Properties

Label 525.2.n
Level 525
Weight 2
Character orbit n
Rep. character \(\chi_{525}(106,\cdot)\)
Character field \(\Q(\zeta_{5})\)
Dimension 112
Newform subspaces 5
Sturm bound 160
Trace bound 3

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Defining parameters

Level: \( N \) = \( 525 = 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 \)
Weight: \( k \) = \( 2 \)
Character orbit: \([\chi]\) = 525.n (of order \(5\) and degree \(4\))
Character conductor: \(\operatorname{cond}(\chi)\) = \( 25 \)
Character field: \(\Q(\zeta_{5})\)
Newform subspaces: \( 5 \)
Sturm bound: \(160\)
Trace bound: \(3\)
Distinguishing \(T_p\): \(2\)

Dimensions

The following table gives the dimensions of various subspaces of \(M_{2}(525, [\chi])\).

Total New Old
Modular forms 336 112 224
Cusp forms 304 112 192
Eisenstein series 32 0 32

Trace form

\( 112q + 4q^{2} - 24q^{4} + 8q^{5} + 12q^{8} - 28q^{9} + O(q^{10}) \) \( 112q + 4q^{2} - 24q^{4} + 8q^{5} + 12q^{8} - 28q^{9} + 12q^{10} + 16q^{12} + 24q^{13} + 4q^{15} - 40q^{16} + 32q^{17} - 16q^{18} - 12q^{19} - 60q^{20} + 4q^{21} - 56q^{22} - 12q^{23} + 8q^{25} + 64q^{26} + 20q^{29} - 8q^{30} - 72q^{32} - 12q^{33} - 36q^{34} + 4q^{35} - 24q^{36} - 16q^{37} + 56q^{38} + 16q^{39} - 96q^{40} + 48q^{41} + 48q^{43} - 84q^{44} + 8q^{45} + 4q^{46} - 48q^{47} + 32q^{48} + 112q^{49} - 72q^{50} - 64q^{51} + 88q^{52} - 12q^{53} - 68q^{55} + 24q^{57} - 112q^{58} + 24q^{59} + 28q^{60} + 8q^{61} - 28q^{62} - 24q^{64} - 88q^{65} + 16q^{66} + 24q^{67} + 128q^{68} + 8q^{69} + 16q^{70} - 32q^{71} + 12q^{72} + 64q^{73} + 24q^{74} + 32q^{75} + 72q^{76} - 24q^{77} + 24q^{78} + 24q^{79} + 152q^{80} - 28q^{81} + 56q^{82} + 68q^{83} + 12q^{84} - 8q^{85} - 120q^{86} - 48q^{87} + 36q^{88} - 96q^{89} + 12q^{90} + 16q^{91} - 48q^{92} - 80q^{93} + 52q^{94} - 180q^{95} + 20q^{96} + 12q^{97} + 4q^{98} + O(q^{100}) \)

Decomposition of \(S_{2}^{\mathrm{new}}(525, [\chi])\) into newform subspaces

Label Dim. \(A\) Field CM Traces $q$-expansion
\(a_2\) \(a_3\) \(a_5\) \(a_7\)
525.2.n.a \(4\) \(4.192\) \(\Q(\zeta_{10})\) None \(3\) \(1\) \(0\) \(-4\) \(q+(1-\zeta_{10}^{3})q^{2}+\zeta_{10}^{3}q^{3}+(1-\zeta_{10}+\cdots)q^{4}+\cdots\)
525.2.n.b \(20\) \(4.192\) \(\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)\) None \(-2\) \(5\) \(5\) \(-20\) \(q+\beta _{10}q^{2}+\beta _{4}q^{3}+(\beta _{1}-2\beta _{2}-\beta _{3}+\cdots)q^{4}+\cdots\)
525.2.n.c \(24\) \(4.192\) None \(1\) \(-6\) \(-1\) \(24\)
525.2.n.d \(32\) \(4.192\) None \(1\) \(-8\) \(-3\) \(-32\)
525.2.n.e \(32\) \(4.192\) None \(1\) \(8\) \(7\) \(32\)

Decomposition of \(S_{2}^{\mathrm{old}}(525, [\chi])\) into lower level spaces

\( S_{2}^{\mathrm{old}}(525, [\chi]) \cong \) \(S_{2}^{\mathrm{new}}(25, [\chi])\)\(^{\oplus 4}\)\(\oplus\)\(S_{2}^{\mathrm{new}}(75, [\chi])\)\(^{\oplus 2}\)\(\oplus\)\(S_{2}^{\mathrm{new}}(175, [\chi])\)\(^{\oplus 2}\)

Hecke Characteristic Polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ (\( 1 - 3 T + 2 T^{2} + T^{4} + 8 T^{6} - 24 T^{7} + 16 T^{8} \))(\( 1 + 2 T - 3 T^{2} - 8 T^{3} + 9 T^{4} + 24 T^{5} - 35 T^{6} - 76 T^{7} + 97 T^{8} + 174 T^{9} - 308 T^{10} - 375 T^{11} + 914 T^{12} + 753 T^{13} - 2368 T^{14} - 1381 T^{15} + 5578 T^{16} + 1957 T^{17} - 12263 T^{18} - 1170 T^{19} + 25773 T^{20} - 2340 T^{21} - 49052 T^{22} + 15656 T^{23} + 89248 T^{24} - 44192 T^{25} - 151552 T^{26} + 96384 T^{27} + 233984 T^{28} - 192000 T^{29} - 315392 T^{30} + 356352 T^{31} + 397312 T^{32} - 622592 T^{33} - 573440 T^{34} + 786432 T^{35} + 589824 T^{36} - 1048576 T^{37} - 786432 T^{38} + 1048576 T^{39} + 1048576 T^{40} \))
$3$ (\( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} \))(\( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} )^{5} \))
$5$ (\( ( 1 - 5 T^{2} )^{2} \))(\( 1 - 5 T + 20 T^{2} - 80 T^{3} + 205 T^{4} - 450 T^{5} + 850 T^{6} - 425 T^{7} - 1850 T^{8} + 9125 T^{9} - 28375 T^{10} + 45625 T^{11} - 46250 T^{12} - 53125 T^{13} + 531250 T^{14} - 1406250 T^{15} + 3203125 T^{16} - 6250000 T^{17} + 7812500 T^{18} - 9765625 T^{19} + 9765625 T^{20} \))
$7$ (\( ( 1 + T )^{4} \))(\( ( 1 + T )^{20} \))
$11$ (\( 1 + 2 T + 13 T^{2} + 34 T^{3} + 225 T^{4} + 374 T^{5} + 1573 T^{6} + 2662 T^{7} + 14641 T^{8} \))(\( 1 - 12 T + 5 T^{2} + 527 T^{3} - 2020 T^{4} - 7203 T^{5} + 56722 T^{6} - 4798 T^{7} - 711707 T^{8} + 1150473 T^{9} + 4220063 T^{10} - 12236295 T^{11} + 6043188 T^{12} - 37619910 T^{13} - 230334633 T^{14} + 2791361284 T^{15} - 3117216920 T^{16} - 35048914405 T^{17} + 113970259425 T^{18} + 155915532485 T^{19} - 1574551625415 T^{20} + 1715070857335 T^{21} + 13790401390425 T^{22} - 46650105073055 T^{23} - 45639172925720 T^{24} + 449551526149484 T^{25} - 408051852772113 T^{26} - 733105619174610 T^{27} + 1295411017352628 T^{28} - 28852543541644845 T^{29} + 109457565873969863 T^{30} + 328243373622849003 T^{31} - 2233641444710972747 T^{32} - 165639972866580938 T^{33} + 21540170060508596002 T^{34} - 30088718564300934153 T^{35} - 92818454324415765220 T^{36} + \)\(26\!\cdots\!17\)\( T^{37} + 27799586567461157405 T^{38} - \)\(73\!\cdots\!92\)\( T^{39} + \)\(67\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$13$ (\( 1 - 9 T + 48 T^{2} - 235 T^{3} + 1011 T^{4} - 3055 T^{5} + 8112 T^{6} - 19773 T^{7} + 28561 T^{8} \))(\( 1 + 17 T + 118 T^{2} + 511 T^{3} + 2352 T^{4} + 11040 T^{5} + 35384 T^{6} + 109963 T^{7} + 467215 T^{8} + 971364 T^{9} - 724062 T^{10} - 1470107 T^{11} - 9009942 T^{12} - 143708236 T^{13} - 89788267 T^{14} + 1601061003 T^{15} + 3142834670 T^{16} + 22309519952 T^{17} + 208993081204 T^{18} + 830991825843 T^{19} + 2569268002331 T^{20} + 10802893735959 T^{21} + 35319830723476 T^{22} + 49014015334544 T^{23} + 89762501009870 T^{24} + 594462742986879 T^{25} - 433390815250003 T^{26} - 9017478689686012 T^{27} - 7349686483828182 T^{28} - 15589748759742911 T^{29} - 99818095325170638 T^{30} + 1740840088993356468 T^{31} + 10885214840499960415 T^{32} + 33305055346203916639 T^{33} + \)\(13\!\cdots\!76\)\( T^{34} + \)\(56\!\cdots\!80\)\( T^{35} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{36} + \)\(44\!\cdots\!63\)\( T^{37} + \)\(13\!\cdots\!22\)\( T^{38} + \)\(24\!\cdots\!09\)\( T^{39} + \)\(19\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$17$ (\( 1 - 13 T + 52 T^{2} + 25 T^{3} - 729 T^{4} + 425 T^{5} + 15028 T^{6} - 63869 T^{7} + 83521 T^{8} \))(\( 1 + 9 T - 27 T^{2} - 620 T^{3} - 1290 T^{4} + 20557 T^{5} + 117068 T^{6} - 310247 T^{7} - 4476802 T^{8} - 4151366 T^{9} + 107746789 T^{10} + 390341611 T^{11} - 1579360503 T^{12} - 12891387238 T^{13} + 2870358378 T^{14} + 278972749333 T^{15} + 601233535747 T^{16} - 4051231959030 T^{17} - 20626010838649 T^{18} + 27189021791451 T^{19} + 423848770469272 T^{20} + 462213370454667 T^{21} - 5960917132369561 T^{22} - 19903702614714390 T^{23} + 50215626139125187 T^{24} + 396101410949705381 T^{25} + 69283473403703082 T^{26} - 5289834732370055174 T^{27} - 11017235780823752823 T^{28} + 46289782756908016667 T^{29} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( T^{30} - \)\(14\!\cdots\!78\)\( T^{31} - \)\(26\!\cdots\!22\)\( T^{32} - \)\(30\!\cdots\!39\)\( T^{33} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( T^{34} + \)\(58\!\cdots\!01\)\( T^{35} - \)\(62\!\cdots\!90\)\( T^{36} - \)\(51\!\cdots\!40\)\( T^{37} - \)\(37\!\cdots\!43\)\( T^{38} + \)\(21\!\cdots\!77\)\( T^{39} + \)\(40\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$19$ (\( 1 - 9 T^{2} + 70 T^{3} + 291 T^{4} + 1330 T^{5} - 3249 T^{6} + 130321 T^{8} \))(\( 1 + 9 T + 9 T^{2} + 10 T^{3} + 1521 T^{4} + 5182 T^{5} - 28341 T^{6} - 73578 T^{7} + 621886 T^{8} - 1041450 T^{9} - 21412968 T^{10} + 22324377 T^{11} + 309389811 T^{12} - 612021092 T^{13} + 809994731 T^{14} + 38047928694 T^{15} + 10122189378 T^{16} - 287816743238 T^{17} + 1931412339679 T^{18} + 1204750584038 T^{19} - 56973551738703 T^{20} + 22890261096722 T^{21} + 697239854624119 T^{22} - 1974135041869442 T^{23} + 1319133841930338 T^{24} + 94210438191284706 T^{25} + 38106915725253011 T^{26} - 547068357810718988 T^{27} + 5254541359361575251 T^{28} + 7203801818480458683 T^{29} - \)\(13\!\cdots\!68\)\( T^{30} - \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!46\)\( T^{32} - \)\(30\!\cdots\!02\)\( T^{33} - \)\(22\!\cdots\!61\)\( T^{34} + \)\(78\!\cdots\!18\)\( T^{35} + \)\(43\!\cdots\!01\)\( T^{36} + \)\(54\!\cdots\!90\)\( T^{37} + \)\(93\!\cdots\!69\)\( T^{38} + \)\(17\!\cdots\!11\)\( T^{39} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$23$ (\( 1 + T - 17 T^{2} + 65 T^{3} + 576 T^{4} + 1495 T^{5} - 8993 T^{6} + 12167 T^{7} + 279841 T^{8} \))(\( 1 - 7 T + 5 T^{2} + 232 T^{3} - 1052 T^{4} - 3365 T^{5} + 37947 T^{6} - 130501 T^{7} - 60947 T^{8} + 2537516 T^{9} - 10158836 T^{10} - 41777788 T^{11} + 620616929 T^{12} - 1197621959 T^{13} - 12815167944 T^{14} + 50019431341 T^{15} + 259769120270 T^{16} - 2481947544649 T^{17} + 5320406087173 T^{18} + 22264384484774 T^{19} - 176619524520221 T^{20} + 512080843149802 T^{21} + 2814494820114517 T^{22} - 30197855775744383 T^{23} + 72694050385477070 T^{24} + 321942216775625963 T^{25} - 1897104779274342216 T^{26} - 4077693721889190673 T^{27} + 48601123192058422049 T^{28} - 75248174046236983844 T^{29} - \)\(42\!\cdots\!64\)\( T^{30} + \)\(24\!\cdots\!32\)\( T^{31} - \)\(13\!\cdots\!87\)\( T^{32} - \)\(65\!\cdots\!83\)\( T^{33} + \)\(43\!\cdots\!23\)\( T^{34} - \)\(89\!\cdots\!55\)\( T^{35} - \)\(64\!\cdots\!72\)\( T^{36} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( T^{37} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( T^{38} - \)\(52\!\cdots\!09\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$29$ (\( 1 + 15 T + 106 T^{2} + 675 T^{3} + 4171 T^{4} + 19575 T^{5} + 89146 T^{6} + 365835 T^{7} + 707281 T^{8} \))(\( 1 - 28 T + 292 T^{2} - 1111 T^{3} - 2637 T^{4} + 48056 T^{5} - 354977 T^{6} + 1751017 T^{7} + 1171058 T^{8} - 59724245 T^{9} + 265622419 T^{10} - 1367742638 T^{11} + 9549291711 T^{12} - 12436162284 T^{13} - 128894774032 T^{14} + 796946984854 T^{15} - 10162058212054 T^{16} + 58858081368164 T^{17} + 81427480890353 T^{18} - 1834790782280269 T^{19} + 9689391931459613 T^{20} - 53208932686127801 T^{21} + 68480511428786873 T^{22} + 1435489746488151796 T^{23} - 7187430694279765174 T^{24} + 16346298351441137246 T^{25} - 76669617549258800272 T^{26} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{27} + \)\(47\!\cdots\!71\)\( T^{28} - \)\(19\!\cdots\!22\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( T^{30} - \)\(72\!\cdots\!05\)\( T^{31} + \)\(41\!\cdots\!78\)\( T^{32} + \)\(17\!\cdots\!13\)\( T^{33} - \)\(10\!\cdots\!37\)\( T^{34} + \)\(41\!\cdots\!44\)\( T^{35} - \)\(65\!\cdots\!77\)\( T^{36} - \)\(80\!\cdots\!99\)\( T^{37} + \)\(61\!\cdots\!12\)\( T^{38} - \)\(17\!\cdots\!32\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$31$ (\( 1 + 7 T + 3 T^{2} + 119 T^{3} + 1640 T^{4} + 3689 T^{5} + 2883 T^{6} + 208537 T^{7} + 923521 T^{8} \))(\( 1 - 6 T - 140 T^{2} + 841 T^{3} + 10547 T^{4} - 68492 T^{5} - 515260 T^{6} + 4069562 T^{7} + 17326096 T^{8} - 190777850 T^{9} - 393262670 T^{10} + 7140215105 T^{11} + 5355496331 T^{12} - 210301021603 T^{13} - 32554607310 T^{14} + 4743770235228 T^{15} + 963101506732 T^{16} - 77868139958804 T^{17} - 93076859779940 T^{18} + 691653607625279 T^{19} + 3973675961861677 T^{20} + 21441261836383649 T^{21} - 89446862248522340 T^{22} - 2319769757512729964 T^{23} + 889444466598643372 T^{24} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{25} - 28892333821134508110 T^{26} - \)\(57\!\cdots\!33\)\( T^{27} + \)\(45\!\cdots\!71\)\( T^{28} + \)\(18\!\cdots\!55\)\( T^{29} - \)\(32\!\cdots\!70\)\( T^{30} - \)\(48\!\cdots\!50\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{32} + \)\(99\!\cdots\!42\)\( T^{33} - \)\(39\!\cdots\!60\)\( T^{34} - \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{35} + \)\(76\!\cdots\!07\)\( T^{36} + \)\(18\!\cdots\!51\)\( T^{37} - \)\(97\!\cdots\!40\)\( T^{38} - \)\(13\!\cdots\!26\)\( T^{39} + \)\(67\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$37$ (\( 1 - 3 T + 17 T^{2} - 225 T^{3} + 2116 T^{4} - 8325 T^{5} + 23273 T^{6} - 151959 T^{7} + 1874161 T^{8} \))(\( 1 + 5 T - 81 T^{2} - 679 T^{3} + 3744 T^{4} + 60925 T^{5} + 60905 T^{6} - 3234461 T^{7} - 14856815 T^{8} + 110399361 T^{9} + 1143959304 T^{10} - 675160546 T^{11} - 47596373540 T^{12} - 138591309660 T^{13} + 1351597549496 T^{14} + 10023063834413 T^{15} - 4790109168240 T^{16} - 343820155009758 T^{17} - 1189329408355585 T^{18} + 5609372386700900 T^{19} + 73074032491390783 T^{20} + 207546778307933300 T^{21} - 1628191960038795865 T^{22} - 17415522311709271974 T^{23} - 8977435788857846640 T^{24} + \)\(69\!\cdots\!41\)\( T^{25} + \)\(34\!\cdots\!64\)\( T^{26} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{27} - \)\(16\!\cdots\!40\)\( T^{28} - \)\(87\!\cdots\!42\)\( T^{29} + \)\(55\!\cdots\!96\)\( T^{30} + \)\(19\!\cdots\!93\)\( T^{31} - \)\(97\!\cdots\!15\)\( T^{32} - \)\(78\!\cdots\!17\)\( T^{33} + \)\(54\!\cdots\!45\)\( T^{34} + \)\(20\!\cdots\!25\)\( T^{35} + \)\(46\!\cdots\!04\)\( T^{36} - \)\(30\!\cdots\!43\)\( T^{37} - \)\(13\!\cdots\!49\)\( T^{38} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$41$ (\( 1 + 12 T + 53 T^{2} + 444 T^{3} + 4405 T^{4} + 18204 T^{5} + 89093 T^{6} + 827052 T^{7} + 2825761 T^{8} \))(\( 1 - 11 T - 74 T^{2} + 1250 T^{3} + 74 T^{4} - 40033 T^{5} - 23006 T^{6} + 264250 T^{7} + 14104671 T^{8} - 64818221 T^{9} - 407915891 T^{10} + 4491189267 T^{11} - 20807200322 T^{12} + 22786129000 T^{13} + 615571236857 T^{14} - 4246961124649 T^{15} + 23630290658722 T^{16} - 244694380689250 T^{17} + 940209666208138 T^{18} + 10616650231934837 T^{19} - 133412201560405859 T^{20} + 435282659509328317 T^{21} + 1580492448895879978 T^{22} - 16864581411483799250 T^{23} + 66773553762080937442 T^{24} - \)\(49\!\cdots\!49\)\( T^{25} + \)\(29\!\cdots\!37\)\( T^{26} + \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{27} - \)\(16\!\cdots\!62\)\( T^{28} + \)\(14\!\cdots\!87\)\( T^{29} - \)\(54\!\cdots\!91\)\( T^{30} - \)\(35\!\cdots\!61\)\( T^{31} + \)\(31\!\cdots\!51\)\( T^{32} + \)\(24\!\cdots\!50\)\( T^{33} - \)\(87\!\cdots\!66\)\( T^{34} - \)\(62\!\cdots\!33\)\( T^{35} + \)\(47\!\cdots\!34\)\( T^{36} + \)\(32\!\cdots\!50\)\( T^{37} - \)\(79\!\cdots\!54\)\( T^{38} - \)\(48\!\cdots\!71\)\( T^{39} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$43$ (\( ( 1 - T + 43 T^{2} )^{4} \))(\( ( 1 - 14 T + 271 T^{2} - 2568 T^{3} + 26841 T^{4} - 162823 T^{5} + 953702 T^{6} - 904287 T^{7} - 22940467 T^{8} + 388741980 T^{9} - 2790795889 T^{10} + 16715905140 T^{11} - 42416923483 T^{12} - 71897146509 T^{13} + 3260517351302 T^{14} - 23936355714589 T^{15} + 169671705598209 T^{16} - 698030193322776 T^{17} + 3167502275229871 T^{18} - 7036296567115802 T^{19} + 21611482313284249 T^{20} )^{2} \))
$47$ (\( 1 + 12 T + 97 T^{2} + 600 T^{3} + 2641 T^{4} + 28200 T^{5} + 214273 T^{6} + 1245876 T^{7} + 4879681 T^{8} \))(\( 1 + 24 T + 214 T^{2} + 1028 T^{3} + 12897 T^{4} + 148620 T^{5} + 168624 T^{6} - 6740131 T^{7} - 13459903 T^{8} + 17951408 T^{9} - 4846961466 T^{10} - 43154146793 T^{11} - 4688333873 T^{12} + 105775993364 T^{13} - 13620645345307 T^{14} - 46895778039065 T^{15} + 646122293050745 T^{16} + 2673706913658631 T^{17} - 13814120092137086 T^{18} + 122417875161538166 T^{19} + 2510353529002371099 T^{20} + 5753640132592293802 T^{21} - 30515391283530822974 T^{22} + \)\(27\!\cdots\!13\)\( T^{23} + \)\(31\!\cdots\!45\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!55\)\( T^{25} - \)\(14\!\cdots\!03\)\( T^{26} + \)\(53\!\cdots\!32\)\( T^{27} - \)\(11\!\cdots\!53\)\( T^{28} - \)\(48\!\cdots\!31\)\( T^{29} - \)\(25\!\cdots\!34\)\( T^{30} + \)\(44\!\cdots\!24\)\( T^{31} - \)\(15\!\cdots\!23\)\( T^{32} - \)\(36\!\cdots\!37\)\( T^{33} + \)\(43\!\cdots\!56\)\( T^{34} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( T^{35} + \)\(73\!\cdots\!37\)\( T^{36} + \)\(27\!\cdots\!36\)\( T^{37} + \)\(26\!\cdots\!46\)\( T^{38} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( T^{39} + \)\(27\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$53$ (\( 1 - 14 T + 43 T^{2} - 160 T^{3} + 2961 T^{4} - 8480 T^{5} + 120787 T^{6} - 2084278 T^{7} + 7890481 T^{8} \))(\( 1 + 26 T + 189 T^{2} - 687 T^{3} - 12003 T^{4} + 33403 T^{5} + 552417 T^{6} - 5988920 T^{7} - 70924623 T^{8} + 151543065 T^{9} + 3746438244 T^{10} - 1341982202 T^{11} - 133505239607 T^{12} + 94806090571 T^{13} + 3402269873522 T^{14} - 28374866549812 T^{15} - 304279860832395 T^{16} - 79730970585402 T^{17} + 9927808060918525 T^{18} + 92743126415480970 T^{19} + 733823132261482620 T^{20} + 4915385700020491410 T^{21} + 27887212843120136725 T^{22} - 11870107707842893554 T^{23} - \)\(24\!\cdots\!95\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!16\)\( T^{25} + \)\(75\!\cdots\!38\)\( T^{26} + \)\(11\!\cdots\!27\)\( T^{27} - \)\(83\!\cdots\!27\)\( T^{28} - \)\(44\!\cdots\!66\)\( T^{29} + \)\(65\!\cdots\!56\)\( T^{30} + \)\(14\!\cdots\!05\)\( T^{31} - \)\(34\!\cdots\!43\)\( T^{32} - \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{33} + \)\(76\!\cdots\!73\)\( T^{34} + \)\(24\!\cdots\!71\)\( T^{35} - \)\(46\!\cdots\!63\)\( T^{36} - \)\(14\!\cdots\!31\)\( T^{37} + \)\(20\!\cdots\!21\)\( T^{38} + \)\(15\!\cdots\!42\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$59$ (\( 1 + 20 T + 131 T^{2} + 530 T^{3} + 3851 T^{4} + 31270 T^{5} + 456011 T^{6} + 4107580 T^{7} + 12117361 T^{8} \))(\( 1 - 64 T + 1835 T^{2} - 30211 T^{3} + 294923 T^{4} - 1319681 T^{5} - 6472851 T^{6} + 158363147 T^{7} - 1301770421 T^{8} + 5307853640 T^{9} + 6106474336 T^{10} - 292966186104 T^{11} + 2789886458001 T^{12} - 14757440708664 T^{13} - 27120694739231 T^{14} + 1672303716112849 T^{15} - 19763683840572248 T^{16} + 114997595957857866 T^{17} + 62338242339194563 T^{18} - 8477577091481604596 T^{19} + 91524505213402944705 T^{20} - \)\(50\!\cdots\!64\)\( T^{21} + \)\(21\!\cdots\!03\)\( T^{22} + \)\(23\!\cdots\!14\)\( T^{23} - \)\(23\!\cdots\!28\)\( T^{24} + \)\(11\!\cdots\!51\)\( T^{25} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{26} - \)\(36\!\cdots\!16\)\( T^{27} + \)\(40\!\cdots\!21\)\( T^{28} - \)\(25\!\cdots\!56\)\( T^{29} + \)\(31\!\cdots\!36\)\( T^{30} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( T^{31} - \)\(23\!\cdots\!01\)\( T^{32} + \)\(16\!\cdots\!13\)\( T^{33} - \)\(40\!\cdots\!11\)\( T^{34} - \)\(48\!\cdots\!19\)\( T^{35} + \)\(63\!\cdots\!43\)\( T^{36} - \)\(38\!\cdots\!09\)\( T^{37} + \)\(13\!\cdots\!35\)\( T^{38} - \)\(28\!\cdots\!96\)\( T^{39} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$61$ (\( 1 - 8 T + 123 T^{2} - 766 T^{3} + 10325 T^{4} - 46726 T^{5} + 457683 T^{6} - 1815848 T^{7} + 13845841 T^{8} \))(\( 1 - 8 T - 250 T^{2} + 2547 T^{3} + 23448 T^{4} - 409872 T^{5} + 30251 T^{6} + 40503616 T^{7} - 251606971 T^{8} - 2220692740 T^{9} + 32366729049 T^{10} - 15508614507 T^{11} - 2274901784809 T^{12} + 15563607606792 T^{13} + 79216530591596 T^{14} - 1576254516302698 T^{15} + 2970947510282232 T^{16} + 87783662074531477 T^{17} - 687319481699616148 T^{18} - 2134990650502795753 T^{19} + 55437519869949000215 T^{20} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( T^{21} - \)\(25\!\cdots\!08\)\( T^{22} + \)\(19\!\cdots\!37\)\( T^{23} + \)\(41\!\cdots\!12\)\( T^{24} - \)\(13\!\cdots\!98\)\( T^{25} + \)\(40\!\cdots\!56\)\( T^{26} + \)\(48\!\cdots\!32\)\( T^{27} - \)\(43\!\cdots\!29\)\( T^{28} - \)\(18\!\cdots\!87\)\( T^{29} + \)\(23\!\cdots\!49\)\( T^{30} - \)\(96\!\cdots\!40\)\( T^{31} - \)\(66\!\cdots\!91\)\( T^{32} + \)\(65\!\cdots\!96\)\( T^{33} + \)\(29\!\cdots\!91\)\( T^{34} - \)\(24\!\cdots\!72\)\( T^{35} + \)\(86\!\cdots\!28\)\( T^{36} + \)\(57\!\cdots\!87\)\( T^{37} - \)\(34\!\cdots\!50\)\( T^{38} - \)\(66\!\cdots\!28\)\( T^{39} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$67$ (\( 1 - 13 T + 12 T^{2} + 895 T^{3} - 9919 T^{4} + 59965 T^{5} + 53868 T^{6} - 3909919 T^{7} + 20151121 T^{8} \))(\( 1 + 3 T - 311 T^{2} - 1039 T^{3} + 45007 T^{4} + 100608 T^{5} - 4203051 T^{6} + 2712957 T^{7} + 286251229 T^{8} - 1634937209 T^{9} - 12746581716 T^{10} + 220418749894 T^{11} + 98093010794 T^{12} - 19071644840712 T^{13} + 44213444347269 T^{14} + 1156522239768568 T^{15} - 5805695400666044 T^{16} - 49425850295776060 T^{17} + 521799371255402099 T^{18} + 1103857348682193140 T^{19} - 37995128081047056923 T^{20} + 73958442361706940380 T^{21} + \)\(23\!\cdots\!11\)\( T^{22} - \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{23} - \)\(11\!\cdots\!24\)\( T^{24} + \)\(15\!\cdots\!76\)\( T^{25} + \)\(39\!\cdots\!61\)\( T^{26} - \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{27} + \)\(39\!\cdots\!54\)\( T^{28} + \)\(59\!\cdots\!18\)\( T^{29} - \)\(23\!\cdots\!84\)\( T^{30} - \)\(19\!\cdots\!47\)\( T^{31} + \)\(23\!\cdots\!69\)\( T^{32} + \)\(14\!\cdots\!59\)\( T^{33} - \)\(15\!\cdots\!79\)\( T^{34} + \)\(24\!\cdots\!44\)\( T^{35} + \)\(74\!\cdots\!67\)\( T^{36} - \)\(11\!\cdots\!53\)\( T^{37} - \)\(23\!\cdots\!99\)\( T^{38} + \)\(14\!\cdots\!09\)\( T^{39} + \)\(33\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$71$ (\( 1 - 13 T - 2 T^{2} + 349 T^{3} + 405 T^{4} + 24779 T^{5} - 10082 T^{6} - 4652843 T^{7} + 25411681 T^{8} \))(\( 1 - 19 T + 23 T^{2} + 4108 T^{3} - 53279 T^{4} + 41926 T^{5} + 6067035 T^{6} - 66073585 T^{7} + 97395390 T^{8} + 4538324065 T^{9} - 50695622941 T^{10} + 177600768129 T^{11} + 1606952963487 T^{12} - 30747394363113 T^{13} + 239696534777059 T^{14} - 283347904916686 T^{15} - 18611857528547495 T^{16} + 235177810223507470 T^{17} - 873303489026431455 T^{18} - 10620340083202397445 T^{19} + \)\(16\!\cdots\!75\)\( T^{20} - \)\(75\!\cdots\!95\)\( T^{21} - \)\(44\!\cdots\!55\)\( T^{22} + \)\(84\!\cdots\!70\)\( T^{23} - \)\(47\!\cdots\!95\)\( T^{24} - \)\(51\!\cdots\!86\)\( T^{25} + \)\(30\!\cdots\!39\)\( T^{26} - \)\(27\!\cdots\!83\)\( T^{27} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{28} + \)\(81\!\cdots\!99\)\( T^{29} - \)\(16\!\cdots\!41\)\( T^{30} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{31} + \)\(15\!\cdots\!90\)\( T^{32} - \)\(76\!\cdots\!35\)\( T^{33} + \)\(50\!\cdots\!35\)\( T^{34} + \)\(24\!\cdots\!26\)\( T^{35} - \)\(22\!\cdots\!59\)\( T^{36} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( T^{37} + \)\(48\!\cdots\!03\)\( T^{38} - \)\(28\!\cdots\!89\)\( T^{39} + \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$73$ (\( 1 + 21 T + 93 T^{2} - 1405 T^{3} - 22044 T^{4} - 102565 T^{5} + 495597 T^{6} + 8169357 T^{7} + 28398241 T^{8} \))(\( 1 - 31 T + 534 T^{2} - 7966 T^{3} + 111434 T^{4} - 1603743 T^{5} + 22351367 T^{6} - 281646142 T^{7} + 3353687638 T^{8} - 38445124926 T^{9} + 434550976103 T^{10} - 4822841787689 T^{11} + 51216166388444 T^{12} - 524844739003705 T^{13} + 5218228291241591 T^{14} - 50848328799375207 T^{15} + 487847407358487847 T^{16} - 4547910484654680503 T^{17} + 41187613457894448137 T^{18} - \)\(36\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(31\!\cdots\!33\)\( T^{20} - \)\(26\!\cdots\!20\)\( T^{21} + \)\(21\!\cdots\!73\)\( T^{22} - \)\(17\!\cdots\!51\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!27\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!51\)\( T^{25} + \)\(78\!\cdots\!99\)\( T^{26} - \)\(57\!\cdots\!85\)\( T^{27} + \)\(41\!\cdots\!64\)\( T^{28} - \)\(28\!\cdots\!57\)\( T^{29} + \)\(18\!\cdots\!47\)\( T^{30} - \)\(12\!\cdots\!02\)\( T^{31} + \)\(76\!\cdots\!98\)\( T^{32} - \)\(47\!\cdots\!86\)\( T^{33} + \)\(27\!\cdots\!03\)\( T^{34} - \)\(14\!\cdots\!51\)\( T^{35} + \)\(72\!\cdots\!74\)\( T^{36} - \)\(37\!\cdots\!98\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( T^{38} - \)\(78\!\cdots\!47\)\( T^{39} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$79$ (\( 1 + 25 T + 231 T^{2} + 1505 T^{3} + 12896 T^{4} + 118895 T^{5} + 1441671 T^{6} + 12325975 T^{7} + 38950081 T^{8} \))(\( 1 - 43 T + 1010 T^{2} - 15819 T^{3} + 185753 T^{4} - 1522733 T^{5} + 5028910 T^{6} + 100355235 T^{7} - 2341403015 T^{8} + 30188080151 T^{9} - 275046275717 T^{10} + 1696906291579 T^{11} - 1741732498173 T^{12} - 115433993429912 T^{13} + 1897867614882981 T^{14} - 18867870447247377 T^{15} + 133342713160758839 T^{16} - 441348550385955580 T^{17} - 3733471051129577399 T^{18} + 87409733638924456455 T^{19} - \)\(93\!\cdots\!19\)\( T^{20} + \)\(69\!\cdots\!45\)\( T^{21} - \)\(23\!\cdots\!59\)\( T^{22} - \)\(21\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(51\!\cdots\!59\)\( T^{24} - \)\(58\!\cdots\!23\)\( T^{25} + \)\(46\!\cdots\!01\)\( T^{26} - \)\(22\!\cdots\!08\)\( T^{27} - \)\(26\!\cdots\!53\)\( T^{28} + \)\(20\!\cdots\!01\)\( T^{29} - \)\(26\!\cdots\!17\)\( T^{30} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( T^{31} - \)\(13\!\cdots\!15\)\( T^{32} + \)\(46\!\cdots\!65\)\( T^{33} + \)\(18\!\cdots\!10\)\( T^{34} - \)\(44\!\cdots\!67\)\( T^{35} + \)\(42\!\cdots\!13\)\( T^{36} - \)\(28\!\cdots\!21\)\( T^{37} + \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{38} - \)\(48\!\cdots\!17\)\( T^{39} + \)\(89\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$83$ (\( 1 + 16 T + 173 T^{2} + 2200 T^{3} + 26921 T^{4} + 182600 T^{5} + 1191797 T^{6} + 9148592 T^{7} + 47458321 T^{8} \))(\( 1 - 32 T + 406 T^{2} - 3496 T^{3} + 33502 T^{4} - 271710 T^{5} + 2069101 T^{6} - 15131563 T^{7} - 71284893 T^{8} + 1838127961 T^{9} - 6132967089 T^{10} + 19871695526 T^{11} - 29200068963 T^{12} - 5255246673042 T^{13} + 40994603541527 T^{14} - 656705281023150 T^{15} + 4381223353664725 T^{16} + 91171220352701247 T^{17} - 1466354427687287544 T^{18} + 14288651913681658093 T^{19} - \)\(14\!\cdots\!41\)\( T^{20} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( T^{21} - \)\(10\!\cdots\!16\)\( T^{22} + \)\(52\!\cdots\!89\)\( T^{23} + \)\(20\!\cdots\!25\)\( T^{24} - \)\(25\!\cdots\!50\)\( T^{25} + \)\(13\!\cdots\!63\)\( T^{26} - \)\(14\!\cdots\!34\)\( T^{27} - \)\(65\!\cdots\!83\)\( T^{28} + \)\(37\!\cdots\!78\)\( T^{29} - \)\(95\!\cdots\!61\)\( T^{30} + \)\(23\!\cdots\!87\)\( T^{31} - \)\(76\!\cdots\!73\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!69\)\( T^{33} + \)\(15\!\cdots\!29\)\( T^{34} - \)\(16\!\cdots\!70\)\( T^{35} + \)\(16\!\cdots\!62\)\( T^{36} - \)\(14\!\cdots\!08\)\( T^{37} + \)\(14\!\cdots\!54\)\( T^{38} - \)\(92\!\cdots\!04\)\( T^{39} + \)\(24\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$89$ (\( 1 + 10 T - 29 T^{2} + 200 T^{3} + 10101 T^{4} + 17800 T^{5} - 229709 T^{6} + 7049690 T^{7} + 62742241 T^{8} \))(\( 1 + 47 T + 1272 T^{2} + 26378 T^{3} + 462421 T^{4} + 7095712 T^{5} + 97695631 T^{6} + 1229767604 T^{7} + 14280412620 T^{8} + 153298352320 T^{9} + 1534900173114 T^{10} + 14514559954090 T^{11} + 131455544472509 T^{12} + 1167821070144865 T^{13} + 10554337797718648 T^{14} + 99660514974136256 T^{15} + 988915111864240255 T^{16} + 10175025404199544427 T^{17} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{20} + \)\(94\!\cdots\!19\)\( T^{21} + \)\(83\!\cdots\!52\)\( T^{22} + \)\(71\!\cdots\!63\)\( T^{23} + \)\(62\!\cdots\!55\)\( T^{24} + \)\(55\!\cdots\!44\)\( T^{25} + \)\(52\!\cdots\!28\)\( T^{26} + \)\(51\!\cdots\!85\)\( T^{27} + \)\(51\!\cdots\!29\)\( T^{28} + \)\(50\!\cdots\!10\)\( T^{29} + \)\(47\!\cdots\!14\)\( T^{30} + \)\(42\!\cdots\!80\)\( T^{31} + \)\(35\!\cdots\!20\)\( T^{32} + \)\(27\!\cdots\!76\)\( T^{33} + \)\(19\!\cdots\!71\)\( T^{34} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{35} + \)\(71\!\cdots\!81\)\( T^{36} + \)\(36\!\cdots\!62\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{38} + \)\(51\!\cdots\!23\)\( T^{39} + \)\(97\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$97$ (\( 1 - 3 T + 12 T^{2} - 865 T^{3} + 11511 T^{4} - 83905 T^{5} + 112908 T^{6} - 2738019 T^{7} + 88529281 T^{8} \))(\( 1 + 45 T + 424 T^{2} - 9536 T^{3} - 203356 T^{4} + 44605 T^{5} + 35372400 T^{6} + 374377366 T^{7} - 1208346180 T^{8} - 73904977716 T^{9} - 534049014451 T^{10} + 5845040218546 T^{11} + 113608841594705 T^{12} + 304677990329790 T^{13} - 9760410996893029 T^{14} - 128654933544812038 T^{15} + 42375802710219630 T^{16} + 15203142043841323748 T^{17} + \)\(10\!\cdots\!85\)\( T^{18} - \)\(65\!\cdots\!30\)\( T^{19} - \)\(14\!\cdots\!02\)\( T^{20} - \)\(63\!\cdots\!10\)\( T^{21} + \)\(99\!\cdots\!65\)\( T^{22} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( T^{23} + \)\(37\!\cdots\!30\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!66\)\( T^{25} - \)\(81\!\cdots\!41\)\( T^{26} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( T^{27} + \)\(89\!\cdots\!05\)\( T^{28} + \)\(44\!\cdots\!82\)\( T^{29} - \)\(39\!\cdots\!99\)\( T^{30} - \)\(52\!\cdots\!48\)\( T^{31} - \)\(83\!\cdots\!80\)\( T^{32} + \)\(25\!\cdots\!82\)\( T^{33} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{34} + \)\(28\!\cdots\!65\)\( T^{35} - \)\(12\!\cdots\!76\)\( T^{36} - \)\(56\!\cdots\!32\)\( T^{37} + \)\(24\!\cdots\!36\)\( T^{38} + \)\(25\!\cdots\!85\)\( T^{39} + \)\(54\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
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