# Properties

 Label 5.20.b.a Level $5$ Weight $20$ Character orbit 5.b Analytic conductor $11.441$ Analytic rank $0$ Dimension $8$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$5$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$20$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 5.b (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$11.4408348278$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$8$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{8} + \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{8} + 726881x^{6} + 160513523376x^{4} + 10607307647230976x^{2} + 32429098232548950016$$ x^8 + 726881*x^6 + 160513523376*x^4 + 10607307647230976*x^2 + 32429098232548950016 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{5}]$$ Coefficient ring index: $$2^{20}\cdot 3^{8}\cdot 5^{13}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{7}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_1 q^{2} + (\beta_{2} - \beta_1) q^{3} + (\beta_{3} - 202593) q^{4} + (\beta_{4} - 2 \beta_{3} + 27 \beta_{2} + 94 \beta_1 + 18375) q^{5} + (\beta_{6} + \beta_{4} - 3 \beta_{3} + 420717) q^{6} + (\beta_{5} + 2 \beta_{4} - \beta_{3} + 322 \beta_{2} - 30616 \beta_1) q^{7} + (\beta_{7} + 3 \beta_{5} + 2 \beta_{4} - 2 \beta_{3} + 656 \beta_{2} - 92622 \beta_1) q^{8} + (9 \beta_{7} + 12 \beta_{6} + 66 \beta_{4} - 387 \beta_{3} + \cdots + 43169823) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b1 * q^2 + (b2 - b1) * q^3 + (b3 - 202593) * q^4 + (b4 - 2*b3 + 27*b2 + 94*b1 + 18375) * q^5 + (b6 + b4 - 3*b3 + 420717) * q^6 + (b5 + 2*b4 - b3 + 322*b2 - 30616*b1) * q^7 + (b7 + 3*b5 + 2*b4 - 2*b3 + 656*b2 - 92622*b1) * q^8 + (9*b7 + 12*b6 + 66*b4 - 387*b3 - 9*b2 + 27*b1 + 43169823) * q^9 $$q + \beta_1 q^{2} + (\beta_{2} - \beta_1) q^{3} + (\beta_{3} - 202593) q^{4} + (\beta_{4} - 2 \beta_{3} + 27 \beta_{2} + 94 \beta_1 + 18375) q^{5} + (\beta_{6} + \beta_{4} - 3 \beta_{3} + 420717) q^{6} + (\beta_{5} + 2 \beta_{4} - \beta_{3} + 322 \beta_{2} - 30616 \beta_1) q^{7} + (\beta_{7} + 3 \beta_{5} + 2 \beta_{4} - 2 \beta_{3} + 656 \beta_{2} - 92622 \beta_1) q^{8} + (9 \beta_{7} + 12 \beta_{6} + 66 \beta_{4} - 387 \beta_{3} + \cdots + 43169823) q^{9}+ \cdots + ( - 2123060598 \beta_{7} + \cdots - 20\!\cdots\!84) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b1 * q^2 + (b2 - b1) * q^3 + (b3 - 202593) * q^4 + (b4 - 2*b3 + 27*b2 + 94*b1 + 18375) * q^5 + (b6 + b4 - 3*b3 + 420717) * q^6 + (b5 + 2*b4 - b3 + 322*b2 - 30616*b1) * q^7 + (b7 + 3*b5 + 2*b4 - 2*b3 + 656*b2 - 92622*b1) * q^8 + (9*b7 + 12*b6 + 66*b4 - 387*b3 - 9*b2 + 27*b1 + 43169823) * q^9 + (45*b7 + 75*b6 - 25*b5 + 37*b4 + 11*b3 - 16336*b2 + 739033*b1 - 76336375) * q^10 + (154*b7 - 372*b6 + 552*b4 - 358*b3 - 154*b2 + 462*b1 - 422446908) * q^11 + (459*b7 - 63*b5 - 1962*b4 + 522*b3 - 102192*b2 + 1408182*b1) * q^12 + (1119*b7 + 68*b5 - 4340*b4 + 1051*b3 - 337345*b2 - 2594783*b1) * q^13 + (2432*b7 + 855*b6 + 15447*b4 - 154145*b3 - 2432*b2 + 7296*b1 + 22156323879) * q^14 + (4410*b7 + 1100*b6 + 675*b5 + 7346*b4 + 109263*b3 - 1131738*b2 - 25056336*b1 - 30290578500) * q^15 + (7104*b7 + 1776*b6 + 44400*b4 + 62492*b3 - 7104*b2 + 21312*b1 - 39091284604) * q^16 + (8670*b7 + 1224*b5 - 32232*b4 + 7446*b3 + 5212914*b2 - 67282226*b1) * q^17 + (7650*b7 - 3546*b5 - 37692*b4 + 11196*b3 - 9104352*b2 + 200741955*b1) * q^18 + (-3342*b7 - 19884*b6 - 39936*b4 - 2724542*b3 + 3342*b2 - 10026*b1 + 568398547580) * q^19 + (-25825*b7 - 42000*b6 - 7875*b5 - 87698*b4 + 2863421*b3 - 35536496*b2 - 3388162*b1 - 522553678875) * q^20 + (-72819*b7 + 60000*b6 - 376914*b4 + 3069513*b3 + 72819*b2 - 218457*b1 - 372894291828) * q^21 + (-129564*b7 - 10708*b5 + 496840*b4 - 118856*b3 + 208875200*b2 - 476682692*b1) * q^22 + (-213060*b7 + 54615*b5 + 961470*b4 - 267675*b3 - 32886096*b2 + 2372966902*b1) * q^23 + (-241344*b7 + 168656*b6 - 1279408*b4 + 8145444*b3 + 241344*b2 - 724032*b1 - 772080347460) * q^24 + (-249375*b7 + 412500*b6 + 50000*b5 + 284500*b4 - 8873375*b3 - 324670375*b2 - 8526270125*b1 + 2214463703125) * q^25 + (-49472*b7 - 837102*b6 - 1133934*b4 - 9388906*b3 + 49472*b2 - 148416*b1 + 1988653516062) * q^26 + (203256*b7 + 29538*b5 - 753948*b4 + 173718*b3 + 969750936*b2 - 15209647812*b1) * q^27 + (914529*b7 - 453693*b5 - 4565502*b4 + 1368222*b3 - 832768272*b2 + 68579683938*b1) * q^28 + (1381972*b7 - 697848*b6 + 7593984*b4 + 94661300*b3 - 1381972*b2 + 4145916*b1 - 23527787543130) * q^29 + (2467800*b7 - 1802625*b6 - 171000*b5 + 259887*b4 - 102630249*b3 - 957112576*b2 - 76147903172*b1 + 18562685367375) * q^30 + (2512716*b7 + 4442064*b6 + 19518360*b4 - 116458820*b3 - 2512716*b2 + 7538148*b1 + 9014375835872) * q^31 + (3375100*b7 + 293364*b5 - 12913672*b4 + 3081736*b3 - 1794806848*b2 - 117797392328*b1) * q^32 + (1141524*b7 + 2267136*b5 - 31824*b4 - 1125612*b3 + 1498957536*b2 + 321132842304*b1) * q^33 + (1312128*b7 + 1712376*b6 + 9585144*b4 - 221243984*b3 - 1312128*b2 + 3936384*b1 + 47305027748224) * q^34 + (-4822130*b7 + 2552700*b6 + 205350*b5 - 1790988*b4 + 319182536*b3 + 6635187389*b2 - 456511133517*b1 - 37389469489500) * q^35 + (-5374080*b7 - 8367264*b6 - 40611744*b4 + 457867863*b3 + 5374080*b2 - 16122240*b1 - 120502531654839) * q^36 + (-16651473*b7 - 3707424*b5 + 59191044*b4 - 12944049*b3 - 15941339241*b2 - 310999080351*b1) * q^37 + (-12836684*b7 - 6454884*b5 + 38436968*b4 - 6381800*b3 + 11134149824*b2 + 1694103591924*b1) * q^38 + (-30673404*b7 - 8421288*b6 - 192461712*b4 - 977119164*b3 + 30673404*b2 - 92020212*b1 + 376456723506216) * q^39 + (-13385925*b7 + 5562000*b6 + 336625*b5 - 7077370*b4 + 997654590*b3 + 21571026160*b2 - 1325833212730*b1 - 26701428492500) * q^40 + (-33440995*b7 - 18211596*b6 - 218857566*b4 + 888631729*b3 + 33440995*b2 - 100322985*b1 - 414283678607238) * q^41 + (10618650*b7 + 20022606*b5 - 2429388*b4 - 9403956*b3 - 24483004896*b2 - 1580018751888*b1) * q^42 + (-16166304*b7 + 5514190*b5 + 75693596*b4 - 21680494*b3 + 10380791911*b2 + 2464856493413*b1) * q^43 + (79574784*b7 + 70193856*b6 + 547642560*b4 + 130980132*b3 - 79574784*b2 + 238724352*b1 + 61139913108444) * q^44 + (23040225*b7 + 4491000*b6 + 1615500*b5 + 31707513*b4 - 2146282101*b3 - 19698928824*b2 - 1296847056003*b1 + 1274769651407625) * q^45 + (173731200*b7 + 98279439*b6 + 1140666639*b4 - 4441581761*b3 - 173731200*b2 + 521193600*b1 - 1714608789353993) * q^46 + (58241308*b7 - 59179455*b5 - 351324142*b4 + 117420763*b3 + 87173371058*b2 + 1726140963416*b1) * q^47 + (259860420*b7 + 28878156*b5 - 981685368*b4 + 230982264*b3 - 117190817728*b2 - 3202508585144*b1) * q^48 + (-10362315*b7 - 345539604*b6 - 407713494*b4 + 16421004921*b3 + 10362315*b2 - 31086945*b1 - 1391157251477093) * q^49 + (293882500*b7 - 237393750*b6 - 24712500*b5 - 2844750*b4 - 13948494250*b3 - 244993312000*b2 + 6010531514125*b1 + 6296880458343750) * q^50 + (-220002372*b7 + 49574176*b6 - 1270440056*b4 - 8318186292*b3 + 220002372*b2 - 660007116*b1 - 5858383926425568) * q^51 + (176844498*b7 + 62236470*b5 - 582905052*b4 + 114608028*b3 + 347210814816*b2 + 4326157893924*b1) * q^52 + (-584633559*b7 - 103387692*b5 + 2131758852*b4 - 481245867*b3 - 78489932271*b2 - 20425881248321*b1) * q^53 + (32811264*b7 + 888135066*b6 + 1085002650*b4 - 20617744806*b3 - 32811264*b2 + 98433792*b1 + 10758581354273130) * q^54 + (-1147538250*b7 + 927217500*b6 + 90677500*b5 - 5023108*b4 + 35503786466*b3 + 54448735834*b2 + 21756865543598*b1 + 8727653290765500) * q^55 + (-3902528*b7 - 1064379792*b6 - 1087794960*b4 + 45906132524*b3 + 3902528*b2 - 11707584*b1 - 37978972354113420) * q^56 + (-1531270116*b7 + 227354760*b5 + 6579789984*b4 - 1758624876*b3 + 510245356232*b2 + 15945938344168*b1) * q^57 + (155061768*b7 + 54947096*b5 - 510352880*b4 + 100114672*b3 + 289643554688*b2 - 63855575922794*b1) * q^58 + (-1512636634*b7 - 735320100*b6 - 9811139904*b4 - 26947931882*b3 + 1512636634*b2 - 4537909902*b1 + 32456004097251540) * q^59 + (1061297145*b7 - 1064380800*b6 - 97809525*b5 - 229793358*b4 + 4897187226*b3 + 279807187824*b2 + 47228005100178*b1 + 39763827581980500) * q^60 + (-1250424867*b7 + 1880876760*b6 - 5621672442*b4 - 32361154967*b3 + 1250424867*b2 - 3751274601*b1 - 72861695344153258) * q^61 + (2631797080*b7 - 1074202104*b5 - 12675592528*b4 + 3705999184*b3 - 3229195610752*b2 + 56785763851536*b1) * q^62 + (-254796948*b7 + 340418241*b5 + 1700024274*b4 - 595215189*b3 + 453052943784*b2 - 72389943308574*b1) * q^63 + (3789984000*b7 - 2323981248*b6 + 20415922752*b4 - 114817553776*b3 - 3789984000*b2 + 11369952000*b1 + 65676968409513712) * q^64 + (842006285*b7 - 2159973900*b6 - 315571200*b5 - 2107136124*b4 + 65238367453*b3 + 2323256757697*b2 + 18419130686859*b1 + 93443165586129000) * q^65 + (5294502144*b7 + 2160551028*b6 + 33927563892*b4 + 40443148404*b3 - 5294502144*b2 + 15883506432*b1 - 233883448499997036) * q^66 + (90169104*b7 + 1617432674*b5 + 2874188932*b4 - 1527263570*b3 - 2035417736185*b2 - 57036762632819*b1) * q^67 + (5478910144*b7 - 367712448*b5 - 22651065472*b4 + 5846622592*b3 + 1320789903104*b2 + 103281295677184*b1) * q^68 + (-149391999*b7 + 8059234504*b6 + 7162882510*b4 + 427947102429*b3 + 149391999*b2 - 448175997*b1 + 37768037815476876) * q^69 + (1798800900*b7 + 7900379625*b6 + 1291599500*b5 + 12924738289*b4 - 497377703003*b3 - 1021714622272*b2 - 168428687008484*b1 + 329795133229954125) * q^70 + (-2361193536*b7 - 9831836520*b6 - 23998997736*b4 - 477858165936*b3 + 2361193536*b2 - 7083580608*b1 - 327125950075365768) * q^71 + (-885625065*b7 + 1003508037*b5 + 5549516334*b4 - 1889133102*b3 + 1562410944240*b2 - 203628270856578*b1) * q^72 + (-8034405744*b7 - 1748916864*b5 + 28639789248*b4 - 6285488880*b3 - 5032854950484*b2 + 534468205048404*b1) * q^73 + (-5819372352*b7 - 9941340666*b6 - 44857574778*b4 + 163265778282*b3 + 5819372352*b2 - 17458117056*b1 + 230948876702776914) * q^74 + (-8139690000*b7 - 7597275000*b6 - 1673325000*b5 - 19987008000*b4 + 455557671000*b3 - 1286440167875*b2 - 379787592965125*b1 + 359741553526125000) * q^75 + (-14985805056*b7 + 3417525696*b6 - 86497304640*b4 + 1026419546108*b3 + 14985805056*b2 - 44957415168*b1 - 936811787482284540) * q^76 + (-6345714060*b7 - 7791005316*b5 + 9800845608*b4 + 1445291256*b3 + 18112960868940*b2 - 15669136821204*b1) * q^77 + (-13364287128*b7 + 3443359032*b5 + 60343866576*b4 - 16807646160*b3 + 9240809916288*b2 + 799459214978904*b1) * q^78 + (-8392497516*b7 + 2390240736*b6 - 47964744360*b4 - 340189147964*b3 + 8392497516*b2 - 25177492548*b1 + 491886511388732720) * q^79 + (-9712193900*b7 + 2933106000*b6 - 124714500*b5 - 7276592264*b4 + 83354298828*b3 - 20440370172928*b2 - 438784422643416*b1 + 683142438232411500) * q^80 + (12866747049*b7 + 12567927060*b6 + 89768409354*b4 - 931831506675*b3 - 12866747049*b2 + 38600241147*b1 - 1041022161707588019) * q^81 + (-16788281238*b7 + 10103433406*b5 + 87359991764*b4 - 26891714644*b3 + 16995994365856*b2 - 765081886050418*b1) * q^82 + (33324446640*b7 + 6293738850*b5 - 120710308860*b4 + 27030707790*b3 - 36093084535137*b2 + 306559976658421*b1) * q^83 + (8478069120*b7 + 12559990752*b6 + 63428405472*b4 - 2373801259212*b3 - 8478069120*b2 + 25434207360*b1 + 960484467353016204) * q^84 + (35867344770*b7 - 7960885800*b6 + 3285391100*b5 + 37596403312*b4 + 1558416634886*b3 + 14320364181914*b2 - 379496427984842*b1 + 469048376152448000) * q^85 + (16514440448*b7 + 21063514797*b6 + 120150157485*b4 + 1753663792369*b3 - 16514440448*b2 + 49543321344*b1 - 1794820384893261903) * q^86 + (79003084824*b7 + 4316890896*b5 - 307378557504*b4 + 74686193928*b3 - 20813661384162*b2 + 491371999659330*b1) * q^87 + (-13326093660*b7 - 24369537044*b5 + 4565300552*b4 + 11043443384*b3 + 53767540177984*b2 - 277176466649080*b1) * q^88 + (89354736348*b7 - 34521446184*b6 + 501606971904*b4 - 609354529668*b3 - 89354736348*b2 + 268064209044*b1 + 265017637704615210) * q^89 + (4871189385*b7 - 24299107275*b6 - 8952416325*b5 - 44336858169*b4 - 1434879079407*b3 - 5971187951568*b2 + 2161552120645779*b1 + 948699590768283375) * q^90 + (31443084192*b7 - 55010854392*b6 + 133647650760*b4 - 2730176310576*b3 - 31443084192*b2 + 94329252576*b1 - 419829777496727208) * q^91 + (-22617739823*b7 - 23527967469*b5 + 43415024354*b4 + 910227646*b3 - 107714138908432*b2 + 1280441541903298*b1) * q^92 + (62741517408*b7 + 4698908568*b5 - 241568252496*b4 + 58042608840*b3 - 67700351268472*b2 - 4974358274605976*b1) * q^93 + (-155106765696*b7 + 27733135011*b6 - 902907459165*b4 + 8870246906219*b3 + 155106765696*b2 - 465320297088*b1 - 1281471456872213741) * q^94 + (28638966950*b7 + 148553584500*b6 + 24990238500*b5 + 240271016460*b4 - 5966078530070*b3 + 125665768006570*b2 + 1666290159168790*b1 + 763258223735602500) * q^95 + (-106195288320*b7 - 137847584832*b6 - 775019314752*b4 - 2040191292816*b3 + 106195288320*b2 - 318585864960*b1 + 1958770190435419152) * q^96 + (-132096586854*b7 + 13247936608*b5 + 554882220632*b4 - 145344523462*b3 - 2475407522666*b2 + 4390030698345722*b1) * q^97 + (-146088653382*b7 + 69922080174*b5 + 724198773876*b4 - 216010733556*b3 + 228127450721184*b2 - 8280638985291473*b1) * q^98 + (-2123060598*b7 + 96741022068*b6 + 84002658480*b4 + 3717187558074*b3 + 2123060598*b2 - 6369181794*b1 - 2032118078154385284) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$8 q - 1620744 q^{4} + 147000 q^{5} + 3365736 q^{6} + 345358584 q^{9}+O(q^{10})$$ 8 * q - 1620744 * q^4 + 147000 * q^5 + 3365736 * q^6 + 345358584 * q^9 $$8 q - 1620744 q^{4} + 147000 q^{5} + 3365736 q^{6} + 345358584 q^{9} - 610691000 q^{10} - 3379575264 q^{11} + 177250591032 q^{14} - 242324628000 q^{15} - 312730276832 q^{16} + 4547188380640 q^{19} - 4180429431000 q^{20} - 2983154334624 q^{21} - 6176642779680 q^{24} + 17715709625000 q^{25} + 15909228128496 q^{26} - 188222300345040 q^{29} + 148501482939000 q^{30} + 72115006686976 q^{31} + 378440221985792 q^{34} - 299115755916000 q^{35} - 964020253238712 q^{36} + 30\!\cdots\!28 q^{39}+ \cdots - 16\!\cdots\!72 q^{99}+O(q^{100})$$ 8 * q - 1620744 * q^4 + 147000 * q^5 + 3365736 * q^6 + 345358584 * q^9 - 610691000 * q^10 - 3379575264 * q^11 + 177250591032 * q^14 - 242324628000 * q^15 - 312730276832 * q^16 + 4547188380640 * q^19 - 4180429431000 * q^20 - 2983154334624 * q^21 - 6176642779680 * q^24 + 17715709625000 * q^25 + 15909228128496 * q^26 - 188222300345040 * q^29 + 148501482939000 * q^30 + 72115006686976 * q^31 + 378440221985792 * q^34 - 299115755916000 * q^35 - 964020253238712 * q^36 + 3011653788049728 * q^39 - 213611427940000 * q^40 - 3314269428857904 * q^41 + 489119304867552 * q^44 + 10198157211261000 * q^45 - 13716870314831944 * q^46 - 11129258011816744 * q^49 + 50375043666750000 * q^50 - 46867071411404544 * q^51 + 86068650834185040 * q^54 + 69821226326124000 * q^55 - 303831778832907360 * q^56 + 259648032778012320 * q^59 + 318110620655844000 * q^60 - 582893562753226064 * q^61 + 525415747276109696 * q^64 + 747545324689032000 * q^65 - 1871067587999976288 * q^66 + 302144302523815008 * q^69 + 2638361065839633000 * q^70 - 2617007600602926144 * q^71 + 1847591013622215312 * q^74 + 2877932428209000000 * q^75 - 7494494299858276320 * q^76 + 3935092091109861760 * q^79 + 5465139505859292000 * q^80 - 8328177293660704152 * q^81 + 7683875738824129632 * q^84 + 3752387009219584000 * q^85 - 14358563079146095224 * q^86 + 2120141101636921680 * q^89 + 7589596726146267000 * q^90 - 3358638219973817664 * q^91 - 10251771654977709928 * q^94 + 6106065789884820000 * q^95 + 15670161523483353216 * q^96 - 16256944625235082272 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{8} + 726881x^{6} + 160513523376x^{4} + 10607307647230976x^{2} + 32429098232548950016$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$2\nu$$ 2*v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 173\nu^{7} + 111026445\nu^{5} + 20083149107568\nu^{3} + 947168012636830720\nu ) / 1505285197258752$$ (173*v^7 + 111026445*v^5 + 20083149107568*v^3 + 947168012636830720*v) / 1505285197258752 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$4\nu^{2} + 726881$$ 4*v^2 + 726881 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 24489 \nu^{7} + 1840496 \nu^{6} - 19390777353 \nu^{5} + 1808281798512 \nu^{4} + \cdots + 15\!\cdots\!64 ) / 37\!\cdots\!80$$ (-24489*v^7 + 1840496*v^6 - 19390777353*v^5 + 1808281798512*v^4 - 4679503473675312*v^3 + 431776354413212928*v^2 - 324881951467425186816*v + 15034918824126539505664) / 3763212993146880 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 254739 \nu^{7} - 7361984 \nu^{6} - 173282696883 \nu^{5} - 7233127194048 \nu^{4} + \cdots - 54\!\cdots\!96 ) / 75\!\cdots\!60$$ (-254739*v^7 - 7361984*v^6 - 173282696883*v^5 - 7233127194048*v^4 - 14399254905804432*v^3 - 1696999713707676672*v^2 + 3822609063572486667264*v - 54668859249162963460096) / 7526425986293760 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 24489 \nu^{7} - 75460336 \nu^{6} + 19390777353 \nu^{5} - 40236733980912 \nu^{4} + \cdots - 36\!\cdots\!24 ) / 37\!\cdots\!80$$ (24489*v^7 - 75460336*v^6 + 19390777353*v^5 - 40236733980912*v^4 + 4679503473675312*v^3 - 4841151702138678528*v^2 + 324881951467425186816*v - 36463112405104365338624) / 3763212993146880 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 294733 \nu^{7} + 14723968 \nu^{6} + 233244460461 \nu^{5} + 14466254388096 \nu^{4} + \cdots + 11\!\cdots\!52 ) / 75\!\cdots\!60$$ (294733*v^7 + 14723968*v^6 + 233244460461*v^5 + 14466254388096*v^4 + 56254457429641584*v^3 + 3424105131360528384*v^2 + 3903274099116368632832*v + 114808534545669121482752) / 7526425986293760
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta_1 ) / 2$$ (b1) / 2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( \beta_{3} - 726881 ) / 4$$ (b3 - 726881) / 4 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( \beta_{7} + 3\beta_{5} + 2\beta_{4} - 2\beta_{3} + 656\beta_{2} - 1141198\beta_1 ) / 8$$ (b7 + 3*b5 + 2*b4 - 2*b3 + 656*b2 - 1141198*b1) / 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 1776\beta_{7} + 444\beta_{6} + 11100\beta_{4} - 377593\beta_{3} - 1776\beta_{2} + 5328\beta _1 + 207328941409 ) / 4$$ (1776*b7 + 444*b6 + 11100*b4 - 377593*b3 - 1776*b2 + 5328*b1 + 207328941409) / 4 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 319487 \beta_{7} - 1499523 \beta_{5} - 4276994 \beta_{4} + 1819010 \beta_{3} - 792634640 \beta_{2} + 362708638734 \beta_1 ) / 8$$ (319487*b7 - 1499523*b5 - 4276994*b4 + 1819010*b3 - 792634640*b2 + 362708638734*b1) / 8 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 927045360 \beta_{7} - 436228668 \beta_{6} - 5998500828 \beta_{4} + 137204036265 \beta_{3} + 927045360 \beta_{2} - 2781136080 \beta _1 - 65\!\cdots\!01 ) / 4$$ (-927045360*b7 - 436228668*b6 - 5998500828*b4 + 137204036265*b3 + 927045360*b2 - 2781136080*b1 - 65851160816938001) / 4 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 321125173071 \beta_{7} + 614088211347 \beta_{5} + 2512677114978 \beta_{4} - 935213384418 \beta_{3} + 502145329633296 \beta_{2} - 12\!\cdots\!02 \beta_1 ) / 8$$ (-321125173071*b7 + 614088211347*b5 + 2512677114978*b4 - 935213384418*b3 + 502145329633296*b2 - 122196954824937902*b1) / 8

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$2$$ $$\chi(n)$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
4.1
 − 607.943i − 490.322i − 337.134i − 56.6657i 56.6657i 337.134i 490.322i 607.943i
1215.89i 18754.1i −954092. 4.05746e6 + 1.61570e6i 2.28029e7 1.79878e8i 5.22593e8i 8.10544e8 1.96451e9 4.93341e9i
4.2 980.644i 42067.9i −437374. −2.12371e6 3.81619e6i −4.12537e7 4.16374e7i 8.52313e7i −6.07450e8 −3.74233e9 + 2.08261e9i
4.3 674.268i 35433.1i 69650.8 −4.08230e6 + 1.55186e6i 2.38914e7 1.27830e8i 4.00474e8i −9.32466e7 1.04637e9 + 2.75257e9i
4.4 113.331i 33157.6i 511444. 2.22206e6 + 3.75978e6i −3.75780e6 2.70208e7i 1.17381e8i 6.28322e7 4.26102e8 2.51829e8i
4.5 113.331i 33157.6i 511444. 2.22206e6 3.75978e6i −3.75780e6 2.70208e7i 1.17381e8i 6.28322e7 4.26102e8 + 2.51829e8i
4.6 674.268i 35433.1i 69650.8 −4.08230e6 1.55186e6i 2.38914e7 1.27830e8i 4.00474e8i −9.32466e7 1.04637e9 2.75257e9i
4.7 980.644i 42067.9i −437374. −2.12371e6 + 3.81619e6i −4.12537e7 4.16374e7i 8.52313e7i −6.07450e8 −3.74233e9 2.08261e9i
4.8 1215.89i 18754.1i −954092. 4.05746e6 1.61570e6i 2.28029e7 1.79878e8i 5.22593e8i 8.10544e8 1.96451e9 + 4.93341e9i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 4.8 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
5.b even 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 5.20.b.a 8
3.b odd 2 1 45.20.b.b 8
4.b odd 2 1 80.20.c.a 8
5.b even 2 1 inner 5.20.b.a 8
5.c odd 4 2 25.20.a.f 8
15.d odd 2 1 45.20.b.b 8
20.d odd 2 1 80.20.c.a 8

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
5.20.b.a 8 1.a even 1 1 trivial
5.20.b.a 8 5.b even 2 1 inner
25.20.a.f 8 5.c odd 4 2
45.20.b.b 8 3.b odd 2 1
45.20.b.b 8 15.d odd 2 1
80.20.c.a 8 4.b odd 2 1
80.20.c.a 8 20.d odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{20}^{\mathrm{new}}(5, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{8} + 2907524 T^{6} + \cdots + 83\!\cdots\!96$$
$3$ $$T^{8} + 4476366576 T^{6} + \cdots + 85\!\cdots\!96$$
$5$ $$T^{8} - 147000 T^{7} + \cdots + 13\!\cdots\!25$$
$7$ $$T^{8} + \cdots + 66\!\cdots\!16$$
$11$ $$(T^{4} + 1689787632 T^{3} + \cdots + 34\!\cdots\!96)^{2}$$
$13$ $$T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!76$$
$17$ $$T^{8} + \cdots + 77\!\cdots\!56$$
$19$ $$(T^{4} - 2273594190320 T^{3} + \cdots + 35\!\cdots\!00)^{2}$$
$23$ $$T^{8} + \cdots + 38\!\cdots\!56$$
$29$ $$(T^{4} + 94111150172520 T^{3} + \cdots - 22\!\cdots\!00)^{2}$$
$31$ $$(T^{4} - 36057503343488 T^{3} + \cdots + 16\!\cdots\!56)^{2}$$
$37$ $$T^{8} + \cdots + 63\!\cdots\!36$$
$41$ $$(T^{4} + \cdots + 12\!\cdots\!36)^{2}$$
$43$ $$T^{8} + \cdots + 88\!\cdots\!16$$
$47$ $$T^{8} + \cdots + 65\!\cdots\!76$$
$53$ $$T^{8} + \cdots + 67\!\cdots\!96$$
$59$ $$(T^{4} + \cdots + 41\!\cdots\!00)^{2}$$
$61$ $$(T^{4} + \cdots - 62\!\cdots\!04)^{2}$$
$67$ $$T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!56$$
$71$ $$(T^{4} + \cdots - 26\!\cdots\!24)^{2}$$
$73$ $$T^{8} + \cdots + 14\!\cdots\!56$$
$79$ $$(T^{4} + \cdots - 16\!\cdots\!00)^{2}$$
$83$ $$T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!36$$
$89$ $$(T^{4} + \cdots + 12\!\cdots\!00)^{2}$$
$97$ $$T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!76$$