# Properties

 Label 690.2.m.c Level $690$ Weight $2$ Character orbit 690.m Analytic conductor $5.510$ Analytic rank $0$ Dimension $20$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$690 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$2$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 690.m (of order $$11$$, degree $$10$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$5.50967773947$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$20$$ Relative dimension: $$2$$ over $$\Q(\zeta_{11})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{20} - 4 x^{19} - 3 x^{18} + 66 x^{17} - 163 x^{16} - 52 x^{15} + 1567 x^{14} - 6182 x^{13} + 17043 x^{12} - 35832 x^{11} + 60906 x^{10} - 87666 x^{9} + 106197 x^{8} - 102542 x^{7} + \cdots + 529$$ x^20 - 4*x^19 - 3*x^18 + 66*x^17 - 163*x^16 - 52*x^15 + 1567*x^14 - 6182*x^13 + 17043*x^12 - 35832*x^11 + 60906*x^10 - 87666*x^9 + 106197*x^8 - 102542*x^7 + 92618*x^6 - 8374*x^5 + 38352*x^4 + 60038*x^3 + 32919*x^2 + 5681*x + 529 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$1$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{11}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{19}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{16} q^{2} - \beta_{14} q^{3} - \beta_{12} q^{4} + \beta_{11} q^{5} - \beta_{15} q^{6} + (\beta_{17} + \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{10} + \beta_{9} + \beta_{5} + \beta_{4} + 1) q^{7} + \beta_{9} q^{8} + \beta_{17} q^{9}+O(q^{10})$$ q + b16 * q^2 - b14 * q^3 - b12 * q^4 + b11 * q^5 - b15 * q^6 + (b17 + b15 + b14 - b10 + b9 + b5 + b4 + 1) * q^7 + b9 * q^8 + b17 * q^9 $$q + \beta_{16} q^{2} - \beta_{14} q^{3} - \beta_{12} q^{4} + \beta_{11} q^{5} - \beta_{15} q^{6} + (\beta_{17} + \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{10} + \beta_{9} + \beta_{5} + \beta_{4} + 1) q^{7} + \beta_{9} q^{8} + \beta_{17} q^{9} + \beta_{8} q^{10} + (\beta_{17} - \beta_{15} + \beta_{14} + \beta_{13} + \beta_{8} - \beta_{7} - 1) q^{11} + \beta_{10} q^{12} + (\beta_{19} - \beta_{17} + \beta_{16} - \beta_{15} - \beta_{13} - 2 \beta_{12} - \beta_{11} - \beta_{10} - 3 \beta_{8} + \cdots + 1) q^{13}+ \cdots + ( - \beta_{17} + \beta_{15} + \beta_{13} + \beta_{11} - \beta_{9} + \beta_{8} + \beta_1) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b16 * q^2 - b14 * q^3 - b12 * q^4 + b11 * q^5 - b15 * q^6 + (b17 + b15 + b14 - b10 + b9 + b5 + b4 + 1) * q^7 + b9 * q^8 + b17 * q^9 + b8 * q^10 + (b17 - b15 + b14 + b13 + b8 - b7 - 1) * q^11 + b10 * q^12 + (b19 - b17 + b16 - b15 - b13 - 2*b12 - b11 - b10 - 3*b8 + b7 + b6 + 2*b5 + b4 - 2*b3 + b2 - b1 + 1) * q^13 + (-b17 - b14 + b12 - b9 - b8 + b6 + b5) * q^14 - b9 * q^15 + (-b17 - b16 - b15 - b14 + b12 - b11 + b10 - b9 - b8 - 1) * q^16 + (-b19 + 2*b18 + b17 - b16 + 2*b13 + 2*b12 + b11 + 2*b10 + 2*b8 - b7 - 2*b6 - 2*b5 - b4 + b3 - b2 - 1) * q^17 + b11 * q^18 + (b18 + b16 - b15 - b14 + b13 + 2*b12 - b11 + b9 - b8 + b2 - b1) * q^19 + b14 * q^20 + (b19 - b18 - b12 - b11 - b10 + b9 - b8 + b7 + b6 + b5 + b4 - b3 + b2 - b1 + 1) * q^21 + (b18 - b16 + b15 + b14 + b11 + b10 - b2) * q^22 + (-b19 - b18 + 3*b17 + b16 + 2*b15 + 2*b14 + b13 - 2*b12 + 2*b11 - b10 + b9 + 3*b8 - b5 + b4 - b1 + 2) * q^23 - q^24 + b16 * q^25 + (b19 - b14 + b13 - b12 + b9 + b6 - b4 + 1) * q^26 + b12 * q^27 + (b17 + b16 - b12 - b10 + b8 + b6 - b1 + 1) * q^28 + (-b18 + 4*b17 + 2*b15 + 3*b14 + b13 - 3*b12 + b11 - 2*b10 + 2*b9 + 3*b8 - b6 + b5 + 2*b4 + b3 - b2 + 4) * q^29 + (b17 + b16 + b15 + b14 - b12 + b11 - b10 + b9 + b8 + 1) * q^30 + (2*b19 - b18 + b17 + 2*b16 - 2*b15 - 2*b13 - 3*b12 + b11 - 2*b10 - 2*b8 + b7 + 2*b5 + b4 - b3 - b2 - 2*b1 + 4) * q^31 + b17 * q^32 + (2*b14 + 2*b11 + b9 + b5 - b3 + 1) * q^33 + (b18 - 2*b17 - 2*b15 - b14 - b13 + 2*b12 + 2*b10 - b9 - 2*b8 + b7 - b6 - b4 + b1 - 3) * q^34 + (b19 - b16 - b8 - b3 + 1) * q^35 + b8 * q^36 + (-b18 + b17 - b16 - 2*b15 - b13 - 2*b12 - b11 + 2*b10 - 2*b9 - 3*b8 + b7 - 2*b6 - 2*b5 + b4 + b2 - b1 - 2) * q^37 + (b18 - 2*b17 - b16 - 3*b15 - 3*b14 + b12 - b11 + 3*b10 - 3*b9 - 3*b8 + b7 - b4 - b3 - 2) * q^38 + (b19 - b17 - 2*b16 - 2*b15 - b14 + b13 + b12 - b11 + 2*b10 - b9 - b8 + b2 + b1 - 1) * q^39 + b15 * q^40 + (2*b19 - 3*b17 - b15 - 2*b13 + 2*b12 - 3*b11 + 2*b10 - b9 - 3*b8 - b7 - b5 - b4 - b2) * q^41 + (b18 - b16 + b13 + b12 - b9) * q^42 + (-3*b19 + 2*b18 + 5*b15 + 2*b14 + b13 + 3*b12 + 3*b11 + b10 + b9 + 5*b8 - 3*b7 - 3*b6 - b4 + 3*b3 - 3*b2 + 3*b1 - 3) * q^43 + (-b17 - b14 + 2*b12 - b4 + b3 - 2) * q^44 + q^45 + (b19 + 2*b16 + 2*b15 + 3*b14 - b13 - 3*b12 + b11 - 3*b10 + 2*b9 + b8 + 2*b7 + 2*b5 + 2*b4 - b3 + b2 - b1 + 3) * q^46 + (b18 - b17 + b16 - b15 + b14 + b13 + 3*b12 - b10 + b8 + b7 + b5 + b4 + b3 - b2 - b1 - 4) * q^47 - b16 * q^48 + (-b19 - b18 + b15 - 2*b14 - b13 - 2*b12 - b11 + b10 + 2*b9 + b8 + 2*b7 - b6 + b4 - b3 + 2*b2 - b1 - 1) * q^49 - b12 * q^50 + (b19 - b18 + b17 - b13 - b12 + b11 + b9 - b4 - b3 - b2 + 1) * q^51 + (-b19 + 2*b18 - b17 - b16 - 2*b15 - b14 + b13 + 3*b12 + 2*b10 - b9 - b7 - b6 - 2*b5 - b4 + b3 - b2 - 3) * q^52 + (-2*b19 + 2*b18 + 4*b16 + b15 + 5*b14 - b13 + b12 + 2*b11 + 3*b8 - 2*b6 - b5 - b4 - b3 - 2*b2 - b1 + 3) * q^53 - b9 * q^54 + (b18 + b17 + b16 + b15 + 2*b14 - b12 - 2*b10 + b9 + 2*b8 - b7 + 1) * q^55 + (b16 + b14 - b12 + b11 + b9 + b7 - b1 + 1) * q^56 + (b19 - 2*b16 - 3*b15 - b14 + b12 - 2*b8 - b6 - b4 - b3 - 2) * q^57 + (-b19 + b18 - b17 + 2*b16 + 2*b15 + b14 + 2*b12 + 2*b11 + b9 + b6 + 2*b5 + b4 + b3 + b1) * q^58 + (4*b17 - b16 + 4*b15 + 3*b14 + 3*b13 + b12 + 3*b11 + 4*b9 - 2*b8 - b7 - b6 - b2 + b1 + 4) * q^59 - b17 * q^60 + (b19 - b17 + b16 + 3*b15 + 4*b14 - 2*b13 - b12 + 2*b11 - 2*b10 - b9 - b8 + 2*b5 - 4*b2 - b1 + 3) * q^61 + (-b19 + b17 + 2*b16 + b15 + 2*b13 + 3*b11 + 2*b10 + b9 + 4*b8 - b5 - b4 + 3*b3 - b2 + 2*b1) * q^62 + (-b16 - b15 - b11 - b8 - b3 + b2 - 1) * q^63 + b11 * q^64 + (b19 + b15 + 2*b14 + b12 + b11 - b10 + b8 + b5 - b2 + b1 + 1) * q^65 + (b19 - b17 + b15 - b11 - b9 + b8 + b6) * q^66 + (-3*b19 + 3*b18 - 3*b17 - 3*b16 - 3*b14 + 3*b12 - 2*b11 + b10 - b9 - 2*b8 + 2*b5 + b4 - b3 + 2*b2 - 3) * q^67 + (-b18 - 2*b16 - b15 - 2*b14 - b11 + 2*b10 - b9 - b7 - b5 - b4 + b2 + b1 - 2) * q^68 + (-b18 - b17 + 2*b16 - b15 - b14 - 2*b13 - 2*b12 - b11 - 2*b8 + 2*b7 + b6 + b5 - 2*b3 + b2 - b1 + 2) * q^69 + (b18 + b13 + 2*b12 + b11 - b9 + b8 - b7 - b6 - b5 - b4 + b3 - b2 + b1 - 1) * q^70 + (2*b19 - 2*b18 + 2*b17 + 3*b16 + 2*b14 - 7*b12 + 3*b11 - 3*b10 + 3*b9 + 3*b8 + b7 + b6 + b5 - b4 + b3 + b2 - b1 + 7) * q^71 + b14 * q^72 + (b19 - 2*b18 + 3*b17 + 2*b16 - 2*b15 - 4*b14 - 2*b13 - 2*b11 - 4*b10 + 2*b9 - 5*b8 + b7 + b5 + 1) * q^73 + (-b18 + 3*b17 + 3*b15 - 2*b12 + 3*b11 - b10 + 4*b9 + 2*b8 + b7 - 2*b6 + b5 + b4 - b3 + b2 + 2*b1 + 1) * q^74 - b15 * q^75 + (b19 + 2*b17 + b16 - b15 - 2*b12 + b11 + 2*b9 + b8 - b5 - b4 + b2) * q^76 + (-b19 + b18 - 4*b17 - 5*b16 - 2*b15 - 3*b14 + 2*b13 + 2*b12 - 3*b11 + 3*b10 - 4*b9 - 2*b5 - b4 + b2 + b1 - 5) * q^77 + (-b19 + 2*b18 + b17 - b16 + b13 + 3*b12 + b11 + 2*b10 - b9 + b8 - 2*b7 - b6 - b5 - b4 - b2 + b1 - 3) * q^78 + (-3*b19 - 2*b17 - b16 - 2*b15 - 4*b14 + 4*b12 - b11 + 3*b10 - 4*b9 - 2*b7 - b6 - 4*b5 - 3*b4 + 4*b3 - b2 + 2*b1 - 7) * q^79 - b10 * q^80 - b10 * q^81 + (-2*b19 + b17 - b16 + b15 - 2*b14 + 2*b13 + 3*b12 + 2*b10 - 3*b9 - 2*b7 - 3*b6 - 3*b5 - 2*b4 + 3*b3 - 3*b2 + 2*b1 - 5) * q^82 + (-b19 + 2*b18 + b17 - b16 + b15 + 2*b13 + 4*b12 + 2*b11 + 2*b10 - 3*b9 - b8 - 2*b7 - 2*b6 - 2*b5 - 2*b4 - 2*b2 + 2*b1 - 2) * q^83 + (b18 + b16 + b12 + b11 - b4) * q^84 + (-b18 + b16 + b14 - 2*b13 - 3*b12 - 2*b10 - b8 + b6 + b5 + b4 - b3 - 2*b1 + 2) * q^85 + (-2*b18 - 3*b17 - b16 - b15 - b14 - 3*b13 - 4*b11 - 2*b10 - b9 - 3*b8 + 3*b6 + 2*b5 + b4 - 1) * q^86 + (b19 - 3*b18 + 2*b17 + 2*b16 + b15 - b13 - 4*b12 - b10 + 4*b9 - b8 + 2*b7 + 3*b6 + 2*b5 + 2*b4 - 3*b3 + 2*b2 - 3*b1 + 5) * q^87 + (-b19 - 2*b16 - b15 - b14 + b12 - b11 + b10 - 2*b9 - b5 - 1) * q^88 + (2*b19 - 4*b18 - 5*b17 - 4*b15 - 2*b13 - 2*b11 - 2*b10 - 4*b9 - 4*b8 + b7 + 2*b6 + 2*b4 - 3*b3 + b2 - 3*b1 - 3) * q^89 + b16 * q^90 + (-3*b18 + 3*b16 + 3*b15 + 3*b14 - 3*b13 - 9*b12 - 3*b11 - 3*b10 + 6*b9 - 3*b8 + 3*b7 + 2*b6 + 3*b5 + 3*b4 - 3*b3 + 3*b2 - 3*b1 + 4) * q^91 + (-2*b17 + b15 + b13 + b12 - b11 + b6 + b5 - b4 + b2 + b1) * q^92 + (-b18 + 2*b17 - b15 - 2*b14 + b13 + b12 + b11 - b9 + b8 - b7 + 2*b6 - b4 + b3 + b2 + 1) * q^93 + (-b19 + b18 - b17 - 4*b16 - b14 + b12 - b11 + 3*b10 - 3*b9 - b8 + b7 + b6 + b5 - b4 + b3 + b2 - 1) * q^94 + (b17 + 2*b15 - b13 + b11 - 2*b10 - b9 + 2*b8 - b7 + b4 - b2 + 1) * q^95 + b12 * q^96 + (b19 - b18 + 3*b17 + 2*b16 + 3*b15 - b13 - 4*b12 - b11 - 3*b10 + 4*b9 + 2*b8 + 3*b7 + b6 + 3*b5 + 3*b4 - b3 + 3*b2 - b1 + 3) * q^97 + (2*b19 - 2*b18 - b17 - 2*b16 - 3*b15 + b14 - b13 - 2*b12 - 3*b11 - 2*b10 + b9 - 3*b8 + 2*b7 + b6 + 2*b5 + 2*b4 - 3*b3 + 3*b2 + 1) * q^98 + (-b17 + b15 + b13 + b11 - b9 + b8 + b1) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$20 q - 2 q^{2} + 2 q^{3} - 2 q^{4} - 2 q^{5} + 2 q^{6} + 2 q^{7} - 2 q^{8} - 2 q^{9}+O(q^{10})$$ 20 * q - 2 * q^2 + 2 * q^3 - 2 * q^4 - 2 * q^5 + 2 * q^6 + 2 * q^7 - 2 * q^8 - 2 * q^9 $$20 q - 2 q^{2} + 2 q^{3} - 2 q^{4} - 2 q^{5} + 2 q^{6} + 2 q^{7} - 2 q^{8} - 2 q^{9} - 2 q^{10} - 24 q^{11} + 2 q^{12} - 4 q^{13} + 2 q^{14} + 2 q^{15} - 2 q^{16} + 16 q^{17} - 2 q^{18} + 14 q^{19} - 2 q^{20} - 13 q^{21} - 2 q^{22} - 2 q^{23} - 20 q^{24} - 2 q^{25} + 7 q^{26} + 2 q^{27} + 2 q^{28} + 18 q^{29} + 2 q^{30} + 22 q^{31} - 2 q^{32} + 2 q^{33} - 17 q^{34} + 13 q^{35} - 2 q^{36} - 16 q^{37} + 3 q^{38} + 4 q^{39} - 2 q^{40} + 29 q^{41} + 9 q^{42} - 22 q^{43} - 24 q^{44} + 20 q^{45} - 2 q^{46} - 94 q^{47} + 2 q^{48} - 22 q^{49} - 2 q^{50} - 5 q^{51} - 4 q^{52} + 58 q^{53} + 2 q^{54} + 9 q^{55} + 2 q^{56} - 25 q^{57} - 4 q^{58} + 45 q^{59} + 2 q^{60} + q^{61} - 9 q^{63} - 2 q^{64} - 4 q^{65} - 9 q^{66} + 16 q^{67} - 6 q^{68} + 24 q^{69} + 2 q^{70} + 59 q^{71} - 2 q^{72} + 3 q^{73} - 16 q^{74} + 2 q^{75} - 8 q^{76} - 19 q^{77} - 18 q^{78} - 20 q^{79} - 2 q^{80} - 2 q^{81} - 37 q^{82} + 13 q^{83} + 9 q^{84} + 5 q^{85} - 22 q^{86} + 4 q^{87} + 9 q^{88} - 97 q^{89} - 2 q^{90} - 18 q^{91} + 9 q^{92} + 22 q^{93} + 27 q^{94} + 3 q^{95} + 2 q^{96} - 17 q^{97} - 11 q^{98} - 2 q^{99}+O(q^{100})$$ 20 * q - 2 * q^2 + 2 * q^3 - 2 * q^4 - 2 * q^5 + 2 * q^6 + 2 * q^7 - 2 * q^8 - 2 * q^9 - 2 * q^10 - 24 * q^11 + 2 * q^12 - 4 * q^13 + 2 * q^14 + 2 * q^15 - 2 * q^16 + 16 * q^17 - 2 * q^18 + 14 * q^19 - 2 * q^20 - 13 * q^21 - 2 * q^22 - 2 * q^23 - 20 * q^24 - 2 * q^25 + 7 * q^26 + 2 * q^27 + 2 * q^28 + 18 * q^29 + 2 * q^30 + 22 * q^31 - 2 * q^32 + 2 * q^33 - 17 * q^34 + 13 * q^35 - 2 * q^36 - 16 * q^37 + 3 * q^38 + 4 * q^39 - 2 * q^40 + 29 * q^41 + 9 * q^42 - 22 * q^43 - 24 * q^44 + 20 * q^45 - 2 * q^46 - 94 * q^47 + 2 * q^48 - 22 * q^49 - 2 * q^50 - 5 * q^51 - 4 * q^52 + 58 * q^53 + 2 * q^54 + 9 * q^55 + 2 * q^56 - 25 * q^57 - 4 * q^58 + 45 * q^59 + 2 * q^60 + q^61 - 9 * q^63 - 2 * q^64 - 4 * q^65 - 9 * q^66 + 16 * q^67 - 6 * q^68 + 24 * q^69 + 2 * q^70 + 59 * q^71 - 2 * q^72 + 3 * q^73 - 16 * q^74 + 2 * q^75 - 8 * q^76 - 19 * q^77 - 18 * q^78 - 20 * q^79 - 2 * q^80 - 2 * q^81 - 37 * q^82 + 13 * q^83 + 9 * q^84 + 5 * q^85 - 22 * q^86 + 4 * q^87 + 9 * q^88 - 97 * q^89 - 2 * q^90 - 18 * q^91 + 9 * q^92 + 22 * q^93 + 27 * q^94 + 3 * q^95 + 2 * q^96 - 17 * q^97 - 11 * q^98 - 2 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{20} - 4 x^{19} - 3 x^{18} + 66 x^{17} - 163 x^{16} - 52 x^{15} + 1567 x^{14} - 6182 x^{13} + 17043 x^{12} - 35832 x^{11} + 60906 x^{10} - 87666 x^{9} + 106197 x^{8} - 102542 x^{7} + \cdots + 529$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 77\!\cdots\!35 \nu^{19} + \cdots - 13\!\cdots\!32 ) / 73\!\cdots\!31$$ (-7754921435015212642337038838572554977930035*v^19 + 29478807890390892267956856140845993582931438*v^18 + 22731507169270910596428510416806373145475682*v^17 - 470579437991487082926646578737718298429106758*v^16 + 1145097738510800468211508357654875956781998258*v^15 + 167193140872716690790154273739815995784856816*v^14 - 10303430435568813116038157354538851467621434492*v^13 + 44446952210439598122670758473258128363364319860*v^12 - 134623971234612361875523743908067627549242795290*v^11 + 309572475008722332553112280348492345391879460976*v^10 - 586552701231932839905647194695485438052727292922*v^9 + 964476824054327386271812616677860401721096858675*v^8 - 1370527670919116976232415417922046575614396790181*v^7 + 1653066965334407847745305625119607742317378806592*v^6 - 1858160583981501417518239753788136899554871716532*v^5 + 1330667478421866758775049745705094924734502784083*v^4 - 1788238305033988796159668526738885243349425104122*v^3 + 205783705414638592734030237982709828069979509465*v^2 - 455110135824852956805151416870412896686657077247*v - 137790671568730383851920606349251393832115646032) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 47\!\cdots\!30 \nu^{19} + \cdots - 57\!\cdots\!72 ) / 73\!\cdots\!31$$ (47122768073824754377427679064685447117082430*v^19 - 216343752002853686893867730567653886014084491*v^18 - 732361915293952016078385316701963332945203*v^17 + 3085011630706189536602826063537664289448166723*v^16 - 9670596608737211787839340882473709101206919505*v^15 + 4090217800885410407166643610032754829771164675*v^14 + 71326487791483018857912903581152599059821104281*v^13 - 339934915556047379185300779010362877130572803549*v^12 + 1023441769013005726506134960552762472605221791707*v^11 - 2321491073352004068437375237000855297371108601261*v^10 + 4263246155255220483651196215895344735596202806849*v^9 - 6599971767990669995641458949956344822033177465452*v^8 + 8661412859170748004036527924774730571401307233495*v^7 - 9466822133460378463076710885560683205818823284370*v^6 + 9216719144500992678028231042082354720211695322006*v^5 - 4793443198490109951891182910408890116547866764790*v^4 + 3779643973505652765034793143913646448573359835435*v^3 + 1864430321343960522252846247789491662860743414301*v^2 + 608793145562928037239048367258070867822510938287*v - 57933456252427045109730973456712517094808635872) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 55\!\cdots\!96 \nu^{19} + \cdots - 18\!\cdots\!58 ) / 73\!\cdots\!31$$ (-55976858236835040060340265132437270389539196*v^19 + 223845922560030514051440400503167932380256461*v^18 + 183983327595577262830844893148160000561997768*v^17 - 3778419694675432535563008533228516749362539354*v^16 + 9138082956388336467458034538643276884263340289*v^15 + 4117176733572886143810175600979233221006764918*v^14 - 91630150417538528640483898328673786392037121161*v^13 + 347043442856550250018198016588110132042296250260*v^12 - 923972605083127269324005385102610512021873278938*v^11 + 1876676143117966297373628897025742985529960551895*v^10 - 3046468470983861615627830129186559901691183633156*v^9 + 4105207540952455425917543387904689723192688796611*v^8 - 4538797343985825862922855235136832615394674116656*v^7 + 3729648552070087312540110792803124825003505012287*v^6 - 2750658954979395068805684535681442865916175435308*v^5 - 1945773074665376666534648443065441605558903027983*v^4 - 237289097471822887159562659301974501849234783276*v^3 - 3955481305646839577516798637418660369937704256828*v^2 - 1780475953349358145073663734050697239785111552174*v - 182704722585153469047557912993017821468840931558) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 56\!\cdots\!12 \nu^{19} + \cdots + 20\!\cdots\!88 ) / 73\!\cdots\!31$$ (56238572521607471832761085357134367509727712*v^19 - 251004075121048240763463980253742435862042974*v^18 - 48948109698319382827725083707224648553434008*v^17 + 3734680636894379562144211607806315968527179757*v^16 - 10955740310337551642126435661319044445215490020*v^15 + 2327819435435218277282235968037090552906154830*v^14 + 87324781916838731991121538913515361155307481183*v^13 - 390248809284601366552804982992742095505923048218*v^12 + 1144078102216627498932406364244916039713555320761*v^11 - 2546735428623870792014272100099493659309424806670*v^10 + 4583415116559662979671672522803571910116994871702*v^9 - 6952934821485970560470584556508365765337764631874*v^8 + 8944557268317549105656759412663336577144942334016*v^7 - 9444173835606326742016583415340889837052648289366*v^6 + 8873361110179604055875911390294842326963057639800*v^5 - 3717655929830894436949951513662613170224146116529*v^4 + 3170751769671710383993314595427053884322314893823*v^3 + 2711265464341039646992067088713781075516903171179*v^2 + 1255249600993164005540613100511133191894292887038*v + 203250543549445685280410072203547907926673699488) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 73\!\cdots\!18 \nu^{19} + \cdots - 63\!\cdots\!04 ) / 73\!\cdots\!31$$ (73917223238192663129128685555149952388900818*v^19 - 335049420412112659737233271611255682710330219*v^18 - 67257922912157218234006336586358724362951475*v^17 + 5017443402345597149539185122256904673913100765*v^16 - 14646592098581464962689476654970352412893468393*v^15 + 2239003473442805725966933651743469078032880779*v^14 + 118783441045988634476593967192821543438117754544*v^13 - 517860460257595480289475382270516654845834329490*v^12 + 1494127029208998992732988926369835139888755982886*v^11 - 3294579086495906670431735298557421245311994860946*v^10 + 5858743047870887214666022038209053375607478764131*v^9 - 8766484221946201842177764136581998427754589567981*v^8 + 11132361402081549804465201343063606711647997307082*v^7 - 11579556337735996129166261433893131990405759657618*v^6 + 10687749265368023752195490796209569176279499585827*v^5 - 4151888097748506384299624093200108296375485314976*v^4 + 3308620383358756620779015692422429617587113666061*v^3 + 2865707405223284559488502744075252854763775335695*v^2 + 551289915379124338824495421976688737329888943021*v - 63120111019041856962132868184285433425894475504) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 82\!\cdots\!88 \nu^{19} + \cdots + 25\!\cdots\!38 ) / 73\!\cdots\!31$$ (82611296054338917478252232827879125245221888*v^19 - 331404818136567483293256680305002833042435068*v^18 - 234046737336013908844320944050659659743490626*v^17 + 5418134629019319310366077355080780911701135208*v^16 - 13610715497857773226724759270693780027914863392*v^15 - 3355829697352440379657333084803673321733140479*v^14 + 128356139555315107679865817741386042035927732773*v^13 - 515984330889806478573823550687791759198630033726*v^12 + 1433591351567662060344481027987200333956103107517*v^11 - 3022647324894762277361591863314382636389032896256*v^10 + 5150492542742608809522530689095502797435924973434*v^9 - 7422024337023319697553289990967320645758890740249*v^8 + 8950216504222124462064836429145129800089017136033*v^7 - 8565617150297440362394568412135446495029603265663*v^6 + 7614555493422543005762953756400979056370373872240*v^5 - 339708086983115157686073681232474489430270810326*v^4 + 2588239861185717420088305299251129437261190202169*v^3 + 5893406271823348775539731560444707526853062958768*v^2 + 2148296149138738364728468386594986717219463700646*v + 251604184093199505679457862307038143220687632738) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 87\!\cdots\!48 \nu^{19} + \cdots - 10\!\cdots\!60 ) / 73\!\cdots\!31$$ (-87073065802786413613921573605329118081856348*v^19 + 314824847145612574916131170354345219359066697*v^18 + 399734699312513634034125235823333598421508768*v^17 - 5658253401258323072750944918903131510507202519*v^16 + 11960785648132510097579445926577552917131220140*v^15 + 10185346315541173622468215190206505212542962271*v^14 - 135030245476554584384525051246822480217017036720*v^13 + 485728518137192368732856240320614473388605797058*v^12 - 1273844930994090208802743111159183600325138852637*v^11 + 2532217246319319938237468944578819843201419895795*v^10 - 4037382633112279669960183426876944831114786025879*v^9 + 5412553148718937759576018243604970932364373859933*v^8 - 5898256690252495188922669138200599996600623750836*v^7 + 4581556899045107770462259909665843482951994237300*v^6 - 3393754789740550760621336665231552154157353437135*v^5 - 4025447544729882365069824961031615271905804023601*v^4 - 1142117479183360416716012008026698614410422583183*v^3 - 7830816894151510029401291950900544292993316888828*v^2 - 3332886948241605167746682294985225211723625140042*v - 1078586960820440555707089128874347394688409471760) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!68 \nu^{19} + \cdots + 12\!\cdots\!95 ) / 73\!\cdots\!31$$ (109515040174720312116693711638397952920243168*v^19 - 390937392625056494089347167488906364563890242*v^18 - 544888872527014623243948865482847744774813995*v^17 + 7227260289616246647685706582817562929403103885*v^16 - 14765939917773221338418248933521202036551469661*v^15 - 15365378697822668017907413887670402653059564241*v^14 + 175700285754672139494025689747402347055792208931*v^13 - 605695490568637950647487621767423545893122160295*v^12 + 1526529914141710900219510148442853434489131508675*v^11 - 2900701150527572497259234114874312976432931404069*v^10 + 4348631963529511261341971964047410423189221788947*v^9 - 5337499356701810398370874708596450205109834759039*v^8 + 5030196953444102990215063144906602584237886246644*v^7 - 2568478390425422241033478654049872316946267699561*v^6 + 676241857441867404547227298964458397748258449454*v^5 + 8299640198077884784363037900822410262457579033174*v^4 - 593322377709236541591745681653051826150700785654*v^3 + 10354707955515510863896850203259782745998919155819*v^2 + 5469555928855578476822286541213913875042228261693*v + 1230948088795514130373985343075809638362412375695) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 11\!\cdots\!76 \nu^{19} + \cdots + 12\!\cdots\!77 ) / 73\!\cdots\!31$$ (119319680565296515996470450253847700237985776*v^19 - 403361499022993400856753115460240848563042286*v^18 - 693008462108002207726644622372798783424287547*v^17 + 7807840994397412837533043380167589491344109741*v^16 - 14431664529797734957885498269120270464878580723*v^15 - 20851215487976883794505940068170432825268728745*v^14 + 189212942919262446292436129199522815350956591771*v^13 - 618850824208674427413586356276464939433110312688*v^12 + 1515704855616753041838370501405809700310157250878*v^11 - 2781335764806705768452540247126035655038750342746*v^10 + 3972705378014042932849293944603426785382766812110*v^9 - 4601536068566397156680556453744759113455782274685*v^8 + 3904907895046592267099408269025865794418785885891*v^7 - 1102917282445085538844871566866444166155540135510*v^6 - 528406163139363410605161272282265689763993056050*v^5 + 9688566260314230727241047245783848534486606697603*v^4 + 424260291291745597197010614935458703151745166176*v^3 + 10472335365138028848175108584762937844475303685549*v^2 + 6793591969752280569576313495981665298898029095839*v + 1229145020670573846200444049868797522381886136477) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!02 \nu^{19} + \cdots + 11\!\cdots\!84 ) / 73\!\cdots\!31$$ (148680002685032231078367504344649388439840402*v^19 - 549274847051000863113650179204305027466351898*v^18 - 637258713931016725273188970288947542613688490*v^17 + 9718349523954352177475171981826011067168875259*v^16 - 21236254187914505453977735037839304914748973305*v^15 - 15731239745474686924560348485253310491766629851*v^14 + 232532459450364458864984393573701480993558621532*v^13 - 849019035469006358576777310099649018843091119621*v^12 + 2239241586931348793759344017167935991486955020800*v^11 - 4484021110975555934696494417923111202832620565857*v^10 + 7219087695231085408544054153200131178159051055656*v^9 - 9802665629765166761070034412254957415618538082291*v^8 + 10967365029497337108291498781840046146852242161810*v^7 - 9162505539249136350167536564589652777803431330311*v^6 + 7613355575081827920811678431281850143222401538177*v^5 + 4351766065766535957966953497330742933582878459373*v^4 + 4215372305225879849019464671239238497048970849789*v^3 + 10681744284137142290635711281497889643975755735989*v^2 + 7729082254258129524823699612647084768115707940317*v + 1134613498867120963842940304385730328826542977284) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 26\!\cdots\!08 \nu^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!01 ) / 73\!\cdots\!31$$ (260473859298167077224802658505201122555984208*v^19 - 1049650358627683521541547672859377045201866867*v^18 - 751942770004110339406451119374757374085021186*v^17 + 17214006220848298007433403971760080461840433410*v^16 - 42927818503592720670569479915085501275054532662*v^15 - 12399542944993887547478229884615582416129180558*v^14 + 408329730661100526702055920151389975041012110752*v^13 - 1620552828616837684519768192233692191108715808348*v^12 + 4483702936229101095264982467377400860085003176804*v^11 - 9467923297606535072994652603466434250975268936346*v^10 + 16173993349422886338006942999266271915786653633424*v^9 - 23421254050465047831895197055212447048045638871450*v^8 + 28626019259941776486314180541954704013798951795651*v^7 - 28080038151071765409018129626362380084750129446917*v^6 + 25777634865812046206152078250554325311207524183136*v^5 - 4039368681744352522198737216110691099838683474324*v^4 + 11320360930225170504500681304696568377001609129299*v^3 + 13850091259509366186263033484596379752666754775782*v^2 + 8780322679651000607897308953315425581490423652617*v + 1024641858848034208908952486097634680553889208401) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 31\!\cdots\!52 \nu^{19} + \cdots - 20\!\cdots\!18 ) / 73\!\cdots\!31$$ (315316471853442036799968535689363483165809552*v^19 - 1435684555921987732384581005892658563301548352*v^18 - 224070369340665541176786294577575617693222881*v^17 + 21229605518567511188085684759731097049889383235*v^16 - 62972186645343345687363315234828249119632906735*v^15 + 13792502283954421978921726232502275746838491507*v^14 + 498642922380444902978618893585508346038538298561*v^13 - 2224442305342850254901769452512545980329362859889*v^12 + 6497207620919008742532159434522005185848339578145*v^11 - 14435501977989067900922890074843386828845948732493*v^10 + 25867991042188441510804342948984333235315846552517*v^9 - 39057746190063862485263460224425324861940408548625*v^8 + 49947442918289868330872043571365574819430708142143*v^7 - 52147295917229717659533041819146250476724278956149*v^6 + 48068046608957465693310016592436489395769719639216*v^5 - 18888708816514223456384608277048839683109152486606*v^4 + 12824411807158539164634509483756573708696989678342*v^3 + 15026402052617211135348769389550583761472579790573*v^2 - 1662328044370568809458280754832576372299828297945*v - 2061233613827758731323453947668489926697496021118) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 34\!\cdots\!02 \nu^{19} + \cdots - 18\!\cdots\!88 ) / 73\!\cdots\!31$$ (-345377547419949846970808909249561099184954502*v^19 + 1437487047916634427943575902130681667129357204*v^18 + 812286719699819026860986327245515365174607045*v^17 - 22978901457312267162904232903619192546768994900*v^16 + 60074959924127257591804860740906975916510123180*v^15 + 8821549509449055575024028742333900273354293815*v^14 - 545323793540634296347067736395041475643830469552*v^13 + 2226754148567668482614024575309460501553425852525*v^12 - 6233312983534755491941694256928379945451475827846*v^11 + 13299540884234770185982030221332883818017162994602*v^10 - 22912241046277431676977716323779511292488799450707*v^9 + 33324336543101184900170763967458583222839405005488*v^8 - 40783266944308869324676537123480329773337302045505*v^7 + 39954501811522323071003542407405326848018278660740*v^6 - 35717826239011002239282490349678974709315621078523*v^5 + 5642850537074055087339238341737267510490984435056*v^4 - 11300146623984539864489814844473725670382472032721*v^3 - 20498488094527126025273862634223174771017063607800*v^2 - 7414002177870489434915259846167641454131812994510*v - 181613893543376935567501679396059364684614973688) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 38\!\cdots\!72 \nu^{19} + \cdots + 92\!\cdots\!94 ) / 73\!\cdots\!31$$ (384216528448857628129319607190071659596736672*v^19 - 1593104686317037984350039514117421005896674400*v^18 - 901645510225524643624494841316472542928167042*v^17 + 25407238987322922839362819158251954181938054360*v^16 - 66361974774058172947223307579787996482795257293*v^15 - 9023519169003045020598183912564681853814816924*v^14 + 599739480643924685001361588498805200035180210194*v^13 - 2462551360787676589086575350562538360782333587487*v^12 + 6938451103638481922760799048333133390013106149114*v^11 - 14911324749596094030062186529079563746383823751865*v^10 + 25947827310329993490858612095617998158708268551502*v^9 - 38266141299557215807256605206728394020324511959254*v^8 + 47755577493169304094919938881272405799532408988258*v^7 - 48342888528520308009293450573147664695513514154240*v^6 + 45029540267482622544097906794070946805583205376662*v^5 - 12090790319410337833830833780904502404426130531128*v^4 + 18453128228901482190965617088616241459078190961073*v^3 + 19896840165340803893634775981050468414546561419713*v^2 + 9936758435666904613397005060376187886748071334389*v + 927484497124796179862051587935663906274768146594) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( 47\!\cdots\!22 \nu^{19} + \cdots + 55\!\cdots\!36 ) / 73\!\cdots\!31$$ (475622276168619103363814484512359438980505922*v^19 - 1985100400728815330933510170877316881167245576*v^18 - 1095462010369289826798186773232075483899082698*v^17 + 31625116964464874730856076921866382632456881478*v^16 - 82944565644504233158667838330595369465523600494*v^15 - 11121642862910420148193593923948910799071444552*v^14 + 748655936453578575350754630315670914204185920253*v^13 - 3068653050829718404674966960996792093813415342577*v^12 + 8622014783631581857203313810231933677743392462372*v^11 - 18476088751241621772076681637034063751505591304621*v^10 + 31990897677220677386838076857024146626935726581588*v^9 - 46846395005340771125014691288356005375100957131486*v^8 + 57931683199302162617480296802726355987171678138883*v^7 - 57721475947104664559197101300011491392028055389757*v^6 + 52616801124482604477744338338701153014526100749459*v^5 - 11597416434058559377331536249707476998393130463068*v^4 + 18580773622601995009895086791250483693210633930870*v^3 + 25967170355425836307668388721901906560250424342867*v^2 + 9763603437371423488093677455217652844946211487550*v + 553714001775186761481361699919727255628790442236) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 47\!\cdots\!34 \nu^{19} + \cdots - 78\!\cdots\!96 ) / 73\!\cdots\!31$$ (-479832266250187886339799037833299740562809234*v^19 + 2025470880976916039039824336963264697445873707*v^18 + 1001311393754113798726224103676145914553185322*v^17 - 31946713211144694405158036489765755770178207099*v^16 + 85300730346976466829113061859160681427192334727*v^15 + 6871634746274701551834490386081603074233975021*v^14 - 756140368082354411657707176004579917770219587403*v^13 + 3134513826633654781356455559934158395212633127223*v^12 - 8850791565867185689223805282623998772317176857644*v^11 + 19063374310230712581206308904393586619118873095331*v^10 - 33202398846268451515964950187570341000420291872595*v^9 + 48905157568622902056676297263892887390496025474404*v^8 - 60935619463759809321628914051784314768520636570941*v^7 + 61528020751256666161357142207751383020718482427962*v^6 - 56678790871961234701845799123130380966472508502130*v^5 + 15223886721985491548317951423707781804513856866017*v^4 - 20702031577475587180669335653804747893055938406933*v^3 - 24795704223062478618886032533109433951918833858587*v^2 - 10436217044684496343836033806047966338650931450380*v - 786103934729428233453471953700860896892153232496) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{18}$$ $$=$$ $$( - 66\!\cdots\!69 \nu^{19} + \cdots + 20\!\cdots\!21 ) / 73\!\cdots\!31$$ (-664258501439167730987463108767074163166908969*v^19 + 2822699348883697459684385357341081622259790056*v^18 + 1296934232956789740656605296616645826758708962*v^17 - 44165583220098421086395504449799366632826901208*v^16 + 119120155826592246275808586203454371737981829903*v^15 + 5319047629857646829895360975755030654555451934*v^14 - 1041326987644416039094144334116097680348869635502*v^13 + 4359512494164653153648058398196867599572165661603*v^12 - 12395749435480698718645846482405879313820705291514*v^11 + 26896485969981904794551051328114938328439967333017*v^10 - 47248554470109962568931951650869014026417368460907*v^9 + 70337553941192153067835579824473420589770104424535*v^8 - 88878531184761699472064517539804231141479421519264*v^7 + 91710358930684930624814644819010710892870361977247*v^6 - 86534781278093829296123454293122889186655043317565*v^5 + 29760204342292832973084834723525766889075051448828*v^4 - 35218839054893813555610431154938162797803073789490*v^3 - 28757616222136013159242213827917426932173665498780*v^2 - 14330908669474729414877456887371950719964510400076*v + 202104543740916832545408480158767347395946569721) / 735840596713191131732083064444234183014274626831 $$\beta_{19}$$ $$=$$ $$( 74\!\cdots\!15 \nu^{19} + \cdots + 17\!\cdots\!51 ) / 73\!\cdots\!31$$ (741378106814708870172937897041528757838913515*v^19 - 2933597683319073558900086697563372861510200426*v^18 - 2398177728710071944191885852170728007062530801*v^17 + 49019033887891705386945903637487036069240012378*v^16 - 118597148165169071444004055594753567368312274731*v^15 - 46756516216484918217603236356218183393695500838*v^14 + 1167416496396668077533515003262739321277844405409*v^13 - 4531070133096304920882006134352852530535623082537*v^12 + 12368683081380442807546465894330902487572936285808*v^11 - 25740839671777930116444563344910387852394622753692*v^10 + 43213459757218880528313977166060568658103592042067*v^9 - 61327575236302214110279904240982530313363742851764*v^8 + 72919207185756827504130534572619167147207322817639*v^7 - 68121644103484183415209260926997990955552606013617*v^6 + 59664914091070401641800079757799503639524688826057*v^5 + 2448262634297985529648796135658635075341439672197*v^4 + 22946962698812395563167732148155896836358126434390*v^3 + 46692201378158322563276050401614796513167640215468*v^2 + 24259161692669605242108512192216758282864766527408*v + 1791628696862288687171889424130228604829149296951) / 735840596713191131732083064444234183014274626831
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{19} - \beta_{18} - 2 \beta_{17} - 2 \beta_{16} - \beta_{15} - \beta_{14} - \beta_{13} - 4 \beta_{12} - \beta_{11} + \beta_{10} - 2 \beta_{9} - 2 \beta_{8} + \beta_{5} + 1$$ b19 - b18 - 2*b17 - 2*b16 - b15 - b14 - b13 - 4*b12 - b11 + b10 - 2*b9 - 2*b8 + b5 + 1 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$- 2 \beta_{19} + 4 \beta_{17} + 4 \beta_{16} + \beta_{15} - \beta_{14} + 2 \beta_{12} - \beta_{10} + 5 \beta_{9} + 3 \beta_{8} + \beta_{7} - \beta_{3} - 6 \beta_{2} + 2 \beta _1 - 2$$ -2*b19 + 4*b17 + 4*b16 + b15 - b14 + 2*b12 - b10 + 5*b9 + 3*b8 + b7 - b3 - 6*b2 + 2*b1 - 2 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$7 \beta_{19} - 2 \beta_{18} - 49 \beta_{17} - 34 \beta_{16} - 38 \beta_{15} - 21 \beta_{14} - 13 \beta_{13} - \beta_{12} - 21 \beta_{11} + 18 \beta_{10} - 49 \beta_{9} - 47 \beta_{8} + 2 \beta_{6} + 11 \beta_{5} + 11 \beta_{4} + 7 \beta_{2} - 13 \beta _1 - 19$$ 7*b19 - 2*b18 - 49*b17 - 34*b16 - 38*b15 - 21*b14 - 13*b13 - b12 - 21*b11 + 18*b10 - 49*b9 - 47*b8 + 2*b6 + 11*b5 + 11*b4 + 7*b2 - 13*b1 - 19 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 71 \beta_{19} + 13 \beta_{18} + 134 \beta_{17} + 66 \beta_{16} + 114 \beta_{15} - 13 \beta_{14} + 48 \beta_{13} + 74 \beta_{12} + 48 \beta_{11} + 37 \beta_{10} + 123 \beta_{9} + 136 \beta_{8} - 13 \beta_{7} - 18 \beta_{6} - 18 \beta_{5} + \cdots - 2$$ -71*b19 + 13*b18 + 134*b17 + 66*b16 + 114*b15 - 13*b14 + 48*b13 + 74*b12 + 48*b11 + 37*b10 + 123*b9 + 136*b8 - 13*b7 - 18*b6 - 18*b5 - 24*b4 - 48*b2 + 24*b1 - 2 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$151 \beta_{19} - 4 \beta_{18} - 568 \beta_{17} - 238 \beta_{16} - 505 \beta_{15} - 151 \beta_{13} - 48 \beta_{12} - 94 \beta_{11} - 44 \beta_{10} - 501 \beta_{9} - 572 \beta_{8} + 43 \beta_{7} + 135 \beta_{6} + 43 \beta_{5} + 177 \beta_{4} + \cdots - 234$$ 151*b19 - 4*b18 - 568*b17 - 238*b16 - 505*b15 - 151*b13 - 48*b12 - 94*b11 - 44*b10 - 501*b9 - 572*b8 + 43*b7 + 135*b6 + 43*b5 + 177*b4 - 4*b3 + 177*b2 - 135*b1 - 234 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 702 \beta_{19} + 2126 \beta_{17} + 408 \beta_{16} + 2126 \beta_{15} - 38 \beta_{14} + 877 \beta_{13} + 294 \beta_{12} + 664 \beta_{11} + 702 \beta_{10} + 1767 \beta_{9} + 2268 \beta_{8} - 290 \beta_{7} - 438 \beta_{6} + \cdots + 1065$$ -702*b19 + 2126*b17 + 408*b16 + 2126*b15 - 38*b14 + 877*b13 + 294*b12 + 664*b11 + 702*b10 + 1767*b9 + 2268*b8 - 290*b7 - 438*b6 - 158*b5 - 702*b4 + 158*b3 - 438*b2 + 290*b1 + 1065 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$2390 \beta_{19} + 132 \beta_{18} - 6136 \beta_{17} - 7012 \beta_{15} + 2086 \beta_{14} - 2444 \beta_{13} - 383 \beta_{12} - 934 \beta_{11} - 3900 \beta_{10} - 4451 \beta_{9} - 7012 \beta_{8} + 1692 \beta_{7} + 2390 \beta_{6} + \cdots - 3746$$ 2390*b19 + 132*b18 - 6136*b17 - 7012*b15 + 2086*b14 - 2444*b13 - 383*b12 - 934*b11 - 3900*b10 - 4451*b9 - 7012*b8 + 1692*b7 + 2390*b6 + 2444*b4 - 613*b3 + 1692*b2 - 613*b1 - 3746 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$- 5111 \beta_{19} - 2040 \beta_{18} + 17477 \beta_{17} - 6362 \beta_{16} + 22925 \beta_{15} - 6791 \beta_{14} + 8259 \beta_{13} - 4107 \beta_{12} + 1897 \beta_{11} + 15050 \beta_{10} + 10299 \beta_{9} + \cdots + 17813$$ -5111*b19 - 2040*b18 + 17477*b17 - 6362*b16 + 22925*b15 - 6791*b14 + 8259*b13 - 4107*b12 + 1897*b11 + 15050*b10 + 10299*b9 + 20884*b8 - 5111*b7 - 8259*b6 + 2040*b5 - 9914*b4 + 2437*b3 - 2437*b2 + 17813 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$14021 \beta_{19} + 9229 \beta_{18} - 34089 \beta_{17} + 49307 \beta_{16} - 64960 \beta_{15} + 38468 \beta_{14} - 24860 \beta_{13} + 20295 \beta_{12} + 2741 \beta_{11} - 71749 \beta_{10} - 6488 \beta_{9} + \cdots - 60168$$ 14021*b19 + 9229*b18 - 34089*b17 + 49307*b16 - 64960*b15 + 38468*b14 - 24860*b13 + 20295*b12 + 2741*b11 - 71749*b10 - 6488*b9 - 49947*b8 + 24860*b7 + 28745*b6 - 11904*b5 + 28745*b4 - 14021*b3 + 9229*b1 - 60168 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 39811 \beta_{18} - 23464 \beta_{17} - 258961 \beta_{16} + 124682 \beta_{15} - 159691 \beta_{14} + 43390 \beta_{13} - 121103 \beta_{12} - 63275 \beta_{11} + 258961 \beta_{10} - 119880 \beta_{9} + \cdots + 194703$$ -39811*b18 - 23464*b17 - 258961*b16 + 124682*b15 - 159691*b14 + 43390*b13 - 121103*b12 - 63275*b11 + 258961*b10 - 119880*b9 + 43390*b8 - 84461*b7 - 103018*b6 + 67780*b5 - 84461*b4 + 43390*b3 + 39811*b2 - 67780*b1 + 194703 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$- 194262 \beta_{19} + 194262 \beta_{18} + 590249 \beta_{17} + 1222410 \beta_{16} + 590249 \beta_{14} + 612124 \beta_{12} + 374692 \beta_{11} - 907833 \beta_{10} + 907833 \beta_{9} + \cdots - 612124$$ -194262*b19 + 194262*b18 + 590249*b17 + 1222410*b16 + 590249*b14 + 612124*b12 + 374692*b11 - 907833*b10 + 907833*b9 + 374692*b8 + 243649*b7 + 243649*b6 - 332046*b5 + 164196*b4 - 164196*b3 - 332046*b2 + 377677*b1 - 612124 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$1291028 \beta_{19} - 672687 \beta_{18} - 4241226 \beta_{17} - 5090636 \beta_{16} - 1882408 \beta_{15} - 2176925 \beta_{14} - 672687 \beta_{13} - 2413435 \beta_{12} - 1882408 \beta_{11} + \cdots + 1291028$$ 1291028*b19 - 672687*b18 - 4241226*b17 - 5090636*b16 - 1882408*b15 - 2176925*b14 - 672687*b13 - 2413435*b12 - 1882408*b11 + 2950198*b10 - 5090636*b9 - 3467953*b8 - 805301*b7 - 570177*b6 + 1291028*b5 + 570177*b3 + 1689671*b2 - 1689671*b1 + 1291028 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$- 7306375 \beta_{19} + 2462944 \beta_{18} + 22504950 \beta_{17} + 19715461 \beta_{16} + 14176470 \beta_{15} + 6870095 \beta_{14} + 5252433 \beta_{13} + 9769319 \beta_{12} + \cdots - 1185708$$ -7306375*b19 + 2462944*b18 + 22504950*b17 + 19715461*b16 + 14176470*b15 + 6870095*b14 + 5252433*b13 + 9769319*b12 + 8583611*b11 - 7717856*b10 + 24266226*b9 + 20276664*b8 + 1335137*b7 - 5252433*b5 - 2462944*b4 - 1335137*b3 - 8030139*b2 + 7306375*b1 - 1185708 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$33609406 \beta_{19} - 8199524 \beta_{18} - 102255210 \beta_{17} - 69885095 \beta_{16} - 76091057 \beta_{15} - 18895885 \beta_{14} - 27803501 \beta_{13} - 35108969 \beta_{12} + \cdots - 10696361$$ 33609406*b19 - 8199524*b18 - 102255210*b17 - 69885095*b16 - 76091057*b15 - 18895885*b14 - 27803501*b13 - 35108969*b12 - 34503462*b11 + 14678150*b10 - 102255210*b9 - 97688596*b8 + 8199524*b6 + 18412561*b5 + 18412561*b4 + 3215628*b3 + 33609406*b2 - 27803501*b1 - 10696361 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$- 140271748 \beta_{19} + 20954963 \beta_{18} + 427756633 \beta_{17} + 223899277 \beta_{16} + 353063932 \beta_{15} + 38521255 \beta_{14} + 129164655 \beta_{13} + \cdots + 100976707$$ -140271748*b19 + 20954963*b18 + 427756633*b17 + 223899277*b16 + 353063932*b15 + 38521255*b14 + 129164655*b13 + 111598363*b12 + 129164655*b11 + 7232985*b10 + 401721400*b9 + 422676363*b8 - 20954963*b7 - 57749347*b6 - 57749347*b5 - 98556170*b4 - 129164655*b2 + 98556170*b1 + 100976707 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$546164663 \beta_{19} - 45887093 \beta_{18} - 1632307100 \beta_{17} - 619032881 \beta_{16} - 1487267752 \beta_{15} - 546164663 \beta_{13} - 324068924 \beta_{12} + \cdots - 573145788$$ 546164663*b19 - 45887093*b18 - 1632307100*b17 - 619032881*b16 - 1487267752*b15 - 546164663*b13 - 324068924*b12 - 446349270*b11 - 278181831*b10 - 1441380659*b9 - 1678194193*b8 + 165959869*b7 + 319490924*b6 + 165959869*b5 + 460650686*b4 - 45887093*b3 + 460650686*b2 - 319490924*b1 - 573145788 $$\nu^{18}$$ $$=$$ $$- 1926997917 \beta_{19} + 5726696450 \beta_{17} + 1243247780 \beta_{16} + 5726696450 \beta_{15} - 571490131 \beta_{14} + 2094830388 \beta_{13} + 683750137 \beta_{12} + \cdots + 2764584594$$ -1926997917*b19 + 5726696450*b17 + 1243247780*b16 + 5726696450*b15 - 571490131*b14 + 2094830388*b13 + 683750137*b12 + 1355507786*b11 + 1926997917*b10 + 4691582511*b9 + 6113161453*b8 - 868401336*b7 - 1470925231*b6 - 319657389*b5 - 1926997917*b4 + 319657389*b3 - 1470925231*b2 + 868401336*b1 + 2764584594 $$\nu^{19}$$ $$=$$ $$6182769136 \beta_{19} + 669331509 \beta_{18} - 18145320837 \beta_{17} - 20325168529 \beta_{15} + 4210658628 \beta_{14} - 7449454423 \beta_{13} - 286561532 \beta_{12} + \cdots - 11962551701$$ 6182769136*b19 + 669331509*b18 - 18145320837*b17 - 20325168529*b15 + 4210658628*b14 - 7449454423*b13 - 286561532*b12 - 3459043292*b11 - 10173180267*b10 - 13345662027*b9 - 20325168529*b8 + 4071120020*b7 + 6182769136*b6 + 7449454423*b4 - 1774053131*b3 + 4071120020*b2 - 1774053131*b1 - 11962551701

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/690\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$277$$ $$461$$ $$511$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$1$$ $$\beta_{16}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
31.1
 0.180562 − 1.25584i −0.248715 + 1.72985i −0.608732 + 1.33294i 0.706969 − 1.54805i 1.74971 + 2.01927i −0.103821 − 0.119816i −0.608732 − 1.33294i 0.706969 + 1.54805i 2.17335 + 0.638152i −3.70312 − 1.08733i 2.21300 + 1.42221i −0.359204 − 0.230846i 2.17335 − 0.638152i −3.70312 + 1.08733i 1.74971 − 2.01927i −0.103821 + 0.119816i 2.21300 − 1.42221i −0.359204 + 0.230846i 0.180562 + 1.25584i −0.248715 − 1.72985i
−0.142315 + 0.989821i −0.415415 0.909632i −0.959493 0.281733i −0.654861 0.755750i 0.959493 0.281733i −1.32376 0.850727i 0.415415 0.909632i −0.654861 + 0.755750i 0.841254 0.540641i
31.2 −0.142315 + 0.989821i −0.415415 0.909632i −0.959493 0.281733i −0.654861 0.755750i 0.959493 0.281733i 1.99973 + 1.28515i 0.415415 0.909632i −0.654861 + 0.755750i 0.841254 0.540641i
121.1 0.415415 0.909632i 0.959493 + 0.281733i −0.654861 0.755750i 0.841254 0.540641i 0.654861 0.755750i −0.668052 + 4.64640i −0.959493 + 0.281733i 0.841254 + 0.540641i −0.142315 0.989821i
121.2 0.415415 0.909632i 0.959493 + 0.281733i −0.654861 0.755750i 0.841254 0.540641i 0.654861 0.755750i 0.0903198 0.628188i −0.959493 + 0.281733i 0.841254 + 0.540641i −0.142315 0.989821i
151.1 −0.654861 0.755750i −0.841254 0.540641i −0.142315 + 0.989821i 0.415415 0.909632i 0.142315 + 0.989821i 0.170792 + 0.0501489i 0.841254 0.540641i 0.415415 + 0.909632i −0.959493 + 0.281733i
151.2 −0.654861 0.755750i −0.841254 0.540641i −0.142315 + 0.989821i 0.415415 0.909632i 0.142315 + 0.989821i 2.42713 + 0.712670i 0.841254 0.540641i 0.415415 + 0.909632i −0.959493 + 0.281733i
211.1 0.415415 + 0.909632i 0.959493 0.281733i −0.654861 + 0.755750i 0.841254 + 0.540641i 0.654861 + 0.755750i −0.668052 4.64640i −0.959493 0.281733i 0.841254 0.540641i −0.142315 + 0.989821i
211.2 0.415415 + 0.909632i 0.959493 0.281733i −0.654861 + 0.755750i 0.841254 + 0.540641i 0.654861 + 0.755750i 0.0903198 + 0.628188i −0.959493 0.281733i 0.841254 0.540641i −0.142315 + 0.989821i
271.1 −0.959493 0.281733i 0.654861 0.755750i 0.841254 + 0.540641i −0.142315 + 0.989821i −0.841254 + 0.540641i −0.838100 1.83518i −0.654861 0.755750i −0.142315 0.989821i 0.415415 0.909632i
271.2 −0.959493 0.281733i 0.654861 0.755750i 0.841254 + 0.540641i −0.142315 + 0.989821i −0.841254 + 0.540641i −0.113936 0.249486i −0.654861 0.755750i −0.142315 0.989821i 0.415415 0.909632i
301.1 0.841254 + 0.540641i 0.142315 + 0.989821i 0.415415 + 0.909632i −0.959493 0.281733i −0.415415 + 0.909632i −2.29325 + 2.64655i −0.142315 + 0.989821i −0.959493 + 0.281733i −0.654861 0.755750i
301.2 0.841254 + 0.540641i 0.142315 + 0.989821i 0.415415 + 0.909632i −0.959493 0.281733i −0.415415 + 0.909632i 1.54913 1.78779i −0.142315 + 0.989821i −0.959493 + 0.281733i −0.654861 0.755750i
331.1 −0.959493 + 0.281733i 0.654861 + 0.755750i 0.841254 0.540641i −0.142315 0.989821i −0.841254 0.540641i −0.838100 + 1.83518i −0.654861 + 0.755750i −0.142315 + 0.989821i 0.415415 + 0.909632i
331.2 −0.959493 + 0.281733i 0.654861 + 0.755750i 0.841254 0.540641i −0.142315 0.989821i −0.841254 0.540641i −0.113936 + 0.249486i −0.654861 + 0.755750i −0.142315 + 0.989821i 0.415415 + 0.909632i
361.1 −0.654861 + 0.755750i −0.841254 + 0.540641i −0.142315 0.989821i 0.415415 + 0.909632i 0.142315 0.989821i 0.170792 0.0501489i 0.841254 + 0.540641i 0.415415 0.909632i −0.959493 0.281733i
361.2 −0.654861 + 0.755750i −0.841254 + 0.540641i −0.142315 0.989821i 0.415415 + 0.909632i 0.142315 0.989821i 2.42713 0.712670i 0.841254 + 0.540641i 0.415415 0.909632i −0.959493 0.281733i
541.1 0.841254 0.540641i 0.142315 0.989821i 0.415415 0.909632i −0.959493 + 0.281733i −0.415415 0.909632i −2.29325 2.64655i −0.142315 0.989821i −0.959493 0.281733i −0.654861 + 0.755750i
541.2 0.841254 0.540641i 0.142315 0.989821i 0.415415 0.909632i −0.959493 + 0.281733i −0.415415 0.909632i 1.54913 + 1.78779i −0.142315 0.989821i −0.959493 0.281733i −0.654861 + 0.755750i
601.1 −0.142315 0.989821i −0.415415 + 0.909632i −0.959493 + 0.281733i −0.654861 + 0.755750i 0.959493 + 0.281733i −1.32376 + 0.850727i 0.415415 + 0.909632i −0.654861 0.755750i 0.841254 + 0.540641i
601.2 −0.142315 0.989821i −0.415415 + 0.909632i −0.959493 + 0.281733i −0.654861 + 0.755750i 0.959493 + 0.281733i 1.99973 1.28515i 0.415415 + 0.909632i −0.654861 0.755750i 0.841254 + 0.540641i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 601.2 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
23.c even 11 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 690.2.m.c 20
23.c even 11 1 inner 690.2.m.c 20

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
690.2.m.c 20 1.a even 1 1 trivial
690.2.m.c 20 23.c even 11 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{7}^{20} - 2 T_{7}^{19} + 20 T_{7}^{18} - 94 T_{7}^{17} + 200 T_{7}^{16} - 705 T_{7}^{15} + 3796 T_{7}^{14} - 9544 T_{7}^{13} + 11360 T_{7}^{12} - 17376 T_{7}^{11} + 61478 T_{7}^{10} - 66922 T_{7}^{9} - 30534 T_{7}^{8} + \cdots + 529$$ acting on $$S_{2}^{\mathrm{new}}(690, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{10} + T^{9} + T^{8} + T^{7} + T^{6} + T^{5} + T^{4} + \cdots + 1)^{2}$$
$3$ $$(T^{10} - T^{9} + T^{8} - T^{7} + T^{6} - T^{5} + T^{4} + \cdots + 1)^{2}$$
$5$ $$(T^{10} + T^{9} + T^{8} + T^{7} + T^{6} + T^{5} + T^{4} + \cdots + 1)^{2}$$
$7$ $$T^{20} - 2 T^{19} + 20 T^{18} - 94 T^{17} + \cdots + 529$$
$11$ $$T^{20} + 24 T^{19} + 273 T^{18} + \cdots + 4489$$
$13$ $$T^{20} + 4 T^{19} + 23 T^{18} + 197 T^{17} + \cdots + 529$$
$17$ $$T^{20} - 16 T^{19} + \cdots + 3500852224$$
$19$ $$T^{20} - 14 T^{19} + 147 T^{18} + \cdots + 59274601$$
$23$ $$T^{20} + 2 T^{19} + \cdots + 41426511213649$$
$29$ $$T^{20} - 18 T^{19} + \cdots + 59067463607296$$
$31$ $$T^{20} + \cdots + 152659665224704$$
$37$ $$T^{20} + 16 T^{19} + \cdots + 42213400681$$
$41$ $$T^{20} - 29 T^{19} + \cdots + 35\!\cdots\!81$$
$43$ $$T^{20} + 22 T^{19} + \cdots + 51\!\cdots\!36$$
$47$ $$(T^{10} + 47 T^{9} + 812 T^{8} + \cdots + 1159181)^{2}$$
$53$ $$T^{20} - 58 T^{19} + \cdots + 43\!\cdots\!89$$
$59$ $$T^{20} - 45 T^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!81$$
$61$ $$T^{20} + \cdots + 554879105680384$$
$67$ $$T^{20} - 16 T^{19} + \cdots + 15\!\cdots\!64$$
$71$ $$T^{20} - 59 T^{19} + \cdots + 59348755456$$
$73$ $$T^{20} - 3 T^{19} + \cdots + 20\!\cdots\!44$$
$79$ $$T^{20} + 20 T^{19} + \cdots + 23\!\cdots\!96$$
$83$ $$T^{20} - 13 T^{19} + \cdots + 10300915926016$$
$89$ $$T^{20} + 97 T^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!29$$
$97$ $$T^{20} + 17 T^{19} + \cdots + 61671996335104$$