# Properties

 Label 5.26.a.a Level $5$ Weight $26$ Character orbit 5.a Self dual yes Analytic conductor $19.800$ Analytic rank $1$ Dimension $4$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$5$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$26$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 5.a (trivial)

## Newform invariants

 Self dual: yes Analytic conductor: $$19.7998389976$$ Analytic rank: $$1$$ Dimension: $$4$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{4} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{4} - x^{3} - 1769856x^{2} + 106836475x + 628040620025$$ x^4 - x^3 - 1769856*x^2 + 106836475*x + 628040620025 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: $$2^{14}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\beta_2,\beta_3$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 + 150) q^{2} + (\beta_{2} + 17 \beta_1 - 199650) q^{3} + (\beta_{3} - 4 \beta_{2} - 1018 \beta_1 + 23103472) q^{4} - 244140625 q^{5} + ( - 324 \beta_{3} - 1904 \beta_{2} + 301082 \beta_1 - 991293708) q^{6} + (600 \beta_{3} - 16251 \beta_{2} - 518011 \beta_1 - 12234526750) q^{7} + (3800 \beta_{3} - 134432 \beta_{2} - 1131120 \beta_1 + 56108371200) q^{8} + ( - 8208 \beta_{3} - 520068 \beta_{2} + \cdots + 521891451873) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 + 150) * q^2 + (b2 + 17*b1 - 199650) * q^3 + (b3 - 4*b2 - 1018*b1 + 23103472) * q^4 - 244140625 * q^5 + (-324*b3 - 1904*b2 + 301082*b1 - 991293708) * q^6 + (600*b3 - 16251*b2 - 518011*b1 - 12234526750) * q^7 + (3800*b3 - 134432*b2 - 1131120*b1 + 56108371200) * q^8 + (-8208*b3 - 520068*b2 + 41033244*b1 + 521891451873) * q^9 $$q + ( - \beta_1 + 150) q^{2} + (\beta_{2} + 17 \beta_1 - 199650) q^{3} + (\beta_{3} - 4 \beta_{2} - 1018 \beta_1 + 23103472) q^{4} - 244140625 q^{5} + ( - 324 \beta_{3} - 1904 \beta_{2} + 301082 \beta_1 - 991293708) q^{6} + (600 \beta_{3} - 16251 \beta_{2} - 518011 \beta_1 - 12234526750) q^{7} + (3800 \beta_{3} - 134432 \beta_{2} - 1131120 \beta_1 + 56108371200) q^{8} + ( - 8208 \beta_{3} - 520068 \beta_{2} + \cdots + 521891451873) q^{9}+ \cdots + (70\!\cdots\!04 \beta_{3} + \cdots - 48\!\cdots\!04) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 + 150) * q^2 + (b2 + 17*b1 - 199650) * q^3 + (b3 - 4*b2 - 1018*b1 + 23103472) * q^4 - 244140625 * q^5 + (-324*b3 - 1904*b2 + 301082*b1 - 991293708) * q^6 + (600*b3 - 16251*b2 - 518011*b1 - 12234526750) * q^7 + (3800*b3 - 134432*b2 - 1131120*b1 + 56108371200) * q^8 + (-8208*b3 - 520068*b2 + 41033244*b1 + 521891451873) * q^9 + (244140625*b1 - 36621093750) * q^10 + (70840*b3 + 5641790*b2 + 1075583630*b1 - 5910363447648) * q^11 + (-220050*b3 + 16196936*b2 + 3871144084*b1 - 10512970879200) * q^12 + (-1733200*b3 + 2644660*b2 + 9662050132*b1 + 27265978556450) * q^13 + (6439468*b3 - 52973872*b2 + 4165270326*b1 + 27495125259084) * q^14 + (-244140625*b2 - 4150390625*b1 + 48742675781250) * q^15 + (14752512*b3 - 130549248*b2 - 73920457216*b1 - 702839286662144) * q^16 + (-138479600*b3 - 77226148*b2 - 54854185156*b1 - 84360039716550) * q^17 + (105872400*b3 + 2324446656*b2 - 446384829633*b1 - 2246629263604650) * q^18 + (349547864*b3 + 3279542344*b2 - 744402140552*b1 - 1441489308939940) * q^19 + (-244140625*b3 + 976562500*b2 + 248535156250*b1 - 5640496093750000) * q^20 + (88013952*b3 - 11266100808*b2 + 1165686711864*b1 - 19194437162689668) * q^21 + (-2697527800*b3 - 16616763680*b2 + 6599659716848*b1 - 61792542973075200) * q^22 + (3530569000*b3 - 46550337721*b2 + 2899924048647*b1 - 21072479792895450) * q^23 + (1686074832*b3 + 77853329472*b2 + 7452277101024*b1 - 187540820817246720) * q^24 + 59604644775390625 * q^25 + (-13167353552*b3 + 273044364608*b2 - 708433925314*b1 - 543167156636487828) * q^26 + (19977256800*b3 - 5123450682*b2 - 71207458361370*b1 - 581134902542106300) * q^27 + (1971982450*b3 - 223824940744*b2 - 77749444818772*b1 + 178841828580927200) * q^28 + (-50563923584*b3 - 558355155064*b2 - 52760007306488*b1 - 382692926268611610) * q^29 + (79101562500*b3 + 464843750000*b2 - 73506347656250*b1 + 242015065429687500) * q^30 + (-101241106480*b3 - 2690112565130*b2 + 106665083990390*b1 - 851333908088122948) * q^31 + (9417638400*b3 + 2433045411840*b2 + 512600586701824*b1 + 2198612771107430400) * q^32 + (274996695600*b3 - 6147668325788*b2 + 96616593806084*b1 + 9644944197532459200) * q^33 + (-136634685808*b3 + 19077400964032*b2 + 1463559429656294*b1 + 3090184042490770044) * q^34 + (-146484375000*b3 + 3967529296875*b2 + 126467529296875*b1 + 2986945007324218750) * q^35 + (172720193697*b3 - 3555409337988*b2 - 412171054143546*b1 + 7438661338406774256) * q^36 + (-1278048442400*b3 - 23308224033352*b2 - 1231467332025096*b1 + 13712415287709586850) * q^37 + (280780021600*b3 - 57769159166848*b2 - 2538826937108380*b1 + 41957503063574509800) * q^38 + (2999046208608*b3 + 56981895567418*b2 - 8135190311886694*b1 + 6745004895626536956) * q^39 + (-927734375000*b3 + 32820312500000*b2 + 276152343750000*b1 - 13698332812500000000) * q^40 + (-588375511280*b3 - 34679845399180*b2 - 13465003833244460*b1 + 73691273249290975302) * q^41 + (2429779917600*b3 + 14711744804736*b2 + 18318654071309508*b1 - 68912326975914739800) * q^42 + (-6216191906000*b3 - 17831254012063*b2 + 6259370747226577*b1 - 316711878383410134250) * q^43 + (-8067267431168*b3 + 242787661225472*b2 + 57914314024129024*b1 - 184821399723686009856) * q^44 + (2003906250000*b3 + 126969726562500*b2 - 10017881835937500*b1 - 127414905242431640625) * q^45 + (16877533857700*b3 - 384697140931600*b2 - 16992757912072350*b1 - 167371690251892574748) * q^46 + (24094514737000*b3 - 108394513206259*b2 - 5651424362839891*b1 + 206620459239031225050) * q^47 + (-21349436198400*b3 - 900293118309376*b2 + 53409543083164672*b1 - 97278234763499059200) * q^48 + (-19437320006960*b3 + 507376362021140*b2 - 49237560696862220*b1 - 624416774364030891843) * q^49 + (-59604644775390625*b1 + 8940696716308593750) * q^50 + (-24318544817376*b3 + 694095219575554*b2 - 455902170966669982*b1 - 183012945450157780788) * q^51 + (-45421711886750*b3 + 1190343007015544*b2 + 378319203667916364*b1 - 956205068909629972000) * q^52 + (93254063422800*b3 + 2309293256614476*b2 - 191982692738919508*b1 + 1826081461359751973850) * q^53 + (103825014787944*b3 - 3036542186786976*b2 + 312083140439210508*b1 + 3946224796097486900760) * q^54 + (-17294921875000*b3 - 1377390136718750*b2 - 262593659667968750*b1 + 1442959826085937500000) * q^55 + (-66544528767696*b3 + 1635270559925184*b2 - 425905350433685472*b1 + 3507341605281644444160) * q^56 + (-266972026734000*b3 - 6315928633345844*b2 + 1538913824156937260*b1 + 3993548300397738803400) * q^57 + (145598702661600*b3 + 7880397644201088*b2 + 811926445594771930*b1 + 2928502562239205237700) * q^58 + (196440904818792*b3 - 11152036224412668*b2 + 756467302249972244*b1 - 554291050793205812820) * q^59 + (53723144531250*b3 - 3954330078125000*b2 - 945103536132812500*b1 + 2566643281054687500000) * q^60 + (-397197746230400*b3 + 9797975705069600*b2 - 3057311652643032800*b1 - 12729424490120458931998) * q^61 + (561870794034600*b3 + 19727942803044960*b2 + 1758773830783126548*b1 - 6175369262374927906200) * q^62 + (28668717876600*b3 + 423486810908253*b2 - 496267656973179363*b1 + 555903047293700767650) * q^63 + (-1739922678796288*b3 + 330972985802752*b2 + 840081080187101184*b1 - 5114380420795633369088) * q^64 + (423144531250000*b3 - 645668945312500*b2 - 2358898958007812500*b1 - 6656733046008300781250) * q^65 + (2218062447173232*b3 - 25508074859630528*b2 - 12940633887585470176*b1 - 4026703141564171977216) * q^66 + (1206328719080400*b3 - 630066655100733*b2 + 7300107198068137619*b1 - 19167739007379767715550) * q^67 + (-2886047505772550*b3 - 10285645407173608*b2 + 3088747756224077788*b1 - 79571017212133171562400) * q^68 + (1771951612284864*b3 - 20594859033197256*b2 + 8378501702778683448*b1 - 52958794056922747185804) * q^69 + (-1572135742187500*b3 + 12933074218750000*b2 - 1016911700683593750*b1 - 6712677065206054687500) * q^70 + (-3770437917835200*b3 + 21468252350558550*b2 + 9828273159387287350*b1 + 37574512556425340571252) * q^71 + (-1780399344565800*b3 - 96511125596664096*b2 + 5085638328025956240*b1 + 99843129609416099769600) * q^72 + (3805843116579600*b3 + 43139596017491484*b2 + 7456943577723723772*b1 - 26693455484694346733950) * q^73 + (6401004830774560*b3 + 217725589530584960*b2 - 3571552038511103330*b1 + 71733080384120953270764) * q^74 + (59604644775390625*b2 + 1013278961181640625*b1 - 11900067329406738281250) * q^75 + (8981410921563868*b3 - 45094982870434672*b2 - 27096978629281617624*b1 + 198372957567017430278720) * q^76 + (-9804953350847600*b3 + 73723166650891868*b2 + 253480126222656828*b1 - 53907519944402686584000) * q^77 + (-4697733819133800*b3 - 559521199554133856*b2 - 39912769894192945996*b1 + 461915450885940393201000) * q^78 + (-8576260790510304*b3 + 241830647331504516*b2 - 25334559648133548028*b1 - 37994543570635888791160) * q^79 + (-3601687500000000*b3 + 31872375000000000*b2 + 18046986625000000000*b1 + 171591622720250000000000) * q^80 + (-14949287364279024*b3 - 409523095762993404*b2 + 43730864111143768932*b1 - 394754683044672253008459) * q^81 + (23197380826263600*b3 + 95870377477642560*b2 - 82294089480722729702*b1 + 773583256761488693511300) * q^82 + (31449910085160000*b3 + 90120258438242493*b2 + 3586663613726829837*b1 + 29393423300542850154150) * q^83 + (-22012539901848324*b3 + 86378454949114896*b2 + 21821639274386873832*b1 - 403675775540289618780096) * q^84 + (33808496093750000*b3 + 18854040039062500*b2 + 13392135047851562500*b1 + 20595712821423339843750) * q^85 + (-10445137987447236*b3 + 919576814521382544*b2 + 384947947414572542498*b1 - 402202544903177166304188) * q^86 + (-12212712615830400*b3 + 22704245616121814*b2 - 188921382646763569610*b1 - 724119499619763748485900) * q^87 + (-54472646475174400*b3 + 1425729642944628736*b2 + 118197406194021749760*b1 - 1234174473047676536217600) * q^88 + (14171623694563488*b3 - 2011227556507468152*b2 - 105505744093652345784*b1 - 1715242918344937269340230) * q^89 + (-25847753906250000*b3 - 567491859375000000*b2 + 108980671297119140625*b1 + 548493472559729003906250) * q^90 + (-14532340643074096*b3 - 240878740104185966*b2 + 61514610068415760978*b1 - 1274457332543352900974588) * q^91 + (42856230361131350*b3 - 80663428854154328*b2 - 152739382165177730556*b1 + 1644256693419007800919200) * q^92 + (65897112070540800*b3 + 955081479805135632*b2 - 520916980096516728816*b1 - 3292974584176052279863800) * q^93 + (76371415818459404*b3 - 3139870190769392816*b2 - 470341539530411179522*b1 + 351556454499165097498524) * q^94 + (-85338833984375000*b3 - 800669517578125000*b2 + 181738803845703125000*b1 + 351926100815415039062500) * q^95 + (133228137088244736*b3 + 2328208807453331456*b2 + 36551055471295178752*b1 + 3251476051964837843976192) * q^96 + (-225711049459037200*b3 - 177371928261025964*b2 - 405078486960438328716*b1 + 2134587606410810350554050) * q^97 + (-136732577734443600*b3 + 1489674187629069120*b2 + 826866241490387009443*b1 + 2695140452430542764799550) * q^98 + (70705538585698104*b3 + 5532529058791732734*b2 - 153109521353581651122*b1 - 4805892131549435512036704) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$4 q + 600 q^{2} - 798600 q^{3} + 92413888 q^{4} - 976562500 q^{5} - 3965174832 q^{6} - 48938107000 q^{7} + 224433484800 q^{8} + 2087565807492 q^{9}+O(q^{10})$$ 4 * q + 600 * q^2 - 798600 * q^3 + 92413888 * q^4 - 976562500 * q^5 - 3965174832 * q^6 - 48938107000 * q^7 + 224433484800 * q^8 + 2087565807492 * q^9 $$4 q + 600 q^{2} - 798600 q^{3} + 92413888 q^{4} - 976562500 q^{5} - 3965174832 q^{6} - 48938107000 q^{7} + 224433484800 q^{8} + 2087565807492 q^{9} - 146484375000 q^{10} - 23641453790592 q^{11} - 42051883516800 q^{12} + 109063914225800 q^{13} + 109980501036336 q^{14} + 194970703125000 q^{15} - 28\!\cdots\!76 q^{16}+ \cdots - 19\!\cdots\!16 q^{99}+O(q^{100})$$ 4 * q + 600 * q^2 - 798600 * q^3 + 92413888 * q^4 - 976562500 * q^5 - 3965174832 * q^6 - 48938107000 * q^7 + 224433484800 * q^8 + 2087565807492 * q^9 - 146484375000 * q^10 - 23641453790592 * q^11 - 42051883516800 * q^12 + 109063914225800 * q^13 + 109980501036336 * q^14 + 194970703125000 * q^15 - 2811357146648576 * q^16 - 337440158866200 * q^17 - 8986517054418600 * q^18 - 5765957235759760 * q^19 - 22561984375000000 * q^20 - 76777748650758672 * q^21 - 247170171892300800 * q^22 - 84289919171581800 * q^23 - 750163283268986880 * q^24 + 238418579101562500 * q^25 - 2172668626545951312 * q^26 - 2324539610168425200 * q^27 + 715367314323708800 * q^28 - 1530771705074446440 * q^29 + 968060261718750000 * q^30 - 3405335632352491792 * q^31 + 8794451084429721600 * q^32 + 38579776790129836800 * q^33 + 12360736169963080176 * q^34 + 11947780029296875000 * q^35 + 29754645353627097024 * q^36 + 54849661150838347400 * q^37 + 167830012254298039200 * q^38 + 26980019582506147824 * q^39 - 54793331250000000000 * q^40 + 294765092997163901208 * q^41 - 275649307903658959200 * q^42 - 1266847513533640537000 * q^43 - 739285598894744039424 * q^44 - 509659620969726562500 * q^45 - 669486761007570298992 * q^46 + 826481836956124900200 * q^47 - 389112939053996236800 * q^48 - 2497667097456123567372 * q^49 + 35762786865234375000 * q^50 - 732051781800631123152 * q^51 - 3824820275638519888000 * q^52 + 7304325845439007895400 * q^53 + 15784899184389947603040 * q^54 + 5771839304343750000000 * q^55 + 14029366421126577776640 * q^56 + 15974193201590955213600 * q^57 + 11714010248956820950800 * q^58 - 2217164203172823251280 * q^59 + 10266573124218750000000 * q^60 - 50917697960481835727992 * q^61 - 24701477049499711624800 * q^62 + 2223612189174803070600 * q^63 - 20457521683182533476352 * q^64 - 26626932184033203125000 * q^65 - 16106812566256687908864 * q^66 - 76670956029519070862200 * q^67 - 318284068848532686249600 * q^68 - 211835176227690988743216 * q^69 - 26850708260824218750000 * q^70 + 150298050225701362285008 * q^71 + 399372518437664399078400 * q^72 - 106773821938777386935800 * q^73 + 286932321536483813083056 * q^74 - 47600269317626953125000 * q^75 + 793491830268069721114880 * q^76 - 215630079777610746336000 * q^77 + 1847661803543761572804000 * q^78 - 151978174282543555164640 * q^79 + 686366490881000000000000 * q^80 - 1579018732178689012033836 * q^81 + 3094333027045954774045200 * q^82 + 117573693202171400616600 * q^83 - 1614703102161158475120384 * q^84 + 82382851285693359375000 * q^85 - 1608810179612708665216752 * q^86 - 2896477998479054993943600 * q^87 - 4936697892190706144870400 * q^88 - 6860971673379749077360920 * q^89 + 2193973890238916015625000 * q^90 - 5097829330173411603898352 * q^91 + 6577026773676031203676800 * q^92 - 13171898336704209119455200 * q^93 + 1406225817996660389994096 * q^94 + 1407704403261660156250000 * q^95 + 13005904207859351375904768 * q^96 + 8538350425643241402216200 * q^97 + 10780561809722171059198200 * q^98 - 19223568526197742048146816 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{4} - x^{3} - 1769856x^{2} + 106836475x + 628040620025$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$8\nu - 2$$ 8*v - 2 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 8\nu^{3} + 3344\nu^{2} - 8182184\nu - 2326754810 ) / 1863$$ (8*v^3 + 3344*v^2 - 8182184*v - 2326754810) / 1863 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 32\nu^{3} + 132608\nu^{2} - 22087280\nu - 114821444708 ) / 1863$$ (32*v^3 + 132608*v^2 - 22087280*v - 114821444708) / 1863
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta _1 + 2 ) / 8$$ (b1 + 2) / 8 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( \beta_{3} - 4\beta_{2} - 714\beta _1 + 56635408 ) / 64$$ (b3 - 4*b2 - 714*b1 + 56635408) / 64 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( -209\beta_{3} + 8288\beta_{2} + 4240318\beta _1 - 2521598848 ) / 32$$ (-209*b3 + 8288*b2 + 4240318*b1 - 2521598848) / 32

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 1046.70 785.715 −642.094 −1189.32
−8221.63 987550. 3.40407e7 −2.44141e8 −8.11927e9 −1.93681e10 −3.99805e9 1.27967e11 2.00723e12
1.2 −6133.72 −1.60154e6 4.06809e6 −2.44141e8 9.82339e9 −2.17553e9 1.80861e11 1.71764e12 1.49749e12
1.3 5288.75 887362. −5.58351e6 −2.44141e8 4.69304e9 −4.61897e10 −2.06991e11 −5.98771e10 −1.29120e12
1.4 9666.59 −1.07197e6 5.98886e7 −2.44141e8 −1.03623e10 1.87952e10 2.54562e11 3.01839e11 −2.36001e12
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$5$$ $$1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 5.26.a.a 4
3.b odd 2 1 45.26.a.c 4
5.b even 2 1 25.26.a.b 4
5.c odd 4 2 25.26.b.b 8

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
5.26.a.a 4 1.a even 1 1 trivial
25.26.a.b 4 5.b even 2 1
25.26.b.b 8 5.c odd 4 2
45.26.a.c 4 3.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{4} - 600T_{2}^{3} - 113135808T_{2}^{2} - 20279449600T_{2} + 2578152318959616$$ acting on $$S_{26}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(5))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{4} - 600 T^{3} + \cdots + 25\!\cdots\!16$$
$3$ $$T^{4} + 798600 T^{3} + \cdots + 15\!\cdots\!56$$
$5$ $$(T + 244140625)^{4}$$
$7$ $$T^{4} + 48938107000 T^{3} + \cdots - 36\!\cdots\!04$$
$11$ $$T^{4} + 23641453790592 T^{3} + \cdots - 12\!\cdots\!84$$
$13$ $$T^{4} - 109063914225800 T^{3} + \cdots - 27\!\cdots\!84$$
$17$ $$T^{4} + 337440158866200 T^{3} + \cdots + 10\!\cdots\!56$$
$19$ $$T^{4} + \cdots + 33\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{4} + \cdots - 75\!\cdots\!24$$
$29$ $$T^{4} + \cdots + 14\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{4} + \cdots - 11\!\cdots\!84$$
$37$ $$T^{4} + \cdots - 10\!\cdots\!24$$
$41$ $$T^{4} + \cdots - 11\!\cdots\!84$$
$43$ $$T^{4} + \cdots + 55\!\cdots\!96$$
$47$ $$T^{4} + \cdots + 38\!\cdots\!36$$
$53$ $$T^{4} + \cdots - 26\!\cdots\!44$$
$59$ $$T^{4} + \cdots + 24\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{4} + \cdots - 88\!\cdots\!84$$
$67$ $$T^{4} + \cdots + 19\!\cdots\!56$$
$71$ $$T^{4} + \cdots - 14\!\cdots\!84$$
$73$ $$T^{4} + \cdots - 89\!\cdots\!24$$
$79$ $$T^{4} + \cdots - 89\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{4} + \cdots + 33\!\cdots\!36$$
$89$ $$T^{4} + \cdots + 71\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{4} + \cdots - 18\!\cdots\!64$$