# Properties

 Label 71.8.a.a Level $71$ Weight $8$ Character orbit 71.a Self dual yes Analytic conductor $22.179$ Analytic rank $1$ Dimension $17$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [71,8,Mod(1,71)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(71, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0]))

N = Newforms(chi, 8, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("71.1");

S:= CuspForms(chi, 8);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$71$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$8$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 71.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$22.1793368094$$ Analytic rank: $$1$$ Dimension: $$17$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{17} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{17} - x^{16} - 1541 x^{15} + 843 x^{14} + 955403 x^{13} - 21197 x^{12} - 306314257 x^{11} - 193726721 x^{10} + 54415399577 x^{9} + 78353550093 x^{8} + \cdots - 12\!\cdots\!00$$ x^17 - x^16 - 1541*x^15 + 843*x^14 + 955403*x^13 - 21197*x^12 - 306314257*x^11 - 193726721*x^10 + 54415399577*x^9 + 78353550093*x^8 - 5322977548063*x^7 - 12539030017071*x^6 + 261484391866393*x^5 + 881601559550273*x^4 - 4538991111669515*x^3 - 22444897329077083*x^2 - 30087511060852350*x - 12214728939560000 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: multiple of $$2^{14}\cdot 3$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{16}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + (\beta_1 - 1) q^{2} + (\beta_{4} - 4) q^{3} + (\beta_{2} - \beta_1 + 54) q^{4} + ( - \beta_{4} - \beta_{3} - 4 \beta_1 - 25) q^{5} + (\beta_{6} + \beta_{3} - \beta_{2} - 8 \beta_1 - 78) q^{6} + (\beta_{9} - \beta_{6} - 3 \beta_{4} + \beta_{3} - 3 \beta_{2} - 7 \beta_1 - 100) q^{7} + (\beta_{13} - 2 \beta_{9} - 2 \beta_{6} - 9 \beta_{4} + \beta_{3} - 4 \beta_{2} + 42 \beta_1 - 181) q^{8} + (\beta_{15} - 2 \beta_{13} - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{6} - 9 \beta_{4} + 3 \beta_{3} - 4 \beta_{2} + \cdots + 483) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (b1 - 1) * q^2 + (b4 - 4) * q^3 + (b2 - b1 + 54) * q^4 + (-b4 - b3 - 4*b1 - 25) * q^5 + (b6 + b3 - b2 - 8*b1 - 78) * q^6 + (b9 - b6 - 3*b4 + b3 - 3*b2 - 7*b1 - 100) * q^7 + (b13 - 2*b9 - 2*b6 - 9*b4 + b3 - 4*b2 + 42*b1 - 181) * q^8 + (b15 - 2*b13 - b9 + b8 - b6 - 9*b4 + 3*b3 - 4*b2 + 22*b1 + 483) * q^9 $$q + (\beta_1 - 1) q^{2} + (\beta_{4} - 4) q^{3} + (\beta_{2} - \beta_1 + 54) q^{4} + ( - \beta_{4} - \beta_{3} - 4 \beta_1 - 25) q^{5} + (\beta_{6} + \beta_{3} - \beta_{2} - 8 \beta_1 - 78) q^{6} + (\beta_{9} - \beta_{6} - 3 \beta_{4} + \beta_{3} - 3 \beta_{2} - 7 \beta_1 - 100) q^{7} + (\beta_{13} - 2 \beta_{9} - 2 \beta_{6} - 9 \beta_{4} + \beta_{3} - 4 \beta_{2} + 42 \beta_1 - 181) q^{8} + (\beta_{15} - 2 \beta_{13} - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{6} - 9 \beta_{4} + 3 \beta_{3} - 4 \beta_{2} + \cdots + 483) q^{9}+ \cdots + ( - 1489 \beta_{16} - 3703 \beta_{15} - 1676 \beta_{14} + \cdots - 2332557) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (b1 - 1) * q^2 + (b4 - 4) * q^3 + (b2 - b1 + 54) * q^4 + (-b4 - b3 - 4*b1 - 25) * q^5 + (b6 + b3 - b2 - 8*b1 - 78) * q^6 + (b9 - b6 - 3*b4 + b3 - 3*b2 - 7*b1 - 100) * q^7 + (b13 - 2*b9 - 2*b6 - 9*b4 + b3 - 4*b2 + 42*b1 - 181) * q^8 + (b15 - 2*b13 - b9 + b8 - b6 - 9*b4 + 3*b3 - 4*b2 + 22*b1 + 483) * q^9 + (-2*b15 + b14 - b13 - b12 - 2*b8 - b6 - 37*b4 + 2*b3 - 9*b2 - 11*b1 - 562) * q^10 + (-3*b15 - 3*b14 - b13 + 3*b12 + b10 + 3*b9 - 2*b8 + b6 - b5 - 29*b4 + 3*b3 - 7*b2 - 46*b1 - 443) * q^11 + (5*b15 + 3*b13 - b11 - 3*b10 + 2*b9 + b8 + b7 - 2*b6 + 3*b5 + 4*b4 - b3 - 12*b2 - 225*b1 - 747) * q^12 + (-b16 - b15 + 2*b14 + 5*b13 - 3*b12 + 4*b11 - 2*b10 - 5*b9 + 3*b8 - 4*b7 + 12*b6 + b5 - 20*b4 - 5*b3 + 3*b2 - 177*b1 - 1000) * q^13 + (4*b16 + 6*b15 + 5*b14 - b12 - b11 + 9*b10 + 5*b9 + 5*b8 + 2*b7 + 6*b6 - 5*b5 - 31*b4 - 11*b3 - b2 - 408*b1 - 884) * q^14 + (-b16 + 9*b15 + 7*b14 + 9*b13 - 8*b12 - 11*b11 + 4*b10 - 3*b9 + 8*b8 + 6*b7 - 4*b6 - 4*b5 - 84*b4 - 7*b3 + 19*b2 - 526*b1 - 1785) * q^15 + (-10*b16 - 14*b15 - 18*b14 - 11*b13 + 9*b12 + 6*b11 - 9*b10 + 14*b9 + 2*b8 - b7 + 9*b6 - 6*b5 - 40*b4 - 16*b3 + 33*b2 - 484*b1 + 1752) * q^16 + (4*b16 - 5*b15 - 2*b14 + 3*b13 + b12 + 7*b11 - 8*b10 - 10*b9 - 21*b8 + 2*b7 + 4*b6 + 16*b5 - 46*b4 + 3*b3 + 15*b2 - 442*b1 - 3219) * q^17 + (2*b16 - 20*b15 - 8*b14 - 28*b13 + 13*b12 + 9*b11 + 4*b10 + 9*b9 - 19*b8 - 23*b7 + 11*b6 + 11*b5 - 2*b4 - 16*b3 + 43*b2 - 46*b1 + 4266) * q^18 + (15*b16 + 4*b15 + 24*b14 + 3*b13 + 8*b12 - 7*b11 - 6*b10 - 11*b9 - 36*b8 + 9*b7 - 19*b6 + 7*b5 - 19*b4 + 12*b3 - 27*b2 - 526*b1 - 3321) * q^19 + (4*b16 + 14*b15 + b14 - 13*b13 - 10*b12 - 15*b11 + 3*b9 + 43*b8 + b7 - 31*b6 - 7*b5 + 131*b4 - 17*b3 + 78*b2 - 864*b1 + 5222) * q^20 + (-4*b16 - 14*b15 - 23*b14 + 13*b13 - 8*b12 + 4*b11 + 10*b10 - 22*b9 + 3*b8 + 12*b7 - 7*b6 - 28*b5 - 80*b4 + 3*b3 + 113*b2 - 236*b1 - 5452) * q^21 + (-10*b16 + 49*b15 - 10*b14 + 11*b13 - 18*b12 - 17*b11 + 33*b10 - 16*b9 + 55*b8 + 19*b7 - 48*b6 - 11*b5 + 168*b4 - 25*b3 + 95*b2 - 774*b1 - 4993) * q^22 + (-61*b16 - 15*b15 + 20*b14 + 8*b13 - 21*b12 + 23*b11 - 30*b10 - 25*b9 + 19*b8 - 21*b7 + 45*b6 - 4*b5 - 7*b4 + 55*b3 + 128*b2 - 191*b1 - 3355) * q^23 + (-2*b16 - 36*b15 + 56*b14 + 31*b13 + 11*b12 + 46*b11 - 13*b10 + 16*b9 - 30*b8 + 13*b7 - 19*b6 - 2*b5 + 86*b4 - 32*b3 - 177*b2 - 1062*b1 - 29206) * q^24 + (49*b16 + 75*b15 + 3*b14 + 10*b13 + 3*b12 - 54*b11 + 61*b10 - 20*b9 + 66*b8 - 11*b7 - 21*b6 + 14*b5 + 680*b4 + 104*b3 + 89*b2 + 13*b1 - 4235) * q^25 + (32*b16 + 34*b15 - 26*b14 + 14*b13 - 6*b12 - 32*b11 - 68*b10 + 42*b9 - 74*b8 + 2*b7 - 76*b6 + 18*b5 + 990*b4 + 26*b3 - 273*b2 - 1375*b1 - 28120) * q^26 + (66*b16 - 63*b15 - 84*b14 - 9*b13 + 36*b12 + 36*b11 + 9*b10 + 6*b9 + 15*b8 - 36*b7 + 63*b6 + 6*b5 + 682*b4 + 81*b3 + 69*b2 + 957*b1 - 18580) * q^27 + (62*b16 + 62*b15 + 52*b14 + 5*b13 + 17*b12 - 36*b11 + 51*b10 + 24*b9 - 116*b8 + 17*b7 - 37*b6 + 48*b5 + 660*b4 + 16*b3 - 471*b2 - 528*b1 - 57870) * q^28 + (-104*b16 - 71*b15 + 47*b14 - 55*b13 + 18*b12 + 17*b11 - 65*b10 + 96*b9 + 22*b8 - 47*b7 + 134*b6 + 22*b5 - 45*b4 + 210*b3 + 6*b2 - 93*b1 - 22201) * q^29 + (-118*b16 - 185*b15 - 26*b14 + 45*b13 + 49*b12 + 113*b11 - 122*b10 + 70*b9 - 137*b8 + 32*b7 + 32*b6 - 13*b5 - 429*b4 - 107*b3 - 453*b2 - 237*b1 - 89455) * q^30 + (-23*b16 + 38*b15 - 148*b14 - 39*b13 - b12 + 23*b11 + 61*b10 - 49*b9 + 134*b8 + 29*b7 + 139*b6 + b5 + 152*b4 + 76*b3 + 276*b2 + 2056*b1 - 37637) * q^31 + (-24*b16 + 22*b15 - 42*b14 - 83*b13 - 108*b12 - 64*b11 + 98*b10 - 4*b9 + 4*b8 - 36*b7 + 112*b6 - 36*b5 + 9*b4 - 43*b3 - 66*b2 + 1482*b1 - 62979) * q^32 + (3*b16 - 68*b15 + 93*b14 - 31*b13 + 51*b12 - 58*b11 + 15*b10 + 159*b9 - 111*b8 + 88*b7 - 62*b6 - 141*b5 - 1412*b4 - 14*b3 - 295*b2 + 1288*b1 - 69273) * q^33 + (30*b16 + 111*b15 + 133*b14 + 103*b13 - 34*b12 - 82*b11 - 53*b10 - 161*b9 + 316*b8 + 64*b7 - 107*b6 - 4*b5 + 672*b4 - 241*b3 - 362*b2 + 333*b1 - 70452) * q^34 + (88*b16 + 74*b15 - 29*b14 - 114*b13 - 33*b12 + 86*b11 + 6*b10 - 55*b9 - 77*b8 - 24*b7 + 191*b6 + 20*b5 + 4*b4 + 58*b3 + 87*b2 + 5001*b1 - 42063) * q^35 + (154*b16 + 147*b15 - 31*b14 + 9*b13 - 181*b12 - 142*b11 + 338*b10 - 243*b9 + 166*b8 - 111*b7 - 74*b6 + 10*b5 - 365*b4 - 404*b3 + 347*b2 + 7741*b1 - 74377) * q^36 + (-89*b16 - 53*b15 - 22*b14 - 78*b13 + 131*b12 - 54*b11 - 123*b10 + 116*b9 - 327*b8 + 60*b7 - 37*b6 - 182*b5 - 1754*b4 - 97*b3 - 357*b2 + 6802*b1 - 70866) * q^37 + (76*b16 + 112*b15 + 284*b14 + 213*b13 - 7*b12 + 65*b11 - 200*b10 - 131*b9 + 487*b8 + 171*b7 - 211*b6 + 121*b5 + 797*b4 - 117*b3 - 346*b2 - 3312*b1 - 89188) * q^38 + (35*b16 + 85*b15 + 115*b14 - 25*b13 - 77*b12 + 81*b11 + 79*b10 - 240*b9 - 136*b8 - 308*b7 - 36*b6 + 281*b5 - 1944*b4 - 306*b3 + 768*b2 + 15777*b1 - 28055) * q^39 + (-66*b16 - 340*b15 - 142*b14 - 120*b13 + 233*b12 + 312*b11 - 123*b10 - 148*b9 - 592*b8 - 263*b7 + 471*b6 + 60*b5 + 31*b4 - 261*b3 - 667*b2 + 13044*b1 - 111503) * q^40 + (204*b16 + 348*b15 + 52*b14 + 168*b13 - 53*b12 - 163*b11 + 64*b10 + 192*b9 + 114*b8 + 243*b7 - 536*b6 + 151*b5 - 1170*b4 + 280*b3 + 374*b2 + 696*b1 - 95366) * q^41 + (-332*b16 - 239*b15 - 436*b14 + 122*b13 + 74*b12 - 59*b11 - 187*b10 + 18*b9 + 169*b8 - 65*b7 - 354*b6 - 173*b5 - 1595*b4 - 408*b3 + 1089*b2 + 7908*b1 - 39966) * q^42 + (-217*b16 - 26*b15 + 22*b14 + 162*b13 - 14*b12 + 217*b11 - 246*b10 - 129*b9 + 380*b8 + 216*b7 - 106*b6 + 27*b5 - 3571*b4 - 223*b3 + 794*b2 + 5549*b1 - 91098) * q^43 + (-358*b16 - 434*b15 - 12*b14 - 268*b13 + 55*b12 + 276*b11 + 149*b10 + 218*b9 - 600*b8 - 245*b7 + 691*b6 - 32*b5 - 2577*b4 + 505*b3 + 325*b2 + 6912*b1 - 105759) * q^44 + (-72*b16 - 34*b15 + 48*b14 + 313*b13 + 69*b12 - 47*b11 - 27*b10 + 417*b9 + 90*b8 + 221*b7 - 782*b6 + 99*b5 - 4921*b4 - 26*b3 + 869*b2 + 3073*b1 - 121782) * q^45 + (64*b16 + 145*b15 - 669*b14 + 47*b12 - 276*b11 - 18*b10 - 95*b9 - 76*b8 - 97*b7 - 78*b6 - 96*b5 + 3448*b4 + 153*b3 + 465*b2 + 4969*b1 - 39850) * q^46 + (616*b16 + 177*b15 - 119*b14 - 108*b13 - 102*b12 - 422*b11 + 108*b10 + 398*b9 + 486*b8 + 287*b7 - 434*b6 - 430*b5 + 71*b4 + 495*b3 + 1059*b2 - 3486*b1 + 21342) * q^47 + (952*b16 + 742*b15 + 542*b14 + 9*b13 - 160*b12 - 864*b11 + 686*b10 + 364*b9 + 204*b8 + 560*b7 - 1004*b6 - 404*b5 + 1177*b4 + 309*b3 - 698*b2 - 17410*b1 - 61667) * q^48 + (-56*b16 - 173*b15 + 245*b14 - 91*b13 - 250*b12 - 193*b11 + 158*b10 - 92*b9 + 248*b8 - 378*b7 + 226*b6 + 8*b5 - 3041*b4 + 148*b3 + 879*b2 + 13914*b1 - 49401) * q^49 + (-362*b16 - 618*b15 - 227*b14 - 423*b13 + 563*b12 + 891*b11 - 79*b10 + 381*b9 - 1217*b8 - 236*b7 + 1349*b6 + 269*b5 + 2748*b4 + 1605*b3 - 387*b2 - 3276*b1 - 68810) * q^50 + (-847*b16 - 135*b15 + 532*b14 + 83*b13 - 302*b12 + 335*b11 - 491*b10 - 118*b9 - 501*b8 - 328*b7 + 106*b6 + 569*b5 - 7715*b4 - 373*b3 + 906*b2 + 8931*b1 - 89156) * q^51 + (-320*b16 - 856*b15 + 702*b14 + 43*b13 + 114*b12 + 678*b11 - 574*b10 + 8*b9 + 1042*b8 + 392*b7 + 1510*b6 - 354*b5 + 1439*b4 + 617*b3 - 1612*b2 - 32408*b1 - 154111) * q^52 + (715*b16 + 916*b15 + 171*b14 - 407*b13 - 424*b12 - 847*b11 + 1525*b10 + 179*b9 + 313*b8 - 131*b7 - 18*b6 - 300*b5 + 1352*b4 + 1072*b3 + 1553*b2 + 4964*b1 + 56401) * q^53 + (180*b16 + 741*b15 + 12*b14 + 123*b13 - 234*b12 - 216*b11 - 270*b10 - 633*b9 - 264*b8 - 147*b7 - 494*b6 + 150*b5 + 7323*b4 - 32*b3 + 56*b2 - 10565*b1 + 138042) * q^54 + (-133*b16 - 684*b15 - 285*b14 - 314*b13 + 205*b12 + 1095*b11 - 500*b10 - 1017*b9 - 1299*b8 - 660*b7 + 1705*b6 + 510*b5 + 1500*b4 - 746*b3 - 1963*b2 + 25687*b1 - 170065) * q^55 + (-296*b16 - 62*b15 + 466*b14 + 7*b13 + 144*b12 + 296*b11 - 614*b10 + 396*b9 + 1196*b8 + 280*b7 + 820*b6 + 772*b5 + 9247*b4 + 2227*b3 - 574*b2 - 55558*b1 + 54499) * q^56 + (-892*b16 - 1402*b15 - 1205*b14 - 208*b13 + 640*b12 + 685*b11 - 695*b10 + 391*b9 - 629*b8 - 444*b7 + 425*b6 - 79*b5 - 4125*b4 - 1043*b3 + 672*b2 + 14190*b1 - 13005) * q^57 + (782*b16 + 1836*b15 - 161*b14 + 251*b13 - 520*b12 - 785*b11 + 774*b10 - 1063*b9 + 21*b8 + 365*b7 - 564*b6 + 151*b5 + 13769*b4 - 198*b3 - 1848*b2 - 28077*b1 + 3444) * q^58 + (430*b16 + 615*b15 - 189*b14 + 364*b13 - 448*b12 - 708*b11 + 124*b10 - 1051*b9 + 818*b8 + 19*b7 - 435*b6 - 852*b5 + 6244*b4 - 960*b3 + 166*b2 + 1351*b1 + 113982) * q^59 + (792*b16 + 1311*b15 - 648*b14 + 155*b13 - 126*b12 - 779*b11 + 141*b10 + 62*b9 + 1807*b8 + 689*b7 - 1180*b6 - 411*b5 + 12868*b4 - 411*b3 + 521*b2 - 55634*b1 + 366517) * q^60 + (-32*b16 - 603*b15 - 840*b14 + 957*b13 + 236*b12 + 32*b11 - 690*b10 + 68*b9 + 661*b8 + 639*b7 - 926*b6 + 85*b5 + 3476*b4 - 1635*b3 - 4197*b2 - 15796*b1 - 431241) * q^61 + (-850*b16 - 791*b15 - 1209*b14 - 785*b13 + 752*b12 - 170*b11 + 551*b10 + 569*b9 - 2010*b8 - 894*b7 + 423*b6 + 178*b5 + 6232*b4 + 1417*b3 + 1531*b2 - 16880*b1 + 390484) * q^62 + (-760*b16 - 533*b15 + 1792*b14 + 397*b13 + 874*b12 + 682*b11 - 1715*b10 + 308*b9 - 591*b8 + 1134*b7 - 1552*b6 + 71*b5 - 11747*b4 - 3135*b3 - 5230*b2 - 27443*b1 - 86986) * q^63 + (-50*b16 + 250*b15 + 1042*b14 - 155*b13 - 1287*b12 - 238*b11 + 1407*b10 - 1062*b9 + 486*b8 - 1157*b7 + 1269*b6 + 446*b5 + 4104*b4 - 1016*b3 - 1315*b2 - 22328*b1 + 112004) * q^64 + (-557*b16 - 1242*b15 - 677*b14 + 681*b13 + 1172*b12 + 557*b11 - 248*b10 + 1181*b9 - 743*b8 + 466*b7 - 309*b6 - 1273*b5 + 3110*b4 + 221*b3 - 3461*b2 - 9457*b1 - 112577) * q^65 + (356*b16 + 1542*b15 + 1069*b14 + 1622*b13 - 785*b12 - 541*b11 + 121*b10 - 115*b9 + 2211*b8 + 1310*b7 - 3650*b6 + 125*b5 - 1037*b4 - 2311*b3 + 1722*b2 - 82053*b1 + 415654) * q^66 + (192*b16 + 360*b15 + 851*b14 - 946*b13 - 587*b12 - 1566*b11 + 2490*b10 - 541*b9 + 901*b8 - 698*b7 + 437*b6 - 696*b5 - 8456*b4 - 3062*b3 - 1329*b2 + 28151*b1 + 100847) * q^67 + (-606*b16 - 2646*b15 + 432*b14 - 1486*b13 + 1091*b12 + 740*b11 - 1975*b10 + 2890*b9 - 4944*b8 - 269*b7 + 991*b6 - 768*b5 + 621*b4 + 1827*b3 - 5533*b2 - 74442*b1 + 502987) * q^68 + (3637*b16 + 1056*b15 + 134*b14 + 530*b13 + 14*b12 + 813*b11 + 1985*b10 - 1597*b9 - 1408*b8 - 697*b7 - 1163*b6 + 2350*b5 + 7054*b4 - 1987*b3 - 2736*b2 + 45036*b1 + 1849) * q^69 + (980*b16 + 207*b15 + 1038*b14 - 96*b13 + 189*b12 - 247*b11 - 352*b10 + 310*b9 + 941*b8 - 1494*b7 - 1147*b6 + 1239*b5 + 16428*b4 - 53*b3 - 1219*b2 - 34479*b1 + 967373) * q^70 + 357911 * q^71 + (-2592*b16 - 2046*b15 - 1812*b14 - 1204*b13 - 510*b12 + 850*b11 - 624*b10 + 1712*b9 - 806*b8 + 560*b7 + 1738*b6 - 1878*b5 - 28400*b4 - 730*b3 + 6792*b2 - 56928*b1 + 926842) * q^72 + (-1721*b16 + 74*b15 - 2148*b14 - 537*b13 - 1672*b12 + 774*b11 + 1442*b10 + 251*b9 - 638*b8 + 801*b7 + 1751*b6 - 994*b5 - 13188*b4 - 429*b3 + 249*b2 + 32533*b1 - 311823) * q^73 + (-1316*b16 - 332*b15 + 148*b14 + 2479*b13 - 1288*b12 + 1003*b11 - 561*b10 - 2083*b9 + 6525*b8 + 522*b7 - 1494*b6 - 129*b5 - 2452*b4 + 452*b3 + 15520*b2 - 73379*b1 + 1478723) * q^74 + (-292*b16 + 1499*b15 - 1196*b14 - 1983*b13 + 613*b12 + 180*b11 - 650*b10 - 274*b9 + 2157*b8 - 1658*b7 + 2581*b6 + 686*b5 + 2842*b4 - 166*b3 + 7518*b2 + 56001*b1 + 1628835) * q^75 + (1688*b16 - 861*b15 + 541*b14 + 249*b13 + 874*b12 + 364*b11 - 2535*b10 + 3519*b9 - 7784*b8 + 578*b7 - 291*b6 + 1388*b5 + 4396*b4 + 1901*b3 - 16743*b2 - 77654*b1 - 143798) * q^76 + (1361*b16 + 636*b15 - 244*b14 + 470*b13 + 588*b12 - 1361*b11 - 1423*b10 - 132*b9 + 1166*b8 + 65*b7 - 772*b6 + 1346*b5 + 21213*b4 + 6836*b3 + 441*b2 + 12657*b1 + 823685) * q^77 + (1258*b16 - 245*b15 - 1174*b14 - 3841*b13 + 110*b12 + 151*b11 + 2141*b10 - 582*b9 + 1297*b8 - 1715*b7 + 68*b6 - 437*b5 - 22856*b4 + 179*b3 + 19150*b2 + 51935*b1 + 3019029) * q^78 + (-67*b16 + 1849*b15 + 2788*b14 + 871*b13 - 56*b12 - 2151*b11 - 1974*b10 - 90*b9 + 1273*b8 + 3649*b7 - 3615*b6 - 1750*b5 - 10718*b4 - 141*b3 - 10722*b2 + 7244*b1 - 26653) * q^79 + (882*b16 + 3776*b15 - 1728*b14 + 1580*b13 - 1401*b12 - 1410*b11 + 1395*b10 - 2330*b9 + 4750*b8 - 19*b7 + 483*b6 + 1038*b5 + 17093*b4 + 5565*b3 + 14517*b2 - 45386*b1 + 1966725) * q^80 + (-3033*b16 - 1097*b15 + 2241*b14 - 38*b13 + 729*b12 + 225*b11 - 3195*b10 + 3599*b9 - 2276*b8 - 1323*b7 + 3788*b6 - 747*b5 - 17199*b4 + 3792*b3 - 3316*b2 + 46255*b1 + 594123) * q^81 + (132*b16 - 1657*b15 + 4826*b14 + 2410*b13 + 1891*b12 + 2241*b11 + 614*b10 + 806*b9 - 2227*b8 + 1408*b7 + 1613*b6 - 581*b5 - 25328*b4 - 859*b3 - 7335*b2 - 34959*b1 + 224389) * q^82 + (-646*b16 + 5256*b15 + 3416*b14 + 188*b13 - 2204*b12 - 1483*b11 + 3090*b10 - 4228*b9 + 4144*b8 + 300*b7 + 1404*b6 + 1943*b5 - 6892*b4 + 3288*b3 + 12014*b2 + 62441*b1 + 1075405) * q^83 + (-5044*b16 - 4372*b15 - 3158*b14 - 1899*b13 + 82*b12 + 2046*b11 - 1442*b10 - 2344*b9 - 750*b8 - 2396*b7 + 4778*b6 - 646*b5 - 59071*b4 - 177*b3 + 17198*b2 + 133282*b1 + 2219423) * q^84 + (-754*b16 - 2846*b15 - 3062*b14 - 1692*b13 + 2975*b12 + 1753*b11 - 1227*b10 + 3306*b9 - 848*b8 + 1292*b7 + 1103*b6 - 318*b5 + 11694*b4 + 8555*b3 - 9400*b2 + 132157*b1 - 218278) * q^85 + (1858*b16 - 369*b15 + 326*b14 + 1394*b13 + 1503*b12 - 2790*b11 - 559*b10 + 345*b9 - 8072*b8 + 1052*b7 - 7636*b6 + 90*b5 - 19187*b4 + 653*b3 - 224*b2 + 7857*b1 + 1347184) * q^86 + (7725*b16 + 1838*b15 - 3828*b14 - 2024*b13 + 6*b12 - 1262*b11 + 6435*b10 - 4020*b9 - 2880*b8 - 1201*b7 + 5262*b6 + 1179*b5 - 4027*b4 - 420*b3 + 6021*b2 + 205404*b1 + 310416) * q^87 + (3318*b16 + 5244*b15 - 2632*b14 - 1312*b13 - 699*b12 - 5370*b11 + 3821*b10 + 1194*b9 + 7830*b8 - 1341*b7 - 1895*b6 - 474*b5 + 25247*b4 - 1237*b3 + 5851*b2 + 40314*b1 + 2222267) * q^88 + (-689*b16 - 3009*b15 - 974*b14 + 3867*b13 - 1493*b12 + 4576*b11 - 3464*b10 - 4956*b9 + 443*b8 - 1014*b7 + 2929*b6 - 1083*b5 + 31058*b4 + 1464*b3 + 48*b2 + 142034*b1 - 470862) * q^89 + (1090*b16 + 2722*b15 + 3158*b14 + 3709*b13 - 16*b12 - 1534*b11 + 4346*b10 - 1444*b9 - 538*b8 + 4710*b7 - 5636*b6 - 3788*b5 - 66721*b4 - 3415*b3 + 5658*b2 + 31431*b1 + 939154) * q^90 + (-3607*b16 + 543*b15 - 4507*b14 + 482*b13 - 3649*b12 - 2384*b11 + 920*b10 + 820*b9 + 2210*b8 - 316*b7 - 977*b6 - 902*b5 - 10390*b4 - 5178*b3 + 564*b2 + 159776*b1 - 1311789) * q^91 + (-1230*b16 - 8448*b15 - 7052*b14 - 1057*b13 + 2833*b12 + 5370*b11 + 221*b10 - 1452*b9 + 1878*b8 - 1217*b7 + 9755*b6 - 1606*b5 - 14120*b4 - 3402*b3 + 10423*b2 + 36676*b1 + 1073348) * q^92 + (652*b16 + 3377*b15 + 6671*b14 - 1456*b13 - 1159*b12 - 1807*b11 - 241*b10 + 3034*b9 + 2052*b8 - 15*b7 - 1868*b6 + 2563*b5 - 3996*b4 + 4827*b3 - 5048*b2 + 82619*b1 + 187881) * q^93 + (-1836*b16 - 7004*b15 + 5564*b14 + 4438*b13 + 643*b12 + 6900*b11 - 7947*b10 - 3862*b9 - 8872*b8 - 2009*b7 - 3379*b6 + 2536*b5 - 19719*b4 - 11157*b3 - 25136*b2 + 153581*b1 - 875757) * q^94 + (-564*b16 - 2106*b15 + 3650*b14 + 22*b13 + 2509*b12 + 1720*b11 - 90*b10 - 123*b9 - 4130*b8 - 2231*b7 + 230*b6 + 1877*b5 + 19373*b4 + 1050*b3 - 9752*b2 + 132832*b1 - 716674) * q^95 + (-1250*b16 - 2222*b15 + 2378*b14 - 1347*b13 + 1841*b12 + 2946*b11 - 3889*b10 + 3826*b9 - 2010*b8 - 445*b7 + 3077*b6 + 4126*b5 - 42240*b4 - 3320*b3 - 17283*b2 + 5064*b1 + 362156) * q^96 + (-2022*b16 - 4598*b15 + 5282*b14 - 1754*b13 - 56*b12 - 520*b11 - 2207*b10 + 5872*b9 - 610*b8 - 1341*b7 - 351*b6 + 1597*b5 + 25870*b4 + 3297*b3 - 23108*b2 + 103245*b1 - 2431992) * q^97 + (-754*b16 - 1058*b15 - 4532*b14 - 4533*b13 - 1018*b12 + 1226*b11 - 1248*b10 - 2136*b9 - 3750*b8 - 1814*b7 - 1866*b6 - 162*b5 + 485*b4 - 12153*b3 + 19026*b2 + 3645*b1 + 2702704) * q^98 + (-1489*b16 - 3703*b15 - 1676*b14 + 3052*b13 - 365*b12 - 529*b11 - 3752*b10 + 2334*b9 + 719*b8 + 5249*b7 - 4306*b6 - 6280*b5 - 38986*b4 - 11080*b3 - 6803*b2 + 27314*b1 - 2332557) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$17 q - 16 q^{2} - 68 q^{3} + 922 q^{4} - 430 q^{5} - 1338 q^{6} - 1716 q^{7} - 3072 q^{8} + 8213 q^{9}+O(q^{10})$$ 17 * q - 16 * q^2 - 68 * q^3 + 922 * q^4 - 430 * q^5 - 1338 * q^6 - 1716 * q^7 - 3072 * q^8 + 8213 * q^9 $$17 q - 16 q^{2} - 68 q^{3} + 922 q^{4} - 430 q^{5} - 1338 q^{6} - 1716 q^{7} - 3072 q^{8} + 8213 q^{9} - 9570 q^{10} - 7550 q^{11} - 13056 q^{12} - 17280 q^{13} - 15424 q^{14} - 30888 q^{15} + 29570 q^{16} - 55074 q^{17} + 73126 q^{18} - 56892 q^{19} + 88130 q^{20} - 92448 q^{21} - 85846 q^{22} - 57160 q^{23} - 498342 q^{24} - 71917 q^{25} - 480634 q^{26} - 314144 q^{27} - 985666 q^{28} - 376658 q^{29} - 1522556 q^{30} - 637476 q^{31} - 1068472 q^{32} - 1174712 q^{33} - 1203182 q^{34} - 709332 q^{35} - 1256228 q^{36} - 1196566 q^{37} - 1527840 q^{38} - 459060 q^{39} - 1882854 q^{40} - 1620042 q^{41} - 668930 q^{42} - 1545900 q^{43} - 1780746 q^{44} - 2063266 q^{45} - 671136 q^{46} + 368904 q^{47} - 1061128 q^{48} - 819883 q^{49} - 1162972 q^{50} - 1506564 q^{51} - 2664124 q^{52} + 981948 q^{53} + 2327754 q^{54} - 2876060 q^{55} + 860808 q^{56} - 198764 q^{57} + 9294 q^{58} + 1926882 q^{59} + 6162558 q^{60} - 7380164 q^{61} + 6654604 q^{62} - 1537800 q^{63} + 1872562 q^{64} - 1930344 q^{65} + 6960222 q^{66} + 1751278 q^{67} + 8513370 q^{68} + 61872 q^{69} + 16399994 q^{70} + 6084487 q^{71} + 15756240 q^{72} - 5262378 q^{73} + 25065924 q^{74} + 27761760 q^{75} - 2543420 q^{76} + 14009908 q^{77} + 51501736 q^{78} - 514148 q^{79} + 33396230 q^{80} + 10150673 q^{81} + 3758798 q^{82} + 18344544 q^{83} + 37949200 q^{84} - 3579476 q^{85} + 22970870 q^{86} + 5561252 q^{87} + 37822842 q^{88} - 7940378 q^{89} + 16018678 q^{90} - 22163400 q^{91} + 18345450 q^{92} + 3264208 q^{93} - 14891844 q^{94} - 12067280 q^{95} + 6093538 q^{96} - 41277242 q^{97} + 46061976 q^{98} - 39665842 q^{99}+O(q^{100})$$ 17 * q - 16 * q^2 - 68 * q^3 + 922 * q^4 - 430 * q^5 - 1338 * q^6 - 1716 * q^7 - 3072 * q^8 + 8213 * q^9 - 9570 * q^10 - 7550 * q^11 - 13056 * q^12 - 17280 * q^13 - 15424 * q^14 - 30888 * q^15 + 29570 * q^16 - 55074 * q^17 + 73126 * q^18 - 56892 * q^19 + 88130 * q^20 - 92448 * q^21 - 85846 * q^22 - 57160 * q^23 - 498342 * q^24 - 71917 * q^25 - 480634 * q^26 - 314144 * q^27 - 985666 * q^28 - 376658 * q^29 - 1522556 * q^30 - 637476 * q^31 - 1068472 * q^32 - 1174712 * q^33 - 1203182 * q^34 - 709332 * q^35 - 1256228 * q^36 - 1196566 * q^37 - 1527840 * q^38 - 459060 * q^39 - 1882854 * q^40 - 1620042 * q^41 - 668930 * q^42 - 1545900 * q^43 - 1780746 * q^44 - 2063266 * q^45 - 671136 * q^46 + 368904 * q^47 - 1061128 * q^48 - 819883 * q^49 - 1162972 * q^50 - 1506564 * q^51 - 2664124 * q^52 + 981948 * q^53 + 2327754 * q^54 - 2876060 * q^55 + 860808 * q^56 - 198764 * q^57 + 9294 * q^58 + 1926882 * q^59 + 6162558 * q^60 - 7380164 * q^61 + 6654604 * q^62 - 1537800 * q^63 + 1872562 * q^64 - 1930344 * q^65 + 6960222 * q^66 + 1751278 * q^67 + 8513370 * q^68 + 61872 * q^69 + 16399994 * q^70 + 6084487 * q^71 + 15756240 * q^72 - 5262378 * q^73 + 25065924 * q^74 + 27761760 * q^75 - 2543420 * q^76 + 14009908 * q^77 + 51501736 * q^78 - 514148 * q^79 + 33396230 * q^80 + 10150673 * q^81 + 3758798 * q^82 + 18344544 * q^83 + 37949200 * q^84 - 3579476 * q^85 + 22970870 * q^86 + 5561252 * q^87 + 37822842 * q^88 - 7940378 * q^89 + 16018678 * q^90 - 22163400 * q^91 + 18345450 * q^92 + 3264208 * q^93 - 14891844 * q^94 - 12067280 * q^95 + 6093538 * q^96 - 41277242 * q^97 + 46061976 * q^98 - 39665842 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{17} - x^{16} - 1541 x^{15} + 843 x^{14} + 955403 x^{13} - 21197 x^{12} - 306314257 x^{11} - 193726721 x^{10} + 54415399577 x^{9} + 78353550093 x^{8} + \cdots - 12\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$\nu^{2} - \nu - 181$$ v^2 - v - 181 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 61\!\cdots\!97 \nu^{16} + \cdots - 10\!\cdots\!00 ) / 10\!\cdots\!00$$ (618813746878938386556008387461565516584700097*v^16 + 14094073153163722946541839567316934932566254778*v^15 - 2244851814323467996746630809401387110578303160807*v^14 - 17473989625038954102182303428456214946834904124594*v^13 + 2504162695092594695531120059509109396955326546707781*v^12 + 7818571917494617828091898421625553875986901156557146*v^11 - 1301874449296328381653044589842603643661556445759639059*v^10 - 1559221284582520544637292919609399302970000387768350242*v^9 + 354883747055721323500532639691413590608322713402478792579*v^8 + 193149070950941330436577998547095410802480951945364076286*v^7 - 51356702386325391683046512351602070965954374151689537100501*v^6 - 36138111117677484355886954214700992701615160821393477657222*v^5 + 3681506580498537954274606056688398248910894817348512146723831*v^4 + 5033249459905330692234495590398677121903898104774504723197166*v^3 - 100030479960525514600569529028364259185101296196242747990284145*v^2 - 228144389785919050186097329657829615044557278693301728304256166*v - 100256907858953392599436152587890977538161846386035515447304000) / 109224090338356950497779174683699009470821724299651658547200 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!55 \nu^{16} + \cdots + 21\!\cdots\!00 ) / 32\!\cdots\!00$$ (-10573055489205991032987636409613053127029085755*v^16 + 43219963651222878544958175572022471860464803234*v^15 + 17016679903677293073475845531314016470607068438909*v^14 - 59082056050794909259510733011588373587517351085946*v^13 - 11176887095817359947969397469344012510881107419193255*v^12 + 30819814675462889494483656374866319975022850668123842*v^11 + 3867453002264181630350104930872783198467778739857740961*v^10 - 7316359831811633543247553856887258580979991716266725546*v^9 - 759229772938164409837153636361751219588785094219507601521*v^8 + 646059194662207551317847123618621149054046606335129856246*v^7 + 84463365567748755808461140496503334986241203493780349151959*v^6 + 28255286759886465420328447021326977731724199339642577434466*v^5 - 4907993186364244229486287075491061209422625725571880841298477*v^4 - 7871909462180292390739315364993585997603929267991597751262042*v^3 + 111880006482010496058016255118601278878086045596929854478140363*v^2 + 329531154277494530171737406803214895998654904417234319766707906*v + 212146746187069266337556432016150234469128908452740236477195200) / 327672271015070851493337524051097028412465172898954975641600 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!47 \nu^{16} + \cdots + 52\!\cdots\!00 ) / 10\!\cdots\!00$$ (10836192453522166715083582843253026071519800447*v^16 + 1769974208380956404125789863977875644592927624262*v^15 - 10657540390579442934966441315558826421990855608153*v^14 - 2624226546993795367678431787826399860403274442370510*v^13 + 333053541090141186423204582348227629389349735950331*v^12 + 1533227334507444411766156065243859530225249651884716198*v^11 + 3254745811945399303794668978862254456799295395756330707*v^10 - 446997340081649364209498428265069035308470876524987476318*v^9 - 1599894263058790756812141136846050088626869397680525833667*v^8 + 67441024554590226471319531397248769703512742164781250490882*v^7 + 328644125298408876417801160544518945517395254527055118176533*v^6 - 4824024503196702098979369606711784143425922787300693239154426*v^5 - 30484478730318404284814853670725999160843832895576098949267511*v^4 + 107184782322975545793565907104335738144043775923808574190978834*v^3 + 1009527881516031282124711702627491147943942794868284268637460913*v^2 + 1625792154317079380395720039198030514968972386846324222661896230*v + 524552089663885908669305619840720203003135295526235741019860800) / 109224090338356950497779174683699009470821724299651658547200 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 19\!\cdots\!83 \nu^{16} + \cdots - 34\!\cdots\!00 ) / 15\!\cdots\!00$$ (1969691543361241113585245257601798824319557283*v^16 + 30385676747626040202729244277444205961765891566*v^15 - 2878623558766721328663719458161639282871618607189*v^14 - 45897816063694129786373954161595985510957892292822*v^13 + 1631433172799893617330164511271830305138302043640239*v^12 + 27357135020968105912051202011250961464635912632754126*v^11 - 444117755098178931667362983495560976645773446370928985*v^10 - 8185652859888952482747284781721325392222764813362480934*v^9 + 55670198063941820469157544084591362940628920158075538345*v^8 + 1283701056036475007349098379628933016574622679417841234490*v^7 - 1653039609533206825599599614939640336027134704052396825695*v^6 - 98245007381259111360336926367996771173513160791822956487122*v^5 - 223200657562670747335384641401546841016586541482994533308283*v^4 + 2698150603608582256167606913800691096478115390754920757407242*v^3 + 13369481668486300450645069502229263793930132620953782515371853*v^2 + 11900707338185056648051903094481858881704492724096846428900302*v - 3474408776394249272088206199700933422844159429956080223409600) / 15603441476908135785397024954814144210117389185664522649600 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 62\!\cdots\!23 \nu^{16} + \cdots + 34\!\cdots\!00 ) / 27\!\cdots\!00$$ (6291474058458368232038306669881128731582914523*v^16 + 353405939608108201573461473925991772049757078878*v^15 - 6771510314513295404782959561483952192649724028637*v^14 - 530492610923144018997379582760705712794575226983110*v^13 + 1500544155118674807957687934263914897206965279842119*v^12 + 313941275370907418023536163687390432079492352303663422*v^11 + 828882774012145594578035745255767779216985459799940863*v^10 - 92667549402526106673201557762688023405733522284153884822*v^9 - 508821636321219150002268520261982803240702898113593032623*v^8 + 14064585144463318726876521469602277233255108750080234498058*v^7 + 105382890726700020732915347097694124004240823817681539424777*v^6 - 979402099405643007961338610313460450461024644710056705914914*v^5 - 9491739935350373322111023895009977848584549487276137762643699*v^4 + 16339228695370841232444606573636639707299658498241043851343706*v^3 + 301533750465294429063948724418888563637323770291985594845655317*v^2 + 641183729457646400594888532439327259764540405797721950126435710*v + 348441144471815348294304730475483735981065305550922150173480000) / 27306022584589237624444793670924752367705431074912914636800 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!85 \nu^{16} + \cdots + 74\!\cdots\!00 ) / 32\!\cdots\!00$$ (-108029680324296063565306290578826168162523030085*v^16 + 1112694141762179940612239006844053444815760377566*v^15 + 161515121014213706440445391426747021402058033913731*v^14 - 1555358367489490186766727698126314674576875977301894*v^13 - 96892429871663479638721474199788025401664274700199385*v^12 + 846373154859929661509854292156029646862752679055462078*v^11 + 30050972395751984054336962589486020876813254239973839199*v^10 - 224132907623317447260010148980932524183288954444141891414*v^9 - 5213293567766980700540349976590326028113864469244388100879*v^8 + 29385931161125934381721040889798621488379463165974018018954*v^7 + 514315808086402205412855759062823557993269995885713731161641*v^6 - 1670690349290586135005827825280910437195965970508136646609506*v^5 - 27220914181078865326251614822805807491502174845845247232824403*v^4 + 14229424920021013254640398694655962344522983161848727836428762*v^3 + 592218131361138547080641402043106367697164600617537466161613877*v^2 + 1271643050186203613293113556923742617247919646361278379939744574*v + 742734063861047462106092805794013057976223000972084035368180800) / 327672271015070851493337524051097028412465172898954975641600 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!09 \nu^{16} + \cdots - 29\!\cdots\!00 ) / 16\!\cdots\!00$$ (-108932737084021555608726268200872393398677703609*v^16 - 462835236129646734770445054256074577290206523882*v^15 + 159200022402673470958363442607930870328311619931183*v^14 + 753536013022853485068781900158509453224329762842402*v^13 - 90952863431500028230508682625691591457773262729084957*v^12 - 485324900354589195234911053247457092040458777608272010*v^11 + 25519169902451686772364649540184916208990612602467634939*v^10 + 158164130697678824173437269639574741435068404231935687698*v^9 - 3569805016972389943824430777326115586977222873557817457259*v^8 - 27113576263118754750727532283836123112249175928534687391246*v^7 + 208834700604585569922913840924512583821091041210464504926381*v^6 + 2230332887941654746540628422133439171140120523993371321631830*v^5 - 87602428947926647305645379583386289583334407075837867015999*v^4 - 61705575228287607174212089698937789828331414146963010666033534*v^3 - 278606927295444617355463578035231059411593411762103198974815127*v^2 - 482357432037718714378830075006079236294534636176649532314693002*v - 291533931117097870236040825618927411921771206830449805435960000) / 163836135507535425746668762025548514206232586449477487820800 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 25\!\cdots\!87 \nu^{16} + \cdots + 30\!\cdots\!00 ) / 32\!\cdots\!00$$ (-256595089925455044700418795586002756316622844887*v^16 + 1778709419991198571703077249603697678880933194826*v^15 + 404870195192936363306776533531736093291805261942081*v^14 - 2504229336250052850448300134630002115175043787349762*v^13 - 259618312272497341067555636018265387548934927241660851*v^12 + 1368041931809039422817800461286805908070623792934312426*v^11 + 87400674330874730804053405576085196116764812550875619125*v^10 - 358981653908810336356470188207587281452092984607658044914*v^9 - 16693061712753301512688573446713401531337172168888695725125*v^8 + 44414298524908305185133227910854453577871577270662852350510*v^7 + 1819495563722787304136047245897239222195862606177954062960035*v^6 - 1810085102980409100055336853096349634938939382020533372274422*v^5 - 105025620603131408809652542363787028902431881989535043221805233*v^4 - 78432437201063784259593485942505554535520995571554783829839458*v^3 + 2430671108441334328676337560913930086198588308482843855954186663*v^2 + 5894023882341016510444804505140210705148056199058845812889537002*v + 3098617294435734197728216876395305904346329319645704209199083200) / 327672271015070851493337524051097028412465172898954975641600 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 93\!\cdots\!77 \nu^{16} + \cdots + 52\!\cdots\!00 ) / 10\!\cdots\!00$$ (-93170187881256292545151117022536962462746034377*v^16 - 1409629435718609859722223376349451117768613096330*v^15 + 141631506815294150286165796140579253773512527844895*v^14 + 2112603576854788322031535276812638047297763230445122*v^13 - 84976710386497830509867370491367523657097130736877421*v^12 - 1250166671130114643115295016022157412016809301145578282*v^11 + 25406312128946243416924390211324023184172791118900660651*v^10 + 371747051112143288646061894829082095224218577132498366770*v^9 - 3874162477322434512643479848522851105937044074568541906331*v^8 - 58106209002313763023970181473997042520308585195126040407534*v^7 + 261203145101614062595991836999133716135904722667263773072509*v^6 + 4477120668862975008143401469824049904566020169008453580160694*v^5 - 2710129439260462991798990449608711130214821960671645354817455*v^4 - 129892172103667898420730592150333660868433742658898372081362270*v^3 - 264241997236494101185616913452608696027383499605234170286815239*v^2 - 99752437553748098793478435161474599012853330037761100614005802*v + 52684912948008042051495944632774777569235564415485508582676800) / 109224090338356950497779174683699009470821724299651658547200 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 18\!\cdots\!29 \nu^{16} + \cdots - 44\!\cdots\!00 ) / 13\!\cdots\!00$$ (18134058187098851892667020502451013827887499729*v^16 + 43698597459124729666531126339469902970510177690*v^15 - 27292156968110109253066924417908110532020824023575*v^14 - 73573144566692901474920724612548520597988646497234*v^13 + 16320738442790885793001313716960099729985485936713237*v^12 + 49032914305758289762755800015827426177400026700132794*v^11 - 4942686765742175511443300244844567738776762849136226947*v^10 - 16704517651846974189821038943745439228548800947448064450*v^9 + 798891801200964472779042141123584356304389066633524890547*v^8 + 3056033922297133888487702489059742040421888582595001248158*v^7 - 66278443008964765238056744560144699339303559767943163333733*v^6 - 281686426395129357617546136992140104109565417517051821184998*v^5 + 2393943066679917231009036583926300628226460775402413705817575*v^4 + 10760021476909914403295702476027226201998216033966612270633230*v^3 - 20736365115913934879689408183495537749286446776608694868827457*v^2 - 86074464671291208998522463811643409748676878730903738813658246*v - 44107986007910568466898909070230873816762335409996911009211200) / 13653011292294618812222396835462376183852715537456457318400 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!59 \nu^{16} + \cdots + 20\!\cdots\!00 ) / 81\!\cdots\!00$$ (-112504461039601207530220381208279049416576320159*v^16 - 57111266929194628125538473981347554205043546246*v^15 + 168945643679639407420275013849741235249959255913849*v^14 + 151779810458555792054592959757019925997484031917838*v^13 - 100848933104009651153121439607993233451020077874078107*v^12 - 134594328552753545166854129102091942124970456828492902*v^11 + 30534108565987462944384857750327240883508660914572527053*v^10 + 56922382010705538040761752943211542486751892620855768094*v^9 - 4959697736703661743657271726020406713131627708943775502493*v^8 - 12325943789959006180924276768500750410945893644352335309762*v^7 + 420037884021665642585440495348480417236314615292687276673867*v^6 + 1289438288986436737719744916728484518240823154809471185987514*v^5 - 16235323938049422476377284576670814528141572088195396469717417*v^4 - 54779809207478381669918213987052335394244850682373577452084562*v^3 + 188607422846333057170146706907315056546295671791410489749028655*v^2 + 530659882218649814802570090113766506369922259710923986462835482*v + 200915233032798304808591794029790061801829055514478762631211200) / 81918067753767712873334381012774257103116293224738743910400 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 77\!\cdots\!51 \nu^{16} + \cdots - 40\!\cdots\!00 ) / 54\!\cdots\!00$$ (77154475815485408724723057787681775550429714651*v^16 - 146992081161332624412190255325703440564314256738*v^15 - 117743970324560052741118921187610052397349794544093*v^14 + 174703298339638325478849896808254654176418344311866*v^13 + 72047569447497819565299249586820328741961739018732743*v^12 - 72380269982426995277903221610360943471487108621454978*v^11 - 22686117809959874070714983180686643882987499112837994625*v^10 + 9418525125671958209012507699926097141691206773512020842*v^9 + 3932222628992546500707641386776296951560515135382753910865*v^8 + 1165257590319100969157862026812921390679662457034981968330*v^7 - 372840133935926289807985591341485104677024884935575883085815*v^6 - 392861554490584470862154213721518379625138218375496842336034*v^5 + 17772279824222487141586704364193924421548097842060269002848909*v^4 + 31398256447557134057932330611073259533197260744055814989150234*v^3 - 322110985019246547722140617693084099795963399697460661801697899*v^2 - 791069251307515765491000371144063511846515991585227872079505026*v - 406991257462224702975054601773913836662030112022275111507160000) / 54612045169178475248889587341849504735410862149825829273600 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 18\!\cdots\!93 \nu^{16} + \cdots - 19\!\cdots\!00 ) / 10\!\cdots\!00$$ (188806876581926707785832683667137119261944478893*v^16 - 1552669291519984437477979965599081464215852916686*v^15 - 291223014603779514353388550726768420254571808717531*v^14 + 2189600573927007280696022260657129425128741488995126*v^13 + 181638858611771790092160380043742568810764401241987809*v^12 - 1199305199804654362522046794756775698218058244174646190*v^11 - 59159272149403893688313750027508960194327852740485838743*v^10 + 317163016156399542275110046236370895552255667456414087814*v^9 + 10890017193272837894285534627886217531201109740957589361223*v^8 - 40459160608032778316414003748605210908117714586639548280538*v^7 - 1145593737482714261595097347351125998019471045632746090942257*v^6 + 1980624584167527175485464729288154637868393605218148236404210*v^5 + 64285010620766287711382058988959551718175388590673191983589803*v^4 + 25100747916414974815708401164559853232497486596283513416256598*v^3 - 1459722298496497565097164432504907866338785372422603914270909341*v^2 - 3524624217140510064862018249054887304133535249105856508127067566*v - 1954484334789545151768210969462392770234969080476575637300686400) / 109224090338356950497779174683699009470821724299651658547200 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( - 95\!\cdots\!67 \nu^{16} + \cdots + 49\!\cdots\!00 ) / 32\!\cdots\!00$$ (-953436121334382852723672455405343453224772127367*v^16 + 816050667610329580534815935624798430872837920746*v^15 + 1446128710577557373630782197817377562391328008392081*v^14 - 671873548793826336709808682353569843028098464757922*v^13 - 876960296360835323704115252734360302921350236113220131*v^12 + 18644628375031512081970911327310045831013812596671626*v^11 + 272433686670912040094172144532620681374184968796049942725*v^10 + 143017497478831818873338053046298203871203119718234495086*v^9 - 46239153849821993787999778639912902609156193600458165470805*v^8 - 54537442937102837959120002381173267198269693464798761037810*v^7 + 4238003428542966093334167834104404663595269909810197290244755*v^6 + 7827151838194165892020006591181524860876378564534639981959978*v^5 - 190866084085216545338503936209762460454189541661470732955002753*v^4 - 458308655287263997038319212775618536336776267892083774519874178*v^3 + 3126744906556019900398305743983199188475254974299320096679546583*v^2 + 8836480277594511874745239980321061608754877267421513167558847242*v + 4947947193444523341448714976024203921670191552429688472815979200) / 327672271015070851493337524051097028412465172898954975641600
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{2} + \beta _1 + 181$$ b2 + b1 + 181 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{13} - 2\beta_{9} - 2\beta_{6} - 9\beta_{4} + \beta_{3} - \beta_{2} + 298\beta _1 + 107$$ b13 - 2*b9 - 2*b6 - 9*b4 + b3 - b2 + 298*b1 + 107 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- 10 \beta_{16} - 14 \beta_{15} - 18 \beta_{14} - 7 \beta_{13} + 9 \beta_{12} + 6 \beta_{11} - 9 \beta_{10} + 6 \beta_{9} + 2 \beta_{8} - \beta_{7} + \beta_{6} - 6 \beta_{5} - 76 \beta_{4} - 12 \beta_{3} + 407 \beta_{2} + 322 \beta _1 + 54597$$ -10*b16 - 14*b15 - 18*b14 - 7*b13 + 9*b12 + 6*b11 - 9*b10 + 6*b9 + 2*b8 - b7 + b6 - 6*b5 - 76*b4 - 12*b3 + 407*b2 + 322*b1 + 54597 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 74 \beta_{16} - 48 \beta_{15} - 132 \beta_{14} + 384 \beta_{13} - 63 \beta_{12} - 34 \beta_{11} + 53 \beta_{10} - 978 \beta_{9} + 14 \beta_{8} - 41 \beta_{7} - 887 \beta_{6} - 66 \beta_{5} - 4889 \beta_{4} + 399 \beta_{3} + \cdots + 36155$$ -74*b16 - 48*b15 - 132*b14 + 384*b13 - 63*b12 - 34*b11 + 53*b10 - 978*b9 + 14*b8 - 41*b7 - 887*b6 - 66*b5 - 4889*b4 + 399*b3 - 59*b2 + 103541*b1 + 36155 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 6744 \beta_{16} - 8788 \beta_{15} - 11000 \beta_{14} - 4766 \beta_{13} + 3960 \beta_{12} + 3308 \beta_{11} - 3900 \beta_{10} + 1900 \beta_{9} + 1820 \beta_{8} - 2028 \beta_{7} + 1652 \beta_{6} + \cdots + 19079067$$ -6744*b16 - 8788*b15 - 11000*b14 - 4766*b13 + 3960*b12 + 3308*b11 - 3900*b10 + 1900*b9 + 1820*b8 - 2028*b7 + 1652*b6 - 3700*b5 - 49870*b4 - 8662*b3 + 160767*b2 + 142823*b1 + 19079067 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 60732 \beta_{16} - 48472 \beta_{15} - 116788 \beta_{14} + 107475 \beta_{13} - 38102 \beta_{12} - 20232 \beta_{11} + 39626 \beta_{10} - 406110 \beta_{9} + 6048 \beta_{8} - 44510 \beta_{7} + \cdots + 19137267$$ -60732*b16 - 48472*b15 - 116788*b14 + 107475*b13 - 38102*b12 - 20232*b11 + 39626*b10 - 406110*b9 + 6048*b8 - 44510*b7 - 339712*b6 - 47952*b5 - 2270789*b4 + 115617*b3 + 159427*b2 + 38454352*b1 + 19137267 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$- 3480150 \beta_{16} - 4378130 \beta_{15} - 5511506 \beta_{14} - 2668585 \beta_{13} + 1426163 \beta_{12} + 1502142 \beta_{11} - 1258555 \beta_{10} + 183638 \beta_{9} + \cdots + 7111493541$$ -3480150*b16 - 4378130*b15 - 5511506*b14 - 2668585*b13 + 1426163*b12 + 1502142*b11 - 1258555*b10 + 183638*b9 + 1133738*b8 - 1526239*b7 + 1054303*b6 - 1852782*b5 - 27547080*b4 - 4531064*b3 + 64126323*b2 + 79224252*b1 + 7111493541 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$- 35981134 \beta_{16} - 32280168 \beta_{15} - 72025600 \beta_{14} + 21229810 \beta_{13} - 17614153 \beta_{12} - 9082682 \beta_{11} + 22869883 \beta_{10} - 164106158 \beta_{9} + \cdots + 12378804367$$ -35981134*b16 - 32280168*b15 - 72025600*b14 + 21229810*b13 - 17614153*b12 - 9082682*b11 + 22869883*b10 - 164106158*b9 + 1949934*b8 - 30866187*b7 - 128773841*b6 - 26037746*b5 - 1020063953*b4 + 24835443*b3 + 150695405*b2 + 14822919283*b1 + 12378804367 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$- 1647390836 \beta_{16} - 2034393880 \beta_{15} - 2603137040 \beta_{14} - 1372646840 \beta_{13} + 487301810 \beta_{12} + 646594828 \beta_{11} + \cdots + 2748005901131$$ -1647390836*b16 - 2034393880*b15 - 2603137040*b14 - 1372646840*b13 + 487301810*b12 + 646594828*b11 - 326086462*b10 - 212395292*b9 + 602563228*b8 - 893992850*b7 + 514928714*b6 - 872495620*b5 - 14312824722*b4 - 2147969306*b3 + 25960958283*b2 + 45797759153*b1 + 2748005901131 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 18972461216 \beta_{16} - 18303169520 \beta_{15} - 38823593336 \beta_{14} - 312135843 \beta_{13} - 7483135720 \beta_{12} - 3674619672 \beta_{11} + \cdots + 7774521265423$$ -18972461216*b16 - 18303169520*b15 - 38823593336*b14 - 312135843*b13 - 7483135720*b12 - 3674619672*b11 + 11963709352*b10 - 66431249394*b9 + 697855352*b8 - 17804632736*b7 - 49506375050*b6 - 12913518632*b5 - 456036794653*b4 + 1175926389*b3 + 100402271395*b2 + 5865091870014*b1 + 7774521265423 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$- 754044812722 \beta_{16} - 920934222582 \beta_{15} - 1201058686306 \beta_{14} - 671600384843 \beta_{13} + 163134185909 \beta_{12} + \cdots + 10\!\cdots\!45$$ -754044812722*b16 - 920934222582*b15 - 1201058686306*b14 - 671600384843*b13 + 163134185909*b12 + 273170049654*b11 - 51900213973*b10 - 210770891866*b9 + 295442377394*b8 - 470174156069*b7 + 220738020293*b6 - 401208327158*b5 - 7163050458396*b4 - 979686426844*b3 + 10666489850519*b2 + 25725824723462*b1 + 1089261973490845 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 9485799283698 \beta_{16} - 9594043142912 \beta_{15} - 19615907273772 \beta_{14} - 3595823865868 \beta_{13} - 3078459363315 \beta_{12} + \cdots + 45\!\cdots\!71$$ -9485799283698*b16 - 9594043142912*b15 - 19615907273772*b14 - 3595823865868*b13 - 3078459363315*b12 - 1399600395490*b11 + 5938487435137*b10 - 27159412501114*b9 + 351936119006*b8 - 9360642234717*b7 - 19349318194235*b6 - 6187396041810*b5 - 204276442120697*b4 - 3022078652185*b3 + 58439888616693*b2 + 2370093289421553*b1 + 4553945125293571 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$- 340425300199504 \beta_{16} - 412559599016636 \beta_{15} - 548537597080696 \beta_{14} - 318491113957730 \beta_{13} + 53818546878684 \beta_{12} + \cdots + 44\!\cdots\!19$$ -340425300199504*b16 - 412559599016636*b15 - 548537597080696*b14 - 318491113957730*b13 + 53818546878684*b12 + 114662349421148*b11 + 11661770668880*b10 - 138494236435220*b9 + 138413299761900*b8 - 233793679201944*b7 + 86934708053952*b6 - 182573257906500*b5 - 3491755159655094*b4 - 439131671889726*b3 + 4443297630854983*b2 + 13887050917874043*b1 + 440752654237257419 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$- 46\!\cdots\!64 \beta_{16} + \cdots + 25\!\cdots\!59$$ -4612156624946564*b16 - 4815120915055528*b15 - 9564599812913452*b14 - 2816837065121961*b13 - 1250872191447722*b12 - 504865730942680*b11 + 2853278556732214*b10 - 11241310259431062*b9 + 222273697840192*b8 - 4672613713395586*b7 - 7673559240112884*b6 - 2920110917862352*b5 - 91777752403965557*b4 - 2614308577718071*b3 + 31641292954626611*b2 + 975171606426818444*b1 + 2513082264909286459 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$- 15\!\cdots\!86 \beta_{16} + \cdots + 18\!\cdots\!01$$ -152864956129772686*b16 - 184105493031819514*b15 - 249420913180128898*b14 - 148099153134744125*b13 + 17429255642985287*b12 + 48063971822660510*b11 + 17842945736830017*b10 - 78783713299614458*b9 + 63093514169359434*b8 - 112562335285377195*b7 + 31867642430662123*b6 - 82684137614584686*b5 - 1670314321630607152*b4 - 195241711298552768*b3 + 1874318195008474571*b2 + 7237657103325193232*b1 + 181521907701555172101

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 −19.5769 −19.1512 −18.8483 −12.0476 −9.67330 −8.80500 −7.56494 −1.93898 −1.62329 −0.779782 8.72947 8.77673 11.9708 14.8364 17.4632 17.8807 21.3520
−20.5769 −24.8746 295.408 51.8138 511.841 −964.382 −3444.74 −1568.26 −1066.17
1.2 −20.1512 50.2064 278.072 480.331 −1011.72 −492.743 −3024.14 333.680 −9679.26
1.3 −19.8483 14.7419 265.954 −39.2067 −292.602 290.193 −2738.15 −1969.68 778.186
1.4 −13.0476 −71.6658 42.2389 −299.002 935.065 −838.975 1118.97 2948.99 3901.25
1.5 −10.6733 55.6664 −14.0807 −123.787 −594.144 478.240 1516.47 911.744 1321.21
1.6 −9.80500 −22.7314 −31.8619 −426.903 222.881 1439.06 1567.45 −1670.28 4185.78
1.7 −8.56494 16.9829 −54.6417 344.458 −145.458 −965.607 1564.32 −1898.58 −2950.26
1.8 −2.93898 −48.7576 −119.362 213.468 143.298 152.324 726.993 190.307 −627.378
1.9 −2.62329 −87.0131 −121.118 −27.1608 228.261 757.218 653.510 5384.28 71.2507
1.10 −1.77978 72.7305 −124.832 −243.222 −129.444 397.740 449.987 3102.73 432.883
1.11 7.72947 35.5389 −68.2553 193.986 274.697 −930.389 −1516.95 −923.987 1499.41
1.12 7.77673 −0.574168 −67.5225 74.6631 −4.46514 1081.19 −1520.53 −2186.67 580.635
1.13 10.9708 80.3704 −7.64129 −472.591 881.729 −1084.98 −1488.10 4272.41 −5184.70
1.14 13.8364 −72.7594 63.4464 226.462 −1006.73 1016.68 −893.191 3106.93 3133.42
1.15 16.4632 9.09105 143.038 −425.151 149.668 306.368 247.579 −2104.35 −6999.36
1.16 16.8807 −7.07215 156.956 −52.2973 −119.382 −940.822 488.802 −2136.98 −882.813
1.17 20.3520 −67.8802 286.202 94.1391 −1381.49 −1417.12 3219.72 2420.72 1915.91
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.17 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$71$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 71.8.a.a 17

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
71.8.a.a 17 1.a even 1 1 trivial

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{17} + 16 T_{2}^{16} - 1421 T_{2}^{15} - 21712 T_{2}^{14} + 807220 T_{2}^{13} + 11778968 T_{2}^{12} - 233835792 T_{2}^{11} - 3295109632 T_{2}^{10} + 36303285888 T_{2}^{9} + \cdots - 68\!\cdots\!16$$ acting on $$S_{8}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(71))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{17} + 16 T^{16} + \cdots - 68\!\cdots\!16$$
$3$ $$T^{17} + 68 T^{16} + \cdots + 45\!\cdots\!00$$
$5$ $$T^{17} + 430 T^{16} + \cdots + 24\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{17} + 1716 T^{16} + \cdots - 15\!\cdots\!76$$
$11$ $$T^{17} + 7550 T^{16} + \cdots + 27\!\cdots\!48$$
$13$ $$T^{17} + 17280 T^{16} + \cdots + 32\!\cdots\!48$$
$17$ $$T^{17} + 55074 T^{16} + \cdots - 34\!\cdots\!56$$
$19$ $$T^{17} + 56892 T^{16} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{17} + 57160 T^{16} + \cdots - 28\!\cdots\!00$$
$29$ $$T^{17} + 376658 T^{16} + \cdots + 69\!\cdots\!80$$
$31$ $$T^{17} + 637476 T^{16} + \cdots + 78\!\cdots\!68$$
$37$ $$T^{17} + 1196566 T^{16} + \cdots + 63\!\cdots\!24$$
$41$ $$T^{17} + 1620042 T^{16} + \cdots - 64\!\cdots\!36$$
$43$ $$T^{17} + 1545900 T^{16} + \cdots - 72\!\cdots\!40$$
$47$ $$T^{17} - 368904 T^{16} + \cdots - 21\!\cdots\!60$$
$53$ $$T^{17} - 981948 T^{16} + \cdots - 10\!\cdots\!12$$
$59$ $$T^{17} - 1926882 T^{16} + \cdots + 37\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{17} + 7380164 T^{16} + \cdots - 18\!\cdots\!60$$
$67$ $$T^{17} - 1751278 T^{16} + \cdots + 15\!\cdots\!00$$
$71$ $$(T - 357911)^{17}$$
$73$ $$T^{17} + 5262378 T^{16} + \cdots + 20\!\cdots\!06$$
$79$ $$T^{17} + 514148 T^{16} + \cdots + 29\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{17} - 18344544 T^{16} + \cdots + 13\!\cdots\!24$$
$89$ $$T^{17} + 7940378 T^{16} + \cdots - 12\!\cdots\!10$$
$97$ $$T^{17} + 41277242 T^{16} + \cdots + 25\!\cdots\!80$$