# Properties

 Label 7.15.d.a Level $7$ Weight $15$ Character orbit 7.d Analytic conductor $8.703$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [7,15,Mod(3,7)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(7, base_ring=CyclotomicField(6))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([1]))

N = Newforms(chi, 15, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("7.3");

S:= CuspForms(chi, 15);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$7$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$15$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 7.d (of order $$6$$, degree $$2$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$8.70302777063$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Relative dimension: $$8$$ over $$\Q(\zeta_{6})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{16} - 4 x^{15} + 85634 x^{14} - 1484856 x^{13} + 5100567568 x^{12} - 86634496244 x^{11} + 158667006353068 x^{10} + \cdots + 39\!\cdots\!81$$ x^16 - 4*x^15 + 85634*x^14 - 1484856*x^13 + 5100567568*x^12 - 86634496244*x^11 + 158667006353068*x^10 - 2479041111490976*x^9 + 3586118330991857137*x^8 - 20846165075044890252*x^7 + 37608059289872945208860*x^6 + 827045135225564464606712*x^5 + 270361646791304486369834344*x^4 + 1550154994999498463011439976*x^3 + 40794904466494590831369061986*x^2 - 173447645073340501869209600760*x + 3991633250636415847515071045481 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{5}]$$ Coefficient ring index: $$2^{24}\cdot 3^{8}\cdot 7^{14}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{6}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + (\beta_{3} + 11 \beta_{2} + \beta_1 - 1) q^{2} + (\beta_{6} - \beta_{5} - 2 \beta_{3} - 91 \beta_{2} - \beta_1 + 92) q^{3} + ( - \beta_{9} - \beta_{6} - 5148 \beta_{2} - 12 \beta_1 - 5149) q^{4} + (\beta_{11} - \beta_{9} - \beta_{8} + \beta_{7} + 4 \beta_{5} + 46 \beta_{3} - 49 \beta_{2} + \cdots - 140) q^{5}+ \cdots + (\beta_{15} + 3 \beta_{14} + 4 \beta_{13} + \beta_{12} - 3 \beta_{11} + 4 \beta_{10} - 24 \beta_{9} + \cdots + 2308) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (b3 + 11*b2 + b1 - 1) * q^2 + (b6 - b5 - 2*b3 - 91*b2 - b1 + 92) * q^3 + (-b9 - b6 - 5148*b2 - 12*b1 - 5149) * q^4 + (b11 - b9 - b8 + b7 + 4*b5 + 46*b3 - 49*b2 - 42*b1 - 140) * q^5 + (-b10 - b9 - b7 - 21*b6 - 65*b3 + 28309*b2 - 150*b1 + 14218) * q^6 + (-b12 + 2*b11 - b9 - 2*b8 + 3*b7 + 48*b6 + 49*b5 + 490*b3 + 57939*b2 + 122*b1 - 48608) * q^7 + (-b14 + b13 + b12 + 2*b11 + b10 - b8 - 67*b6 + 137*b5 + 2*b4 - 563*b3 - 2*b2 + 69*b1 + 117222) * q^8 + (b15 + 3*b14 + 4*b13 + b12 - 3*b11 + 4*b10 - 24*b9 - 3*b8 - 20*b7 + 327*b6 - 162*b5 - 4*b4 - 2493*b3 - 904293*b2 - 2332*b1 + 2308) * q^9 $$q + (\beta_{3} + 11 \beta_{2} + \beta_1 - 1) q^{2} + (\beta_{6} - \beta_{5} - 2 \beta_{3} - 91 \beta_{2} - \beta_1 + 92) q^{3} + ( - \beta_{9} - \beta_{6} - 5148 \beta_{2} - 12 \beta_1 - 5149) q^{4} + (\beta_{11} - \beta_{9} - \beta_{8} + \beta_{7} + 4 \beta_{5} + 46 \beta_{3} - 49 \beta_{2} + \cdots - 140) q^{5}+ \cdots + ( - 1584543 \beta_{15} + 13286812 \beta_{14} + \cdots - 40222062855063) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (b3 + 11*b2 + b1 - 1) * q^2 + (b6 - b5 - 2*b3 - 91*b2 - b1 + 92) * q^3 + (-b9 - b6 - 5148*b2 - 12*b1 - 5149) * q^4 + (b11 - b9 - b8 + b7 + 4*b5 + 46*b3 - 49*b2 - 42*b1 - 140) * q^5 + (-b10 - b9 - b7 - 21*b6 - 65*b3 + 28309*b2 - 150*b1 + 14218) * q^6 + (-b12 + 2*b11 - b9 - 2*b8 + 3*b7 + 48*b6 + 49*b5 + 490*b3 + 57939*b2 + 122*b1 - 48608) * q^7 + (-b14 + b13 + b12 + 2*b11 + b10 - b8 - 67*b6 + 137*b5 + 2*b4 - 563*b3 - 2*b2 + 69*b1 + 117222) * q^8 + (b15 + 3*b14 + 4*b13 + b12 - 3*b11 + 4*b10 - 24*b9 - 3*b8 - 20*b7 + 327*b6 - 162*b5 - 4*b4 - 2493*b3 - 904293*b2 - 2332*b1 + 2308) * q^9 + (b15 - b14 + 10*b13 + 10*b12 - 61*b11 + 25*b9 - 2*b7 + 219*b6 - 256*b5 - 9*b4 - 10824*b3 - 961239*b2 - 5449*b1 + 971832) * q^10 + (3*b15 + 3*b14 + 15*b13 - 15*b12 - 38*b11 + 32*b10 + 189*b9 + 76*b8 - 22*b7 + 1352*b6 + 1092*b5 + 16*b4 - 578640*b2 + 9026*b1 - 577325) * q^11 + (-b15 - 26*b14 + 25*b13 + b12 + 99*b11 + 25*b10 + 302*b9 - 99*b8 - 277*b7 + 24*b6 + 5926*b5 + 25*b4 - 2268*b3 + 2874548*b2 + 8193*b1 + 5757714) * q^12 + (13*b15 + 39*b14 + 39*b13 - 26*b12 - 156*b10 + 533*b9 - 13*b8 + 195*b7 + 156*b6 - 377*b5 - 21437*b3 + 3014479*b2 - 42939*b1 + 1528787) * q^13 + (-b14 + 49*b13 + 25*b12 + 50*b11 - 196*b10 - 3159*b9 - 881*b8 + 368*b7 - 4676*b6 + 2495*b5 - 245*b4 - 45350*b3 - 11640013*b2 - 124228*b1 - 2288549) * q^14 + (12*b15 - 37*b14 + 37*b13 + 25*b12 + 1632*b11 + 232*b10 - 584*b9 - 816*b8 + 3106*b7 - 2472*b6 + 9525*b5 + 464*b4 + 72129*b3 - 1048*b2 + 6821*b1 - 13997130) * q^15 + (-14*b15 + 8*b14 - 6*b13 - 14*b12 + 722*b11 + 228*b10 - 9800*b9 + 722*b8 - 9572*b7 + 24014*b6 - 11886*b5 - 228*b4 - 56854*b3 - 69381108*b2 - 44954*b1 + 36118) * q^16 + (-2*b15 + 2*b14 - 139*b13 - 139*b12 - 3975*b11 + 8399*b9 + 12907*b7 + 48385*b6 - 43959*b5 - 84*b4 + 123446*b3 + 55650525*b2 + 66149*b1 - 55809310) * q^17 + (-73*b15 - 73*b14 - 240*b13 + 240*b12 - 3567*b11 - 42*b10 + 12733*b9 + 7134*b8 - 3588*b7 - 71375*b6 - 87122*b5 - 21*b4 + 58993586*b2 + 1000178*b1 + 58918863) * q^18 + (66*b15 + 519*b14 - 453*b13 - 66*b12 + 1890*b11 - 168*b10 + 22735*b9 - 1890*b8 - 22903*b7 - 102*b6 + 167341*b5 - 168*b4 + 272446*b3 + 80271598*b2 - 105039*b1 + 160462680) * q^19 + (-312*b15 - 768*b14 - 768*b13 + 456*b12 + 1026*b10 + 37560*b9 + 3696*b8 + 17445*b7 - 96621*b6 - 19347*b5 + 199365*b3 + 248095626*b2 + 281736*b1 + 123868254) * q^20 + (49*b15 + 27*b14 - 980*b13 - 275*b12 + 1770*b11 + 1764*b10 - 65962*b9 - 3441*b8 + 11845*b7 - 516375*b6 + 377359*b5 + 2548*b4 - 601829*b3 - 241557589*b2 - 495231*b1 - 528368313) * q^21 + (-272*b15 + 961*b14 - 961*b13 - 689*b12 + 1198*b11 - 2742*b10 - 3341*b9 - 599*b8 + 43809*b7 + 346118*b6 - 655093*b5 - 5484*b4 + 1492222*b3 + 2143*b2 - 306233*b1 - 166463642) * q^22 + (61*b15 - 969*b14 - 908*b13 + 61*b12 - 362*b11 - 3440*b10 - 147851*b9 - 362*b8 - 151291*b7 + 805913*b6 - 404707*b5 + 3440*b4 - 5554640*b3 - 666979134*b2 - 5149994*b1 + 4998280) * q^23 + (-275*b15 + 275*b14 + 386*b13 + 386*b12 + 18351*b11 + 71231*b9 + 159060*b7 + 511757*b6 - 421900*b5 + 1753*b4 + 12726770*b3 + 358538968*b2 + 6453242*b1 - 371618821) * q^24 + (900*b15 + 900*b14 + 1250*b13 - 1250*b12 + 22480*b11 - 2880*b10 - 16150*b9 - 44960*b8 + 21040*b7 - 930530*b6 - 895300*b5 - 1440*b4 + 562908560*b2 + 12717300*b1 + 561997820) * q^25 + (-1261*b15 - 4394*b14 + 3133*b13 + 1261*b12 - 21073*b11 - 819*b10 + 104819*b9 + 21073*b8 - 105638*b7 - 2080*b6 + 3563339*b5 - 819*b4 + 6122805*b3 + 444416128*b2 - 2560727*b1 + 886353195) * q^26 + (3339*b15 + 6174*b14 + 6174*b13 - 2835*b12 + 7920*b10 + 17856*b9 - 32778*b8 + 29277*b7 - 617928*b6 + 5247*b5 - 16601808*b3 - 1261374414*b2 - 33824217*b1 - 614068551) * q^27 + (-1127*b15 - 325*b14 + 8134*b13 + 1710*b12 - 24869*b11 + 2646*b10 + 122036*b9 + 77116*b8 - 23884*b7 - 3732438*b6 + 3653708*b5 - 3381*b4 - 33674898*b3 + 319542496*b2 + 3974038*b1 + 1067215858) * q^28 + (2757*b15 - 8357*b14 + 8357*b13 + 5600*b12 - 114058*b11 + 6316*b10 + 63345*b9 + 57029*b8 - 224503*b7 + 919638*b6 - 2110217*b5 + 12632*b4 - 3404005*b3 + 50713*b2 - 1196895*b1 + 960813963) * q^29 + (-127*b15 + 11592*b14 + 11465*b13 - 127*b12 - 46887*b11 + 14932*b10 + 421214*b9 - 46887*b8 + 436146*b7 + 10852121*b6 - 5418531*b5 - 14932*b4 - 48277092*b3 - 1589711297*b2 - 42858434*b1 + 43247820) * q^30 + (4217*b15 - 4217*b14 + 4370*b13 + 4370*b12 + 119548*b11 - 341434*b9 - 561136*b7 - 119433*b6 - 106670*b5 - 2184*b4 + 145823598*b3 - 1622657225*b2 + 72685696*b1 + 1476387554) * q^31 + (-7574*b15 - 7574*b14 + 384*b13 - 384*b12 + 55286*b11 + 12828*b10 - 291362*b9 - 110572*b8 + 61700*b7 - 3591402*b6 - 3237948*b5 + 6414*b4 + 3406610196*b2 + 177872760*b1 + 3403080110) * q^32 + (12248*b15 + 19996*b14 - 7748*b13 - 12248*b12 + 58608*b11 + 10312*b10 - 978796*b9 - 58608*b8 + 989108*b7 + 22560*b6 + 7598324*b5 + 10312*b4 + 85093720*b3 - 7081758779*b2 - 77483148*b1 - 14241898334) * q^33 + (-20558*b15 - 23335*b14 - 23335*b13 + 2777*b12 - 98985*b10 - 1127904*b9 + 55635*b8 - 641262*b7 - 6575303*b6 + 509977*b5 - 134601074*b3 - 4385578966*b2 - 275168489*b1 - 2058851346) * q^34 + (11319*b15 + 2255*b14 - 33761*b13 - 6305*b12 + 125798*b11 - 94080*b10 + 1303023*b9 - 143244*b8 - 241424*b7 - 7174959*b6 + 3302408*b5 - 59976*b4 - 283186067*b3 + 14530275354*b2 - 30706331*b1 + 11891543297) * q^35 + (-16440*b15 + 32412*b14 - 32412*b13 - 15972*b12 + 375624*b11 + 52874*b10 - 134938*b9 - 187812*b8 - 265112*b7 + 1459392*b6 - 2805050*b5 + 105748*b4 + 108789930*b3 - 240686*b2 - 1398532*b1 - 8795416864) * q^36 + (2733*b15 - 66113*b14 - 63380*b13 + 2733*b12 + 195298*b11 + 5892*b10 + 3240273*b9 + 195298*b8 + 3246165*b7 - 157633*b6 + 80396*b5 - 5892*b4 - 85237963*b3 + 21046574708*b2 - 85321092*b1 + 88759822) * q^37 + (-31357*b15 + 31357*b14 - 40682*b13 - 40682*b12 - 756543*b11 - 1348559*b9 - 3368563*b7 + 1954751*b6 - 4028496*b5 - 85098*b4 + 772011092*b3 - 3676226828*b2 + 383931801*b1 + 2898933104) * q^38 + (47021*b15 + 47021*b14 - 29991*b13 + 29991*b12 - 666822*b11 + 71968*b10 + 559403*b9 + 1333644*b8 - 630838*b7 + 653341*b6 - 559923*b5 + 35984*b4 - 93249689*b2 + 970623381*b1 - 93197195) * q^39 + (-70827*b15 - 51238*b14 - 19589*b13 + 70827*b12 - 182911*b11 - 21531*b10 - 578529*b9 + 182911*b8 + 556998*b7 - 92358*b6 - 29887723*b5 - 21531*b4 + 220234743*b3 + 11293903720*b2 - 250193293*b1 + 22336760349) * q^40 + (76799*b15 + 18073*b14 + 18073*b13 + 58726*b12 + 319068*b10 + 1101029*b9 + 383119*b8 + 518489*b7 + 8711256*b6 - 600613*b5 - 559929591*b3 - 62140415665*b2 - 1112067607*b1 - 30509408659) * q^41 + (-63357*b15 - 9596*b14 + 55223*b13 + 12287*b12 - 434181*b11 + 465941*b10 - 118159*b9 - 940089*b8 + 576750*b7 + 57290078*b6 - 30244385*b5 + 296793*b4 - 1407435914*b3 + 16607375848*b2 - 259267083*b1 + 16408655953) * q^42 + (64282*b15 - 21434*b14 + 21434*b13 - 42848*b12 + 654064*b11 - 364752*b10 - 691784*b9 - 327032*b8 + 556086*b7 - 16809298*b6 + 33386024*b5 - 729504*b4 + 539872720*b3 + 37720*b2 + 16941478*b1 - 45401306026) * q^43 + (-36799*b15 + 199104*b14 + 162305*b13 - 36799*b12 + 241937*b11 - 235741*b10 - 6222538*b9 + 241937*b8 - 6458279*b7 - 104584958*b6 + 52193008*b5 + 235741*b4 - 649171674*b3 - 50916102448*b2 - 701327883*b1 + 695148340) * q^44 + (141662*b15 - 141662*b14 + 129523*b13 + 129523*b12 - 32769*b11 + 4402249*b9 + 8125829*b7 - 38583697*b6 + 42811515*b5 + 645900*b4 + 2413714458*b3 + 20996534192*b2 + 1211085047*b1 - 23363668647) * q^45 + (-210678*b15 - 210678*b14 + 109208*b13 - 109208*b12 + 1096654*b11 - 783222*b10 + 1272634*b9 - 2193308*b8 + 705043*b7 + 71814942*b6 + 71631224*b5 - 391611*b4 + 113139027062*b2 + 2238012483*b1 + 113211437839) * q^46 + (250303*b15 + 80828*b14 + 169475*b13 - 250303*b12 + 1971284*b11 - 89544*b10 + 5293968*b9 - 1971284*b8 - 5383512*b7 + 160759*b6 - 106759303*b5 - 89544*b4 + 583745197*b3 + 85281317827*b2 - 690254197*b1 + 169879807468) * q^47 + (-155712*b15 + 196884*b14 + 196884*b13 - 352596*b12 + 61514*b10 + 3266582*b9 - 1938708*b8 + 2633402*b7 + 118684358*b6 - 830064*b5 - 1321597444*b3 - 191543619474*b2 - 2525402108*b1 - 94448517488) * q^48 + (203399*b15 + 23429*b14 + 86779*b13 - 3024*b12 + 1792182*b11 - 893172*b10 - 18850293*b9 + 2953699*b8 - 846237*b7 + 75330094*b6 - 115649919*b5 - 230496*b4 - 2149272419*b3 + 41431757087*b2 - 490964061*b1 - 43502208008) * q^49 + (-176880*b15 - 300980*b14 + 300980*b13 + 477860*b12 - 3677720*b11 + 740340*b10 + 2579200*b9 + 1838860*b8 + 9872060*b7 - 35475200*b6 + 80903640*b5 + 1480680*b4 + 127651730*b3 + 1098520*b2 + 44688100*b1 - 294496165040) * q^50 + (233646*b15 - 227187*b14 + 6459*b13 + 233646*b12 - 3220254*b11 + 621368*b10 - 27552175*b9 - 3220254*b8 - 26930807*b7 - 214692836*b6 + 107540279*b5 - 621368*b4 - 1045946904*b3 - 203737660976*b2 - 1153720829*b1 + 1123336122) * q^51 + (-401908*b15 + 401908*b14 - 47840*b13 - 47840*b12 + 6217068*b11 + 9262136*b9 + 26906854*b7 + 74005568*b6 - 58124456*b5 - 2165514*b4 + 3489047848*b3 - 72179888794*b2 + 1760405036*b1 + 68643790072) * q^52 + (619328*b15 + 619328*b14 + 2547*b13 - 2547*b12 + 1687382*b11 + 2704280*b10 - 2258581*b9 - 3374764*b8 + 3039522*b7 + 63819491*b6 + 67141032*b5 + 1352140*b4 - 16916656392*b2 + 1462479464*b1 - 16849799926) * q^53 + (-467451*b15 - 182214*b14 - 285237*b13 + 467451*b12 - 9689031*b11 + 533832*b10 + 28076766*b9 + 9689031*b8 - 27542934*b7 + 66381*b6 - 130034931*b5 + 533832*b4 - 663952404*b3 + 367941993123*b2 + 533450022*b1 + 736435890384) * q^54 + (28659*b15 - 780049*b14 - 780049*b13 + 808708*b12 - 2346912*b10 + 27310504*b9 + 3280942*b8 + 10841325*b7 - 167622821*b6 - 15689130*b5 + 195585144*b3 - 462619692994*b2 + 210205249*b1 - 231494123301) * q^55 + (-303702*b15 - 18135*b14 - 455847*b13 - 36015*b12 - 6869104*b11 + 240051*b10 + 22394916*b9 + 3486987*b8 + 13288418*b7 + 34927901*b6 - 12778191*b5 - 1445892*b4 + 709012333*b3 + 753175469900*b2 + 509226125*b1 + 93716196148) * q^56 + (366240*b15 + 1080384*b14 - 1080384*b13 - 1446624*b12 - 4007592*b11 + 204704*b10 + 2208500*b9 + 2003796*b8 - 33779192*b7 + 1336240*b6 - 36760972*b5 + 409408*b4 - 286738464*b3 + 1799092*b2 - 35629436*b1 - 1028395239789) * q^57 + (-822411*b15 - 416992*b14 - 1239403*b13 - 822411*b12 + 8171117*b11 - 71679*b10 + 28960325*b9 + 8171117*b8 + 28888646*b7 + 247830182*b6 - 123539725*b5 + 71679*b4 + 2571019931*b3 + 57053447662*b2 + 2695382067*b1 - 2657499893) * q^58 + (611502*b15 - 611502*b14 - 815568*b13 - 815568*b12 - 3235516*b11 - 9789936*b9 - 26427724*b7 - 59802391*b6 + 46165437*b5 + 3612336*b4 - 6395173450*b3 - 263287166591*b2 - 3211223679*b1 + 269716530276) * q^59 + (-838629*b15 - 838629*b14 - 904752*b13 + 904752*b12 + 459621*b11 - 3823446*b10 - 1509906*b9 - 919242*b8 - 1452102*b7 - 339346782*b6 - 334729122*b5 - 1911723*b4 + 697566330318*b2 - 7117571496*b1 + 697226436186) * q^60 + (-69277*b15 + 648077*b14 - 717354*b13 + 69277*b12 + 20012770*b11 - 1215396*b10 - 93170767*b9 - 20012770*b8 + 91955371*b7 - 1284673*b6 + 577529588*b5 - 1215396*b4 + 321422023*b3 + 400846572150*b2 + 256038288*b1 + 801874739918) * q^61 + (704034*b15 + 765981*b14 + 765981*b13 - 61947*b12 + 2175738*b10 - 122556589*b9 - 3403633*b8 - 58488609*b7 - 180217030*b6 + 63301999*b5 + 4824456802*b3 - 3096423683135*b2 + 9529822835*b1 - 1553095400926) * q^62 + (-173558*b15 - 66111*b14 + 67963*b13 + 40450*b12 + 15916542*b11 - 136024*b10 + 6314077*b9 - 14400462*b8 - 53760111*b7 - 826149402*b6 + 647160698*b5 + 1976464*b4 + 13395927813*b3 + 2279805689651*b2 + 2501956785*b1 + 586428166592) * q^63 + (-548592*b15 - 460908*b14 + 460908*b13 + 1009500*b12 + 29539416*b11 - 1731528*b10 - 16501236*b9 - 14769708*b8 + 78322540*b7 + 474305584*b6 - 861174412*b5 - 3463056*b4 - 2478424996*b3 - 13038180*b2 - 385137300*b1 - 2769742440392) * q^64 + (1428713*b15 + 1580007*b14 + 3008720*b13 + 1428713*b12 - 12040223*b11 - 886548*b10 + 151532888*b9 - 12040223*b8 + 150646340*b7 + 1996065695*b6 - 999190478*b5 + 886548*b4 + 3503627595*b3 - 376361857287*b2 + 4501389360*b1 - 4364211956) * q^65 + (214660*b15 - 214660*b14 + 1955528*b13 + 1955528*b12 - 29497428*b11 - 97612516*b9 - 222799396*b7 - 94987164*b6 - 32337440*b5 - 1923064*b4 - 34009536230*b3 - 1834351536665*b2 - 17132092719*b1 + 1868231305135) * q^66 + (-1447854*b15 - 1447854*b14 + 1504198*b13 - 1504198*b12 - 31077772*b11 + 100848*b10 + 3152626*b9 + 62155544*b8 - 31027348*b7 - 445258321*b6 - 481049261*b5 + 50424*b4 + 1101357297301*b2 - 25048913055*b1 + 1100879507434) * q^67 + (2802992*b15 - 688904*b14 + 3491896*b13 - 2802992*b12 - 16066176*b11 + 3045054*b10 + 13244305*b9 + 16066176*b8 - 10199251*b7 + 5848046*b6 + 1806910659*b5 + 3045054*b4 - 7863583725*b3 + 2035355004812*b2 + 9673297376*b1 + 4080386333175) * q^68 + (-1484272*b15 + 2197912*b14 + 2197912*b13 - 3682184*b12 + 11535752*b10 + 158578239*b9 + 11292903*b8 + 79410544*b7 - 142617058*b6 - 81365607*b5 + 18509143654*b3 - 5451698560197*b2 + 36782768891*b1 - 2744267598881) * q^69 + (1242052*b15 + 183987*b14 + 1981217*b13 + 52225*b12 - 19573506*b11 + 7411593*b10 + 204239496*b9 - 27083249*b8 + 96859323*b7 - 767871831*b6 + 1655929733*b5 + 7441875*b4 + 32413894299*b3 + 6124509601644*b2 + 3370529300*b1 + 490201514673) * q^70 + (42540*b15 - 5215238*b14 + 5215238*b13 + 5172698*b12 - 14224576*b11 - 4358616*b10 + 2753672*b9 + 7112288*b8 - 265732608*b7 - 557432640*b6 + 823729298*b5 - 8717232*b4 - 14378578282*b3 + 11470904*b2 + 270655274*b1 - 4864588034956) * q^71 + (609620*b15 - 908880*b14 - 299260*b13 + 609620*b12 + 24215412*b11 - 4804104*b10 - 23602952*b9 + 24215412*b8 - 28407056*b7 - 172613652*b6 + 83599964*b5 + 4804104*b4 + 12759925356*b3 - 1503524746600*b2 + 12675715772*b1 - 12680517036) * q^72 + (-3759952*b15 + 3759952*b14 + 239764*b13 + 239764*b12 - 1422870*b11 + 99564612*b9 + 200733546*b7 + 1355383652*b6 - 1253481958*b5 - 3027192*b4 - 57132264760*b3 - 2327407207859*b2 - 28464230686*b1 + 2383384582749) * q^73 + (9164870*b15 + 9164870*b14 + 3471000*b13 - 3471000*b12 + 52817778*b11 + 2195992*b10 - 26854564*b9 - 105635556*b8 + 53915774*b7 - 407442068*b6 - 343876596*b5 + 1097996*b4 + 1661071951833*b2 - 58798700411*b1 + 1660714954539) * q^74 + (-6739270*b15 - 3997310*b14 - 2741960*b13 + 6739270*b12 + 22806540*b11 - 10136040*b10 - 80944910*b9 - 22806540*b8 + 70808870*b7 - 16875310*b6 - 272314550*b5 - 10136040*b4 - 9319207400*b3 + 5511472476520*b2 + 9040153580*b1 + 11031910092940) * q^75 + (-531478*b15 - 6971435*b14 - 6971435*b13 + 6439957*b12 - 20879331*b10 - 363441224*b9 - 28405329*b8 - 177957613*b7 + 120028124*b6 + 192455046*b5 + 18903205602*b3 - 13913626234810*b2 + 38139773705*b1 - 6975918922950) * q^76 + (-379799*b15 - 29945*b14 + 73647*b13 + 210894*b12 + 21771059*b11 - 10561068*b10 - 510931767*b9 + 79114171*b8 - 193443946*b7 + 236668742*b6 - 2371235072*b5 - 11346048*b4 + 36874125327*b3 + 8267531990263*b2 + 8892234470*b1 - 1932822566) * q^77 + (3582384*b15 + 10463323*b14 - 10463323*b13 - 14045707*b12 - 17496102*b11 + 15021357*b10 + 23769408*b9 + 8748051*b8 + 594101716*b7 + 1448187533*b6 - 2255494007*b5 + 30042714*b4 + 2046062421*b3 - 6273306*b2 - 822327831*b1 - 20798708781162) * q^78 + (-9662621*b15 - 1299019*b14 - 10961640*b13 - 9662621*b12 - 38563606*b11 + 12945792*b10 - 432094353*b9 - 38563606*b8 - 419148561*b7 - 167065581*b6 + 94836997*b5 - 12945792*b4 + 20341687434*b3 - 3907777602636*b2 + 20256513058*b1 - 20704562604) * q^79 + (10008570*b15 - 10008570*b14 - 5669796*b13 - 5669796*b12 + 168205558*b11 + 91370922*b9 + 340936258*b7 - 2992539578*b6 + 3242107488*b5 + 10011144*b4 + 4007721716*b3 - 2801721982278*b2 + 2253428768*b1 + 2801053406194) * q^80 + (-15584460*b15 - 15584460*b14 - 12520269*b13 + 12520269*b12 + 19095219*b11 + 7186776*b10 - 42537471*b9 - 38190438*b8 + 22688607*b7 + 2434857081*b6 + 2537114769*b5 + 3593388*b4 + 7172785865589*b2 - 19990339551*b1 + 7175255931546) * q^81 + (3912251*b15 + 14368886*b14 - 10456635*b13 - 3912251*b12 - 99620681*b11 + 12381621*b10 + 752177327*b9 + 99620681*b8 - 739795706*b7 + 16293872*b6 - 6705789145*b5 + 12381621*b4 - 26011549367*b3 + 12273911253128*b2 + 19309672473*b1 + 24567801029247) * q^82 + (6242456*b15 + 5177566*b14 + 5177566*b13 + 1064890*b12 - 29153640*b10 + 1179504588*b9 + 12562676*b8 + 568894136*b7 - 1049132270*b6 - 615788018*b5 + 573241968*b3 - 19381024225132*b2 - 489282712*b1 - 9690524755880) * q^83 + (-2630124*b15 - 210168*b14 - 13990284*b13 - 1540812*b12 - 58876020*b11 - 31966228*b10 + 184977695*b9 + 105058044*b8 + 513318351*b7 + 5138799260*b6 - 3478636693*b5 - 38385130*b4 - 3061595145*b3 + 20719206614778*b2 - 9907331644*b1 + 543222499659) * q^84 + (-12947987*b15 + 5942071*b14 - 5942071*b13 + 7005916*b12 - 201336560*b11 + 9723924*b10 + 110392204*b9 + 100668280*b8 - 791403389*b7 - 4292049324*b6 + 7727140822*b5 + 19447848*b4 - 14465919807*b3 + 90944356*b2 + 3425367574*b1 - 24055276077696) * q^85 + (22444256*b15 - 4595184*b14 + 17849072*b13 + 22444256*b12 - 11015232*b11 + 19439422*b10 - 748694494*b9 - 11015232*b8 - 729255072*b7 - 16793681802*b6 + 8395338484*b5 - 19439422*b4 - 33659309542*b3 - 11627451355846*b2 - 42077092282*b1 + 41314377722) * q^86 + (-12048677*b15 + 12048677*b14 + 224219*b13 + 224219*b12 - 65220210*b11 + 491754653*b9 + 950947232*b7 + 3681751263*b6 - 3243168143*b5 - 32658136*b4 + 60552282238*b3 - 5560752484013*b2 + 30714724239*b1 + 5497469173525) * q^87 + (-3588295*b15 - 3588295*b14 - 2351320*b13 + 2351320*b12 - 54731057*b11 + 13694874*b10 + 593981695*b9 + 109462114*b8 - 47883620*b7 + 2570941107*b6 + 1930519290*b5 + 6847437*b4 + 12928878324684*b2 + 117914699360*b1 + 12931403733491) * q^88 + (14456754*b15 - 9676962*b14 + 24133716*b13 - 14456754*b12 + 92977068*b11 + 45134040*b10 - 343808298*b9 - 92977068*b8 + 388942338*b7 + 59590794*b6 - 2986953744*b5 + 45134040*b4 + 50047845682*b3 + 12673339165759*b2 - 53020342672*b1 + 25293466748410) * q^89 + (-3759130*b15 + 4946755*b14 + 4946755*b13 - 8705885*b12 + 80169045*b10 - 1147629224*b9 + 81519201*b8 - 574489690*b7 + 11432841203*b6 + 568192779*b5 - 67009022799*b3 - 51350035985248*b2 - 122097180661*b1 - 25608502615392) * q^90 + (-8601411*b15 - 1511692*b14 + 12306840*b13 + 2050867*b12 + 79477944*b11 + 83900544*b10 - 854451598*b9 - 269966242*b8 - 850794035*b7 + 7646110381*b6 - 9354433907*b5 + 74162088*b4 - 195136490367*b3 + 24645671504454*b2 - 18304050310*b1 + 8557976357749) * q^91 + (20684136*b15 - 37640953*b14 + 37640953*b13 + 16956817*b12 + 333230162*b11 - 68308245*b10 - 234923326*b9 - 166615081*b8 + 1243704871*b7 + 2691137672*b6 - 4214521080*b5 - 136616490*b4 + 87242070636*b3 - 98306836*b2 - 1455075163*b1 - 36998831855290) * q^92 + (-15025529*b15 + 15400413*b14 + 374884*b13 - 15025529*b12 + 59527950*b11 - 91230964*b10 + 1080768475*b9 + 59527950*b8 + 989537511*b7 + 4149222749*b6 - 2112714092*b5 + 91230964*b4 - 21239942097*b3 + 1023765506660*b2 - 19112202476*b1 + 20176293466) * q^93 + (-5835693*b15 + 5835693*b14 + 13255198*b13 + 13255198*b12 - 353214935*b11 - 751627777*b9 - 1930020049*b7 - 6437816399*b6 + 5338809380*b5 + 73549560*b4 + 288004609120*b3 - 12481240367014*b2 + 142903297541*b1 + 12197730299046) * q^94 + (53829126*b15 + 53829126*b14 + 52887987*b13 - 52887987*b12 - 10234694*b11 - 127033488*b10 - 1267902725*b9 + 20469388*b8 - 73751438*b7 + 3786362174*b6 + 4884425105*b5 - 63516744*b4 + 4012562746660*b2 + 217415292907*b1 + 4016222469409) * q^95 + (-34175198*b15 - 30645004*b14 - 3530194*b13 + 34175198*b12 + 227301210*b11 - 173121234*b10 - 866109262*b9 - 227301210*b8 + 692988028*b7 - 207296432*b6 - 6928318590*b5 - 173121234*b4 + 45194042910*b3 + 22535774845984*b2 - 52156536698*b1 + 45018547050786) * q^96 + (-24005193*b15 - 12500515*b14 - 12500515*b13 - 11504678*b12 + 36072372*b10 + 34319169*b9 - 261529325*b8 + 165960433*b7 - 12547074104*b6 + 144141779*b5 - 162359715331*b3 - 45869451069837*b2 - 337158435359*b1 - 22772312587631) * q^97 + (47523679*b15 + 5638864*b14 + 55025775*b13 + 2981391*b12 + 123692359*b11 - 10854921*b10 + 2416273195*b9 - 267224713*b8 + 1133047342*b7 - 5050966690*b6 + 21896213913*b5 + 103543125*b4 - 278498024084*b3 + 43335438810727*b2 - 118690418868*b1 + 8967902968934) * q^98 + (-1584543*b15 + 13286812*b14 - 13286812*b13 - 11702269*b12 + 659062716*b11 + 48669816*b10 - 280861542*b9 - 329531358*b8 - 1391900723*b7 - 10196017357*b6 + 19488961609*b5 + 97339632*b4 + 86342542839*b3 - 378201174*b2 + 9244274436*b1 - 40222062855063) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q - 92 q^{2} + 2184 q^{3} - 41236 q^{4} - 1680 q^{5} - 1237432 q^{7} + 1870496 q^{8} + 7242264 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q - 92 * q^2 + 2184 * q^3 - 41236 * q^4 - 1680 * q^5 - 1237432 * q^7 + 1870496 * q^8 + 7242264 * q^9 $$16 q - 92 q^{2} + 2184 q^{3} - 41236 q^{4} - 1680 q^{5} - 1237432 q^{7} + 1870496 q^{8} + 7242264 q^{9} + 23132340 q^{10} - 4587872 q^{11} + 69092268 q^{12} + 55670944 q^{14} - 223427040 q^{15} + 555097336 q^{16} - 1336830432 q^{17} + 475650384 q^{18} + 1925554176 q^{19} - 6528716712 q^{21} - 2649001728 q^{22} + 5352602296 q^{23} - 8686607832 q^{24} + 4550509840 q^{25} + 10636248168 q^{26} + 14250310732 q^{28} + 15354837712 q^{29} + 12847273680 q^{30} + 38066141568 q^{31} + 27950170656 q^{32} - 170902903752 q^{33} + 71627246880 q^{35} - 139843951104 q^{36} - 168016938776 q^{37} + 83559246960 q^{38} + 3136606200 q^{39} + 268041382560 q^{40} + 117398174712 q^{42} - 722232426464 q^{43} + 410527899972 q^{44} - 517892581080 q^{45} + 914356199712 q^{46} + 2038558764144 q^{47} - 1045889186720 q^{49} - 4711294150160 q^{50} + 1635252469056 q^{51} + 1710632683032 q^{52} - 129224247224 q^{53} + 8837224278624 q^{54} - 4518465261520 q^{56} - 16456353306768 q^{57} - 468045611952 q^{58} + 6357829627128 q^{59} + 5550712719300 q^{60} + 9622511463768 q^{61} - 8740195548504 q^{63} - 44332488949216 q^{64} + 2985448032840 q^{65} + 44228462203548 q^{66} + 8708745371912 q^{67} + 48964599457452 q^{68} - 40892055741600 q^{70} - 77950624797440 q^{71} + 11978163920784 q^{72} + 56185530197832 q^{73} + 13051980699356 q^{74} + 132383042747760 q^{75} - 65818138480976 q^{77} - 332756612190912 q^{78} + 31180109483480 q^{79} + 67254236074200 q^{80} + 57312114745392 q^{81} + 294813463771512 q^{82} - 157122163346820 q^{84} - 385028327095920 q^{85} + 93251953307840 q^{86} + 133056855170568 q^{87} + 103912717897464 q^{88} + 303521059372440 q^{89} - 61817753170992 q^{91} - 591270018604728 q^{92} - 8125955668296 q^{93} + 297888933759984 q^{94} + 32985525486360 q^{95} + 540224642064240 q^{96} - 206078649040292 q^{98} - 642933959965104 q^{99}+O(q^{100})$$ 16 * q - 92 * q^2 + 2184 * q^3 - 41236 * q^4 - 1680 * q^5 - 1237432 * q^7 + 1870496 * q^8 + 7242264 * q^9 + 23132340 * q^10 - 4587872 * q^11 + 69092268 * q^12 + 55670944 * q^14 - 223427040 * q^15 + 555097336 * q^16 - 1336830432 * q^17 + 475650384 * q^18 + 1925554176 * q^19 - 6528716712 * q^21 - 2649001728 * q^22 + 5352602296 * q^23 - 8686607832 * q^24 + 4550509840 * q^25 + 10636248168 * q^26 + 14250310732 * q^28 + 15354837712 * q^29 + 12847273680 * q^30 + 38066141568 * q^31 + 27950170656 * q^32 - 170902903752 * q^33 + 71627246880 * q^35 - 139843951104 * q^36 - 168016938776 * q^37 + 83559246960 * q^38 + 3136606200 * q^39 + 268041382560 * q^40 + 117398174712 * q^42 - 722232426464 * q^43 + 410527899972 * q^44 - 517892581080 * q^45 + 914356199712 * q^46 + 2038558764144 * q^47 - 1045889186720 * q^49 - 4711294150160 * q^50 + 1635252469056 * q^51 + 1710632683032 * q^52 - 129224247224 * q^53 + 8837224278624 * q^54 - 4518465261520 * q^56 - 16456353306768 * q^57 - 468045611952 * q^58 + 6357829627128 * q^59 + 5550712719300 * q^60 + 9622511463768 * q^61 - 8740195548504 * q^63 - 44332488949216 * q^64 + 2985448032840 * q^65 + 44228462203548 * q^66 + 8708745371912 * q^67 + 48964599457452 * q^68 - 40892055741600 * q^70 - 77950624797440 * q^71 + 11978163920784 * q^72 + 56185530197832 * q^73 + 13051980699356 * q^74 + 132383042747760 * q^75 - 65818138480976 * q^77 - 332756612190912 * q^78 + 31180109483480 * q^79 + 67254236074200 * q^80 + 57312114745392 * q^81 + 294813463771512 * q^82 - 157122163346820 * q^84 - 385028327095920 * q^85 + 93251953307840 * q^86 + 133056855170568 * q^87 + 103912717897464 * q^88 + 303521059372440 * q^89 - 61817753170992 * q^91 - 591270018604728 * q^92 - 8125955668296 * q^93 + 297888933759984 * q^94 + 32985525486360 * q^95 + 540224642064240 * q^96 - 206078649040292 * q^98 - 642933959965104 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 4 x^{15} + 85634 x^{14} - 1484856 x^{13} + 5100567568 x^{12} - 86634496244 x^{11} + 158667006353068 x^{10} + \cdots + 39\!\cdots\!81$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 55\!\cdots\!08 \nu^{15} + \cdots - 92\!\cdots\!52 ) / 50\!\cdots\!15$$ (552606642094786285117883199289310802648956496131353591894282887220226915581204204885298429108*v^15 + 10513687530367746436257028526785577202884811020790123406856855382268979987247223657057184393362*v^14 + 47209755989647666464961686962384325968750146693158235715791874618348090275984310144804315976507688*v^13 + 267009186648566929136564540415594353867755326883875774551855659573430611711043194652352188169557640*v^12 + 2794426513686581743115827932236559201392600542914240400501136606256051359454427309723184235966517768556*v^11 + 16940844840643951471855244330317459161704032981646700980547960198408031890824427128861358797060051697536*v^10 + 86265244755284213339344661726890516899297854741280704287857802957837017144483204681651947571983999720366528*v^9 + 644219186360000220895350331762602877494299946693637377133701848381462600366960702346735360403381432630201619*v^8 + 1940403305642876792707947501229099956001077414371586438960022928859390430803604901596876735737182401845564158708*v^7 + 33998492818235776492261309049321793511708213646684298206406903067012412711439879583589057067913043705001034468320*v^6 + 20296160725582018340229767959951373807619529824099911426194946759610173899299121665850921132159797831260372739543976*v^5 + 931328570958735262722583032010163524398460965805122215507407207751853997823213457165043520075281692599796021254894824*v^4 + 157510180364700798004914436289022079643823064614356503604398322631100070051658202779965048223241837212269978528303108576*v^3 + 4229750907071097189127074709409984455329575266697475860494115060231863549759841108793634014915234063683576260367997422982*v^2 + 23071514867959449641273654373883141794166838968794681634940061546507426736591905652296650335415048400005288128271374498104*v - 92552748112316484100693529627659909376457684235944824812993810598942447229609182517732886825458350662457555322686049553152) / 509096881124468035733146181031451089891699208833361511210290490735223072088082320838289861637952327252407217533896510035715 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 19\!\cdots\!58 \nu^{15} + \cdots - 26\!\cdots\!81 ) / 78\!\cdots\!55$$ (19660242414842857821012707883843620115099774190653666702120292346105202739070722058*v^15 - 173302153261333422386787189822769208232061218075873814447935437750091935972539463488*v^14 + 1680392505683947628513017547096362997603508574964919646809599765179847451928239588804616*v^13 - 37362473650202459864907246408691138339452630011794926669896264752794283989184887751612516*v^12 + 100147738521599607508959174267081907034944498746453565858814429538676718820889816551340507216*v^11 - 2186644402796694764013227058545714072616641155985165805130030344643993406506408502520807081712*v^10 + 3112102821726981494816704185318025958473252850185077577388717931966022740113826975086349829751439*v^9 - 63828007561032658894613636208806995879701359138548585670966935503512736056648741873031862027327616*v^8 + 70330969515958643153990058452738598720559549658820364982964675738770488131395925497201544831193668752*v^7 - 751394368444366978576631919928251569717171973860855203092204594674806277415527706580242193999136476328*v^6 + 732845707347357353253028536232133872291901770856251747582556240645220852743616166588057969549329554995496*v^5 + 12525548921834277353827657311069633396892276070367650906331213183523057691569853228017001137767868992299968*v^4 + 5211872033327480831657676838711622760533362853552269414310961677281314364148040173653320891846702751913159518*v^3 + 815790296747737590034598639311157804298126797956026185537488290695402834680811661109365706583957218280391312*v^2 + 5092044595277415516025563625749215637633323899020324226981706375092625060929083233367957273678242451744374496*v - 2621609195824619076773433887413014567286929279810203987017039153325768725859826083426866702101070009673386857381) / 786614142082645390968727798442889952038397934990756053312650279028666114566794244277599060896020224540979416255 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 27\!\cdots\!70 \nu^{15} + \cdots + 73\!\cdots\!61 ) / 20\!\cdots\!80$$ (-272547189172117230826699725927340866578105666108605840395864505421999775431952218429922974862162246844570*v^15 - 120778596251566467219458112578896318740316967506864676956771919282647019604845423736414741042520506305936493*v^14 + 142635231892874626405469972133878082203853230662291148028095903825926498358988733396990066432597631736508818273*v^13 + 3284972260266802017190827793610881939065716195696711509585317838091960411440728424195011628322126507124168404340*v^12 + 10985897263712440753352416560499734066199904287015061956365037539904110222638416418096953130825586374269695751653171*v^11 - 351485627597340278435546440171472181309488045602670712927635265167099387394248697861430064358794503265493572750748669*v^10 + 584056254150916589014080939321349330081356842552013114766226295551078942997169744532829122534584285108630837471362336632*v^9 - 11252071150071085633736157672280070642538012724146709725207918445000225157481623388308878651748181930831147107221390490391*v^8 + 13828283659471959495957704982217436100557240912932853740541869690961702731458825424939745650300765948383030654873188093221083*v^7 - 1095601880344868503272733198311167484132714497945816061216213838625031132252084926880712257943939657908022715864291932270499973*v^6 + 218827026618363427240123795862321045883890431359132222680192214793342812627504907129600428993911304668248355838351990543827176656*v^5 - 14544629982787335885282751345041492760747556863345634760027533080622412016299408747472404037572432852855225471842643421463194671831*v^4 + 547111003145556977100998203216850613516115775139409026356624945482834360756999355626253869611074123302853572755208260236991584820005*v^3 - 260748511717021577918888042710824114207197306581085812768121532117087249059884153172828197411258115280845683116778502288107335235516848*v^2 - 676114296096503133807424434698669072814848871388090656113233557023364989385493864871711313024987437009720817736961886274138599800102361*v + 73883419541204858335897568780268316540684144705049502081812478782663571144316602603141645971314273413040234460138499101798718400462800861) / 2001809452880067158737967736714411949457830554133518862090096254201338234372434015047304560355986851113956305777996212653442966855680 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 45\!\cdots\!97 \nu^{15} + \cdots + 78\!\cdots\!02 ) / 42\!\cdots\!80$$ (-45295684609856964834876696522120583534850008008809253702688020959288439522828780566094596809678381549072297*v^15 + 1617656545759527671392121542574154784857479511537039503814473853689719783591111091717614282972910342976881705*v^14 - 3854835350873401337401135471967384061557695602664865893259187371127845430767444454459129731068533312203547321900*v^13 + 188462267350967671959736159230201838058742288336038139502655691598491693924418203992511160987349402774239024264543*v^12 - 231295486039462774205937549457256711480026761416864254578302522825572191808476738272346653105634329806009023608274521*v^11 + 11020047037204654514194425001655797046958374562982146611967786516559816435843077807215101109580911426161827453946879152*v^10 - 7207337823240875975735121047965474568088710364502386658498337429562003221973308414785002049293488801770363761162196818611*v^9 + 328207306546388673936591795278495444577626049103936207481474250195155756648587208172533596311549963531613071297166372019689*v^8 - 163676669197266614315590345981094682309312449842545500295320684265452204548438763874139760077716044332856988936981151416452913*v^7 + 5722421227060015222248748045481699495354760147509351241235916359630598204654499010351571582480871677071326969202610048665273928*v^6 - 1681749538989803178024263044380822501294181290771387555550585308751779357272956114382525740030197561580579400179773402440699359555*v^5 + 11397420397122314928798511726276036177849355672382792372185966838392809681202378215771203769072512091073076488769027523124877420105*v^4 - 10818578243612012868317993787414048861971118408571867895118273505890763891783182937358735623922686171498309028506338334833910525771680*v^3 + 291454595140790211259142404945635680933230817156260646546267937423296124219670580657675796737998764911106344432986180386333452019337287*v^2 + 4835086739200679703146051930723673201162727309140531396296988678483558401196540304939094580817994042259132049158352579729010261357049441*v + 78750995975464440708938368787689320992142456815935682378251010927075739492076242409529647746659811406594147155572903747291627492672107602) / 42037998510481410333497322471002650938614441636803896103892021338228102921821114315993395767475723873393082421337920465722302303969280 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 22\!\cdots\!07 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!27 ) / 60\!\cdots\!40$$ (22664420996819564265964897635607735896314160803110130628478904115902310971654417584353184784949715685381207*v^15 + 107839595927404180006525282365014825249245452186865152160652096829766786962266653599977758577712096464406946*v^14 + 1938084856793711465300220821892066039889380758691375408890604815555197239251525305065643100100538785294707484173*v^13 - 17194714832278647431554363879744096435068051308766722213978865487222756794693763031930625871122047569434703567139*v^12 + 115096780058358717618040402747670304962977291786082347132123002711111893870329982208331388479703588379457059553593524*v^11 - 988538810730465507646854717548358905181983056999480651256698244182158155727584183922921952109060659527319214232632813*v^10 + 3568147828071959979136729635673253767301780120020927865081182079132765230323556464802211988234895947213067154889679872643*v^9 - 26574019613714924532638489531037825406760546302613683356063535187863383384062247792556951746495984115159237954663637878792*v^8 + 80452652443856949453267887752365164587180127028535662497716405581291645479779837683151632426798943524449746269991552405630324*v^7 + 195694494500144209022135867919895386431747931138777142833719806202283659187176484769426599880712901179775505240937985957670835*v^6 + 843323338657990322671677198449988925888570617010994800008411094777547688940006670575315833162633819707305875602935097764864378603*v^5 + 25480765863826486615255202605937885398387721157335989700002779622823332565866212412853869092533521568184124779004186027755480399704*v^4 + 6248954227442346810732887487908647463112718326039103194513201376532923285226630578543853198939122091331883011150876717011102200494117*v^3 + 84683842127328930092267337530826376024174111240479511220150742969378516227121767651869029372411078998102279878905681347936371807666449*v^2 + 1396938234631735486911635190389076014579284150391418956986708237166169286031613653386719220448466248216094799965395818624209197902256862*v + 1183608603789676931719792621682359644180728769677841911825387888875376981222418029180371508073130769042776968079416018668572820829506427) / 6005428358640201476213903210143235848373491662400556586270288762604014703117302045141913681067960553341868917333988637960328900567040 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 19\!\cdots\!54 \nu^{15} + \cdots + 96\!\cdots\!09 ) / 42\!\cdots\!80$$ (-197448041381644148647676498272658112553727126483295894233450175829820206093264701419688268063640901383519754*v^15 + 590279230074961140140742971963842940847493734190563976133900857209796791671842472873553086983969943886692539*v^14 - 16870206366293826757497939243997492643242868585006216819660528680882390479087128025720050049305434801983996489863*v^13 + 279878919166034597279410395822524191243513780984415262430062923239439643753801245331228093818246112733255311844692*v^12 - 1003933366768127891202446847972234950306224220795400319831061668011135831160474563548186351860580411225713781252602693*v^11 + 16262707222823892796753984083723621465718327483861049577796700256975261503056128654811277423367703891908476329731747371*v^10 - 31161302170313655773580821318018697197205861853348238638686309303205547973373653202234947634709053698586479741048733707336*v^9 + 467458916024191440491046270745420797391701936482483867140939728643988970153544627945200974254334039028940434798158384698913*v^8 - 703753774048442391210909529457304972273235654383730740473898347943854363844846708368011765458466154785711027295155486191977821*v^7 + 3561451932585791714606168799904147250926898081554087359062926744537756734135483310410502610945666802175236800899492736697464931*v^6 - 7353773665795398600473018571857887290152404343181984757115661839795174522530090707534543698021024817482160006029904982886701900208*v^5 - 165136089725931085477896992165198896606670174636074351005929748894786302119937203175188920340875714521035195997641093631828434916639*v^4 - 53082528098179608993873558543189033303276417422415087850307765312672468962273139079030281226860447543743357378701435723375065413044387*v^3 - 301404864558601125698035142401794348900293112658198950827882333855461949566188460229893203254529258442192589590994716204870137055289136*v^2 - 4940391336837017297584263221466157347640735784098563042543806125749700219782961755889937805189487205187009703154210876778462147033974193*v + 964385889532508631932938701726626720975251116987196705766744676920479659620843452643815632548200102715977421350681980920257664004090782709) / 42037998510481410333497322471002650938614441636803896103892021338228102921821114315993395767475723873393082421337920465722302303969280 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 48\!\cdots\!86 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!11 ) / 29\!\cdots\!60$$ (4884668996438906001952022700178406480329846884214073543934737590808406447693893907751217583714896687181287086*v^15 + 451453007577403407522328603002927657025049672651882577766934319009254385766199141556038836309256384012508020805*v^14 + 418957968014003642615024607741523424243290929630086628667830899467054084889912168559041775159271928187016474390427*v^13 + 35405976172191622598810340906405183622186930678941773831696558104508987107396420811839291826988688064734677006408224*v^12 + 24581662444990229985139991159766392745685764416977439647196481704283125987717928532806592211779435815211509447698114733*v^11 + 2145841758724043721188797085230574956735817352530367801800059215466441648509424676732972610475962720416101895248355098057*v^10 + 749826442546872587735555660672196982550531783945424214914193622373195709053882397343790386707141845413109100515055621626620*v^9 + 71154233215416256435787957150142072791638162771026420255239151247617339896496000591080679193220752965451414614017573501998983*v^8 + 16846706786593508031346067592508347087973973583001198507968377564221847926019907993840149595146461988920805767161554535584320645*v^7 + 1784014528118999381361184879995042245292317950786542268043529437897192138269866579223056126122578507903715343544684357246136377585*v^6 + 176539241587085174918891512774114525149621448196996953583689779250286401867689649855667501155406370752494500927013368394856115931620*v^5 + 24917065439943030731555285285980294473288161532928251668549427082439179637121613634875550590828895960387632744118622984631737208738631*v^4 + 1738234923451818027062351855878934751358957145159452044838356247438559856287513287551357971673564745115027496793672664590511333262175719*v^3 + 142833387446461597664966152344127985750963120505130776786847398892423089934034182430607408544062246429178419948527425772402472305959602084*v^2 - 243971700865205098945398684791286456555459415850942590474348782629668477854897299025320218257796471976665698190960476254169924806841915375*v + 11370349682954458758593353844932078691963243060652173335418050393982113079143159201487793174107248836563000111696068108461440827134023362911) / 294265989573369872334481257297018556570301091457627272727244149367596720452747800211953770372330067113751576949365443260056116127784960 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 79\!\cdots\!63 \nu^{15} + \cdots - 51\!\cdots\!59 ) / 29\!\cdots\!60$$ (-7914145943688874976190164047861154621985230927483520718392872758516008759292798014130223667029848474910647463*v^15 - 134206063259111979669574296418379767113120716923868989113530782563890999417087653852555943253640486177731319810*v^14 - 676172827166971149971683664156299390679104779402160631639769907125756551730458116586000555903519381948930332428413*v^13 - 2413058926723340358465780255665438217840383011395178044610192207901020818683755260344132727280645230395413589405773*v^12 - 40042436917855706713363315665310678846095776651955758928748207863187334907933342953111113488662477267586732328924998260*v^11 - 158477985945740012395483937715247770586212472887598195419958578264023123818044423872828188878756433744452824927448286627*v^10 - 1236803935424831438751218382965112287058535235192196114423233627025876172436548750514887218012182642336013204874032974863123*v^9 - 6605948747460162823187585431072033236469840987629705837470063547076474241938956551744547481167682676964920942231194752734840*v^8 - 27828633369266828064953390273366861034769843069233328523210457807934418403571912079440202170660329859002947856770688643293672244*v^7 - 427905019228477136003800902173471065206222869452400952376234425542420185355370064763002174175133559347860390413903643344358252867*v^6 - 291108986505608035538921836871694823926821700969727552780295127166310013732055121398168742332923783770994595645071705493125975970555*v^5 - 12735861506109340666134098831847822545180204973803226754227632546802481784730926230263625683853220856973969979065651785158019702349784*v^4 - 2244432270913566071194443670503414894750999771728396337945575119341322139163775424498638918857942941168599422539059747180691132775300885*v^3 - 56198326757489006342396858948492341276658407714583075204436834027942467738713578712298782232902863999015649241077748877252537821512053825*v^2 - 351038612172808367506238059898846311060218345086183789054351291023220776448457737379938083748911611204180528817790025803743647172671415422*v - 5184039762673860094612245028584100099666698331456104132530565889958523974082928793027554630872576897024264569717605898799389462619607954059) / 294265989573369872334481257297018556570301091457627272727244149367596720452747800211953770372330067113751576949365443260056116127784960 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!30 \nu^{15} + \cdots + 17\!\cdots\!57 ) / 29\!\cdots\!60$$ (15385238094050273747436130629783697548676433427483827251932649803993655271734319696207154853938136829525118730*v^15 + 414841897032101992142947897663208642620066895135380520849605352135283528532404314448065312250885806135348180059*v^14 + 1302864451281671483283819901299283592196733153816399119398163716031730170809828903553844842211902374888109662726685*v^13 + 13392199169825646037616360524821448004282128238238374990274349529919948266470391722061760543857381648097890045800832*v^12 + 76397954652676730834461079018790323633011194656111301915453371052438883854077572305802007717923475704139730160589991443*v^11 + 777638417688540614965683254188183058219399910420445324400142212773345957511163366302513588509468154665155398261144336391*v^10 + 2329631526345781854628362503565113472878109748445311317951840888395154520016035861546805022960986468287819143968780817322316*v^9 + 21386858621553763433867678826048996732588957122144760927765831077227811872575421175804695979841767175407883492237981482757689*v^8 + 51764284779528351812584651003856924030981824614409732873412579963016553720138388216704882618113245108502092665500231162219448251*v^7 + 1020689979211639192249692814286514746884744293444827176093831340456730455919074732960180996868074016246178095815106956195367063679*v^6 + 532810176784729507740300526800260829041767832443429547700222158788682806449233672387161604234561154429760904943861918556398647505412*v^5 + 24740120454764004601365932563027709383227730539598064914151981351251973035105235552319514151295953456541451550260235918572601857551225*v^4 + 4144090570657526121602144655940025632101885941417711285367562216375498852735311152718917777711179447853874588386565401246292746638107201*v^3 + 127561417009270105439814190474200060266860411195486382313959242526146690356058037734333862406065842514043778925139042481977164434951090572*v^2 + 447249369042114119092679608347926228100576896499814756915667691237114608861357011481862133898181387962688071801511737876034518135874772383*v + 1765404615783819155454256448735233604124058515596118213907605624044950351766904923869872686035793973737568967119310389971134278168982967457) / 294265989573369872334481257297018556570301091457627272727244149367596720452747800211953770372330067113751576949365443260056116127784960 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 20\!\cdots\!15 \nu^{15} + \cdots - 85\!\cdots\!83 ) / 29\!\cdots\!60$$ (-20430377172058326103032142165915121268060835078698963894912359219708469066963913869932310942076382132104190015*v^15 + 429490230561859050621323983475517904302469710610464725869939706722532254393461693001993578040695406218078999162*v^14 - 1735936395298501220269664783211390072816255146568884899642576611054300991998157966450769425680368524026895193968993*v^13 + 60986646931540442795441638392489240622127399862742942317405854568900057824739743663810010045668514316349965328079395*v^12 - 103613544477356221888392736720715491009643849303277289331182743595122652846282472350783755337322742891136468938014884176*v^11 + 3551024897538354425279978717213692324702326585306688054221248451724013200241432744562121557831500630470746273571680737401*v^10 - 3214681717468011836608983077147401968970728482507124988370847398719129885569105402202867239726625901187476668019792618045491*v^9 + 105790246354989409483154337398608074625047383483037749499421955620922664910799470447179428544863673963240912105239543850559212*v^8 - 72766235019182361905791439229915995401655205164914533291680876905412490020989877387769040959853844717595595422146142966685071056*v^7 + 1606253164619290248676417158887852078692285637239675611483334986893930189662747287324453414361642449342616268941195911368738782489*v^6 - 753620120754968010902298278654375361922239896707162217636169710875418887349457528210664497410083936477884340088912277306046942929339*v^5 - 4875900720921698464906334063202296978993642348143993751567125587240419675759071471146783781605245540068394552542803541251169095590164*v^4 - 5164334492035611503286818078680671730138302505847207753577882799453759480688333121774197174657052693058867511624865164258829090689251065*v^3 + 41684299708101491446467799344972570712116920203227807099111416618633392204438686833366923913590519599533782963352840479252208981807975871*v^2 - 320199733374681440643468304682308133502661102736416563379050966507805927890672287078289935188778309211134591131221261920000007211273685658*v - 8595749922476303963145509252003353908204683517176614700675771023304440794793525574568106368888765945369334095447164710163820969425479588983) / 294265989573369872334481257297018556570301091457627272727244149367596720452747800211953770372330067113751576949365443260056116127784960 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 45\!\cdots\!67 \nu^{15} + \cdots + 57\!\cdots\!51 ) / 29\!\cdots\!60$$ (-45612933368458576978145747741060911044684102419177218289200229058524567447763255155211062474776210213995580367*v^15 + 3587529353739531409254760255681853971643753941599454363761174589526242810040506095560973145904953805181758286628*v^14 - 3909468907782581692259404065589458225346042214451568293827864443545827582241909957566073777242587622183316718373223*v^13 + 355105315585763679037269910447851626774585846091963646261553226408214246119694560333429673371218619936442033986282575*v^12 - 235551975714152791405385745064737490464490392665534658657763257100106306489317301528784214204944686691531896456840509246*v^11 + 21172620071650733409430140012462858592300319037331761277677283714056299029516247351598308870048463712459897632809389608999*v^10 - 7359296145613595466172925343380008635441627599523062250155640901046981483211261755538221684533556971735195727593485232437991*v^9 + 645400875508736671138515759099431007504767280663001022987585578235645035018721271136053306998369223772373556284725675729828946*v^8 - 164021541883591829867367772892868912638327066076112008296912019513080440446843889496930452990988992319900360701858212256032439758*v^7 + 13186939928228985186445088525965923007144883433655071953654566649107462196747752537141514561152139292841335293025645217921738440151*v^6 - 1565168473895559520993800967622254668442353603498526411204131312642986394040887018437348085784312184793107014607803463493328326099071*v^5 + 90035857523974199398468694470941997695263387075523442899911637435292577025216310099014559699819378456666375467761426863766382006575826*v^4 - 6147916916875779554661017120215788547367162244400831053772035881326661466138455842474397814859579981142659447279135983708569599876628199*v^3 + 954762840672662376706017073022930716568971542092889365554175369382534960168704877026503050483515719907762728403982119618025334228036362243*v^2 + 27111183814903090972396966531400036334142096041943178695689012602931748213727499178694858428147156203377173477814506654940067660097697602296*v + 57420427133850465222792533052694336503546812376353920938195639384128407042440494884122353946621294170146998442975578519993274862987653896051) / 294265989573369872334481257297018556570301091457627272727244149367596720452747800211953770372330067113751576949365443260056116127784960 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 20\!\cdots\!97 \nu^{15} + \cdots - 78\!\cdots\!73 ) / 29\!\cdots\!60$$ (-201175579779129811312679586435049060422729648161374493874368658888721953211807499965856657964285895594748421997*v^15 + 541668137080019414918543146078514589214681275916742853312517284016821149599114285579837664343260659326388501310*v^14 - 17387941295865813804235838431078533595635848913273204088899808547308685267831336048781864953349876351530349009604419*v^13 + 269713751881524893517922464582995659326091069470868863975945579240611967928048592884634747702613887885123777494577065*v^12 - 1038859902328903387537696676052714422315862622660071180716669086077434009867497871649202236588528513419524095685655863520*v^11 + 15950528656301847640140251102615635524982914491891638045844769052954463868486080285460298109793703972229976303831591160539*v^10 - 32632600681455775683019429727096979442091290061267725241300122703013450911004559580736706686445596258706749119946337458572489*v^9 + 451809704706144393956970583656095611432465872755150054396521600520021533480875825620469027548093486677047626284823324052237940*v^8 - 741592710040326461250223821593661797647482245070718608990312684479707477712965654078537991600605998444914952343698701112466936032*v^7 + 3394864329235645369452221087037074998028752619412279940963828829337923914507591234649043991096267227437049426003960672752187115643*v^6 - 7979347870006322014253048581521258717672339025619307430819066036974941840660834247384576882088363469926019548025531755732627619297185*v^5 - 177141426652330954722591879678696495967127197323754260090603735510663697559751007202977074116469976531336001655759474944320130689207692*v^4 - 58081213311276482463559466305985573322625988706415615086846656760592665099500455735890854268683227029629900655669527833194977979144919659*v^3 - 433019179783294499237936897257014072780623044502456698406936875783655941482748666340146985618845513859979900546015468135078906115968866595*v^2 - 30625453109706747369892689937425806549397960957412297042159234276462646815570673100148538269296454449520785915567750389163874149035182459806*v - 78529462828044583221236110657860017861248958173544839691398015402184227692570282214073118911456674697657905726603726031698819271513831259573) / 294265989573369872334481257297018556570301091457627272727244149367596720452747800211953770372330067113751576949365443260056116127784960 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 63\!\cdots\!02 \nu^{15} + \cdots + 22\!\cdots\!93 ) / 29\!\cdots\!60$$ (-638714909853879382452206589646009316461981225936834048251491988339103478541959260456322720253957904590846096902*v^15 + 8211273345806276040039027080546502849883811192338439039292726380594390916474899615668268258472163443861436278607*v^14 - 54728258317653061193751450971604499727295696664372111933332359202244461474473281563358516451752094160896980378064655*v^13 + 1422110375697162248602503135043181616603571017082064356989689197882590541492184510589069829902587056085473525913329040*v^12 - 3267366895942927453720809167489650765615166126283953161906308694972338869806357355810143906184356245023270863163466202249*v^11 + 83444781703532500760612564941496624171070951249067785487093637592809706970258726391250102640885802713415862989704066416459*v^10 - 101863946203605618810052987019572743155760874105054734812970497481204418733215819840789266967608843918292529222763820270246012*v^9 + 2442767425236027131916716159001283895577301508644261644652497295511937349590178399577399130548418464331422759498542313794895189*v^8 - 2304870569194819400365444180431414841940725945371513028487242293808375430585774926736947940779981147534496235091667750207250910401*v^7 + 32740460160942102255320799013889869267369384975011659434555059286778821896774330682468312530245076039478554196660056467092826069635*v^6 - 24096934774885429391128221442863080441289629519434878699320289047095673076425675466177883971790220100858762493968444235260226954354244*v^5 - 329790869487357694465631555133370937941625703762401894086438149109913095293592207862637667497683144418752578914535410265747329623380395*v^4 - 167231845767503083290993288599051758079099254155277545671180199009057203739790655082744095611297700830754851191434165552451030531472253259*v^3 + 504474505248683590586454678587387571352820331119973564916635368491592290678352486045858816470543145219391786110156088525622128718430077212*v^2 - 3654025943168378308098706173755958111926274229913980530677816075355447221204727152142480334031168060052582255471125924346844318958863093533*v + 226522500997311243280328855988493780460071556369660293100156704578992480825786201279405661797609050337839608708116712498663524405039939000493) / 294265989573369872334481257297018556570301091457627272727244149367596720452747800211953770372330067113751576949365443260056116127784960 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 83\!\cdots\!55 \nu^{15} + \cdots - 78\!\cdots\!31 ) / 29\!\cdots\!60$$ (832422486492247376603952137846641460408349876565142810854659447480297479163269603536846284605141924436341630055*v^15 - 4014166975980005792272201347746511436458218970878133540344320051705774865952489707833910180022154696438166715908*v^14 + 71309453527704325304364598745962339751359991993420568097439866805371055497584106716462965739123161723596538445190399*v^13 - 1297367717810688139770278200581468293931798391115679820645021525619003056756060055810691865171098147443580026178761775*v^12 + 4247196478776366916761261953684241276792576246376859665991757305571186784870067384824123672364670909747075595347630291710*v^11 - 76014173765236193972609107124430470443423520569526414230474769222149964580374434516961229606877031565371897122445162923543*v^10 + 132131829136992994934636578813862840227706928356550285166424980411493774149000374836395524891690392073646178269472050523896143*v^9 - 2193056000032175806388316815088382303470618714917965476679941518092180250894616169818849825389031978730308134813126694434253202*v^8 + 2984168346092247284775947556063871089883602622286428217785366456313350673326395005699735685396191520275432016916795788032240934158*v^7 - 20533155178436677324417661483027021709216221072739297897484798504644684032630074387222551902362493185789348468089003378543286985127*v^6 + 31245606625444899471563883448801470071402675445059900966687005557881320287966278598672243093637575170136589906599610546599238019698951*v^5 + 652358134345994319302809574303331666798955585966947981147138307264912145118144278478389534010507348664994395658959581418820464334736622*v^4 + 222787310033550207566294099853586141003111831621586159490459102940921462239952434960667191328000365553007659009938641798161750157766560175*v^3 + 991525550179171999182160204963451567366277554155500101495109565379255216799471300309932278533846472963110956351198502852281223351419077869*v^2 + 27338092350756101985712608193421400202093330427981231339170442318331601451048733001135209047072328388347847402232164871466748724901162050424*v - 78847547842707499295376450414393105105117090802458627993744383580230169956991415270891881262035196986252551682970681562258945493074430300531) / 294265989573369872334481257297018556570301091457627272727244149367596720452747800211953770372330067113751576949365443260056116127784960
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{9} + \beta_{7} + 2\beta_{6} - \beta_{5} - 11\beta_{3} + 21411\beta_{2} - 10\beta _1 + 11$$ b9 + b7 + 2*b6 - b5 - 11*b3 + 21411*b2 - 10*b1 + 11 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{14} - \beta_{13} - \beta_{12} - 2 \beta_{11} - \beta_{10} + \beta_{8} - 33 \beta_{7} + 34 \beta_{6} - 104 \beta_{5} - 2 \beta_{4} + 33331 \beta_{3} + 2 \beta_{2} - 69 \beta _1 + 197489$$ b14 - b13 - b12 - 2*b11 - b10 + b8 - 33*b7 + 34*b6 - 104*b5 - 2*b4 + 33331*b3 + 2*b2 - 69*b1 + 197489 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- 38 \beta_{15} - 38 \beta_{14} - 8 \beta_{13} + 8 \beta_{12} + 766 \beta_{11} - 368 \beta_{10} - 40984 \beta_{9} - 1532 \beta_{8} + 582 \beta_{7} - 59192 \beta_{6} - 17388 \beta_{5} - 184 \beta_{4} - 715126423 \beta_{2} + \cdots - 715185025$$ -38*b15 - 38*b14 - 8*b13 + 8*b12 + 766*b11 - 368*b10 - 40984*b9 - 1532*b8 + 582*b7 - 59192*b6 - 17388*b5 - 184*b4 - 715126423*b2 + 903872*b1 - 715185025 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$58018 \beta_{15} + 824 \beta_{14} + 58842 \beta_{13} + 58018 \beta_{12} + 51170 \beta_{11} - 47792 \beta_{10} + 1868434 \beta_{9} + 51170 \beta_{8} + 1820642 \beta_{7} - 9518202 \beta_{6} + \cdots + 1214584433$$ 58018*b15 + 824*b14 + 58842*b13 + 58018*b12 + 51170*b11 - 47792*b10 + 1868434*b9 + 51170*b8 + 1820642*b7 - 9518202*b6 + 4706196*b5 + 47792*b4 - 1208006425*b3 + 20343852048*b2 - 1212770639*b1 + 1214584433 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$146632 \beta_{15} + 2193570 \beta_{14} - 2193570 \beta_{13} - 2340202 \beta_{12} - 92780164 \beta_{11} + 13431380 \beta_{10} + 59821462 \beta_{9} + 46390082 \beta_{8} + \cdots + 25967439445301$$ 146632*b15 + 2193570*b14 - 2193570*b13 - 2340202*b12 - 92780164*b11 + 13431380*b10 + 59821462*b9 + 46390082*b8 - 1647227513*b7 - 2478317359*b6 + 3305504833*b5 + 26862760*b4 + 54439337891*b3 + 32958702*b2 + 813756094*b1 + 25967439445301 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 2812412231 \beta_{15} - 2812412231 \beta_{14} + 6957416 \beta_{13} - 6957416 \beta_{12} + 2592249519 \beta_{11} + 3520630410 \beta_{10} - 92033279232 \beta_{9} + \cdots - 11\!\cdots\!14$$ -2812412231*b15 - 2812412231*b14 + 6957416*b13 - 6957416*b12 + 2592249519*b11 + 3520630410*b10 - 92033279232*b9 - 5184499038*b8 + 4352564724*b7 + 304584816148*b6 + 402008842298*b5 + 1760315205*b4 - 1136717364641070*b2 + 46637161866235*b1 - 1136408434217614 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$136258041276 \beta_{15} - 4533204720 \beta_{14} + 131724836556 \beta_{13} + 136258041276 \beta_{12} + 2271049362300 \beta_{11} + 728650629552 \beta_{10} + \cdots + 25\!\cdots\!60$$ 136258041276*b15 - 4533204720*b14 + 131724836556*b13 + 136258041276*b12 + 2271049362300*b11 + 728650629552*b10 + 64791339558484*b9 + 2271049362300*b8 + 65519990188036*b7 + 193824183568532*b6 - 96615895490128*b5 - 728650629552*b4 - 2612386582485752*b3 + 992792279545118049*b2 - 2515906945036900*b1 + 2583561726545960 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$- 2494215902352 \beta_{15} + 129121236637012 \beta_{14} - 129121236637012 \beta_{13} - 126627020734660 \beta_{12} - 274945717745576 \beta_{11} + \cdots + 53\!\cdots\!59$$ -2494215902352*b15 + 129121236637012*b14 - 129121236637012*b13 - 126627020734660*b12 - 274945717745576*b11 - 56094063278512*b10 + 81378795594276*b9 + 137472858872788*b8 - 4370123699134872*b7 + 15641011741702012*b6 - 35828780994610208*b5 - 112188126557024*b4 + 1800094708211857681*b3 + 193566922151300*b2 - 20131675189629684*b1 + 53044011048976343159 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$- 71\!\cdots\!20 \beta_{15} + \cdots - 39\!\cdots\!84$$ -7113780933403220*b15 - 7113780933403220*b14 + 600490755672304*b13 - 600490755672304*b12 + 103967475496267396*b11 - 70815704601346448*b10 - 2790113121960821737*b9 - 207934950992534792*b8 + 68559623195594172*b7 - 3662567785427500937*b6 - 762574388548353192*b5 - 35407852300673224*b4 - 39013817703090293170015*b2 + 114146087264032190378*b1 - 39017412311743280749084 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$57\!\cdots\!97 \beta_{15} + \cdots + 72\!\cdots\!69$$ 5755148469856430797*b15 - 190580865914712400*b14 + 5564567603941718397*b13 + 5755148469856430797*b12 + 7203719534246571725*b11 - 1509312045944057945*b10 + 192783551957242458988*b9 + 7203719534246571725*b8 + 191274239911298401043*b7 - 1478672822951548972458*b6 + 735704181217874241858*b5 + 1509312045944057945*b4 - 71965121909894134582843*b3 + 2503259126286111378480810*b2 - 72706581239581865255498*b1 + 72899304050557553797469 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$- 40\!\cdots\!48 \beta_{15} + \cdots + 15\!\cdots\!45$$ -40268119715715414248*b15 + 408431948588879074074*b14 - 408431948588879074074*b13 - 368163828873163659826*b12 - 9247929918583864424308*b11 + 1632495078165482248616*b10 + 6256460037457414460770*b9 + 4623964959291932212154*b8 - 113967231335917236175184*b7 - 128211236884418919745558*b6 + 143137194656713996923700*b5 + 3264990156330964497232*b4 + 5260147193960822287055180*b3 + 2991469881126449963538*b2 + 13293462694129594929526*b1 + 1557918191920305675672796445 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 24\!\cdots\!58 \beta_{15} + \cdots - 11\!\cdots\!12$$ -241663721709888383810558*b15 - 241663721709888383810558*b14 + 11144898453739190348120*b13 - 11144898453739190348120*b12 + 365560616718776299798806*b11 + 55271519169102068393856*b10 - 9047402282457937518453804*b9 - 731121233437552599597612*b8 + 393196376303327333995734*b7 + 33274870231148396651406100*b6 + 42907207055127520472773028*b5 + 27635759584551034196928*b4 - 111678012726825639754948264326*b2 + 2993158259321957028399816673*b1 - 111644355805116641770153210612 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$20\!\cdots\!90 \beta_{15} + \cdots + 23\!\cdots\!31$$ 20612312976409249739719590*b15 - 2245620852619103563381032*b14 + 18366692123790146176338558*b13 + 20612312976409249739719590*b12 + 202674715235708442446761350*b11 + 73147454094439060741887900*b10 + 4538765303722826613977022835*b9 + 202674715235708442446761350*b8 + 4611912757817265674718910735*b7 + 9300761783132355459875456864*b6 - 4624113321007162824436644277*b5 - 73147454094439060741887900*b4 - 231863056394546286679413216323*b3 + 63459385857444176380808403136035*b2 - 227259555386515533104716291636*b1 + 232053530546592097972142244131 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$- 58\!\cdots\!88 \beta_{15} + \cdots + 48\!\cdots\!09$$ -581678649909690737153487288*b15 + 11010644295610653772775137819*b14 - 11010644295610653772775137819*b13 - 10428965645700963035621650531*b12 - 35954173761533055984138146870*b11 + 280027214315598709163040131*b10 + 18257114095082126701232113566*b9 + 17977086880766527992069073435*b8 - 409824599038151491506599291517*b7 + 1471635083902588014284622406312*b6 - 3359221127785536598167648919364*b5 + 560054428631197418326080262*b4 + 119425644446981515889955641822335*b3 + 17697059666450929282906033304*b2 - 1887866071097264182592189553183*b1 + 4821945324862155177489157453980509

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$3$$ $$\chi(n)$$ $$-\beta_{2}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
3.1
 99.6079 − 172.526i 75.4148 − 130.622i 73.8531 − 127.917i 4.32091 − 7.48404i −7.15615 + 12.3948i −47.0463 + 81.4867i −92.8856 + 160.882i −104.109 + 180.322i 99.6079 + 172.526i 75.4148 + 130.622i 73.8531 + 127.917i 4.32091 + 7.48404i −7.15615 − 12.3948i −47.0463 − 81.4867i −92.8856 − 160.882i −104.109 − 180.322i
−105.108 182.052i −2073.47 1197.12i −13903.4 + 24081.3i −42557.3 + 24570.5i 503307.i −425296. 705228.i 2.40123e6 474710. + 822222.i 8.94621e6 + 5.16510e6i
3.2 −80.9148 140.148i 3151.06 + 1819.27i −4902.40 + 8491.21i −92594.8 + 53459.6i 588822.i −746488. + 347821.i −1.06471e6 4.22798e6 + 7.32307e6i 1.49846e7 + 8.65135e6i
3.3 −79.3531 137.444i 619.565 + 357.706i −4401.84 + 7624.22i 110713. 63919.9i 113540.i 784145. + 251675.i −1.20304e6 −2.13558e6 3.69893e6i −1.75708e7 1.01445e7i
3.4 −9.82091 17.0103i −2131.70 1230.74i 7999.10 13854.8i 1808.28 1044.01i 48347.8i −454468. + 686791.i −636045. 637942. + 1.10495e6i −35517.9 20506.3i
3.5 1.65615 + 2.86854i 527.809 + 304.731i 8186.51 14179.5i −65578.3 + 37861.7i 2018.72i 652201. 502849.i 108501. −2.20576e6 3.82049e6i −217216. 125409.i
3.6 41.5463 + 71.9604i 2597.81 + 1499.84i 4739.80 8209.58i 95097.7 54904.7i 249252.i −660543. 491840.i 2.14908e6 2.10758e6 + 3.65044e6i 7.90192e6 + 4.56218e6i
3.7 87.3856 + 151.356i −2625.37 1515.76i −7080.47 + 12263.7i 40938.7 23636.0i 529821.i 156750. 808488.i 388527. 2.20356e6 + 3.81667e6i 7.15491e6 + 4.13089e6i
3.8 98.6087 + 170.795i 1026.30 + 592.534i −11255.4 + 19494.8i −48666.8 + 28097.8i 233716.i 74982.8 + 820122.i −1.20829e6 −1.68929e6 2.92594e6i −9.59794e6 5.54137e6i
5.1 −105.108 + 182.052i −2073.47 + 1197.12i −13903.4 24081.3i −42557.3 24570.5i 503307.i −425296. + 705228.i 2.40123e6 474710. 822222.i 8.94621e6 5.16510e6i
5.2 −80.9148 + 140.148i 3151.06 1819.27i −4902.40 8491.21i −92594.8 53459.6i 588822.i −746488. 347821.i −1.06471e6 4.22798e6 7.32307e6i 1.49846e7 8.65135e6i
5.3 −79.3531 + 137.444i 619.565 357.706i −4401.84 7624.22i 110713. + 63919.9i 113540.i 784145. 251675.i −1.20304e6 −2.13558e6 + 3.69893e6i −1.75708e7 + 1.01445e7i
5.4 −9.82091 + 17.0103i −2131.70 + 1230.74i 7999.10 + 13854.8i 1808.28 + 1044.01i 48347.8i −454468. 686791.i −636045. 637942. 1.10495e6i −35517.9 + 20506.3i
5.5 1.65615 2.86854i 527.809 304.731i 8186.51 + 14179.5i −65578.3 37861.7i 2018.72i 652201. + 502849.i 108501. −2.20576e6 + 3.82049e6i −217216. + 125409.i
5.6 41.5463 71.9604i 2597.81 1499.84i 4739.80 + 8209.58i 95097.7 + 54904.7i 249252.i −660543. + 491840.i 2.14908e6 2.10758e6 3.65044e6i 7.90192e6 4.56218e6i
5.7 87.3856 151.356i −2625.37 + 1515.76i −7080.47 12263.7i 40938.7 + 23636.0i 529821.i 156750. + 808488.i 388527. 2.20356e6 3.81667e6i 7.15491e6 4.13089e6i
5.8 98.6087 170.795i 1026.30 592.534i −11255.4 19494.8i −48666.8 28097.8i 233716.i 74982.8 820122.i −1.20829e6 −1.68929e6 + 2.92594e6i −9.59794e6 + 5.54137e6i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 3.8 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
7.d odd 6 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 7.15.d.a 16
3.b odd 2 1 63.15.m.b 16
7.b odd 2 1 49.15.d.c 16
7.c even 3 1 49.15.b.a 16
7.c even 3 1 49.15.d.c 16
7.d odd 6 1 inner 7.15.d.a 16
7.d odd 6 1 49.15.b.a 16
21.g even 6 1 63.15.m.b 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
7.15.d.a 16 1.a even 1 1 trivial
7.15.d.a 16 7.d odd 6 1 inner
49.15.b.a 16 7.c even 3 1
49.15.b.a 16 7.d odd 6 1
49.15.d.c 16 7.b odd 2 1
49.15.d.c 16 7.c even 3 1
63.15.m.b 16 3.b odd 2 1
63.15.m.b 16 21.g even 6 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{15}^{\mathrm{new}}(7, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16} + 92 T^{15} + \cdots + 10\!\cdots\!64$$
$3$ $$T^{16} - 2184 T^{15} + \cdots + 10\!\cdots\!49$$
$5$ $$T^{16} + 1680 T^{15} + \cdots + 95\!\cdots\!25$$
$7$ $$T^{16} + 1237432 T^{15} + \cdots + 44\!\cdots\!01$$
$11$ $$T^{16} + 4587872 T^{15} + \cdots + 26\!\cdots\!61$$
$13$ $$T^{16} + \cdots + 21\!\cdots\!00$$
$17$ $$T^{16} + 1336830432 T^{15} + \cdots + 14\!\cdots\!49$$
$19$ $$T^{16} - 1925554176 T^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!21$$
$23$ $$T^{16} - 5352602296 T^{15} + \cdots + 13\!\cdots\!49$$
$29$ $$(T^{8} - 7677418856 T^{7} + \cdots - 97\!\cdots\!64)^{2}$$
$31$ $$T^{16} - 38066141568 T^{15} + \cdots + 72\!\cdots\!01$$
$37$ $$T^{16} + 168016938776 T^{15} + \cdots + 15\!\cdots\!49$$
$41$ $$T^{16} + \cdots + 79\!\cdots\!00$$
$43$ $$(T^{8} + 361116213232 T^{7} + \cdots - 22\!\cdots\!00)^{2}$$
$47$ $$T^{16} - 2038558764144 T^{15} + \cdots + 88\!\cdots\!29$$
$53$ $$T^{16} + 129224247224 T^{15} + \cdots + 67\!\cdots\!25$$
$59$ $$T^{16} - 6357829627128 T^{15} + \cdots + 49\!\cdots\!81$$
$61$ $$T^{16} - 9622511463768 T^{15} + \cdots + 52\!\cdots\!01$$
$67$ $$T^{16} - 8708745371912 T^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!09$$
$71$ $$(T^{8} + 38975312398720 T^{7} + \cdots - 10\!\cdots\!24)^{2}$$
$73$ $$T^{16} - 56185530197832 T^{15} + \cdots + 10\!\cdots\!29$$
$79$ $$T^{16} - 31180109483480 T^{15} + \cdots + 32\!\cdots\!61$$
$83$ $$T^{16} + \cdots + 38\!\cdots\!00$$
$89$ $$T^{16} - 303521059372440 T^{15} + \cdots + 60\!\cdots\!41$$
$97$ $$T^{16} + \cdots + 25\!\cdots\!00$$