# Properties

 Label 740.2.bc.c Level $740$ Weight $2$ Character orbit 740.bc Analytic conductor $5.909$ Analytic rank $0$ Dimension $18$ Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [740,2,Mod(81,740)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(740, base_ring=CyclotomicField(18))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 0, 16]))

N = Newforms(chi, 2, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("740.81");

S:= CuspForms(chi, 2);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$740 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 37$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$2$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 740.bc (of order $$9$$, degree $$6$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$5.90892974957$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$18$$ Relative dimension: $$3$$ over $$\Q(\zeta_{9})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{18} + \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{18} + 45 x^{16} - 46 x^{15} + 1434 x^{14} - 1842 x^{13} + 22726 x^{12} - 53385 x^{11} + 272919 x^{10} + \cdots + 651249$$ x^18 + 45*x^16 - 46*x^15 + 1434*x^14 - 1842*x^13 + 22726*x^12 - 53385*x^11 + 272919*x^10 - 631737*x^9 + 2183742*x^8 - 5035122*x^7 + 11816799*x^6 - 18459459*x^5 + 23729985*x^4 - 19239678*x^3 + 11695860*x^2 - 3253824*x + 651249 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$3$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{9}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{17}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_{6} + \beta_{5} - 1) q^{3} - \beta_1 q^{5} + ( - \beta_{10} + \beta_{4}) q^{7} + (\beta_{11} + \beta_{8} + \beta_{6}) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b6 + b5 - 1) * q^3 - b1 * q^5 + (-b10 + b4) * q^7 + (b11 + b8 + b6) * q^9 $$q + ( - \beta_{6} + \beta_{5} - 1) q^{3} - \beta_1 q^{5} + ( - \beta_{10} + \beta_{4}) q^{7} + (\beta_{11} + \beta_{8} + \beta_{6}) q^{9} + (\beta_{6} - \beta_{2}) q^{11} + (\beta_{12} - \beta_{11} + \beta_{5}) q^{13} + (\beta_{8} - \beta_{6} - 1) q^{15} + (\beta_{17} - \beta_{13} + \cdots + \beta_1) q^{17}+ \cdots + (\beta_{10} + \beta_{7} - \beta_{6} + \cdots - 1) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b6 + b5 - 1) * q^3 - b1 * q^5 + (-b10 + b4) * q^7 + (b11 + b8 + b6) * q^9 + (b6 - b2) * q^11 + (b12 - b11 + b5) * q^13 + (b8 - b6 - 1) * q^15 + (b17 - b13 - b10 + b9 - b8 - b6 + b3 + b1) * q^17 + (b15 + b12 - b11 - b9 - b8 + b7 + b6 - b3 - b2 + b1 + 1) * q^19 + (b10 - b3 - b2) * q^21 + (b14 + b10 + b5 + b1) * q^23 + b5 * q^25 + (-3*b11 + 3*b8 + b6 + 3*b5 - 3*b1 + 1) * q^27 + (b17 + b12 - b11 + b10 - b8 - b7 - b6 + b5 - b4 + b1 + 1) * q^29 + (-b17 + b16 + b14 + b13 + b12 - 2*b11 + b10 - b7 + b6 + 2*b5 + b4 - b3 - b2 + b1 - 2) * q^31 + (b11 - b9 + b7 - b5 - b3 + 1) * q^33 + b7 * q^35 + (b17 - b15 - b13 + b11 - b10 + b9 - b8 - b7 + b6 + 2*b3 + b1 + 2) * q^37 + (-b16 - b15 - b12 + b11 - b5 + b3) * q^39 + (b16 + b13 - b11 + 2*b8 + b6 + b5 - b3 - b2) * q^41 + (b16 + b14 - b11 + b10 - b7 + b4 - b3 + b1) * q^43 + (-b11 - b8 - b6 + b1) * q^45 + (-b14 - b13 + b12 + 3*b11 - b8 + b7 - b6 - b5 - b3 - b2 + 3*b1 - 1) * q^47 + (b16 + b14 + b13 + b12 - b11 - 2*b8 - 2*b7 + 2*b6 + 3*b5 - 2*b3 - b2 + 2*b1 + 1) * q^49 + (-b17 + b15 + b12 - b11 - 2*b9 + b8 + 2*b7 + b5 + 2*b4 - 2*b3 - b2 - b1 - 1) * q^51 + (b17 - b14 + b12 - 2*b11 + 2*b6 + 2*b5 - b4 - b2 - 2*b1 + 1) * q^53 + (-b8 + b4 + b1) * q^55 + (-b16 - b15 - b14 + 2*b11 - b9 - b6 - b4 - 2*b1 + 1) * q^57 + (-b11 + b10 + 3*b8 + b6 + b5 - b3 - b2 - 4*b1 - 3) * q^59 + (-b12 - 2*b11 + b10 - 3*b8 + b7 + 2*b5 + b2 - 3) * q^61 + (-b9 - b4 - b2) * q^63 + (-b17 + b13 + b8 + b6 - b3 - b2 - b1) * q^65 + (b17 - b14 + 2*b11 - 2*b10 + b7 - 2*b6 + b5 + b4 + b3 + b1 + 2) * q^67 + (b17 + b16 - b13 - b11 - b8 + b3 + b2 + 2*b1) * q^69 + (b14 + b13 - 5*b11 + b10 - b7 - b6 + 2*b5 + b4 + 4) * q^71 + (b17 + b16 + 2*b15 + b14 + b13 + b12 - 2*b11 + b9 - b8 + b6 + b5 - b2 + 2*b1 + 2) * q^73 + (-b11 + b8) * q^75 + (b17 - b16 - b15 - b14 - b13 - b12 + b11 - b10 - b9 + 9*b8 - 2*b5 - 3*b4 + 3*b3 + b2 - 9*b1 + 1) * q^77 + (b16 + b14 - b13 - b11 + b10 + b9 - b8 - b7 + 2*b5 + 2*b1 + 1) * q^79 + (b11 - b6 - 6*b5 + 3*b1 - 6) * q^81 + (-b17 - b16 - b15 - b14 + b13 + 4*b11 + 2*b8 + b6 - b1 - 1) * q^83 + (b16 + b9 + b4 - b2) * q^85 + (-b16 - b13 - b12 - 2*b10 + b9 - b6 + 2*b3 + 2*b2 - 2) * q^87 + (-b16 + b15 + b11 - 2*b10 - b9 - 2*b8 + b7 + 3*b6 - b5 + b3 + 2*b2 - b1 + 2) * q^89 + (-2*b17 + 2*b13 + 2*b11 + 2*b10 + b9 - 3*b8 - 3*b6 - b4 - 3*b3 - b2 - b1 - 1) * q^91 + (b17 - b16 - 2*b15 - b14 - b13 - 2*b12 + 2*b11 - b10 + b9 - b8 + 2*b6 - 5*b5 - b4 + 2*b3 + b2 + b1 + 3) * q^93 + (-b17 + b11 + b6 - b5 + b4 - b3 - b1) * q^95 + (b17 - b15 - b13 + b11 + b10 + 3*b9 - 2*b8 - 2*b7 + b6 - b5 - 3*b4 + 2*b3 + b2 + 2*b1 + 2) * q^97 + (b10 + b7 - b6 - b5 - b4 + b3 + b2 - b1 - 1) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$18 q - 9 q^{3} + 3 q^{7} - 9 q^{9}+O(q^{10})$$ 18 * q - 9 * q^3 + 3 * q^7 - 9 * q^9 $$18 q - 9 q^{3} + 3 q^{7} - 9 q^{9} - 9 q^{11} - 9 q^{13} - 9 q^{15} + 3 q^{17} + 6 q^{19} + 3 q^{21} - 3 q^{23} + 9 q^{27} + 12 q^{29} - 48 q^{31} + 15 q^{33} - 6 q^{35} + 18 q^{37} + 3 q^{39} - 21 q^{41} + 6 q^{43} + 9 q^{45} - 9 q^{47} - 15 q^{49} - 3 q^{51} - 18 q^{53} + 6 q^{55} + 24 q^{57} - 60 q^{59} - 48 q^{61} - 3 q^{63} - 9 q^{65} + 45 q^{67} - 3 q^{69} + 81 q^{71} + 6 q^{73} + 9 q^{77} + 24 q^{79} - 99 q^{81} - 27 q^{83} - 15 q^{87} + 12 q^{89} + 6 q^{91} + 33 q^{93} + 6 q^{95} + 6 q^{97} - 18 q^{99}+O(q^{100})$$ 18 * q - 9 * q^3 + 3 * q^7 - 9 * q^9 - 9 * q^11 - 9 * q^13 - 9 * q^15 + 3 * q^17 + 6 * q^19 + 3 * q^21 - 3 * q^23 + 9 * q^27 + 12 * q^29 - 48 * q^31 + 15 * q^33 - 6 * q^35 + 18 * q^37 + 3 * q^39 - 21 * q^41 + 6 * q^43 + 9 * q^45 - 9 * q^47 - 15 * q^49 - 3 * q^51 - 18 * q^53 + 6 * q^55 + 24 * q^57 - 60 * q^59 - 48 * q^61 - 3 * q^63 - 9 * q^65 + 45 * q^67 - 3 * q^69 + 81 * q^71 + 6 * q^73 + 9 * q^77 + 24 * q^79 - 99 * q^81 - 27 * q^83 - 15 * q^87 + 12 * q^89 + 6 * q^91 + 33 * q^93 + 6 * q^95 + 6 * q^97 - 18 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{18} + 45 x^{16} - 46 x^{15} + 1434 x^{14} - 1842 x^{13} + 22726 x^{12} - 53385 x^{11} + 272919 x^{10} + \cdots + 651249$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( 11\!\cdots\!89 \nu^{17} + \cdots + 21\!\cdots\!97 ) / 14\!\cdots\!31$$ (1196771920515994865881682036390260006889*v^17 + 15216879365788611817890109642202602537624*v^16 + 54549323241086082283519936180957732970893*v^15 + 617535366016495903460619129299449662604337*v^14 + 1046117017248507176307018973313320219612521*v^13 + 19038128120070674300534415213832758759069313*v^12 + 540245245891961177557361405339528205736317*v^11 + 262955818509885390170647178483948263214474110*v^10 - 454653438292263025489230711439369447037616935*v^9 + 3079006975978986927952080229049395908493771134*v^8 - 6335772144480317292523760818132396163367045616*v^7 + 23337432380082603471782280370715640534425830417*v^6 - 55373906081785968919924940238466224530785961052*v^5 + 129610674731610718788859383669677342090083462146*v^4 - 196503029028719690898510930285878067549467253327*v^3 + 201437665544723423658697800850168769729812976394*v^2 - 113602162769952188531540224822895284661978979744*v + 21288343725496526152285072021905138597345007797) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 66\!\cdots\!70 \nu^{17} + \cdots - 14\!\cdots\!25 ) / 40\!\cdots\!89$$ (667273553781133011946071869470*v^17 + 440910413650325304482815275259*v^16 + 30351424666986596047425229998076*v^15 - 10335740357560677243357024619096*v^14 + 951159533970637908231737957596547*v^13 - 588294104983887332361581440313299*v^12 + 14797690989590895874255933518406765*v^11 - 25449859212086192978746502790768563*v^10 + 165158157118233465881717550261226861*v^9 - 306710587623768685777762844571475167*v^8 + 1245241098905105249034730345910648739*v^7 - 2463711156542175249787607689405918704*v^6 + 6120114124888444564572512550409181919*v^5 - 7751886468955441368145515078558887031*v^4 + 9996095784930620397244543442446336614*v^3 - 3593534248348313159856821444054706717*v^2 + 5067919499373511487263072547768951586*v - 1417320273719664034583617963183171725) / 4079628166669635175872087316719422889 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 66\!\cdots\!70 \nu^{17} + \cdots + 14\!\cdots\!25 ) / 40\!\cdots\!89$$ (-667273553781133011946071869470*v^17 - 440910413650325304482815275259*v^16 - 30351424666986596047425229998076*v^15 + 10335740357560677243357024619096*v^14 - 951159533970637908231737957596547*v^13 + 588294104983887332361581440313299*v^12 - 14797690989590895874255933518406765*v^11 + 25449859212086192978746502790768563*v^10 - 165158157118233465881717550261226861*v^9 + 306710587623768685777762844571475167*v^8 - 1245241098905105249034730345910648739*v^7 + 2463711156542175249787607689405918704*v^6 - 6120114124888444564572512550409181919*v^5 + 7751886468955441368145515078558887031*v^4 - 9996095784930620397244543442446336614*v^3 + 3593534248348313159856821444054706717*v^2 - 988291332703876311390985231049528697*v + 1417320273719664034583617963183171725) / 4079628166669635175872087316719422889 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!30 \nu^{17} + \cdots - 31\!\cdots\!03 ) / 55\!\cdots\!99$$ (14537406881684461640803847551748805930*v^17 - 53851270026492197347820655132723027426*v^16 + 614053026659115655589267038375641298933*v^15 - 3098875444530925474536854102944182770119*v^14 + 21386519760867995188596503760172474813222*v^13 - 102760500293660845811959062478809724713943*v^12 + 366311274014539969300015705992994237343875*v^11 - 1940229178883816124263972815150515231318424*v^10 + 5773244046189852040149925962905875878498679*v^9 - 21958085800533758826958727806638485380509130*v^8 + 52859457445384955856184008955121008525419763*v^7 - 163691508257822775417536000535128021593465290*v^6 + 344449661074423189722438901560725557634295558*v^5 - 676935442661516495721978912389518369717586346*v^4 + 790443347411500818050425023744283692410809701*v^3 - 655971539420653762104130906031487427208478567*v^2 + 220439049669702660436875103721783059297516602*v - 31462020841251213532760958495810575140640103) / 55085550566619915899013863353949829026205399 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 55\!\cdots\!81 \nu^{17} + \cdots - 31\!\cdots\!07 ) / 14\!\cdots\!31$$ (5565863733912464035155164166469046939881*v^17 - 15083683499418690091675693169686418758294*v^16 + 229439136088390886590718994963824434003634*v^15 - 943420774975995517364011625617529967349003*v^14 + 7730903380629791907927173452660553322597213*v^13 - 31345445065215864210674974069700712686778809*v^12 + 124517952768253406157075941296142599541192355*v^11 - 615287131819345718779074227042349157591203249*v^10 + 1863802171182487799145664257317152721069079690*v^9 - 6754076199545093964212178255291942761720963497*v^8 + 16426907569277663719772249637650660668173417686*v^7 - 50591215439647471499015779085794159171561945211*v^6 + 102653288810066881630766062911342413619071043036*v^5 - 197475809342802525666165441674965354563821525727*v^4 + 216104168683624212449572567204699043459744830458*v^3 - 201757886917425543648459604638311210683017643287*v^2 + 78928923197098645232462213416771900762652471250*v - 31746232082806535626081199346658927156210671207) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 58\!\cdots\!25 \nu^{17} + \cdots - 16\!\cdots\!07 ) / 10\!\cdots\!41$$ (585427622354260237333175532087225*v^17 + 179496585967124780213493332887430*v^16 + 26462847907213648186898776252969796*v^15 - 18765137392876576580568687606529906*v^14 + 836722896299825358157310673390543826*v^13 - 822495765738445759853371819511197307*v^12 + 13146177031382252461228481734769997919*v^11 - 27272474743182231779856729664025086840*v^10 + 152928309137251163801450123790996616328*v^9 - 325408745598408497229966290093917234216*v^8 + 1195917738824343182720205197601494076027*v^7 - 2612729645118154202731150988424128005659*v^6 + 6255142241298354876065564825942596161399*v^5 - 9160366492720958738512017198307244375064*v^4 + 11806931236903246389981551822664527330286*v^3 - 8574489180255232007635093768818812364384*v^2 + 5880418798382601899414109410266975281627*v - 1639028079381885734716207515365859578907) / 1097419976834131862309591488197524757141 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 30\!\cdots\!88 \nu^{17} + \cdots - 70\!\cdots\!24 ) / 55\!\cdots\!99$$ (30783140393524439819039261444037057688*v^17 - 42969536365724074173148757201938542326*v^16 + 1326792303180757480331282054036633321688*v^15 - 3352030427550374987372216548366313268901*v^14 + 43395142531477241999170194181195585898485*v^13 - 116183827072655627492353157654094501494568*v^12 + 690167890679318715826098880751839151864439*v^11 - 2530877945175046554348852322269045204532772*v^10 + 9239720199261433016663919791853720517578774*v^9 - 28512391777074429625199057863555840974184153*v^8 + 76729421157579556901951244852010192679033830*v^7 - 215781802318938500937028667673618165721671531*v^6 + 448671987770848979076000668247650106455069418*v^5 - 804296575050026486223705657737817115323459840*v^4 + 850694584308568984830283630047446923864539297*v^3 - 712463340111694672158090308627928902475229314*v^2 + 235864149030883204003153980023565133903469745*v - 70614050052504928673838098589911973636593724) / 55085550566619915899013863353949829026205399 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 12\!\cdots\!43 \nu^{17} + \cdots + 17\!\cdots\!06 ) / 14\!\cdots\!31$$ (12995465031495751149426252992899865816043*v^17 + 3910562451173120181376234991420428795170*v^16 + 570309934780182400637617628449791467344341*v^15 - 432611127277502441520094804350346318125001*v^14 + 17801899360586088195626833038126422415043651*v^13 - 18184672772341682911510698501435157108394488*v^12 + 267692363726777673098444037709842534587342551*v^11 - 595225167996489423370416291113843886743953180*v^10 + 3024787671811042370523254853293749881423983461*v^9 - 6656713444176961145084762702953901919713412040*v^8 + 22472017718465013482098486783235386209500416936*v^7 - 51214557827506396393687915413188406874068145999*v^6 + 109531782467359634099471812796296703666508943347*v^5 - 147232295105809688981700726126227189133121795635*v^4 + 126286556189470764990405414694938480862682422281*v^3 - 37399302212544390427526660942717391285366744585*v^2 - 24463204460885965967482678392932293315856052543*v + 17013148350508384669488674682790229962011667506) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 56\!\cdots\!26 \nu^{17} + \cdots - 13\!\cdots\!01 ) / 55\!\cdots\!99$$ (-56073172860292528221842725537867727726*v^17 - 78158854786877304800235659952723711119*v^16 - 2555357037977777590137078341858564342433*v^15 - 931394846842682224852535174929591037889*v^14 - 78413100622115633672561939312508283358803*v^13 - 7330358545134763962306020635810264738079*v^12 - 1182726752358471473094110736116725229389056*v^11 + 1281681066122052145483836461593259848638279*v^10 - 12036855546001619598644462119922997974205800*v^9 + 15882889097606660530536955875231268273545736*v^8 - 83890009308634489819320589507785124927637341*v^7 + 137110021580051340269920275628903889252535993*v^6 - 352167196829213703420981896303943523449861492*v^5 + 312365448943633641569892374951119169561608917*v^4 - 351942233773502064778786490848729927854356301*v^3 + 51417695859409716067852546649565923495821110*v^2 - 50691044924433257432551979397256308424161027*v - 13474956099802075429110652447021562641451901) / 55085550566619915899013863353949829026205399 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 56\!\cdots\!96 \nu^{17} + \cdots - 28\!\cdots\!69 ) / 55\!\cdots\!99$$ (56568324779883315308141671532351682296*v^17 + 2582107129614547653696076369501980152*v^16 + 2500322953012013633052700754547961423499*v^15 - 2490906753797135544116405453049489331845*v^14 + 78968706311007943656090979646333151270479*v^13 - 99098860296485271912526931426265876248413*v^12 + 1215038986939151583961861613370417448632875*v^11 - 2904368899879434305913730450293542073820654*v^10 + 14256699177434944150704744957890221540765083*v^9 - 33268450749932181981167126065588607179668566*v^8 + 109157342029944016999517423751483417400865375*v^7 - 258423491878689429498441392730113801449560927*v^6 + 563949579668130055240939747477545928202939313*v^5 - 836068434018533239129963779866871344457409368*v^4 + 834435583401088322408604272597403920441022744*v^3 - 474347359123562796444651131914612160097218436*v^2 + 93614977408912872233337063911823940423794057*v - 2897384819569223570299552210100819476678269) / 55085550566619915899013863353949829026205399 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 23\!\cdots\!63 \nu^{17} + \cdots - 28\!\cdots\!56 ) / 14\!\cdots\!31$$ (-23601443185750868750403736531553247003363*v^17 - 23364348265276764402997254498132387276366*v^16 - 1071530870014079312806854520759857325556652*v^15 + 41368213772894028562582933955641190506149*v^14 - 33193318557156376434961163896792877922680314*v^13 + 10707440939836616682547738781314740149984174*v^12 - 507084814805471130932092636558160631710931997*v^11 + 756154385494144567420767087799326272717343600*v^10 - 5415703898773021798236444087596020559607813878*v^9 + 9186506038360935418255850570965916327873481125*v^8 - 39597132190048760374851168725153418329978584205*v^7 + 75629519020912707196248239249442507721872570287*v^6 - 183965609607109412814232857693943444848031071081*v^5 + 220244132170780684320770698086630682931025745827*v^4 - 259679808321925754807571541044386717457015443922*v^3 + 130574863165063790633190398342849739086786121252*v^2 - 70555176622269075350318417880286251310540613124*v - 288404901547493365291215468156255608662067556) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 26\!\cdots\!48 \nu^{17} + \cdots + 11\!\cdots\!59 ) / 14\!\cdots\!31$$ (26745352210849517859610652571815274962448*v^17 + 88714579021268874885460305012230462572943*v^16 + 1271355585732150850272755817834245773625778*v^15 + 2708150007236580409745723823090531827701374*v^14 + 37043326946667776857057529498553553336882550*v^13 + 72103646870117908426128814031745792013039235*v^12 + 531991821883737258561591364196810881229452919*v^11 + 387114110677888404698707995884152484121125254*v^10 + 3838770059533652267272004034388579140243689990*v^9 + 2599438277502482024386066611100977386607262586*v^8 + 18580354794536205225494208321394627952671445503*v^7 + 10882164587455389701582653381140617863337575704*v^6 + 196343655361681776263168559197644858458722787*v^5 + 194392268865400512981709630118394579629340345660*v^4 - 301021418538302465570459734392231934275316724595*v^3 + 474141243397398179491653705513256195927304824299*v^2 - 320177179702558792994919048055048256645623075338*v + 113666128713749156338462859126706139500899232459) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 28\!\cdots\!94 \nu^{17} + \cdots + 11\!\cdots\!82 ) / 14\!\cdots\!31$$ (28384898668439807383427268326075030430394*v^17 + 83926869171755292336575612263079733167907*v^16 + 1278471487217396273320501878797819889983142*v^15 + 2326155370844305871371472433095214257976852*v^14 + 36733389993557046220321754577627228970484542*v^13 + 61666763232345568807381180690845411202051740*v^12 + 492298407636568749096302007170573278436523521*v^11 + 198415164361506651237581816772603036968562519*v^10 + 3355038201772788826489767691427819804986297010*v^9 + 2171363451682366171593137580593924952671281080*v^8 + 14087985781887664535150378637432006842996512613*v^7 + 12473441987634157961533031753488348209823249844*v^6 - 30736512249962330125739111044686956895978626820*v^5 + 269758453358507469974416239388544115750067308927*v^4 - 445643135892267286873115924735295061957255184355*v^3 + 595784806228661403073941955772064577603790404722*v^2 - 282282605550457937366487259157215612563816257880*v + 111018246642438029351830597397848875422229704082) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 42\!\cdots\!76 \nu^{17} + \cdots + 18\!\cdots\!12 ) / 14\!\cdots\!31$$ (-42269797352368744387018230880457036668476*v^17 + 42040059038644061773410488945904415344747*v^16 - 1699429078363410052842330482833927176502153*v^15 + 4045678453982037116365526814363707927627662*v^14 - 53585557690630485038633415579261712402687589*v^13 + 137493738260651281587716940158210105294056790*v^12 - 764875331194851468617782539343738381139903329*v^11 + 3113252345689574159522806250016443893101927518*v^10 - 9779367067045334995913647322440493748147632660*v^9 + 31409988274746043058092768006794876174871512727*v^8 - 77791178536112293665520344494140254862195752269*v^7 + 227813048350172309296921017242562913169815238491*v^6 - 415399962058300393693127073880494638080836138792*v^5 + 668392438329469845825723466733996826274980471831*v^4 - 473715326535522402063733609177745984973840819987*v^3 + 265493468013934766097358359444231263319028056192*v^2 + 118820610359506073523960077022388523033916064707*v + 18779080897397040316638577328790036626810394612) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 43\!\cdots\!90 \nu^{17} + \cdots - 10\!\cdots\!32 ) / 14\!\cdots\!31$$ (43630352033642342055474883641687241171990*v^17 - 63774722770290973449671086280070155676329*v^16 + 1841044416619601448455364415796411996966413*v^15 - 4984220246694488401571253871489409425254387*v^14 + 60087654146902514651670821413259113602151524*v^13 - 170545028356622240299439175217103486671999099*v^12 + 943238410076045133686994393313236488594307917*v^11 - 3690540210131736106869819906037365768835530254*v^10 + 12860764079075531963647350825770069271990657261*v^9 - 40418749249642578344862026617947793341876608757*v^8 + 109773005829719899566344418725524939721419382192*v^7 - 306914678421378588257594822860754206692940920325*v^6 + 645939173241457173599090277557686671414633266103*v^5 - 1146322580143683703544582452941961201334541206244*v^4 + 1331349245713212473040545636838393745641088574814*v^3 - 1174496249949108995219052067532123095807926084126*v^2 + 539752002368012242281519011518976375944717112451*v - 100265073080445457829133877692373305658586178432) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( - 60\!\cdots\!50 \nu^{17} + \cdots + 46\!\cdots\!51 ) / 14\!\cdots\!31$$ (-60729140118544701267289719840972793397850*v^17 - 146485575507448294478441138729461775728061*v^16 - 2872252071258721756286589866543371626809387*v^15 - 3701853833778471500862112786299290556651619*v^14 - 86130466657681136828282868600522654987851971*v^13 - 86875829301665052495636196095091461961115653*v^12 - 1293100352408599332913532240995420908405241010*v^11 + 308031132482553974653179818010673051990568992*v^10 - 11450266173223595669550008731795487569509760928*v^9 + 7822044268473698826085500828602242765026750272*v^8 - 73951855428689522428563952985533041587198069967*v^7 + 84018285673133560039609017415050761034227384358*v^6 - 253601030823271275312486451696519445057986544892*v^5 + 120668981124678616655280173707959294869127909546*v^4 - 208206334596005169900474072729847134319598671629*v^3 + 180268187364872694485336194141918613039734758*v^2 - 157952779623500042811908920731843838884194651850*v + 46545926452174005947473235179605666304965990651) / 14818013102420757376834729242212504008049252331 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 62\!\cdots\!37 \nu^{17} + \cdots + 10\!\cdots\!32 ) / 14\!\cdots\!31$$ (-62197156344220461972795702616782688207937*v^17 + 41103163902536125522799303456896253951033*v^16 - 2726282422204779025378022362095484992411404*v^15 + 4675718405096661604680728526773141201961368*v^14 - 88061667527449057669846530508501436362328757*v^13 + 168288645517832826221305792548612404867750657*v^12 - 1394353805578875312433307204126358857192780136*v^11 + 4070025222590203771086250244576546571315839071*v^10 - 17779953029115450881285219333387688774112608732*v^9 + 45926264008011944533117136614450803547203321026*v^8 - 144736701723112209697120176523308673747847591952*v^7 + 355719132810181190621942837036864778977248961030*v^6 - 805745747227228704832368003610058557427731849173*v^5 + 1285267263687464434004982583415012241308776280799*v^4 - 1517621861784198649784694471858054269737243245081*v^3 + 1130967930809654383967340261615989537416964415897*v^2 - 504439832100842354510524060004037652666955799939*v + 108662318410765178638858060809822575160677757732) / 14818013102420757376834729242212504008049252331
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_{3} + \beta_{2}$$ b3 + b2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{17} + \beta_{16} + \beta_{12} - \beta_{11} - \beta_{10} - \beta_{9} - \beta_{8} + \beta_{7} + \cdots + 1$$ b17 + b16 + b12 - b11 - b10 - b9 - b8 + b7 + 9*b6 + 2*b5 - 2*b2 + 1 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$- \beta_{17} + 2 \beta_{16} + \beta_{15} + 2 \beta_{14} + 2 \beta_{13} + 2 \beta_{12} - 3 \beta_{11} + \cdots + 10$$ -b17 + 2*b16 + b15 + 2*b14 + 2*b13 + 2*b12 - 3*b11 - b10 + 3*b9 - 13*b8 - 2*b7 + 2*b6 + 15*b5 + 2*b4 - 19*b3 - 2*b2 + 14*b1 + 10 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- 22 \beta_{17} + 22 \beta_{15} + 19 \beta_{14} + 19 \beta_{13} + 3 \beta_{12} + 32 \beta_{11} + \cdots - 158$$ -22*b17 + 22*b15 + 19*b14 + 19*b13 + 3*b12 + 32*b11 + 57*b10 + 31*b9 - 40*b8 + 7*b7 - 136*b6 - 40*b5 - 31*b4 - 4*b3 + 18*b2 + 32*b1 - 158 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 32 \beta_{17} - 70 \beta_{16} + 37 \beta_{15} - 37 \beta_{13} - 32 \beta_{12} + 465 \beta_{11} + \cdots - 69$$ -32*b17 - 70*b16 + 37*b15 - 37*b13 - 32*b12 + 465*b11 + 24*b10 - 87*b9 + 465*b8 - 24*b7 + 129*b6 - 409*b5 - 111*b4 - 289*b2 - 88*b1 - 69 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$98 \beta_{17} - 403 \beta_{16} - 414 \beta_{15} - 403 \beta_{14} - 512 \beta_{13} - 512 \beta_{12} + \cdots + 2876$$ 98*b17 - 403*b16 - 414*b15 - 403*b14 - 512*b13 - 512*b12 - 804*b11 - 697*b10 + 294*b9 + 1185*b8 - 1107*b7 - 512*b6 - 76*b5 + 1107*b4 + 226*b3 + 512*b2 + 131*b1 + 2876 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$1950 \beta_{17} - 1950 \beta_{15} - 2026 \beta_{14} - 941 \beta_{13} - 1009 \beta_{12} - 9046 \beta_{11} + \cdots - 1776$$ 1950*b17 - 1950*b15 - 2026*b14 - 941*b13 - 1009*b12 - 9046*b11 + 681*b10 - 598*b9 - 1930*b8 + 3305*b7 - 3726*b6 - 3015*b5 + 598*b4 + 10198*b3 + 8248*b2 - 10131*b1 - 1776 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$9787 \beta_{17} + 9250 \beta_{16} - 2616 \beta_{15} + 2616 \beta_{13} + 9787 \beta_{12} + 4721 \beta_{11} + \cdots + 12403$$ 9787*b17 + 9250*b16 - 2616*b15 + 2616*b13 + 9787*b12 + 4721*b11 - 20672*b10 - 29893*b9 + 4721*b8 + 20672*b7 + 78953*b6 + 31681*b5 - 9221*b4 - 17071*b2 - 26615*b1 + 12403 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$- 25904 \beta_{17} + 54610 \beta_{16} + 25791 \beta_{15} + 54610 \beta_{14} + 51695 \beta_{13} + \cdots + 75061$$ -25904*b17 + 54610*b16 + 25791*b15 + 54610*b14 + 51695*b13 + 51695*b12 - 112287*b11 - 36224*b10 + 90834*b9 - 287115*b8 - 75243*b7 + 51695*b6 + 370696*b5 + 75243*b4 - 250396*b3 - 51695*b2 + 347707*b1 + 75061 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$- 307482 \beta_{17} + 307482 \beta_{15} + 222478 \beta_{14} + 240083 \beta_{13} + 67399 \beta_{12} + \cdots - 1916268$$ -307482*b17 + 307482*b15 + 222478*b14 + 240083*b13 + 67399*b12 + 483898*b11 + 1004376*b10 + 521920*b9 - 880517*b8 + 259978*b7 - 1608786*b6 - 898122*b5 - 521920*b4 - 225145*b3 + 82337*b2 + 466293*b1 - 1916268 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 679666 \beta_{17} - 1426354 \beta_{16} + 656718 \beta_{15} - 656718 \beta_{13} - 679666 \beta_{12} + \cdots - 1336384$$ -679666*b17 - 1426354*b16 + 656718*b15 - 656718*b13 - 679666*b12 + 8938291*b11 + 409601*b10 - 1995248*b9 + 8938291*b8 - 409601*b7 + 299863*b6 - 7250944*b5 - 2404849*b4 - 3565484*b2 - 2367013*b1 - 1336384 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$1723037 \beta_{17} - 5489263 \beta_{16} - 5991135 \beta_{15} - 5489263 \beta_{14} - 7714172 \beta_{13} + \cdots + 39783683$$ 1723037*b17 - 5489263*b16 - 5991135*b15 - 5489263*b14 - 7714172*b13 - 7714172*b12 - 17380044*b11 - 12465232*b10 + 6975969*b9 + 17741967*b8 - 20145534*b7 - 7714172*b6 + 3404303*b5 + 20145534*b4 + 6115183*b3 + 7714172*b2 + 7352249*b1 + 39783683 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$34177350 \beta_{17} - 34177350 \beta_{15} - 36703501 \beta_{14} - 17561711 \beta_{13} - 16615639 \beta_{12} + \cdots - 3745656$$ 34177350*b17 - 34177350*b15 - 36703501*b14 - 17561711*b13 - 16615639*b12 - 149989783*b11 + 15064956*b10 - 10687585*b9 - 42534880*b8 + 62456042*b7 - 37923006*b6 - 61676670*b5 + 10687585*b4 + 156667600*b3 + 122490250*b2 - 169131573*b1 - 3745656 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$150739546 \beta_{17} + 137254669 \beta_{16} - 43918863 \beta_{15} + 43918863 \beta_{13} + \cdots + 194658409$$ 150739546*b17 + 137254669*b16 - 43918863*b15 + 43918863*b13 + 150739546*b12 + 139479260*b11 - 332673299*b10 - 515185219*b9 + 139479260*b8 + 332673299*b7 + 1190349692*b6 + 505786000*b5 - 182511920*b4 - 228667690*b2 - 494525714*b1 + 194658409 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$- 420511025 \beta_{17} + 937619029 \beta_{16} + 449403564 \beta_{15} + 937619029 \beta_{14} + \cdots + 914791603$$ -420511025*b17 + 937619029*b16 + 449403564*b15 + 937619029*b14 + 869914589*b13 + 869914589*b12 - 2046566544*b11 - 667706219*b10 + 1605325248*b9 - 4738509435*b8 - 1328967159*b7 + 869914589*b6 + 6267967975*b5 + 1328967159*b4 - 3952116412*b3 - 869914589*b2 + 5915161390*b1 + 914791603 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$- 4925343615 \beta_{17} + 4925343615 \beta_{15} + 3455427247 \beta_{14} + 3807963476 \beta_{13} + \cdots - 30004374174$$ -4925343615*b17 + 4925343615*b15 + 3455427247*b14 + 3807963476*b13 + 1117380139*b12 + 7903080658*b11 + 16580641146*b10 + 8414267758*b9 - 15025091729*b8 + 4710946141*b7 - 25079030559*b6 - 15377627958*b5 - 8414267758*b4 - 4148865568*b3 + 776478047*b2 + 7550544429*b1 - 30004374174 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$- 11445753187 \beta_{17} - 23865894628 \beta_{16} + 10649028036 \beta_{15} - 10649028036 \beta_{13} + \cdots - 22094781223$$ -11445753187*b17 - 23865894628*b16 + 10649028036*b15 - 10649028036*b13 - 11445753187*b12 + 148765535458*b11 + 7093105715*b10 - 33934519442*b9 + 148765535458*b8 - 7093105715*b7 + 501129121*b6 - 118415914033*b5 - 41027625157*b4 - 55753898366*b2 - 41795374612*b1 - 22094781223

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/740\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$261$$ $$297$$ $$371$$ $$\chi(n)$$ $$\beta_{8}$$ $$1$$ $$1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
81.1
 −1.74574 − 3.02371i 0.167614 + 0.290317i 2.51782 + 4.36099i −1.87015 − 3.23920i 0.520967 + 0.902342i 1.17554 + 2.03609i −1.74574 + 3.02371i 0.167614 − 0.290317i 2.51782 − 4.36099i 1.03934 + 1.80019i 0.713507 + 1.23583i −2.51889 − 4.36284i −1.87015 + 3.23920i 0.520967 − 0.902342i 1.17554 − 2.03609i 1.03934 − 1.80019i 0.713507 − 1.23583i −2.51889 + 4.36284i
0 −1.43969 0.524005i 0 0.173648 + 0.984808i 0 −0.606289 3.43844i 0 −0.500000 0.419550i 0
81.2 0 −1.43969 0.524005i 0 0.173648 + 0.984808i 0 0.0582119 + 0.330136i 0 −0.500000 0.419550i 0
81.3 0 −1.43969 0.524005i 0 0.173648 + 0.984808i 0 0.874429 + 4.95913i 0 −0.500000 0.419550i 0
181.1 0 −0.326352 1.85083i 0 0.766044 0.642788i 0 −2.86524 + 2.40422i 0 −0.500000 + 0.181985i 0
181.2 0 −0.326352 1.85083i 0 0.766044 0.642788i 0 0.798168 0.669743i 0 −0.500000 + 0.181985i 0
181.3 0 −0.326352 1.85083i 0 0.766044 0.642788i 0 1.80103 1.51124i 0 −0.500000 + 0.181985i 0
201.1 0 −1.43969 + 0.524005i 0 0.173648 0.984808i 0 −0.606289 + 3.43844i 0 −0.500000 + 0.419550i 0
201.2 0 −1.43969 + 0.524005i 0 0.173648 0.984808i 0 0.0582119 0.330136i 0 −0.500000 + 0.419550i 0
201.3 0 −1.43969 + 0.524005i 0 0.173648 0.984808i 0 0.874429 4.95913i 0 −0.500000 + 0.419550i 0
441.1 0 0.266044 0.223238i 0 −0.939693 0.342020i 0 −1.95332 0.710949i 0 −0.500000 + 2.83564i 0
441.2 0 0.266044 0.223238i 0 −0.939693 0.342020i 0 −1.34095 0.488067i 0 −0.500000 + 2.83564i 0
441.3 0 0.266044 0.223238i 0 −0.939693 0.342020i 0 4.73396 + 1.72302i 0 −0.500000 + 2.83564i 0
601.1 0 −0.326352 + 1.85083i 0 0.766044 + 0.642788i 0 −2.86524 2.40422i 0 −0.500000 0.181985i 0
601.2 0 −0.326352 + 1.85083i 0 0.766044 + 0.642788i 0 0.798168 + 0.669743i 0 −0.500000 0.181985i 0
601.3 0 −0.326352 + 1.85083i 0 0.766044 + 0.642788i 0 1.80103 + 1.51124i 0 −0.500000 0.181985i 0
641.1 0 0.266044 + 0.223238i 0 −0.939693 + 0.342020i 0 −1.95332 + 0.710949i 0 −0.500000 2.83564i 0
641.2 0 0.266044 + 0.223238i 0 −0.939693 + 0.342020i 0 −1.34095 + 0.488067i 0 −0.500000 2.83564i 0
641.3 0 0.266044 + 0.223238i 0 −0.939693 + 0.342020i 0 4.73396 1.72302i 0 −0.500000 2.83564i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 81.3 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
37.f even 9 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 740.2.bc.c 18
37.f even 9 1 inner 740.2.bc.c 18

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
740.2.bc.c 18 1.a even 1 1 trivial
740.2.bc.c 18 37.f even 9 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{3}^{6} + 3T_{3}^{5} + 6T_{3}^{4} + 8T_{3}^{3} + 3T_{3}^{2} - 3T_{3} + 1$$ acting on $$S_{2}^{\mathrm{new}}(740, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{18}$$
$3$ $$(T^{6} + 3 T^{5} + 6 T^{4} + \cdots + 1)^{3}$$
$5$ $$(T^{6} + T^{3} + 1)^{3}$$
$7$ $$T^{18} - 3 T^{17} + \cdots + 651249$$
$11$ $$T^{18} + 9 T^{17} + \cdots + 81$$
$13$ $$T^{18} + \cdots + 2442237561$$
$17$ $$T^{18} - 3 T^{17} + \cdots + 2277081$$
$19$ $$T^{18} + \cdots + 255584169$$
$23$ $$T^{18} + \cdots + 165148201$$
$29$ $$T^{18} + \cdots + 71133690681$$
$31$ $$(T^{9} + 24 T^{8} + \cdots + 1219593)^{2}$$
$37$ $$T^{18} + \cdots + 129961739795077$$
$41$ $$T^{18} + \cdots + 48254469561$$
$43$ $$(T^{9} - 3 T^{8} + \cdots - 39849)^{2}$$
$47$ $$T^{18} + \cdots + 66095782281$$
$53$ $$T^{18} + \cdots + 8719813302489$$
$59$ $$T^{18} + \cdots + 9118159297641$$
$61$ $$T^{18} + \cdots + 21785994997209$$
$67$ $$T^{18} + \cdots + 334549377257481$$
$71$ $$T^{18} + \cdots + 86037738576409$$
$73$ $$(T^{9} - 3 T^{8} + \cdots - 141919047)^{2}$$
$79$ $$T^{18} + \cdots + 129966452480089$$
$83$ $$T^{18} + \cdots + 955801477801$$
$89$ $$T^{18} + \cdots + 20\!\cdots\!69$$
$97$ $$T^{18} + \cdots + 52\!\cdots\!49$$