# Properties

 Label 5.22.a.b Level $5$ Weight $22$ Character orbit 5.a Self dual yes Analytic conductor $13.974$ Analytic rank $0$ Dimension $4$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$5$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$22$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 5.a (trivial)

## Newform invariants

 Self dual: yes Analytic conductor: $$13.9738672144$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$4$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{4} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{4} - x^{3} - 1929606x^{2} - 743130000x + 239341586400$$ x^4 - x^3 - 1929606*x^2 - 743130000*x + 239341586400 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: $$2^{6}\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot 7$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\beta_2,\beta_3$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 + 728) q^{2} + (\beta_{3} + 14 \beta_1 + 20803) q^{3} + ( - 5 \beta_{3} + \beta_{2} - 297 \beta_1 + 2291466) q^{4} + 9765625 q^{5} + (2450 \beta_{3} + 6 \beta_{2} - 10022 \beta_1 - 39626164) q^{6} + ( - 3741 \beta_{3} - 240 \beta_{2} - 151718 \beta_1 + 128229189) q^{7} + ( - 4742 \beta_{3} + 430 \beta_{2} - 1594534 \beta_1 + 1292638252) q^{8} + ( - 30700 \beta_{3} + 2112 \beta_{2} - 5979944 \beta_1 + 5436213161) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 + 728) * q^2 + (b3 + 14*b1 + 20803) * q^3 + (-5*b3 + b2 - 297*b1 + 2291466) * q^4 + 9765625 * q^5 + (2450*b3 + 6*b2 - 10022*b1 - 39626164) * q^6 + (-3741*b3 - 240*b2 - 151718*b1 + 128229189) * q^7 + (-4742*b3 + 430*b2 - 1594534*b1 + 1292638252) * q^8 + (-30700*b3 + 2112*b2 - 5979944*b1 + 5436213161) * q^9 $$q + ( - \beta_1 + 728) q^{2} + (\beta_{3} + 14 \beta_1 + 20803) q^{3} + ( - 5 \beta_{3} + \beta_{2} - 297 \beta_1 + 2291466) q^{4} + 9765625 q^{5} + (2450 \beta_{3} + 6 \beta_{2} - 10022 \beta_1 - 39626164) q^{6} + ( - 3741 \beta_{3} - 240 \beta_{2} - 151718 \beta_1 + 128229189) q^{7} + ( - 4742 \beta_{3} + 430 \beta_{2} - 1594534 \beta_1 + 1292638252) q^{8} + ( - 30700 \beta_{3} + 2112 \beta_{2} - 5979944 \beta_1 + 5436213161) q^{9} + ( - 9765625 \beta_1 + 7109375000) q^{10} + ( - 498310 \beta_{3} - 34960 \beta_{2} + \cdots + 8426594482) q^{11}+ \cdots + ( - 10\!\cdots\!30 \beta_{3} + \cdots - 37\!\cdots\!58) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 + 728) * q^2 + (b3 + 14*b1 + 20803) * q^3 + (-5*b3 + b2 - 297*b1 + 2291466) * q^4 + 9765625 * q^5 + (2450*b3 + 6*b2 - 10022*b1 - 39626164) * q^6 + (-3741*b3 - 240*b2 - 151718*b1 + 128229189) * q^7 + (-4742*b3 + 430*b2 - 1594534*b1 + 1292638252) * q^8 + (-30700*b3 + 2112*b2 - 5979944*b1 + 5436213161) * q^9 + (-9765625*b1 + 7109375000) * q^10 + (-498310*b3 - 34960*b2 + 10314300*b1 + 8426594482) * q^11 + (3735596*b3 + 60420*b2 + 47117356*b1 - 35632372888) * q^12 + (-2463340*b3 + 10880*b2 + 164888472*b1 + 215800602474) * q^13 + (-11736490*b3 + 20978*b2 + 220852834*b1 + 681240993476) * q^14 + (9765625*b3 + 136718750*b1 + 203154296875) * q^15 + (-5056380*b3 - 497268*b2 - 683262044*b1 + 2292375163064) * q^16 + (56964212*b3 - 1490560*b2 - 1294061352*b1 + 4424319060766) * q^17 + (-84711704*b3 + 5858040*b2 - 6425126821*b1 + 27057985860328) * q^18 + (93015260*b3 - 3945616*b2 + 763721112*b1 + 16304015379096) * q^19 + (-48828125*b3 + 9765625*b2 - 2900390625*b1 + 22377597656250) * q^20 + (300999240*b3 - 24013248*b2 + 26062900656*b1 - 62171729584200) * q^21 + (-1436565580*b3 - 28426180*b2 + 29236413488*b1 - 33340312676904) * q^22 + (-418790491*b3 + 76636400*b2 + 24630667030*b1 + 76520469215315) * q^23 + (4510492920*b3 + 29089512*b2 + 11900832696*b1 - 127362695072112) * q^24 + 95367431640625 * q^25 + (-4944271000*b3 - 211620232*b2 - 344000969766*b1 - 477278851631936) * q^26 + (7794912778*b3 + 115495680*b2 - 14778019444*b1 - 869618550971618) * q^27 + (-18801823544*b3 + 52621720*b2 - 685897357800*b1 - 616332383024720) * q^28 + (78166280*b3 - 306462784*b2 + 952540949168*b1 - 296443394191386) * q^29 + (23925781250*b3 + 58593750*b2 - 97871093750*b1 - 386974257812500) * q^30 + (-862528630*b3 + 1773573920*b2 + 133752737900*b1 + 2031846005744342) * q^31 + (-9803687160*b3 - 435504360*b2 + 1979198492104*b1 + 1597536876977008) * q^32 + (-23501833828*b3 - 3590019840*b2 + 4002578994568*b1 - 6808947174539884) * q^33 + (116221607720*b3 + 2086045112*b2 - 756130188154*b1 + 8169389884748832) * q^34 + (-36533203125*b3 - 2343750000*b2 - 1481621093750*b1 + 1252238173828125) * q^35 + (-118725883505*b3 + 1666631037*b2 - 21632232165829*b1 + 33161667424301794) * q^36 + (-190415090072*b3 + 7046988160*b2 + 8600426719280*b1 + 12678019030524750) * q^37 + (191092965272*b3 + 177255560*b2 - 9371058343836*b1 + 8847074298738928) * q^38 + (8003297470*b3 - 5641381632*b2 + 22371814637924*b1 - 22613191924876742) * q^39 + (-46308593750*b3 + 4199218750*b2 - 15571621093750*b1 + 12623420429687500) * q^40 + (580236129020*b3 - 18359135680*b2 - 20801622292600*b1 - 37800336566436498) * q^41 + (639146192016*b3 - 25638002640*b2 + 90678701747760*b1 - 146087879429957280) * q^42 + (-186104750483*b3 + 50846202400*b2 + 35817392485846*b1 + 48792380862265727) * q^43 + (-2473499673580*b3 + 8725408892*b2 + 16004638061636*b1 - 153719170593523368) * q^44 + (-299804687500*b3 + 20625000000*b2 - 58397890625000*b1 + 53088019150390625) * q^45 + (-211199628230*b3 - 15150195650*b2 - 204852859144210*b1 - 38911424369947748) * q^46 + (1761380347691*b3 - 16982582800*b2 + 61133418909546*b1 - 115510891753802843) * q^47 + (3211785342704*b3 - 41623041840*b2 + 57255440326000*b1 - 67255657333539040) * q^48 + (-1282825494020*b3 - 51309181760*b2 - 31685992784120*b1 + 87139014091376637) * q^49 + (-95367431640625*b1 + 69427490234375000) * q^50 + (3906088227410*b3 + 29087971584*b2 - 320086458361988*b1 + 848751605232503798) * q^51 + (-10150405086326*b3 + 172991021950*b2 + 502220945187602*b1 + 530756507856479724) * q^52 + (-4654113643524*b3 - 37579912320*b2 - 160292367443896*b1 + 253393522035018698) * q^53 + (19476231476660*b3 + 197586768444*b2 + 840266018450692*b1 - 581741212540211464) * q^54 + (-4866308593750*b3 - 341406250000*b2 + 100725585937500*b1 + 82290961738281250) * q^55 + (-23109813821280*b3 + 278127693024*b2 + 56645756633952*b1 + 783444346766978496) * q^56 + (9301125067396*b3 - 75006710400*b2 - 319660741551688*b1 + 1722598194838636684) * q^57 + (2299982650128*b3 - 1022383452240*b2 + 329791453537346*b1 - 3891809637517463248) * q^58 + (-10107368119560*b3 - 78619775088*b2 - 1816200651268864*b1 + 2499469711860952868) * q^59 + (36480429687500*b3 + 590039062500*b2 + 460130429687500*b1 - 347972391484375000) * q^60 + (36191725358800*b3 + 1085335436800*b2 + 1208712183964000*b1 - 2704962433906538338) * q^61 + (13944944940660*b3 + 262239412860*b2 - 4665307178408532*b1 + 966235653266715576) * q^62 + (-95273583073017*b3 + 1343347396560*b2 - 447660787958382*b1 + 3061701719565311361) * q^63 + (-6596849734000*b3 - 1233898170448*b2 - 553581572067824*b1 - 11274719199449963040) * q^64 + (-24056054687500*b3 + 106250000000*b2 + 1610238984375000*b1 + 2107427758535156250) * q^65 + (-66950011014920*b3 - 5309090293848*b2 + 9873186624038936*b1 - 20388853867288465328) * q^66 + (13649810007327*b3 - 3277891990560*b2 + 1878089789248978*b1 + 5490782175513793701) * q^67 + (171393852211622*b3 + 6692541738770*b2 - 6187954307958178*b1 - 497725735852720716) * q^68 + (106560418935000*b3 + 4267824974784*b2 + 3415015147314192*b1 - 2719750895992321368) * q^69 + (-114614160156250*b3 + 204863281250*b2 + 2156765957031250*b1 + 6652744076914062500) * q^70 + (122110301527650*b3 - 2368785369600*b2 + 6658993564529500*b1 + 12820470449883872422) * q^71 + (-198670752051246*b3 + 7360839225270*b2 - 14766952074397902*b1 + 50959237088229779196) * q^72 + (99802721989764*b3 - 7145920103040*b2 + 8041828828308920*b1 + 18680267051247552550) * q^73 + (-349278662108080*b3 - 10766780279440*b2 - 29763554731335430*b1 - 23803549699525558416) * q^74 + (95367431640625*b3 + 1335144042968750*b1 + 1983928680419921875) * q^75 + (214410846893740*b3 + 21508774680388*b2 - 3452543170455076*b1 + 8265111346351190952) * q^76 + (155422413103628*b3 - 12116146725760*b2 - 12220484162221016*b1 + 71044332130325078228) * q^77 + (82148459722844*b3 - 23526190608780*b2 + 21252527829505612*b1 - 102801026698492339096) * q^78 + (-591598647271500*b3 + 23120794903296*b2 + 16637645067077848*b1 - 15242079871567732836) * q^79 + (-49378710937500*b3 - 4856132812500*b2 - 6672480898437500*b1 + 22386476201796875000) * q^80 + (-644677255724980*b3 + 3154608862656*b2 - 2365157629774232*b1 + 39542105253192985325) * q^81 + (1118275865922360*b3 + 28128666259560*b2 + 83035888794561758*b1 + 52286139331908261056) * q^82 + (42495668251833*b3 + 20433394056000*b2 - 46943043913465122*b1 - 69659091046984109349) * q^83 + (1121731030754880*b3 - 33510001452864*b2 + 100119910747451328*b1 - 326379860844119248512) * q^84 + (556291132812500*b3 - 14556250000000*b2 - 12637317890625000*b1 + 43206240827792968750) * q^85 + (175621383622890*b3 - 27692322336306*b2 - 140788673291401798*b1 - 102473903796160252132) * q^86 + (-2182719146846546*b3 - 26878918640640*b2 + 18187107019387268*b1 + 45176524368188397706) * q^87 + (-2718795944530504*b3 - 3827591022040*b2 + 31315254856324792*b1 - 101876747470562312176) * q^88 + (1609362983646840*b3 + 34085851966848*b2 - 88135702035718896*b1 - 80868888287293415358) * q^89 + (-827262734375000*b3 + 57207421875000*b2 - 62745379111328125*b1 + 264238143167265625000) * q^90 + (-11931582350230*b3 - 38917494785056*b2 - 173679889978835988*b1 + 55300595911766270918) * q^91 + (-779595236129768*b3 + 36380691460360*b2 + 93876617637455048*b1 + 601786585574571960976) * q^92 + (3236422776095712*b3 + 120776039863680*b2 + 15997747205523648*b1 + 48357592370278880736) * q^93 + (4350971858911910*b3 - 29862753748126*b2 + 143305429665998282*b1 - 321328241147513701020) * q^94 + (908352148437500*b3 - 38531406250000*b2 + 7458213984375000*b1 + 159218900186484375000) * q^95 + (-1888610881521440*b3 - 63723030490464*b2 + 131736877119838688*b1 - 5258259532733257664) * q^96 + (1333589101939436*b3 - 276035270648320*b2 + 287086760138387176*b1 + 77141812121329572982) * q^97 + (-3655019897639880*b3 - 5925556446360*b2 - 20954804426299697*b1 + 186591254972307045736) * q^98 + (-10701711037985630*b3 + 40138445702064*b2 + 73839746086921772*b1 - 379130594075150353958) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$4 q + 2910 q^{2} + 83240 q^{3} + 9165268 q^{4} + 39062500 q^{5} - 158524712 q^{6} + 512613800 q^{7} + 5167363080 q^{8} + 21732888532 q^{9}+O(q^{10})$$ 4 * q + 2910 * q^2 + 83240 * q^3 + 9165268 * q^4 + 39062500 * q^5 - 158524712 * q^6 + 512613800 * q^7 + 5167363080 * q^8 + 21732888532 * q^9 $$4 q + 2910 q^{2} + 83240 q^{3} + 9165268 q^{4} + 39062500 q^{5} - 158524712 q^{6} + 512613800 q^{7} + 5167363080 q^{8} + 21732888532 q^{9} + 28417968750 q^{10} + 33727076448 q^{11} - 142435377680 q^{12} + 863532165080 q^{13} + 2725405637616 q^{14} + 812890625000 q^{15} + 9168135122704 q^{16} + 17694691101480 q^{17} + 108219081471590 q^{18} + 65217596849840 q^{19} + 89504570312500 q^{20} - 248634744508992 q^{21} - 133302721028280 q^{22} + 306130984922520 q^{23} - 509427036802080 q^{24} + 381469726562500 q^{25} - 19\!\cdots\!12 q^{26}+ \cdots - 15\!\cdots\!16 q^{99}+O(q^{100})$$ 4 * q + 2910 * q^2 + 83240 * q^3 + 9165268 * q^4 + 39062500 * q^5 - 158524712 * q^6 + 512613800 * q^7 + 5167363080 * q^8 + 21732888532 * q^9 + 28417968750 * q^10 + 33727076448 * q^11 - 142435377680 * q^12 + 863532165080 * q^13 + 2725405637616 * q^14 + 812890625000 * q^15 + 9168135122704 * q^16 + 17694691101480 * q^17 + 108219081471590 * q^18 + 65217596849840 * q^19 + 89504570312500 * q^20 - 248634744508992 * q^21 - 133302721028280 * q^22 + 306130984922520 * q^23 - 509427036802080 * q^24 + 381469726562500 * q^25 - 1909802985226812 * q^26 - 3478503990916720 * q^27 - 2466701432057920 * q^28 - 1183867881941640 * q^29 - 1548092890625000 * q^30 + 8127647981305328 * q^31 + 6394106775900960 * q^32 - 27227776360130720 * q^33 + 32676043106528796 * q^34 + 5005994140625000 * q^35 + 132603401899613444 * q^36 + 50729262881561240 * q^37 + 35369554723756920 * q^38 - 90408012787467856 * q^39 + 50462530078125000 * q^40 - 151242912792059832 * q^41 - 584170109040328320 * q^42 + 195241056541629800 * q^43 - 614844690548787984 * q^44 + 212235239570312500 * q^45 - 156055372897688112 * q^46 - 461921266212226680 * q^47 - 268908035207420480 * q^48 + 348492786998301828 * q^49 + 277519226074218750 * q^50 + 3394366189837348048 * q^51 + 2124030127334250200 * q^52 + 1013253578565011640 * q^53 - 2325284713297481360 * q^54 + 329365980937500000 * q^55 + 3133890122325795840 * q^56 + 6889753607884864160 * q^57 - 15566576922395873820 * q^58 + 9994246603380823920 * q^59 - 1390970485156250000 * q^60 - 10817434481929098952 * q^61 + 3855611474231219520 * q^62 + 12245908869990535560 * q^63 - 45099981493147646912 * q^64 + 8432931299609375000 * q^65 - 81535658477725195744 * q^66 + 21966891437417653880 * q^67 - 2003292237110276760 * q^68 - 10872182089324606656 * q^69 + 26615289429843750000 * q^70 + 51295204524235287888 * q^71 + 203807399727091870440 * q^72 + 74737166154487034120 * q^73 - 95273704374004345644 * q^74 + 7938385009765625000 * q^75 + 33053497281514492880 * q^76 + 284152911785269322400 * q^77 - 411161554685929127600 * q^78 - 60935090437726582240 * q^79 + 89532569557656250000 * q^80 + 158163684388294667524 * q^81 + 209310572847889648620 * q^82 - 278730291142551479640 * q^83 - 1305319136534979185664 * q^84 + 172799717787890625000 * q^85 - 410177137146579139512 * q^86 + 180742525444629646640 * q^87 - 407444351717354555040 * q^88 - 323651892724949032920 * q^89 + 1056826967495996093750 * q^90 + 220855101702096981808 * q^91 + 2407334022772179833280 * q^92 + 193462123423446842880 * q^93 - 1285026294005215311264 * q^94 + 636890594236718750000 * q^95 - 20769436930632372352 * q^96 + 309141974076136362920 * q^97 + 746323122131488476270 * q^98 - 1516374777085318976416 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{4} - x^{3} - 1929606x^{2} - 743130000x + 239341586400$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$2\nu$$ 2*v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 5\nu^{3} - 3089\nu^{2} - 6622602\nu + 187959204 ) / 324$$ (5*v^3 - 3089*v^2 - 6622602*v + 187959204) / 324 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( \nu^{3} - 877\nu^{2} - 1174314\nu + 287631324 ) / 324$$ (v^3 - 877*v^2 - 1174314*v + 287631324) / 324
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta_1 ) / 2$$ (b1) / 2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( -5\beta_{3} + \beta_{2} + 1159\beta _1 + 3858634 ) / 4$$ (-5*b3 + b2 + 1159*b1 + 3858634) / 4 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( -3089\beta_{3} + 877\beta_{2} + 3365071\beta _1 + 2233496722 ) / 4$$ (-3089*b3 + 877*b2 + 3365071*b1 + 2233496722) / 4

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 1521.87 210.082 −844.370 −886.582
−2315.74 45067.6 3.26550e6 9.76562e6 −1.04365e8 −6.93632e8 −2.70560e9 −8.42927e9 −2.26147e10
1.2 307.836 62164.3 −2.00239e6 9.76562e6 1.91364e7 8.89757e8 −1.26199e9 −6.59596e9 3.00621e9
1.3 2416.74 157402. 3.74348e6 9.76562e6 3.80399e8 −6.35419e8 3.97874e9 1.43149e10 2.36010e10
1.4 2501.16 −181393. 4.15867e6 9.76562e6 −4.53695e8 9.51907e8 5.15621e9 2.24432e10 2.44254e10
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$5$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 5.22.a.b 4
3.b odd 2 1 45.22.a.f 4
4.b odd 2 1 80.22.a.g 4
5.b even 2 1 25.22.a.c 4
5.c odd 4 2 25.22.b.c 8

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
5.22.a.b 4 1.a even 1 1 trivial
25.22.a.c 4 5.b even 2 1
25.22.b.c 8 5.c odd 4 2
45.22.a.f 4 3.b odd 2 1
80.22.a.g 4 4.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{4} - 2910T_{2}^{3} - 4542888T_{2}^{2} + 15642931840T_{2} - 4309053579264$$ acting on $$S_{22}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(5))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{4} - 2910 T^{3} + \cdots - 4309053579264$$
$3$ $$T^{4} - 83240 T^{3} + \cdots - 79\!\cdots\!04$$
$5$ $$(T - 9765625)^{4}$$
$7$ $$T^{4} - 512613800 T^{3} + \cdots + 37\!\cdots\!96$$
$11$ $$T^{4} - 33727076448 T^{3} + \cdots + 17\!\cdots\!36$$
$13$ $$T^{4} - 863532165080 T^{3} + \cdots - 19\!\cdots\!04$$
$17$ $$T^{4} - 17694691101480 T^{3} + \cdots + 20\!\cdots\!16$$
$19$ $$T^{4} - 65217596849840 T^{3} + \cdots - 27\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{4} - 306130984922520 T^{3} + \cdots - 10\!\cdots\!04$$
$29$ $$T^{4} + \cdots + 14\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{4} + \cdots - 37\!\cdots\!24$$
$37$ $$T^{4} + \cdots + 70\!\cdots\!56$$
$41$ $$T^{4} + \cdots + 44\!\cdots\!96$$
$43$ $$T^{4} + \cdots - 72\!\cdots\!04$$
$47$ $$T^{4} + \cdots - 58\!\cdots\!24$$
$53$ $$T^{4} + \cdots + 14\!\cdots\!96$$
$59$ $$T^{4} + \cdots - 14\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{4} + \cdots + 37\!\cdots\!36$$
$67$ $$T^{4} + \cdots + 21\!\cdots\!16$$
$71$ $$T^{4} + \cdots - 28\!\cdots\!44$$
$73$ $$T^{4} + \cdots - 21\!\cdots\!04$$
$79$ $$T^{4} + \cdots + 73\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{4} + \cdots + 23\!\cdots\!96$$
$89$ $$T^{4} + \cdots - 46\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{4} + \cdots + 31\!\cdots\!76$$