# Properties

 Label 75.9.f.e Level $75$ Weight $9$ Character orbit 75.f Analytic conductor $30.553$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$75 = 3 \cdot 5^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$9$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 75.f (of order $$4$$, degree $$2$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$30.5533957546$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Relative dimension: $$8$$ over $$\Q(i)$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{16} - 4140 x^{13} + 1109893 x^{12} - 3063780 x^{11} + 8569800 x^{10} - 2336277960 x^{9} + 311176823556 x^{8} - 1727244961920 x^{7} + \cdots + 66\!\cdots\!00$$ x^16 - 4140*x^13 + 1109893*x^12 - 3063780*x^11 + 8569800*x^10 - 2336277960*x^9 + 311176823556*x^8 - 1727244961920*x^7 + 4854003667200*x^6 - 30001722912000*x^5 + 6803138028400000*x^4 - 35113381084800000*x^3 + 91055220768000000*x^2 - 110364533280000000*x + 66884304400000000 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$2^{12}\cdot 3^{20}\cdot 5^{8}$$ Twist minimal: no (minimal twist has level 15) Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{4}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{2} q^{2} + \beta_{6} q^{3} + (\beta_{9} + 3 \beta_{3} + 3 \beta_{2} - 158 \beta_1) q^{4} + ( - \beta_{7} + 3 \beta_{3} - 3 \beta_{2} - 142) q^{6} + (\beta_{15} - 2 \beta_{14} - \beta_{13} + \beta_{12} - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{7} - 7 \beta_{5} + \cdots - 285) q^{7}+ \cdots + 2187 \beta_1 q^{9}+O(q^{10})$$ q + b2 * q^2 + b6 * q^3 + (b9 + 3*b3 + 3*b2 - 158*b1) * q^4 + (-b7 + 3*b3 - 3*b2 - 142) * q^6 + (b15 - 2*b14 - b13 + b12 - b9 + b8 - b7 - 7*b5 - b4 + 38*b2 + 284*b1 - 285) * q^7 + (b15 + b13 + b11 + 3*b10 - b9 + b8 + b7 + 9*b6 + b4 + 166*b3 - 1091*b1 - 1090) * q^8 + 2187*b1 * q^9 $$q + \beta_{2} q^{2} + \beta_{6} q^{3} + (\beta_{9} + 3 \beta_{3} + 3 \beta_{2} - 158 \beta_1) q^{4} + ( - \beta_{7} + 3 \beta_{3} - 3 \beta_{2} - 142) q^{6} + (\beta_{15} - 2 \beta_{14} - \beta_{13} + \beta_{12} - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{7} - 7 \beta_{5} + \cdots - 285) q^{7}+ \cdots + (2187 \beta_{15} - 6561 \beta_{14} + 17496 \beta_{12} + \cdots - 3210516 \beta_1) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b2 * q^2 + b6 * q^3 + (b9 + 3*b3 + 3*b2 - 158*b1) * q^4 + (-b7 + 3*b3 - 3*b2 - 142) * q^6 + (b15 - 2*b14 - b13 + b12 - b9 + b8 - b7 - 7*b5 - b4 + 38*b2 + 284*b1 - 285) * q^7 + (b15 + b13 + b11 + 3*b10 - b9 + b8 + b7 + 9*b6 + b4 + 166*b3 - 1091*b1 - 1090) * q^8 + 2187*b1 * q^9 + (3*b14 + b13 - 8*b12 + 8*b11 - 3*b10 - b7 + 126*b6 - 126*b5 + 19*b4 - 87*b3 + 87*b2 - 1467) * q^11 + (-9*b14 - 9*b12 + 9*b9 - 163*b5 + 9*b4 - 126*b2 + 1413*b1 - 1413) * q^12 + (-6*b15 - 6*b13 + 3*b11 + 6*b10 - 23*b9 + 9*b8 + 9*b7 + 113*b6 + 23*b4 + 24*b3 - 8327*b1 - 8333) * q^13 + (-16*b15 - 12*b14 - 13*b12 - 13*b11 - 12*b10 + 42*b9 + 8*b8 - 261*b6 - 261*b5 - 605*b3 - 605*b2 - 15058*b1) * q^14 + (-28*b14 + 14*b13 - 7*b12 + 7*b11 + 28*b10 - 28*b7 - 171*b6 + 171*b5 - 49*b4 + 839*b3 - 839*b2 - 29470) * q^16 + (-16*b15 + 30*b14 + 16*b13 - 13*b12 - 47*b9 + 29*b8 - 29*b7 + 321*b5 - 47*b4 - 1644*b2 + 35855*b1 - 35839) * q^17 - 2187*b3 * q^18 + (76*b15 + 32*b14 + 23*b12 + 23*b11 + 32*b10 - 114*b9 + 46*b8 + 101*b6 + 101*b5 + 1162*b3 + 1162*b2 - 18120*b1) * q^19 + (-18*b14 - 81*b13 + 63*b12 - 63*b11 + 18*b10 - 99*b7 - 121*b6 + 121*b5 + 117*b4 - 1476*b3 + 1476*b2 + 10179) * q^21 + (23*b15 + 50*b14 - 23*b13 + 104*b12 + 181*b9 + 278*b8 - 278*b7 - 1798*b5 + 181*b4 + 3472*b2 - 14630*b1 + 14607) * q^22 + (89*b15 + 89*b13 + 66*b11 - 156*b10 + 479*b9 + 149*b8 + 149*b7 - 1434*b6 - 479*b4 - 1228*b3 - 40828*b1 - 40739) * q^23 + (-54*b15 - 63*b14 + 18*b12 + 18*b11 - 63*b10 - 333*b9 + 132*b8 - 954*b6 - 954*b5 - 63*b3 - 63*b2 + 41118*b1) * q^24 + (180*b14 + 20*b13 + 155*b12 - 155*b11 - 180*b10 - 324*b7 - 4215*b6 + 4215*b5 - 322*b4 + 4148*b3 - 4148*b2 - 28282) * q^26 + 2187*b5 * q^27 + (-280*b15 - 280*b13 - 412*b11 + 98*b10 - 893*b9 + 230*b8 + 230*b7 - 5832*b6 + 893*b4 + 9394*b3 + 223314*b1 + 223034) * q^28 + (-169*b15 + 282*b14 + 113*b12 + 113*b11 + 282*b10 + 1089*b9 + 299*b8 - 3279*b6 - 3279*b5 + 11342*b3 + 11342*b2 - 27496*b1) * q^29 + (160*b14 + 340*b13 - 440*b12 + 440*b11 - 160*b10 - 134*b7 - 4430*b6 + 4430*b5 - 474*b4 - 3806*b3 + 3806*b2 + 82224) * q^31 + (53*b15 - 303*b14 - 53*b13 - 339*b12 - 1501*b9 + 183*b8 - 183*b7 - 13719*b5 - 1501*b4 - 6074*b2 + 40401*b1 - 40454) * q^32 + (297*b15 + 297*b13 + 261*b11 + 180*b10 - 936*b9 + 22*b8 + 22*b7 - 117*b6 + 936*b4 - 7818*b3 + 238600*b1 + 238897) * q^33 + (124*b15 - 412*b14 - 283*b12 - 283*b11 - 412*b10 - 214*b9 - 512*b8 - 14991*b6 - 14991*b5 - 47318*b3 - 47318*b2 + 636314*b1) * q^34 + (2187*b4 - 6561*b3 + 6561*b2 + 345546) * q^36 + (-80*b15 - 398*b14 + 80*b13 + 427*b12 + 1773*b9 + 145*b8 - 145*b7 - 24339*b5 + 1773*b4 - 32056*b2 - 225719*b1 + 225799) * q^37 + (-28*b15 - 28*b13 + 258*b11 + 912*b10 + 4202*b9 - 248*b8 - 248*b7 - 6630*b6 - 4202*b4 + 1242*b3 - 509774*b1 - 509802) * q^38 + (-81*b15 + 423*b14 - 63*b12 - 63*b11 + 423*b10 - 1899*b9 + 27*b8 - 8866*b6 - 8866*b5 + 22365*b3 + 22365*b2 + 202464*b1) * q^39 + (-1740*b14 - 1060*b13 - 185*b12 + 185*b11 + 1740*b10 + 322*b7 - 4485*b6 + 4485*b5 - 1626*b4 - 24558*b3 + 24558*b2 - 922020) * q^41 + (-27*b15 + 558*b14 + 27*b13 - 738*b12 + 2493*b9 - 562*b8 + 562*b7 - 20268*b5 + 2493*b4 + 46014*b2 - 603676*b1 + 603703) * q^42 + (218*b15 + 218*b13 + 1430*b11 - 1144*b10 - 3460*b9 - 1072*b8 - 1072*b7 - 13186*b6 + 3460*b4 + 29044*b3 + 301188*b1 + 301406) * q^43 + (1034*b15 - 1797*b14 - 363*b12 - 363*b11 - 1797*b10 + 4808*b9 + 50*b8 - 69171*b6 - 69171*b5 + 54812*b3 + 54812*b2 - 1410250*b1) * q^44 + (-226*b14 - 202*b13 + 926*b12 - 926*b11 + 226*b10 + 3008*b7 - 45092*b6 + 45092*b5 + 3106*b4 + 139454*b3 - 139454*b2 + 877478) * q^46 + (77*b15 + 1680*b14 - 77*b13 + 1476*b12 - 2581*b9 - 2063*b8 + 2063*b7 - 35712*b5 - 2581*b4 + 67696*b2 + 1658560*b1 - 1658637) * q^47 + (-567*b15 - 567*b13 - 441*b11 - 1575*b10 - 2394*b9 + 153*b8 + 153*b7 - 21077*b6 + 2394*b4 - 100080*b3 - 228015*b1 - 228582) * q^48 + (-822*b15 + 1746*b14 + 909*b12 + 909*b11 + 1746*b10 - 6728*b9 - 1236*b8 - 55857*b6 - 55857*b5 + 9120*b3 + 9120*b2 - 1395959*b1) * q^49 + (873*b14 + 1161*b13 - 423*b12 + 423*b11 - 873*b10 + 1937*b7 - 32544*b6 + 32544*b5 - 3231*b4 - 82671*b3 + 82671*b2 - 385051) * q^51 + (-428*b15 + 874*b14 + 428*b13 - 2780*b12 - 2240*b9 - 6038*b8 + 6038*b7 - 75296*b5 - 2240*b4 - 58672*b2 - 992748*b1 + 993176) * q^52 + (-1135*b15 - 1135*b13 - 3173*b11 - 288*b10 + 468*b9 - 3950*b8 - 3950*b7 - 94863*b6 - 468*b4 - 26934*b3 - 1039589*b1 - 1040724) * q^53 + (-2187*b8 + 6561*b3 + 6561*b2 - 310554*b1) * q^54 + (5637*b14 + 3194*b13 - 17*b12 + 17*b11 - 5637*b10 + 5514*b7 - 105471*b6 + 105471*b5 - 8256*b4 - 250996*b3 + 250996*b2 + 672920) * q^56 + (-243*b15 - 2970*b14 + 243*b13 + 3186*b12 - 3591*b9 + 1467*b8 - 1467*b7 - 15858*b5 - 3591*b4 + 19926*b2 + 296820*b1 - 296577) * q^57 + (3345*b15 + 3345*b13 - 2166*b11 + 3174*b10 + 13621*b9 - 90*b8 - 90*b7 - 101320*b6 - 13621*b4 + 407958*b3 - 3978328*b1 - 3974983) * q^58 + (-1739*b15 + 4047*b14 + 1168*b12 + 1168*b11 + 4047*b10 - 4239*b9 - 8557*b8 - 18054*b6 - 18054*b5 - 74729*b3 - 74729*b2 + 2780180*b1) * q^59 + (1542*b14 - 3996*b13 + 2883*b12 - 2883*b11 - 1542*b10 - 6918*b7 - 28941*b6 + 28941*b5 + 7014*b4 + 359220*b3 - 359220*b2 - 787828) * q^61 + (286*b15 - 6588*b14 - 286*b13 + 600*b12 + 10450*b9 + 436*b8 - 436*b7 - 176052*b5 + 10450*b4 + 56612*b2 - 2201924*b1 + 2201638) * q^62 + (-2187*b15 - 2187*b13 - 2187*b11 + 4374*b10 + 2187*b9 - 2187*b8 - 2187*b7 + 15309*b6 - 2187*b4 - 83106*b3 - 621108*b1 - 623295) * q^63 + (-2126*b15 - 1342*b14 - 343*b12 - 343*b11 - 1342*b10 + 20771*b9 + 11944*b8 - 166681*b6 - 166681*b5 - 276251*b3 - 276251*b2 - 3504060*b1) * q^64 + (-3114*b14 - 1458*b13 - 1251*b12 + 1251*b11 + 3114*b10 - 3276*b7 + 42397*b6 - 42397*b5 - 13212*b4 - 489357*b3 + 489357*b2 + 2930688) * q^66 + (3904*b15 + 3052*b14 - 3904*b13 + 274*b12 - 13664*b9 + 7384*b8 - 7384*b7 + 15470*b5 - 13664*b4 - 428164*b2 + 2930676*b1 - 2934580) * q^67 + (596*b15 + 596*b13 + 8496*b11 - 9702*b10 - 45946*b9 + 15246*b8 + 15246*b7 + 73836*b6 + 45946*b4 - 733820*b3 + 12380364*b1 + 12380960) * q^68 + (5994*b15 - 6912*b14 + 297*b12 + 297*b11 - 6912*b10 + 21762*b9 + 758*b8 - 67491*b6 - 67491*b5 + 221880*b3 + 221880*b2 - 2156908*b1) * q^69 + (-7026*b14 + 4128*b13 - 4634*b12 + 4634*b11 + 7026*b10 - 9216*b7 - 8802*b6 + 8802*b5 + 40856*b4 - 1434*b3 + 1434*b2 - 5342832) * q^71 + (2187*b15 + 6561*b14 - 2187*b13 + 2187*b12 - 2187*b9 + 2187*b8 - 2187*b7 + 19683*b5 - 2187*b4 + 363042*b2 - 2386017*b1 + 2383830) * q^72 + (-840*b15 - 840*b13 + 11190*b11 + 1380*b10 + 18540*b9 + 300*b8 + 300*b7 + 119358*b6 - 18540*b4 + 787596*b3 + 3175895*b1 + 3175055) * q^73 + (2332*b15 + 564*b14 - 4059*b12 - 4059*b11 + 564*b10 - 61670*b9 + 20244*b8 - 19023*b6 - 19023*b5 + 470612*b3 + 470612*b2 + 17289522*b1) * q^74 + (-14066*b14 - 4952*b13 - 2624*b12 + 2624*b11 + 14066*b10 - 5684*b7 + 154348*b6 - 154348*b5 - 11322*b4 + 1297534*b3 - 1297534*b2 + 6317500) * q^76 + (-6627*b15 + 14136*b14 + 6627*b13 - 12750*b12 + 44895*b9 + 19733*b8 - 19733*b7 + 138066*b5 + 44895*b4 + 621200*b2 + 6067328*b1 - 6060701) * q^77 + (675*b15 + 675*b13 + 1062*b11 - 558*b10 + 40923*b9 + 5905*b8 + 5905*b7 - 33984*b6 - 40923*b4 - 516120*b3 - 8240654*b1 - 8239979) * q^78 + (3692*b15 - 10436*b14 - 3734*b12 - 3734*b11 - 10436*b10 - 8062*b9 - 11998*b8 + 267912*b6 + 267912*b5 - 700018*b3 - 700018*b2 + 7634428*b1) * q^79 - 4782969 * q^81 + (-14556*b15 - 15720*b14 + 14556*b13 - 198*b12 + 2578*b9 + 11784*b8 - 11784*b7 + 134114*b5 + 2578*b4 - 1487646*b2 - 11336870*b1 + 11351426) * q^82 + (2345*b15 + 2345*b13 - 10780*b11 + 21210*b10 - 335*b9 - 15725*b8 - 15725*b7 + 26460*b6 + 335*b4 - 445046*b3 + 13006960*b1 + 13009305) * q^83 + (-13770*b15 + 19755*b14 - 2925*b12 - 2925*b11 + 19755*b10 + 5526*b9 + 11322*b8 + 162535*b6 + 162535*b5 + 940662*b3 + 940662*b2 - 12924090*b1) * q^84 + (3972*b14 - 11796*b13 + 3358*b12 - 3358*b11 - 3972*b10 - 13276*b7 + 559254*b6 - 559254*b5 + 8768*b4 - 1237758*b3 + 1237758*b2 - 11728240) * q^86 + (-4563*b15 - 7272*b14 + 4563*b13 - 20961*b12 - 38439*b9 + 2487*b8 - 2487*b7 - 21105*b5 - 38439*b4 + 303984*b2 - 4636356*b1 + 4640919) * q^87 + (-14656*b15 - 14656*b13 - 22672*b11 - 14554*b10 - 34673*b9 + 24134*b8 + 24134*b7 + 457100*b6 + 34673*b4 + 1280218*b3 - 8621602*b1 - 8636258) * q^88 + (-3586*b15 - 12252*b14 + 2367*b12 + 2367*b11 - 12252*b10 + 50600*b9 - 7060*b8 + 406809*b6 + 406809*b5 + 69978*b3 + 69978*b2 - 1420912*b1) * q^89 + (40354*b14 + 38338*b13 - 5354*b12 + 5354*b11 - 40354*b10 - 10850*b7 - 150902*b6 + 150902*b5 - 106538*b4 + 472390*b3 - 472390*b2 + 2406490) * q^91 + (25982*b15 - 630*b14 - 25982*b13 + 38026*b12 - 78726*b9 - 19118*b8 + 19118*b7 + 1114122*b5 - 78726*b4 + 620852*b2 + 40782130*b1 - 40808112) * q^92 + (16200*b15 + 16200*b13 + 10854*b11 - 16686*b10 - 25434*b9 - 990*b8 - 990*b7 + 160982*b6 + 25434*b4 - 940302*b3 - 9985968*b1 - 9969768) * q^93 + (7562*b15 + 28294*b14 + 16096*b12 + 16096*b11 + 28294*b10 + 69406*b9 - 3136*b8 + 1022742*b6 + 1022742*b5 - 2129080*b3 - 2129080*b2 - 24347100*b1) * q^94 + (13851*b14 + 972*b13 + 18144*b12 - 18144*b11 - 13851*b10 - 10762*b7 + 27342*b6 - 27342*b5 + 50787*b4 - 807441*b3 + 807441*b2 + 33220958) * q^96 + (30906*b15 + 2076*b14 - 30906*b13 + 37194*b12 + 24776*b9 + 19116*b8 - 19116*b7 + 680598*b5 + 24776*b4 + 258504*b2 - 8655727*b1 + 8624821) * q^97 + (7210*b15 + 7210*b13 + 1054*b11 + 11004*b10 + 41816*b9 + 19120*b8 + 19120*b7 + 609402*b6 - 41816*b4 - 255283*b3 + 3127642*b1 + 3134852) * q^98 + (2187*b15 - 6561*b14 + 17496*b12 + 17496*b11 - 6561*b10 - 41553*b9 - 2187*b8 + 275562*b6 + 275562*b5 - 190269*b3 - 190269*b2 - 3210516*b1) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q - 2268 q^{6} - 4540 q^{7} - 17460 q^{8}+O(q^{10})$$ 16 * q - 2268 * q^6 - 4540 * q^7 - 17460 * q^8 $$16 q - 2268 q^{6} - 4540 q^{7} - 17460 q^{8} - 23616 q^{11} - 22680 q^{12} - 133420 q^{13} - 471380 q^{16} - 573300 q^{17} + 163944 q^{21} + 234700 q^{22} - 651480 q^{23} - 448848 q^{26} + 3567940 q^{28} + 1311776 q^{31} - 641460 q^{32} + 3815100 q^{33} + 5519988 q^{36} + 3607340 q^{37} - 8139840 q^{38} - 14740104 q^{41} + 9643860 q^{42} + 4805480 q^{43} + 14024216 q^{46} - 26529600 q^{47} - 3661200 q^{48} - 6168312 q^{51} + 15861080 q^{52} - 16612140 q^{53} + 10752000 q^{56} - 4714200 q^{57} - 63562980 q^{58} - 12550600 q^{61} + 35190840 q^{62} - 9928980 q^{63} + 46958616 q^{66} - 46836760 q^{67} + 197811840 q^{68} - 85681968 q^{71} + 38185020 q^{72} + 50835800 q^{73} + 101166648 q^{76} - 97175880 q^{77} - 131709240 q^{78} - 76527504 q^{81} + 181542400 q^{82} + 208234800 q^{83} - 187512576 q^{86} + 74298060 q^{87} - 138207420 q^{88} + 38623856 q^{91} - 652331400 q^{92} - 159787080 q^{93} + 531512604 q^{96} + 138370520 q^{97} + 50186520 q^{98}+O(q^{100})$$ 16 * q - 2268 * q^6 - 4540 * q^7 - 17460 * q^8 - 23616 * q^11 - 22680 * q^12 - 133420 * q^13 - 471380 * q^16 - 573300 * q^17 + 163944 * q^21 + 234700 * q^22 - 651480 * q^23 - 448848 * q^26 + 3567940 * q^28 + 1311776 * q^31 - 641460 * q^32 + 3815100 * q^33 + 5519988 * q^36 + 3607340 * q^37 - 8139840 * q^38 - 14740104 * q^41 + 9643860 * q^42 + 4805480 * q^43 + 14024216 * q^46 - 26529600 * q^47 - 3661200 * q^48 - 6168312 * q^51 + 15861080 * q^52 - 16612140 * q^53 + 10752000 * q^56 - 4714200 * q^57 - 63562980 * q^58 - 12550600 * q^61 + 35190840 * q^62 - 9928980 * q^63 + 46958616 * q^66 - 46836760 * q^67 + 197811840 * q^68 - 85681968 * q^71 + 38185020 * q^72 + 50835800 * q^73 + 101166648 * q^76 - 97175880 * q^77 - 131709240 * q^78 - 76527504 * q^81 + 181542400 * q^82 + 208234800 * q^83 - 187512576 * q^86 + 74298060 * q^87 - 138207420 * q^88 + 38623856 * q^91 - 652331400 * q^92 - 159787080 * q^93 + 531512604 * q^96 + 138370520 * q^97 + 50186520 * q^98

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 4140 x^{13} + 1109893 x^{12} - 3063780 x^{11} + 8569800 x^{10} - 2336277960 x^{9} + 311176823556 x^{8} - 1727244961920 x^{7} + \cdots + 66\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 96\!\cdots\!78 \nu^{15} + \cdots + 52\!\cdots\!00 ) / 28\!\cdots\!00$$ (-960907730349938117115455400923479310357027752651813878*v^15 - 1144922510162181228911989979485014089575918188613508855*v^14 - 2915005374477838891484796384661055037472704894257710800*v^13 + 3970583240266325446060720043273555427589720758270484906920*v^12 - 1061776277997191857090643848575235999040021347312750810815354*v^11 + 1684850603375995612406477527397091846325975030177538556698325*v^10 - 7933400677916209042301654201226844013973480420977619674136900*v^9 + 2235700649581491971234119910991327428573585249871373712066609880*v^8 - 296350001170455092287501299855238676054001119439944418780785314368*v^7 + 1309675543328042915105960243264003291880180088077077476023600755380*v^6 - 3577437320089203170088664662621567174413974605972618529109388124800*v^5 + 25972419990151333065572945427073433606576483317019914518280290528000*v^4 - 6506413696361960106833525107846280815323561850399773129311601145920000*v^3 + 25830397655253407222506515519747520898254906080956405435200059542200000*v^2 - 66905507067314778111329597366659443662002614200318190200039453712000000*v + 52911952475435432973762004490156424247724743329790492463452660320000000) / 28140007046923340443294126925603739880288347353376377210357279000000000 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 65\!\cdots\!74 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!00 ) / 78\!\cdots\!00$$ (-65665492286707013961333094593331089449086430771887010567944103574*v^15 - 82191112088930128962934065843293047901171093968386096639596164190*v^14 - 226441692789181851483023530439700631650653924739841252117371258275*v^13 + 270631595167304137010018188325208075486443169195143132671345283152360*v^12 - 72545149377891509973174424813026509172892846948076051256276905428550982*v^11 + 110952109069819228563153562449530982381383435859449631594101484106476550*v^10 - 555060404153115291062414680725960638632245965489623669624527224451131575*v^9 + 152076879021953055352679401096961496162515220472537707402537090935988254540*v^8 - 20244075715623170523010778772166159712022806423431245012886619686527447831744*v^7 + 88423703412382349801678099297411426026047880148924793127303801349112487161440*v^6 - 243143060948122037092114592090021050267258810126160682143501567356021485863900*v^5 + 1601655973451711355236667706992630912105269833453260436974190616992450570144000*v^4 - 444510798679669488179582699244258914133076708788878059892309351476370840679360000*v^3 + 1765911210111383687878379257185953817275182366050997693352602347003140942393600000*v^2 - 5363824850931058281144052589780685879045547534388111429627081157629982199491000000*v + 1694045407517280393670544860443419240067230820566202026029884209615888793360000000) / 786472912557549197820130770775694579645357014197304896332474728274923330500000000 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 39\!\cdots\!03 \nu^{15} + \cdots + 29\!\cdots\!00 ) / 31\!\cdots\!00$$ (-391671320557954324765445073514480542983100223764437837797045255103*v^15 - 657023372593947795885434678953628953321223581035695638361892868880*v^14 - 1720003474515593840258789338277980260817412793798635174480036680800*v^13 + 1620519819868897650798884067570562177302958397237941609851887072258420*v^12 - 432025061442024572875667304303979351659162381318150329589900376144800779*v^11 + 477933298650100092070097489851622687638170674122797409216110130415351500*v^10 - 3248001422603910276634617234098518375811906698155975335441205908662157400*v^9 + 913659823300233303336437536885204840213250345173507993616647778419914105880*v^8 - 120399181445882722614802448294784581680597033097280367893526337331608660011468*v^7 + 476185323908366725306298574661883982047390569259690111925351202869128081108480*v^6 - 1298986014339211622362635757156232766299033712403091839956084087518832198316800*v^5 + 11258070758446188760720399533519361428817075409124717976963253931524739866528000*v^4 - 2669650866268229552368177974938963260049270839299339254286789387574641440432920000*v^3 + 9384372505228009611443763728717261211428567007507398761822569968570171349891200000*v^2 - 24272814195068161474601477207119382861443544369429981823564378629715673476192000000*v + 29386667918152217017895045689546493994588230836188638295744618590228594596320000000) / 3145891650230196791280523083102778318581428056789219585329898913099693322000000000 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!51 \nu^{15} + \cdots - 89\!\cdots\!00 ) / 24\!\cdots\!00$$ (-106348611143566451641129875250826050474737015404808282088957351*v^15 - 276696972455549300784847409719121832081478811612450902497515160*v^14 - 244117454164324429060595279787867994554860781215199003367366100*v^13 + 440456896144559415318219523530274576556777792860316563881599677140*v^12 - 116866342254027333821569321224355870472377753535663972232206121621043*v^11 + 19821669575385030143883276438907363571769951146585501362271011422900*v^10 - 344625331431812146125482140596970283298325998867570682279145553682300*v^9 + 245901606288758534691181418577113122916214070141899361473557973144265960*v^8 - 32429196969691817372467938355068928197403567805301765193366373916630916556*v^7 + 98205264417523425384192822104168289824664096390314708535151645180195320960*v^6 - 121028299222386542737352451987034436970705239724465409334481213915945971600*v^5 + 1391727099857885442509749571093189843359022268679686190116422055927645536000*v^4 - 712967587554312219946935654178959405806611061739067984549548681640907311640000*v^3 + 1858313509979153631374529410733641373763244950305479296633601985094704182400000*v^2 - 2257461700391470932378975041300311504027069541749094997817391172803512404000000*v - 89164377512520265314902918238764648793887967740346191221514257800748636160000000) / 243282936372298877989368423409077280843046017847747241924823982143662000000000 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 59\!\cdots\!66 \nu^{15} + \cdots + 15\!\cdots\!00 ) / 52\!\cdots\!00$$ (-590989430580363125651997851339979805041777876946983095111496932166*v^15 - 739720008800371160666406592589637431110539845715474869756365477710*v^14 - 2037975235102636663347211773957305684855885322658571269056341324475*v^13 + 2435684356505737233090163694926872679377988522756288194042107548371240*v^12 - 652906344401023589758569823317238582556035622532684461306492148856958838*v^11 + 998568981628373057068382062045778841432450922735046684346913356958288950*v^10 - 4995543637378037619561732126533645747690213689406613026620745020060184175*v^9 + 1368691911197577498174114609872653465462636984252839366622833818423894290860*v^8 - 182196681440608534707097008949495437408205257810881205115979577178747030485696*v^7 + 795813330711441148215102893676702834234430921340323138145734212142012384452960*v^6 - 2188287548533098333829031328810189452405329291135446139291514106204193372775100*v^5 + 14414903761065402197130009362933678208947428501079343932767715552932055131296000*v^4 - 4000597188117025393616244293198330227197690379099902539030784163287337566114240000*v^3 + 15893200891002453190905413314673584355476641294458979240173421123028268481542400000*v^2 - 41196167445361581749915296371044921694601714681717258799651457864195529820919000000*v + 15246408667655523543034903743990773160605077385095818234268957886542999140240000000) / 524315275038366131880087180517129719763571342798203264221649818849948887000000000 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 23\!\cdots\!17 \nu^{15} + \cdots + 19\!\cdots\!00 ) / 20\!\cdots\!00$$ (-2373079860638854198996828053742737058565671097208640301538826339917*v^15 - 2980282174831180651731098872422007348266035368198897836791473030320*v^14 - 7858694732331890952800795430527524782107148933079623212743264951200*v^13 + 9827119894006655148414572726289002367771066483468866845691057797204380*v^12 - 2621324375420068751577396736677092558537988240819143473590931713029244081*v^11 + 3998160235009584907060265513452343192795767205656603467113604136578718500*v^10 - 19928256133024164354182718319878267281420260548009637851966921833825838600*v^9 + 5544355793396185439747985507245875681439863872878434054925209038914939893320*v^8 - 731392886004697854197789281236380827546384283800800534265436935882893226247652*v^7 + 3192173362423262557679391401080712321865180065858902078656598659884240213694720*v^6 - 8816843763316601080248981967833580905400738130370777729733346625156833900755200*v^5 + 70359196858090064476083878712752756856952264687975501442071391693709613111392000*v^4 - 16067899804812388725043178427558234352638938885303110815724309316413320621059880000*v^3 + 63742596252723464841959870235282157993276984482265411231732855160851614811516800000*v^2 - 164990428883302641908988729188469976172439494966600121558049659422448503347488000000*v + 199815206561490787155210248799338206533693993518226620756941944652768323768480000000) / 2097261100153464527520348722068518879054285371192813056886599275399795548000000000 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!57 \nu^{15} + \cdots + 95\!\cdots\!00 ) / 81\!\cdots\!00$$ (-125214634508291438773927935299061159950488916926481997828551957*v^15 - 329255764473294621949895300506087630714570696133474816965056120*v^14 + 36377602470073145891701854498205469057247963630711352111037300*v^13 + 526499776597726939730390727868477432346861097980074037709143984980*v^12 - 137503801263608416855161068407212372687021366313547937710332021343801*v^11 + 18436833246474932952411461418035661561406754397145061087306493000300*v^10 - 72457735141290048972542790401584185480959315270464946314717242376100*v^9 + 296391295647698959295794374440819165359769877835750030670252192643116720*v^8 - 38108523249006037861914609822101505993297770205923410136639412117322293892*v^7 + 113953893871337746063216778329053438176814192438210187003870629762957006720*v^6 - 57617937898765039493272743799295570221518547274071601567425527892538801200*v^5 + 3332802306830534430233976229450033112362853106270453220534227001265055052000*v^4 - 826211297720663577153356331224573447195760917537938877151134558012539801480000*v^3 + 2154989446169200000738216177277766887962582449246625382124142921793463676800000*v^2 - 2618655721783762116274590412511909551279445975521829290692954842994876828000000*v + 9507694313808451942995697514419023910138090464298531040105668484621161880000000) / 81094312124099625996456141136359093614348672615915747308274660714554000000000 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 28\!\cdots\!79 \nu^{15} + \cdots + 15\!\cdots\!00 ) / 10\!\cdots\!00$$ (-2849933186135412153871369048394152269633615190848797493090373014179*v^15 - 5915043494401411804277651977565551646698590392353271628688205327190*v^14 - 26822081831096646213470749544406175134123046220551538072644255001900*v^13 + 11719678012635788894478216496735258616465497508307255639154314438177060*v^12 - 3137727609941836554898104683717820210288477249559248952841372891159296247*v^11 + 2315687901400183651385141761902815187913013439647221709610913561287411950*v^10 - 35428308272443009817894661454238923740854928887932363191436812172786452700*v^9 + 6599288853642934939920366823507525634457426076710710879714031162466126182840*v^8 - 872184076902493202288526657624649672905741944234789977042323793789885136538124*v^7 + 3166729608269314984743894613110594594960424566238950557387263232920507103200040*v^6 - 11569399729526594793934069734040041947528677669075112793804227905092858147340400*v^5 + 76992776408981658377401710427507274245996389356437350951300117121264271234784000*v^4 - 19013765089720712375019840371481092559274701590098788081758392980084113620289560000*v^3 + 60932298905824095791391808110438707207150129865200792759466908885188740137267600000*v^2 - 195548192091143964340413464436480353312801462504436415185045843532977883904076000000*v + 154653705479078266943895185593397767488632821226481586777068799724334990228960000000) / 1048630550076732263760174361034259439527142685596406528443299637699897774000000000 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 40\!\cdots\!91 \nu^{15} + \cdots + 22\!\cdots\!00 ) / 31\!\cdots\!00$$ (-40563911927616425177709233320612713064427593427418424559258635156691*v^15 - 46685406750599691253441565415147581175290025676004960567311480058660*v^14 - 113338471372654108110843087928271083988124980714772147389733460975100*v^13 + 167641859349096526762453742890878556459727423217154344056156456625424740*v^12 - 44829127075610769845719283993380841084577477339275910341123825766983801663*v^11 + 72892710052204727525947511114857639732712129476918087453195875940270742600*v^10 - 329444888456522182417263035708175845752777046284861090944109800262964221300*v^9 + 94393358459744301690882315494270255875486372055629204629953582083553825172360*v^8 - 12514253773746391842528150758294125646225178202529886735769426332484097028509596*v^7 + 55764098673345345169831459576201654135946401759691233145859698686060055788407760*v^6 - 151012626579850120047450417414531559911842337972895538436245757594190592526503600*v^5 + 1096475311104298766152870012205869301936727926440626828650571801774442557708576000*v^4 - 274744984924497749900202742245941685541077041117590562488650352925081705163181240000*v^3 + 1103438767322059862594508743685850256021435447182633808776413841117019574220514400000*v^2 - 2825211224463808828688926794712601614607049045240073639095089870932405078751484000000*v + 2234307350950936131231075585726123397014339358745209327919952024566936902129440000000) / 3145891650230196791280523083102778318581428056789219585329898913099693322000000000 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 48\!\cdots\!57 \nu^{15} + \cdots - 10\!\cdots\!00 ) / 31\!\cdots\!00$$ (48284607143832071750707835787805374433061131236278522425049489299857*v^15 - 221383991676193723888222864464093435701231714623287688281720210941030*v^14 - 570229587298686654087540903046991897836176271588163069995516734874800*v^13 - 200862992670226803533369303071419189251549847226151312898725340289390980*v^12 + 54515660884111398246251693356725529511808730369789147047162221485644719501*v^11 - 391301763435234892414632677565858607832282933319986729652872028773526117250*v^10 + 463028869224757015265677378457974104120500361200548236361609058222788635600*v^9 - 114042136013579003163533350154897630381149587810727672055395771423651364020720*v^8 + 15548679307296582649207001847379139758191956739534867252200172041892197404740292*v^7 - 150999558156192343661584024958202141142345806491465245819931827271441342678840120*v^6 + 441492690651001339950451604731701885444122652953496902584428395515029505091059200*v^5 - 1840604305421501079259031611422125950722635224183229535152643701499443988771932000*v^4 + 335883578166506332054990356310396182851441372762184399300247966840469782551341480000*v^3 - 3200923004455155304357106728147342193582608842444629494444101849630020611416442800000*v^2 + 8318045013633901961394481702810439680883376584916381565173253275666262724125248000000*v - 10091372263612288141161123977997215941464525747664023823186548220925054198681080000000) / 3145891650230196791280523083102778318581428056789219585329898913099693322000000000 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!17 \nu^{15} + \cdots + 22\!\cdots\!00 ) / 57\!\cdots\!00$$ (10209441294488373043464742202835325382077470193540708516342654267017*v^15 + 63721644952174167661458473950747677137687548260504740046846499109920*v^14 + 166010645394894452669387641877734285959603203066939076887561533771200*v^13 - 42148833983227157772385489554471043925086123662887739389052363156068380*v^12 + 11065369589032245173250676206885592541629274650334375927741518978234300381*v^11 + 38733435901253272046706502197903689696482961976906559884248618108595526300*v^10 + 75943417567034121880289735700771284413852229476673949056099915323420590600*v^9 - 23672229164938427042650103001071566329523662356331816699662912022629540439320*v^8 + 3026612548719760929598100491749476602201938319959446362021963500586276127399252*v^7 + 1788295665555929226053981290107973291157511165448003820077606192206786486130880*v^6 - 9170258405782612568647717798949594914590758134144003483198478665861595009836800*v^5 - 239186786945944075118904119756471958569193258791740822298488774430021643302392000*v^4 + 67448296994539728186684901388750906966508948334208377825524020631641302417935880000*v^3 + 67799521736158798327891607646884810241232546552309773961932943120419491734107200000*v^2 - 181569790836952037629063431185619583227761431837675158773800698205237832800992000000*v + 223156739164930729188743503432978981526673239778189840773696306327930039333520000000) / 571980300041853962051004196927777876105714192143494470059981620563580604000000000 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 72\!\cdots\!26 \nu^{15} + \cdots + 18\!\cdots\!00 ) / 15\!\cdots\!00$$ (-72462272948229908166907906327816698632941276650586340470603387463226*v^15 - 85792858870554774036483271668142101556800102095779300369506679593610*v^14 + 173958053379905924019745105164429804266368227314326673978088821419525*v^13 + 301359582785555233586615890193793199084502867394827474516645559355182140*v^12 - 80066280563657439854871269202549013557503283184597076178226321878577709418*v^11 + 126036175052059352187442611069525622956375768291372224180712944616407037050*v^10 - 170927946867716410506878002393340349862567191314186039865528750686620828175*v^9 + 169515527267059411547562146392967866777091424391654923960306350816373547780960*v^8 - 22346404641005107375050175981506177366384860084786560832438549721277771766821056*v^7 + 98024305327915642621108734859319183501182651077046294766362246564391937284307760*v^6 - 153110953912632760375569928819058402836634234640086919583653402646909093587915100*v^5 + 1864477169040010363730317850865750997764794036884012868112826318742212257423266000*v^4 - 490640897010741468801061188973098149195308214913948475757489090793657810565112640000*v^3 + 1948490468855727249042707607974239978663168983927018816125842940582679037394184400000*v^2 - 2639702437482241283831076107985054774137851910527491503443048401633876586194319000000*v + 1868912254981216864188975640548720662628444208288465540379026633489846331658540000000) / 1572945825115098395640261541551389159290714028394609792664949456549846661000000000 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 38\!\cdots\!67 \nu^{15} + \cdots + 39\!\cdots\!00 ) / 48\!\cdots\!00$$ (38489595940360743657920148371992234766942968869926967013712030567*v^15 + 99691638373037509689180983408183124090541608972264005344430031720*v^14 + 130251013872438870957632225355491372677348647329990633005753598700*v^13 - 159293513822362618245916665448503294743752776719322144053685446045380*v^12 + 42307909057673496154571861733650503822622819470960794926327459740348531*v^11 - 7809628858383101288335987224498369797658155858163170743034115092175300*v^10 + 168568586627765357510462545297433954367604222602572823517836008090634100*v^9 - 89408995062419074444669947024097665924442872221632960771700671020672947320*v^8 + 11746535968817349810973176199451347977956962572441543928999263956465990455052*v^7 - 35759449206065549743523253254457782490041943127637543638903222818686545864320*v^6 + 54789171632259093409704890531287232134065534809601347461852137469689109257200*v^5 - 880486934970005252901514853962134392333723322155449995052185499124554321112000*v^4 + 259753778162876958167757186747855152496727196225877969052727293264214478101880000*v^3 - 676839216816441428641061830573770078554038633840262940740141139577037990620800000*v^2 + 822114999909751249015821703556883498365131484883652552490175724264276165468000000*v + 397866674996291091929537825471159234698854112111573953676167472081632568720000000) / 486565872744597755978736846818154561686092035695494483849647964287324000000000 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 12\!\cdots\!02 \nu^{15} + \cdots - 32\!\cdots\!00 ) / 15\!\cdots\!00$$ (125731028559642426622289741765314338626196319394157828149652346823802*v^15 + 153056095537206888896763330708554695203278736286975301620491956869745*v^14 + 8206547478572443125548114717862708175037851766848756092849964710950*v^13 - 520811158505007536188694826980389513809345077262754679349978894158490780*v^12 + 138913883168871029159485748694400080609757613631145710478652251714679348886*v^11 - 215398353582228494824821572243708082625386496255779214858797925812724587275*v^10 + 619975474646470865358343185620887355134587176435186549959742392033511041850*v^9 - 292775974246497011492920539256855448998518507029099293070584846827833481790420*v^8 + 38767532613616976322864007845303508311507483332531303055980585555755596557819712*v^7 - 169590749748092135090565668010328962565581087626771260707119880396502264675718620*v^6 + 350189723604303520505005859714623521420311066649052265075037859242798860227202200*v^5 - 3137363684849667765802521217155190591948652597753590670922842445052398163685762000*v^4 + 851216461525268920259639992768630210548720311303764602834076817646703774599449280000*v^3 - 3381135686676833529383825370793576198347418173113913038757934279148953647091147800000*v^2 + 6322039214023881871130651293600487026156200629238075676767723547568123384805718000000*v - 3243329861967622163376411534260291340653720074561104068885999136326157430777780000000) / 1572945825115098395640261541551389159290714028394609792664949456549846661000000000 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 61\!\cdots\!43 \nu^{15} + \cdots + 33\!\cdots\!00 ) / 62\!\cdots\!00$$ (-611481567742127361199216853579558568107017555870943313205199782839043*v^15 - 55597053126864157779384291532696580906184818786120586968206780640580*v^14 + 1510232767157704027469989256801673582064315244147322997257526501532700*v^13 + 2535218598411573954713114463440702096581739697677509171401980018613610020*v^12 - 678425156553396315919680705810247698670542781485424260075333350713994281199*v^11 + 1805572880459130483621901485282386542443711082976890250256643509282362726600*v^10 - 3405975492704464355450818093227608942686562231315360826850958390690948587900*v^9 + 1427492634545714898216773726489270534160611222088854483336280508034739959498280*v^8 - 190121352487941754498663008454223234592992830486000031688079370642500259793670108*v^7 + 1035451439547142157628369443610307171497961232183800798164897071143248562193048080*v^6 - 2407143495955501992240791412235654261021885754850949427988515979310130614033614800*v^5 + 16565903801615466496696043104710879714002804799866486333770737298356058569590688000*v^4 - 4150669216841806468392647159780581736119431090945216424547338806838003730487098520000*v^3 + 21074714100721600063039987160498963773106643570441293636334375569584940055716055200000*v^2 - 42689265024391659799611343712948112127353261504649661777190451138408146257739412000000*v + 33761581402338622138375286055799353015871553430196573056651798886950201962850720000000) / 6291783300460393582561046166205556637162856113578439170659797826199386644000000000
 $$\nu$$ $$=$$ $$( 2\beta_{5} - 27\beta_{2} ) / 27$$ (2*b5 - 27*b2) / 27 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( 27\beta_{9} + 4\beta_{8} + 69\beta_{3} + 69\beta_{2} - 10934\beta_1 ) / 27$$ (27*b9 + 4*b8 + 69*b3 + 69*b2 - 10934*b1) / 27 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$- \beta_{15} - \beta_{13} + \beta_{11} - \beta_{10} - \beta_{9} - \beta_{8} - \beta_{7} + 85 \beta_{6} + \beta_{4} - 686 \beta_{3} + 777 \beta _1 + 776$$ -b15 - b13 + b11 - b10 - b9 - b8 - b7 + 85*b6 + b4 - 686*b3 + 777*b1 + 776 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 252 \beta_{14} - 54 \beta_{13} - 333 \beta_{12} + 333 \beta_{11} + 252 \beta_{10} + 4492 \beta_{7} - 12249 \beta_{6} + 12249 \beta_{5} - 21339 \beta_{4} + 77613 \beta_{3} - 77613 \beta_{2} + \cdots - 7495850 ) / 27$$ (-252*b14 - 54*b13 - 333*b12 + 333*b11 + 252*b10 + 4492*b7 - 12249*b6 + 12249*b5 - 21339*b4 + 77613*b3 - 77613*b2 - 7495850) / 27 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 23787 \beta_{15} + 13815 \beta_{14} - 23787 \beta_{13} - 35649 \beta_{12} + 56979 \beta_{9} + 27477 \beta_{8} - 27477 \beta_{7} - 2225773 \beta_{5} + 56979 \beta_{4} + 13818366 \beta_{2} + \cdots + 25855038 ) / 27$$ (23787*b15 + 13815*b14 - 23787*b13 - 35649*b12 + 56979*b9 + 27477*b8 - 27477*b7 - 2225773*b5 + 56979*b4 + 13818366*b2 - 25878825*b1 + 25855038) / 27 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$2538 \beta_{15} - 6274 \beta_{14} - 11011 \beta_{12} - 11011 \beta_{11} - 6274 \beta_{10} - 600949 \beta_{9} - 159616 \beta_{8} + 521963 \beta_{6} + 521963 \beta_{5} - 2838803 \beta_{3} + \cdots + 206761164 \beta_1$$ 2538*b15 - 6274*b14 - 11011*b12 - 11011*b11 - 6274*b10 - 600949*b9 - 159616*b8 + 521963*b6 + 521963*b5 - 2838803*b3 - 2838803*b2 + 206761164*b1 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 18229455 \beta_{15} + 18229455 \beta_{13} - 36089793 \beta_{11} + 2015847 \beta_{10} + 69651333 \beta_{9} + 26251425 \beta_{8} + 26251425 \beta_{7} - 2062510117 \beta_{6} + \cdots - 26691404094 ) / 27$$ (18229455*b15 + 18229455*b13 - 36089793*b11 + 2015847*b10 + 69651333*b9 + 26251425*b8 + 26251425*b7 - 2062510117*b6 - 69651333*b4 + 10629621306*b3 - 26709633549*b1 - 26691404094) / 27 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( 63307764 \beta_{14} + 69910938 \beta_{13} + 205029171 \beta_{12} - 205029171 \beta_{11} - 63307764 \beta_{10} - 3918798500 \beta_{7} + 14419287063 \beta_{6} + \cdots + 4287483101386 ) / 27$$ (63307764*b14 + 69910938*b13 + 205029171*b12 - 205029171*b11 - 63307764*b10 - 3918798500*b7 + 14419287063*b6 - 14419287063*b5 + 12444526611*b4 - 71636267037*b3 + 71636267037*b2 + 4287483101386) / 27 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$- 505840601 \beta_{15} + 193668291 \beta_{14} + 505840601 \beta_{13} + 1245732943 \beta_{12} - 2681309833 \beta_{9} - 944521371 \beta_{8} + 944521371 \beta_{7} + \cdots - 948332962462$$ -505840601*b15 + 193668291*b14 + 505840601*b13 + 1245732943*b12 - 2681309833*b9 - 944521371*b8 + 944521371*b7 + 68718518643*b5 - 2681309833*b4 - 308231010810*b2 + 948838803063*b1 - 948332962462 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 65295387198 \beta_{15} - 20529981126 \beta_{14} + 118354382001 \beta_{12} + 118354382001 \beta_{11} - 20529981126 \beta_{10} + 9695336611527 \beta_{9} + \cdots - 33\!\cdots\!20 \beta_1 ) / 27$$ (-65295387198*b15 - 20529981126*b14 + 118354382001*b12 + 118354382001*b11 - 20529981126*b10 + 9695336611527*b9 + 3468987252152*b8 - 14385960015633*b6 - 14385960015633*b5 + 65108072458929*b3 + 65108072458929*b2 - 3351384004355620*b1) / 27 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( - 10217224989423 \beta_{15} - 10217224989423 \beta_{13} + 30136591664217 \beta_{11} + 9122606167761 \beta_{10} - 69938627778657 \beta_{9} + \cdots + 23\!\cdots\!70 ) / 27$$ (-10217224989423*b15 - 10217224989423*b13 + 30136591664217*b11 + 9122606167761*b10 - 69938627778657*b9 - 24887909458593*b8 - 24887909458593*b7 + 1637856444176621*b6 + 69938627778657*b4 - 6603702913916226*b3 + 23688823362046893*b1 + 23678606137057470) / 27 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$2925541320320 \beta_{14} - 2149201323270 \beta_{13} - 1815338707165 \beta_{12} + 1815338707165 \beta_{11} - 2925541320320 \beta_{10} + \cdots - 98\!\cdots\!54$$ 2925541320320*b14 - 2149201323270*b13 - 1815338707165*b12 + 1815338707165*b11 - 2925541320320*b10 + 111968692392484*b7 - 521845859253425*b6 + 521845859253425*b5 - 284023578881257*b4 + 2158239592446839*b3 - 2158239592446839*b2 - 98337653817077054 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( 76\!\cdots\!79 \beta_{15} + \cdots + 21\!\cdots\!34 ) / 27$$ (7664791619029779*b15 - 10896334545429081*b14 - 7664791619029779*b13 - 26403945782592789*b12 + 65007801457072839*b9 + 24102864828196929*b8 - 24102864828196929*b7 - 1428523019308164305*b5 + 65007801457072839*b4 + 5299169907601726614*b2 - 21467232562664535813*b1 + 21459567771045506034) / 27 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( 49\!\cdots\!18 \beta_{15} + \cdots + 21\!\cdots\!52 \beta_1 ) / 27$$ (49844684874060918*b15 + 116197481015950266*b14 + 2470542032170539*b12 + 2470542032170539*b11 + 116197481015950266*b10 - 6145942017541280823*b9 - 2609561723265822784*b8 + 13553878399312190733*b6 + 13553878399312190733*b5 - 51697396902517445841*b3 - 51697396902517445841*b2 + 2127133020438847941452*b1) / 27 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$21\!\cdots\!57 \beta_{15} + \cdots - 71\!\cdots\!78$$ 213739233151737757*b15 + 213739233151737757*b13 - 845137727101285659*b11 - 421900469017852555*b10 + 2189042075497498239*b9 + 853621458175083947*b8 + 853621458175083947*b7 - 45792709091875257383*b6 - 2189042075497498239*b4 + 159016248246799734766*b3 - 712106640968350212735*b1 - 711892901735198474978

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$26$$ $$52$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$-\beta_{1}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
7.1
 16.9634 + 16.9634i 19.6124 + 19.6124i 9.06979 + 9.06979i 1.64191 + 1.64191i 0.963769 + 0.963769i −8.66090 − 8.66090i −20.7939 − 20.7939i −18.7966 − 18.7966i 16.9634 − 16.9634i 19.6124 − 19.6124i 9.06979 − 9.06979i 1.64191 − 1.64191i 0.963769 − 0.963769i −8.66090 + 8.66090i −20.7939 + 20.7939i −18.7966 + 18.7966i
−19.4129 19.4129i 33.0681 33.0681i 497.724i 0 −1283.90 −1858.12 1858.12i 4692.57 4692.57i 2187.00i 0
7.2 −17.1630 17.1630i −33.0681 + 33.0681i 333.134i 0 1135.09 −1268.31 1268.31i 1323.85 1323.85i 2187.00i 0
7.3 −6.62030 6.62030i −33.0681 + 33.0681i 168.343i 0 437.842 216.619 + 216.619i −2809.28 + 2809.28i 2187.00i 0
7.4 −4.09140 4.09140i 33.0681 33.0681i 222.521i 0 −270.590 2635.24 + 2635.24i −1957.82 + 1957.82i 2187.00i 0
7.5 −3.41326 3.41326i 33.0681 33.0681i 232.699i 0 −225.740 −2986.31 2986.31i −1668.06 + 1668.06i 2187.00i 0
7.6 11.1104 + 11.1104i −33.0681 + 33.0681i 9.11845i 0 −734.799 1159.26 + 1159.26i 2945.57 2945.57i 2187.00i 0
7.7 18.3444 + 18.3444i 33.0681 33.0681i 417.032i 0 1213.23 1693.91 + 1693.91i −2954.03 + 2954.03i 2187.00i 0
7.8 21.2461 + 21.2461i −33.0681 + 33.0681i 646.792i 0 −1405.14 −1862.28 1862.28i −8302.80 + 8302.80i 2187.00i 0
43.1 −19.4129 + 19.4129i 33.0681 + 33.0681i 497.724i 0 −1283.90 −1858.12 + 1858.12i 4692.57 + 4692.57i 2187.00i 0
43.2 −17.1630 + 17.1630i −33.0681 33.0681i 333.134i 0 1135.09 −1268.31 + 1268.31i 1323.85 + 1323.85i 2187.00i 0
43.3 −6.62030 + 6.62030i −33.0681 33.0681i 168.343i 0 437.842 216.619 216.619i −2809.28 2809.28i 2187.00i 0
43.4 −4.09140 + 4.09140i 33.0681 + 33.0681i 222.521i 0 −270.590 2635.24 2635.24i −1957.82 1957.82i 2187.00i 0
43.5 −3.41326 + 3.41326i 33.0681 + 33.0681i 232.699i 0 −225.740 −2986.31 + 2986.31i −1668.06 1668.06i 2187.00i 0
43.6 11.1104 11.1104i −33.0681 33.0681i 9.11845i 0 −734.799 1159.26 1159.26i 2945.57 + 2945.57i 2187.00i 0
43.7 18.3444 18.3444i 33.0681 + 33.0681i 417.032i 0 1213.23 1693.91 1693.91i −2954.03 2954.03i 2187.00i 0
43.8 21.2461 21.2461i −33.0681 33.0681i 646.792i 0 −1405.14 −1862.28 + 1862.28i −8302.80 8302.80i 2187.00i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 43.8 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
5.c odd 4 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 75.9.f.e 16
5.b even 2 1 15.9.f.a 16
5.c odd 4 1 15.9.f.a 16
5.c odd 4 1 inner 75.9.f.e 16
15.d odd 2 1 45.9.g.c 16
15.e even 4 1 45.9.g.c 16
20.d odd 2 1 240.9.bg.d 16
20.e even 4 1 240.9.bg.d 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
15.9.f.a 16 5.b even 2 1
15.9.f.a 16 5.c odd 4 1
45.9.g.c 16 15.d odd 2 1
45.9.g.c 16 15.e even 4 1
75.9.f.e 16 1.a even 1 1 trivial
75.9.f.e 16 5.c odd 4 1 inner
240.9.bg.d 16 20.d odd 2 1
240.9.bg.d 16 20.e even 4 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{16} + 5820 T_{2}^{13} + 1126741 T_{2}^{12} + 3704100 T_{2}^{11} + 16936200 T_{2}^{10} + 3824426040 T_{2}^{9} + 327220620996 T_{2}^{8} + 2076332044800 T_{2}^{7} + \cdots + 45\!\cdots\!56$$ acting on $$S_{9}^{\mathrm{new}}(75, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16} + 5820 T^{13} + \cdots + 45\!\cdots\!56$$
$3$ $$(T^{4} + 4782969)^{4}$$
$5$ $$T^{16}$$
$7$ $$T^{16} + 4540 T^{15} + \cdots + 55\!\cdots\!00$$
$11$ $$(T^{8} + 11808 T^{7} + \cdots + 79\!\cdots\!76)^{2}$$
$13$ $$T^{16} + 133420 T^{15} + \cdots + 23\!\cdots\!16$$
$17$ $$T^{16} + 573300 T^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!56$$
$19$ $$T^{16} + 140583592296 T^{14} + \cdots + 82\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{16} + 651480 T^{15} + \cdots + 43\!\cdots\!00$$
$29$ $$T^{16} + 4670365028124 T^{14} + \cdots + 10\!\cdots\!00$$
$31$ $$(T^{8} - 655888 T^{7} + \cdots - 47\!\cdots\!00)^{2}$$
$37$ $$T^{16} - 3607340 T^{15} + \cdots + 10\!\cdots\!00$$
$41$ $$(T^{8} + 7370052 T^{7} + \cdots + 97\!\cdots\!00)^{2}$$
$43$ $$T^{16} - 4805480 T^{15} + \cdots + 68\!\cdots\!16$$
$47$ $$T^{16} + 26529600 T^{15} + \cdots + 78\!\cdots\!16$$
$53$ $$T^{16} + 16612140 T^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!00$$
$59$ $$T^{16} + \cdots + 13\!\cdots\!00$$
$61$ $$(T^{8} + 6275300 T^{7} + \cdots + 86\!\cdots\!36)^{2}$$
$67$ $$T^{16} + 46836760 T^{15} + \cdots + 54\!\cdots\!96$$
$71$ $$(T^{8} + 42840984 T^{7} + \cdots + 36\!\cdots\!56)^{2}$$
$73$ $$T^{16} - 50835800 T^{15} + \cdots + 81\!\cdots\!00$$
$79$ $$T^{16} + \cdots + 43\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{16} - 208234800 T^{15} + \cdots + 78\!\cdots\!56$$
$89$ $$T^{16} + \cdots + 97\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{16} - 138370520 T^{15} + \cdots + 60\!\cdots\!36$$