Properties

Label 74.2.h.a
Level $74$
Weight $2$
Character orbit 74.h
Analytic conductor $0.591$
Analytic rank $0$
Dimension $12$
CM no
Inner twists $2$

Related objects

Downloads

Learn more

Newspace parameters

Level: \( N \) \(=\) \( 74 = 2 \cdot 37 \)
Weight: \( k \) \(=\) \( 2 \)
Character orbit: \([\chi]\) \(=\) 74.h (of order \(18\), degree \(6\), minimal)

Newform invariants

Self dual: no
Analytic conductor: \(0.590892974957\)
Analytic rank: \(0\)
Dimension: \(12\)
Relative dimension: \(2\) over \(\Q(\zeta_{18})\)
Coefficient field: \(\Q(\zeta_{36})\)
Defining polynomial: \(x^{12} - x^{6} + 1\)
Coefficient ring: \(\Z[a_1, a_2]\)
Coefficient ring index: \( 1 \)
Twist minimal: yes
Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{18}]$

$q$-expansion

Coefficients of the \(q\)-expansion are expressed in terms of a primitive root of unity \(\zeta_{36}\). We also show the integral \(q\)-expansion of the trace form.

\(f(q)\) \(=\) \( q + \zeta_{36} q^{2} + ( 1 - \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{6} ) q^{3} + \zeta_{36}^{2} q^{4} + ( -\zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} ) q^{5} + ( \zeta_{36} - \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{7} ) q^{6} + ( -1 - \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{7} + \zeta_{36}^{3} q^{8} + ( \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{10} ) q^{9} +O(q^{10})\) \( q + \zeta_{36} q^{2} + ( 1 - \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{6} ) q^{3} + \zeta_{36}^{2} q^{4} + ( -\zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} ) q^{5} + ( \zeta_{36} - \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{7} ) q^{6} + ( -1 - \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{7} + \zeta_{36}^{3} q^{8} + ( \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{10} ) q^{9} + ( -\zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} ) q^{10} + ( -1 + \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{8} + 4 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} ) q^{11} + ( \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{8} ) q^{12} + ( -\zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{10} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{13} + ( -2 - \zeta_{36} + \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{11} ) q^{14} + ( -1 - \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{15} + \zeta_{36}^{4} q^{16} + ( -2 \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{10} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{17} + ( \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{11} ) q^{18} + ( -1 - 2 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{19} + ( -\zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{11} ) q^{20} + ( -1 + \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{11} ) q^{21} + ( -\zeta_{36} + \zeta_{36}^{3} - 2 \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{9} + 4 \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{11} ) q^{22} + ( 3 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{10} - 3 \zeta_{36}^{11} ) q^{23} + ( \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{9} ) q^{24} + ( -1 + 2 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} + 4 \zeta_{36}^{3} - 4 \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} - 4 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{25} + ( 2 - \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{11} ) q^{26} + ( -3 \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{6} - 3 \zeta_{36}^{10} ) q^{27} + ( -1 - 2 \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} ) q^{28} + ( 1 + \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{29} + ( 2 - \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{30} + ( -2 \zeta_{36} + \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{5} + 4 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} - 3 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{31} + \zeta_{36}^{5} q^{32} + ( -1 + 4 \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} ) q^{33} + ( 2 - 2 \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{11} ) q^{34} + ( 3 + 4 \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{3} - 2 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{5} - 3 \zeta_{36}^{6} + 3 \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{10} ) q^{35} + ( 1 - \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{10} ) q^{36} + ( 2 - \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} - 3 \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{10} + 5 \zeta_{36}^{11} ) q^{37} + ( -2 - \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} - 2 \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{38} + ( 3 - \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{9} ) q^{39} + ( 1 - \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{11} ) q^{40} + ( 2 + 2 \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{2} + 4 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{9} ) q^{41} + ( -1 - \zeta_{36} + \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} ) q^{42} + ( 4 \zeta_{36} - 4 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{43} + ( 1 - \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{10} + 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{44} + ( -1 + \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{45} + ( 3 + 3 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{10} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{46} + ( -\zeta_{36} + 4 \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} - 3 \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{7} - 3 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{9} + 4 \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{11} ) q^{47} + ( \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{10} ) q^{48} + ( 1 - \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{10} - 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{49} + ( -2 - \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} + 4 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{7} - 4 \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{10} + \zeta_{36}^{11} ) q^{50} + ( -2 \zeta_{36} + \zeta_{36}^{2} - 4 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{8} + 4 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{51} + ( -1 + 2 \zeta_{36} - \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{52} + ( 1 - 3 \zeta_{36} - 4 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} - 4 \zeta_{36}^{4} + 4 \zeta_{36}^{5} - 4 \zeta_{36}^{6} - 3 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{53} + ( -3 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{7} - 3 \zeta_{36}^{11} ) q^{54} + ( -4 + \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{3} - 4 \zeta_{36}^{4} + 6 \zeta_{36}^{5} + 5 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} - 6 \zeta_{36}^{11} ) q^{55} + ( -\zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} ) q^{56} + ( -3 + 3 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{5} + 4 \zeta_{36}^{7} - 3 \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{57} + ( \zeta_{36} + \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{58} + ( 1 - 2 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} + 4 \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} - 6 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{10} - 6 \zeta_{36}^{11} ) q^{59} + ( 2 \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} - 2 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{10} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{60} + ( -4 + 2 \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{7} + 4 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{61} + ( -2 - 2 \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{5} + 4 \zeta_{36}^{6} + 4 \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} - 3 \zeta_{36}^{10} ) q^{62} + ( -1 - \zeta_{36} - \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{11} ) q^{63} + \zeta_{36}^{6} q^{64} + ( 2 - 8 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} + 3 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{6} + 4 \zeta_{36}^{7} - 4 \zeta_{36}^{8} - 3 \zeta_{36}^{10} ) q^{65} + ( -\zeta_{36} + 4 \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{11} ) q^{66} + ( -4 \zeta_{36} - 3 \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} + 5 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{5} - 5 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{7} + 3 \zeta_{36}^{8} + 4 \zeta_{36}^{9} + 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{67} + ( -1 + 2 \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{9} ) q^{68} + ( -1 + 2 \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} - 3 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} - 4 \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} - 3 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} ) q^{69} + ( 3 \zeta_{36} + 4 \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{6} - 3 \zeta_{36}^{7} + 3 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{10} + \zeta_{36}^{11} ) q^{70} + ( -2 + 2 \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} + 4 \zeta_{36}^{5} + 6 \zeta_{36}^{6} - 4 \zeta_{36}^{7} + 4 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{9} + 4 \zeta_{36}^{10} + 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{71} + ( \zeta_{36} - \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{11} ) q^{72} + ( -6 \zeta_{36} - 3 \zeta_{36}^{2} - 4 \zeta_{36}^{3} - 3 \zeta_{36}^{4} - 6 \zeta_{36}^{5} + 6 \zeta_{36}^{7} + 5 \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{73} + ( -5 + 2 \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{74} + ( -3 - 4 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} + 4 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} - 4 \zeta_{36}^{5} - 4 \zeta_{36}^{7} - 3 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{10} + 8 \zeta_{36}^{11} ) q^{75} + ( -2 - 2 \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} ) q^{76} + ( 1 - 3 \zeta_{36} + 3 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{5} - 5 \zeta_{36}^{8} - 3 \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{11} ) q^{77} + ( 3 \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{10} ) q^{78} + ( 1 - \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{10} ) q^{79} + ( 1 + \zeta_{36} - \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{11} ) q^{80} + ( -1 - 3 \zeta_{36}^{2} - 6 \zeta_{36}^{4} + 6 \zeta_{36}^{6} + 3 \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{10} ) q^{81} + ( 2 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} + 4 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{82} + ( -5 - 5 \zeta_{36}^{2} + 6 \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{6} + 3 \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{10} - 6 \zeta_{36}^{11} ) q^{83} + ( -\zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{11} ) q^{84} + ( 3 - 3 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{2} - 3 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} - 3 \zeta_{36}^{6} + 3 \zeta_{36}^{7} - 4 \zeta_{36}^{8} + 6 \zeta_{36}^{9} - 4 \zeta_{36}^{10} + 3 \zeta_{36}^{11} ) q^{85} + ( -2 + 4 \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{11} ) q^{86} + ( 4 + \zeta_{36} - \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} - 2 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{11} ) q^{87} + ( -4 + \zeta_{36} - \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{11} ) q^{88} + ( -1 + \zeta_{36}^{2} - 6 \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{4} + 6 \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{89} + ( -\zeta_{36} + \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{90} + ( 1 - \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{5} - 3 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{91} + ( 2 + 3 \zeta_{36} + 3 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{10} + \zeta_{36}^{11} ) q^{92} + ( -1 - \zeta_{36} - \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{4} + 6 \zeta_{36}^{5} + 5 \zeta_{36}^{7} - 4 \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{10} - 6 \zeta_{36}^{11} ) q^{93} + ( 1 - \zeta_{36}^{2} + 4 \zeta_{36}^{3} - 2 \zeta_{36}^{4} - 3 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} - 3 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{10} + 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{94} + ( 1 + 4 \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{3} - 3 \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{6} + 4 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{95} + ( \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{11} ) q^{96} + ( 4 + 4 \zeta_{36} + 4 \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{3} + 6 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{6} - 6 \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{9} - 4 \zeta_{36}^{10} - 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{97} + ( 4 + \zeta_{36} - \zeta_{36}^{3} - 2 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{98} + ( 3 - 2 \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{2} + 4 \zeta_{36}^{3} - 4 \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{6} + 4 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{99} +O(q^{100})\)
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\) \(=\) \( 12q + 6q^{3} - 12q^{7} - 6q^{9} + O(q^{10}) \) \( 12q + 6q^{3} - 12q^{7} - 6q^{9} + 6q^{10} - 6q^{11} - 6q^{12} + 6q^{13} - 18q^{14} - 18q^{19} - 6q^{21} - 18q^{25} + 12q^{26} - 6q^{27} - 6q^{28} + 18q^{29} + 24q^{30} - 6q^{33} + 12q^{34} + 18q^{35} + 12q^{36} + 30q^{37} - 24q^{38} + 30q^{39} + 12q^{40} + 24q^{41} + 6q^{44} - 18q^{45} + 30q^{46} + 6q^{47} + 12q^{49} - 36q^{50} - 12q^{52} - 12q^{53} - 18q^{55} - 36q^{57} + 6q^{58} - 36q^{61} - 6q^{63} + 6q^{64} + 36q^{65} - 30q^{67} - 18q^{69} - 12q^{70} + 12q^{71} - 48q^{74} - 36q^{75} - 18q^{76} + 12q^{77} - 6q^{78} + 6q^{79} + 24q^{81} - 48q^{83} + 12q^{84} + 18q^{85} - 36q^{86} + 36q^{87} - 36q^{88} - 18q^{89} + 6q^{90} - 6q^{91} + 18q^{92} - 12q^{93} + 36q^{97} + 36q^{98} + 30q^{99} + O(q^{100}) \)

Character values

We give the values of \(\chi\) on generators for \(\left(\mathbb{Z}/74\mathbb{Z}\right)^\times\).

\(n\) \(39\)
\(\chi(n)\) \(\zeta_{36}^{2}\)

Embeddings

For each embedding \(\iota_m\) of the coefficient field, the values \(\iota_m(a_n)\) are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label \(\iota_m(\nu)\) \( a_{2} \) \( a_{3} \) \( a_{4} \) \( a_{5} \) \( a_{6} \) \( a_{7} \) \( a_{8} \) \( a_{9} \) \( a_{10} \)
3.1
−0.642788 + 0.766044i
0.642788 0.766044i
−0.342020 + 0.939693i
0.342020 0.939693i
−0.642788 0.766044i
0.642788 + 0.766044i
−0.984808 0.173648i
0.984808 + 0.173648i
−0.984808 + 0.173648i
0.984808 0.173648i
−0.342020 0.939693i
0.342020 + 0.939693i
−0.642788 + 0.766044i 1.43969 1.20805i −0.173648 0.984808i 0.273629 0.751790i 1.87939i −0.138449 0.0503913i 0.866025 + 0.500000i 0.0923963 0.524005i 0.400019 + 0.692853i
3.2 0.642788 0.766044i 1.43969 1.20805i −0.173648 0.984808i −1.45842 + 4.00698i 1.87939i −3.39364 1.23518i −0.866025 0.500000i 0.0923963 0.524005i 2.13207 + 3.69285i
21.1 −0.342020 + 0.939693i 0.326352 0.118782i −0.766044 0.642788i 2.57176 + 0.453471i 0.347296i −0.361075 + 2.04776i 0.866025 0.500000i −2.20574 + 1.85083i −1.30572 + 2.26157i
21.2 0.342020 0.939693i 0.326352 0.118782i −0.766044 0.642788i 0.839712 + 0.148064i 0.347296i 0.240460 1.36372i −0.866025 + 0.500000i −2.20574 + 1.85083i 0.426333 0.738430i
25.1 −0.642788 0.766044i 1.43969 + 1.20805i −0.173648 + 0.984808i 0.273629 + 0.751790i 1.87939i −0.138449 + 0.0503913i 0.866025 0.500000i 0.0923963 + 0.524005i 0.400019 0.692853i
25.2 0.642788 + 0.766044i 1.43969 + 1.20805i −0.173648 + 0.984808i −1.45842 4.00698i 1.87939i −3.39364 + 1.23518i −0.866025 + 0.500000i 0.0923963 + 0.524005i 2.13207 3.69285i
41.1 −0.984808 0.173648i −0.266044 1.50881i 0.939693 + 0.342020i −1.97937 2.35892i 1.53209i 0.153180 0.128533i −0.866025 0.500000i 0.613341 0.223238i 1.53967 + 2.66679i
41.2 0.984808 + 0.173648i −0.266044 1.50881i 0.939693 + 0.342020i −0.247315 0.294739i 1.53209i −2.50048 + 2.09815i 0.866025 + 0.500000i 0.613341 0.223238i −0.192377 0.333207i
65.1 −0.984808 + 0.173648i −0.266044 + 1.50881i 0.939693 0.342020i −1.97937 + 2.35892i 1.53209i 0.153180 + 0.128533i −0.866025 + 0.500000i 0.613341 + 0.223238i 1.53967 2.66679i
65.2 0.984808 0.173648i −0.266044 + 1.50881i 0.939693 0.342020i −0.247315 + 0.294739i 1.53209i −2.50048 2.09815i 0.866025 0.500000i 0.613341 + 0.223238i −0.192377 + 0.333207i
67.1 −0.342020 0.939693i 0.326352 + 0.118782i −0.766044 + 0.642788i 2.57176 0.453471i 0.347296i −0.361075 2.04776i 0.866025 + 0.500000i −2.20574 1.85083i −1.30572 2.26157i
67.2 0.342020 + 0.939693i 0.326352 + 0.118782i −0.766044 + 0.642788i 0.839712 0.148064i 0.347296i 0.240460 + 1.36372i −0.866025 0.500000i −2.20574 1.85083i 0.426333 + 0.738430i
\(n\): e.g. 2-40 or 990-1000
Embeddings: e.g. 1-3 or 67.2
Significant digits:
Format:

Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
37.h even 18 1 inner

Twists

       By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 74.2.h.a 12
3.b odd 2 1 666.2.bj.c 12
4.b odd 2 1 592.2.bq.b 12
37.h even 18 1 inner 74.2.h.a 12
37.i odd 36 1 2738.2.a.r 6
37.i odd 36 1 2738.2.a.s 6
111.n odd 18 1 666.2.bj.c 12
148.o odd 18 1 592.2.bq.b 12
    
        By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
74.2.h.a 12 1.a even 1 1 trivial
74.2.h.a 12 37.h even 18 1 inner
592.2.bq.b 12 4.b odd 2 1
592.2.bq.b 12 148.o odd 18 1
666.2.bj.c 12 3.b odd 2 1
666.2.bj.c 12 111.n odd 18 1
2738.2.a.r 6 37.i odd 36 1
2738.2.a.s 6 37.i odd 36 1

Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace \(S_{2}^{\mathrm{new}}(74, [\chi])\).

Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ \( 1 - T^{6} + T^{12} \)
$3$ \( ( 1 - 6 T + 12 T^{2} - 8 T^{3} + 6 T^{4} - 3 T^{5} + T^{6} )^{2} \)
$5$ \( 81 + 81 T^{2} - 810 T^{3} + 1701 T^{4} - 2268 T^{5} + 1476 T^{6} - 162 T^{7} + 36 T^{8} - 72 T^{9} + 9 T^{10} + T^{12} \)
$7$ \( 1 + 6 T - 21 T^{2} - 52 T^{3} + 1098 T^{4} + 990 T^{5} + 1164 T^{6} + 882 T^{7} + 504 T^{8} + 218 T^{9} + 66 T^{10} + 12 T^{11} + T^{12} \)
$11$ \( 408321 - 414072 T + 546426 T^{2} - 63396 T^{3} + 119151 T^{4} + 1458 T^{5} + 22680 T^{6} + 2322 T^{7} + 1431 T^{8} + 138 T^{9} + 63 T^{10} + 6 T^{11} + T^{12} \)
$13$ \( 288369 - 289980 T + 177255 T^{2} - 178128 T^{3} + 112788 T^{4} - 33174 T^{5} + 7530 T^{6} - 2880 T^{7} + 882 T^{8} - 174 T^{9} + 30 T^{10} - 6 T^{11} + T^{12} \)
$17$ \( 81 - 5832 T + 103356 T^{2} + 184518 T^{3} + 186624 T^{4} + 61560 T^{5} + 14355 T^{6} + 3240 T^{7} + 576 T^{8} + 234 T^{9} + 36 T^{10} + T^{12} \)
$19$ \( 10439361 + 1919214 T + 3360285 T^{2} + 1808244 T^{3} + 637794 T^{4} + 19440 T^{5} - 45180 T^{6} - 16146 T^{7} - 1827 T^{8} + 342 T^{9} + 135 T^{10} + 18 T^{11} + T^{12} \)
$23$ \( 431649 - 35478 T - 436590 T^{2} + 35964 T^{3} + 400869 T^{4} - 47952 T^{5} - 38916 T^{6} + 4482 T^{7} + 3303 T^{8} - 63 T^{10} + T^{12} \)
$29$ \( 110889 - 431568 T + 742689 T^{2} - 711504 T^{3} + 400707 T^{4} - 124578 T^{5} + 14112 T^{6} + 2592 T^{7} - 423 T^{8} - 324 T^{9} + 126 T^{10} - 18 T^{11} + T^{12} \)
$31$ \( 317445489 + 106546320 T^{2} + 12463938 T^{4} + 655566 T^{6} + 16929 T^{8} + 210 T^{10} + T^{12} \)
$37$ \( 2565726409 - 2080318710 T + 781525137 T^{2} - 194406214 T^{3} + 37579050 T^{4} - 6083910 T^{5} + 953241 T^{6} - 164430 T^{7} + 27450 T^{8} - 3838 T^{9} + 417 T^{10} - 30 T^{11} + T^{12} \)
$41$ \( 331776 + 1990656 T + 5142528 T^{2} - 691200 T^{3} + 2654208 T^{4} - 145152 T^{5} + 29376 T^{6} + 19008 T^{7} - 5184 T^{8} - 336 T^{9} + 216 T^{10} - 24 T^{11} + T^{12} \)
$43$ \( 2277081 + 14710302 T^{2} + 3015693 T^{4} + 238146 T^{6} + 8910 T^{8} + 156 T^{10} + T^{12} \)
$47$ \( 2027430729 + 571392630 T + 338937777 T^{2} + 3894210 T^{3} + 17956242 T^{4} - 328698 T^{5} + 656073 T^{6} - 35478 T^{7} + 13338 T^{8} - 498 T^{9} + 153 T^{10} - 6 T^{11} + T^{12} \)
$53$ \( 45041148441 + 51376820778 T + 20285966511 T^{2} + 2947900932 T^{3} + 304555950 T^{4} + 6328530 T^{5} - 1286712 T^{6} - 235818 T^{7} + 1188 T^{8} + 798 T^{9} + 162 T^{10} + 12 T^{11} + T^{12} \)
$59$ \( 17477104401 - 349803846 T - 8372727 T^{2} - 155749392 T^{3} + 17490168 T^{4} - 4378536 T^{5} - 31518 T^{6} + 89046 T^{7} + 9108 T^{8} + 1404 T^{9} + T^{12} \)
$61$ \( 331776 + 995328 T - 663552 T^{2} + 2488320 T^{3} + 18786816 T^{4} + 11425536 T^{5} + 3508992 T^{6} + 711936 T^{7} + 101664 T^{8} + 10368 T^{9} + 756 T^{10} + 36 T^{11} + T^{12} \)
$67$ \( 59697637561 + 64028404536 T + 26000383650 T^{2} + 4827632402 T^{3} + 525509181 T^{4} + 48777696 T^{5} + 5658987 T^{6} + 764046 T^{7} + 101016 T^{8} + 9578 T^{9} + 669 T^{10} + 30 T^{11} + T^{12} \)
$71$ \( 4131885551616 - 270463463424 T - 21649959936 T^{2} + 5570297856 T^{3} + 774779904 T^{4} - 23576832 T^{5} + 1615680 T^{6} + 162432 T^{7} - 30672 T^{8} - 528 T^{9} + 216 T^{10} - 12 T^{11} + T^{12} \)
$73$ \( ( 94609 - 115410 T + 28305 T^{2} + 322 T^{3} - 366 T^{4} + T^{6} )^{2} \)
$79$ \( 47961 - 90666 T + 107784 T^{2} - 95022 T^{3} + 71694 T^{4} - 44784 T^{5} + 21543 T^{6} - 7560 T^{7} + 1674 T^{8} - 174 T^{9} + 12 T^{10} - 6 T^{11} + T^{12} \)
$83$ \( 110889 - 18719262 T + 892811565 T^{2} + 201295908 T^{3} + 318723984 T^{4} + 9542124 T^{5} + 1072386 T^{6} + 295434 T^{7} + 68364 T^{8} + 10968 T^{9} + 1008 T^{10} + 48 T^{11} + T^{12} \)
$89$ \( 687331089 + 509658480 T + 325925694 T^{2} - 299077110 T^{3} + 122173353 T^{4} - 18528264 T^{5} + 1249155 T^{6} - 102870 T^{7} + 216 T^{8} + 306 T^{9} + 9 T^{10} + 18 T^{11} + T^{12} \)
$97$ \( 27455164416 - 41898553344 T + 28495328256 T^{2} - 10960137216 T^{3} + 2599135488 T^{4} - 384618240 T^{5} + 32966016 T^{6} - 1091520 T^{7} - 52272 T^{8} + 3456 T^{9} + 336 T^{10} - 36 T^{11} + T^{12} \)
show more
show less