# Properties

 Label 75.22.a.k Level $75$ Weight $22$ Character orbit 75.a Self dual yes Analytic conductor $209.608$ Analytic rank $0$ Dimension $8$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [75,22,Mod(1,75)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(75, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 0]))

N = Newforms(chi, 22, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("75.1");

S:= CuspForms(chi, 22);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$75 = 3 \cdot 5^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$22$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 75.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$209.608008215$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$8$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{8} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{8} - 2 x^{7} - 13701836 x^{6} + 201589162 x^{5} + 55078074399586 x^{4} + \cdots + 23\!\cdots\!25$$ x^8 - 2*x^7 - 13701836*x^6 + 201589162*x^5 + 55078074399586*x^4 - 1921148793416750*x^3 - 63775892303255475300*x^2 - 5448867057840511928250*x + 2374849659307636957978125 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{11}]$$ Coefficient ring index: $$2^{21}\cdot 3^{10}\cdot 5^{14}\cdot 7^{2}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{7}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 - 83) q^{2} + 59049 q^{3} + (\beta_{2} + 147 \beta_1 + 1335201) q^{4} + ( - 59049 \beta_1 - 4901067) q^{6} + ( - \beta_{3} - 56 \beta_{2} + \cdots - 16717280) q^{7}+ \cdots + 3486784401 q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 - 83) * q^2 + 59049 * q^3 + (b2 + 147*b1 + 1335201) * q^4 + (-59049*b1 - 4901067) * q^6 + (-b3 - 56*b2 - 148059*b1 - 16717280) * q^7 + (-b4 - 3*b3 - 279*b2 - 1483913*b1 - 438649955) * q^8 + 3486784401 * q^9 $$q + ( - \beta_1 - 83) q^{2} + 59049 q^{3} + (\beta_{2} + 147 \beta_1 + 1335201) q^{4} + ( - 59049 \beta_1 - 4901067) q^{6} + ( - \beta_{3} - 56 \beta_{2} + \cdots - 16717280) q^{7}+ \cdots + ( - 3486784401 \beta_{5} + \cdots - 62\!\cdots\!09) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 - 83) * q^2 + 59049 * q^3 + (b2 + 147*b1 + 1335201) * q^4 + (-59049*b1 - 4901067) * q^6 + (-b3 - 56*b2 - 148059*b1 - 16717280) * q^7 + (-b4 - 3*b3 - 279*b2 - 1483913*b1 - 438649955) * q^8 + 3486784401 * q^9 + (-b5 - 12*b4 - 30*b3 - 5002*b2 - 15535928*b1 - 1797385509) * q^11 + (59049*b2 + 8680203*b1 + 78842283849) * q^12 + (4*b7 + b6 - 2*b5 + 92*b4 - b3 + 29582*b2 + 3612333*b1 + 41027399693) * q^13 + (-7*b7 - 8*b6 + 4*b5 + 159*b4 - 797*b3 + 362783*b2 + 152562411*b1 + 508466352583) * q^14 + (10*b7 - 44*b6 + 4*b5 + 1160*b4 + 444*b3 + 1395210*b2 + 852519456*b1 + 2318918310108) * q^16 + (-104*b7 + 44*b6 + 9*b5 + 212*b4 - 4708*b3 + 385178*b2 - 380145942*b1 + 714871810659) * q^17 + (-3486784401*b1 - 289403105283) * q^18 + (-104*b7 - 74*b6 - 191*b5 + 260*b4 + 5396*b3 + 4417686*b2 + 2899168386*b1 + 9489236373422) * q^19 + (-59049*b3 - 3306744*b2 - 8742735891*b1 - 987138666720) * q^21 + (1151*b7 - 610*b6 + 806*b5 + 12469*b4 - 16651*b3 + 38308757*b2 + 14009831652*b1 + 53358680808582) * q^22 + (2180*b7 + 847*b6 - 3044*b5 - 10828*b4 - 8234*b3 - 1712794*b2 + 5875507678*b1 - 6215566140643) * q^23 + (-59049*b4 - 177147*b3 - 16474671*b2 - 87623578737*b1 - 25901841192795) * q^24 + (-868*b7 + 2998*b6 - 4870*b5 - 111088*b4 + 149284*b3 - 131895120*b2 - 107404661563*b1 - 15730200879897) * q^26 + 205891132094649 * q^27 + (-15768*b7 - 5484*b6 + 16524*b5 - 509304*b4 - 2311824*b3 - 134507581*b2 - 1018136097039*b1 - 529141322704837) * q^28 + (6500*b7 + 11125*b6 - 28694*b5 + 376044*b4 + 1070248*b3 - 145823818*b2 + 454653536840*b1 + 263802873632675) * q^29 + (9824*b7 - 11074*b6 + 18254*b5 - 961160*b4 + 1258047*b3 + 100986872*b2 - 1126705981143*b1 + 709963077046306) * q^31 + (-46308*b7 + 28512*b6 + 6064*b5 - 1468246*b4 - 8937114*b3 - 2130125678*b2 - 2382077509078*b1 - 2190523695273994) * q^32 + (-59049*b5 - 708588*b4 - 1771470*b3 - 295363098*b2 - 917381012472*b1 - 106133816920941) * q^33 + (-34417*b7 - 65830*b6 + 170474*b5 + 2749021*b4 - 4726395*b3 + 1051212797*b2 - 1546595191920*b1 + 1243480725664874) * q^34 + (3486784401*b2 + 512557306947*b1 + 4655558018999601) * q^36 + (230888*b7 - 82384*b6 - 133228*b5 - 398360*b4 - 28469698*b3 + 792826224*b2 + 1098378379626*b1 + 3317025379659108) * q^37 + (208433*b7 - 15938*b6 + 336638*b5 - 6429293*b4 - 39209093*b3 - 5037986829*b2 - 19560710130017*b1 - 10711310927550765) * q^38 + (236196*b7 + 59049*b6 - 118098*b5 + 5432508*b4 - 59049*b3 + 1746787518*b2 + 213304651317*b1 + 2422626924471957) * q^39 + (-578688*b7 - 21438*b6 + 274497*b5 + 3123164*b4 + 6841560*b3 + 8600410710*b2 - 8424499921482*b1 - 1212868282580101) * q^41 + (-413343*b7 - 472392*b6 + 236196*b5 + 9388791*b4 - 47062053*b3 + 21421973367*b2 + 9008657807139*b1 + 30024429653673567) * q^42 + (-329568*b7 + 711606*b6 - 900699*b5 + 11985612*b4 + 41889770*b3 - 18428977818*b2 - 17830057849356*b1 + 2615555203824800) * q^43 + (-1480528*b7 + 586396*b6 - 52252*b5 - 50703424*b4 - 112824488*b3 - 22091495982*b2 - 107328952691850*b1 - 48586264738231726) * q^44 + (3357541*b7 + 114118*b6 - 1710554*b5 - 2738929*b4 + 281214391*b3 + 9997626159*b2 + 9674164977600*b1 - 19613294523218882) * q^46 + (-15848*b7 + 2951990*b6 - 544268*b5 - 11236760*b4 - 85493086*b3 - 8861067660*b2 + 55957167220678*b1 - 50656621147817910) * q^47 + (590490*b7 - 2598156*b6 + 236196*b5 + 68496840*b4 + 26217756*b3 + 82385755290*b2 + 50340421357344*b1 + 136929807293567292) * q^48 + (3801976*b7 - 1867016*b6 - 2431142*b5 + 38102816*b4 - 67280976*b3 + 127778569180*b2 - 98553222905964*b1 + 146637030816993220) * q^49 + (-6141096*b7 + 2598156*b6 + 531441*b5 + 12518388*b4 - 278002692*b3 + 22744375722*b2 - 22447237729158*b1 + 42212465547603291) * q^51 + (1572792*b7 - 3906432*b6 + 6716832*b5 + 77768232*b4 + 1238295496*b3 + 181799763031*b2 + 309814512362925*b1 + 282957653019763439) * q^52 + (-8728732*b7 - 704267*b6 + 79668*b5 + 34891556*b4 + 539115670*b3 - 245313106742*b2 + 146283845557230*b1 - 236405369201319239) * q^53 + (-205891132094649*b1 - 17088963963855867) * q^54 + (-2423872*b7 - 15453728*b6 + 12793120*b5 + 419460901*b4 - 781213265*b3 + 1445286905507*b2 + 577716080027645*b1 + 2464954356265684959) * q^56 + (-6141096*b7 - 4369626*b6 - 11278359*b5 + 15352740*b4 + 318628404*b3 + 260859940614*b2 + 171192994024914*b1 + 560329918614195678) * q^57 + (26181363*b7 + 15144894*b6 + 5499318*b5 - 1649247*b4 + 2509496497*b3 - 1168591643455*b2 + 32061496014468*b1 - 1579535765436269538) * q^58 + (-7770480*b7 + 9701112*b6 + 7965880*b5 - 764710192*b4 + 2672396520*b3 - 66451049744*b2 + 579668304087128*b1 - 437237139461473810) * q^59 + (3367116*b7 + 32252853*b6 - 32796810*b5 - 932088012*b4 - 2592311555*b3 + 630660604542*b2 - 958012804900113*b1 + 2188830989939349979) * q^61 + (17807361*b7 - 3960048*b6 - 38905780*b5 - 104869241*b4 + 2306098299*b3 + 2149157836295*b2 - 865283075333935*b1 + 3800728452366129417) * q^62 + (-3486784401*b3 - 195259926456*b2 - 516249811627659*b1 - 58289551131149280) * q^63 + (-35945244*b7 - 22303176*b6 + 77007672*b5 + 2967185676*b4 + 3170269804*b3 + 3590985551464*b2 + 5328877381869948*b1 + 3474894829552349228) * q^64 + (67965399*b7 - 36019890*b6 + 47593494*b5 + 736281981*b4 - 983224899*b3 + 2262093792093*b2 + 827266549218948*b1 + 3150776743065958518) * q^66 + (-27525544*b7 + 61396370*b6 + 104910479*b5 - 951551924*b4 - 5477307534*b3 + 2800777072026*b2 - 3341062001224656*b1 + 3739785450443169386) * q^67 + (-80642528*b7 - 68074756*b6 - 25411132*b5 - 3687151344*b4 - 16091331928*b3 - 2107933905266*b2 - 2692311946863014*b1 + 3697145354706509182) * q^68 + (128726820*b7 + 50014503*b6 - 179745156*b5 - 639382572*b4 - 486209466*b3 - 101138772906*b2 + 346942852878222*b1 - 367022965038828507) * q^69 + (-76767284*b7 + 80553125*b6 - 31022474*b5 - 6631728396*b4 + 10849958084*b3 + 3598766948454*b2 + 648986891996588*b1 + 6525340638768032713) * q^71 + (-3486784401*b4 - 10460353203*b3 - 972812847879*b2 - 5174084700841113*b1 - 1529477820593351955) * q^72 + (37427024*b7 - 7991194*b6 + 82082798*b5 + 2578826440*b4 + 7773225950*b3 - 9219036387776*b2 + 3959091804542238*b1 + 4961141625163740584) * q^73 + (-83147578*b7 - 177738152*b6 - 140096688*b5 - 3600842534*b4 - 32595797534*b3 + 5139571769434*b2 - 5128533043244090*b1 - 4036445546485999402) * q^74 + (-203258816*b7 - 172402364*b6 - 102401924*b5 + 9730275728*b4 + 6237579256*b3 + 27846185394579*b2 + 17193524183008761*b1 + 47984867099378316195) * q^76 + (112980460*b7 - 263703889*b6 - 220193868*b5 + 12058930316*b4 - 13724601508*b3 + 11284498228574*b2 + 2776537851730840*b1 + 25292895809850395915) * q^77 + (-51254532*b7 + 177028902*b6 - 287568630*b5 - 6559635312*b4 + 8815070916*b3 - 7788274940880*b2 - 6342137860633587*b1 - 928852631757037953) * q^78 + (151702784*b7 + 392599844*b6 + 134144978*b5 + 4670130808*b4 + 21040355522*b3 - 7907112126596*b2 - 3765025947792078*b1 - 34264774189155724692) * q^79 + 12157665459056928801 * q^81 + (-297022463*b7 - 47260202*b6 + 768834598*b5 - 3196104973*b4 - 68777354709*b3 + 1771801234899*b2 - 17489059803331686*b1 + 28972693356853762196) * q^82 + (777148056*b7 + 429482658*b6 + 127684446*b5 + 22416776256*b4 + 13365524484*b3 - 22377318370224*b2 - 17245400015433432*b1 + 34614813957791131314) * q^83 + (-931084632*b7 - 323824716*b6 + 975725676*b5 - 30073891896*b4 - 136510895376*b3 - 7942538150469*b2 - 60119918394055911*b1 - 31245265964397920013) * q^84 + (974164223*b7 + 379948438*b6 + 888685486*b5 + 31087530661*b4 + 163568962357*b3 - 4500728901499*b2 + 39695263944943407*b1 + 60828693870989288279) * q^86 + (383818500*b7 + 656920125*b6 - 1694352006*b5 + 22205022156*b4 + 63197074152*b3 - 8610750629082*b2 + 26846836696865160*b1 + 15577295885135826075) * q^87 + (-1388833472*b7 - 1124176256*b6 + 647899264*b5 + 74344693262*b4 + 126038459050*b3 + 122108704200690*b2 + 75600100667541198*b1 + 259746357543789896794) * q^88 + (905754008*b7 + 113960542*b6 - 144432750*b5 + 4242694352*b4 + 89924472448*b3 + 22705378146112*b2 - 101896253304030380*b1 - 39865742256345185532) * q^89 + (516385488*b7 - 498135726*b6 - 1042368405*b5 - 7110711420*b4 - 170363428500*b3 - 127774576809142*b2 + 1354269947937198*b1 + 5633259844807925846) * q^91 + (-964413696*b7 + 1356976788*b6 + 858927916*b5 - 61102039856*b4 + 501738976728*b3 - 62724570689990*b2 - 16007596483327522*b1 - 18459258036253850582) * q^92 + (580097376*b7 - 653908626*b6 + 1077880446*b5 - 56755536840*b4 + 74286417303*b3 + 5963173804728*b2 - 66530861480513007*b1 + 41922609736507322994) * q^93 + (894087664*b7 - 837286940*b6 - 541292516*b5 + 112522358936*b4 + 590279700592*b3 - 20625573877160*b2 + 66984294912246042*b1 - 187489372555920727218) * q^94 + (-2734441092*b7 + 1683605088*b6 + 358073136*b5 - 86698458054*b4 - 527727644586*b3 - 125781791160222*b2 - 140659294833546822*b1 - 129348233682234071706) * q^96 + (3203107016*b7 - 2789451472*b6 - 2386817620*b5 - 64685253848*b4 - 174696945948*b3 - 81296857816496*b2 - 332892378193917156*b1 - 56392677577401653777) * q^97 + (187012182*b7 + 1122288996*b6 - 3154755260*b5 - 256998071902*b4 - 723129917070*b3 + 42282469758946*b2 - 426019996977903526*b1 + 325630739854194507506) * q^98 + (-3486784401*b5 - 41841412812*b4 - 104603532030*b3 - 17440895573802*b2 - 54170431405459128*b1 - 6267095755364645109) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$8 q - 666 q^{2} + 472392 q^{3} + 10681904 q^{4} - 39326634 q^{6} - 134034472 q^{7} - 3512168028 q^{8} + 27894275208 q^{9}+O(q^{10})$$ 8 * q - 666 * q^2 + 472392 * q^3 + 10681904 * q^4 - 39326634 * q^6 - 134034472 * q^7 - 3512168028 * q^8 + 27894275208 * q^9 $$8 q - 666 q^{2} + 472392 q^{3} + 10681904 q^{4} - 39326634 q^{6} - 134034472 q^{7} - 3512168028 q^{8} + 27894275208 q^{9} - 14410165968 q^{11} + 630755749296 q^{12} + 328226481176 q^{13} + 4068036669186 q^{14} + 18553054308920 q^{16} + 5718214953936 q^{17} - 2322198411066 q^{18} + 75919698170296 q^{19} - 7914601537128 q^{21} + 426897542691372 q^{22} - 49712781537936 q^{23} - 207390009885372 q^{24} - 126056679642054 q^{26} + 16\!\cdots\!92 q^{27}+ \cdots - 50\!\cdots\!68 q^{99}+O(q^{100})$$ 8 * q - 666 * q^2 + 472392 * q^3 + 10681904 * q^4 - 39326634 * q^6 - 134034472 * q^7 - 3512168028 * q^8 + 27894275208 * q^9 - 14410165968 * q^11 + 630755749296 * q^12 + 328226481176 * q^13 + 4068036669186 * q^14 + 18553054308920 * q^16 + 5718214953936 * q^17 - 2322198411066 * q^18 + 75919698170296 * q^19 - 7914601537128 * q^21 + 426897542691372 * q^22 - 49712781537936 * q^23 - 207390009885372 * q^24 - 126056679642054 * q^26 + 1647129056757192 * q^27 - 4235167126399504 * q^28 + 2111332005818352 * q^29 + 5677451410844968 * q^31 - 17528957992420632 * q^32 - 850905890244432 * q^33 + 9944754702742068 * q^34 + 37245496240179504 * q^36 + 26538401323409648 * q^37 - 85729618982552526 * q^38 + 19381445486961624 * q^39 - 9719778050982432 * q^41 + 240213497278764114 * q^42 + 20888744714565080 * q^43 - 388904820117856128 * q^44 - 156886987299808452 * q^46 - 405141072730526160 * q^47 + 1095539303887417080 * q^48 + 1172899395436368720 * q^49 + 337654874814966864 * q^51 + 2264281219115894096 * q^52 - 1890950875516930176 * q^53 - 137123493975036234 * q^54 + 19720793170524660300 * q^56 + 4482982257257808504 * q^57 - 12636224332772065092 * q^58 - 3496737905134765776 * q^59 + 17508733151770015960 * q^61 + 30404101355896200606 * q^62 - 467349306165871272 * q^63 + 27809823573720908096 * q^64 + 25207872998382825228 * q^66 + 29911607071855004216 * q^67 + 29571773973515759808 * q^68 - 2935490037033582864 * q^69 + 52204030316256846816 * q^71 - 12246172693721331228 * q^72 + 39697032757192143344 * q^73 - 32301811215943606764 * q^74 + 383913379529874070384 * q^76 + 202348742072764877136 * q^77 - 7443520876183646646 * q^78 - 274125739348498990400 * q^79 + 97261323672455430408 * q^81 + 231746572148446490256 * q^82 + 276883976086286712912 * q^83 - 250082383646764311696 * q^84 + 486708932755841131242 * q^86 + 124672043611567867248 * q^87 + 2078122304879724561672 * q^88 - 319129684977517046784 * q^89 + 45068531423660000648 * q^91 - 147706203809955886272 * q^92 + 335247828358984515432 * q^93 - 1499781052151613424236 * q^94 - 1035067440494445898968 * q^96 - 451807368184588489864 * q^97 + 2604193962467412900204 * q^98 - 50245141913043465168 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{8} - 2 x^{7} - 13701836 x^{6} + 201589162 x^{5} + 55078074399586 x^{4} + \cdots + 23\!\cdots\!25$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$\nu^{2} + 19\nu - 3425464$$ v^2 + 19*v - 3425464 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 321202317 \nu^{7} - 186534335407 \nu^{6} + \cdots + 67\!\cdots\!41 ) / 39\!\cdots\!48$$ (-321202317*v^7 - 186534335407*v^6 + 4372831536937113*v^5 + 1738495633469303875*v^4 - 16658750067555694158131*v^3 - 2498446040483296655821985*v^2 + 15924137188065492913918308039*v + 671542910453845137379175224941) / 3919980100084633960448 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 963606951 \nu^{7} + 559603006221 \nu^{6} + \cdots - 13\!\cdots\!35 ) / 39\!\cdots\!48$$ (963606951*v^7 + 559603006221*v^6 - 13118494610811339*v^5 - 5215486900407911625*v^4 + 53896230302751716434841*v^3 + 7377738718447350948652515*v^2 - 69970674793940848249311841365*v - 1350195804858404435736048337735) / 3919980100084633960448 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 133748537493 \nu^{7} + 730347015969159 \nu^{6} + \cdots - 18\!\cdots\!69 ) / 43\!\cdots\!28$$ (133748537493*v^7 + 730347015969159*v^6 - 823701887067592321*v^5 - 7987686074966667862843*v^4 - 3208639551497832032960725*v^3 + 18725549411509863293536901961*v^2 + 12806432632116400092744803964961*v - 1823666408535098930619797100890869) / 43119781100930973564928 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 393603917171 \nu^{7} + 320153027486417 \nu^{6} + \cdots - 71\!\cdots\!79 ) / 43\!\cdots\!28$$ (393603917171*v^7 + 320153027486417*v^6 - 4972543776351801703*v^5 - 4186824794441927169085*v^4 + 17525403770451357397678285*v^3 + 13188809638098297558941238495*v^2 - 17428676127667966545731860985657*v - 7117433109804191718790433051797779) / 43119781100930973564928 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 302835281351 \nu^{7} + 246792224013677 \nu^{6} + \cdots + 97\!\cdots\!05 ) / 21\!\cdots\!64$$ (302835281351*v^7 + 246792224013677*v^6 - 3473101830182853995*v^5 - 2554548268965313910697*v^4 + 9595676404909512270649209*v^3 + 4690142428033753009719862659*v^2 - 4293677938546395011796417631413*v + 97042656601291253929768590647705) / 21559890550465486782464
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{2} - 19\beta _1 + 3425464$$ b2 - 19*b1 + 3425464 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{4} + 3\beta_{3} + 30\beta_{2} + 5662281\beta _1 - 66735136$$ b4 + 3*b3 + 30*b2 + 5662281*b1 - 66735136 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$10 \beta_{7} - 44 \beta_{6} + 4 \beta_{5} + 828 \beta_{4} - 552 \beta_{3} + 7635372 \beta_{2} + \cdots + 19395890152827$$ 10*b7 - 44*b6 + 4*b5 + 828*b4 - 552*b3 + 7635372*b2 - 104015606*b1 + 19395890152827 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$42158 \beta_{7} - 10252 \beta_{6} - 7724 \beta_{5} + 9444344 \beta_{4} + 34125348 \beta_{3} + \cdots - 368911807691694$$ 42158*b7 - 10252*b6 - 7724*b5 + 9444344*b4 + 34125348*b3 + 1294083360*b2 + 36473237814027*b1 - 368911807691694 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$46884322 \beta_{7} - 474024380 \beta_{6} + 122383924 \beta_{5} + 10330386844 \beta_{4} + \cdots + 12\!\cdots\!62$$ 46884322*b7 - 474024380*b6 + 122383924*b5 + 10330386844*b4 - 9145742360*b3 + 56368731735085*b2 + 1869120866322351*b1 + 124935628878738021162 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$600833936150 \beta_{7} - 102434672348 \beta_{6} - 154577254140 \beta_{5} + 75193348500649 \beta_{4} + \cdots + 63\!\cdots\!58$$ 600833936150*b7 - 102434672348*b6 - 154577254140*b5 + 75193348500649*b4 + 299109028605959*b3 + 16873965935612510*b2 + 250953738741278777211*b1 + 6309501632736990752858

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 2762.71 1827.63 1642.33 155.916 −249.679 −1237.86 −2210.46 −2688.59
−2845.71 59049.0 6.00093e6 0 −1.68037e8 −1.14091e9 −1.11090e10 3.48678e9 0
1.2 −1910.63 59049.0 1.55335e6 0 −1.12821e8 −1.48601e8 1.03900e9 3.48678e9 0
1.3 −1725.33 59049.0 879617. 0 −1.01879e8 5.00000e8 2.10065e9 3.48678e9 0
1.4 −238.916 59049.0 −2.04007e6 0 −1.41077e7 −6.22955e8 9.88448e8 3.48678e9 0
1.5 166.679 59049.0 −2.06937e6 0 9.84223e6 1.02476e9 −6.94472e8 3.48678e9 0
1.6 1154.86 59049.0 −763454. 0 6.81932e7 5.42271e7 −3.30359e9 3.48678e9 0
1.7 2127.46 59049.0 2.42895e6 0 1.25625e8 −1.04187e9 7.05898e8 3.48678e9 0
1.8 2605.59 59049.0 4.69194e6 0 1.53857e8 1.24132e9 6.76095e9 3.48678e9 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.8 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$3$$ $$-1$$
$$5$$ $$1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 75.22.a.k 8
5.b even 2 1 75.22.a.l yes 8
5.c odd 4 2 75.22.b.j 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
75.22.a.k 8 1.a even 1 1 trivial
75.22.a.l yes 8 5.b even 2 1
75.22.b.j 16 5.c odd 4 2

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{8} + 666 T_{2}^{7} - 13507782 T_{2}^{6} - 6992794080 T_{2}^{5} + 53581897781856 T_{2}^{4} + \cdots + 23\!\cdots\!76$$ acting on $$S_{22}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(75))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!76$$
$3$ $$(T - 59049)^{8}$$
$5$ $$T^{8}$$
$7$ $$T^{8} + \cdots + 37\!\cdots\!25$$
$11$ $$T^{8} + \cdots - 32\!\cdots\!04$$
$13$ $$T^{8} + \cdots - 51\!\cdots\!79$$
$17$ $$T^{8} + \cdots - 13\!\cdots\!84$$
$19$ $$T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!25$$
$23$ $$T^{8} + \cdots + 99\!\cdots\!00$$
$29$ $$T^{8} + \cdots - 81\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{8} + \cdots + 65\!\cdots\!25$$
$37$ $$T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!00$$
$41$ $$T^{8} + \cdots + 39\!\cdots\!00$$
$43$ $$T^{8} + \cdots + 55\!\cdots\!01$$
$47$ $$T^{8} + \cdots + 17\!\cdots\!36$$
$53$ $$T^{8} + \cdots - 53\!\cdots\!00$$
$59$ $$T^{8} + \cdots + 72\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{8} + \cdots - 14\!\cdots\!39$$
$67$ $$T^{8} + \cdots + 55\!\cdots\!81$$
$71$ $$T^{8} + \cdots - 43\!\cdots\!44$$
$73$ $$T^{8} + \cdots + 55\!\cdots\!00$$
$79$ $$T^{8} + \cdots - 13\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{8} + \cdots + 29\!\cdots\!16$$
$89$ $$T^{8} + \cdots - 35\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{8} + \cdots + 95\!\cdots\!41$$