# Properties

 Label 7.20.a.a Level $7$ Weight $20$ Character orbit 7.a Self dual yes Analytic conductor $16.017$ Analytic rank $1$ Dimension $4$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$7$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$20$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 7.a (trivial)

## Newform invariants

 Self dual: yes Analytic conductor: $$16.0171687589$$ Analytic rank: $$1$$ Dimension: $$4$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{4} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{4} - x^{3} - 330513x^{2} - 30288715x + 14876898628$$ x^4 - x^3 - 330513*x^2 - 30288715*x + 14876898628 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: $$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\beta_2,\beta_3$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + (\beta_1 - 86) q^{2} + ( - \beta_{2} - 8 \beta_1 - 7378) q^{3} + (2 \beta_{3} + 106 \beta_1 + 143996) q^{4} + ( - 19 \beta_{3} + 37 \beta_{2} - 596 \beta_1 - 621336) q^{5} + ( - 36 \beta_{3} + 816 \beta_{2} - 7026 \beta_1 - 4327140) q^{6} + 40353607 q^{7} + (948 \beta_{3} + 2688 \beta_{2} - 133804 \beta_1 + 102266936) q^{8} + (1989 \beta_{3} + 12390 \beta_{2} - 992940 \beta_1 - 83323443) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (b1 - 86) * q^2 + (-b2 - 8*b1 - 7378) * q^3 + (2*b3 + 106*b1 + 143996) * q^4 + (-19*b3 + 37*b2 - 596*b1 - 621336) * q^5 + (-36*b3 + 816*b2 - 7026*b1 - 4327140) * q^6 + 40353607 * q^7 + (948*b3 + 2688*b2 - 133804*b1 + 102266936) * q^8 + (1989*b3 + 12390*b2 - 992940*b1 - 83323443) * q^9 $$q + (\beta_1 - 86) q^{2} + ( - \beta_{2} - 8 \beta_1 - 7378) q^{3} + (2 \beta_{3} + 106 \beta_1 + 143996) q^{4} + ( - 19 \beta_{3} + 37 \beta_{2} - 596 \beta_1 - 621336) q^{5} + ( - 36 \beta_{3} + 816 \beta_{2} - 7026 \beta_1 - 4327140) q^{6} + 40353607 q^{7} + (948 \beta_{3} + 2688 \beta_{2} - 133804 \beta_1 + 102266936) q^{8} + (1989 \beta_{3} + 12390 \beta_{2} - 992940 \beta_1 - 83323443) q^{9} + ( - 7444 \beta_{3} - 55728 \beta_{2} - 2953916 \beta_1 - 347819336) q^{10} + ( - 14837 \beta_{3} - 106078 \beta_{2} + \cdots - 1304964084) q^{11}+ \cdots + (18714686571927 \beta_{3} + \cdots + 22\!\cdots\!44) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (b1 - 86) * q^2 + (-b2 - 8*b1 - 7378) * q^3 + (2*b3 + 106*b1 + 143996) * q^4 + (-19*b3 + 37*b2 - 596*b1 - 621336) * q^5 + (-36*b3 + 816*b2 - 7026*b1 - 4327140) * q^6 + 40353607 * q^7 + (948*b3 + 2688*b2 - 133804*b1 + 102266936) * q^8 + (1989*b3 + 12390*b2 - 992940*b1 - 83323443) * q^9 + (-7444*b3 - 55728*b2 - 2953916*b1 - 347819336) * q^10 + (-14837*b3 - 106078*b2 - 6624916*b1 - 1304964084) * q^11 + (-10980*b3 - 189952*b2 - 7092884*b1 - 659778808) * q^12 + (146317*b3 + 999999*b2 - 2146180*b1 - 6016350644) * q^13 + (40353607*b1 - 3470410202) * q^14 + (26577*b3 + 956424*b2 + 99444948*b1 - 37717913652) * q^15 + (-913560*b3 - 919296*b2 + 123115560*b1 - 173827967120) * q^16 + (339722*b3 - 871550*b2 + 183765080*b1 - 280765706954) * q^17 + (-1006128*b3 - 7437024*b2 - 72467991*b1 - 653578310790) * q^18 + (5265926*b3 - 11456667*b2 + 43223968*b1 - 422285933238) * q^19 + (199688*b3 + 16070656*b2 - 1338959288*b1 - 1576566798288) * q^20 + (-40353607*b2 - 322828856*b1 - 297728912446) * q^21 + (-20831408*b3 + 66618720*b2 - 4054262608*b1 - 4227924695392) * q^22 + (13736027*b3 + 339037216*b2 - 2848483748*b1 - 5084223856956) * q^23 + (-3151080*b3 - 287575296*b2 + 779177688*b1 - 2297669600112) * q^24 + (-12923515*b3 - 176577030*b2 + 8412765940*b1 - 3040972758985) * q^25 + (69552276*b3 - 619349136*b2 + 8227355240*b1 - 1262450349184) * q^26 + (7545852*b3 + 263624778*b2 + 26327609856*b1 + 2838200173236) * q^27 + (80707214*b3 + 4277482342*b1 + 5810757993572) * q^28 + (-483646822*b3 + 1263405598*b2 + 15246132984*b1 + 4441719907250) * q^29 + (227798712*b3 - 744722496*b2 - 17425203912*b1 + 68647897456848) * q^30 + (432209046*b3 + 2623875498*b2 + 34257192072*b1 + 109639019254916) * q^31 + (-605369904*b3 - 1886965248*b2 - 181596719280*b1 + 43221539068128) * q^32 + (472081788*b3 - 1465098024*b2 - 18585511440*b1 + 140076686492880) * q^33 + (475116856*b3 + 1167771168*b2 - 205425638098*b1 + 145794014916140) * q^34 + (-766718533*b3 + 1493083459*b2 - 24050749772*b1 - 25073148758952) * q^35 + (-1706740398*b3 - 1779552768*b2 - 246625417734*b1 + 54668074877916) * q^36 + (2354384892*b3 - 18330792858*b2 + 524751609696*b1 + 92503722469346) * q^37 + (1795175364*b3 + 16426044816*b2 + 203050976882*b1 + 67315214820452) * q^38 + (-2147843313*b3 - 15425426660*b2 + 803553355724*b1 - 861839809068644) * q^39 + (1619779600*b3 + 16372247040*b2 - 292707345520*b1 - 572239322261920) * q^40 + (-7123192004*b3 + 11590933214*b2 + 2056557099552*b1 - 880934867101298) * q^41 + (-1452729852*b3 + 32928543312*b2 - 283524442782*b1 - 174615706993980) * q^42 + (10243806361*b3 + 30328947558*b2 + 350928515108*b1 - 1116002143328516) * q^43 + (-6663247904*b3 - 26742865408*b2 - 4014120939424*b1 - 1648188742394304) * q^44 + (16780873707*b3 + 55290987729*b2 + 1224399200868*b1 - 422529899054112) * q^45 + (6138634760*b3 - 258193147968*b2 - 4718129899544*b1 - 1559008322238608) * q^46 + (-29719020612*b3 - 246666282882*b2 - 3928744805216*b1 - 3167254054015484) * q^47 + (403934256*b3 + 330015944192*b2 + 1757302327984*b1 + 1152831631344416) * q^48 + 1628413597910449 * q^49 + (8538137760*b3 + 126717652320*b2 - 2553580259885*b1 + 5882068916767390) * q^50 + (-6349920534*b3 + 403422299658*b2 - 1012299800040*b1 + 2175748714353420) * q^51 + (-47049281968*b3 + 74579678208*b2 + 10475886188272*b1 + 8884681986888480) * q^52 + (37478263382*b3 - 543383823248*b2 + 16954771880120*b1 + 3890153977883494) * q^53 + (60704588808*b3 - 204976193760*b2 + 8248572078660*b1 + 17067860515303560) * q^54 + (36264082402*b3 + 264635105724*b2 + 35152227014408*b1 + 9357755029002728) * q^55 + (38255219436*b3 + 108470495616*b2 - 5399474031028*b1 + 4126839744438152) * q^56 + (-930819213*b3 + 253428055594*b2 - 23203437597556*b1 + 16628663051511736) * q^57 + (-122221652568*b3 - 1680960296736*b2 - 49701311198742*b1 + 9401866123732548) * q^58 + (-298678774164*b3 + 553195797405*b2 - 33285178938280*b1 - 32163791676828790) * q^59 + (20151066096*b3 + 412413399552*b2 + 40327246249584*b1 + 2541523464598944) * q^60 + (84194837529*b3 + 698140817397*b2 - 124783511562852*b1 - 24900900465722272) * q^61 + (280044823032*b3 - 1560193448544*b2 + 160131535605644*b1 + 12250866352989080) * q^62 + (80263324323*b3 + 499981190730*b2 - 40068710534580*b1 - 3362401472708901) * q^63 + (-144740322912*b3 + 1208122352640*b2 - 121078415672160*b1 - 31833090571606592) * q^64 + (605185552027*b3 + 274538209274*b2 - 129343989513172*b1 - 55570673756950212) * q^65 + (107253114624*b3 + 1829997910656*b2 + 192651716971296*b1 - 23968915456727232) * q^66 + (-517738334979*b3 + 1567111855680*b2 + 85104518022084*b1 - 139979901041512192) * q^67 + (-390765017764*b3 + 142598987776*b2 + 61522226847308*b1 - 1596542524191032) * q^68 + (-523359338202*b3 - 1521474460152*b2 + 405038178514104*b1 - 275865297056442456) * q^69 + (-300392250508*b3 - 2248825810896*b2 - 119201165375012*b1 - 14035764791944952) * q^70 + (-121702205550*b3 - 11140377101700*b2 - 191337152058168*b1 - 107865764952189912) * q^71 + (-629421520428*b3 + 3057398402688*b2 - 144307834956684*b1 + 175969315580689656) * q^72 + (2412586324208*b3 - 13390174429668*b2 - 41926451379680*b1 - 35430235156126206) * q^73 + (1549301002488*b3 + 18122220266976*b2 + 494070159415538*b1 + 344233051666863956) * q^74 + (43789984920*b3 + 11895473147765*b2 - 204112812051320*b1 + 148589811861421130) * q^75 + (-1365614426652*b3 - 4984343852544*b2 + 255603710091156*b1 + 344016452052681464) * q^76 + (-598726467059*b3 - 4280629923346*b2 - 267339256672012*b1 - 52660007794850988) * q^77 + (508191839064*b3 + 9700446741888*b2 - 921286706949840*b1 + 610725987323864832) * q^78 + (-1119661089456*b3 + 24224630191524*b2 - 1349758981225248*b1 - 68974841162370040) * q^79 + (233415120416*b3 - 19608421895168*b2 + 225795591986464*b1 + 676613705068572864) * q^80 + (-3734987001921*b3 - 1345658246478*b2 + 1202522130275004*b1 - 310841870581812015) * q^81 + (1723598205912*b3 - 19031771556000*b2 - 1313364659403618*b1 + 1432895356177506828) * q^82 + (-1306324513294*b3 - 211558160135*b2 + 2484539719755696*b1 - 562803756520580110) * q^83 + (-443082604860*b3 - 7665248356864*b2 - 286223453432588*b1 - 26624454724960456) * q^84 + (4166118945616*b3 - 16568442358398*b2 - 481774081696816*b1 - 184327879019373256) * q^85 + (5078156722224*b3 - 10980745458144*b2 + 52361776208264*b1 + 315508357439138960) * q^86 + (-965490793218*b3 + 22803011840670*b2 + 2492799501246024*b1 - 1577178517942375068) * q^87 + (-93517178176*b3 - 22060622481408*b2 - 996208312659776*b1 - 284146147068166016) * q^88 + (-4178029139162*b3 + 53331319663064*b2 + 1173222089790136*b1 - 1777276676641770958) * q^89 + (9729979680492*b3 - 22563951724656*b2 + 1605545190983268*b1 + 823402881054849528) * q^90 + (5904418715419*b3 + 40353566646393*b2 - 86606104271260*b1 - 242781449462172908) * q^91 + (-19542739290544*b3 + 41182789957120*b2 + 210088402727632*b1 - 235963687879937568) * q^92 + (-7244643939462*b3 - 139759033395380*b2 + 673621427849576*b1 - 3362241863132984528) * q^93 + (-23727414853288*b3 + 161337323129184*b2 - 6816137337093356*b1 - 2236482030060930968) * q^94 + (15760455729715*b3 + 34323781501520*b2 - 1525457107167940*b1 - 4079863495000626300) * q^95 + (11915644777056*b3 - 117977846031360*b2 + 504322102454112*b1 + 2159372001586655808) * q^96 + (12652066373464*b3 + 66745224111258*b2 - 9554838219163216*b1 - 54612291060150194) * q^97 + (1628413597910449*b1 - 140043569420298614) * q^98 + (18714686571927*b3 - 43566833893590*b2 + 3881702963791260*b1 + 2237459311237963644) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$4 q - 342 q^{2} - 29526 q^{3} + 576196 q^{4} - 2486610 q^{5} - 17324244 q^{6} + 161414428 q^{7} + 408794760 q^{8} - 335304432 q^{9}+O(q^{10})$$ 4 * q - 342 * q^2 - 29526 * q^3 + 576196 * q^4 - 2486610 * q^5 - 17324244 * q^6 + 161414428 * q^7 + 408794760 * q^8 - 335304432 * q^9 $$4 q - 342 q^{2} - 29526 q^{3} + 576196 q^{4} - 2486610 q^{5} - 17324244 q^{6} + 161414428 q^{7} + 408794760 q^{8} - 335304432 q^{9} - 1397073720 q^{10} - 5232894012 q^{11} - 2652921096 q^{12} - 24071694934 q^{13} - 13800933594 q^{14} - 150674677560 q^{15} - 695063798768 q^{16} - 1122693554556 q^{17} - 2614443305094 q^{18} - 1689034371682 q^{19} - 6308977253040 q^{20} - 1191480600282 q^{21} - 16919940544224 q^{22} - 20343270469752 q^{23} - 9188544894480 q^{24} - 12146712350000 q^{25} - 5032107987984 q^{26} + 11404928663100 q^{27} + 23251586938972 q^{28} + 17794845083772 q^{29} + 274558228864560 q^{30} + 438619343652812 q^{31} + 172526736764448 q^{32} + 560272505144688 q^{33} + 582762872846028 q^{34} - 100343682702270 q^{35} + 218182607781732 q^{36} + 371101054682492 q^{37} + 269634109145940 q^{38} - 34\!\cdots\!08 q^{39}+ \cdots + 89\!\cdots\!76 q^{99}+O(q^{100})$$ 4 * q - 342 * q^2 - 29526 * q^3 + 576196 * q^4 - 2486610 * q^5 - 17324244 * q^6 + 161414428 * q^7 + 408794760 * q^8 - 335304432 * q^9 - 1397073720 * q^10 - 5232894012 * q^11 - 2652921096 * q^12 - 24071694934 * q^13 - 13800933594 * q^14 - 150674677560 * q^15 - 695063798768 * q^16 - 1122693554556 * q^17 - 2614443305094 * q^18 - 1689034371682 * q^19 - 6308977253040 * q^20 - 1191480600282 * q^21 - 16919940544224 * q^22 - 20343270469752 * q^23 - 9188544894480 * q^24 - 12146712350000 * q^25 - 5032107987984 * q^26 + 11404928663100 * q^27 + 23251586938972 * q^28 + 17794845083772 * q^29 + 274558228864560 * q^30 + 438619343652812 * q^31 + 172526736764448 * q^32 + 560272505144688 * q^33 + 582762872846028 * q^34 - 100343682702270 * q^35 + 218182607781732 * q^36 + 371101054682492 * q^37 + 269634109145940 * q^38 - 3445721278709808 * q^39 - 2289575448232800 * q^40 - 3519649536072516 * q^41 - 699095733948108 * q^42 - 4463367374178964 * q^43 - 6600729725725248 * q^44 - 1687781379790170 * q^45 - 6244953162457584 * q^46 - 12676380373106604 * q^47 + 4614181098145248 * q^48 + 6513654391641796 * q^49 + 23522915071245150 * q^50 + 8700163413214284 * q^51 + 35559530560574048 * q^52 + 15595612222940712 * q^53 + 68288349157759080 * q^54 + 37500795299828280 * q^55 + 16496343088699320 * q^56 + 66467738474740644 * q^57 + 37511423793126180 * q^58 - 128722843456786530 * q^59 + 10245923524095840 * q^60 - 99854565167649586 * q^61 + 49326848870064696 * q^62 - 13530743274286224 * q^63 - 127576935362475968 * q^64 - 222541932083245740 * q^65 - 95494018388787648 * q^66 - 559752529353715960 * q^67 - 6263410841045064 * q^68 - 1102648068919821312 * q^69 - 56376963846908040 * q^70 - 431823453358672584 * q^71 + 703582531856039880 * q^72 - 141778013178404848 * q^73 + 1377884102545752948 * q^74 + 593927230875286350 * q^75 + 1376586984318613256 * q^76 - 211166148432901284 * q^77 + 2441041974988075872 * q^78 - 278647331872313704 * q^79 + 2706945628302054720 * q^80 - 1240959746750205096 * q^81 + 5728992758934332076 * q^82 - 2246245523526488778 * q^83 - 107054935309993272 * q^84 - 738241927356169860 * q^85 + 1262160114799888656 * q^86 - 6303774078790689564 * q^87 - 1138532883653020800 * q^88 - 7106866925026829688 * q^89 + 3296867742504813960 * q^90 - 971379717190526938 * q^91 - 943516940294209248 * q^92 - 13447340691609448200 * q^93 - 8959883069564168952 * q^94 - 16322573541779844120 * q^95 + 8638732606243594176 * q^96 - 237692331127149724 * q^97 - 556917450485373558 * q^98 + 8957687784547224276 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{4} - x^{3} - 330513x^{2} - 30288715x + 14876898628$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$2\nu$$ 2*v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( \nu^{3} - 366\nu^{2} - 190203\nu + 37566932 ) / 336$$ (v^3 - 366*v^2 - 190203*v + 37566932) / 336 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$2\nu^{2} - 278\nu - 330444$$ 2*v^2 - 278*v - 330444
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta_1 ) / 2$$ (b1) / 2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( \beta_{3} + 139\beta _1 + 330444 ) / 2$$ (b3 + 139*b1 + 330444) / 2 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 366\beta_{3} + 672\beta_{2} + 241077\beta _1 + 45808640 ) / 2$$ (366*b3 + 672*b2 + 241077*b1 + 45808640) / 2

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 −408.172 −351.370 178.094 582.447
−902.343 40157.9 289935. −3.86047e6 −3.62362e7 4.03536e7 2.11467e8 4.50396e8 3.48347e9
1.2 −788.739 −48874.0 97821.5 1.27186e6 3.85488e7 4.03536e7 3.36371e8 1.22641e9 −1.00316e9
1.3 270.188 −3480.67 −451287. 4.93061e6 −940434. 4.03536e7 −2.63588e8 −1.15015e9 1.33219e9
1.4 1078.89 −17329.2 639726. −4.82861e6 −1.86964e7 4.03536e7 1.24545e8 −8.61959e8 −5.20956e9
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$7$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 7.20.a.a 4
3.b odd 2 1 63.20.a.b 4
7.b odd 2 1 49.20.a.c 4

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
7.20.a.a 4 1.a even 1 1 trivial
49.20.a.c 4 7.b odd 2 1
63.20.a.b 4 3.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{4} + 342T_{2}^{3} - 1278192T_{2}^{2} - 467202816T_{2} + 207467274240$$ acting on $$S_{20}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(7))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{4} + 342 T^{3} + \cdots + 207467274240$$
$3$ $$T^{4} + 29526 T^{3} + \cdots - 11\!\cdots\!16$$
$5$ $$T^{4} + 2486610 T^{3} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$7$ $$(T - 40353607)^{4}$$
$11$ $$T^{4} + 5232894012 T^{3} + \cdots + 25\!\cdots\!76$$
$13$ $$T^{4} + 24071694934 T^{3} + \cdots + 14\!\cdots\!80$$
$17$ $$T^{4} + 1122693554556 T^{3} + \cdots + 20\!\cdots\!96$$
$19$ $$T^{4} + 1689034371682 T^{3} + \cdots + 68\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{4} + 20343270469752 T^{3} + \cdots - 14\!\cdots\!84$$
$29$ $$T^{4} - 17794845083772 T^{3} + \cdots + 55\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{4} - 438619343652812 T^{3} + \cdots - 39\!\cdots\!72$$
$37$ $$T^{4} - 371101054682492 T^{3} + \cdots + 29\!\cdots\!24$$
$41$ $$T^{4} + \cdots + 28\!\cdots\!24$$
$43$ $$T^{4} + \cdots + 16\!\cdots\!40$$
$47$ $$T^{4} + \cdots + 72\!\cdots\!88$$
$53$ $$T^{4} + \cdots - 28\!\cdots\!12$$
$59$ $$T^{4} + \cdots + 48\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{4} + \cdots + 87\!\cdots\!44$$
$67$ $$T^{4} + \cdots - 26\!\cdots\!88$$
$71$ $$T^{4} + \cdots - 55\!\cdots\!40$$
$73$ $$T^{4} + \cdots + 12\!\cdots\!68$$
$79$ $$T^{4} + \cdots - 11\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{4} + \cdots + 98\!\cdots\!48$$
$89$ $$T^{4} + \cdots + 36\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{4} + \cdots + 44\!\cdots\!68$$