# Properties

 Label 7.22.a.b Level $7$ Weight $22$ Character orbit 7.a Self dual yes Analytic conductor $19.563$ Analytic rank $0$ Dimension $6$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [7,22,Mod(1,7)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(7, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0]))

N = Newforms(chi, 22, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("7.1");

S:= CuspForms(chi, 22);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$7$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$22$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 7.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$19.5634141001$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$6$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{6} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{6} - 3 x^{5} - 8712378 x^{4} - 2258837752 x^{3} + 15137375450784 x^{2} + \cdots - 48\!\cdots\!56$$ x^6 - 3*x^5 - 8712378*x^4 - 2258837752*x^3 + 15137375450784*x^2 + 1089515120920704*x - 4822746671208851456 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{5}]$$ Coefficient ring index: $$2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7^{3}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{5}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 + 428) q^{2} + (\beta_{2} - 15 \beta_1 + 43924) q^{3} + (\beta_{3} + \beta_{2} - 463 \beta_1 + 989963) q^{4} + ( - \beta_{5} - 2 \beta_{4} + \cdots - 512069) q^{5}+ \cdots + (147 \beta_{5} - 1194 \beta_{4} + \cdots + 2437956270) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 + 428) * q^2 + (b2 - 15*b1 + 43924) * q^3 + (b3 + b2 - 463*b1 + 989963) * q^4 + (-b5 - 2*b4 + b3 + 11*b2 + 2429*b1 - 512069) * q^5 + (2*b5 + 3*b4 + 51*b3 + 831*b2 - 47751*b1 + 61686031) * q^6 + 282475249 * q^7 + (42*b5 + 243*b4 + 186*b3 + 23310*b2 - 1094906*b1 + 872034436) * q^8 + (147*b5 - 1194*b4 - 675*b3 + 85956*b2 - 2696226*b1 + 2437956270) * q^9 $$q + ( - \beta_1 + 428) q^{2} + (\beta_{2} - 15 \beta_1 + 43924) q^{3} + (\beta_{3} + \beta_{2} - 463 \beta_1 + 989963) q^{4} + ( - \beta_{5} - 2 \beta_{4} + \cdots - 512069) q^{5}+ \cdots + (11503989767739 \beta_{5} + \cdots + 57\!\cdots\!81) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 + 428) * q^2 + (b2 - 15*b1 + 43924) * q^3 + (b3 + b2 - 463*b1 + 989963) * q^4 + (-b5 - 2*b4 + b3 + 11*b2 + 2429*b1 - 512069) * q^5 + (2*b5 + 3*b4 + 51*b3 + 831*b2 - 47751*b1 + 61686031) * q^6 + 282475249 * q^7 + (42*b5 + 243*b4 + 186*b3 + 23310*b2 - 1094906*b1 + 872034436) * q^8 + (147*b5 - 1194*b4 - 675*b3 + 85956*b2 - 2696226*b1 + 2437956270) * q^9 + (-1446*b5 + 3159*b4 - 10529*b3 - 130661*b2 - 1088869*b1 - 7279434221) * q^10 + (679*b5 - 9106*b4 + 2297*b3 - 196004*b2 - 22630994*b1 + 18848417657) * q^11 + (6876*b5 + 9186*b4 + 76824*b3 + 55504*b2 - 146296008*b1 + 72499999084) * q^12 + (-4521*b5 + 31374*b4 + 15113*b3 - 2724163*b2 - 150726113*b1 + 30511113643) * q^13 + (-282475249*b1 + 120899406572) * q^14 + (-58303*b5 - 251022*b4 - 768657*b3 - 3140310*b2 + 547392840*b1 - 21608028605) * q^15 + (92274*b5 - 42417*b4 + 320496*b3 + 31229268*b2 - 560106780*b1 + 1461579327982) * q^16 + (-168586*b5 + 1180876*b4 - 853526*b3 + 5147798*b2 + 1582911562*b1 + 488431328004) * q^17 + (601692*b5 + 6426*b4 + 5350770*b3 + 58681530*b2 - 341121375*b1 + 8812639851654) * q^18 + (-20178*b5 - 4023972*b4 + 54226*b3 - 35886041*b2 + 11272307099*b1 + 7069226275998) * q^19 + (-1721956*b5 + 4087042*b4 - 6709574*b3 - 498545422*b2 + 21937536602*b1 + 1190487761698) * q^20 + (282475249*b2 - 4237128735*b1 + 12407442837076) * q^21 + (2377116*b5 + 358074*b4 + 7374002*b3 - 138155782*b2 - 16772845790*b1 + 73913118985178) * q^22 + (-2301901*b5 - 6708650*b4 - 58811267*b3 + 2161238*b2 + 1925041040*b1 + 100227186636649) * q^23 + (10080100*b5 - 6503970*b4 + 67870560*b3 + 1166659368*b2 - 145687858392*b1 + 326624125100636) * q^24 + (-5726301*b5 + 52346358*b4 - 16395059*b3 + 1116767176*b2 - 142328523646*b1 + 357366659573936) * q^25 + (-18047202*b5 - 591363*b4 + 61288869*b3 - 1842811911*b2 - 86704946291*b1 + 452653718509585) * q^26 + (6055884*b5 - 138307176*b4 + 14431284*b3 + 4626715230*b2 - 28379271834*b1 + 647254332310572) * q^27 + (282475249*b3 + 282475249*b2 - 130786040287*b1 + 279640044925787) * q^28 + (53459630*b5 + 165204700*b4 - 207358766*b3 - 6610544710*b2 + 522124740606*b1 + 470715699418184) * q^29 + (-103710096*b5 + 4607448*b4 - 1064430144*b3 - 31378123584*b2 + 1857442116984*b1 - 1598520802702704) * q^30 + (69414678*b5 + 286382412*b4 - 676391286*b3 + 14155789146*b2 + 964106828814*b1 - 720237635712334) * q^31 + (162207654*b5 - 554236731*b4 + 1666254660*b3 - 4548173040*b2 + 127945479408*b1 + 402837602731062) * q^32 + (-24126044*b5 + 8994216*b4 + 1583803452*b3 + 72007988448*b2 - 926038214952*b1 - 261247643860420) * q^33 + (-517924716*b5 - 44424450*b4 - 618488626*b3 - 19881573754*b2 + 400778342944*b1 - 4391569117784578) * q^34 + (-282475249*b5 - 564950498*b4 + 282475249*b3 + 3107227739*b2 + 686132379821*b1 - 144646818280181) * q^35 + (1119583416*b5 + 2497061316*b4 + 5626679013*b3 + 63404489301*b2 - 14494289882955*b1 - 379176268840929) * q^36 + (-288384012*b5 - 2892657528*b4 - 5364832980*b3 + 54109902750*b2 + 252750550422*b1 - 16457509582802830) * q^37 + (529379862*b5 + 859903425*b4 - 17709879423*b3 - 103323932091*b2 - 3772123845221*b1 - 29688062292227915) * q^38 + (187079319*b5 + 4755612990*b4 + 11053645497*b3 - 233558608462*b2 - 4466682922716*b1 - 20228098841308075) * q^39 + (-2019592392*b5 - 6455736828*b4 - 20411358988*b3 - 461908751260*b2 + 13602351744340*b1 - 47602939935713980) * q^40 + (50931940*b5 + 636375656*b4 + 32460357692*b3 + 237483054862*b2 + 1905199002150*b1 + 7857539084950774) * q^41 + (564950498*b5 + 847425747*b4 + 14406237699*b3 + 234736931919*b2 - 13488475614999*b1 + 17424776966546719) * q^42 + (-440299923*b5 - 7525143270*b4 + 30648752339*b3 + 281746514084*b2 + 39646970897002*b1 + 35247288747351643) * q^43 + (2873966200*b5 + 14580738020*b4 + 18648344228*b3 + 789032711572*b2 - 40753516832828*b1 + 40920870469957268) * q^44 + (-313660623*b5 - 3947477310*b4 - 121400269137*b3 + 1050008048451*b2 + 128607810052689*b1 - 51517987189742679) * q^45 + (-5486828928*b5 - 6991343280*b4 - 4898406392*b3 - 1694483839448*b2 + 30948525586544*b1 + 37179201571859416) * q^46 + (3476588028*b5 + 22623165048*b4 - 42414878076*b3 - 2370436433022*b2 + 108568591517930*b1 - 13087985064076828) * q^47 + (10041853644*b5 - 22567256118*b4 + 54594407592*b3 + 3675054336832*b2 - 162920965583616*b1 + 410161530238230604) * q^48 + 79792266297612001 * q^49 + (-17137765596*b5 + 1586826054*b4 + 220298978526*b3 + 753494689494*b2 - 373511346554269*b1 + 565535554868947514) * q^50 + (-3103395806*b5 + 11187997668*b4 - 185863014402*b3 - 6836693080518*b2 + 146084348052054*b1 + 12011720947607966) * q^51 + (-24577505964*b5 - 12519113274*b4 - 133957421558*b3 + 3313812359602*b2 - 283429198183702*b1 + 382911695145718362) * q^52 + (29726404946*b5 - 92139799868*b4 + 456724949326*b3 - 10106998964236*b2 + 71285045651728*b1 + 32873876175523308) * q^53 + (42729148044*b5 + 33710635026*b4 + 52557322770*b3 + 2792158533594*b2 - 589062185468154*b1 + 356215397452613946) * q^54 + (-13202727822*b5 + 214572293892*b4 - 399124803538*b3 + 5490910800440*b2 + 602765433525460*b1 - 152715893651233810) * q^55 + (11863960458*b5 + 68641485507*b4 + 52540396314*b3 + 6584498054190*b2 - 309283844981594*b1 + 246328144445674564) * q^56 + (-66090955707*b5 - 178282335846*b4 - 702429165045*b3 + 21387504882908*b2 + 664772332354194*b1 - 558207546402303673) * q^57 + (49892582460*b5 - 236996454150*b4 - 185117245878*b3 - 1082939216142*b2 - 48835179136536*b1 - 1310604888055281990) * q^58 + (29774036412*b5 - 119518206792*b4 + 1608894411396*b3 + 21241983166323*b2 + 270084374707147*b1 + 862381897026178912) * q^59 + (-172958391760*b5 + 428434802088*b4 - 1626370642200*b3 - 57608014533816*b2 + 2843752164791496*b1 - 6013758815572997816) * q^60 + (2345686827*b5 + 113294183382*b4 + 1148436279381*b3 - 25060291356309*b2 - 291140110877691*b1 - 2272316638208622985) * q^61 + (82619878428*b5 - 353396739510*b4 + 509083470810*b3 + 8989148706498*b2 + 2039419841620102*b1 - 3118641695117226206) * q^62 + (41523861603*b5 - 337275447306*b4 - 190670793075*b3 + 24280442503044*b2 - 761617110710274*b1 + 688662304419361230) * q^63 + (247477401066*b5 + 204776914995*b4 - 1252801452732*b3 - 20192179089768*b2 - 2294103034302312*b1 - 3258439998731839214) * q^64 + (-320173681499*b5 + 916916304218*b4 + 1181405631659*b3 - 55054739548868*b2 - 4074140772639182*b1 + 139622735948319467) * q^65 + (161941124592*b5 + 652884138408*b4 + 2896500795336*b3 + 91608529655016*b2 - 3494420970283032*b1 + 2532212004169411944) * q^66 + (537518317161*b5 - 670483950894*b4 - 1034714092137*b3 + 12359554131090*b2 - 2549054078419584*b1 - 79753176222708697) * q^67 + (-648627844360*b5 - 1412898347228*b4 - 2135816723654*b3 - 108400363192534*b2 + 2057909161327258*b1 - 4055341811257835514) * q^68 + (-506369754910*b5 - 1187887161180*b4 - 4977909956226*b3 + 176222068249740*b2 + 6528646942039176*b1 + 4386048787446718390) * q^69 + (-408459210054*b5 + 892339311591*b4 - 2974181896721*b3 - 36908498509589*b2 - 307578541903381*b1 - 2056259994156096029) * q^70 + (556165301538*b5 + 2211100496100*b4 - 2377433284098*b3 + 14715937666584*b2 - 11508560790257580*b1 + 14266029153911414142) * q^71 + (737621020794*b5 - 1762003865205*b4 + 13277210579874*b3 + 249343864946838*b2 - 12686717581956882*b1 + 23417357368386524460) * q^72 + (-36557856528*b5 + 809329221504*b4 + 1131765000496*b3 - 241342379093396*b2 + 5285914894893068*b1 + 15814408043869134906) * q^73 + (-175346062164*b5 + 228121190082*b4 - 1871046020862*b3 - 155531001911670*b2 + 29831686979060392*b1 - 7827880884727871150) * q^74 + (588532971672*b5 + 482082421488*b4 + 3536949268008*b3 + 144757699584355*b2 - 11750091688495485*b1 + 33541934064586911700) * q^75 + (-43002580908*b5 + 2395490455494*b4 + 9566074847184*b3 - 314182714368648*b2 + 44773054007696112*b1 - 16544330578097505700) * q^76 + (191800694071*b5 - 2572219617394*b4 + 648845646953*b3 - 55366278704996*b2 - 6392695665267506*b1 + 5324211470917071593) * q^77 + (-435125571608*b5 + 426460950060*b4 - 411055832508*b3 + 154013224908372*b2 - 6562746448949964*b1 + 4497705992819287364) * q^78 + (-1303217610576*b5 - 1476730255104*b4 - 21438080821392*b3 - 403281335685300*b2 - 27064624472797332*b1 + 25895915503812925472) * q^79 + (-792798496912*b5 - 8483332862072*b4 - 29308663283768*b3 - 153127305379672*b2 + 50977995073156232*b1 - 62107484417734989272) * q^80 + (-1940178210831*b5 + 1450803636594*b4 + 415822371039*b3 + 678734000998668*b2 + 15125787508827114*b1 + 51398527619054948724) * q^81 + (1765732922316*b5 + 8235680282226*b4 - 2433123246798*b3 + 923276769855354*b2 - 79837755697347516*b1 - 2261647380663781326) * q^82 + (3281284408394*b5 + 6870272754772*b4 + 18178943814262*b3 - 423262113352021*b2 + 61035757594981287*b1 - 26324940934653405838) * q^83 + (1942299812124*b5 + 2594817637314*b4 + 21700878529176*b3 + 15678506220496*b2 - 41325001287505992*b1 + 20479455293752671916) * q^84 + (-3515825658576*b5 - 23709388506048*b4 + 56280328437296*b3 - 634541132857102*b2 - 116690627236384718*b1 + 60304217302448671868) * q^85 + (2175308698836*b5 + 10966667951790*b4 - 50979231248298*b3 + 694038640721454*b2 - 96625688984338754*b1 - 100179507406932571346) * q^86 + (773030092590*b5 + 20235670420476*b4 + 10566599251698*b3 + 13772137462806*b2 + 12997965467833050*b1 - 69127149047097993966) * q^87 + (277183360272*b5 - 4189882573512*b4 + 82380700880872*b3 + 1977527345122312*b2 - 58422438151595416*b1 - 19627219152900694808) * q^88 + (-1503466223894*b5 - 12594285940204*b4 - 56613722746282*b3 - 1127821671216692*b2 + 47827075578570872*b1 - 47939041213693679736) * q^89 + (-2704410229950*b5 - 24333780775149*b4 - 59512835402325*b3 - 2046949955795817*b2 + 320096146931049447*b1 - 396478126607610328497) * q^90 + (-1277070600729*b5 + 8862378462126*b4 + 4269048438137*b3 - 769508621741587*b2 - 42576396300477137*b1 + 8618634423573722107) * q^91 + (-7660811375056*b5 + 22748957218984*b4 - 7017333550520*b3 - 2339083428774232*b2 - 23813204602510360*b1 - 283025217707582675096) * q^92 + (1410610264686*b5 - 3105936463428*b4 - 52831066814478*b3 - 504521531857528*b2 + 57108724872375084*b1 + 75022648134415415162) * q^93 + (-3670631503596*b5 - 30850060609314*b4 - 132654720151778*b3 - 2184711166637546*b2 + 104061679204164050*b1 - 319351154264580876074) * q^94 + (13217583822835*b5 + 6232058809142*b4 + 33070209426845*b3 + 5434937264942086*b2 + 225615502913893504*b1 + 308414849894142788681) * q^95 + (10276350615444*b5 + 18383311675782*b4 + 164829379453128*b3 + 2866500211653360*b2 - 216018191792622096*b1 - 38707403506072695516) * q^96 + (957861394056*b5 + 28770207531408*b4 + 71110088086520*b3 + 1759353258543986*b2 + 210845941221619522*b1 + 223868245645166595802) * q^97 + (-79792266297612001*b1 + 34151089975377936428) * q^98 + (11503989767739*b5 + 20006570037078*b4 - 8007040276443*b3 + 2608865433690732*b2 - 65246516329915242*b1 + 572796365650273799781) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$6 q + 2565 q^{2} + 263496 q^{3} + 5938389 q^{4} - 3065148 q^{5} + 369970578 q^{6} + 1694851494 q^{7} + 5228851671 q^{8} + 14619392190 q^{9}+O(q^{10})$$ 6 * q + 2565 * q^2 + 263496 * q^3 + 5938389 * q^4 - 3065148 * q^5 + 369970578 * q^6 + 1694851494 * q^7 + 5228851671 * q^8 + 14619392190 * q^9 $$6 q + 2565 q^{2} + 263496 q^{3} + 5938389 q^{4} - 3065148 q^{5} + 369970578 q^{6} + 1694851494 q^{7} + 5228851671 q^{8} + 14619392190 q^{9} - 43679516676 q^{10} + 113023233144 q^{11} + 434561122254 q^{12} + 182622640788 q^{13} + 724549013685 q^{14} - 127997950176 q^{15} + 8767702771665 q^{16} + 2935315661868 q^{17} + 52874653929165 q^{18} + 42449294530536 q^{19} + 7210207592280 q^{20} + 74431098210504 q^{21} + 443428823757480 q^{22} + 601368739057152 q^{23} + 19\!\cdots\!26 q^{24}+ \cdots + 34\!\cdots\!84 q^{99}+O(q^{100})$$ 6 * q + 2565 * q^2 + 263496 * q^3 + 5938389 * q^4 - 3065148 * q^5 + 369970578 * q^6 + 1694851494 * q^7 + 5228851671 * q^8 + 14619392190 * q^9 - 43679516676 * q^10 + 113023233144 * q^11 + 434561122254 * q^12 + 182622640788 * q^13 + 724549013685 * q^14 - 127997950176 * q^15 + 8767702771665 * q^16 + 2935315661868 * q^17 + 52874653929165 * q^18 + 42449294530536 * q^19 + 7210207592280 * q^20 + 74431098210504 * q^21 + 443428823757480 * q^22 + 601368739057152 * q^23 + 1959304379933826 * q^24 + 2143769432525802 * q^25 + 2715667964436672 * q^26 + 3883427415949968 * q^27 + 1677447911433861 * q^28 + 2825879124295764 * q^29 - 9585461251477008 * q^30 - 4318579057720128 * q^31 + 2417429272194927 * q^32 - 1570475204966880 * q^33 - 26348152895375754 * q^34 - 865828444521852 * q^35 - 2318724666059499 * q^36 - 98744468126248284 * q^37 - 178139437450595010 * q^38 - 121381274087931648 * q^39 - 285575482640886384 * q^40 + 47150332976696796 * q^41 + 104507531143223922 * q^42 + 211601943999845208 * q^43 + 245400598752030432 * q^44 - 308725601149836972 * q^45 + 223173161198731920 * q^46 - 78195298844501568 * q^47 + 2460469594729052478 * q^48 + 478753597785672006 * q^49 + 3392091242239707999 * q^50 + 72528506966196720 * q^51 + 2296609651260273300 * q^52 + 197488990602020484 * q^53 + 2135516750036297532 * q^54 - 914505339822336624 * q^55 + 1477021177749791079 * q^56 - 3347316498099028656 * q^57 - 7863772579091575686 * q^58 + 5175043005247441272 * q^59 - 36073854458441168544 * q^60 - 13634694970321074540 * q^61 - 18705756539043620748 * q^62 + 4129616449098905310 * q^63 - 19557466840123979295 * q^64 + 825680911579672680 * q^65 + 15182520181543254528 * q^66 - 486206003479279416 * q^67 - 24325552161845049906 * q^68 + 26335340148342558240 * q^69 - 12338382349252752324 * q^70 + 85561589659187467152 * q^71 + 140465378930758708455 * q^72 + 94903031112017675388 * q^73 - 46877329425887757054 * q^74 + 201215927238358855224 * q^75 - 99130700117657922126 * q^76 + 31926265925136452856 * q^77 + 26966084470720516296 * q^78 + 155295453019067349600 * q^79 - 372491573236870102272 * q^80 + 308434509590444013510 * q^81 - 13812204684993650586 * q^82 - 157765244466635481816 * q^83 + 122752761214418091246 * q^84 + 361477386073009254120 * q^85 - 601369195988094305472 * q^86 - 414723973028900637168 * q^87 - 117944255933694039696 * q^88 - 287487510138324462276 * q^89 - 2377902427778934626868 * q^90 + 51586375929627856212 * q^91 - 1698215794925455442304 * q^92 + 450308575138483341600 * q^93 - 1915788480818456968260 * q^94 + 1851149681923503970944 * q^95 - 232900666603297513758 * q^96 + 1343836857780946284588 * q^97 + 204667163053374782565 * q^98 + 3436574509203551736984 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{6} - 3 x^{5} - 8712378 x^{4} - 2258837752 x^{3} + 15137375450784 x^{2} + \cdots - 48\!\cdots\!56$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 2001 \nu^{5} + 900929 \nu^{4} - 18334340390 \nu^{3} - 9273183570288 \nu^{2} + \cdots + 28\!\cdots\!44 ) / 88022801524224$$ (2001*v^5 + 900929*v^4 - 18334340390*v^3 - 9273183570288*v^2 + 28691439485017952*v + 2851982432700665344) / 88022801524224 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 2001 \nu^{5} - 900929 \nu^{4} + 18334340390 \nu^{3} + 97295985094512 \nu^{2} + \cdots - 25\!\cdots\!88 ) / 88022801524224$$ (-2001*v^5 - 900929*v^4 + 18334340390*v^3 + 97295985094512*v^2 - 63284400484037984*v - 258464124485741989888) / 88022801524224 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 51809 \nu^{5} - 137882197 \nu^{4} + 419145032050 \nu^{3} + \cdots - 90\!\cdots\!56 ) / 66017101143168$$ (-51809*v^5 - 137882197*v^4 + 419145032050*v^3 + 1147969055506936*v^2 - 191201246807629312*v - 904272839502413977856) / 66017101143168 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 87753 \nu^{5} + 70954612 \nu^{4} + 595647307351 \nu^{3} - 181130479259850 \nu^{2} + \cdots + 13\!\cdots\!88 ) / 11002850190528$$ (-87753*v^5 + 70954612*v^4 + 595647307351*v^3 - 181130479259850*v^2 - 529402906289776856*v + 139006351650080937088) / 11002850190528
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{3} + \beta_{2} + 393\beta _1 + 2903931$$ b3 + b2 + 393*b1 + 2903931 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$-42\beta_{5} - 243\beta_{4} + 1098\beta_{3} - 22026\beta_{2} + 5244270\beta _1 + 1139853608$$ -42*b5 - 243*b4 + 1098*b3 - 22026*b2 + 5244270*b1 + 1139853608 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$20370\beta_{5} - 458433\beta_{4} + 7392624\beta_{3} - 1286892\beta_{2} + 5386802468\beta _1 + 15212131827534$$ 20370*b5 - 458433*b4 + 7392624*b3 - 1286892*b2 + 5386802468*b1 + 15212131827534 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 394000110 \beta_{5} - 2020104513 \beta_{4} + 11366346812 \beta_{3} - 152612092960 \beta_{2} + \cdots + 15\!\cdots\!18$$ -394000110*b5 - 2020104513*b4 + 11366346812*b3 - 152612092960*b2 + 33108458957760*b1 + 15627244444948818

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 2752.23 1155.83 630.361 −649.563 −1673.85 −2212.01
−2324.23 −31096.8 3.30489e6 1.74638e7 7.22761e7 2.82475e8 −2.80705e9 −9.49334e9 −4.05898e10
1.2 −727.834 38526.8 −1.56741e6 −3.45713e7 −2.80411e7 2.82475e8 2.66719e9 −8.97604e9 2.51622e10
1.3 −202.361 182183. −2.05620e6 2.50577e7 −3.68668e7 2.82475e8 8.40477e8 2.27304e10 −5.07070e9
1.4 1077.56 −113831. −936010. −1.71654e7 −1.22660e8 2.82475e8 −3.26842e9 2.49708e9 −1.84968e10
1.5 2101.85 19144.5 2.32062e6 3.88744e7 4.02388e7 2.82475e8 4.69702e8 −1.00938e10 8.17081e10
1.6 2640.01 168569. 4.87250e6 −3.27243e7 4.45023e8 2.82475e8 7.32695e9 1.79551e10 −8.63924e10
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.6 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$7$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 7.22.a.b 6
3.b odd 2 1 63.22.a.e 6
7.b odd 2 1 49.22.a.d 6

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
7.22.a.b 6 1.a even 1 1 trivial
49.22.a.d 6 7.b odd 2 1
63.22.a.e 6 3.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{6} - 2565 T_{2}^{5} - 5971038 T_{2}^{4} + 15611869368 T_{2}^{3} + 3162211853184 T_{2}^{2} + \cdots - 20\!\cdots\!60$$ acting on $$S_{22}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(7))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{6} + \cdots - 20\!\cdots\!60$$
$3$ $$T^{6} + \cdots + 80\!\cdots\!84$$
$5$ $$T^{6} + \cdots - 33\!\cdots\!00$$
$7$ $$(T - 282475249)^{6}$$
$11$ $$T^{6} + \cdots - 20\!\cdots\!64$$
$13$ $$T^{6} + \cdots + 95\!\cdots\!60$$
$17$ $$T^{6} + \cdots - 31\!\cdots\!68$$
$19$ $$T^{6} + \cdots - 78\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{6} + \cdots + 15\!\cdots\!04$$
$29$ $$T^{6} + \cdots - 37\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{6} + \cdots + 20\!\cdots\!00$$
$37$ $$T^{6} + \cdots - 80\!\cdots\!96$$
$41$ $$T^{6} + \cdots - 45\!\cdots\!24$$
$43$ $$T^{6} + \cdots - 10\!\cdots\!80$$
$47$ $$T^{6} + \cdots - 85\!\cdots\!96$$
$53$ $$T^{6} + \cdots - 19\!\cdots\!48$$
$59$ $$T^{6} + \cdots - 83\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{6} + \cdots + 20\!\cdots\!24$$
$67$ $$T^{6} + \cdots - 18\!\cdots\!28$$
$71$ $$T^{6} + \cdots + 10\!\cdots\!40$$
$73$ $$T^{6} + \cdots + 44\!\cdots\!24$$
$79$ $$T^{6} + \cdots - 46\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{6} + \cdots - 11\!\cdots\!72$$
$89$ $$T^{6} + \cdots + 23\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{6} + \cdots + 10\!\cdots\!12$$