Properties

Label 5.34.a
Level 5
Weight 34
Character orbit a
Rep. character \(\chi_{5}(1,\cdot)\)
Character field \(\Q\)
Dimension 11
Newform subspaces 2
Sturm bound 17
Trace bound 1

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Defining parameters

Level: \( N \) \(=\) \( 5 \)
Weight: \( k \) \(=\) \( 34 \)
Character orbit: \([\chi]\) \(=\) 5.a (trivial)
Character field: \(\Q\)
Newform subspaces: \( 2 \)
Sturm bound: \(17\)
Trace bound: \(1\)
Distinguishing \(T_p\): \(2\)

Dimensions

The following table gives the dimensions of various subspaces of \(M_{34}(\Gamma_0(5))\).

Total New Old
Modular forms 17 11 6
Cusp forms 15 11 4
Eisenstein series 2 0 2

The following table gives the dimensions of the cuspidal new subspaces with specified eigenvalues for the Atkin-Lehner operators and the Fricke involution.

\(5\)Dim.
\(+\)\(5\)
\(-\)\(6\)

Trace form

\( 11q + 177822q^{2} + 11525186q^{3} + 30661957012q^{4} + 152587890625q^{5} + 19540822365112q^{6} - 46338728939658q^{7} + 3225430753821000q^{8} + 28143353573754403q^{9} + O(q^{10}) \) \( 11q + 177822q^{2} + 11525186q^{3} + 30661957012q^{4} + 152587890625q^{5} + 19540822365112q^{6} - 46338728939658q^{7} + 3225430753821000q^{8} + 28143353573754403q^{9} + 17834167480468750q^{10} - 137040905322086448q^{11} + 60971626392900112q^{12} + 994105514137102766q^{13} + 4590339907282590864q^{14} + 6332796325683593750q^{15} - 24668569537387288304q^{16} - 174344791525389819618q^{17} + 1211227884109649084006q^{18} + 2629949074795140559700q^{19} + 4330342756958007812500q^{20} - 21095513432538959561268q^{21} - 11286990651079412083096q^{22} + 62333637911030794355346q^{23} + 139941815401965803680800q^{24} + 256113708019256591796875q^{25} - 786731607430157962930428q^{26} + 338636629821008839676300q^{27} - 3115868286788324128981536q^{28} + 378346181417138086849650q^{29} - 962723368287353515625000q^{30} + 9489274917388754532551412q^{31} + 26005215441519452400962592q^{32} + 1642692718077028889156752q^{33} - 59758248825859006634077156q^{34} + 12903807775063781738281250q^{35} - 11659788249203695577395324q^{36} + 133921119169281602784846862q^{37} + 505006684026590239645411800q^{38} - 205827565276884828247277164q^{39} + 444673077049346923828125000q^{40} - 877611451105002939933434358q^{41} - 1167391858000793668973715936q^{42} - 92495886232735084451898694q^{43} + 5315865955569651150896348784q^{44} - 143302674417652435302734375q^{45} + 619109570141906666657909232q^{46} - 3894170809960417686673993698q^{47} + 17220199818666666799165381696q^{48} - 3030192770064635081806288073q^{49} + 4140241071581840515136718750q^{50} - 47573643586148402567779819628q^{51} - 41590127827476399212699255528q^{52} + 156563227269110886940338961686q^{53} - 118512469582114319958478211600q^{54} + 66919357060831730957031250000q^{55} - 247692830146152201826120593600q^{56} - 33607110592102782383869594600q^{57} - 231402277243182521036482067900q^{58} + 78861056269392051112575106500q^{59} + 133015676440418439941406250000q^{60} + 460572004107086189243411159102q^{61} + 536014589511457033791035265024q^{62} - 1563787994007206511931699103034q^{63} + 898600982945289990860257620032q^{64} - 579879270575365015563964843750q^{65} + 1733691229124148114347126597984q^{66} - 400301447551034298034555574418q^{67} + 5041910916091392617758749111144q^{68} - 2451289934963191952816775433884q^{69} - 2862939441720943264160156250000q^{70} + 2949132692311410957838822815132q^{71} - 7231385689119979182171909639000q^{72} - 15386476146017658598833492512554q^{73} + 16856105507994721092423523720404q^{74} + 268341647461056709289550781250q^{75} + 36596379905322155312335890643600q^{76} + 46058584922060308397847985058544q^{77} - 45152184871995014141159045031728q^{78} - 32310702355995093203016673933800q^{79} + 23451478507858982229003906250000q^{80} - 54580160052874719655322926405169q^{81} - 128752451332055475378604069526516q^{82} + 45475167144980311320038954371626q^{83} - 61546281392264432143537965085056q^{84} + 67612682666414411654357910156250q^{85} - 63337765913717881559650507641048q^{86} - 38030330953052174525222225679700q^{87} + 691679161832993789415604141212000q^{88} - 397344858730033166579522546806050q^{89} + 20685804123017397200622558593750q^{90} - 74303315401394981275600343251908q^{91} - 1116484363668251966439651529251168q^{92} - 483217130549593702040631640697688q^{93} + 1122704041630260318638566226897984q^{94} + 121035713257573343612670898437500q^{95} + 2807210387000286026593313187477632q^{96} + 1701361424317563414831140787172102q^{97} - 1984116428580865663437978238924146q^{98} - 129783286881254841865246015315504q^{99} + O(q^{100}) \)

Decomposition of \(S_{34}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(5))\) into newform subspaces

Label Dim. \(A\) Field CM Traces A-L signs $q$-expansion
\(a_2\) \(a_3\) \(a_5\) \(a_7\) 5
5.34.a.a \(5\) \(34.491\) \(\mathbb{Q}[x]/(x^{5} - \cdots)\) None \(30472\) \(-14988714\) \(-762939453125\) \(-6\!\cdots\!58\) \(+\) \(q+(6094-\beta _{1})q^{2}+(-2997861-296\beta _{1}+\cdots)q^{3}+\cdots\)
5.34.a.b \(6\) \(34.491\) \(\mathbb{Q}[x]/(x^{6} - \cdots)\) None \(147350\) \(26513900\) \(915527343750\) \(19\!\cdots\!00\) \(-\) \(q+(24558+\beta _{1})q^{2}+(4418958+77\beta _{1}+\cdots)q^{3}+\cdots\)

Decomposition of \(S_{34}^{\mathrm{old}}(\Gamma_0(5))\) into lower level spaces

\( S_{34}^{\mathrm{old}}(\Gamma_0(5)) \cong \) \(S_{34}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(1))\)\(^{\oplus 2}\)

Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ (\( 1 - 30472 T + 21368452192 T^{2} - 606327340339200 T^{3} + \)\(25\!\cdots\!28\)\( T^{4} - \)\(63\!\cdots\!16\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!76\)\( T^{6} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{8} - \)\(16\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(46\!\cdots\!32\)\( T^{10} \))(\( 1 - 147350 T + 21865492200 T^{2} - 2756822521763200 T^{3} + \)\(33\!\cdots\!92\)\( T^{4} - \)\(35\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(24\!\cdots\!88\)\( T^{8} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(68\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(40\!\cdots\!44\)\( T^{12} \))
$3$ (\( 1 + 14988714 T + 6739356694871223 T^{2} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(19\!\cdots\!58\)\( T^{4} - \)\(17\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( T^{6} - \)\(47\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( T^{8} + \)\(14\!\cdots\!74\)\( T^{9} + \)\(53\!\cdots\!43\)\( T^{10} \))(\( 1 - 26513900 T + 10227623854598850 T^{2} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!87\)\( T^{4} - \)\(87\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(57\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(48\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(30\!\cdots\!23\)\( T^{8} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(97\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!89\)\( T^{12} \))
$5$ (\( ( 1 + 152587890625 T )^{5} \))(\( ( 1 - 152587890625 T )^{6} \))
$7$ (\( 1 + 65452561787158 T + \)\(19\!\cdots\!07\)\( T^{2} + \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(26\!\cdots\!98\)\( T^{4} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!86\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(89\!\cdots\!01\)\( T^{8} + \)\(23\!\cdots\!58\)\( T^{9} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( T^{10} \))(\( 1 - 19113832847500 T + \)\(26\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(98\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(37\!\cdots\!47\)\( T^{4} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(35\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(22\!\cdots\!03\)\( T^{8} - \)\(45\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(96\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(52\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(21\!\cdots\!49\)\( T^{12} \))
$11$ (\( 1 + 287801801877976640 T + \)\(11\!\cdots\!95\)\( T^{2} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(53\!\cdots\!10\)\( T^{4} + \)\(78\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!10\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( T^{8} + \)\(83\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(67\!\cdots\!51\)\( T^{10} \))(\( 1 - 150760896555890192 T + \)\(75\!\cdots\!46\)\( T^{2} - \)\(48\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(21\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(95\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!84\)\( T^{6} - \)\(22\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(61\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!81\)\( T^{12} \))
$13$ (\( 1 - 2397201150889907466 T + \)\(19\!\cdots\!53\)\( T^{2} - \)\(43\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(18\!\cdots\!18\)\( T^{4} - \)\(35\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!54\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(37\!\cdots\!81\)\( T^{8} - \)\(26\!\cdots\!46\)\( T^{9} + \)\(63\!\cdots\!93\)\( T^{10} \))(\( 1 + 1403095636752804700 T + \)\(22\!\cdots\!50\)\( T^{2} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( T^{4} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(83\!\cdots\!43\)\( T^{8} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!50\)\( T^{10} + \)\(88\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(36\!\cdots\!29\)\( T^{12} \))
$17$ (\( 1 + \)\(30\!\cdots\!18\)\( T + \)\(15\!\cdots\!37\)\( T^{2} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{4} + \)\(17\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(42\!\cdots\!06\)\( T^{6} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(98\!\cdots\!61\)\( T^{8} + \)\(81\!\cdots\!98\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!57\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(13\!\cdots\!00\)\( T + \)\(73\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(24\!\cdots\!07\)\( T^{4} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(47\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(39\!\cdots\!83\)\( T^{8} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(42\!\cdots\!09\)\( T^{12} \))
$19$ (\( 1 - \)\(91\!\cdots\!00\)\( T + \)\(53\!\cdots\!95\)\( T^{2} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{4} - \)\(82\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!90\)\( T^{6} - \)\(93\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!05\)\( T^{8} - \)\(57\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(98\!\cdots\!99\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T + \)\(41\!\cdots\!54\)\( T^{2} - \)\(58\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(11\!\cdots\!15\)\( T^{4} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!80\)\( T^{6} - \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(29\!\cdots\!15\)\( T^{8} - \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(26\!\cdots\!94\)\( T^{10} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( T^{12} \))
$23$ (\( 1 - \)\(55\!\cdots\!46\)\( T + \)\(16\!\cdots\!83\)\( T^{2} - \)\(54\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(24\!\cdots\!78\)\( T^{4} - \)\(84\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!74\)\( T^{6} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!66\)\( T^{9} + \)\(48\!\cdots\!43\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(68\!\cdots\!00\)\( T + \)\(22\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(20\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(36\!\cdots\!67\)\( T^{4} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(36\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!63\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(33\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(41\!\cdots\!69\)\( T^{12} \))
$29$ (\( 1 + \)\(92\!\cdots\!50\)\( T + \)\(83\!\cdots\!45\)\( T^{2} + \)\(59\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(28\!\cdots\!10\)\( T^{4} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(52\!\cdots\!90\)\( T^{6} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!05\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!50\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!49\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(13\!\cdots\!00\)\( T + \)\(37\!\cdots\!34\)\( T^{2} - \)\(61\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(96\!\cdots\!15\)\( T^{4} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!80\)\( T^{6} - \)\(32\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!15\)\( T^{8} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(40\!\cdots\!94\)\( T^{10} - \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!61\)\( T^{12} \))
$31$ (\( 1 + \)\(13\!\cdots\!40\)\( T + \)\(43\!\cdots\!95\)\( T^{2} - \)\(16\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(70\!\cdots\!10\)\( T^{4} - \)\(12\!\cdots\!52\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!10\)\( T^{6} - \)\(44\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!45\)\( T^{8} + \)\(96\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!51\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(10\!\cdots\!52\)\( T + \)\(13\!\cdots\!06\)\( T^{2} - \)\(90\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(61\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(29\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( T^{6} - \)\(48\!\cdots\!72\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(39\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(95\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!52\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!41\)\( T^{12} \))
$37$ (\( 1 + \)\(14\!\cdots\!38\)\( T + \)\(33\!\cdots\!97\)\( T^{2} + \)\(32\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(40\!\cdots\!18\)\( T^{4} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(23\!\cdots\!46\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(60\!\cdots\!81\)\( T^{8} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( T^{9} + \)\(56\!\cdots\!57\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(27\!\cdots\!00\)\( T + \)\(39\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(31\!\cdots\!27\)\( T^{4} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!43\)\( T^{8} - \)\(68\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(40\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(31\!\cdots\!29\)\( T^{12} \))
$41$ (\( 1 + \)\(13\!\cdots\!90\)\( T + \)\(13\!\cdots\!45\)\( T^{2} + \)\(98\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(56\!\cdots\!10\)\( T^{4} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(94\!\cdots\!10\)\( T^{6} + \)\(27\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(64\!\cdots\!45\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!01\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(44\!\cdots\!32\)\( T + \)\(40\!\cdots\!86\)\( T^{2} - \)\(20\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(95\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(34\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{6} - \)\(57\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(94\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(31\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(57\!\cdots\!32\)\( T^{11} + \)\(21\!\cdots\!21\)\( T^{12} \))
$43$ (\( 1 + \)\(23\!\cdots\!94\)\( T + \)\(38\!\cdots\!43\)\( T^{2} + \)\(49\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(56\!\cdots\!98\)\( T^{4} + \)\(55\!\cdots\!12\)\( T^{5} + \)\(45\!\cdots\!14\)\( T^{6} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!01\)\( T^{8} + \)\(97\!\cdots\!94\)\( T^{9} + \)\(33\!\cdots\!43\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(22\!\cdots\!00\)\( T + \)\(61\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(89\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(13\!\cdots\!47\)\( T^{4} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(87\!\cdots\!03\)\( T^{8} - \)\(46\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(74\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(26\!\cdots\!49\)\( T^{12} \))
$47$ (\( 1 + \)\(77\!\cdots\!98\)\( T + \)\(80\!\cdots\!27\)\( T^{2} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(25\!\cdots\!58\)\( T^{4} + \)\(94\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(37\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(97\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!41\)\( T^{8} + \)\(40\!\cdots\!18\)\( T^{9} + \)\(78\!\cdots\!07\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(38\!\cdots\!00\)\( T + \)\(24\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{3} - \)\(65\!\cdots\!13\)\( T^{4} + \)\(64\!\cdots\!00\)\( T^{5} - \)\(42\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(97\!\cdots\!00\)\( T^{7} - \)\(14\!\cdots\!77\)\( T^{8} - \)\(72\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!89\)\( T^{12} \))
$53$ (\( 1 - \)\(10\!\cdots\!86\)\( T + \)\(65\!\cdots\!73\)\( T^{2} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( T^{4} - \)\(33\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(86\!\cdots\!34\)\( T^{6} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(33\!\cdots\!41\)\( T^{8} - \)\(44\!\cdots\!26\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!93\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(47\!\cdots\!00\)\( T + \)\(23\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(65\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(25\!\cdots\!87\)\( T^{4} - \)\(83\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(66\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!23\)\( T^{8} - \)\(33\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(93\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(25\!\cdots\!89\)\( T^{12} \))
$59$ (\( 1 - \)\(25\!\cdots\!00\)\( T + \)\(12\!\cdots\!95\)\( T^{2} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(62\!\cdots\!10\)\( T^{4} - \)\(93\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!90\)\( T^{6} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(24\!\cdots\!05\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!99\)\( T^{10} \))(\( 1 + \)\(17\!\cdots\!00\)\( T + \)\(85\!\cdots\!74\)\( T^{2} + \)\(90\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(19\!\cdots\!15\)\( T^{4} + \)\(91\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!80\)\( T^{6} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(48\!\cdots\!94\)\( T^{10} + \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(42\!\cdots\!21\)\( T^{12} \))
$61$ (\( 1 - \)\(74\!\cdots\!10\)\( T + \)\(40\!\cdots\!45\)\( T^{2} - \)\(17\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(62\!\cdots\!10\)\( T^{4} - \)\(18\!\cdots\!52\)\( T^{5} + \)\(51\!\cdots\!10\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(22\!\cdots\!45\)\( T^{8} - \)\(34\!\cdots\!10\)\( T^{9} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{10} \))(\( 1 + \)\(28\!\cdots\!08\)\( T + \)\(42\!\cdots\!46\)\( T^{2} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(80\!\cdots\!95\)\( T^{4} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{5} + \)\(85\!\cdots\!84\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!48\)\( T^{7} + \)\(54\!\cdots\!95\)\( T^{8} + \)\(58\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!66\)\( T^{10} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( T^{11} + \)\(31\!\cdots\!81\)\( T^{12} \))
$67$ (\( 1 + \)\(37\!\cdots\!18\)\( T + \)\(13\!\cdots\!87\)\( T^{2} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(58\!\cdots\!38\)\( T^{4} + \)\(81\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!06\)\( T^{6} + \)\(97\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(83\!\cdots\!61\)\( T^{8} + \)\(41\!\cdots\!98\)\( T^{9} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(33\!\cdots\!00\)\( T + \)\(90\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(22\!\cdots\!07\)\( T^{4} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(73\!\cdots\!83\)\( T^{8} - \)\(89\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(99\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(67\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(36\!\cdots\!09\)\( T^{12} \))
$71$ (\( 1 + \)\(55\!\cdots\!40\)\( T + \)\(31\!\cdots\!95\)\( T^{2} - \)\(69\!\cdots\!20\)\( T^{3} - \)\(24\!\cdots\!90\)\( T^{4} - \)\(22\!\cdots\!52\)\( T^{5} - \)\(29\!\cdots\!90\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(59\!\cdots\!45\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(28\!\cdots\!51\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(84\!\cdots\!72\)\( T + \)\(79\!\cdots\!26\)\( T^{2} - \)\(44\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(24\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(99\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(39\!\cdots\!44\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(82\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(18\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(24\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!61\)\( T^{12} \))
$73$ (\( 1 + \)\(13\!\cdots\!54\)\( T + \)\(13\!\cdots\!33\)\( T^{2} + \)\(73\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(35\!\cdots\!78\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!12\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( T^{6} + \)\(69\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(39\!\cdots\!21\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!34\)\( T^{9} + \)\(28\!\cdots\!93\)\( T^{10} \))(\( 1 + \)\(17\!\cdots\!00\)\( T + \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{2} + \)\(51\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(73\!\cdots\!67\)\( T^{4} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(48\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(70\!\cdots\!63\)\( T^{8} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( T^{10} + \)\(48\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(86\!\cdots\!69\)\( T^{12} \))
$79$ (\( 1 + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T + \)\(74\!\cdots\!95\)\( T^{2} - \)\(86\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(12\!\cdots\!10\)\( T^{4} - \)\(82\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(51\!\cdots\!90\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(54\!\cdots\!05\)\( T^{8} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( T^{10} \))(\( 1 + \)\(22\!\cdots\!00\)\( T + \)\(23\!\cdots\!34\)\( T^{2} + \)\(43\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(23\!\cdots\!15\)\( T^{4} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{6} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(41\!\cdots\!15\)\( T^{8} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(72\!\cdots\!94\)\( T^{10} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(53\!\cdots\!61\)\( T^{12} \))
$83$ (\( 1 - \)\(92\!\cdots\!26\)\( T + \)\(11\!\cdots\!63\)\( T^{2} - \)\(75\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(51\!\cdots\!38\)\( T^{4} - \)\(23\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!94\)\( T^{6} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!61\)\( T^{8} - \)\(19\!\cdots\!86\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!43\)\( T^{10} \))(\( 1 + \)\(47\!\cdots\!00\)\( T + \)\(88\!\cdots\!50\)\( T^{2} + \)\(37\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(39\!\cdots\!07\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(30\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!83\)\( T^{8} + \)\(36\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(18\!\cdots\!50\)\( T^{10} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(94\!\cdots\!09\)\( T^{12} \))
$89$ (\( 1 + \)\(60\!\cdots\!50\)\( T + \)\(56\!\cdots\!45\)\( T^{2} + \)\(56\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(18\!\cdots\!10\)\( T^{4} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(39\!\cdots\!90\)\( T^{6} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(54\!\cdots\!05\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!49\)\( T^{10} \))(\( 1 + \)\(33\!\cdots\!00\)\( T + \)\(10\!\cdots\!14\)\( T^{2} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(40\!\cdots\!15\)\( T^{4} + \)\(68\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{6} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(18\!\cdots\!15\)\( T^{8} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(20\!\cdots\!94\)\( T^{10} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(95\!\cdots\!81\)\( T^{12} \))
$97$ (\( 1 + \)\(86\!\cdots\!98\)\( T + \)\(15\!\cdots\!77\)\( T^{2} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( T^{4} + \)\(62\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(39\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(76\!\cdots\!41\)\( T^{8} + \)\(15\!\cdots\!18\)\( T^{9} + \)\(65\!\cdots\!57\)\( T^{10} \))(\( 1 - \)\(25\!\cdots\!00\)\( T + \)\(42\!\cdots\!50\)\( T^{2} - \)\(52\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(50\!\cdots\!87\)\( T^{4} - \)\(39\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(67\!\cdots\!23\)\( T^{8} - \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(76\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(24\!\cdots\!89\)\( T^{12} \))
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