# Properties

 Label 54.9.d.a Level $54$ Weight $9$ Character orbit 54.d Analytic conductor $21.998$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [54,9,Mod(17,54)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(54, base_ring=CyclotomicField(6))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([5]))

N = Newforms(chi, 9, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("54.17");

S:= CuspForms(chi, 9);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$54 = 2 \cdot 3^{3}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$9$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 54.d (of order $$6$$, degree $$2$$, not minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$21.9984449433$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Relative dimension: $$8$$ over $$\Q(\zeta_{6})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{16} - 4 x^{15} - 150208 x^{14} - 1927740 x^{13} + 8702363206 x^{12} + 239206241152 x^{11} + \cdots + 81\!\cdots\!61$$ x^16 - 4*x^15 - 150208*x^14 - 1927740*x^13 + 8702363206*x^12 + 239206241152*x^11 - 241960304158448*x^10 - 9458863275320348*x^9 + 3259352971808015407*x^8 + 150983052056025751536*x^7 - 18744835998632687401792*x^6 - 866018994869774202180460*x^5 + 35643731791394373752805382*x^4 + 1485002234815673954960734644*x^3 + 16292568366453217677347743656*x^2 + 62373298381917691066182105696*x + 81301302751102601946916438161 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{11}]$$ Coefficient ring index: $$2^{28}\cdot 3^{36}$$ Twist minimal: no (minimal twist has level 18) Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{6}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{2} q^{2} - 128 \beta_1 q^{4} + (\beta_{5} + 37 \beta_1 + 74) q^{5} + (\beta_{12} + \beta_{9} + 2 \beta_{5} + \cdots - 230) q^{7}+ \cdots + ( - 128 \beta_{3} + 128 \beta_{2}) q^{8}+O(q^{10})$$ q + b2 * q^2 - 128*b1 * q^4 + (b5 + 37*b1 + 74) * q^5 + (b12 + b9 + 2*b5 + b4 + 62*b3 - 31*b2 - 230*b1 - 230) * q^7 + (-128*b3 + 128*b2) * q^8 $$q + \beta_{2} q^{2} - 128 \beta_1 q^{4} + (\beta_{5} + 37 \beta_1 + 74) q^{5} + (\beta_{12} + \beta_{9} + 2 \beta_{5} + \cdots - 230) q^{7}+ \cdots + (7388 \beta_{15} + 8528 \beta_{14} + \cdots - 19499386) q^{98}+O(q^{100})$$ q + b2 * q^2 - 128*b1 * q^4 + (b5 + 37*b1 + 74) * q^5 + (b12 + b9 + 2*b5 + b4 + 62*b3 - 31*b2 - 230*b1 - 230) * q^7 + (-128*b3 + 128*b2) * q^8 + (-2*b6 - 2*b5 + 2*b4 + 37*b3 + 37*b2 - 2) * q^10 + (b15 - 2*b13 + b9 - 3*b8 + b7 + b4 - 62*b2 + 1908*b1 - 1908) * q^11 + (6*b15 - 3*b14 - 4*b12 + b10 + 3*b8 - 3*b7 - b6 - 12*b5 - 18*b4 + 411*b3 - 819*b2 + 411*b1 + 3) * q^13 + (-b15 - 5*b14 - b12 - b11 - 2*b10 - b9 - 5*b8 + 2*b7 - 2*b6 - 9*b5 + 2*b4 - 231*b3 - 4*b2 + 3936*b1 + 7867) * q^14 + (-16384*b1 - 16384) * q^16 + (31*b15 + 3*b14 - 10*b13 - 15*b12 - 10*b11 + 24*b10 - 9*b9 + 17*b7 - 12*b6 + 13*b5 + 27*b4 + 198*b3 - 198*b2 + 3583*b1 + 1790) * q^17 + (-14*b15 - 14*b14 + 6*b13 + 14*b12 - 6*b11 + 41*b9 - 28*b8 - 25*b7 - 12*b6 + 27*b5 + 12*b4 + 440*b3 + 424*b2 + 14*b1 + 22651) * q^19 + (-128*b4 - 4736*b1 + 4736) * q^20 + (47*b15 + 13*b14 - 30*b13 - 61*b12 - 15*b11 + 18*b10 - 15*b9 - 13*b8 + 28*b7 - 18*b6 + 61*b5 + 154*b4 + 1875*b3 - 3778*b2 + 7796*b1 - 13) * q^22 + (-4*b15 - 3*b14 + 75*b12 + 20*b11 - 45*b10 + 130*b9 - 3*b8 + 15*b7 - 45*b6 + 38*b5 - 16*b4 + 3696*b3 - 23*b2 - 54636*b1 - 109275) * q^23 + (21*b15 - 52*b14 - 60*b13 - 47*b12 - 120*b11 + 29*b10 + 39*b9 - 26*b8 - 39*b7 + 60*b5 + 116*b4 - 18086*b3 + 9077*b2 + 120512*b1 + 120512) * q^25 + (-28*b14 - 20*b13 + 136*b12 - 20*b11 + 40*b10 + 82*b9 - 14*b7 - 20*b6 + 8*b5 + 22*b4 + 477*b3 - 477*b2 + 105240*b1 + 52634) * q^26 + (128*b9 + 128*b5 - 128*b4 + 3968*b3 + 3968*b2 - 29440) * q^28 + (99*b15 - 204*b13 - 129*b12 + 45*b10 - 114*b9 + 39*b8 + 105*b7 - 90*b6 + 31*b4 - 7722*b2 - 118742*b1 + 118742) * q^29 + (-80*b15 + 23*b14 - 168*b13 - 189*b12 - 84*b11 + 159*b10 - 84*b9 - 23*b8 + 107*b7 - 159*b6 - 434*b5 - 1032*b4 + 10004*b3 - 20115*b2 - 68016*b1 - 23) * q^31 - 16384*b3 * q^32 + (270*b15 + 40*b14 - 84*b13 - 106*b12 - 168*b11 + 92*b10 - 42*b9 + 20*b8 + 186*b7 - 976*b5 - 424*b4 + 3412*b3 - 1602*b2 + 27262*b1 + 27262) * q^34 + (-154*b15 - 168*b14 - 350*b13 - 36*b12 - 350*b11 - 210*b10 + 66*b9 - 161*b7 + 105*b6 + 142*b5 + 149*b4 - 33426*b3 + 33426*b2 + 977640*b1 + 488904) * q^35 + (107*b15 + 107*b14 + 120*b13 - 107*b12 - 120*b11 + 566*b9 + 214*b8 + 130*b7 + 73*b6 - 733*b5 + 496*b4 - 11421*b3 - 10967*b2 - 107*b1 + 208570) * q^37 + (-64*b15 - 210*b13 - 180*b12 + 82*b10 + 40*b9 - 70*b8 + 274*b7 - 164*b6 - 300*b4 + 22568*b2 - 54668*b1 + 54668) * q^38 + (256*b10 - 256*b6 + 256*b5 + 512*b4 - 4736*b3 + 9472*b2 + 256*b1) * q^40 + (-572*b15 - 261*b14 + 726*b12 + 58*b11 - 27*b10 + 1394*b9 - 261*b8 - 825*b7 - 27*b6 + 1879*b5 + 514*b4 - 66327*b3 - 319*b2 - 383529*b1 - 767319) * q^41 + (-12*b15 + 244*b14 - 300*b13 + 117*b12 - 600*b11 + 335*b10 + 295*b9 + 122*b8 - 312*b7 + 1510*b5 + 933*b4 + 111492*b3 - 55324*b2 + 43253*b1 + 43253) * q^43 + (640*b15 + 384*b14 - 256*b13 - 384*b12 - 256*b11 - 384*b9 + 512*b7 - 256*b5 - 128*b4 + 7296*b3 - 7296*b2 + 488064*b1 + 243840) * q^44 + (-409*b15 - 409*b14 + 93*b13 + 409*b12 - 93*b11 + 273*b9 - 818*b8 - 17*b7 - 432*b6 + 2225*b5 - 1799*b4 - 54525*b3 - 55157*b2 + 409*b1 + 465010) * q^46 + (428*b15 - 280*b13 - 159*b12 + 444*b10 - 433*b9 + 312*b8 - 148*b7 - 888*b6 - 447*b4 - 11389*b2 - 1457678*b1 + 1457678) * q^47 + (427*b15 - 181*b14 - 708*b13 - 1899*b12 - 354*b11 - 416*b10 - 354*b9 + 181*b8 + 173*b7 + 416*b6 - 217*b5 - 361*b4 - 152730*b3 + 305287*b2 + 295490*b1 + 181) * q^49 + (1112*b15 + 324*b14 + 24*b12 + 260*b11 + 186*b10 - 212*b9 + 324*b8 + 2160*b7 + 186*b6 - 1494*b5 - 1372*b4 + 119996*b3 + 64*b2 - 1156586*b1 - 2312848) * q^50 + (384*b15 - 768*b14 - 128*b12 + 128*b10 + 256*b9 - 384*b8 + 384*b7 - 3072*b5 - 1152*b4 + 105216*b3 - 52992*b2 + 52992*b1 + 52992) * q^52 + (-255*b15 - 1125*b14 + 540*b13 + 1875*b12 + 540*b11 - 570*b10 + 1500*b9 - 690*b7 + 285*b6 - 829*b5 - 394*b4 + 131655*b3 - 131655*b2 + 4259659*b1 + 2130392) * q^53 + (-151*b15 - 151*b14 - 420*b13 + 151*b12 + 420*b11 - 345*b9 - 302*b8 - 1226*b7 - 137*b6 - 2136*b5 + 3513*b4 - 309416*b3 - 310558*b2 + 151*b1 - 288544) * q^55 + (-512*b15 + 128*b13 + 768*b12 + 256*b10 - 640*b8 + 384*b7 - 512*b6 + 896*b4 - 30080*b2 - 503168*b1 + 503168) * q^56 + (3174*b15 + 600*b14 + 294*b12 + 856*b10 - 600*b8 + 600*b7 - 856*b6 - 1424*b5 + 326*b4 - 119609*b3 + 238618*b2 + 981046*b1 - 600) * q^58 + (-608*b15 - 192*b14 - 2121*b12 - 416*b11 - 735*b10 - 3826*b9 - 192*b8 - 1440*b7 - 735*b6 - 1993*b5 + 1024*b4 + 59502*b3 + 224*b2 - 3913991*b1 - 7828174) * q^59 + (-3423*b15 - 94*b14 + 1128*b13 - 167*b12 + 2256*b11 - 2359*b10 - 1248*b9 - 47*b8 - 2295*b7 + 7260*b5 + 2549*b4 + 727870*b3 - 365110*b2 - 103934*b1 - 103934) * q^61 + (2027*b15 + 1919*b14 + 1115*b13 - 983*b12 + 1115*b11 + 3136*b10 - 1451*b9 + 1973*b7 - 1568*b6 - 5783*b5 - 5729*b4 - 69981*b3 + 69981*b2 + 2576663*b1 + 1287372) * q^62 - 2097152 * q^64 + (304*b15 + 3310*b13 - 216*b12 - 2652*b10 + 3703*b9 - 177*b8 - 3614*b7 + 5304*b6 + 3248*b4 - 14945*b2 - 5275286*b1 + 5275286) * q^65 + (-9114*b15 - 1449*b14 + 5580*b13 + 11865*b12 + 2790*b11 - 3918*b10 + 2790*b9 + 1449*b8 - 4239*b7 + 3918*b6 + 6792*b5 + 7260*b4 - 555261*b3 + 1114761*b2 - 3742033*b1 + 1449) * q^67 + (2176*b15 + 384*b14 - 1152*b12 - 1280*b11 + 1536*b10 - 1024*b9 + 384*b8 + 2688*b7 + 1536*b6 + 1664*b5 - 896*b4 + 25344*b3 + 1664*b2 + 229120*b1 + 458624) * q^68 + (5130*b15 + 1034*b14 + 1425*b13 + 340*b12 + 2850*b11 + 150*b10 - 1602*b9 + 517*b8 + 6555*b7 + 9074*b5 + 2595*b4 + 976038*b3 - 488927*b2 - 4292831*b1 - 4292831) * q^70 + (-6605*b15 + 1125*b14 + 2564*b13 - 7611*b12 + 2564*b11 - 1482*b10 - 4368*b9 - 2740*b7 + 741*b6 + 25597*b5 + 21732*b4 - 168315*b3 + 168315*b2 + 410185*b1 + 204530) * q^71 + (4777*b15 + 4777*b14 - 210*b13 - 4777*b12 + 210*b11 - 15513*b9 + 9554*b8 + 3587*b7 + 5372*b6 + 159*b5 - 8523*b4 - 458590*b3 - 449456*b2 - 4777*b1 - 468042) * q^73 + (-5106*b15 + 3052*b13 + 6198*b12 - 2306*b10 - 1126*b9 - 2020*b8 + 2054*b7 + 4612*b6 - 11470*b4 + 204582*b2 + 1461608*b1 - 1461608) * q^74 + (1664*b15 + 1792*b14 + 1536*b13 - 128*b12 + 768*b11 + 1536*b10 + 768*b9 - 1792*b8 + 1024*b7 - 1536*b6 - 3456*b5 - 4480*b4 - 56320*b3 + 111616*b2 - 2899328*b1 - 1792) * q^76 + (-5240*b15 + 1002*b14 - 2016*b12 + 220*b11 + 132*b10 - 4252*b9 + 1002*b8 - 11262*b7 + 132*b6 - 15739*b5 + 5020*b4 - 99084*b3 + 782*b2 - 392345*b1 - 783688) * q^77 + (-11091*b15 + 1678*b14 + 3660*b13 + 9252*b12 + 7320*b11 - 1731*b10 + 4753*b9 + 839*b8 - 7431*b7 - 41448*b5 - 25223*b4 + 1273952*b3 - 639797*b2 + 4207485*b1 + 4207485) * q^79 + (-16384*b5 - 16384*b4 - 1212416*b1 - 606208) * q^80 + (-2552*b15 - 2552*b14 - 2640*b13 + 2552*b12 + 2640*b11 - 1170*b9 - 5104*b8 + 4286*b7 - 4674*b6 - 10778*b5 + 9044*b4 - 382053*b3 - 392437*b2 + 2552*b1 - 8596636) * q^82 + (3305*b15 + 1610*b13 - 1866*b12 - 1701*b10 - 5278*b9 + 8754*b8 - 4915*b7 + 3402*b6 + 36882*b4 - 363388*b2 + 4762492*b1 - 4762492) * q^83 + (-4048*b15 - 1583*b14 - 3360*b13 - 5926*b12 - 1680*b11 - 8707*b10 - 1680*b9 + 1583*b8 + 97*b7 + 8707*b6 + 14709*b5 + 23690*b4 - 1678597*b3 + 3357097*b2 + 15721420*b1 + 1583) * q^85 + (6603*b15 + 2227*b14 - 6901*b12 + 1767*b11 + 604*b10 - 15569*b9 + 2227*b8 + 12746*b7 + 604*b6 - 20935*b5 - 8370*b4 + 34839*b3 + 460*b2 + 7134178*b1 + 14270583) * q^86 + (7680*b15 + 3328*b14 - 1920*b13 - 9472*b12 - 3840*b11 + 2304*b10 - 9216*b9 + 1664*b8 + 5760*b7 + 15616*b5 + 8064*b4 + 480000*b3 - 236416*b2 + 996224*b1 + 996224) * q^88 + (-9863*b15 - 6429*b14 + 3566*b13 + 17115*b12 + 3566*b11 - 10146*b10 + 11772*b9 - 8146*b7 + 5073*b6 - 24647*b5 - 26364*b4 + 977127*b3 - 977127*b2 - 18752477*b1 - 9373024) * q^89 + (-3701*b15 - 3701*b14 + 456*b13 + 3701*b12 - 456*b11 + 9920*b9 - 7402*b8 - 919*b7 + 2626*b6 + 13951*b5 - 9331*b4 - 2481165*b3 - 2487655*b2 + 3701*b1 + 16795756) * q^91 + (128*b15 - 2560*b13 - 9216*b12 + 5760*b10 + 7040*b9 - 384*b8 + 2432*b7 - 11520*b6 - 6784*b4 + 470144*b2 + 6993792*b1 - 6993792) * q^92 + (6595*b15 - 1177*b14 - 2058*b13 + 2911*b12 - 1029*b11 + 4582*b10 - 1029*b9 + 1177*b8 - 148*b7 - 4582*b6 - 22953*b5 - 40340*b4 - 1457459*b3 + 2915066*b2 + 1463186*b1 + 1177) * q^94 + (2416*b15 + 2970*b14 + 10098*b12 - 1100*b11 + 2526*b10 + 21296*b9 + 2970*b8 + 762*b7 + 2526*b6 + 80342*b5 - 1316*b4 + 717636*b3 + 4070*b2 + 6017392*b1 + 12037754) * q^95 + (4383*b15 + 1362*b14 - 7110*b13 - 13949*b12 - 14220*b11 + 7007*b10 - 7520*b9 + 681*b8 - 2727*b7 + 68682*b5 + 40770*b4 + 6382530*b3 - 3183474*b2 - 11144436*b1 - 11144436) * q^97 + (7388*b15 + 8528*b14 + 2120*b13 + 13372*b12 + 2120*b11 + 1312*b10 + 2422*b9 + 7958*b7 - 656*b6 + 32880*b5 + 32310*b4 + 295234*b3 - 295234*b2 - 38990244*b1 - 19499386) * q^98 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q + 1024 q^{4} + 882 q^{5} - 1846 q^{7}+O(q^{10})$$ 16 * q + 1024 * q^4 + 882 * q^5 - 1846 * q^7 $$16 q + 1024 q^{4} + 882 q^{5} - 1846 q^{7} - 45756 q^{11} - 3370 q^{13} + 94464 q^{14} - 131072 q^{16} + 362180 q^{19} + 112896 q^{20} - 61824 q^{22} - 1311138 q^{23} + 963394 q^{25} - 472576 q^{28} + 2851290 q^{29} + 542438 q^{31} + 220416 q^{34} + 3343328 q^{37} + 1314432 q^{38} - 9218592 q^{41} + 339512 q^{43} + 7417344 q^{46} + 34980606 q^{47} - 2364654 q^{49} - 27744768 q^{50} + 431360 q^{52} - 4584276 q^{55} + 12091392 q^{56} - 7852800 q^{58} - 93924216 q^{59} - 841954 q^{61} - 33554432 q^{64} + 126568134 q^{65} + 29946644 q^{67} + 5476608 q^{68} - 34359552 q^{70} - 7547764 q^{73} - 35124480 q^{74} + 23179520 q^{76} - 9309294 q^{77} + 33813002 q^{79} - 137346048 q^{82} - 114200226 q^{83} - 125696772 q^{85} + 171379584 q^{86} + 7913472 q^{88} + 268578316 q^{91} - 167825664 q^{92} - 11832576 q^{94} + 143949240 q^{95} - 89415484 q^{97}+O(q^{100})$$ 16 * q + 1024 * q^4 + 882 * q^5 - 1846 * q^7 - 45756 * q^11 - 3370 * q^13 + 94464 * q^14 - 131072 * q^16 + 362180 * q^19 + 112896 * q^20 - 61824 * q^22 - 1311138 * q^23 + 963394 * q^25 - 472576 * q^28 + 2851290 * q^29 + 542438 * q^31 + 220416 * q^34 + 3343328 * q^37 + 1314432 * q^38 - 9218592 * q^41 + 339512 * q^43 + 7417344 * q^46 + 34980606 * q^47 - 2364654 * q^49 - 27744768 * q^50 + 431360 * q^52 - 4584276 * q^55 + 12091392 * q^56 - 7852800 * q^58 - 93924216 * q^59 - 841954 * q^61 - 33554432 * q^64 + 126568134 * q^65 + 29946644 * q^67 + 5476608 * q^68 - 34359552 * q^70 - 7547764 * q^73 - 35124480 * q^74 + 23179520 * q^76 - 9309294 * q^77 + 33813002 * q^79 - 137346048 * q^82 - 114200226 * q^83 - 125696772 * q^85 + 171379584 * q^86 + 7913472 * q^88 + 268578316 * q^91 - 167825664 * q^92 - 11832576 * q^94 + 143949240 * q^95 - 89415484 * q^97

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 4 x^{15} - 150208 x^{14} - 1927740 x^{13} + 8702363206 x^{12} + 239206241152 x^{11} + \cdots + 81\!\cdots\!61$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!75 \nu^{15} + \cdots + 22\!\cdots\!25 ) / 38\!\cdots\!32$$ (15402507029551112901798901258164593967956649339568967553424343592998089333792128775*v^15 - 196119895361137413763564095145626343946942630446158226666545639132605249276910667533*v^14 - 2309648886088993594120091661141798249956511591509951215331992288030218565931838772849492*v^13 - 9673651990165409119170391211732425090078973082242962538969256468801760154845680865035142*v^12 + 133813458049917191166119803943778802026369365067302372519096599656905860660144404151122920325*v^11 + 2530775427328092630679728618270526563702851746553426311732318548453737722615288747887265562275*v^10 - 3732429829055188147498979561728796366361951566888122459406380635974319865370371605086254973067007*v^9 - 113575950497669843472739569710460077680139661731776346112512269927824100530510014218257974989738029*v^8 + 50780496531737599997330102212213052902317351210812223712407629365620932872571533194073741263710058289*v^7 + 1886995442506587835464480453163089183690102700792961557128622932697178624124646165106488145499239466763*v^6 - 300346773601846452199615599297699072618246852050178423295819916905704275220767125909851240891091045671255*v^5 - 10710281993512463803150571651395955842746616413940341228246946680775939948483181048667328042967787883249297*v^4 + 620685446265406344076147444679171949856641606437630182753716393023608967010670958672758158221878084228907142*v^3 + 17334434114272476998341214816397372806012053525271744153745776774052131296796475977371152315606066792771956748*v^2 + 125221030107383919664463686571516498086184475829575439183795548448216534465658990384053884187012333274945250513*v + 225433275668651609282919143386936295243783453348519474724724577226001482207806084571442428000698314658910770925) / 38917930759099243096866211298571571201654231093900190335879902632515734052636371933562592964600114003080951232 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 60\!\cdots\!63 \nu^{15} + \cdots - 74\!\cdots\!80 ) / 23\!\cdots\!00$$ (-60076969974166854351377431275206604873002302089699605013811441258817056101025510852963244470194244988563*v^15 + 712437843126967679393161042341539831983836246426112465403420559866353797494003439013159520409402240247987*v^14 + 9020352513675450300266375279427714472791397274579088254746545422268239174972644629076136061290404854063336980*v^13 + 44847080084256939965384629570994265260543722306979724064674784915411637275491201053123379331530437092641492241*v^12 - 523447250416581521468180774532258088901194351194872108016950590050620397175285131560343048255557695383155601701503*v^11 - 10249245966401798241624139223175370632918793781699317572040026722663096757020777247934468524469312663688449739439878*v^10 + 14632560867001105351722579936021690471392316038068507576300343308745542768815881928515485413364726521099648207311090545*v^9 + 452993160412356812598145661471842551917407288928675782057512763112543049260811302968547718137302108378297068008827086425*v^8 - 199766137744744781887579311665293384068214365677411641067402549265072458866505074103476316199456279455624270030746695204851*v^7 - 7496974130983077354694230304661255256180129710468128754969236941498506869414699213253098121446439501824893256970553355827598*v^6 + 1188913000997746298751794137538264718104790877801314188167915012810418087793242955844302590582830059027480843282299941400728813*v^5 + 42653222582168559878713816125524802064313731423781968871161776498742279532500429842861008754594563035669451779443539357199571541*v^4 - 2478663692598350355827269833819979465325501313007755123770617922429886781868464759532859370584027010514517261012932293325559143472*v^3 - 69246952305699234363831032802972152423657996607044643072855352584063780598042747087747702243682091240009886372501575611235284281149*v^2 - 500383065744899823014687348868380702384457969167197381049670372822501352294890387257578549841519310730996874313414438345980071388979*v - 745338397144251909772830701767299106672144431778123852135093912822059126280436380240851635167316890740822797626839683051209210132980) / 23820074058532122615540927045680266062179383908758644371994552623396879298307001932259817594922236681010795893669850443266908160000 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 60\!\cdots\!56 \nu^{15} + \cdots + 12\!\cdots\!03 ) / 23\!\cdots\!00$$ (60079594676760767851891111098917117812533497951395978068932689271950536767074129008613755128971707992456*v^15 - 707373494084929077671699118738569726218573644488326455771716901959422049341650982058824578108942283911853*v^14 - 9020586146551418666005674159617005227132595270532358161670925470078360337423651151272022801689192059426288639*v^13 - 45640861143563742103933105180354870123006636431144130927741529869820069956863745037877867069050846956839642872*v^12 + 523437443023224873585490075352349209899786514409905797599982898725207765516698853609172007499668861572358528358399*v^11 + 10297072642635014439076352787989579679713306186329801916099208543584069376730379301264193587187873658339602517026947*v^10 - 14630947278327825644011289185229066007385807722634049180496027952081514322303896392965114062459666483427187610993287814*v^9 - 454362785691856065282501004208743583103295656400078003668426195042079094262003992365889525713736177622577855952297808185*v^8 + 199707727435392842271445539877722517774544629779563043508609985144810503298364126547326353508593838284897614497638887200387*v^7 + 7515302585046713691732186111616086078621815734720893789232601946709385954743711706806294774583230751123345786167916574119783*v^6 - 1188116289557188486399526548581780359021425145620624870911819044877536021739556384728497590588200152008643341227803249623824910*v^5 - 42740703125505506845289340305379353150318963761058968369954218955971905034929204330419578598785748142059346394076157406975858453*v^4 + 2475544888072305863468455373893026312939046830096236413062476456118275024546964672534627049166302063779065355268982093216410796847*v^3 + 69213572807186405976897213178079163329894068787358651492686984775340395264285806285688246162527642132883771437218944839737011814932*v^2 + 500256154797294634347991530534215108235599393823463899518466686101191213821268907174654561757623679757771665777818244045106037794861*v + 1211949674413039303239689248472423028574334948473440113986666596142335741802134819195754857146345345041318641940831614485308729016703) / 23820074058532122615540927045680266062179383908758644371994552623396879298307001932259817594922236681010795893669850443266908160000 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 34\!\cdots\!99 \nu^{15} + \cdots + 26\!\cdots\!65 ) / 38\!\cdots\!32$$ (341919573610594434861909865306245528353521501905371199144847419909846318490057942199*v^15 - 11008189836015368244898840753184736971174606942288155891648360603984889158120275886992*v^14 - 50816535188588385421949901454478174857303287980813352056078993795372255468708917287652106*v^13 + 712951820574966977017218294346532537278685337549403701849619020382860600267191982012937543*v^12 + 2925547318384589452589394336320773321607575767879019539686918886693184677076513074909976678275*v^11 + 6780528437789986746522673646147157599981139503248294726070070727393564480067030366687396528321*v^10 - 81413053459823288644106218007914120121259774272765136494990758834417086844704476752340692119958985*v^9 - 1280564613038317760685997620844125630020914109096948065399830909712194717323622157916452959587113476*v^8 + 1112444248261340836955133621420278812172259854846778435432750433201066709835135766997113224709439511755*v^7 + 27339934325344836088352898140067754421432217863098112739751618675966377397052063944461092197449889852313*v^6 - 6684357893674681771758976605104956666598626712516780276906102323291515461979805998739054878531242493776589*v^5 - 172206722393010205324434726276402393270939098783820248507560098564930796699587152481460696228086842982523088*v^4 + 14132227954063535133057958373812720435741709565182859289295059854555321699532554892944015692581500360723844488*v^3 + 307838369601971666128870159961270696794247286864143206761903344992037377469312833457630966497252237641800325669*v^2 + 1821685345193136100621029732638507886435464384330299738835744373553377597805964095517008956756874313172408546069*v + 2660408904936460529984274387808405363549023336706739135929602980178775692300356403262363255561321480751460708465) / 38917930759099243096866211298571571201654231093900190335879902632515734052636371933562592964600114003080951232 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 48\!\cdots\!74 \nu^{15} + \cdots + 49\!\cdots\!82 ) / 38\!\cdots\!32$$ (480542136876554450978099976629726874065131345961491907125666512246829122494187101174*v^15 - 12773268894265604968770917609495374066697090616303579931647271356178336401612471894789*v^14 - 71603375163389327769030726404754359106911892304402912994066924387644222562095466243297534*v^13 + 625888952663478294944684773440940711467974579809217038998895712163644758873580854227621265*v^12 + 4129868440833844173084472571814782539844900053484740892358788283605337423017812712270082961200*v^11 + 29557507283742820422640231210581896673306805222229131531660937663477203983604629097672786588796*v^10 - 115004921921319981971597034063473287418517338374758238629648184558185965633037821198116986877562048*v^9 - 2302748167517346351940653748238266329142171064682935180412441339062611622098212285880774734494755737*v^8 + 1569468717046979236931104541330196288293116015744088448844419097491655105688279565743776896082830036356*v^7 + 44322893307904126607533222218535557074643142170234766753909225070240985014173879430419485506943045053180*v^6 - 9387478856091299841555516998784248320162848380968386086568481575442853938966710131927716046551061904817884*v^5 - 268599260334622379552789871138965995855658646509283319561782618691914256235935781919466648614796933931766761*v^4 + 19718396970452192229743285375925267984451484023121530934078507391767802402628593520998839116578403118784008766*v^3 + 463848276630423959113941093308847052048355768591588904145615335958506559140481117253971337337706838776747936401*v^2 + 2598413239327698189729407010095012228396236586951376978466985185894684801523167661571430577758584286619187239598*v + 4922815970508920472111743946082261447952999803406815550467403591007883436486429396006720665355206996700143354182) / 38917930759099243096866211298571571201654231093900190335879902632515734052636371933562592964600114003080951232 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 34\!\cdots\!07 \nu^{15} + \cdots - 59\!\cdots\!77 ) / 23\!\cdots\!00$$ (-347585857542558298035441596804264724292981260568102704967352151138999216195498545377215522307923895430707*v^15 + 4514569815602513399235804962359019911309315376518127513655581425417839746757843077630340937666122494347734*v^14 + 52131863193096026347547497276989720246876086979670847835744997732485655684031760410634903563192487565354847341*v^13 + 208111171509441379746475015227386257932619609386153192067706184984940019071430040276383350312557180943075775569*v^12 - 3021805576111973484240791338715587760753508475632998650089165240823753374381272827263745289152287000878883091125504*v^11 - 56809037170609444714002899643527793012896130328490882248372778108901400504598929362408145700254506880244706193485931*v^10 + 84385501174564994419883085691086000865882973942882554833281529033414649204584148690389590108764895370966059564879930131*v^9 + 2567082329208815136179293968443994258951996987248744730603978217365651481422203706720202268129855321537784009953110897440*v^8 - 1151629330950409006008078837522660252929744645109892323594816268208059070948907324642053146730101722182305395624550239946864*v^7 - 42907912892127188663579502513212298238893415364821750748370310627892148232375885026963292381312188387012128659350447511794415*v^6 + 6874775284473430577735814387299362081350471477937126314463319067919402443782104018070484309536284309945164569208397000828985703*v^5 + 246337595867088776493174523336403477987007348139466863097117047198720599722010349728919219555794411764639671232371350793628481088*v^4 - 14621171022746910878548508752815265458877754918029061360813419638648177112842183071811890627721061011195758308121247931545582572025*v^3 - 407269632597731011869477312719244174017384968412692747083760454471707215848448055450712783626936465759848503625605976570339657730017*v^2 - 2027138553114840998171158757776618367967515366170769402083194416983677513053532681270470348166124029750236502894431001854988520671318*v - 5929417996715721495467884827229834572099307155657871968544435495802041233318700639362891870863256686257382152784318704617828831068877) / 23820074058532122615540927045680266062179383908758644371994552623396879298307001932259817594922236681010795893669850443266908160000 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 57\!\cdots\!19 \nu^{15} + \cdots - 68\!\cdots\!09 ) / 28\!\cdots\!00$$ (-572000694555046927570157029141135920675185381226255024802961127262902215928811569769133236067269447083167468489119*v^15 + 346372949658586990008303123883943368806882708027648943587666320361238530690026446996221029068762926126499940005278*v^14 + 86315351227441490423753396543596926688493233622681068762239342877192021362624345466085554441315077390612128718823303897*v^13 + 1334217421994553777278861457130257157839705212960941859937271474837212457406301481166032176648972392154864849476824011373*v^12 - 5026970979221543997898519067580144586597183214457380963630394118282225742973529205933648566652680466060435304752068481600568*v^11 - 146560218389784309730123681702080142653884330719861616389161189861027268311019407092426627165279831710079254633476976964662927*v^10 + 140739153797703945369805677929358356959174532764389868458519917512562750758003130448412521310817004451511560684677910540963564927*v^9 + 5565865309004212811843042723894620382863356190572121892187507395972800384084649379540148837836505017038123023742263710976632647280*v^8 - 1918035604350815877598128276285648299749920476441213494649506146910031566113447654987187388731545489433153470265015348167853256043688*v^7 - 86475618716108676131512060623267846490836389367515533976779361667865003694905028185166368471292803954676254792689777041569250528253955*v^6 + 11344113428874830441076387150926954690726209362664827434704072906225326033961970074163546549385039816694928450214188720410474015946264451*v^5 + 477127771078907756480677166031625423996444888747600647402053639199578863084781301436980217220481812263690624522506163840138900884636437296*v^4 - 23765079137151238777319997298547253678714752360413389452717015131875959055484513370034303529582673815141877494257394288316098328580467637525*v^3 - 735159627586080861575692171795933377929636893209099211007756732530227439322411006233612818639881192591588129530102047693463236086290926630189*v^2 - 3454758202940867814409770971537870955641276605859049472087361144996816361213333309982583880091743472969997858431325954610033526341577391268006*v - 68791541345085764724884778531417952000632970709524865862956949504196054257710425437550321492574460267278870997555077803029351398118147960672009) / 28491791514238620508837847705845674658724977754763464696422901071418590385175942700220714875964771992344001508777313618178531587735060480000 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 20\!\cdots\!37 \nu^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!89 ) / 28\!\cdots\!00$$ (2094826136667807981020226756161963395391497799842584937587657675653567459328832373174879019290566826491855594826537*v^15 + 178740886420869210472003818551873858098652819540165632380580498955494693519582816084289102673268856577827980577954640*v^14 - 319915759087363730462496054331200830249455813037409679457443863777009773989779137645893719294402989600336175503426347577*v^13 - 32030342404529297906146800561764746670165494415706949798904248597008626420125667453520548518035786080508228229819709799899*v^12 + 18537453313274753127015572139777140561572719924868931956983230378875639161187412752362315546455898001375648787063829932635026*v^11 + 2124770282904233961383325102640578105213289952578425823644076865210816814249865580847649980866949583620830028512524367980054235*v^10 - 500315555349358727748370432726530630672353025726917562710610230585682214494914164381488010745598251404838720600906985960325529597*v^9 - 65455697361726674215507197529406414246171606387307751822936401193347504834637319600474711737119571211303776716829497406348668468630*v^8 + 6105783126468769680575760088427541656781914429999493454913617356886517867609703509336559322745114225294344664725299449545226647604474*v^7 + 950340511817959624190430611647214804854399268627417427681064569437818172151802287918235268935270713032947820214873769964336313126391583*v^6 - 24900437852928069120019261073141779176649990824230704965034064643980930103321868546414205037944587540467171978952575572384686900935596169*v^5 - 5755634842440672504970384952068695111941265078078069003981985555771552877029057934332897665267583482867983290615523182972014987868603340222*v^4 - 9280239856712112006195494824156116877593690935736551163197596107710150651708302795474417659493421797059902950499880401327782874149410427683*v^3 + 12064759990216874458201985168359153420975498848885896090050418133317661720865549272205960008571585735586305804199585180714382396451070638586403*v^2 + 158898482577264062783127212180129359047762487545685245648060487661742951077356859096571669529782132110448889568247528581887150853937767179163400*v + 254075946950075164902075400857749936774216060079492996515230819492575962781186479715443893085627094906927663501074519510453933402930618620283289) / 28491791514238620508837847705845674658724977754763464696422901071418590385175942700220714875964771992344001508777313618178531587735060480000 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 31\!\cdots\!81 \nu^{15} + \cdots - 18\!\cdots\!91 ) / 28\!\cdots\!00$$ (-3191734603970657964395755609907482733098498254917747914459102423724903215453178461723408134368484946773423659091481*v^15 + 37571086172804254521262769177812178686316429606027875795682027952913669576037357664056378888949192218000528310794322*v^14 + 479233169870850046540727988069192482580051206475803902086270938589231296133547018266503524564651152127153164865982565103*v^13 + 2420288644213440562037178590353212362812819556909256005650653588359678853764026497639311148626057083488704866148136632827*v^12 - 27808697241610294717423590234438374047594108948514810141590091874942910394565257395788676735136938187792640815918275988789832*v^11 - 546489066905986159995962614296886729774477340740440197749117993767404229490031166465882330338665193863697196495775755554772073*v^10 + 777295049192002206503141135836177865051059703462945106835314472118252787984874229208772639015797928816903464213515691710130140473*v^9 + 24117030713217749816182073647528165125042262373923102819659911181706054105337816104115242308419656269077503952116335823122957163920*v^8 - 10610702538181908784294172242358198050020372141370896835224028784321441418700880648643047076182880239229269517830119643289216519162712*v^7 - 398978503569259556730947309504199048455192951328157139602444362797663093518614511349069944072002261835165051641980734990082879837482645*v^6 + 63191227798905702517591693628569250321136993382072097818581072584115629648979161546937052589409893006213598642269081622852582147356267349*v^5 + 2271526982554639952363799623033311497545600107844666698364953662335106850763156320094563121047309374344737571522796666763619269884145994704*v^4 - 132998209744191415311544834462012239792424911338733314835551130174753922637052508620142324792262318665286463977180108863319750854531055977875*v^3 - 3712626474284897279615418229548795284161681989154211177303061755231591455634411475589314001300048538301784298807983802613829875319264880551611*v^2 - 18484269433758940384352148231816579067144026960013013003378556179943329777409097248902098497334364089616907876023132984370980183958811123093194*v - 18042166753525554362021886429999396438260537701238424985705469625289054278434859892616803382477401863386712870213186845079878114313788648166591) / 28491791514238620508837847705845674658724977754763464696422901071418590385175942700220714875964771992344001508777313618178531587735060480000 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 30\!\cdots\!25 \nu^{15} + \cdots - 32\!\cdots\!14 ) / 23\!\cdots\!00$$ (-3096535132974384865129843312558134774146677653607547481942910217588705208968377233255481022877283440094325*v^15 + 41710792647685787733033217201233654331460099138912850740492441393802833113048612113538473981976666080943707*v^14 + 464208012542528810182902519277539604133895585950079927279063223064551877884919512127544940305264158958978444542*v^13 + 1700750958934436352929514205305431263266558620409962031708109177988134241494024876495563021255959499925256958215*v^12 - 26903628095908364512043456891802266376620142792555308466050049484173813248903998121988342866598887562631786476357099*v^11 - 499341841357269717427237086040208566099018378568599762882107398244101058821121956105417832896169991183897932687302228*v^10 + 751456249632754791657378786153818529367303531460236756277663756113139217738675211424632187875652030587808623064367410027*v^9 + 22624293338929628304167145863961095549139784489383616740096657869764458545263683187027128030578450743450984962454093054605*v^8 - 10259985949431555975827079617359310441427657150772672543713269356212002109070851765025380517347559638991705340402559797552975*v^7 - 374617655224893262408008675943685910073274081075323351716047086850046992579389834080818321754176637143445091104162702415676036*v^6 + 61262739734346563824435301945324314342668234147134475934877648670186227560618074469676549996579062876329586732973022378984309567*v^5 + 2076952895123603648915748999823944870933700391789877977486958488543376617111489738438759505680331521000578900638406062933921260153*v^4 - 130567237929320476703802726293417598243986593441203881353646115353960738470213816102165694093855927686883677251152889912038384302434*v^3 - 3127976129507746343846194879512717761666866902091071926149406706260124452474949335388228201100500708324059378312683421145317220149187*v^2 - 17982501512006762896139392750275223075476134316628456838517298406886701438755246676988911184958883203760996595198606445895369929380699*v - 32265707456678047025869370848286718138985096627712694204745939938854442847549718873454378590905080599734720266716720788574473297690014) / 23820074058532122615540927045680266062179383908758644371994552623396879298307001932259817594922236681010795893669850443266908160000 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 34\!\cdots\!89 \nu^{15} + \cdots + 20\!\cdots\!85 ) / 14\!\cdots\!00$$ (3487930908994580440047605617437339211559963021554732743784805696981186251295254119415390466850299452336877589489889*v^15 - 31887833402886000981926775894234627639130534014094085716040221287909923985473699134675153310337927252232319322000556*v^14 - 521928065521437703744652951591236977783615607173006776762595887858388223524617923973935011412107712571172298929610622645*v^13 - 4173479410283326286345489586200054401776684941976221812178384647968005718387523668043725270561435667204898380486208575363*v^12 + 30110950803863124558442797710467613709381855347198651503309389154251381274203181929333881845773379992242695458432580451415814*v^11 + 694541254281634905452517054955078859691722167102285729145904135250824179106991795215060563162530164202288743260506572935811239*v^10 - 832900992001135201735165187105554969257942525415196688503534194056198091005905875228315676061324111444208165733533266992482969885*v^9 - 29320477406909795456560175294644536514041006123451859176994786469959635643158019780402171508757535656981677266938572645429575315090*v^8 + 11136455793407711357597029692966173475115709401558421148975757118416705109214155051496160381917801909062377953392772672914081521665758*v^7 + 480309125146416110645993937288544742633776691102853180991703516940806079777334145112844134903227431655474866511100029917767592985148859*v^6 - 63169075141860940654781489641354660781024899493716155674520257205233141875767268379662906666604482847498741799585499423308253804134520489*v^5 - 2782571178883894213147691569048515956075256342746579436901137585295554573672467389426174861167703011091399509393583613902829854596619810058*v^4 + 116841863644397619093253341618671159144221163058482226774670482163217455281615695357253928469673659640287461500682991226063424252577132180121*v^3 + 4876140906528956065772934986903542872480403178508813967600855654463179033781089521440206488348061408810163620688438353672320255975078843715227*v^2 + 54686620777716622702053146388906141278037198538396257112265624878124190887093095438858713573956991849325741086381292172990029564668782675810292*v + 205938274369802887339177074161408897612600495704677258393088622585394658246131292103204522534813805199213922029565621913983235192367155757538085) / 14245895757119310254418923852922837329362488877381732348211450535709295192587971350110357437982385996172000754388656809089265793867530240000 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!94 \nu^{15} + \cdots - 33\!\cdots\!71 ) / 28\!\cdots\!00$$ (-11506213128836243242307594384906266322857261370534071069940448304000340735759789307725223147035822632653758845566094*v^15 + 259320509885186912079643756557087889505562127900205252416959497287706571192345581971511920458157763445221983515198759*v^14 + 1723259342835866741519738039893812285441283028459493250686139263504532109876526443217175138805861312144783925509126150083*v^13 - 9553522515882022431908843744195641864505516680647939401882955781411970377455038019693327315737215061225592670309778771582*v^12 - 99922585949076739341017473507278082164462293882484945487538314023610836262352262456066175598493682633526559572904400466117385*v^11 - 929838957798230051266563562507121517891147932116460166240493577540578177588666403255015429561280775764761542208315917831427251*v^10 + 2799657474619159723435353785280778535195189733334849696913860564581896073999059213891232104107620610143484242822927645402578050768*v^9 + 58532989553005244995204772048268811393861026096556512911738136839547131406060823351018783305740835335694282220689376223003562196095*v^8 - 38539035753340492565031256115224735663477063933459245622466726011042434368435835907142637014088456325428700629221825311021173880145413*v^7 - 1062383891124292088316299282824048237544641184575702883460419822517495526295941571971854590409246801073494543739553186184841351410655543*v^6 + 234481929536821323291620706684874954859526765869636339086813433724414604844583205537792030008854418700192559001127666419313138223497253712*v^5 + 6055231442811671038307688575749953297817753690467775700161397213948761404408571180973396935412148365865801463680711475973267821067663190595*v^4 - 514436470285554015447362289544699857865074717267310456159254467648383952770826054110971577450092806115163784881330093041809432343527715023547*v^3 - 9119269322350040348573816273691071890120966591464444124920029638401383536065306827943738281518998119165635951909641658735961979496922534525910*v^2 - 30951200502494414223885321646550347518909007747438588446475310031499171226370511395845294801320834647526029464041248443238192746127922064576823*v - 33270603552387913249494927819578928141312914053988234329859706196780771774727236071667918534023042529344366754346966954353113564313210417328571) / 28491791514238620508837847705845674658724977754763464696422901071418590385175942700220714875964771992344001508777313618178531587735060480000 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 89\!\cdots\!19 \nu^{15} + \cdots + 93\!\cdots\!51 ) / 14\!\cdots\!00$$ (8985057891262462778395443559439884560474788911643508422491901698525557326994696710347232585484842434762732191072119*v^15 - 98573047417458915641119286741341688913073243463995231163054966314107332620220533503968353688576096853389367403819604*v^14 - 1347153865318488190669547192691824860368081035412144996751912162216053264660270231674678063177720441168135419786589586403*v^13 - 8070636864290307329680172138135342450580807746809462221538967793185578174606308461972590908407915166639901907577941435333*v^12 + 77990216784759113683967913263924299742567940511944124751587742444411086889011422719182459852658174806455433000470880261717610*v^11 + 1621668685488203579580203845482654793278895458002870675703334250108790348165533464421216361475326713420964832237643513126201761*v^10 - 2171159509181446248331469527501346515441968317998074392830432228937077658678862017086453481743973064617051547312865013708667416603*v^9 - 70518507459135145151766814920078350507651839359748951603855600363947006464078136693801468449835519881522220036379530805197708233470*v^8 + 29408634624189246751139986997297719647353512936377020704927049694795695493889268565562671304774818042628131303361493977739303465796178*v^7 + 1163836758293947952875595480403073775282405392306813299932197876922584739554882357220252715427073281952807928463931862632919430875420653*v^6 - 172081954870903053139968371457535983579215525187249254971373152085814585883758610940624560468777410530668289400325185284868124674291738287*v^5 - 6682321818708411057750415204938766328822692996703623308730470674151445548477262959682363143601832619707605658008626657929354604155914057030*v^4 + 346616852008953592666797720075571197409738093085804307741487245195206714981072401882531253422183937857665950952804298681942802302446843623007*v^3 + 11281924532946911961465713759420831586149893209957969508581552511379858495995206934789661390845939897886586980807352688124478460179957343181805*v^2 + 86759680274187904113932365647811541982253785967562268663063788314377069503403337890310530024344640213965806071458054286211106942330449349510028*v + 93714898701065789849672690235419363341537853191807620820422804067414120682514387075853671664084726728876613425077906230512053455798703409806451) / 14245895757119310254418923852922837329362488877381732348211450535709295192587971350110357437982385996172000754388656809089265793867530240000 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!74 \nu^{15} + \cdots - 93\!\cdots\!69 ) / 14\!\cdots\!00$$ (13809454220832137726222141059232291420443444415792090841184927537705927768663382165503550352755960540621384637814974*v^15 - 313964230510123363311196033038512797282137519997948714189359897695854348670994741719590115716406133059510229892447459*v^14 - 2070899528929131074238623425453193004375251500707313726952826227301625973717438687180362054414042449560692459719306193063*v^13 + 12406840921999336105162460825345780893103906701788929744557469356319254524542386406603605104075762796587675605537491731822*v^12 + 120299626626753622216597526736299176607093147738682834030752993118714458525652321119043753193779934996612071020030493382539325*v^11 + 1022948290905993989714113402447630419469355704721637383177769757158233891105156474939208549550388152503163623288308816763267751*v^10 - 3380410590728264317965225191386419612358021743409475075186009416743233317812628506638614919662629125910479100301671302128633836648*v^9 - 66164286170477824966449152366113938398550693971141215751593377137811029813454614500874778980244317515836743429882049817458516871595*v^8 + 46790977561757161987830536772994219025122304329065638324012951444696644297601618622590125776808590856083692391774000209060093142266473*v^7 + 1187184444136879255993506848529338410901043837775619338793114087039023986603121425068229296687654886870687191818843873186640906847735963*v^6 - 288493363878067076572586055714583465431202109945062708697278405087809055916498015738600723616733325772907292017002846765154680342328984072*v^5 - 6391435465533950750896897478841537157967865059884959993277320048423494182001138745078216341135197483692249075913946581737731274126889232575*v^4 + 658062532891803064119380644371791121731363133754052528619637899559492411715968747342060001752138188751944075949455826999930826120439893876127*v^3 + 7954766557572660155962623131699920640477971715300459621012950264363216455825605173749933747439838937888065681798152654669675216278873180216630*v^2 - 20409223088138935101776185102239413067098699754583954119825594816576333067559436719709091784617067490000894325614371418062824282117373607952077*v - 93952826243551450983340454579682470468268119369623022404333762958731642010838767476323002168150461986027309971881776900226276159982667257531169) / 14245895757119310254418923852922837329362488877381732348211450535709295192587971350110357437982385996172000754388656809089265793867530240000 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 28\!\cdots\!06 \nu^{15} + \cdots - 39\!\cdots\!29 ) / 28\!\cdots\!00$$ (-28559078185939087355713500779869499244260651055770861715508041672477128934151750971763265124230893525075084661991106*v^15 + 347604228883487219177936466915760160384625378633564899986401465658532561188903382621324976464991424722935456587507041*v^14 + 4289877564587851420369237519466349221653911979240814096597332978497237212080490480731048951818063546196258358690471911717*v^13 + 19673344715955695449014331694746702780743225146311600665298075415467293324582945223679686533285842847636194406813820777582*v^12 - 249080046084185239532075110329328485075934449929723953527168079479164772805362088728528240318724384658070632245166801791749615*v^11 - 4760017515609996240374042978873850165534787977877627432058664849292582650095215458513220648117803461340796177053326575990853749*v^10 + 6968480330964872071345402873439076288469016342897719475379476238290743886455132003479444998096745281653408934041948721839240754032*v^9 + 211764587219268867550188269335884786547298286548782261650268715785844185541702527556876501349037210965502696169002541276566981740105*v^8 - 95261165417719940509192005805628619453979915033501370480650925122824398063772743235184726185068628295563033750038456388602108787360787*v^7 - 3509011530299070944914717481692015113387894707194271324256900381038393624423032388670646837528725285169606569449071721170001982459631057*v^6 + 568485092315588627257922101956070488971879701035725336597877770336379024637841199662515035954839226979922761082542604941776051848593832688*v^5 + 19901893522364776440703721872872578186024588156948176111519060799238038021894068650205563477587477712590547290412005159979328447628487452005*v^4 - 1192805382001599578477406696163162468252783195870316035260597509239152739465044386660162699099671378455777462795971040628495748717783956156653*v^3 - 31959310229933556503163509539065432453066656273433958293479186927326116380967087300203837926359934089868880317925766177144419830796967544586490*v^2 - 221702547889343597290755882886095384322663538107771115857323196150320838844812902104410210391114782055230756651336354437994920441271755529591377*v - 392959297479333793320214080640418425936924633187990075416597960494625425659637046037858313340971155346415522641990802031499078671261783266157229) / 28491791514238620508837847705845674658724977754763464696422901071418590385175942700220714875964771992344001508777313618178531587735060480000
 $$\nu$$ $$=$$ $$( -\beta_{5} + \beta_{4} + 9\beta _1 + 6 ) / 9$$ (-b5 + b4 + 9*b1 + 6) / 9 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( - 26 \beta_{15} - 26 \beta_{14} + 60 \beta_{13} + 26 \beta_{12} - 60 \beta_{11} + 99 \beta_{9} + \cdots + 506989 ) / 27$$ (-26*b15 - 26*b14 + 60*b13 + 26*b12 - 60*b11 + 99*b9 - 52*b8 - 73*b7 + 29*b6 - 54*b5 + 135*b4 - 9043*b3 - 8975*b2 + 35*b1 + 506989) / 27 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( - 9127 \beta_{15} - 9784 \beta_{14} + 5040 \beta_{13} + 8893 \beta_{12} - 6660 \beta_{11} + \cdots + 40450891 ) / 81$$ (-9127*b15 - 9784*b14 + 5040*b13 + 8893*b12 - 6660*b11 + 261*b10 - 29625*b9 - 18866*b8 - 799*b7 - 17922*b6 - 306032*b5 + 315355*b4 - 807956*b3 - 570961*b2 + 4572532*b1 + 40450891) / 81 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 3563812 \beta_{15} - 3645238 \beta_{14} + 7251660 \beta_{13} + 3367120 \beta_{12} + \cdots + 52500012832 ) / 81$$ (-3563812*b15 - 3645238*b14 + 7251660*b13 + 3367120*b12 - 7321860*b11 - 71166*b10 + 11939643*b9 - 7177280*b8 - 14678677*b7 + 695439*b6 - 11029616*b5 + 25656505*b4 - 1439345525*b3 - 1423718779*b2 + 156284251*b1 + 52500012832) / 81 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 563235179 \beta_{15} - 580735304 \beta_{14} + 337886640 \beta_{13} + 514144169 \beta_{12} + \cdots + 2800898068883 ) / 81$$ (-563235179*b15 - 580735304*b14 + 337886640*b13 + 514144169*b12 - 447196140*b11 + 3300585*b10 - 1267688781*b9 - 1107637498*b8 - 340852091*b7 - 1412146746*b6 - 11858066491*b5 + 12605360006*b4 - 95565486772*b3 - 74358366605*b2 + 262703789603*b1 + 2800898068883) / 81 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 161469609602 \beta_{15} - 167567515880 \beta_{14} + 293530345920 \beta_{13} + 145318337222 \beta_{12} + \cdots + 20\!\cdots\!13 ) / 81$$ (-161469609602*b15 - 167567515880*b14 + 293530345920*b13 + 145318337222*b12 - 300596617440*b11 - 8463512466*b10 + 452468620230*b9 - 325165445308*b8 - 730461198110*b7 - 75008233296*b6 - 671553974632*b5 + 1353479970002*b4 - 75400589412508*b3 - 73605154477730*b2 + 16184247147176*b1 + 2076321600697013) / 81 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 9926360405120 \beta_{15} - 9992185089836 \beta_{14} + 6460224338640 \beta_{13} + \cdots + 53\!\cdots\!54 ) / 27$$ (-9926360405120*b15 - 9992185089836*b14 + 6460224338640*b13 + 8537663016104*b12 - 8540051299320*b11 - 184881755940*b10 - 15897518025482*b9 - 18846102702752*b8 - 11177558973530*b7 - 26932505560602*b6 - 163865364424549*b5 + 180004113640463*b4 - 2284542933980770*b3 - 1765851937399886*b2 + 4836582916269087*b1 + 53562703857083254) / 27 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 25\!\cdots\!88 \beta_{15} + \cdots + 29\!\cdots\!09 ) / 27$$ (-2521322872094188*b15 - 2631607244855398*b14 + 4122462272914140*b13 + 2159432850054856*b12 - 4302498556994820*b11 - 216239068398246*b10 + 5782442017399371*b9 - 5037014731748624*b8 - 11447086824358101*b7 - 2363122217296969*b6 - 12784170920271124*b5 + 22860693045587597*b4 - 1248914603583952637*b3 - 1196960945353777003*b2 + 411821683269505039*b1 + 29288954341515450909) / 27 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 15\!\cdots\!25 \beta_{15} + \cdots + 86\!\cdots\!75 ) / 81$$ (-1519122563941878625*b15 - 1507093273865086096*b14 + 1050826465799053200*b13 + 1234988280179651371*b12 - 1392149694198229380*b11 - 66733510780439037*b10 - 1739948482559028075*b9 - 2810125982615669774*b8 - 2350377309197248021*b7 - 4138082149554576354*b6 - 21301814473094320904*b5 + 24064856980024618789*b4 - 418032517986387205952*b3 - 319176278457740287267*b2 + 786974386880819917156*b1 + 8698300342020745372375) / 81 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 36\!\cdots\!36 \beta_{15} + \cdots + 38\!\cdots\!52 ) / 81$$ (-361866444476563737436*b15 - 377930956752939376330*b14 + 538623331288081456140*b13 + 294258169557611046736*b12 - 575280126582400723500*b11 - 41729085719775733098*b10 + 679579894170159130557*b9 - 713694754654882031504*b8 - 1591721545083102102451*b7 - 455969070914692276575*b6 - 2110632161093527891694*b5 + 3428040319787467557829*b4 - 181284168413268908033195*b3 - 169828056728992823890021*b2 + 83446148315390054976271*b1 + 3873727871031227198998252) / 81 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( - 76\!\cdots\!21 \beta_{15} + \cdots + 45\!\cdots\!23 ) / 81$$ (-76311448854566897875121*b15 - 75124004816068363245836*b14 + 55217955952565967359520*b13 + 58791279800113896715139*b12 - 73606750013950973633700*b11 - 5247004977975744772041*b10 - 62104287684273723382221*b9 - 138466434176709094763710*b8 - 142718138866240431780743*b7 - 202264993793787977545596*b6 - 952337090569511897046397*b5 + 1097866535958364731620072*b4 - 23557579962149417560931986*b3 - 17764537733502242894633153*b2 + 42246699934312272081226439*b1 + 458370544669210496835020123) / 81 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!60 \beta_{15} + \cdots + 17\!\cdots\!61 ) / 81$$ (-17513224318343093950425860*b15 - 18255646023610654354058864*b14 + 24007277930519364050116800*b13 + 13496647769639208582277580*b12 - 26327332392371743540865760*b11 - 2460039111561595191308388*b10 + 27150694113963428859902460*b9 - 34017504615020547852786232*b8 - 73674001904044491410401484*b7 - 25833895688816420496221808*b6 - 113183979892250759561341360*b5 + 170125648643421718975438388*b4 - 8682568923981856693372107976*b3 - 7922262384424733217207349940*b2 + 5267512671895894579206743312*b1 + 175426994093960904237794220761) / 81 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!24 \beta_{15} + \cdots + 79\!\cdots\!10 ) / 27$$ (-1266690168915880397228201424*b15 - 1243036586839260101531905752*b14 + 947334072508470379843029120*b13 + 926154781834457337296004672*b12 - 1274748118336965887678881200*b11 - 117345181896284931046512600*b10 - 716488992550622979157182596*b9 - 2264806218608379943128508960*b8 - 2679846629315816725015076484*b7 - 3228498592520848866350241876*b6 - 14516084906764837514232723975*b5 + 16937922303966031626379134267*b4 - 422894094894225426857195078532*b3 - 314823912243756435388756886892*b2 + 750522466291830583386123085891*b1 + 7915473691273861830167562396410) / 27 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( - 28\!\cdots\!90 \beta_{15} + \cdots + 26\!\cdots\!97 ) / 27$$ (-284317044510403028168353872590*b15 - 295487691332904175915687156370*b14 + 362363850440514333529745896860*b13 + 207383881607383180536288270182*b12 - 409062767610632711009535362220*b11 - 46057711339256849119163127708*b10 + 367559417306210893879818965715*b9 - 543376625410941354923022059212*b8 - 1140649517139908639834103343585*b7 - 459601057000729175897701355935*b6 - 1983754884210034425741617981682*b5 + 2799662895762702773803241528451*b4 - 138330109185507947697600560740279*b3 - 122599593301016782411699016614151*b2 + 105929382896493886197266723956955*b1 + 2697143448592394157269605409726797) / 27 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( - 18\!\cdots\!47 \beta_{15} + \cdots + 12\!\cdots\!59 ) / 81$$ (-188200345138247694661390880948347*b15 - 184627195310253732694451092688776*b14 + 144070730130417628258924443909360*b13 + 130636697168668055318703055361401*b12 - 196193602092397525846248117682980*b11 - 21736830085178020085722823113023*b10 - 70810948730513164964881739244045*b9 - 332541614034633603641326361019050*b8 - 433273420265552828230060566867451*b7 - 459896166672773750810636458706418*b6 - 2024651040832703523252976835152544*b5 + 2373667529928265320023888335923391*b4 - 66426361197916051161851219336036252*b3 - 48773460028064056089207596127399301*b2 + 119284051575708259899016390519635700*b1 + 1214716671843905637713364499167564259) / 81

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/54\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$29$$ $$\chi(n)$$ $$-\beta_{1}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
17.1
 220.333 + 0.866025i 71.4012 + 0.866025i −93.2991 + 0.866025i −197.435 + 0.866025i 164.354 + 0.866025i −2.97990 + 0.866025i −13.0653 + 0.866025i −147.309 + 0.866025i 220.333 − 0.866025i 71.4012 − 0.866025i −93.2991 − 0.866025i −197.435 − 0.866025i 164.354 − 0.866025i −2.97990 − 0.866025i −13.0653 − 0.866025i −147.309 − 0.866025i
−9.79796 + 5.65685i 0 64.0000 110.851i −935.250 539.967i 0 −2056.09 3561.25i 1448.15i 0 12218.1
17.2 −9.79796 + 5.65685i 0 64.0000 110.851i −265.055 153.030i 0 770.107 + 1333.86i 1448.15i 0 3462.67
17.3 −9.79796 + 5.65685i 0 64.0000 110.851i 476.096 + 274.874i 0 −1631.36 2825.60i 1448.15i 0 −6219.69
17.4 −9.79796 + 5.65685i 0 64.0000 110.851i 944.709 + 545.428i 0 1250.70 + 2166.27i 1448.15i 0 −12341.6
17.5 9.79796 5.65685i 0 64.0000 110.851i −683.343 394.528i 0 89.7132 + 155.388i 1448.15i 0 −8927.15
17.6 9.79796 5.65685i 0 64.0000 110.851i 69.6596 + 40.2180i 0 370.849 + 642.329i 1448.15i 0 910.029
17.7 9.79796 5.65685i 0 64.0000 110.851i 115.044 + 66.4206i 0 −1060.32 1836.53i 1448.15i 0 1502.93
17.8 9.79796 5.65685i 0 64.0000 110.851i 719.139 + 415.195i 0 1343.41 + 2326.85i 1448.15i 0 9394.80
35.1 −9.79796 5.65685i 0 64.0000 + 110.851i −935.250 + 539.967i 0 −2056.09 + 3561.25i 1448.15i 0 12218.1
35.2 −9.79796 5.65685i 0 64.0000 + 110.851i −265.055 + 153.030i 0 770.107 1333.86i 1448.15i 0 3462.67
35.3 −9.79796 5.65685i 0 64.0000 + 110.851i 476.096 274.874i 0 −1631.36 + 2825.60i 1448.15i 0 −6219.69
35.4 −9.79796 5.65685i 0 64.0000 + 110.851i 944.709 545.428i 0 1250.70 2166.27i 1448.15i 0 −12341.6
35.5 9.79796 + 5.65685i 0 64.0000 + 110.851i −683.343 + 394.528i 0 89.7132 155.388i 1448.15i 0 −8927.15
35.6 9.79796 + 5.65685i 0 64.0000 + 110.851i 69.6596 40.2180i 0 370.849 642.329i 1448.15i 0 910.029
35.7 9.79796 + 5.65685i 0 64.0000 + 110.851i 115.044 66.4206i 0 −1060.32 + 1836.53i 1448.15i 0 1502.93
35.8 9.79796 + 5.65685i 0 64.0000 + 110.851i 719.139 415.195i 0 1343.41 2326.85i 1448.15i 0 9394.80
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 17.8 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
9.d odd 6 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 54.9.d.a 16
3.b odd 2 1 18.9.d.a 16
4.b odd 2 1 432.9.q.c 16
9.c even 3 1 18.9.d.a 16
9.c even 3 1 162.9.b.c 16
9.d odd 6 1 inner 54.9.d.a 16
9.d odd 6 1 162.9.b.c 16
12.b even 2 1 144.9.q.b 16
36.f odd 6 1 144.9.q.b 16
36.h even 6 1 432.9.q.c 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
18.9.d.a 16 3.b odd 2 1
18.9.d.a 16 9.c even 3 1
54.9.d.a 16 1.a even 1 1 trivial
54.9.d.a 16 9.d odd 6 1 inner
144.9.q.b 16 12.b even 2 1
144.9.q.b 16 36.f odd 6 1
162.9.b.c 16 9.c even 3 1
162.9.b.c 16 9.d odd 6 1
432.9.q.c 16 4.b odd 2 1
432.9.q.c 16 36.h even 6 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{9}^{\mathrm{new}}(54, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{4} - 128 T^{2} + 16384)^{4}$$
$3$ $$T^{16}$$
$5$ $$T^{16} + \cdots + 19\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{16} + \cdots + 15\!\cdots\!00$$
$11$ $$T^{16} + \cdots + 52\!\cdots\!49$$
$13$ $$T^{16} + \cdots + 22\!\cdots\!16$$
$17$ $$T^{16} + \cdots + 12\!\cdots\!00$$
$19$ $$(T^{8} + \cdots - 11\!\cdots\!40)^{2}$$
$23$ $$T^{16} + \cdots + 12\!\cdots\!24$$
$29$ $$T^{16} + \cdots + 73\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{16} + \cdots + 20\!\cdots\!00$$
$37$ $$(T^{8} + \cdots - 17\!\cdots\!56)^{2}$$
$41$ $$T^{16} + \cdots + 24\!\cdots\!25$$
$43$ $$T^{16} + \cdots + 23\!\cdots\!25$$
$47$ $$T^{16} + \cdots + 18\!\cdots\!44$$
$53$ $$T^{16} + \cdots + 73\!\cdots\!00$$
$59$ $$T^{16} + \cdots + 23\!\cdots\!25$$
$61$ $$T^{16} + \cdots + 11\!\cdots\!16$$
$67$ $$T^{16} + \cdots + 63\!\cdots\!25$$
$71$ $$T^{16} + \cdots + 26\!\cdots\!64$$
$73$ $$(T^{8} + \cdots + 79\!\cdots\!00)^{2}$$
$79$ $$T^{16} + \cdots + 10\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{16} + \cdots + 27\!\cdots\!84$$
$89$ $$T^{16} + \cdots + 23\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{16} + \cdots + 23\!\cdots\!25$$