# Properties

 Label 7.19.b.b Level $7$ Weight $19$ Character orbit 7.b Analytic conductor $14.377$ Analytic rank $0$ Dimension $10$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [7,19,Mod(6,7)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(7, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([1]))

N = Newforms(chi, 19, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("7.6");

S:= CuspForms(chi, 19);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$7$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$19$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 7.b (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$14.3770296397$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$10$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{10} + \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{10} + 635494794 x^{8} + \cdots + 45\!\cdots\!00$$ x^10 + 635494794*x^8 + 123824667286282140*x^6 + 7356336881247139575785400*x^4 + 132480343575851530451234641704000*x^2 + 452732995301888693578880691017420400000 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$2^{36}\cdot 3^{7}\cdot 5^{2}\cdot 7^{9}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{9}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + (\beta_{2} + 91) q^{2} + \beta_1 q^{3} + ( - \beta_{4} + 211 \beta_{2} + 65935) q^{4} + ( - \beta_{6} - 20 \beta_1) q^{5} + ( - \beta_{3} - 33 \beta_1) q^{6} + ( - \beta_{7} - 4 \beta_{6} + 15 \beta_{5} - 3 \beta_{4} - 3263 \beta_{2} + \cdots - 619419) q^{7}+ \cdots + ( - 4 \beta_{8} - 8 \beta_{7} + 4 \beta_{6} - 41 \beta_{5} + \cdots - 121014849) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (b2 + 91) * q^2 + b1 * q^3 + (-b4 + 211*b2 + 65935) * q^4 + (-b6 - 20*b1) * q^5 + (-b3 - 33*b1) * q^6 + (-b7 - 4*b6 + 15*b5 - 3*b4 - 3263*b2 + 188*b1 - 619419) * q^7 + (-32*b5 - 424*b4 - 46232*b2 + 49653448) * q^8 + (-4*b8 - 8*b7 + 4*b6 - 41*b5 - 387*b4 + 196765*b2 + 4*b1 - 121014849) * q^9 $$q + (\beta_{2} + 91) q^{2} + \beta_1 q^{3} + ( - \beta_{4} + 211 \beta_{2} + 65935) q^{4} + ( - \beta_{6} - 20 \beta_1) q^{5} + ( - \beta_{3} - 33 \beta_1) q^{6} + ( - \beta_{7} - 4 \beta_{6} + 15 \beta_{5} - 3 \beta_{4} - 3263 \beta_{2} + \cdots - 619419) q^{7}+ \cdots + ( - 413063347 \beta_{8} - 826126694 \beta_{7} + \cdots + 27\!\cdots\!56) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (b2 + 91) * q^2 + b1 * q^3 + (-b4 + 211*b2 + 65935) * q^4 + (-b6 - 20*b1) * q^5 + (-b3 - 33*b1) * q^6 + (-b7 - 4*b6 + 15*b5 - 3*b4 - 3263*b2 + 188*b1 - 619419) * q^7 + (-32*b5 - 424*b4 - 46232*b2 + 49653448) * q^8 + (-4*b8 - 8*b7 + 4*b6 - 41*b5 - 387*b4 + 196765*b2 + 4*b1 - 121014849) * q^9 + (b9 + b8 - 16*b7 - 155*b6 + 4*b5 + 4*b4 + 25*b3 - b2 + 3306*b1 - 5) * q^10 + (-3*b8 - 6*b7 + 3*b6 - 504*b5 - 3678*b4 - 139178*b2 + 3*b1 + 281196940) * q^11 + (-b9 + 3*b8 - 32*b7 + 95*b6 + 8*b5 + 8*b4 - 80*b3 - 3*b2 + 8651*b1 - 11) * q^12 + (-8*b9 + 5*b8 - 28*b7 + 148*b6 + 7*b5 + 7*b4 - 80*b3 - 5*b2 + 2925*b1 - 12) * q^13 + (7*b9 + 147*b8 + 8*b7 - 2761*b6 + 692*b5 + 51957*b4 - 287*b3 - 916677*b2 + 23276*b1 - 1100951443) * q^14 + (286*b8 + 572*b7 - 286*b6 - 12943*b5 - 5217*b4 - 8127817*b2 - 286*b1 + 10210515774) * q^15 + (-256*b8 - 512*b7 + 256*b6 - 19200*b5 + 111504*b4 + 42324432*b2 + 256*b1 - 27535108592) * q^16 + (-16*b9 + 231*b8 - 2708*b7 - 5671*b6 + 677*b5 + 677*b4 + 8720*b3 - 231*b2 + 1109943*b1 - 908) * q^17 + (248*b8 + 496*b7 - 248*b6 - 124304*b5 - 411246*b4 - 47942597*b2 - 248*b1 + 51928112301) * q^18 + (24*b9 + 669*b8 - 8124*b7 + 59703*b6 + 2031*b5 + 2031*b4 - 21312*b3 - 669*b2 + 2872218*b1 - 2700) * q^19 + (241*b9 + 1101*b8 - 14176*b7 - 217103*b6 + 3544*b5 + 3544*b4 + 17920*b3 - 1101*b2 - 785739*b1 - 4645) * q^20 + (-224*b9 - 1225*b8 - 7488*b7 - 186262*b6 - 143572*b5 + 363586*b4 - 51184*b3 - 9724538*b2 - 2387985*b1 - 95219371150) * q^21 + (-3600*b8 - 7200*b7 + 3600*b6 - 284928*b5 - 2319196*b4 + 733904542*b2 + 3600*b1 - 18764420878) * q^22 + (11799*b8 + 23598*b7 - 11799*b6 - 244282*b5 - 1504088*b4 - 426630364*b2 - 11799*b1 + 593202497180) * q^23 + (-72*b9 - 72*b8 + 1152*b7 + 363096*b6 - 288*b5 - 288*b4 + 219664*b3 + 72*b2 + 30332040*b1 + 360) * q^24 + (4384*b8 + 8768*b7 - 4384*b6 + 1132503*b5 + 17319317*b4 - 817253243*b2 - 4384*b1 - 1426227253689) * q^25 + (-183*b9 - 5463*b8 + 66288*b7 + 3289069*b6 - 16572*b5 - 16572*b4 - 175449*b3 + 5463*b2 + 21212000*b1 + 22035) * q^26 + (-3192*b9 - 12141*b8 + 158460*b7 - 1736871*b6 - 39615*b5 - 39615*b4 - 17280*b3 + 12141*b2 - 208278891*b1 + 51756) * q^27 + (3241*b9 - 539*b8 + 66976*b7 - 2808855*b6 + 1246840*b5 + 14751667*b4 + 61600*b3 - 6849232278*b2 + 40233389*b1 - 232621023810) * q^28 + (16080*b8 + 32160*b7 - 16080*b6 + 5101490*b5 - 51416426*b4 + 8172774326*b2 - 16080*b1 + 4340454902606) * q^29 + (-144728*b8 - 289456*b7 + 144728*b6 + 5041424*b5 - 36403914*b4 + 10134078806*b2 + 144728*b1 - 1668886470162) * q^30 + (4224*b9 - 28471*b8 + 324756*b7 + 2839263*b6 - 81189*b5 - 81189*b4 - 1521216*b3 + 28471*b2 + 427693341*b1 + 109660) * q^31 + (-116736*b8 - 233472*b7 + 116736*b6 + 1876480*b5 + 28925696*b4 - 23808025600*b2 + 116736*b1 - 1988677113856) * q^32 + (-576*b9 - 18819*b8 + 228132*b7 + 3793329*b6 - 57033*b5 - 57033*b4 + 2461040*b3 + 18819*b2 - 320073891*b1 + 75852) * q^33 + (23542*b9 + 12822*b8 - 248032*b7 - 1382546*b6 + 62008*b5 + 62008*b4 - 791228*b3 - 12822*b2 - 2314941702*b1 - 74830) * q^34 + (-27608*b9 + 60564*b8 + 222752*b7 + 8655744*b6 + 1880027*b5 + 243070689*b4 + 2786560*b3 - 37426997911*b2 + 2055291355*b1 - 19881579929042) * q^35 + (18432*b8 + 36864*b7 - 18432*b6 - 17797824*b5 - 352413153*b4 + 48465559827*b2 - 18432*b1 + 21139756447311) * q^36 + (749396*b8 + 1498792*b7 - 749396*b6 - 16551918*b5 + 152426478*b4 + 69294712734*b2 - 749396*b1 + 8330620893430) * q^37 + (-53106*b9 + 158382*b8 - 1688160*b7 - 17661978*b6 + 422040*b5 + 422040*b4 - 6234405*b3 - 158382*b2 + 5675192841*b1 - 580422) * q^38 + (935438*b8 + 1870876*b7 - 935438*b6 - 56206097*b5 + 405416649*b4 - 33799986719*b2 - 935438*b1 - 1495753671510) * q^39 + (22840*b9 + 320120*b8 - 3932800*b7 - 127953512*b6 + 983200*b5 + 983200*b4 + 152560*b3 - 320120*b2 - 4773111000*b1 - 1303320) * q^40 + (-95744*b9 + 359166*b8 - 3927016*b7 + 83078532*b6 + 981754*b5 + 981754*b4 + 1115488*b3 - 359166*b2 - 14932335530*b1 - 1340920) * q^41 + (149625*b9 - 676543*b8 - 5353280*b7 + 59941237*b6 - 56133740*b5 - 391913094*b4 - 7486045*b3 - 138376688963*b2 + 14459926948*b1 - 11774170478895) * q^42 + (-930927*b8 - 1861854*b7 + 930927*b6 - 88370394*b5 + 194033924*b4 - 264518695352*b2 + 930927*b1 - 79981407953424) * q^43 + (-974592*b8 - 1949184*b7 + 974592*b6 - 86474624*b5 - 1208505898*b4 + 401233743326*b2 + 974592*b1 + 159374936855222) * q^44 + (369960*b9 + 300015*b8 - 5080020*b7 - 99967944*b6 + 1270005*b5 + 1270005*b4 + 58084560*b3 - 300015*b2 + 28758784455*b1 - 1570020) * q^45 + (-3653312*b8 - 7306624*b7 + 3653312*b6 + 217726176*b5 - 720414320*b4 + 733631200418*b2 + 3653312*b1 - 82387507902122) * q^46 + (-215792*b9 - 775167*b8 + 10165172*b7 + 11891471*b6 - 2541293*b5 - 2541293*b4 - 62991680*b3 + 775167*b2 - 17940454711*b1 + 3316460) * q^47 + (114320*b9 - 1882032*b8 + 22127104*b7 + 43113104*b6 - 5531776*b5 - 5531776*b4 + 12376960*b3 + 1882032*b2 - 63503951792*b1 + 7413808) * q^48 + (-506464*b9 + 5238639*b8 + 26974220*b7 - 15537501*b6 + 152152091*b5 - 2545630857*b4 - 40892656*b3 - 1034995194821*b2 + 28634387215*b1 + 312874009230545) * q^49 + (8428728*b8 + 16857456*b7 - 8428728*b6 + 868294256*b5 + 8272592674*b4 - 3707603485861*b2 - 8428728*b1 - 391773537714643) * q^50 + (-7717116*b8 - 15434232*b7 + 7717116*b6 + 625789380*b5 + 5581440612*b4 + 3841311846324*b2 + 7717116*b1 - 562670089848576) * q^51 + (-1595009*b9 - 5321565*b8 + 70238816*b7 + 718487359*b6 - 17559704*b5 - 17559704*b4 - 30908960*b3 + 5321565*b2 + 35682274203*b1 + 22881269) * q^52 + (7606056*b8 + 15212112*b7 - 7606056*b6 - 100759420*b5 - 9938481476*b4 + 1674866304092*b2 - 7606056*b1 + 1408584803092658) * q^53 + (1157970*b9 - 3269070*b8 + 34596960*b7 + 1428656250*b6 - 8649240*b5 - 8649240*b4 + 173711142*b3 + 3269070*b2 + 12451652856*b1 + 11918310) * q^54 + (925744*b9 + 2790559*b8 - 37189684*b7 - 1233465551*b6 + 9297421*b5 + 9297421*b4 + 19290880*b3 - 2790559*b2 - 38156868231*b1 - 12087980) * q^55 + (857752*b9 - 25089960*b8 - 43563136*b7 - 940685064*b6 + 665434624*b5 + 582286408*b4 + 128196208*b3 - 2682014895904*b2 - 17676254072*b1 - 1923495363114272) * q^56 + (-40843104*b8 - 81686208*b7 + 40843104*b6 - 2604360333*b5 - 6017001687*b4 - 8606316290727*b2 + 40843104*b1 - 1463568672877146) * q^57 + (38496400*b8 + 76992800*b7 - 38496400*b6 - 326553312*b5 - 2154520964*b4 + 11621322214598*b2 - 38496400*b1 + 3009800276828218) * q^58 + (3946232*b9 + 17615067*b8 - 227165732*b7 - 1235391191*b6 + 56791433*b5 + 56791433*b4 - 510518656*b3 - 17615067*b2 - 73732902746*b1 - 74406500) * q^59 + (-13800960*b8 - 27601920*b7 + 13800960*b6 - 673104960*b5 + 429530040*b4 + 6121972098360*b2 + 13800960*b1 + 413085497074200) * q^60 + (-3767552*b9 + 20866948*b8 - 235333168*b7 + 350846881*b6 + 58833292*b5 + 58833292*b4 + 19927168*b3 - 20866948*b2 + 159276195192*b1 - 79700240) * q^61 + (-5443310*b9 - 534606*b8 + 28188512*b7 - 412143238*b6 - 7047128*b5 - 7047128*b4 - 484668800*b3 + 534606*b2 + 381778492946*b1 + 7581734) * q^62 + (611184*b9 + 62485829*b8 - 97802465*b7 - 1101235001*b6 - 4811146601*b5 - 10191455961*b4 + 485835840*b3 - 24610409802473*b2 - 237953425967*b1 + 978259198741635) * q^63 + (98930688*b8 + 197861376*b7 - 98930688*b6 + 3233366016*b5 + 7118516992*b4 - 19575953922304*b2 - 98930688*b1 - 577616554831104) * q^64 + (-38121756*b8 - 76243512*b7 + 38121756*b6 - 6784061207*b5 - 11480410813*b4 + 51878133397667*b2 + 38121756*b1 + 635469616660106) * q^65 + (-2115388*b9 - 15431388*b8 + 193638208*b7 + 1126157684*b6 - 48409552*b5 - 48409552*b4 + 599554486*b3 + 15431388*b2 - 668279892390*b1 + 63840940) * q^66 + (63056633*b8 + 126113266*b7 - 63056633*b6 - 2970925974*b5 + 104669254144*b4 + 6742302473060*b2 - 63056633*b1 - 3253562186772552) * q^67 + (5782164*b9 - 34917372*b8 + 395879808*b7 - 9013069740*b6 - 98969952*b5 - 98969952*b4 + 379425120*b3 + 34917372*b2 + 9381667716*b1 + 133887324) * q^68 + (10787400*b9 + 28410525*b8 - 384075900*b7 + 9059028165*b6 + 96018975*b5 + 96018975*b4 + 1589250416*b3 - 28410525*b2 + 1756650188433*b1 - 124429500) * q^69 + (-6455484*b9 - 32972100*b8 + 514102192*b7 + 12790615132*b6 + 9558133632*b5 + 95360327026*b4 - 2317879515*b3 - 54722009200514*b2 - 846403775663*b1 - 13786016135581194) * q^70 + (-13177059*b8 - 26354118*b7 + 13177059*b6 - 4821610411*b5 - 161224734911*b4 - 37747542064651*b2 + 13177059*b1 + 9612713747856086) * q^71 + (-210048512*b8 - 420097024*b7 + 210048512*b6 + 18658385888*b5 - 75011287752*b4 + 83828970625736*b2 + 210048512*b1 + 3822672459699624) * q^72 + (-21735280*b9 - 16139241*b8 + 280612012*b7 - 6184325593*b6 - 70153003*b5 - 70153003*b4 + 2186933840*b3 + 16139241*b2 - 1402060409553*b1 + 86292244) * q^73 + (-240328368*b8 - 480656736*b7 + 240328368*b6 + 21580699424*b5 - 92785083380*b4 - 2070856701978*b2 + 240328368*b1 + 22915003066120122) * q^74 + (8430360*b9 + 8298855*b8 - 133307700*b7 - 10672805955*b6 + 33326925*b5 + 33326925*b4 - 5599325760*b3 - 8298855*b2 + 97458371560*b1 - 41625780) * q^75 + (10567659*b9 - 150721281*b8 + 1766384736*b7 + 327089163*b6 - 441596184*b5 - 441596184*b4 - 1994212080*b3 + 150721281*b2 + 821803208199*b1 + 592317465) * q^76 + (10837288*b9 - 174867084*b8 - 638877700*b7 - 8360790994*b6 - 622519045*b5 + 11462650881*b4 + 1794190720*b3 - 38438050691991*b2 - 582056058604*b1 - 27985743232000768) * q^77 + (-584351848*b8 - 1168703696*b7 + 584351848*b6 + 27567084784*b5 - 68060260614*b4 - 54983440052774*b2 + 584351848*b1 - 10953306058995582) * q^78 + (762779621*b8 + 1525559242*b7 - 762779621*b6 - 357172353*b5 + 237496686367*b4 + 90267593674739*b2 - 762779621*b1 - 15399086857361670) * q^79 + (78511088*b9 - 78051792*b8 + 622577152*b7 + 18392447472*b6 - 155644288*b5 - 155644288*b4 + 638023040*b3 + 78051792*b2 + 748723301168*b1 + 233696080) * q^80 + (373136640*b8 + 746273280*b7 - 373136640*b6 - 36594495483*b5 - 20758229505*b4 + 26146538884047*b2 - 373136640*b1 + 59054271678418779) * q^81 + (-69152118*b9 - 92742710*b8 + 1389520992*b7 + 43382460978*b6 - 347380248*b5 - 347380248*b4 + 12194799750*b3 + 92742710*b2 + 52489139184*b1 + 440122958) * q^82 + (-101896288*b9 + 184231014*b8 - 1803187016*b7 + 3701303370*b6 + 450796754*b5 + 450796754*b4 + 3107556800*b3 - 184231014*b2 - 2622231505429*b1 - 635027768) * q^83 + (5167099*b9 + 132406575*b8 - 89838112*b7 - 11362200773*b6 - 8684995256*b5 - 229069808576*b4 + 298743200*b3 + 24420250649865*b2 + 2098441106503*b1 - 20345901726147487) * q^84 + (1393056228*b8 + 2786112456*b7 - 1393056228*b6 - 61203576324*b5 + 937113094764*b4 - 97403508095556*b2 - 1393056228*b1 - 9685187275568688) * q^85 + (-572909664*b8 - 1145819328*b7 + 572909664*b6 - 33712048928*b5 + 12617147384*b4 - 133960999716878*b2 + 572909664*b1 - 91869670282941290) * q^86 + (-94443696*b9 + 415063458*b8 - 4602986712*b7 - 37786549770*b6 + 1150746678*b5 + 1150746678*b4 - 20141642560*b3 - 415063458*b2 + 5318230189692*b1 - 1565810136) * q^87 + (392262656*b8 + 784525312*b7 - 392262656*b6 - 4710477120*b5 - 337551138256*b4 + 167697120320464*b2 - 392262656*b1 + 147780485016928400) * q^88 + (160148160*b9 + 517691655*b8 - 6852892500*b7 + 62102657235*b6 + 1713223125*b5 + 1713223125*b4 - 4335145776*b3 - 517691655*b2 + 1070580567687*b1 - 2230914780) * q^89 + (177752319*b9 + 289384479*b8 - 4183623024*b7 - 186588551685*b6 + 1045905756*b5 + 1045905756*b4 - 15057526455*b3 - 289384479*b2 - 16215927984936*b1 - 1335290235) * q^90 + (-21693280*b9 + 845104323*b8 - 924330204*b7 - 107563932203*b6 - 54969168058*b5 - 862831188296*b4 + 16788808064*b3 + 347077049716460*b2 + 8367402207164*b1 - 14822969295912554) * q^91 + (-825150720*b8 - 1650301440*b7 + 825150720*b6 - 16325485568*b5 + 236328069614*b4 + 203008498818518*b2 + 825150720*b1 + 71616708851422478) * q^92 + (-2002742212*b8 - 4005484424*b7 + 2002742212*b6 - 114980094944*b5 - 1181790804696*b4 - 545266426778216*b2 + 2002742212*b1 - 217794663003903768) * q^93 + (-110980838*b9 - 155674438*b8 + 2312016608*b7 + 121221275554*b6 - 578004152*b5 - 578004152*b4 + 7894662724*b3 + 155674438*b2 + 17313194729694*b1 + 733678590) * q^94 + (-2919851406*b8 - 5839702812*b7 + 2919851406*b6 + 37444107093*b5 - 138203469213*b4 - 213062202119733*b2 + 2919851406*b1 + 289357824530441406) * q^95 + (-86738688*b9 - 345915648*b8 + 4497942528*b7 - 85510400256*b6 - 1124485632*b5 - 1124485632*b4 + 12456288000*b3 + 345915648*b2 - 9787103635968*b1 + 1470401280) * q^96 + (132289120*b9 - 394993679*b8 + 4210767668*b7 + 288856343923*b6 - 1052691917*b5 - 1052691917*b4 + 32784622960*b3 + 394993679*b2 - 14952092508135*b1 + 1447685596) * q^97 + (-84136332*b9 - 148254204*b8 + 6915727392*b7 + 246227727284*b6 + 108694834192*b5 + 1003641914996*b4 - 41260684710*b3 + 501711648178209*b2 + 9759856444030*b1 - 302451921606540741) * q^98 + (-413063347*b8 - 826126694*b7 + 413063347*b6 + 197573126638*b5 - 307851606972*b4 + 962376721598392*b2 + 413063347*b1 + 271736914604965656) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$10 q + 912 q^{2} + 659776 q^{4} - 6200670 q^{7} + 496443648 q^{8} - 1209753462 q^{9}+O(q^{10})$$ 10 * q + 912 * q^2 + 659776 * q^4 - 6200670 * q^7 + 496443648 * q^8 - 1209753462 * q^9 $$10 q + 912 q^{2} + 659776 q^{4} - 6200670 q^{7} + 496443648 q^{8} - 1209753462 q^{9} + 2811704772 q^{11} - 11011554288 q^{14} + 102088894800 q^{15} - 275266919424 q^{16} + 519186632208 q^{18} - 952214871216 q^{21} - 186167663968 q^{22} + 5931177144468 q^{23} - 14263974090710 q^{25} - 2339965496512 q^{28} + 43421110314756 q^{29} - 16668439687680 q^{30} - 19934498205696 q^{32} - 198891622589520 q^{35} + 211495869502272 q^{36} + 83444149554852 q^{37} - 15026878250832 q^{39} - 118016981967360 q^{42} - 800344062354012 q^{43} + 15\!\cdots\!52 q^{44}+ \cdots + 27\!\cdots\!84 q^{99}+O(q^{100})$$ 10 * q + 912 * q^2 + 659776 * q^4 - 6200670 * q^7 + 496443648 * q^8 - 1209753462 * q^9 + 2811704772 * q^11 - 11011554288 * q^14 + 102088894800 * q^15 - 275266919424 * q^16 + 519186632208 * q^18 - 952214871216 * q^21 - 186167663968 * q^22 + 5931177144468 * q^23 - 14263974090710 * q^25 - 2339965496512 * q^28 + 43421110314756 * q^29 - 16668439687680 * q^30 - 19934498205696 * q^32 - 198891622589520 * q^35 + 211495869502272 * q^36 + 83444149554852 * q^37 - 15026878250832 * q^39 - 118016981967360 * q^42 - 800344062354012 * q^43 + 1594556504909952 * q^44 - 822404470284256 * q^46 + 3126680482872394 * q^49 - 3925182005330160 * q^50 - 5619039287239872 * q^51 + 14089237255093380 * q^53 - 19240318488389376 * q^56 - 14652880175322000 * q^57 + 30121253069717408 * q^58 + 4143095961016320 * q^60 + 9733402700107170 * q^63 - 5815340254937088 * q^64 + 6458485091891280 * q^65 - 32522562386100988 * q^67 - 137969969729840640 * q^70 + 96052277755566852 * q^71 + 38394721580558592 * q^72 + 229146305172156576 * q^74 - 279934353004871628 * q^77 - 109642695420034560 * q^78 - 153811290189594364 * q^79 + 590595016720789818 * q^81 - 203409277512247296 * q^84 - 97050561775859520 * q^85 - 918964738138256736 * q^86 + 1478141582055422464 * q^88 - 147532193689181616 * q^91 + 716572134149817984 * q^92 - 2179032649667627520 * q^93 + 2893152771961076880 * q^95 - 3023519617273406832 * q^98 + 2719295529350041284 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{10} + 635494794 x^{8} + \cdots + 45\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$2\nu$$ 2*v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 13\!\cdots\!39 \nu^{8} + \cdots + 73\!\cdots\!50 ) / 75\!\cdots\!50$$ (-139592537813271156239*v^8 + 588790822232072412101888330559*v^6 + 299249123962907148091709857227172077390*v^4 + 37194684690803300237045815847845193031070832100*v^2 + 733036878587217329435754183697814743979526073865310750) / 756213703245287572256507445957962922017950883700750 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!39 \nu^{9} + \cdots - 82\!\cdots\!50 \nu ) / 37\!\cdots\!75$$ (139592537813271156239*v^9 - 588790822232072412101888330559*v^7 - 299249123962907148091709857227172077390*v^5 - 37194684690803300237045815847845193031070832100*v^3 - 826807377789632988395561106996602146309751983444203750*v) / 378106851622643786128253722978981461008975441850375 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!11 \nu^{8} + \cdots - 37\!\cdots\!00 ) / 75\!\cdots\!50$$ (-10247006334178412608853111*v^8 - 6220856421507418285355394286209339*v^6 - 1103341559536236299013366234590334529954710*v^4 - 48614542653840340771136762634154082262177565739700*v^2 - 371635501666888026200005562432787291001596205123833100500) / 756213703245287572256507445957962922017950883700750 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 71\!\cdots\!97 \nu^{8} + \cdots - 63\!\cdots\!25 ) / 37\!\cdots\!75$$ (7130587138595528702766097*v^8 + 4699691665045748630499248427512418*v^6 + 791119662115268429849908934083642515276780*v^4 + 7688974886533361962584621548757927583434269480700*v^2 - 630396717750546441874186053285190163636232572516150908125) / 378106851622643786128253722978981461008975441850375 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 74\!\cdots\!44 \nu^{9} + \cdots + 70\!\cdots\!50 \nu ) / 30\!\cdots\!75$$ (745820689416869235294640244*v^9 + 471761631625844883533636501124197016*v^7 + 91169228126708066956345264692611270425090980*v^5 + 5226639032514562786477961860122365317277488591119300*v^3 + 70306341418191152440100346753565434399469886464421142210750*v) / 30357821009930446944451363164259442522949629250724758375 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 39\!\cdots\!92 \nu^{9} + \cdots - 51\!\cdots\!50 ) / 33\!\cdots\!75$$ (-395964424957936302711944592*v^9 + 270942475144191731106172477960*v^8 - 234689078468594679860176681936322448*v^7 + 173329463333104449117705625833108047490*v^6 - 38465119392831552784108684597184932295354280*v^5 + 33991296110073602931883286019764450968279765650*v^4 - 1001374726590540720321505487631309711104572251028500*v^3 + 1758560209117580159963203602334855851107179804001499750*v^2 + 27215632276306022129640327338311171790713462632184505373750*v - 5123711823041335343719151598885312700617732739601519578289250) / 3373091223325605216050151462695493613661069916747195375 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 71\!\cdots\!00 \nu^{9} + \cdots - 32\!\cdots\!00 ) / 27\!\cdots\!25$$ (715743667150883880373603900*v^9 + 2616212856066841759771076876424*v^8 + 426924094914595374637892434179818280*v^7 + 1666982232385771174984549238273664917886*v^6 + 71231034290697819733663780676540004703769820*v^5 + 328490605377281363544906334997139499333618533780*v^4 + 2113762191922208704751369148862358192469071737239300*v^3 + 17629890450493170601230107672912223242164541302880509500*v^2 - 38137665810299762272685149328155194449847867423308955000000*v - 32430199786707973085048283567312788213595108216358722826581000) / 2759801909993676994950123924023585683904511750065887125 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!04 \nu^{9} + \cdots - 23\!\cdots\!00 ) / 60\!\cdots\!50$$ (-1225486832072422030031517724804*v^9 + 19185564680405262401563851518133*v^8 - 758325710679095861045400009215265974736*v^7 + 12224520613020213219599395997836151980647*v^6 - 139287990753108946422635757768271489215177478800*v^5 + 2408923097295758713378642078214780690973562059150*v^4 - 6879481365162245498753837727398597165171205229867617600*v^3 + 129284867862270204440296545544186767894972212339110910700*v^2 - 85682999250659604467227077308915527976919403947014677459389000*v - 237841103607054105608039731550420861021985599609364991856368500) / 60715642019860893888902726328518885045899258501449516750
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta_1 ) / 2$$ (b1) / 2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( -4\beta_{8} - 8\beta_{7} + 4\beta_{6} - 41\beta_{5} - 387\beta_{4} + 196765\beta_{2} + 4\beta _1 - 508435338 ) / 4$$ (-4*b8 - 8*b7 + 4*b6 - 41*b5 - 387*b4 + 196765*b2 + 4*b1 - 508435338) / 4 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( - 3192 \beta_{9} - 12141 \beta_{8} + 158460 \beta_{7} - 1736871 \beta_{6} - 39615 \beta_{5} - 39615 \beta_{4} - 17280 \beta_{3} + 12141 \beta_{2} - 983119869 \beta _1 + 51756 ) / 8$$ (-3192*b9 - 12141*b8 + 158460*b7 - 1736871*b6 - 39615*b5 - 39615*b4 - 17280*b3 + 12141*b2 - 983119869*b1 + 51756) / 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 1255545627 \beta_{8} + 2511091254 \beta_{7} - 1255545627 \beta_{6} + 2764556166 \beta_{5} + 107259239556 \beta_{4} - 50636459667552 \beta_{2} + \cdots + 12\!\cdots\!26 ) / 4$$ (1255545627*b8 + 2511091254*b7 - 1255545627*b6 + 2764556166*b5 + 107259239556*b4 - 50636459667552*b2 - 1255545627*b1 + 124973609549985126) / 4 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 1098863262108 \beta_{9} + 3429138230469 \beta_{8} - 45545111814060 \beta_{7} + 648467689485069 \beta_{6} + 11386277953515 \beta_{5} + \cdots - 14815416183984 ) / 8$$ (1098863262108*b9 + 3429138230469*b8 - 45545111814060*b7 + 648467689485069*b6 + 11386277953515*b5 + 11386277953515*b4 + 33386730238800*b3 - 3429138230469*b2 + 268403853063194271*b1 - 14815416183984) / 8 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 18\!\cdots\!99 \beta_{8} + \cdots - 17\!\cdots\!52 ) / 2$$ (-180513484274344599*b8 - 361026968548689198*b7 + 180513484274344599*b6 + 507241630267825248*b5 - 14178874951241424072*b4 + 8529567479908629932664*b2 + 180513484274344599*b1 - 17060150948258815339811652) / 2 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!86 \beta_{9} + \cdots + 20\!\cdots\!78 ) / 4$$ (-166696509083504005386*b9 - 458745763649254681473*b8 + 6171735200125072199220*b7 - 102476819295312530338773*b6 - 1542933800031268049805*b5 - 1542933800031268049805*b4 - 9545190053705124941700*b3 + 458745763649254681473*b2 - 37462523555012639463250407*b1 + 2001679563680522731278) / 4 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$25\!\cdots\!58 \beta_{8} + \cdots + 23\!\cdots\!09$$ 25740674926847854815866058*b8 + 51481349853695709631732116*b7 - 25740674926847854815866058*b6 - 179760017910105134376281316*b5 + 1801864972057485432605091849*b4 - 1459420376439861986297591666763*b2 - 25740674926847854815866058*b1 + 2381176709842659129841096140306309 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( 24\!\cdots\!37 \beta_{9} + \cdots - 27\!\cdots\!01 ) / 2$$ (24732134559522795730859157537*b9 + 61563738244827667750313147091*b8 - 837693397176023195927194395240*b7 + 15717526085756281819208977231191*b6 + 209423349294005798981798598810*b5 + 209423349294005798981798598810*b4 + 2028833086374140173864023749400*b3 - 61563738244827667750313147091*b2 + 5273981368044359088438898655443119*b1 - 270987087538833466732111745901) / 2

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$3$$ $$\chi(n)$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
6.1
 − 7531.39i 7531.39i − 17226.8i 17226.8i − 4894.95i 4894.95i − 15925.5i 15925.5i − 2103.77i 2103.77i
−600.360 15062.8i 98288.5 2.47910e6i 9.04310e6i 3.69552e7 1.62088e7i 9.83723e7 1.60533e8 1.48835e9i
6.2 −600.360 15062.8i 98288.5 2.47910e6i 9.04310e6i 3.69552e7 + 1.62088e7i 9.83723e7 1.60533e8 1.48835e9i
6.3 −466.518 34453.7i −44505.2 2.54521e6i 1.60732e7i −4.03019e7 2.04125e6i 1.43057e8 −7.99634e8 1.18739e9i
6.4 −466.518 34453.7i −44505.2 2.54521e6i 1.60732e7i −4.03019e7 + 2.04125e6i 1.43057e8 −7.99634e8 1.18739e9i
6.5 98.2563 9789.91i −252490. 1.22790e6i 961920.i −9.46776e6 + 3.92272e7i −5.05660e7 2.91578e8 1.20649e8i
6.6 98.2563 9789.91i −252490. 1.22790e6i 961920.i −9.46776e6 3.92272e7i −5.05660e7 2.91578e8 1.20649e8i
6.7 574.273 31851.1i 67645.7 59718.3i 1.82912e7i 3.42335e7 2.13655e7i −1.11695e8 −6.27071e8 3.42946e7i
6.8 574.273 31851.1i 67645.7 59718.3i 1.82912e7i 3.42335e7 + 2.13655e7i −1.11695e8 −6.27071e8 3.42946e7i
6.9 850.349 4207.54i 460949. 3.47421e6i 3.57787e6i −2.45193e7 + 3.20502e7i 1.69053e8 3.69717e8 2.95429e9i
6.10 850.349 4207.54i 460949. 3.47421e6i 3.57787e6i −2.45193e7 3.20502e7i 1.69053e8 3.69717e8 2.95429e9i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 6.10 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
7.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 7.19.b.b 10
3.b odd 2 1 63.19.d.d 10
7.b odd 2 1 inner 7.19.b.b 10
21.c even 2 1 63.19.d.d 10

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
7.19.b.b 10 1.a even 1 1 trivial
7.19.b.b 10 7.b odd 2 1 inner
63.19.d.d 10 3.b odd 2 1
63.19.d.d 10 21.c even 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{5} - 456T_{2}^{4} - 716336T_{2}^{3} + 195823104T_{2}^{2} + 124785737728T_{2} - 13438656184320$$ acting on $$S_{19}^{\mathrm{new}}(7, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{5} - 456 T^{4} + \cdots - 13438656184320)^{2}$$
$3$ $$T^{10} + 2541979176 T^{8} + \cdots + 46\!\cdots\!00$$
$5$ $$T^{10} + 26205473373480 T^{8} + \cdots + 25\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{10} + 6200670 T^{9} + \cdots + 11\!\cdots\!49$$
$11$ $$(T^{5} - 1405852386 T^{4} + \cdots + 53\!\cdots\!64)^{2}$$
$13$ $$T^{10} + \cdots + 56\!\cdots\!00$$
$17$ $$T^{10} + \cdots + 56\!\cdots\!00$$
$19$ $$T^{10} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$23$ $$(T^{5} - 2965588572234 T^{4} + \cdots - 76\!\cdots\!20)^{2}$$
$29$ $$(T^{5} - 21710555157378 T^{4} + \cdots - 61\!\cdots\!36)^{2}$$
$31$ $$T^{10} + \cdots + 79\!\cdots\!00$$
$37$ $$(T^{5} - 41722074777426 T^{4} + \cdots - 60\!\cdots\!80)^{2}$$
$41$ $$T^{10} + \cdots + 69\!\cdots\!00$$
$43$ $$(T^{5} + 400172031177006 T^{4} + \cdots - 59\!\cdots\!00)^{2}$$
$47$ $$T^{10} + \cdots + 59\!\cdots\!00$$
$53$ $$(T^{5} + \cdots + 44\!\cdots\!20)^{2}$$
$59$ $$T^{10} + \cdots + 13\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{10} + \cdots + 33\!\cdots\!00$$
$67$ $$(T^{5} + \cdots - 14\!\cdots\!60)^{2}$$
$71$ $$(T^{5} + \cdots - 89\!\cdots\!16)^{2}$$
$73$ $$T^{10} + \cdots + 12\!\cdots\!00$$
$79$ $$(T^{5} + \cdots + 18\!\cdots\!84)^{2}$$
$83$ $$T^{10} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$89$ $$T^{10} + \cdots + 40\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{10} + \cdots + 21\!\cdots\!00$$