# Properties

 Label 675.2.u.a Level $675$ Weight $2$ Character orbit 675.u Analytic conductor $5.390$ Analytic rank $0$ Dimension $12$ CM no Inner twists $4$

# Learn more

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [675,2,Mod(49,675)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(675, base_ring=CyclotomicField(18))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([14, 9]))

N = Newforms(chi, 2, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("675.49");

S:= CuspForms(chi, 2);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$675 = 3^{3} \cdot 5^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$2$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 675.u (of order $$18$$, degree $$6$$, not minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$5.38990213644$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$12$$ Relative dimension: $$2$$ over $$\Q(\zeta_{18})$$ Coefficient field: $$\Q(\zeta_{36})$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{12} - x^{6} + 1$$ x^12 - x^6 + 1 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$1$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{18}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a primitive root of unity $$\zeta_{36}$$. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{5}) q^{2} + (\zeta_{36}^{11} - 2 \zeta_{36}^{5}) q^{3} + ( - \zeta_{36}^{10} + \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{2} + 1) q^{4} + (\zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{2} + 1) q^{6} + ( - 2 \zeta_{36}^{11} - 2 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{3}) q^{7} + (3 \zeta_{36}^{11} - 3 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}) q^{8} + 3 \zeta_{36}^{4} q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-z^9 + z^7 - z^5) * q^2 + (z^11 - 2*z^5) * q^3 + (-z^10 + z^8 - 2*z^6 + 2*z^4 - z^2 + 1) * q^4 + (z^10 + 2*z^8 - 2*z^6 + z^4 - z^2 + 1) * q^6 + (-2*z^11 - 2*z^9 + 2*z^3) * q^7 + (3*z^11 - 3*z^7 - z^5 - 2*z^3 + 2*z) * q^8 + 3*z^4 * q^9 $$q + ( - \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{5}) q^{2} + (\zeta_{36}^{11} - 2 \zeta_{36}^{5}) q^{3} + ( - \zeta_{36}^{10} + \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{2} + 1) q^{4} + (\zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{2} + 1) q^{6} + ( - 2 \zeta_{36}^{11} - 2 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{3}) q^{7} + (3 \zeta_{36}^{11} - 3 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}) q^{8} + 3 \zeta_{36}^{4} q^{9} + (3 \zeta_{36}^{2} - 3) q^{11} + (3 \zeta_{36}^{11} - \zeta_{36}^{7} - 3 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}) q^{12} + ( - 2 \zeta_{36}^{11} - \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}) q^{13} + (2 \zeta_{36}^{10} - 2 \zeta_{36}^{6} - 4 \zeta_{36}^{2} + 2) q^{14} + ( - \zeta_{36}^{10} + 3 \zeta_{36}^{2} - 3) q^{16} + (\zeta_{36}^{11} - 2 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}) q^{17} + (3 \zeta_{36}^{11} - 3 \zeta_{36}^{9} - 3 \zeta_{36}^{7} + 3 \zeta_{36}) q^{18} + ( - 4 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{2} + 4) q^{19} + (4 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{4} - 4 \zeta_{36}^{2}) q^{21} + ( - 3 \zeta_{36}^{11} + 6 \zeta_{36}^{9} - 6 \zeta_{36}^{7} + 3 \zeta_{36}^{5}) q^{22} + (4 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{7} + 3 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{3} + 4 \zeta_{36}) q^{23} + ( - 5 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{8} + 4 \zeta_{36}^{6} + 4 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{2} - 5) q^{24} + (5 \zeta_{36}^{10} - 3 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{2} + 2) q^{26} + ( - 3 \zeta_{36}^{9} - 3 \zeta_{36}^{3}) q^{27} + (4 \zeta_{36}^{11} - 6 \zeta_{36}^{9} - 4 \zeta_{36}^{5} + 4 \zeta_{36}) q^{28} + ( - \zeta_{36}^{10} - 5 \zeta_{36}^{8} + 3 \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{2} + 2) q^{29} + (2 \zeta_{36}^{10} + 3 \zeta_{36}^{6} - 3 \zeta_{36}^{4} - 2) q^{31} + (3 \zeta_{36}^{9} - 3 \zeta_{36}^{3} - 3 \zeta_{36}) q^{32} + ( - 3 \zeta_{36}^{11} - 3 \zeta_{36}^{7} + 6 \zeta_{36}^{5} - 3 \zeta_{36}) q^{33} + ( - \zeta_{36}^{8} - \zeta_{36}^{6} + 3 \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{2} - 1) q^{34} + ( - 6 \zeta_{36}^{10} + 3 \zeta_{36}^{8} + 3 \zeta_{36}^{4} + 3 \zeta_{36}^{2} - 3) q^{36} + (4 \zeta_{36}^{11} - 2 \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{3} - 4 \zeta_{36}) q^{37} + (4 \zeta_{36}^{9} - 4 \zeta_{36}^{5} - 4 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}) q^{38} + (4 \zeta_{36}^{10} + 3 \zeta_{36}^{6} - 2 \zeta_{36}^{4} - 3 \zeta_{36}^{2}) q^{39} + (4 \zeta_{36}^{10} - 4 \zeta_{36}^{6} - 5 \zeta_{36}^{4} - 1) q^{41} + (4 \zeta_{36}^{11} - 4 \zeta_{36}^{9} + 4 \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{3} + 4 \zeta_{36}) q^{42} + (3 \zeta_{36}^{11} + \zeta_{36}^{9} - 4 \zeta_{36}^{5} - 4 \zeta_{36}^{3} - 5 \zeta_{36}) q^{43} + (6 \zeta_{36}^{10} - 9 \zeta_{36}^{8} + 9 \zeta_{36}^{6} - 9 \zeta_{36}^{4} + 6 \zeta_{36}^{2}) q^{44} + ( - 3 \zeta_{36}^{10} - 3 \zeta_{36}^{8} + 3 \zeta_{36}^{6} - 6 \zeta_{36}^{4} + 9 \zeta_{36}^{2} - 3) q^{46} + (\zeta_{36}^{11} + \zeta_{36}^{9} - 5 \zeta_{36}^{7} - \zeta_{36}^{5} + 5 \zeta_{36}) q^{47} + ( - 3 \zeta_{36}^{11} + 2 \zeta_{36}^{9} - 3 \zeta_{36}^{7} + 6 \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{3} - 3 \zeta_{36}) q^{48} + ( - \zeta_{36}^{8} - 4 \zeta_{36}^{6} - 4 \zeta_{36}^{4} + 4) q^{49} + ( - 2 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{4} - 4 \zeta_{36}^{2} + 1) q^{51} + (4 \zeta_{36}^{11} - 8 \zeta_{36}^{9} + 5 \zeta_{36}^{7} - 8 \zeta_{36}^{5} + 4 \zeta_{36}^{3}) q^{52} + ( - 2 \zeta_{36}^{11} + 8 \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{7} + 3 \zeta_{36}^{5} - 3 \zeta_{36}) q^{53} + ( - 6 \zeta_{36}^{10} + 6 \zeta_{36}^{8} + 3 \zeta_{36}^{6} + 3 \zeta_{36}^{4} - 3 \zeta_{36}^{2} - 6) q^{54} + ( - 2 \zeta_{36}^{10} + 10 \zeta_{36}^{8} - 4 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{4} - 6 \zeta_{36}^{2} - 6) q^{56} + (8 \zeta_{36}^{11} + 2 \zeta_{36}^{9} - 2 \zeta_{36}^{7} - 4 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{3} - 2 \zeta_{36}) q^{57} + ( - 8 \zeta_{36}^{9} + 7 \zeta_{36}^{7} - 6 \zeta_{36}^{5} + 7 \zeta_{36}^{3} - 8 \zeta_{36}) q^{58} + ( - 4 \zeta_{36}^{10} - 8 \zeta_{36}^{6} - 4 \zeta_{36}^{4} + 4) q^{59} + (8 \zeta_{36}^{8} - 4 \zeta_{36}^{6} + 5 \zeta_{36}^{4} - 4 \zeta_{36}^{2} + 8) q^{61} + ( - 4 \zeta_{36}^{11} + 4 \zeta_{36}^{7} + 5 \zeta_{36}^{3} - 4 \zeta_{36}) q^{62} + ( - 6 \zeta_{36}^{9} + 6 \zeta_{36}^{3} + 6 \zeta_{36}) q^{63} + ( - 3 \zeta_{36}^{10} + 3 \zeta_{36}^{8} + 4 \zeta_{36}^{6} + 3 \zeta_{36}^{4} - 3 \zeta_{36}^{2}) q^{64} + (3 \zeta_{36}^{10} - 12 \zeta_{36}^{8} + 12 \zeta_{36}^{6} - 6 \zeta_{36}^{4} + 6 \zeta_{36}^{2} - 6) q^{66} + (5 \zeta_{36}^{11} - 4 \zeta_{36}^{9} - 4 \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}) q^{67} + (2 \zeta_{36}^{11} - \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{3} + 3 \zeta_{36}) q^{68} + ( - 3 \zeta_{36}^{10} - 6 \zeta_{36}^{8} - 3 \zeta_{36}^{4} + 6 \zeta_{36}^{2} - 6) q^{69} + ( - 2 \zeta_{36}^{10} - 3 \zeta_{36}^{8} + \zeta_{36}^{6} - 3 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{2}) q^{71} + ( - 9 \zeta_{36}^{11} + 6 \zeta_{36}^{9} - 6 \zeta_{36}^{7} + 6 \zeta_{36}^{5} - 9 \zeta_{36}^{3}) q^{72} + ( - 2 \zeta_{36}^{11} + 2 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}) q^{73} + ( - 2 \zeta_{36}^{8} + 7 \zeta_{36}^{4} - 2) q^{74} + ( - 2 \zeta_{36}^{10} - 2 \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{6}) q^{76} + (6 \zeta_{36}^{9} - 6 \zeta_{36}^{7} + 6 \zeta_{36}^{5} - 6 \zeta_{36}^{3} + 6 \zeta_{36}) q^{77} + (2 \zeta_{36}^{11} - 8 \zeta_{36}^{9} + 8 \zeta_{36}^{7} - 4 \zeta_{36}^{5} + 7 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}) q^{78} + (9 \zeta_{36}^{10} - \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{6} - 9 \zeta_{36}^{4} + 3 \zeta_{36}^{2} + 3) q^{79} + 9 \zeta_{36}^{8} q^{81} + (3 \zeta_{36}^{11} + 6 \zeta_{36}^{9} - 3 \zeta_{36}^{5} + 3 \zeta_{36}) q^{82} + (4 \zeta_{36}^{11} + \zeta_{36}^{9} + 9 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{5} + 4 \zeta_{36}^{3}) q^{83} + ( - 4 \zeta_{36}^{10} + 12 \zeta_{36}^{8} - 4 \zeta_{36}^{6} + 8 \zeta_{36}^{4} - 6 \zeta_{36}^{2} - 4) q^{84} + (3 \zeta_{36}^{10} + 2 \zeta_{36}^{8} + 5 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{4} - 2) q^{86} + ( - \zeta_{36}^{11} + \zeta_{36}^{9} + 8 \zeta_{36}^{7} - 7 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{3} - 7 \zeta_{36}) q^{87} + ( - 9 \zeta_{36}^{11} - 9 \zeta_{36}^{9} + 15 \zeta_{36}^{7} - 3 \zeta_{36}^{5} + 12 \zeta_{36}^{3} + \cdots - 15 \zeta_{36}) q^{88}+ \cdots + (9 \zeta_{36}^{6} - 9 \zeta_{36}^{4}) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-z^9 + z^7 - z^5) * q^2 + (z^11 - 2*z^5) * q^3 + (-z^10 + z^8 - 2*z^6 + 2*z^4 - z^2 + 1) * q^4 + (z^10 + 2*z^8 - 2*z^6 + z^4 - z^2 + 1) * q^6 + (-2*z^11 - 2*z^9 + 2*z^3) * q^7 + (3*z^11 - 3*z^7 - z^5 - 2*z^3 + 2*z) * q^8 + 3*z^4 * q^9 + (3*z^2 - 3) * q^11 + (3*z^11 - z^7 - 3*z^3 + 2*z) * q^12 + (-2*z^11 - z^9 - z^7 + 2*z^3 - z) * q^13 + (2*z^10 - 2*z^6 - 4*z^2 + 2) * q^14 + (-z^10 + 3*z^2 - 3) * q^16 + (z^11 - 2*z^9 + 2*z^3 - z) * q^17 + (3*z^11 - 3*z^9 - 3*z^7 + 3*z) * q^18 + (-4*z^6 - 2*z^4 + 2*z^2 + 4) * q^19 + (4*z^10 + 2*z^8 - 2*z^4 - 4*z^2) * q^21 + (-3*z^11 + 6*z^9 - 6*z^7 + 3*z^5) * q^22 + (4*z^9 - 2*z^7 + 3*z^5 - 2*z^3 + 4*z) * q^23 + (-5*z^10 + 2*z^8 + 4*z^6 + 4*z^4 + 2*z^2 - 5) * q^24 + (5*z^10 - 3*z^8 - 2*z^4 - 2*z^2 + 2) * q^26 + (-3*z^9 - 3*z^3) * q^27 + (4*z^11 - 6*z^9 - 4*z^5 + 4*z) * q^28 + (-z^10 - 5*z^8 + 3*z^6 + z^4 + 2*z^2 + 2) * q^29 + (2*z^10 + 3*z^6 - 3*z^4 - 2) * q^31 + (3*z^9 - 3*z^3 - 3*z) * q^32 + (-3*z^11 - 3*z^7 + 6*z^5 - 3*z) * q^33 + (-z^8 - z^6 + 3*z^4 - z^2 - 1) * q^34 + (-6*z^10 + 3*z^8 + 3*z^4 + 3*z^2 - 3) * q^36 + (4*z^11 - 2*z^9 + z^7 - z^5 + 2*z^3 - 4*z) * q^37 + (4*z^9 - 4*z^5 - 4*z^3 + 2*z) * q^38 + (4*z^10 + 3*z^6 - 2*z^4 - 3*z^2) * q^39 + (4*z^10 - 4*z^6 - 5*z^4 - 1) * q^41 + (4*z^11 - 4*z^9 + 4*z^7 - 2*z^5 + 2*z^3 + 4*z) * q^42 + (3*z^11 + z^9 - 4*z^5 - 4*z^3 - 5*z) * q^43 + (6*z^10 - 9*z^8 + 9*z^6 - 9*z^4 + 6*z^2) * q^44 + (-3*z^10 - 3*z^8 + 3*z^6 - 6*z^4 + 9*z^2 - 3) * q^46 + (z^11 + z^9 - 5*z^7 - z^5 + 5*z) * q^47 + (-3*z^11 + 2*z^9 - 3*z^7 + 6*z^5 - z^3 - 3*z) * q^48 + (-z^8 - 4*z^6 - 4*z^4 + 4) * q^49 + (-2*z^10 + 2*z^8 + z^6 + z^4 - 4*z^2 + 1) * q^51 + (4*z^11 - 8*z^9 + 5*z^7 - 8*z^5 + 4*z^3) * q^52 + (-2*z^11 + 8*z^9 + z^7 + 3*z^5 - 3*z) * q^53 + (-6*z^10 + 6*z^8 + 3*z^6 + 3*z^4 - 3*z^2 - 6) * q^54 + (-2*z^10 + 10*z^8 - 4*z^6 + 2*z^4 - 6*z^2 - 6) * q^56 + (8*z^11 + 2*z^9 - 2*z^7 - 4*z^5 + 2*z^3 - 2*z) * q^57 + (-8*z^9 + 7*z^7 - 6*z^5 + 7*z^3 - 8*z) * q^58 + (-4*z^10 - 8*z^6 - 4*z^4 + 4) * q^59 + (8*z^8 - 4*z^6 + 5*z^4 - 4*z^2 + 8) * q^61 + (-4*z^11 + 4*z^7 + 5*z^3 - 4*z) * q^62 + (-6*z^9 + 6*z^3 + 6*z) * q^63 + (-3*z^10 + 3*z^8 + 4*z^6 + 3*z^4 - 3*z^2) * q^64 + (3*z^10 - 12*z^8 + 12*z^6 - 6*z^4 + 6*z^2 - 6) * q^66 + (5*z^11 - 4*z^9 - 4*z^7 + 2*z^3 + 2*z) * q^67 + (2*z^11 - z^9 - z^7 - 2*z^3 + 3*z) * q^68 + (-3*z^10 - 6*z^8 - 3*z^4 + 6*z^2 - 6) * q^69 + (-2*z^10 - 3*z^8 + z^6 - 3*z^4 - 2*z^2) * q^71 + (-9*z^11 + 6*z^9 - 6*z^7 + 6*z^5 - 9*z^3) * q^72 + (-2*z^11 + 2*z^7 + z^5 - 2*z^3 - z) * q^73 + (-2*z^8 + 7*z^4 - 2) * q^74 + (-2*z^10 - 2*z^8 - 2*z^6) * q^76 + (6*z^9 - 6*z^7 + 6*z^5 - 6*z^3 + 6*z) * q^77 + (2*z^11 - 8*z^9 + 8*z^7 - 4*z^5 + 7*z^3 - z) * q^78 + (9*z^10 - z^8 - 2*z^6 - 9*z^4 + 3*z^2 + 3) * q^79 + 9*z^8 * q^81 + (3*z^11 + 6*z^9 - 3*z^5 + 3*z) * q^82 + (4*z^11 + z^9 + 9*z^7 + z^5 + 4*z^3) * q^83 + (-4*z^10 + 12*z^8 - 4*z^6 + 8*z^4 - 6*z^2 - 4) * q^84 + (3*z^10 + 2*z^8 + 5*z^6 + 2*z^4 - 2) * q^86 + (-z^11 + z^9 + 8*z^7 - 7*z^5 - 2*z^3 - 7*z) * q^87 + (-9*z^11 - 9*z^9 + 15*z^7 - 3*z^5 + 12*z^3 - 15*z) * q^88 + (5*z^10 + 5*z^8 + z^6 - 5*z^2 - 1) * q^89 + (2*z^10 - 8*z^8 - 8*z^4 + 2*z^2) * q^91 + (-14*z^11 + 7*z^9 + 7*z^5 + 7*z^3 - 9*z) * q^92 + (-5*z^11 - z^9 + z^5 + 5*z^3) * q^93 + (z^10 - z^6 - 5*z^4 + 6*z^2 - 4) * q^94 + (-3*z^8 + 3*z^6 + 6*z^2 + 3) * q^96 + (z^11 - z^5 - z^3 + 8*z) * q^97 + (z^11 + 3*z^9 + 5*z^7 - 5*z^5 - 3*z^3 - z) * q^98 + (9*z^6 - 9*z^4) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$12 q+O(q^{10})$$ 12 * q $$12 q - 36 q^{11} + 12 q^{14} - 36 q^{16} + 24 q^{19} - 36 q^{24} + 24 q^{26} + 42 q^{29} - 6 q^{31} - 18 q^{34} - 36 q^{36} + 18 q^{39} - 36 q^{41} + 54 q^{44} - 18 q^{46} + 24 q^{49} + 18 q^{51} - 54 q^{54} - 96 q^{56} + 72 q^{61} + 24 q^{64} - 72 q^{69} + 6 q^{71} - 24 q^{74} - 12 q^{76} + 24 q^{79} - 72 q^{84} + 6 q^{86} - 6 q^{89} - 54 q^{94} + 54 q^{96} + 54 q^{99}+O(q^{100})$$ 12 * q - 36 * q^11 + 12 * q^14 - 36 * q^16 + 24 * q^19 - 36 * q^24 + 24 * q^26 + 42 * q^29 - 6 * q^31 - 18 * q^34 - 36 * q^36 + 18 * q^39 - 36 * q^41 + 54 * q^44 - 18 * q^46 + 24 * q^49 + 18 * q^51 - 54 * q^54 - 96 * q^56 + 72 * q^61 + 24 * q^64 - 72 * q^69 + 6 * q^71 - 24 * q^74 - 12 * q^76 + 24 * q^79 - 72 * q^84 + 6 * q^86 - 6 * q^89 - 54 * q^94 + 54 * q^96 + 54 * q^99

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/675\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$326$$ $$352$$ $$\chi(n)$$ $$\zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{8}$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
49.1
 0.342020 − 0.939693i −0.342020 + 0.939693i 0.342020 + 0.939693i −0.342020 − 0.939693i 0.984808 − 0.173648i −0.984808 + 0.173648i −0.642788 + 0.766044i 0.642788 − 0.766044i −0.642788 − 0.766044i 0.642788 + 0.766044i 0.984808 + 0.173648i −0.984808 − 0.173648i
−1.62760 1.93969i −1.32683 1.11334i −0.766044 + 4.34445i 0 4.38571i −3.01763 + 0.532089i 5.28801 3.05303i 0.520945 + 2.95442i 0
49.2 1.62760 + 1.93969i 1.32683 + 1.11334i −0.766044 + 4.34445i 0 4.38571i 3.01763 0.532089i −5.28801 + 3.05303i 0.520945 + 2.95442i 0
124.1 −1.62760 + 1.93969i −1.32683 + 1.11334i −0.766044 4.34445i 0 4.38571i −3.01763 0.532089i 5.28801 + 3.05303i 0.520945 2.95442i 0
124.2 1.62760 1.93969i 1.32683 1.11334i −0.766044 4.34445i 0 4.38571i 3.01763 + 0.532089i −5.28801 3.05303i 0.520945 2.95442i 0
274.1 −0.300767 + 0.826352i −1.62760 + 0.592396i 0.939693 + 0.788496i 0 1.52314i 2.41609 + 2.87939i −2.45734 + 1.41875i 2.29813 1.92836i 0
274.2 0.300767 0.826352i 1.62760 0.592396i 0.939693 + 0.788496i 0 1.52314i −2.41609 2.87939i 2.45734 1.41875i 2.29813 1.92836i 0
349.1 −1.32683 0.233956i 0.300767 + 1.70574i −0.173648 0.0632028i 0 2.33359i −0.237565 0.652704i 2.54920 + 1.47178i −2.81908 + 1.02606i 0
349.2 1.32683 + 0.233956i −0.300767 1.70574i −0.173648 0.0632028i 0 2.33359i 0.237565 + 0.652704i −2.54920 1.47178i −2.81908 + 1.02606i 0
499.1 −1.32683 + 0.233956i 0.300767 1.70574i −0.173648 + 0.0632028i 0 2.33359i −0.237565 + 0.652704i 2.54920 1.47178i −2.81908 1.02606i 0
499.2 1.32683 0.233956i −0.300767 + 1.70574i −0.173648 + 0.0632028i 0 2.33359i 0.237565 0.652704i −2.54920 + 1.47178i −2.81908 1.02606i 0
574.1 −0.300767 0.826352i −1.62760 0.592396i 0.939693 0.788496i 0 1.52314i 2.41609 2.87939i −2.45734 1.41875i 2.29813 + 1.92836i 0
574.2 0.300767 + 0.826352i 1.62760 + 0.592396i 0.939693 0.788496i 0 1.52314i −2.41609 + 2.87939i 2.45734 + 1.41875i 2.29813 + 1.92836i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 49.2 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
5.b even 2 1 inner
27.e even 9 1 inner
135.p even 18 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 675.2.u.a 12
5.b even 2 1 inner 675.2.u.a 12
5.c odd 4 1 675.2.l.a 6
5.c odd 4 1 675.2.l.b yes 6
27.e even 9 1 inner 675.2.u.a 12
135.p even 18 1 inner 675.2.u.a 12
135.r odd 36 1 675.2.l.a 6
135.r odd 36 1 675.2.l.b yes 6

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
675.2.l.a 6 5.c odd 4 1
675.2.l.a 6 135.r odd 36 1
675.2.l.b yes 6 5.c odd 4 1
675.2.l.b yes 6 135.r odd 36 1
675.2.u.a 12 1.a even 1 1 trivial
675.2.u.a 12 5.b even 2 1 inner
675.2.u.a 12 27.e even 9 1 inner
675.2.u.a 12 135.p even 18 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{12} + 36T_{2}^{8} - 90T_{2}^{6} + 81T_{2}^{2} + 81$$ acting on $$S_{2}^{\mathrm{new}}(675, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{12} + 36 T^{8} - 90 T^{6} + 81 T^{2} + \cdots + 81$$
$3$ $$T^{12} + 27T^{6} + 729$$
$5$ $$T^{12}$$
$7$ $$T^{12} - 12 T^{10} + 192 T^{8} + \cdots + 4096$$
$11$ $$(T^{6} + 18 T^{5} + 135 T^{4} + 513 T^{3} + \cdots + 729)^{2}$$
$13$ $$T^{12} + 18 T^{10} + 441 T^{8} + \cdots + 130321$$
$17$ $$T^{12} - 18 T^{10} + 279 T^{8} + \cdots + 81$$
$19$ $$(T^{6} - 12 T^{5} + 108 T^{4} - 416 T^{3} + \cdots + 64)^{2}$$
$23$ $$T^{12} - 72 T^{10} + \cdots + 547981281$$
$29$ $$(T^{6} - 21 T^{5} + 207 T^{4} + \cdots + 47961)^{2}$$
$31$ $$(T^{6} + 3 T^{5} + 24 T^{4} + 80 T^{3} + \cdots + 289)^{2}$$
$37$ $$T^{12} - 90 T^{10} + 6303 T^{8} + \cdots + 62742241$$
$41$ $$(T^{6} + 18 T^{5} + 171 T^{4} + 1143 T^{3} + \cdots + 81)^{2}$$
$43$ $$T^{12} - 276 T^{10} + 21300 T^{8} + \cdots + 130321$$
$47$ $$T^{12} + 36 T^{10} + \cdots + 151807041$$
$53$ $$(T^{6} + 234 T^{4} + 13545 T^{2} + \cdots + 106929)^{2}$$
$59$ $$(T^{6} + 144 T^{4} - 576 T^{3} + \cdots + 331776)^{2}$$
$61$ $$(T^{6} - 36 T^{5} + 756 T^{4} + \cdots + 1371241)^{2}$$
$67$ $$T^{12} - 144 T^{10} + \cdots + 260144641$$
$71$ $$(T^{6} - 3 T^{5} + 63 T^{4} - 276 T^{3} + \cdots + 47961)^{2}$$
$73$ $$T^{12} - 30 T^{10} + 879 T^{8} - 628 T^{6} + \cdots + 1$$
$79$ $$(T^{6} - 12 T^{5} + 204 T^{4} + \cdots + 273529)^{2}$$
$83$ $$T^{12} + 468 T^{10} + \cdots + 855036081$$
$89$ $$(T^{6} + 3 T^{5} + 81 T^{4} - 318 T^{3} + \cdots + 2601)^{2}$$
$97$ $$T^{12} + 93 T^{10} + \cdots + 56249134561$$
show more
show less