \beta_{14} + \cdots - 6926970876 ) / 27 $ (-239075134b17 + 246246336b16 - 978401b15 + 125712322b14 + 2175678b13 - 138859597b12 - 424690200b11 - 240817823b10 - 45566209b9 + 50221827b8 - 464923764b7 - 208372653b6 + 1015326113b5 + 328873342b4 - 440197142b3 - 997346338b2 + 1512817707*b1 - 6926970876) / 27
$\nu^{13}$	$=$	$ ( - 1201605958 \beta_{17} + 929523348 \beta_{16} - 7328690 \beta_{15} + 915168421 \beta_{14} + \cdots - 71642581836 ) / 27 $ (-1201605958b17 + 929523348b16 - 7328690b15 + 915168421b14 + 466009452b13 - 592625536b12 - 1222240095b11 - 986528555b10 + 568034945b9 + 1048913640b8 - 1696666671b7 + 41227065b6 + 4493175335b5 + 2190361780b4 - 3230120873b3 - 5690704339b2 + 35555560230*b1 - 71642581836) / 27
$\nu^{14}$	$=$	$ ( - 6364702087 \beta_{17} + 4038981084 \beta_{16} + 32237305 \beta_{15} + 3358354849 \beta_{14} + \cdots - 506585417388 ) / 27 $ (-6364702087b17 + 4038981084b16 + 32237305b15 + 3358354849b14 + 7997464089b13 + 2786278259b12 - 5373046143b11 + 1692121072b10 + 2385003443b9 + 13653509490b8 - 8184280950b7 + 3483501390b6 + 19265983451b5 + 13512529711b4 - 18426711659b3 - 28209445360b2 + 222647342088*b1 - 506585417388) / 27
$\nu^{15}$	$=$	$ ( - 40089048757 \beta_{17} + 34933177305 \beta_{16} + 444344101 \beta_{15} + 14519359861 \beta_{14} + \cdots - 2092446241512 ) / 27 $ (-40089048757b17 + 34933177305b16 + 444344101b15 + 14519359861b14 + 88180404696b13 + 42630978401b12 - 58196454552b11 + 40795167682b10 + 15915634505b9 + 135555207957b8 - 61807537935b7 + 30564350172b6 + 94277867432b5 + 76179865612b4 - 82520559995b3 - 150972185752b2 + 510690882225*b1 - 2092446241512) / 27
$\nu^{16}$	$=$	$ ( - 201137806810 \beta_{17} + 293540400405 \beta_{16} + 60609850129 \beta_{15} + 35687388529 \beta_{14} + \cdots - 6978267699261 ) / 27 $ (-201137806810b17 + 293540400405b16 + 60609850129b15 + 35687388529b14 + 656921285928b13 + 252791541119b12 - 556265492865b11 + 264928545136b10 + 136772505323b9 + 1075962760344b8 - 482189915637b7 + 264966759234b6 + 359482614929b5 + 370363196971b4 - 255532772531b3 - 559296334792b2 - 3761569292640*b1 - 6978267699261) / 27
$\nu^{17}$	$=$	$ ( - 615404548996 \beta_{17} + 1986138294795 \beta_{16} + 798336468241 \beta_{15} - 704823786875 \beta_{14} + \cdots - 41689486691016 ) / 27 $ (-615404548996b17 + 1986138294795b16 + 798336468241b15 - 704823786875b14 + 3741196943214b13 + 1132745071619b12 - 3897185519205b11 + 1365952646974b10 + 184797554459b9 + 6923362404726b8 - 2751254464653b7 + 2362696285572b6 + 2645957494484b5 + 1874045171350b4 - 94303834124b3 - 433401388873b2 - 57295198356576*b1 - 41689486691016) / 27

Display $\beta_i$ in terms of $\nu^j$

Character values

We give the values of $\chi$ on generators for $\left(\mathbb{Z}/756\mathbb{Z}\right)^\times$.

$n$	$29$	$325$	$379$
$\chi(n)$	$\beta_{1}$	$1$	$1$

Embeddings

For each embedding $\iota_m$ of the coefficient field, the values $\iota_m(a_n)$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label

$\iota_m(\nu)$

$ a_{2} $

$ a_{3} $

$ a_{4} $

$ a_{5} $

$ a_{6} $

$ a_{7} $

$ a_{8} $

$ a_{9} $

$ a_{10} $

253.1

−2.16791	+	4.11878i
−0.208655	−	5.05363i
2.54993	+	4.95961i
−0.0672952	−	5.08536i
−4.09635	+	1.01354i
6.01410	+	1.36338i
0.0652281	+	5.11138i
4.38317	−	3.94388i
−2.97222	−	3.34985i
−2.16791	−	4.11878i
−0.208655	+	5.05363i
2.54993	−	4.95961i
−0.0672952	+	5.08536i
−4.09635	−	1.01354i
6.01410	−	1.36338i
0.0652281	−	5.11138i
4.38317	+	3.94388i
−2.97222	+	3.34985i

−8.76630

15.1837i

−3.50000

−

6.06218i

253.2

−7.66838

13.2820i

−3.50000

−

6.06218i

253.3

−3.85902

6.68401i

−3.50000

−

6.06218i

253.4

−1.60891

2.78671i

−3.50000

−

6.06218i

253.5

−0.184423

0.319430i

−3.50000

−

6.06218i

253.6

0.333146

−

0.577025i

−3.50000

−

6.06218i

253.7

7.13443

−

12.3572i

−3.50000

−

6.06218i

253.8

8.26221

−

14.3106i

−3.50000

−

6.06218i

253.9

9.35724

−

16.2072i

−3.50000

−

6.06218i

505.1

−8.76630

−

15.1837i

−3.50000

6.06218i

505.2

−7.66838

−

13.2820i

−3.50000

6.06218i

505.3

−3.85902

−

6.68401i

−3.50000

6.06218i

505.4

−1.60891

−

2.78671i

−3.50000

6.06218i

505.5

−0.184423

−

0.319430i

−3.50000

6.06218i

505.6

0.333146

0.577025i

−3.50000

6.06218i

505.7

7.13443

12.3572i

−3.50000

6.06218i

505.8

8.26221

14.3106i

−3.50000

6.06218i

505.9

9.35724

16.2072i

−3.50000

6.06218i

Inner twists

Char	Parity	Ord	Mult	Type
1.a	even	1	1	trivial
9.c	even	3	1	inner

Twists

By twisting character orbit
Char	Parity	Ord	Mult	Type	Twist	Min	Dim
1.a	even	1	1	trivial	756.4.j.b		18
3.b	odd	2	1		252.4.j.b	✓	18
9.c	even	3	1	inner	756.4.j.b		18
9.c	even	3	1		2268.4.a.h		9
9.d	odd	6	1		252.4.j.b	✓	18
9.d	odd	6	1		2268.4.a.i		9

By twisted newform orbit
Twist	Min	Dim	Char	Parity	Ord	Mult	Type
252.4.j.b	✓	18	3.b	odd	2	1
252.4.j.b	✓	18	9.d	odd	6	1
756.4.j.b		18	1.a	even	1	1	trivial
756.4.j.b		18	9.c	even	3	1	inner
2268.4.a.h		9	9.c	even	3	1
2268.4.a.i		9	9.d	odd	6	1

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $ T_{5}^{18} - 6 T_{5}^{17} + 738 T_{5}^{16} - 1368 T_{5}^{15} + 352323 T_{5}^{14} - 281502 T_{5}^{13} + \cdots + 52444912836996 $ T5^18 - 6*T5^17 + 738*T5^16 - 1368*T5^15 + 352323*T5^14 - 281502*T5^13 + 94605300*T5^12 + 185166486*T5^11 + 17780999634*T5^10 + 47486544840*T5^9 + 1852923139029*T5^8 + 10572760083708*T5^7 + 116976039417180*T5^6 + 296960546362968*T5^5 + 811474750097325*T5^4 - 139000635955458*T5^3 + 321478263979821*T5^2 + 83327262188598*T5 + 52444912836996 acting on $S_{4}^{\mathrm{new}}(756, [\chi])$.

Hecke characteristic polynomials

$p$	$F_p(T)$
$2$	$ T^{18} $ T^18
$3$	$ T^{18} $ T^18
$5$	$ T^{18} + \cdots + 52444912836996 $ T^18 - 6T^17 + 738T^16 - 1368T^15 + 352323T^14 - 281502T^13 + 94605300T^12 + 185166486T^11 + 17780999634T^10 + 47486544840T^9 + 1852923139029T^8 + 10572760083708T^7 + 116976039417180T^6 + 296960546362968T^5 + 811474750097325T^4 - 139000635955458T^3 + 321478263979821T^2 + 83327262188598*T + 52444912836996
$7$	$ (T^{2} + 7 T + 49)^{9} $ (T^2 + 7*T + 49)^9
$11$	$ T^{18} + \cdots + 77\!\cdots\!00 $ T^18 - 93T^17 + 11295T^16 - 443070T^15 + 36467685T^14 - 819025911T^13 + 84577294503T^12 - 822053996856T^11 + 113434509923559T^10 + 423765439794549T^9 + 117038019847293144T^8 + 581485291342630263T^7 + 39837921078165127722T^6 + 19063479501353149731T^5 + 8632933690236281211141T^4 - 2660629755736487747088T^3 + 1082504241197704583780796T^2 - 3467529658741792065452640*T + 77820759301494717459795600
$13$	$ T^{18} + \cdots + 18\!\cdots\!16 $ T^18 + 18T^17 + 13059T^16 + 487086T^15 + 126995994T^14 + 4655524284T^13 + 593820288987T^12 + 24495151585302T^11 + 2041089434001882T^10 + 64205162926551164T^9 + 2900296938662436159T^8 + 40192093077678623934T^7 + 1508052161168005449021T^6 + 6763416040046587496274T^5 + 707100715967262291055260T^4 - 1184724852617465529310416T^3 + 46600722594520568072337312T^2 + 137654370615529403804161152*T + 1832524584591852186458358016
$17$	$ (T^{9} + \cdots + 109582832291940)^{2} $ (T^9 - 27T^8 - 19674T^7 + 541854T^6 + 114370515T^5 - 2669633127T^4 - 176770160919T^3 + 836515485513T^2 + 34269083897688T + 109582832291940)^2
$19$	$ (T^{9} + \cdots - 20\!\cdots\!75)^{2} $ (T^9 + 45T^8 - 34344T^7 - 798270T^6 + 396854109T^5 - 470801511T^4 - 1646353799745T^3 + 39282983879373T^2 + 716445769363245T - 20220704685815975)^2
$23$	$ T^{18} + \cdots + 43\!\cdots\!96 $ T^18 - 246T^17 + 100017T^16 - 15551010T^15 + 4661765190T^14 - 661439414430T^13 + 137108277880299T^12 - 15062096275811658T^11 + 2390586686863371234T^10 - 230346437142159292122T^9 + 26833808091629611717902T^8 - 1703915244357697440758448T^7 + 110649415546339321594592079T^6 - 4066911865399265036906696712T^5 + 203141897740720589123872046772T^4 - 6184183060168504111412332812954T^3 + 234676460365023103885599697054953T^2 - 3419377828156909482351367457504196*T + 43995693350953812867026835576039696
$29$	$ T^{18} + \cdots + 32\!\cdots\!84 $ T^18 - 318T^17 + 168003T^16 - 30018114T^15 + 12060569223T^14 - 1977861946158T^13 + 550414206558864T^12 - 73062467773557066T^11 + 15738690561753929391T^10 - 1900440852599168794836T^9 + 313203569525528584567842T^8 - 30647009579346259470632592T^7 + 3832312585504704351808709673T^6 - 317105197146642576192391016280T^5 + 30675736800195027535474290241668T^4 - 1771724201115833269003386756993024T^3 + 96413400566923819890018463724567952T^2 - 1979756945738699530507626926661257664*T + 32517269575592275747758655040538288384
$31$	$ T^{18} + \cdots + 20\!\cdots\!76 $ T^18 + 18T^17 + 157887T^16 + 17293614T^15 + 17954662077T^14 + 2024715680964T^13 + 1079139911002962T^12 + 140087072237122548T^11 + 46875106710908871471T^10 + 4629772194844673851130T^9 + 816335499732586812632088T^8 + 43211417210340798221244126T^7 + 7195353196836926126169497301T^6 + 280335310633075080445977941982T^5 + 40027389748824460354217481498264T^4 + 740224805313379059766439381112T^3 + 35749975688572005849943421149248864T^2 + 402845639975397097584849530733568608*T + 20506267815129374042583030250151027776
$37$	$ (T^{9} + \cdots - 12\!\cdots\!48)^{2} $ (T^9 + 36T^8 - 215775T^7 - 6106560T^6 + 14778748422T^5 + 312442901280T^4 - 367302778249191T^3 + 2473738641105426T^2 + 3162568796978179212T - 122961584028958662248)^2
$41$	$ T^{18} + \cdots + 19\!\cdots\!96 $ T^18 - 57T^17 + 414189T^16 - 27404892T^15 + 121212833319T^14 - 6898136018103T^13 + 16965162465133689T^12 - 293925351642190272T^11 + 1672543129182069914811T^10 - 21540911838531454851633T^9 + 80738305657421863979795238T^8 + 699410150995834948779502623T^7 + 2700087071660472355371406928376T^6 - 21600581812916441758800702300171T^5 + 33370165057473691511031162410077665T^4 - 980657178709125671923036700145147264T^3 + 324018918381255487102696956454016410464T^2 - 7738124560865213084426465467914941761536*T + 195000495968092726206587110352852725687296
$43$	$ T^{18} + \cdots + 16\!\cdots\!84 $ T^18 + 171T^17 + 484650T^16 - 2222373T^15 + 159013505232T^14 - 2297422764567T^13 + 24876572339675211T^12 - 2910821490327368988T^11 + 2599378077244557341907T^10 - 105660206365831649617471T^9 + 44345046767307758258481945T^8 + 281241091758139817967880038T^7 + 576989609358764646048707910447T^6 - 1082151278823016092404592979857T^5 + 1816893754971181620002969539680297T^4 - 62765766569353571162419310783569920T^3 + 5000694852431167677256198774504705956T^2 - 91142051076696892417011298837462312224*T + 1698174152250704884459699003277798314384
$47$	$ T^{18} + \cdots + 20\!\cdots\!00 $ T^18 - 1056T^17 + 791037T^16 - 388597500T^15 + 160506226917T^14 - 53188307887266T^13 + 16209185204018394T^12 - 4268803747522463136T^11 + 1051510372432834716405T^10 - 223503671927792865217932T^9 + 44109556593185492803099116T^8 - 7565744974788609129894660300T^7 + 1213473786514793753774401278657T^6 - 165486359246916126558864169325376T^5 + 19803696236404314047447012717493024T^4 - 1828976577800374657583114439757943808T^3 + 134419634690711444060879023090534204416T^2 - 6363404663177229564011750044382960271360*T + 201562199102233137959925659697055275417600
$53$	$ (T^{9} + \cdots + 62\!\cdots\!32)^{2} $ (T^9 + 756T^8 - 530190T^7 - 591720030T^6 - 64475218863T^5 + 83768677280406T^4 + 33418789409301885T^3 + 4657590260398827288T^2 + 223426765307118888540T + 62301759208236367632)^2
$59$	$ T^{18} + \cdots + 51\!\cdots\!84 $ T^18 - 411T^17 + 447732T^16 - 120083769T^15 + 104415352506T^14 - 25342123646511T^13 + 14857318993235877T^12 - 2793313783245825900T^11 + 1337941158196905683235T^10 - 222776506954384638318279T^9 + 80202497513831947356788835T^8 - 9696495949820328520029137472T^7 + 2854215950950036255713205075497T^6 - 259100283343239396771284352181167T^5 + 68318360234056563067575224436271041T^4 - 3110952697722314050124993118162007392T^3 + 718145653453312945929066591957394350156T^2 + 11820055396681564240396211210332868589216*T + 5107396698027326859860072707006206797101584
$61$	$ T^{18} + \cdots + 73\!\cdots\!00 $ T^18 + 198T^17 + 947781T^16 - 16829238T^15 + 575464222890T^14 - 49665914201520T^13 + 199392027518913783T^12 - 54020123556156808488T^11 + 48287826566092839180456T^10 - 14933948050220106262613110T^9 + 8626318115367700762714746378T^8 - 2802203845099745146241746379436T^7 + 920135683593696199824646137816621T^6 - 177210592689777904511647774819766028T^5 + 27763920095333752004256559959322436676T^4 - 2165126026351559411989145132551575856848T^3 + 123666685213254932906479150686307736826201T^2 - 3620804535485247692049155000827489494190620*T + 73992569264978688818865315019023929393280400
$67$	$ T^{18} + \cdots + 49\!\cdots\!44 $ T^18 + 441T^17 + 2146527T^16 + 947654070T^15 + 2964434570613T^14 + 1285363077853743T^13 + 2478491353014195003T^12 + 1037190443007372524028T^11 + 1506692532251378632020147T^10 + 592189453320403389537016703T^9 + 591428167616049720238970314884T^8 + 203649693835695529943328385484601T^7 + 157297366053854545333168556627094654T^6 + 44115748853730556580432294328529463637T^5 + 17976665648315883714661979374073637316113T^4 + 1117192678863742842834017585435843051024568T^3 + 82265658356084873796140432352598323699018840T^2 - 1583217286866021462143003940001129678104931008*T + 49145521089604447804513564888472199254985377344
$71$	$ (T^{9} + \cdots - 35\!\cdots\!40)^{2} $ (T^9 + 1758T^8 - 223272T^7 - 1620019710T^6 - 429865646247T^5 + 368291298026556T^4 + 156923398516730841T^3 - 203460654955330530T^2 - 5007985476955766937729T - 353460623704696176879240)^2
$73$	$ (T^{9} + \cdots - 11\!\cdots\!96)^{2} $ (T^9 - 27T^8 - 1908261T^7 + 72296355T^6 + 1247418011052T^5 - 75459232145700T^4 - 323320820611206057T^3 + 25410297757157940465T^2 + 25769176042545132782328T - 1183538931455285793136196)^2
$79$	$ T^{18} + \cdots + 62\!\cdots\!00 $ T^18 - 72T^17 + 2100060T^16 - 452362836T^15 + 3161959790319T^14 - 561746335946058T^13 + 2154468238268276346T^12 - 69989531243487909354T^11 + 1002946490890190640511974T^10 + 34106262763369314848540150T^9 + 270073194784373654129363152527T^8 + 46692486888874372186086344916996T^7 + 49837503703128855413784162478670094T^6 + 9251908205154693104993329270785831102T^5 + 5722425800014755614605167012199908380037T^4 + 1235088848769841080699903644713183611144816T^3 + 411813087614943040025104742752632985637442369T^2 + 49899668646138583272453649845700291059842851290*T + 6294273048475412094793585883036206820614335832900
$83$	$ T^{18} + \cdots + 82\!\cdots\!00 $ T^18 - 558T^17 + 2381256T^16 - 2829975624T^15 + 5154073228431T^14 - 4752602234467776T^13 + 4716204326181416502T^12 - 3500252919601872724098T^11 + 2680692965469858406004001T^10 - 1593139768839643587745722660T^9 + 818890540979331123577362718035T^8 - 305879442979270980446366076028116T^7 + 90126858061698359750922611637817173T^6 - 17397339376256464068017683442514342972T^5 + 2382725676844086153616427068397258642556T^4 - 108627627837708350670903396429644611766640T^3 + 4133397800743310569236581791093016476864656T^2 + 46032224412151653471374052441025486832446080*T + 823418996799143877148943185523731779400934400
$89$	$ (T^{9} + \cdots - 28\!\cdots\!40)^{2} $ (T^9 + 1392T^8 - 1536354T^7 - 3408377562T^6 - 1125822437505T^5 + 869276690497962T^4 + 595604595645477675T^3 + 58849744796899349382T^2 - 21356874775246183654536T - 2829124172163195732000240)^2
$97$	$ T^{18} + \cdots + 82\!\cdots\!00 $ T^18 - 909T^17 + 3955824T^16 - 774335487T^15 + 8336210340366T^14 - 659184318836811T^13 + 10701152650072270815T^12 + 2511137593262771820504T^11 + 7852383110841011214123105T^10 + 730706154849409351914109379T^9 + 2450293874418200640291554023287T^8 + 14720022127563925760656096831524T^7 + 566151345797945912521773817189041753T^6 - 39798428049548758352478864938677850223T^5 + 59769379011185702215960693583991840030225T^4 - 8646711005811327546640186491397491774989280T^3 + 4976960094649203289361896850121640050396933444T^2 - 574042482695900410448885504358567664117617514080*T + 82480491933915291612330982281335350527041427955600
show more
show less

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Level:	\( N \)	\(=\)	\( 756 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7 \)
Weight:	\( k \)	\(=\)	\( 4 \)
Character orbit:	\([\chi]\)	\(=\)	756.j (of order \(3\), degree \(2\), not minimal)

\(f(q)\)	\(=\)	\( q + (\beta_{2} - \beta_1) q^{5} + ( - 7 \beta_1 - 7) q^{7}+O(q^{10}) \) q + (b2 - b1) * q^5 + (-7b1 - 7) q^7	\( q + (\beta_{2} - \beta_1) q^{5} + ( - 7 \beta_1 - 7) q^{7} + (\beta_{10} + \beta_{5} + 10 \beta_1 + 10) q^{11} + (\beta_{17} + \beta_{16} + \cdots + 2 \beta_1) q^{13}+ \cdots + (2 \beta_{13} - 7 \beta_{12} + \cdots + 105) q^{97}+O(q^{100}) \) q + (b2 - b1) * q^5 + (-7b1 - 7) q^7 + (b10 + b5 + 10b1 + 10) q^11 + (b17 + b16 - b14 + b10 - b9 - b2 + 2b1) q^13 + (b17 + b16 - b14 + b13 - b7 + b5 - b2 + 3) * q^17 + (-b17 - b11 + b8 + b7 - b4 + b3 - 5) * q^19 + (-b17 - 2b16 + b15 - b10 - b7 - b6 - b2 - 27b1) * q^23 + (-b12 - 3b10 - b9 - b8 - 2b6 - b4 - 36b1 - 36) q^25 + (b13 - b12 - b9 + 3b8 + b6 + 2b5 - b4 + 35b1 + 35) q^29 + (b16 + b15 - b14 - 4b11 - b9 - 2b7 - 2b6 + 2b3 - 6b2 + 3b1) * q^31 + (7b5 - 7b2 - 7) * q^35 + (-4b14 + 2b11 - 2b8 + b7 - 5b5 - b4 + b3 + 5b2 - 2) q^37 + (4b17 - 2b15 + 4b14 + 3b11 + 4b10 + 4b9 + 3b7 + 3b6 + 2b3 + 5b2 - 5b1) q^41 + (-4b13 - b12 - b10 + 4b9 - 3b8 + 5b5 + b4 - 20b1 - 20) q^43 + (-b13 + 2b10 - b9 + 2b6 + 9b5 + 3b4 + 115b1 + 115) q^47 + 49b1 q^49 + (-3b17 - 2b16 - 4b15 + b14 - 2b13 - 4b12 - 3b11 + 3b8 - 4b7 - 8b5 - b4 + b3 + 8b2 - 81) * q^53 + (8b17 + 3b16 - 6b15 + 3b13 - 6b12 - b11 + b8 + b7 - 30b5 - 4b4 + 4b3 + 30b2 - 91) q^55 + (-2b16 - 2b15 - 3b14 + 3b11 - 3b9 - b7 - b6 + 2b3 + 6b2 - 47b1) * q^59 + (-2b13 - b12 - 6b10 + 4b9 + 4b8 - b6 + 17b5 - 6b4 - 27b1 - 27) q^61 + (6b13 - 4b12 - 10b10 + 16b9 - 6b8 + 3b6 - 5b5 + 5b4 + 154b1 + 154) q^65 + (-7b17 - b16 + b15 + 8b14 + 10b11 - 7b10 + 8b9 + 8b7 + 8b6 - 18b2 + 61b1) q^67 + (5b17 - 2b16 - 8b15 - 2b13 - 8b12 + 9b11 - 9b8 + 11b7 - b5 - 3b4 + 3b3 + b2 - 199) * q^71 + (6b17 + 4b15 - 8b14 + 4b12 - 2b11 + 2b8 - 7b7 - 14b5 - 6b4 + 6b3 + 14b2 + 9) q^73 + (-7b17 - 7b10 - 7b2 - 70b1) * q^77 + (10b13 - 9b12 - 8b10 + 8b9 + 3b8 + 3b6 + 20b5 - 3b4 + 4b1 + 4) q^79 + (-7b13 - 6b12 - 6b10 - 10b9 - 9b8 - 7b6 - 10b5 + 6b4 + 61b1 + 61) q^83 + (-17b17 - 9b16 + 7b15 + 18b14 - 2b11 - 17b10 + 18b9 + 5b7 + 5b6 + 4b2 + 116b1) q^85 + (8b17 - 8b16 - 3b15 - 4b14 - 8b13 - 3b12 + 3b11 - 3b8 - 7b7 - 3b5 - 2b4 + 2b3 + 3b2 - 154) q^89 + (-7b17 - 7b16 + 7b14 - 7b13 - 7b5 + 7b2 + 14) * q^91 + (16b17 + 21b16 - 7b15 - 16b14 - 18b11 + 16b10 - 16b9 - 3b7 - 3b6 + 18b3 - 5b2 - 21b1) * q^95 + (2b13 - 7b12 + 2b10 + 14b9 - 5b8 + 8b6 - 3b5 + 105b1 + 105) * q^97
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\)	\(=\)	\( 18 q + 6 q^{5} - 63 q^{7}+O(q^{10}) \) 18 * q + 6 * q^5 - 63 * q^7	\( 18 q + 6 q^{5} - 63 q^{7} + 93 q^{11} - 18 q^{13} + 54 q^{17} - 90 q^{19} + 246 q^{23} - 315 q^{25} + 318 q^{29} - 18 q^{31} - 84 q^{35} - 72 q^{37} + 57 q^{41} - 171 q^{43} + 1056 q^{47} - 441 q^{49} - 1512 q^{53} - 1800 q^{55} + 411 q^{59} - 198 q^{61} + 1326 q^{65} - 441 q^{67} - 3516 q^{71} + 54 q^{73} + 651 q^{77} + 72 q^{79} + 558 q^{83} - 1008 q^{85} - 2784 q^{89} + 252 q^{91} + 156 q^{95} + 909 q^{97}+O(q^{100}) \) 18 * q + 6 * q^5 - 63 * q^7 + 93 * q^11 - 18 * q^13 + 54 * q^17 - 90 * q^19 + 246 * q^23 - 315 * q^25 + 318 * q^29 - 18 * q^31 - 84 * q^35 - 72 * q^37 + 57 * q^41 - 171 * q^43 + 1056 * q^47 - 441 * q^49 - 1512 * q^53 - 1800 * q^55 + 411 * q^59 - 198 * q^61 + 1326 * q^65 - 441 * q^67 - 3516 * q^71 + 54 * q^73 + 651 * q^77 + 72 * q^79 + 558 * q^83 - 1008 * q^85 - 2784 * q^89 + 252 * q^91 + 156 * q^95 + 909 * q^97

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Newspace parameters

Newform invariants

$q$-expansion

Character values

Embeddings

Inner twists

Twists

Hecke kernels

Hecke characteristic polynomials

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	756.4.j.b

Level	$756$
Weight	$4$
Character orbit	756.j
Analytic conductor	$44.605$
Analytic rank	$0$
Dimension	$18$
CM	no
Inner twists	$2$

Self dual:	no
Analytic conductor:	\(44.6054439643\)
Analytic rank:	\(0\)
Dimension:	\(18\)
Relative dimension:	\(9\) over \(\Q(\zeta_{3})\)
Coefficient field:	\(\mathbb{Q}[x]/(x^{18} - \cdots)\)
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	\( x^{18} - 7 x^{17} + 81 x^{16} - 470 x^{15} + 2687 x^{14} - 12243 x^{13} + 43732 x^{12} + \cdots + 5500612092612 \) x^18 - 7x^17 + 81x^16 - 470x^15 + 2687x^14 - 12243x^13 + 43732x^12 - 169303x^11 + 166449x^10 - 57172x^9 - 3758051x^8 + 73649097x^7 + 358194386x^6 + 3599409199x^5 + 26802380109x^4 + 114591208112x^3 + 655546044172x^2 + 1324018291596*x + 5500612092612
Coefficient ring:	\(\Z[a_1, \ldots, a_{17}]\)
Coefficient ring index:	\( 2^{6}\cdot 3^{22} \)
Twist minimal:	no (minimal twist has level 252)
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{3}]$

\(\beta_{1}\)	\(=\)	\( ( - 13315800857 \nu^{17} - 468924789381 \nu^{16} + 3153303989877 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!28 ) / 28\!\cdots\!60 \) (-13315800857v^17 - 468924789381v^16 + 3153303989877v^15 - 26780596660724v^14 + 144361057555383v^13 - 639270116555289v^12 + 2482336757105530v^11 - 5357935068192207v^10 + 27019261047320319v^9 + 50256977890674110v^8 - 590608070231663955v^7 - 412547145864241521v^6 - 29543405127212658064v^5 - 245152146093031333293v^4 - 1615394096202361273185v^3 - 10383177724615955168890v^2 - 31868395054573493278170*v - 119418602658891287627928) / 2837853609355218130560
\(\beta_{2}\)	\(=\)	\( ( 9988724986 \nu^{17} + 2313647830569 \nu^{16} - 16444663818747 \nu^{15} + \cdots + 46\!\cdots\!90 ) / 14\!\cdots\!80 \) (9988724986v^17 + 2313647830569v^16 - 16444663818747v^15 + 124540717085305v^14 - 629547150035334v^13 + 2680955378956353v^12 - 10141182689344577v^11 + 22536757427037804v^10 - 99047133357274653v^9 - 265594891716414313v^8 + 2629925749006371672v^7 - 458413780959705585v^6 + 99814262517300381347v^5 + 909433856547434475246v^4 + 5850450196503191312541v^3 + 38670595329535605423791v^2 + 114461929263992641354566*v + 464396716562452808324190) / 1418926804677609065280
\(\beta_{3}\)	\(=\)	\( ( - 146226447643 \nu^{17} - 7268066260941 \nu^{16} + 50210953821825 \nu^{15} + \cdots - 16\!\cdots\!24 ) / 28\!\cdots\!60 \) (-146226447643v^17 - 7268066260941v^16 + 50210953821825v^15 - 407075009751742v^14 + 2103516695742357v^13 - 9020862450653673v^12 + 33880349040252104v^11 - 68210821768368969v^10 + 362291879163257403v^9 + 592524603685741396v^8 - 7421089585254459549v^7 - 13871981550519426093v^6 - 370806989510041535606v^5 - 3588776612800413281391v^4 - 22465770989869049112537v^3 - 146752733771182123821092v^2 - 441183086117087330019762*v - 1698146515554148969058724) / 2837853609355218130560
\(\beta_{4}\)	\(=\)	\( ( 278860848133 \nu^{17} - 11888867871249 \nu^{16} + 87937182313725 \nu^{15} + \cdots - 19\!\cdots\!76 ) / 28\!\cdots\!60 \) (278860848133v^17 - 11888867871249v^16 + 87937182313725v^15 - 653325890095418v^14 + 3378773581394613v^13 - 14448858171081837v^12 + 51764087428638676v^11 - 124464183338952081v^10 + 426619570322835327v^9 + 1270105471004571104v^8 - 10366511127982015701v^7 + 10429644400944831303v^6 - 296819286232419814954v^5 - 3081598919222625273759v^4 - 18341434039423755911853v^3 - 150520576899360756621688v^2 - 432219191277064383218538*v - 1995295320298874584196076) / 2837853609355218130560
\(\beta_{5}\)	\(=\)	\( ( - 52446298994 \nu^{17} + 1450917493401 \nu^{16} - 10638858706899 \nu^{15} + \cdots + 23\!\cdots\!02 ) / 47\!\cdots\!60 \) (-52446298994v^17 + 1450917493401v^16 - 10638858706899v^15 + 76601942339581v^14 - 387846820484274v^13 + 1648336188413505v^12 - 5851869770644781v^11 + 14845223982533040v^10 - 43270860967811925v^9 - 201857339992033189v^8 + 1310508564781732476v^7 - 3150072701260064121v^6 + 27391848724391882687v^5 + 279317041563965678850v^4 + 1727428316646712567533v^3 + 15709959719493607025843v^2 + 44475396597257734186038*v + 235405553302236589374102) / 472975601559203021760
\(\beta_{6}\)	\(=\)	\( ( - 5924783639 \nu^{17} - 49836366303 \nu^{16} + 329733563655 \nu^{15} + \cdots - 19\!\cdots\!32 ) / 14\!\cdots\!60 \) (-5924783639v^17 - 49836366303v^16 + 329733563655v^15 - 3481627703096v^14 + 19489642246041v^13 - 86674162888779v^12 + 359642569614562v^11 - 668936099515977v^10 + 4252855033118469v^9 + 7638591214634078v^8 - 111933549902982837v^7 - 150120051413596059v^6 - 6360268088092625908v^5 - 48705295930425109203v^4 - 320563829942179219731v^3 - 1841447202139237559626v^2 - 5845322828463133598046*v - 19729388080064819172432) / 14857872300289100160
\(\beta_{7}\)	\(=\)	\( ( 169672952 \nu^{17} - 1036772391 \nu^{16} + 8301427305 \nu^{15} - 39329131417 \nu^{14} + \cdots + 45\!\cdots\!66 ) / 14\!\cdots\!40 \) (169672952v^17 - 1036772391v^16 + 8301427305v^15 - 39329131417v^14 + 161688093672v^13 - 590234747943v^12 + 1111026185909v^11 - 6238981758654v^10 - 25463021863737v^9 + 154429098661861v^8 + 127206525569646v^7 + 7175981668728747v^6 + 70651661793990469v^5 + 483622745745717564v^4 + 3279936621155102013v^3 + 11923382268541312093v^2 + 45952135997897859678*v + 45317423038481614866) / 142864156733549040
\(\beta_{8}\)	\(=\)	\( ( 43515894851 \nu^{17} + 218458409478 \nu^{16} - 1353774191736 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!94 ) / 36\!\cdots\!20 \) (43515894851v^17 + 218458409478v^16 - 1353774191736v^15 + 17086958507717v^14 - 99865112992269v^13 + 461088255924402v^12 - 2024183687365075v^11 + 3781487416057371v^10 - 28146388900759572v^9 - 20946942202934015v^8 + 597510683126592555v^7 + 1412889168187582248v^6 + 39725753961191191867v^5 + 300088265350194023019v^4 + 1996712853779823010230v^3 + 11064796027363218184465v^2 + 35565455915896976849520*v + 112664388324685447284294) / 36382738581477155520
\(\beta_{9}\)	\(=\)	\( ( 1800312252956 \nu^{17} + 3150639639357 \nu^{16} - 10194755353275 \nu^{15} + \cdots + 34\!\cdots\!78 ) / 14\!\cdots\!80 \) (1800312252956v^17 + 3150639639357v^16 - 10194755353275v^15 + 345375641529719v^14 - 2265531383345604v^13 + 11323744702984221v^12 - 56654934822115123v^11 + 102752906952529278v^10 - 973580129223068901v^9 + 116184661005305053v^8 + 16806873658511384778v^7 + 69229572342264423471v^6 + 1382924477528294345317v^5 + 10335407623612911575232v^4 + 69912205430921961855249v^3 + 363731816773279553117269v^2 + 1204751190153525844124934*v + 3443148246631345566486978) / 1418926804677609065280
\(\beta_{10}\)	\(=\)	\( ( 1805061544958 \nu^{17} - 6203458758963 \nu^{16} + 49762273316289 \nu^{15} + \cdots + 14\!\cdots\!70 ) / 14\!\cdots\!80 \) (1805061544958v^17 - 6203458758963v^16 + 49762273316289v^15 - 124197144716455v^14 + 203766918434238v^13 + 361761423202869v^12 - 14710623359954041v^11 + 7599674712011112v^10 - 546576101095188009v^9 + 1316378555175206671v^8 + 6229532828061762276v^7 + 72127116175728485955v^6 + 955860838586648532691v^5 + 6790384354864835753538v^4 + 45284344448937983016753v^3 + 195335287946913151497223v^2 + 688231685961717310894158*v + 1429803054157857390887070) / 1418926804677609065280
\(\beta_{11}\)	\(=\)	\( ( - 22029359983 \nu^{17} + 310091330376 \nu^{16} - 2336357942082 \nu^{15} + \cdots + 32\!\cdots\!38 ) / 12\!\cdots\!40 \) (-22029359983v^17 + 310091330376v^16 - 2336357942082v^15 + 15092730660209v^14 - 73184980128543v^13 + 302507924280204v^12 - 992788857570595v^11 + 2732362652715957v^10 - 4108651858359714v^9 - 44873484291332615v^8 + 197092286277190605v^7 - 1121048259346499094v^6 - 1334722957763886761v^5 + 2936472082356514113v^4 - 4180103476565993040v^3 + 1444815561166360473145v^2 + 2869096043962443636900*v + 32204676144195484107438) / 12127579527159051840
\(\beta_{12}\)	\(=\)	\( ( - 415942152611 \nu^{17} + 5260605596049 \nu^{16} - 38742103153041 \nu^{15} + \cdots + 50\!\cdots\!28 ) / 21\!\cdots\!20 \) (-415942152611v^17 + 5260605596049v^16 - 38742103153041v^15 + 245357415417964v^14 - 1185800944237491v^13 + 4884014912487285v^12 - 15613651644853034v^11 + 44734152408012315v^10 - 62005010542291635v^9 - 740483776089835006v^8 + 2878949316966813519v^7 - 19378049660558616099v^6 - 49809464976177468472v^5 - 130691782624408048095v^4 - 1138960020720063729603v^3 + 20120346904845944640602v^2 + 36208162772883657785682*v + 501123603098555488777128) / 218296431488862933120
\(\beta_{13}\)	\(=\)	\( ( - 927851554363 \nu^{17} - 7150672575030 \nu^{16} + 45993207313464 \nu^{15} + \cdots - 29\!\cdots\!18 ) / 47\!\cdots\!60 \) (-927851554363v^17 - 7150672575030v^16 + 45993207313464v^15 - 500422292418829v^14 + 2853152658003477v^13 - 13099255577966082v^12 + 56125374426228107v^11 - 115361577160600851v^10 + 750345966323449332v^9 + 628414022125808023v^8 - 15188181513647244387v^7 - 29691751113929294376v^6 - 959040546103881195251v^5 - 7342377639664823486499v^4 - 48925365775547198099046v^3 - 279847370494611536871161v^2 - 891221251769809843472496*v - 2953116695852315200788918) / 472975601559203021760
\(\beta_{14}\)	\(=\)	\( ( - 743381512 \nu^{17} + 5134833501 \nu^{16} - 40642013235 \nu^{15} + 209874551987 \nu^{14} + \cdots - 38\!\cdots\!06 ) / 28\!\cdots\!80 \) (-743381512v^17 + 5134833501v^16 - 40642013235v^15 + 209874551987v^14 - 905468519112v^13 + 3377323340493v^12 - 7481195959879v^11 + 31579887423114v^10 + 97914210831267v^9 - 826642462573991v^8 + 402781700352054v^7 - 33036102025273977v^6 - 283246159908494999v^5 - 1847562379914174564v^4 - 13039687721367147183v^3 - 40171411829099525903v^2 - 165871677959985876138*v - 38970504486981846006) / 285728313467098080
\(\beta_{15}\)	\(=\)	\( ( - 582801871453 \nu^{17} + 2138618755743 \nu^{16} - 18863089527999 \nu^{15} + \cdots - 39\!\cdots\!20 ) / 21\!\cdots\!20 \) (-582801871453v^17 + 2138618755743v^16 - 18863089527999v^15 + 65434883029220v^14 - 193957617569613v^13 + 396947399669691v^12 + 2557160142986906v^11 + 6224141715982533v^10 + 158140432241515779v^9 - 428500335582242066v^8 - 1846371747696415791v^7 - 25006783587771374925v^6 - 303621530699543197016v^5 - 2160088292238093084513v^4 - 14793622162700057094093v^3 - 62982831347915501821418v^2 - 220719481380323202379698*v - 395249428888461627646920) / 218296431488862933120
\(\beta_{16}\)	\(=\)	\( ( - 1334581410325 \nu^{17} + 21626434546584 \nu^{16} - 161416316490294 \nu^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!14 ) / 47\!\cdots\!60 \) (-1334581410325v^17 + 21626434546584v^16 - 161416316490294v^15 + 1069860556983947v^14 - 5250986467982565v^13 + 21952900216700484v^12 - 74133724105555153v^11 + 200030805481144887v^10 - 388901862218174934v^9 - 3019237382836342877v^8 + 15087667159403685183v^7 - 69396862058159288082v^6 + 39812171615595343885v^5 + 1264986928843052515323v^4 + 6572652251571844351824v^3 + 136592285265380464054819v^2 + 315794117373189373407564*v + 2555720355711546772722714) / 472975601559203021760
\(\beta_{17}\)	\(=\)	\( ( - 331615208 \nu^{17} + 2224971849 \nu^{16} - 17523366855 \nu^{15} + 88677743623 \nu^{14} + \cdots - 29\!\cdots\!54 ) / 95\!\cdots\!60 \) (-331615208v^17 + 2224971849v^16 - 17523366855v^15 + 88677743623v^14 - 377720654088v^13 + 1399117314297v^12 - 2967119046251v^11 + 13139390112066v^10 + 47583238468503v^9 - 365985252627019v^8 + 87965693979486v^7 - 14408146379840853v^6 - 129485011504532731v^5 - 848447451556024596v^4 - 5920554171791665587v^3 - 18790343940947833747v^2 - 76795042660170478722*v - 29035089762421492254) / 95242771155699360

\(\nu\)	\(=\)	\( ( - \beta_{17} + \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{12} - 2 \beta_{10} + 2 \beta_{9} - \beta_{5} + \cdots + 9 ) / 27 \) (-b17 + b15 + b14 - b12 - 2b10 + 2b9 - b5 - 2b4 + b3 + 2b2 - 3*b1 + 9) / 27
\(\nu^{2}\)	\(=\)	\( ( 8 \beta_{17} + \beta_{15} - 8 \beta_{14} - 9 \beta_{13} - \beta_{12} - 2 \beta_{10} - 7 \beta_{9} + \cdots - 159 ) / 27 \) (8b17 + b15 - 8b14 - 9b13 - b12 - 2b10 - 7b9 - 9b8 + 9b7 - 22b5 - 5b4 + 7b3 + 17b2 + 12b1 - 159) / 27
\(\nu^{3}\)	\(=\)	\( ( - 16 \beta_{17} - 9 \beta_{16} - 2 \beta_{15} - 29 \beta_{14} - 36 \beta_{13} + 8 \beta_{12} + \cdots + 147 ) / 27 \) (-16b17 - 9b16 - 2b15 - 29b14 - 36b13 + 8b12 + 36b11 - 8b10 - 46b9 - 90b8 + 9b7 - 45b6 + 50b5 + 13b4 - 5b3 + 65b2 + 165*b1 + 147) / 27
\(\nu^{4}\)	\(=\)	\( ( - 55 \beta_{17} - 90 \beta_{16} - 116 \beta_{15} + 307 \beta_{14} - 153 \beta_{13} - 124 \beta_{12} + \cdots + 2568 ) / 27 \) (-55b17 - 90b16 - 116b15 + 307b14 - 153b13 - 124b12 + 171b11 + b10 + 98b9 - 477b8 + 153b7 - 234b6 + 152b5 + b4 - 74b3 - 271b2 - 537*b1 + 2568) / 27
\(\nu^{5}\)	\(=\)	\( ( 569 \beta_{17} - 729 \beta_{16} - 371 \beta_{15} + 889 \beta_{14} - 1413 \beta_{13} - 835 \beta_{12} + \cdots + 9417 ) / 27 \) (569b17 - 729b16 - 371b15 + 889b14 - 1413b13 - 835b12 + 810b11 - 545b10 + 752b9 - 1899b8 - 450b7 - 1701b6 - 3520b5 - 719b4 - 572b3 - 3661b2 + 21684*b1 + 9417) / 27
\(\nu^{6}\)	\(=\)	\( ( 7760 \beta_{17} - 2763 \beta_{16} - 2270 \beta_{15} - 4241 \beta_{14} - 3762 \beta_{13} - 1297 \beta_{12} + \cdots + 132897 ) / 27 \) (7760b17 - 2763b16 - 2270b15 - 4241b14 - 3762b13 - 1297b12 + 765b11 - 1556b10 + 2069b9 - 2034b8 - 3555b7 - 4257b6 - 2758b5 - 8636b4 - 2777b3 - 13480b2 + 325497*b1 + 132897) / 27
\(\nu^{7}\)	\(=\)	\( ( - 18316 \beta_{17} + 14382 \beta_{16} - 4076 \beta_{15} + 3448 \beta_{14} + 2709 \beta_{13} + \cdots + 1887114 ) / 27 \) (-18316b17 + 14382b16 - 4076b15 + 3448b14 + 2709b13 + 14798b12 - 23859b11 - 29042b10 + 8378b9 + 14373b8 - 12915b7 - 15354b6 - 10009b5 - 41651b4 - 16913b3 - 8434b2 + 3073170*b1 + 1887114) / 27
\(\nu^{8}\)	\(=\)	\( ( - 375487 \beta_{17} + 252936 \beta_{16} + 135979 \beta_{15} + 86425 \beta_{14} + 87228 \beta_{13} + \cdots + 9296634 ) / 27 \) (-375487b17 + 252936b16 + 135979b15 + 86425b14 + 87228b13 + 104654b12 - 295461b11 - 210389b10 + 57803b9 + 76374b8 - 143523b7 - 187488b6 - 678277b5 - 136637b4 - 201182b3 + 64433b2 + 9783426*b1 + 9296634) / 27
\(\nu^{9}\)	\(=\)	\( ( - 1428019 \beta_{17} + 2074131 \beta_{16} + 1159378 \beta_{15} - 628994 \beta_{14} + 707607 \beta_{13} + \cdots + 3540216 ) / 27 \) (-1428019b17 + 2074131b16 + 1159378b15 - 628994b14 + 707607b13 + 220211b12 - 3001311b11 - 1083743b10 + 332873b9 + 488286b8 - 1800405b7 - 2328444b6 - 3305992b5 - 596696b4 - 795470b3 - 402685b2 + 14670813*b1 + 3540216) / 27
\(\nu^{10}\)	\(=\)	\( ( - 2724337 \beta_{17} + 10909746 \beta_{16} + 4371652 \beta_{15} - 5475635 \beta_{14} + \cdots - 176781417 ) / 27 \) (-2724337b17 + 10909746b16 + 4371652b15 - 5475635b14 + 810225b13 + 1451036b12 - 22007637b11 - 1945880b10 - 3133423b9 + 1084410b8 - 15122439b7 - 15022440b6 - 405370b5 + 1164628b4 - 2373392b3 - 4188277b2 + 5718036*b1 - 176781417) / 27
\(\nu^{11}\)	\(=\)	\( ( - 24976375 \beta_{17} + 50054868 \beta_{16} + 8253907 \beta_{15} - 5302991 \beta_{14} + \cdots - 893121963 ) / 27 \) (-24976375b17 + 50054868b16 + 8253907b15 - 5302991b14 - 8810838b13 - 3637546b12 - 112762557b11 - 21786602b10 - 36557302b9 + 70488b8 - 97233795b7 - 74859174b6 + 117161144b5 + 40178332b4 - 40390250b3 - 87895087b2 - 147962319*b1 - 893121963) / 27
\(\nu^{12}\)	\(=\)	\( ( - 239075134 \beta_{17} + 246246336 \beta_{16} - 978401 \beta_{15} + 125712322 \beta_{14} + \cdots - 6926970876 ) / 27 \) (-239075134b17 + 246246336b16 - 978401b15 + 125712322b14 + 2175678b13 - 138859597b12 - 424690200b11 - 240817823b10 - 45566209b9 + 50221827b8 - 464923764b7 - 208372653b6 + 1015326113b5 + 328873342b4 - 440197142b3 - 997346338b2 + 1512817707*b1 - 6926970876) / 27
\(\nu^{13}\)	\(=\)	\( ( - 1201605958 \beta_{17} + 929523348 \beta_{16} - 7328690 \beta_{15} + 915168421 \beta_{14} + \cdots - 71642581836 ) / 27 \) (-1201605958b17 + 929523348b16 - 7328690b15 + 915168421b14 + 466009452b13 - 592625536b12 - 1222240095b11 - 986528555b10 + 568034945b9 + 1048913640b8 - 1696666671b7 + 41227065b6 + 4493175335b5 + 2190361780b4 - 3230120873b3 - 5690704339b2 + 35555560230*b1 - 71642581836) / 27
\(\nu^{14}\)	\(=\)	\( ( - 6364702087 \beta_{17} + 4038981084 \beta_{16} + 32237305 \beta_{15} + 3358354849 \beta_{14} + \cdots - 506585417388 ) / 27 \) (-6364702087b17 + 4038981084b16 + 32237305b15 + 3358354849b14 + 7997464089b13 + 2786278259b12 - 5373046143b11 + 1692121072b10 + 2385003443b9 + 13653509490b8 - 8184280950b7 + 3483501390b6 + 19265983451b5 + 13512529711b4 - 18426711659b3 - 28209445360b2 + 222647342088*b1 - 506585417388) / 27
\(\nu^{15}\)	\(=\)	\( ( - 40089048757 \beta_{17} + 34933177305 \beta_{16} + 444344101 \beta_{15} + 14519359861 \beta_{14} + \cdots - 2092446241512 ) / 27 \) (-40089048757b17 + 34933177305b16 + 444344101b15 + 14519359861b14 + 88180404696b13 + 42630978401b12 - 58196454552b11 + 40795167682b10 + 15915634505b9 + 135555207957b8 - 61807537935b7 + 30564350172b6 + 94277867432b5 + 76179865612b4 - 82520559995b3 - 150972185752b2 + 510690882225*b1 - 2092446241512) / 27
\(\nu^{16}\)	\(=\)	\( ( - 201137806810 \beta_{17} + 293540400405 \beta_{16} + 60609850129 \beta_{15} + 35687388529 \beta_{14} + \cdots - 6978267699261 ) / 27 \) (-201137806810b17 + 293540400405b16 + 60609850129b15 + 35687388529b14 + 656921285928b13 + 252791541119b12 - 556265492865b11 + 264928545136b10 + 136772505323b9 + 1075962760344b8 - 482189915637b7 + 264966759234b6 + 359482614929b5 + 370363196971b4 - 255532772531b3 - 559296334792b2 - 3761569292640*b1 - 6978267699261) / 27
\(\nu^{17}\)	\(=\)	\( ( - 615404548996 \beta_{17} + 1986138294795 \beta_{16} + 798336468241 \beta_{15} - 704823786875 \beta_{14} + \cdots - 41689486691016 ) / 27 \) (-615404548996b17 + 1986138294795b16 + 798336468241b15 - 704823786875b14 + 3741196943214b13 + 1132745071619b12 - 3897185519205b11 + 1365952646974b10 + 184797554459b9 + 6923362404726b8 - 2751254464653b7 + 2362696285572b6 + 2645957494484b5 + 1874045171350b4 - 94303834124b3 - 433401388873b2 - 57295198356576*b1 - 41689486691016) / 27

\(n\):		e.g. 2-40 or 990-1000
Embeddings:		e.g. 1-3 or 253.9
Significant digits:
Format:

$p$	$F_p(T)$
$2$	\( T^{18} \) T^18
$3$	\( T^{18} \) T^18
$5$	\( T^{18} + \cdots + 52444912836996 \) T^18 - 6T^17 + 738T^16 - 1368T^15 + 352323T^14 - 281502T^13 + 94605300T^12 + 185166486T^11 + 17780999634T^10 + 47486544840T^9 + 1852923139029T^8 + 10572760083708T^7 + 116976039417180T^6 + 296960546362968T^5 + 811474750097325T^4 - 139000635955458T^3 + 321478263979821T^2 + 83327262188598*T + 52444912836996
$7$	\( (T^{2} + 7 T + 49)^{9} \) (T^2 + 7*T + 49)^9
$11$	\( T^{18} + \cdots + 77\!\cdots\!00 \) T^18 - 93T^17 + 11295T^16 - 443070T^15 + 36467685T^14 - 819025911T^13 + 84577294503T^12 - 822053996856T^11 + 113434509923559T^10 + 423765439794549T^9 + 117038019847293144T^8 + 581485291342630263T^7 + 39837921078165127722T^6 + 19063479501353149731T^5 + 8632933690236281211141T^4 - 2660629755736487747088T^3 + 1082504241197704583780796T^2 - 3467529658741792065452640*T + 77820759301494717459795600
$13$	\( T^{18} + \cdots + 18\!\cdots\!16 \) T^18 + 18T^17 + 13059T^16 + 487086T^15 + 126995994T^14 + 4655524284T^13 + 593820288987T^12 + 24495151585302T^11 + 2041089434001882T^10 + 64205162926551164T^9 + 2900296938662436159T^8 + 40192093077678623934T^7 + 1508052161168005449021T^6 + 6763416040046587496274T^5 + 707100715967262291055260T^4 - 1184724852617465529310416T^3 + 46600722594520568072337312T^2 + 137654370615529403804161152*T + 1832524584591852186458358016
$17$	\( (T^{9} + \cdots + 109582832291940)^{2} \) (T^9 - 27T^8 - 19674T^7 + 541854T^6 + 114370515T^5 - 2669633127T^4 - 176770160919T^3 + 836515485513T^2 + 34269083897688T + 109582832291940)^2
$19$	\( (T^{9} + \cdots - 20\!\cdots\!75)^{2} \) (T^9 + 45T^8 - 34344T^7 - 798270T^6 + 396854109T^5 - 470801511T^4 - 1646353799745T^3 + 39282983879373T^2 + 716445769363245T - 20220704685815975)^2
$23$	\( T^{18} + \cdots + 43\!\cdots\!96 \) T^18 - 246T^17 + 100017T^16 - 15551010T^15 + 4661765190T^14 - 661439414430T^13 + 137108277880299T^12 - 15062096275811658T^11 + 2390586686863371234T^10 - 230346437142159292122T^9 + 26833808091629611717902T^8 - 1703915244357697440758448T^7 + 110649415546339321594592079T^6 - 4066911865399265036906696712T^5 + 203141897740720589123872046772T^4 - 6184183060168504111412332812954T^3 + 234676460365023103885599697054953T^2 - 3419377828156909482351367457504196*T + 43995693350953812867026835576039696
$29$	\( T^{18} + \cdots + 32\!\cdots\!84 \) T^18 - 318T^17 + 168003T^16 - 30018114T^15 + 12060569223T^14 - 1977861946158T^13 + 550414206558864T^12 - 73062467773557066T^11 + 15738690561753929391T^10 - 1900440852599168794836T^9 + 313203569525528584567842T^8 - 30647009579346259470632592T^7 + 3832312585504704351808709673T^6 - 317105197146642576192391016280T^5 + 30675736800195027535474290241668T^4 - 1771724201115833269003386756993024T^3 + 96413400566923819890018463724567952T^2 - 1979756945738699530507626926661257664*T + 32517269575592275747758655040538288384
$31$	\( T^{18} + \cdots + 20\!\cdots\!76 \) T^18 + 18T^17 + 157887T^16 + 17293614T^15 + 17954662077T^14 + 2024715680964T^13 + 1079139911002962T^12 + 140087072237122548T^11 + 46875106710908871471T^10 + 4629772194844673851130T^9 + 816335499732586812632088T^8 + 43211417210340798221244126T^7 + 7195353196836926126169497301T^6 + 280335310633075080445977941982T^5 + 40027389748824460354217481498264T^4 + 740224805313379059766439381112T^3 + 35749975688572005849943421149248864T^2 + 402845639975397097584849530733568608*T + 20506267815129374042583030250151027776
$37$	\( (T^{9} + \cdots - 12\!\cdots\!48)^{2} \) (T^9 + 36T^8 - 215775T^7 - 6106560T^6 + 14778748422T^5 + 312442901280T^4 - 367302778249191T^3 + 2473738641105426T^2 + 3162568796978179212T - 122961584028958662248)^2
$41$	\( T^{18} + \cdots + 19\!\cdots\!96 \) T^18 - 57T^17 + 414189T^16 - 27404892T^15 + 121212833319T^14 - 6898136018103T^13 + 16965162465133689T^12 - 293925351642190272T^11 + 1672543129182069914811T^10 - 21540911838531454851633T^9 + 80738305657421863979795238T^8 + 699410150995834948779502623T^7 + 2700087071660472355371406928376T^6 - 21600581812916441758800702300171T^5 + 33370165057473691511031162410077665T^4 - 980657178709125671923036700145147264T^3 + 324018918381255487102696956454016410464T^2 - 7738124560865213084426465467914941761536*T + 195000495968092726206587110352852725687296
$43$	\( T^{18} + \cdots + 16\!\cdots\!84 \) T^18 + 171T^17 + 484650T^16 - 2222373T^15 + 159013505232T^14 - 2297422764567T^13 + 24876572339675211T^12 - 2910821490327368988T^11 + 2599378077244557341907T^10 - 105660206365831649617471T^9 + 44345046767307758258481945T^8 + 281241091758139817967880038T^7 + 576989609358764646048707910447T^6 - 1082151278823016092404592979857T^5 + 1816893754971181620002969539680297T^4 - 62765766569353571162419310783569920T^3 + 5000694852431167677256198774504705956T^2 - 91142051076696892417011298837462312224*T + 1698174152250704884459699003277798314384
$47$	\( T^{18} + \cdots + 20\!\cdots\!00 \) T^18 - 1056T^17 + 791037T^16 - 388597500T^15 + 160506226917T^14 - 53188307887266T^13 + 16209185204018394T^12 - 4268803747522463136T^11 + 1051510372432834716405T^10 - 223503671927792865217932T^9 + 44109556593185492803099116T^8 - 7565744974788609129894660300T^7 + 1213473786514793753774401278657T^6 - 165486359246916126558864169325376T^5 + 19803696236404314047447012717493024T^4 - 1828976577800374657583114439757943808T^3 + 134419634690711444060879023090534204416T^2 - 6363404663177229564011750044382960271360*T + 201562199102233137959925659697055275417600
$53$	\( (T^{9} + \cdots + 62\!\cdots\!32)^{2} \) (T^9 + 756T^8 - 530190T^7 - 591720030T^6 - 64475218863T^5 + 83768677280406T^4 + 33418789409301885T^3 + 4657590260398827288T^2 + 223426765307118888540T + 62301759208236367632)^2
$59$	\( T^{18} + \cdots + 51\!\cdots\!84 \) T^18 - 411T^17 + 447732T^16 - 120083769T^15 + 104415352506T^14 - 25342123646511T^13 + 14857318993235877T^12 - 2793313783245825900T^11 + 1337941158196905683235T^10 - 222776506954384638318279T^9 + 80202497513831947356788835T^8 - 9696495949820328520029137472T^7 + 2854215950950036255713205075497T^6 - 259100283343239396771284352181167T^5 + 68318360234056563067575224436271041T^4 - 3110952697722314050124993118162007392T^3 + 718145653453312945929066591957394350156T^2 + 11820055396681564240396211210332868589216*T + 5107396698027326859860072707006206797101584
$61$	\( T^{18} + \cdots + 73\!\cdots\!00 \) T^18 + 198T^17 + 947781T^16 - 16829238T^15 + 575464222890T^14 - 49665914201520T^13 + 199392027518913783T^12 - 54020123556156808488T^11 + 48287826566092839180456T^10 - 14933948050220106262613110T^9 + 8626318115367700762714746378T^8 - 2802203845099745146241746379436T^7 + 920135683593696199824646137816621T^6 - 177210592689777904511647774819766028T^5 + 27763920095333752004256559959322436676T^4 - 2165126026351559411989145132551575856848T^3 + 123666685213254932906479150686307736826201T^2 - 3620804535485247692049155000827489494190620*T + 73992569264978688818865315019023929393280400
$67$	\( T^{18} + \cdots + 49\!\cdots\!44 \) T^18 + 441T^17 + 2146527T^16 + 947654070T^15 + 2964434570613T^14 + 1285363077853743T^13 + 2478491353014195003T^12 + 1037190443007372524028T^11 + 1506692532251378632020147T^10 + 592189453320403389537016703T^9 + 591428167616049720238970314884T^8 + 203649693835695529943328385484601T^7 + 157297366053854545333168556627094654T^6 + 44115748853730556580432294328529463637T^5 + 17976665648315883714661979374073637316113T^4 + 1117192678863742842834017585435843051024568T^3 + 82265658356084873796140432352598323699018840T^2 - 1583217286866021462143003940001129678104931008*T + 49145521089604447804513564888472199254985377344
$71$	\( (T^{9} + \cdots - 35\!\cdots\!40)^{2} \) (T^9 + 1758T^8 - 223272T^7 - 1620019710T^6 - 429865646247T^5 + 368291298026556T^4 + 156923398516730841T^3 - 203460654955330530T^2 - 5007985476955766937729T - 353460623704696176879240)^2
$73$	\( (T^{9} + \cdots - 11\!\cdots\!96)^{2} \) (T^9 - 27T^8 - 1908261T^7 + 72296355T^6 + 1247418011052T^5 - 75459232145700T^4 - 323320820611206057T^3 + 25410297757157940465T^2 + 25769176042545132782328T - 1183538931455285793136196)^2
$79$	\( T^{18} + \cdots + 62\!\cdots\!00 \) T^18 - 72T^17 + 2100060T^16 - 452362836T^15 + 3161959790319T^14 - 561746335946058T^13 + 2154468238268276346T^12 - 69989531243487909354T^11 + 1002946490890190640511974T^10 + 34106262763369314848540150T^9 + 270073194784373654129363152527T^8 + 46692486888874372186086344916996T^7 + 49837503703128855413784162478670094T^6 + 9251908205154693104993329270785831102T^5 + 5722425800014755614605167012199908380037T^4 + 1235088848769841080699903644713183611144816T^3 + 411813087614943040025104742752632985637442369T^2 + 49899668646138583272453649845700291059842851290*T + 6294273048475412094793585883036206820614335832900
$83$	\( T^{18} + \cdots + 82\!\cdots\!00 \) T^18 - 558T^17 + 2381256T^16 - 2829975624T^15 + 5154073228431T^14 - 4752602234467776T^13 + 4716204326181416502T^12 - 3500252919601872724098T^11 + 2680692965469858406004001T^10 - 1593139768839643587745722660T^9 + 818890540979331123577362718035T^8 - 305879442979270980446366076028116T^7 + 90126858061698359750922611637817173T^6 - 17397339376256464068017683442514342972T^5 + 2382725676844086153616427068397258642556T^4 - 108627627837708350670903396429644611766640T^3 + 4133397800743310569236581791093016476864656T^2 + 46032224412151653471374052441025486832446080*T + 823418996799143877148943185523731779400934400
$89$	\( (T^{9} + \cdots - 28\!\cdots\!40)^{2} \) (T^9 + 1392T^8 - 1536354T^7 - 3408377562T^6 - 1125822437505T^5 + 869276690497962T^4 + 595604595645477675T^3 + 58849744796899349382T^2 - 21356874775246183654536T - 2829124172163195732000240)^2
$97$	\( T^{18} + \cdots + 82\!\cdots\!00 \) T^18 - 909T^17 + 3955824T^16 - 774335487T^15 + 8336210340366T^14 - 659184318836811T^13 + 10701152650072270815T^12 + 2511137593262771820504T^11 + 7852383110841011214123105T^10 + 730706154849409351914109379T^9 + 2450293874418200640291554023287T^8 + 14720022127563925760656096831524T^7 + 566151345797945912521773817189041753T^6 - 39798428049548758352478864938677850223T^5 + 59769379011185702215960693583991840030225T^4 - 8646711005811327546640186491397491774989280T^3 + 4976960094649203289361896850121640050396933444T^2 - 574042482695900410448885504358567664117617514080*T + 82480491933915291612330982281335350527041427955600
show more
show less

\(n\)	\(29\)	\(325\)	\(379\)
\(\chi(n)\)	\(\beta_{1}\)	\(1\)	\(1\)