# Properties

 Label 75.22.a.n Level $75$ Weight $22$ Character orbit 75.a Self dual yes Analytic conductor $209.608$ Analytic rank $0$ Dimension $10$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [75,22,Mod(1,75)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(75, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 0]))

N = Newforms(chi, 22, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("75.1");

S:= CuspForms(chi, 22);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$75 = 3 \cdot 5^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$22$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 75.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$209.608008215$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$10$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{10} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{10} - 5 x^{9} - 15486550 x^{8} - 930225020 x^{7} + 80619202368510 x^{6} + \cdots + 47\!\cdots\!18$$ x^10 - 5*x^9 - 15486550*x^8 - 930225020*x^7 + 80619202368510*x^6 + 14206919536731394*x^5 - 159833300365521427920*x^4 - 53427455410418539963580*x^3 + 93639331506281672292832825*x^2 + 44269185428005803484908321595*x + 4729332062567824907768533377518 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{23}]$$ Coefficient ring index: $$2^{24}\cdot 3^{14}\cdot 5^{24}\cdot 7^{2}$$ Twist minimal: no (minimal twist has level 15) Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{9}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 + 65) q^{2} - 59049 q^{3} + (\beta_{2} - 33 \beta_1 + 1004337) q^{4} + (59049 \beta_1 - 3838185) q^{6} + (\beta_{3} + 22 \beta_{2} - 51583 \beta_1 + 11561521) q^{7} + ( - \beta_{4} - \beta_{3} + 517 \beta_{2} - 875124 \beta_1 + 31851835) q^{8} + 3486784401 q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 + 65) * q^2 - 59049 * q^3 + (b2 - 33*b1 + 1004337) * q^4 + (59049*b1 - 3838185) * q^6 + (b3 + 22*b2 - 51583*b1 + 11561521) * q^7 + (-b4 - b3 + 517*b2 - 875124*b1 + 31851835) * q^8 + 3486784401 * q^9 $$q + ( - \beta_1 + 65) q^{2} - 59049 q^{3} + (\beta_{2} - 33 \beta_1 + 1004337) q^{4} + (59049 \beta_1 - 3838185) q^{6} + (\beta_{3} + 22 \beta_{2} - 51583 \beta_1 + 11561521) q^{7} + ( - \beta_{4} - \beta_{3} + 517 \beta_{2} - 875124 \beta_1 + 31851835) q^{8} + 3486784401 q^{9} + ( - 2 \beta_{9} - \beta_{8} - 2 \beta_{7} - 14 \beta_{6} + \cdots + 605070536) q^{11}+ \cdots + ( - 6973568802 \beta_{9} + \cdots + 21\!\cdots\!36) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 + 65) * q^2 - 59049 * q^3 + (b2 - 33*b1 + 1004337) * q^4 + (59049*b1 - 3838185) * q^6 + (b3 + 22*b2 - 51583*b1 + 11561521) * q^7 + (-b4 - b3 + 517*b2 - 875124*b1 + 31851835) * q^8 + 3486784401 * q^9 + (-2*b9 - b8 - 2*b7 - 14*b6 - 2*b5 + 11*b3 + 453*b2 - 14896689*b1 + 605070536) * q^11 + (-59049*b2 + 1948617*b1 - 59305095513) * q^12 + (-17*b9 + 2*b8 + 21*b7 - 15*b6 + 15*b5 + 22*b4 - 294*b3 + 69308*b2 - 7504077*b1 + 84260826658) * q^13 + (45*b9 + 62*b8 - 21*b7 - 121*b6 + 36*b5 - 14*b4 - 323*b3 - 56496*b2 - 53551277*b1 + 160532762990) * q^14 + (-128*b9 - 205*b8 + 85*b7 + 190*b6 + 171*b5 - 344*b4 - 1390*b3 + 573232*b2 - 953260212*b1 + 606662784248) * q^16 + (183*b9 + 120*b8 + 45*b7 - 1143*b6 + 291*b5 - 1242*b4 - 366*b3 + 502170*b2 - 1144696213*b1 + 1291606388972) * q^17 + (-3486784401*b1 + 226640986065) * q^18 + (-485*b9 + 611*b8 + 1669*b7 - 1031*b6 + 15*b5 - 1694*b4 + 9533*b3 - 2999921*b2 - 503265648*b1 - 7615290579272) * q^19 + (-59049*b3 - 1299078*b2 + 3045924567*b1 - 682696253529) * q^21 + (-2325*b9 - 573*b8 - 11646*b7 - 8811*b6 + 4869*b5 + 3201*b4 - 20332*b3 + 8946467*b2 - 1029756659*b1 + 46178603600267) * q^22 + (2820*b9 + 3262*b8 + 4284*b7 - 23191*b6 - 11868*b5 + 14706*b4 + 15974*b3 - 21016624*b2 + 7872902351*b1 + 8260155652655) * q^23 + (59049*b4 + 59049*b3 - 30528333*b2 + 51675197076*b1 - 1880819004915) * q^24 + (-32477*b9 - 13015*b8 - 33776*b7 + 37501*b6 + 4747*b5 - 237621*b4 + 38762*b3 + 48043965*b2 - 220389029895*b1 + 28765727650157) * q^26 - 205891132094649 * q^27 + (-23408*b9 - 9925*b8 + 69537*b7 - 76854*b6 - 70989*b5 - 58247*b4 + 550067*b3 - 61975373*b2 + 60656464660*b1 + 152012493910533) * q^28 + (93112*b9 + 28066*b8 + 129112*b7 - 103071*b6 - 14888*b5 - 53582*b4 + 1496499*b3 + 153819810*b2 - 124276431188*b1 - 255303177111722) * q^29 + (165809*b9 + 37483*b8 - 97789*b7 + 135521*b6 - 64863*b5 - 1140154*b4 + 83461*b3 + 297616007*b2 - 1282649262036*b1 - 557325811982842) * q^31 + (-326832*b9 - 313973*b8 - 282915*b7 + 264974*b6 + 185763*b5 - 188378*b4 + 670224*b3 + 888185722*b2 + 130722910500*b1 + 2925520298425454) * q^32 + (118098*b9 + 59049*b8 + 118098*b7 + 826686*b6 + 118098*b5 - 649539*b3 - 26749197*b2 + 879634588761*b1 - 35728810080264) * q^33 + (-410433*b9 - 148305*b8 - 328350*b7 - 449295*b6 + 147945*b5 - 2619939*b4 + 12820020*b3 + 2515006615*b2 - 2244967755639*b1 + 3629719333434767) * q^34 + (3486784401*b2 - 115063885233*b1 + 3501906584947137) * q^36 + (2119313*b9 + 399838*b8 + 1503987*b7 - 826425*b6 - 544599*b5 + 1710626*b4 - 11332418*b3 - 680289916*b2 + 4209038389781*b1 + 177686317342446) * q^37 + (281652*b9 + 1796332*b8 - 1467792*b7 + 713804*b6 + 1455396*b5 + 759212*b4 - 10718384*b3 + 946952388*b2 + 13532127392236*b1 + 1061730005662292) * q^38 + (1003833*b9 - 118098*b8 - 1240029*b7 + 885735*b6 - 885735*b5 - 1299078*b4 + 17360406*b3 - 4092568092*b2 + 443108242773*b1 - 4975517553328242) * q^39 + (-2547772*b9 + 2314396*b8 + 6026876*b7 + 1730192*b6 + 1086068*b5 + 3754272*b4 + 27254086*b3 + 7645145856*b2 - 4111818511026*b1 - 15729917026767764) * q^41 + (-2657205*b9 - 3661038*b8 + 1240029*b7 + 7144929*b6 - 2125764*b5 + 826686*b4 + 19072827*b3 + 3336032304*b2 + 3162149355573*b1 - 9479299121796510) * q^42 + (-2955072*b9 + 5747808*b8 - 1423872*b7 - 14187342*b6 + 681312*b5 - 23471100*b4 + 74353028*b3 + 4040640980*b2 + 32210286328846*b1 - 14908590467150386) * q^43 + (-5667584*b9 - 12396111*b8 + 1769371*b7 + 3344774*b6 + 3024697*b5 - 35660137*b4 + 132069397*b3 - 8991258771*b2 - 32513094338236*b1 + 4928138693254299) * q^44 + (10923452*b9 + 17369344*b8 - 11058388*b7 + 6575396*b6 + 405000*b5 + 89866952*b4 - 81046532*b3 - 43101007504*b2 + 32866822250328*b1 - 23861762064021308) * q^46 + (-2817540*b9 - 23211446*b8 + 2958228*b7 + 11131001*b6 - 4587012*b5 + 58796290*b4 - 97604052*b3 + 85518231904*b2 + 53861868452621*b1 - 4344044797794383) * q^47 + (7558272*b9 + 12105045*b8 - 5019165*b7 - 11219310*b6 - 10097379*b5 + 20312856*b4 + 82078110*b3 - 33848776368*b2 + 56289062258388*b1 - 35822830747060152) * q^48 + (14379160*b9 - 1067332*b8 - 653432*b7 - 104506544*b6 - 3772968*b5 + 7684000*b4 + 123714134*b3 - 46693088064*b2 + 87603898841454*b1 + 45325486800859043) * q^49 + (-10805967*b9 - 7085880*b8 - 2657205*b7 + 67493007*b6 - 17183259*b5 + 73338858*b4 + 21611934*b3 - 29652636330*b2 + 67593166681437*b1 - 76268065662407628) * q^51 + (-9072032*b9 - 89623207*b8 - 39607773*b7 - 16285338*b6 + 41451489*b5 - 76040081*b4 - 254053123*b3 + 442217944921*b2 - 100825038248720*b1 + 507797744868752631) * q^52 + (-40624062*b9 + 80656355*b8 + 66043206*b7 - 39714248*b6 - 16594062*b5 - 103805928*b4 - 1239635*b3 + 95624220337*b2 + 88233584614239*b1 + 183472461905570484) * q^53 + (205891132094649*b1 - 13382923586152185) * q^54 + (-35860208*b9 - 15376024*b8 - 89648984*b7 + 333670912*b6 + 25208968*b5 + 397743894*b4 - 1520020234*b3 + 97982903154*b2 + 80080510457256*b1 - 514691603552892658) * q^56 + (28638765*b9 - 36078939*b8 - 98552781*b7 + 60879519*b6 - 885735*b5 + 100029006*b4 - 562914117*b3 + 177142335129*b2 + 29717333248752*b1 + 449675293415432328) * q^57 + (143940049*b9 + 263819462*b8 - 26415321*b7 + 53632899*b6 + 11741220*b5 - 115044782*b4 + 604698681*b3 + 89076035912*b2 - 44094306686607*b1 + 368426259870205324) * q^58 + (19478828*b9 - 146713303*b8 + 216775544*b7 + 32922456*b6 - 23294644*b5 - 263042956*b4 - 2358102051*b3 + 181438891119*b2 + 268412021002619*b1 + 493479304926232064) * q^59 + (35469380*b9 + 367227988*b8 + 168058220*b7 - 528879808*b6 + 62608068*b5 - 186169552*b4 - 2923252268*b3 + 550719213068*b2 - 788709339909780*b1 - 443913733614402826) * q^61 + (83110614*b9 - 113110750*b8 + 450150192*b7 + 103179226*b6 + 31820550*b5 + 871597054*b4 - 9773812*b3 + 3014012235426*b2 + 11377865175854*b1 + 3936679420777416550) * q^62 + (3486784401*b3 + 76709256822*b2 - 179858799756783*b1 + 40312531074633921) * q^63 + (-170616112*b9 - 196119911*b8 - 621848929*b7 - 1054114534*b6 + 7718625*b5 - 1861040554*b4 - 1564568636*b3 - 706938025702*b2 - 2679680783974020*b1 - 1486388520592882018) * q^64 + (137288925*b9 + 33835077*b8 + 687684654*b7 + 520280739*b6 - 287509581*b5 - 189015849*b4 + 1200584268*b3 - 528279929883*b2 + 60806100957291*b1 - 2726800363992166083) * q^66 + (-221630656*b9 - 229122296*b8 - 101479872*b7 + 900611922*b6 - 620457312*b5 - 346369468*b4 - 379064142*b3 + 4905575698096*b2 - 1934464901323956*b1 + 3367423189047233876) * q^67 + (-582046848*b9 - 433749243*b8 - 957312297*b7 - 3546402*b6 + 818337069*b5 - 958543669*b4 - 10090140127*b3 + 4365314506681*b2 - 6116329270887356*b1 + 4482197679885749903) * q^68 + (-166518180*b9 - 192617838*b8 - 252965916*b7 + 1369405359*b6 + 700793532*b5 - 868374594*b4 - 943248726*b3 + 1241010630576*b2 - 464887010924199*b1 - 487753931133625095) * q^69 + (-95929830*b9 - 357272532*b8 - 1584710394*b7 - 1074789990*b6 + 980571546*b5 - 4285659468*b4 + 7734179592*b3 + 3212882651736*b2 - 1398317677451694*b1 - 7465573333357201692) * q^71 + (-3486784401*b4 - 3486784401*b3 + 1802667535317*b2 - 3051368712140724*b1 + 111060481421225835) * q^72 + (-240951772*b9 - 1488553058*b8 + 927355956*b7 - 1007872020*b6 - 1250317980*b5 - 203789680*b4 + 2880329002*b3 + 6713132390930*b2 - 7073923250653798*b1 + 1609823232332992068) * q^73 + (1599348797*b9 + 2358101775*b8 + 1657525928*b7 + 5033369923*b6 - 2401583059*b5 + 4719024157*b4 + 30047201390*b3 - 5810964927765*b2 + 1033717287670783*b1 - 13025419202798437389) * q^74 + (46450048*b9 - 3140423068*b8 + 523320940*b7 - 806499272*b6 - 2323366524*b5 - 1126595660*b4 + 33528905324*b3 - 7986653592404*b2 - 2300285641280736*b1 - 25872498207434587692) * q^76 + (170171892*b9 + 4994298346*b8 - 375968196*b7 - 9928068796*b6 + 1523027628*b5 + 5428715256*b4 + 52267383074*b3 + 12151988231774*b2 + 5224112433641386*b1 + 5619062747481407128) * q^77 + (1917734373*b9 + 768522735*b8 + 1994439024*b7 - 2214396549*b6 - 280305603*b5 + 14031282429*b4 - 2288857338*b3 - 2836948089285*b2 + 13013751826269855*b1 - 1698587452014120693) * q^78 + (-2589288621*b9 + 1243367889*b8 + 323610465*b7 - 6395541225*b6 + 1706414139*b5 + 19985456082*b4 + 29911349895*b3 + 19326398677741*b2 - 10477626784613160*b1 - 4907831967386360810) * q^79 + 12157665459056928801 * q^81 + (1224789306*b9 + 6258720252*b8 - 3036152970*b7 + 3327662958*b6 + 2627912712*b5 - 22076720028*b4 - 57107249510*b3 + 3457204151008*b2 + 799189953329192*b1 + 11718108380073067066) * q^82 + (1408389468*b9 - 9988446376*b8 - 1363838652*b7 + 15970836640*b6 - 5301667380*b5 + 2738275200*b4 + 16694431612*b3 - 13149628181504*b2 + 24448153354143324*b1 + 11828614281175066956) * q^83 + (1382218992*b9 + 586061325*b8 - 4106090313*b7 + 4538151846*b6 + 4191829461*b5 + 3439427103*b4 - 32480906283*b3 + 3659583800277*b2 - 3581703581708340*b1 - 8976185752923063117) * q^84 + (-1907309712*b9 + 1044979708*b8 - 4493468580*b7 - 20358905984*b6 + 9793087548*b5 - 2879340604*b4 + 4838557628*b3 - 11418427630428*b2 + 5862884607945620*b1 - 100730058703325780600) * q^86 + (-5498170488*b9 - 1657269234*b8 - 7623934488*b7 + 6086239479*b6 + 879121512*b5 + 3163963518*b4 - 88366769451*b3 - 9082905960690*b2 + 7338398985220212*b1 + 15075397305270072378) * q^87 + (-1220876368*b9 - 3676898444*b8 + 2883402492*b7 + 8858211384*b6 + 11809419828*b5 - 43602257662*b4 - 154021567638*b3 + 47807060126230*b2 + 15906628128220584*b1 + 4172398595929445066) * q^88 + (2600642692*b9 + 3701716968*b8 + 16656951676*b7 + 9863312930*b6 - 5109919532*b5 + 39368871044*b4 - 158836968728*b3 - 23285964144684*b2 - 34824756725048254*b1 - 57192985381242055992) * q^89 + (-4835686910*b9 - 11222181508*b8 + 9723331390*b7 + 14771698666*b6 - 9134847006*b5 + 8954839348*b4 - 183279520*b3 + 13670301812184*b2 - 12463055598593094*b1 - 166974852007547430108) * q^91 + (9214196544*b9 + 3108434220*b8 + 31806866916*b7 + 34389974664*b6 - 18025987572*b5 + 61541353180*b4 + 461916238276*b3 - 136231859988256*b2 + 91275064385151140*b1 - 120700213046679279848) * q^92 + (-9790855641*b9 - 2213333667*b8 + 5774342661*b7 - 8002379529*b6 + 3830095287*b5 + 67324953546*b4 - 4928288589*b3 - 17573927597343*b2 + 75739156273963764*b1 + 32909531871774837258) * q^93 + (-2558209910*b9 - 3232896520*b8 - 28708774526*b7 + 30714314398*b6 - 3556657596*b5 - 112521061376*b4 - 321462298738*b3 - 74571974760676*b2 - 165655484169427350*b1 - 167049144446972476228) * q^94 + (19299102768*b9 + 18539791677*b8 + 16705847835*b7 - 15646449726*b6 - 10969119387*b5 + 11123532522*b4 - 39576056976*b3 - 52446478698378*b2 - 7719057142114500*b1 - 172749048101724633246) * q^96 + (-11782545560*b9 - 31889008780*b8 - 2090743800*b7 - 74421154416*b6 + 2047397952*b5 - 129499919792*b4 - 335539000920*b3 - 137604725291980*b2 - 131971393927460520*b1 - 129861567090754438628) * q^97 + (-1695680370*b9 + 21632351992*b8 - 55502786250*b7 - 43416756454*b6 + 6239409084*b5 + 23290345656*b4 + 619544913362*b3 - 183417447053140*b2 + 43761437854243601*b1 - 268417868791388092711) * q^98 + (-6973568802*b9 - 3486784401*b8 - 6973568802*b7 - 48814981614*b6 - 6973568802*b5 + 38354628411*b3 + 1579513333653*b2 - 51941542831748289*b1 + 2109750506429508936) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$10 q + 645 q^{2} - 590490 q^{3} + 10043205 q^{4} - 38086605 q^{6} + 115357290 q^{7} + 314142735 q^{8} + 34867844010 q^{9}+O(q^{10})$$ 10 * q + 645 * q^2 - 590490 * q^3 + 10043205 * q^4 - 38086605 * q^6 + 115357290 * q^7 + 314142735 * q^8 + 34867844010 * q^9 $$10 q + 645 q^{2} - 590490 q^{3} + 10043205 q^{4} - 38086605 q^{6} + 115357290 q^{7} + 314142735 q^{8} + 34867844010 q^{9} + 5976221790 q^{11} - 593041212045 q^{12} + 842570747430 q^{13} + 1605059874570 q^{14} + 6061861547825 q^{16} + 12910340404230 q^{17} + 2248975938645 q^{18} - 76155422176280 q^{19} - 6811732617210 q^{21} + 461780887241010 q^{22} + 82640920915920 q^{23} - 18549814359015 q^{24} + 286555331159670 q^{26} - 20\!\cdots\!90 q^{27}+ \cdots + 20\!\cdots\!90 q^{99}+O(q^{100})$$ 10 * q + 645 * q^2 - 590490 * q^3 + 10043205 * q^4 - 38086605 * q^6 + 115357290 * q^7 + 314142735 * q^8 + 34867844010 * q^9 + 5976221790 * q^11 - 593041212045 * q^12 + 842570747430 * q^13 + 1605059874570 * q^14 + 6061861547825 * q^16 + 12910340404230 * q^17 + 2248975938645 * q^18 - 76155422176280 * q^19 - 6811732617210 * q^21 + 461780887241010 * q^22 + 82640920915920 * q^23 - 18549814359015 * q^24 + 286555331159670 * q^26 - 2058911320946490 * q^27 + 1520428218531930 * q^28 - 2553653160731010 * q^29 - 5579671364724940 * q^31 + 29255856594217815 * q^32 - 352889920477710 * q^33 + 36285968426431010 * q^34 + 35018490530045205 * q^36 + 1797908431222890 * q^37 + 10684960744876320 * q^38 - 49752960064994070 * q^39 - 157319729506021440 * q^41 - 94777180533483930 * q^42 - 148924853700743400 * q^43 + 49118820773767290 * q^44 - 238453286038259540 * q^46 - 43171138083158100 * q^47 - 357946862537518425 * q^48 + 453692886452454950 * q^49 - 762342690529377270 * q^51 + 5077473324432504030 * q^52 + 1835165786666252970 * q^53 - 132799780201048605 * q^54 - 5146515624013530450 * q^56 + 4496901524087157720 * q^57 + 3684042125074285440 * q^58 + 4936135121536323630 * q^59 - 4443080871007408300 * q^61 + 39366851097921260280 * q^62 + 402225999313633290 * q^63 - 14877283608188093455 * q^64 - 27267699610694399490 * q^66 + 33664559574358232580 * q^67 + 44791395195934111290 * q^68 - 4879863739164160080 * q^69 - 74662724971386630180 * q^71 + 1095347988085476735 * q^72 + 16062862692682477620 * q^73 - 130249023546610518030 * q^74 - 258736483662380220720 * q^76 + 56216747719240740180 * q^77 - 16920805749647353830 * q^78 - 49130708010799643300 * q^79 + 121576654590569288010 * q^81 + 117185080045656261930 * q^82 + 118408383608453695560 * q^83 - 89779765876091934570 * q^84 - 1007271272794707382260 * q^86 + 150790665488005409490 * q^87 + 41803519849182967710 * q^88 - 572103976713991581780 * q^89 - 1669810835257196575140 * q^91 - 1206545757146297440260 * q^92 + 329474014415642982060 * q^93 - 1671319720124696594920 * q^94 - 1727529076031967757935 * q^96 - 1299275526640742173920 * q^97 - 2683959884079093505455 * q^98 + 20837796914288297790 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{10} - 5 x^{9} - 15486550 x^{8} - 930225020 x^{7} + 80619202368510 x^{6} + \cdots + 47\!\cdots\!18$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$\nu^{2} - 97\nu - 3097264$$ v^2 - 97*v - 3097264 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 26\!\cdots\!11 \nu^{9} + \cdots + 18\!\cdots\!30 ) / 94\!\cdots\!64$$ (2642014057255593903124811*v^9 + 226025377167450973379535380*v^8 - 56819718667960359989184087278622*v^7 - 23258079726222594415002685970627058*v^6 + 386127271197249530399771914507843424248*v^5 + 195245053316020188451355369560622297975694*v^4 - 948073353763088778379832342486736645605109730*v^3 - 421997118231998430748266864969829418629360124534*v^2 + 632008608354648346347003319678295813358882834645693*v + 180435305378564019871957960256107801666167529689759430) / 94829249524074459712298308585552886171172864 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 26\!\cdots\!11 \nu^{9} + \cdots - 30\!\cdots\!82 ) / 94\!\cdots\!64$$ (-2642014057255593903124811*v^9 - 226025377167450973379535380*v^8 + 56819718667960359989184087278622*v^7 + 23258079726222594415002685970627058*v^6 - 386127271197249530399771914507843424248*v^5 - 195245053316020188451355369560622297975694*v^4 + 1042902603287163238092130651072289531776282594*v^3 + 452532136578750406775626920334377447976477786742*v^2 - 1116292292407643252800658976390473018852217876153021*v - 303436287814302725397236556730163415471695122448694982) / 94829249524074459712298308585552886171172864 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 42\!\cdots\!43 \nu^{9} + \cdots + 38\!\cdots\!10 ) / 11\!\cdots\!08$$ (4299303551092426774623943*v^9 + 22638196182315088142466366876*v^8 - 52859306746434539929416653782814*v^7 - 268488077836210026551844865227895346*v^6 + 255958269749194342422671568716441253744*v^5 + 999644286861387052996719839907632000300990*v^4 - 622637058333479720542283572742009238471984066*v^3 - 1301659155767868788890290809276572898554517766198*v^2 + 517394473221590735975339236977137658726231428506793*v + 385820942866203475971044339730544444201678864460016910) / 11853656190509307464037288573194110771396608 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!05 \nu^{9} + \cdots + 29\!\cdots\!94 ) / 23\!\cdots\!16$$ (13771932710308161377107305*v^9 - 1416139641778016544956404964*v^8 - 198900551180262186713693779742506*v^7 + 9627756571299316910680525140616058*v^6 + 937412885395883834551648038309782434856*v^5 + 72843888226196700096356104076768632095226*v^4 - 1615893618344848259165893948611568065536303318*v^3 - 437614226130336936290469913399000656757799740018*v^2 + 837948734629644251489424626212735788243698216250991*v + 293611215440259959598070420196924980695314933332877794) / 23707312381018614928074577146388221542793216 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 80\!\cdots\!57 \nu^{9} + \cdots - 45\!\cdots\!06 ) / 59\!\cdots\!04$$ (-8043456141600586510531257*v^9 - 1828026985570614923521131196*v^8 + 114268456090107380782256960176618*v^7 + 13999758433522230007011462391996102*v^6 - 533853568374406702655484230599274199560*v^5 - 30210846817011049968268316284598318468986*v^4 + 914040486304747138473648535412712107254967702*v^3 + 42555596997554954353069417290824862647207489842*v^2 - 442789465389188362768893353504866679746781815794367*v - 45323622541317778676575216748521805295784750354042306) / 5926828095254653732018644286597055385698304 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!93 \nu^{9} + \cdots - 27\!\cdots\!14 ) / 47\!\cdots\!32$$ (-126294235586358511687887893*v^9 + 68662206672409615285836212148*v^8 + 1989201092822307128679528068731714*v^7 - 802692626027678220802168968069287762*v^6 - 10476067925255902352223358782999988537704*v^5 + 2215765086720744254242089506816279332110446*v^4 + 20943775599599399247699213704655871726773849150*v^3 + 544231297716708361112909241531552942742492701546*v^2 - 12769282115037264085683465172502841028987216293288451*v - 2765502935578220909225581392324732478889148610791033914) / 47414624762037229856149154292776443085586432 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 42\!\cdots\!51 \nu^{9} + \cdots + 89\!\cdots\!34 ) / 94\!\cdots\!64$$ (425203950403667838979141251*v^9 - 7666076022854564661011385164*v^8 - 6439139629484648913061716734574670*v^7 + 97632844131400793950867959077390270*v^6 + 33030020129774792302308002655932066038328*v^5 + 1361474429367306496439263648471036622400574*v^4 - 65937347727557921174460682553777650166275160498*v^3 - 9367511937154720460700993529906812206966005001830*v^2 + 41486217258992058903432159000226805970812253857814853*v + 8995007161744935313543811085679926946130750505962730934) / 94829249524074459712298308585552886171172864
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{2} + 97\beta _1 + 3097264$$ b2 + 97*b1 + 3097264 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{4} + \beta_{3} - 322\beta_{2} + 5075668\beta _1 + 299759510$$ b4 + b3 - 322*b2 + 5075668*b1 + 299759510 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- 128 \beta_{9} - 205 \beta_{8} + 85 \beta_{7} + 190 \beta_{6} + 171 \beta_{5} - 84 \beta_{4} - 1130 \beta_{3} + 6755618 \beta_{2} + 157434970 \beta _1 + 15720901830703$$ -128*b9 - 205*b8 + 85*b7 + 190*b6 + 171*b5 - 84*b4 - 1130*b3 + 6755618*b2 + 157434970*b1 + 15720901830703 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$285232 \beta_{9} + 247348 \beta_{8} + 310540 \beta_{7} - 203224 \beta_{6} - 130188 \beta_{5} + 8507436 \beta_{4} + 7308884 \beta_{3} - 3013169458 \beta_{2} + \cdots + 483057304801666$$ 285232*b9 + 247348*b8 + 310540*b7 - 203224*b6 - 130188*b5 + 8507436*b4 + 7308884*b3 - 3013169458*b2 + 29037478357787*b1 + 483057304801666 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 1393440912 \beta_{9} - 2236243116 \beta_{8} + 385164396 \beta_{7} + 846881256 \beta_{6} + 1739173140 \beta_{5} - 2139425954 \beta_{4} + \cdots + 89\!\cdots\!24$$ -1393440912*b9 - 2236243116*b8 + 385164396*b7 + 846881256*b6 + 1739173140*b5 - 2139425954*b4 - 13212204026*b3 + 43280944026809*b2 - 2639060184465473*b1 + 89938776797210009424 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$3466587403696 \beta_{9} + 3256823931146 \beta_{8} + 3738315792070 \beta_{7} - 1249106068220 \beta_{6} - 1738420673094 \beta_{5} + \cdots - 82\!\cdots\!68$$ 3466587403696*b9 + 3256823931146*b8 + 3738315792070*b7 - 1249106068220*b6 - 1738420673094*b5 + 61180009376709*b4 + 45410066527585*b3 - 25616266011249844*b2 + 174898888365092632478*b1 - 8203081204030457050568 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$- 11\!\cdots\!32 \beta_{9} + \cdots + 54\!\cdots\!39$$ -11906762618902832*b9 - 18537821213364689*b8 - 68999680871783*b7 + 1775922443697782*b6 + 14222232734833383*b5 - 27443700042937218*b4 - 109015731873312928*b3 + 277461523581337656606*b2 - 41720212104830933319456*b1 + 541725369850528323038510939 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$31\!\cdots\!52 \beta_{9} + \cdots - 12\!\cdots\!48$$ 31077996910513676352*b9 + 30941752297059730170*b8 + 32127020272136119158*b7 - 3900304274355724860*b6 - 16903429546017731958*b5 + 420965150339156681564*b4 + 279675692563626711944*b3 - 208328688897954744873560*b2 + 1083978336334535734756905341*b1 - 129405799015711115111483657848

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 2452.58 2403.38 1793.04 1063.71 −173.651 −294.921 −1018.03 −1403.87 −2176.21 −2641.03
−2387.58 −59049.0 3.60339e6 0 1.40984e8 −8.76258e8 −3.59626e9 3.48678e9 0
1.2 −2338.38 −59049.0 3.37088e6 0 1.38079e8 9.66595e8 −2.97845e9 3.48678e9 0
1.3 −1728.04 −59049.0 888953. 0 1.02039e8 3.15759e8 2.08781e9 3.48678e9 0
1.4 −998.710 −59049.0 −1.09973e6 0 5.89728e7 −1.20991e9 3.19276e9 3.48678e9 0
1.5 238.651 −59049.0 −2.04020e6 0 −1.40921e7 6.18210e8 −9.87381e8 3.48678e9 0
1.6 359.921 −59049.0 −1.96761e6 0 −2.12530e7 −2.25801e8 −1.46299e9 3.48678e9 0
1.7 1083.03 −59049.0 −924202. 0 −6.39517e7 −7.89823e8 −3.27221e9 3.48678e9 0
1.8 1468.87 −59049.0 60422.4 0 −8.67352e7 1.30137e9 −2.99169e9 3.48678e9 0
1.9 2241.21 −59049.0 2.92587e6 0 −1.32341e8 1.14262e8 1.85733e9 3.48678e9 0
1.10 2706.03 −59049.0 5.22544e6 0 −1.59788e8 −9.90426e7 8.46523e9 3.48678e9 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.10 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$3$$ $$1$$
$$5$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 75.22.a.n 10
5.b even 2 1 75.22.a.m 10
5.c odd 4 2 15.22.b.a 20
15.e even 4 2 45.22.b.d 20

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
15.22.b.a 20 5.c odd 4 2
45.22.b.d 20 15.e even 4 2
75.22.a.m 10 5.b even 2 1
75.22.a.n 10 1.a even 1 1 trivial

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{10} - 645 T_{2}^{9} - 15299350 T_{2}^{8} + 8951036520 T_{2}^{7} + 78367524408160 T_{2}^{6} + \cdots + 79\!\cdots\!68$$ acting on $$S_{22}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(75))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{10} - 645 T^{9} + \cdots + 79\!\cdots\!68$$
$3$ $$(T + 59049)^{10}$$
$5$ $$T^{10}$$
$7$ $$T^{10} - 115357290 T^{9} + \cdots - 52\!\cdots\!00$$
$11$ $$T^{10} - 5976221790 T^{9} + \cdots - 61\!\cdots\!68$$
$13$ $$T^{10} - 842570747430 T^{9} + \cdots - 32\!\cdots\!32$$
$17$ $$T^{10} - 12910340404230 T^{9} + \cdots - 11\!\cdots\!76$$
$19$ $$T^{10} + 76155422176280 T^{9} + \cdots - 47\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{10} - 82640920915920 T^{9} + \cdots - 16\!\cdots\!00$$
$29$ $$T^{10} + \cdots - 11\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{10} + \cdots - 79\!\cdots\!00$$
$37$ $$T^{10} + \cdots + 48\!\cdots\!00$$
$41$ $$T^{10} + \cdots + 82\!\cdots\!00$$
$43$ $$T^{10} + \cdots - 10\!\cdots\!76$$
$47$ $$T^{10} + \cdots + 11\!\cdots\!76$$
$53$ $$T^{10} + \cdots + 71\!\cdots\!00$$
$59$ $$T^{10} + \cdots - 78\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{10} + \cdots + 17\!\cdots\!76$$
$67$ $$T^{10} + \cdots - 12\!\cdots\!76$$
$71$ $$T^{10} + \cdots - 32\!\cdots\!76$$
$73$ $$T^{10} + \cdots - 57\!\cdots\!00$$
$79$ $$T^{10} + \cdots + 21\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{10} + \cdots + 31\!\cdots\!32$$
$89$ $$T^{10} + \cdots + 39\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{10} + \cdots - 61\!\cdots\!76$$