# Properties

 Label 5.13.c.a Level $5$ Weight $13$ Character orbit 5.c Analytic conductor $4.570$ Analytic rank $0$ Dimension $10$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$5$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$13$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 5.c (of order $$4$$, degree $$2$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$4.56996908638$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$10$$ Relative dimension: $$5$$ over $$\Q(i)$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{10} + \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{10} + 7950x^{8} + 16939113x^{6} + 4574579500x^{4} + 337520899536x^{2} + 6615595526400$$ x^10 + 7950*x^8 + 16939113*x^6 + 4574579500*x^4 + 337520899536*x^2 + 6615595526400 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{9}]$$ Coefficient ring index: $$2^{13}\cdot 3^{2}\cdot 5^{9}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{4}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{9}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{5} q^{2} + (3 \beta_{6} - \beta_{3} - 31 \beta_1 + 31) q^{3} + ( - \beta_{8} + 8 \beta_{6} + 8 \beta_{5} + 1549 \beta_1) q^{4} + (2 \beta_{8} + \beta_{7} - 27 \beta_{6} - 6 \beta_{5} + 2 \beta_{4} + 3 \beta_{3} + \cdots - 420) q^{5}+ \cdots + ( - 3 \beta_{9} + 55 \beta_{8} + \beta_{7} + 2471 \beta_{6} + 2471 \beta_{5} + \cdots - 2) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b5 * q^2 + (3*b6 - b3 - 31*b1 + 31) * q^3 + (-b8 + 8*b6 + 8*b5 + 1549*b1) * q^4 + (2*b8 + b7 - 27*b6 - 6*b5 + 2*b4 + 3*b3 - 2616*b1 - 420) * q^5 + (b9 + b8 + 3*b7 + 19*b6 - 19*b5 + 28*b4 + 26*b3 + 10*b2 + 2*b1 - 17503) * q^6 + (-2*b9 - 17*b8 + 4*b7 + 23*b5 - 23*b4 - 2*b3 - 19*b2 + 27958*b1 + 27954) * q^7 + (4*b9 - 31*b8 + 2*b7 + 552*b6 + 2*b4 - 154*b3 + 33*b2 + 47135*b1 - 47131) * q^8 + (-3*b9 + 55*b8 + b7 + 2471*b6 + 2471*b5 + 301*b4 - 303*b3 - b2 - 111341*b1 - 2) * q^9 $$q + \beta_{5} q^{2} + (3 \beta_{6} - \beta_{3} - 31 \beta_1 + 31) q^{3} + ( - \beta_{8} + 8 \beta_{6} + 8 \beta_{5} + 1549 \beta_1) q^{4} + (2 \beta_{8} + \beta_{7} - 27 \beta_{6} - 6 \beta_{5} + 2 \beta_{4} + 3 \beta_{3} + \cdots - 420) q^{5}+ \cdots + (15997938 \beta_{9} + 18816424 \beta_{8} + \cdots + 10665292) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b5 * q^2 + (3*b6 - b3 - 31*b1 + 31) * q^3 + (-b8 + 8*b6 + 8*b5 + 1549*b1) * q^4 + (2*b8 + b7 - 27*b6 - 6*b5 + 2*b4 + 3*b3 - 2616*b1 - 420) * q^5 + (b9 + b8 + 3*b7 + 19*b6 - 19*b5 + 28*b4 + 26*b3 + 10*b2 + 2*b1 - 17503) * q^6 + (-2*b9 - 17*b8 + 4*b7 + 23*b5 - 23*b4 - 2*b3 - 19*b2 + 27958*b1 + 27954) * q^7 + (4*b9 - 31*b8 + 2*b7 + 552*b6 + 2*b4 - 154*b3 + 33*b2 + 47135*b1 - 47131) * q^8 + (-3*b9 + 55*b8 + b7 + 2471*b6 + 2471*b5 + 301*b4 - 303*b3 - b2 - 111341*b1 - 2) * q^9 + (b9 + 58*b8 - 21*b7 - 7752*b6 + 249*b5 - 1020*b4 + 514*b3 - 73*b2 - 38019*b1 + 156704) * q^10 + (-22*b9 - 22*b8 - 66*b7 + 2915*b6 - 2915*b5 + 1309*b4 + 1353*b3 - 44*b2 - 44*b1 + 30624) * q^11 + (46*b9 + 116*b8 - 92*b7 - 31616*b5 - 1770*b4 + 46*b3 + 162*b2 - 242690*b1 - 242598) * q^12 + (-96*b9 + 469*b8 - 48*b7 - 26236*b6 - 48*b4 - 3066*b3 - 517*b2 - 533662*b1 + 533566) * q^13 + (75*b9 - 588*b8 - 25*b7 + 83229*b6 + 83229*b5 + 550*b4 - 500*b3 + 25*b2 + 179761*b1 + 50) * q^14 + (-26*b9 - 1057*b8 + 184*b7 - 105399*b6 + 79648*b5 + 1996*b4 + 275*b3 + 1173*b2 + 2529736*b1 - 544514) * q^15 + (206*b9 + 206*b8 + 618*b7 + 115648*b6 - 115648*b5 - 3432*b4 - 3844*b3 - 792*b2 + 412*b1 + 3006882) * q^16 + (-458*b9 + 732*b8 + 916*b7 - 210518*b5 + 12080*b4 - 458*b3 + 274*b2 - 4166125*b1 - 4167041) * q^17 + (1012*b9 - 2943*b8 + 506*b7 - 217297*b6 + 506*b4 + 27646*b3 + 3449*b2 + 14008303*b1 - 14007291) * q^18 + (-834*b9 + 1832*b8 + 278*b7 + 272752*b6 + 272752*b5 - 13222*b4 + 12666*b3 - 278*b2 - 15464926*b1 - 556) * q^19 + (304*b9 + 5380*b8 - 810*b7 - 309056*b6 + 307152*b5 + 29218*b4 - 30322*b3 - 7767*b2 + 2604140*b1 + 33620561) * q^20 + (-1015*b9 - 1015*b8 - 3045*b7 + 322913*b6 - 322913*b5 - 50095*b4 - 48065*b3 + 8381*b2 - 2030*b1 + 10602424) * q^21 + (2486*b9 - 10219*b8 - 4972*b7 + 135322*b5 - 2002*b4 + 2486*b3 - 7733*b2 - 15526423*b1 - 15521451) * q^22 + (-5980*b9 + 10095*b8 - 2990*b7 + 139245*b6 - 2990*b4 - 28219*b3 - 13085*b2 + 51042506*b1 - 51048486) * q^23 + (5316*b9 + 6544*b8 - 1772*b7 - 927544*b6 - 927544*b5 - 16472*b4 + 20016*b3 + 1772*b2 - 108149012*b1 + 3544) * q^24 + (-2075*b9 - 1625*b8 + 1375*b7 + 1215425*b6 - 1369725*b5 - 64775*b4 + 109975*b3 + 26475*b2 + 93294000*b1 + 93716325) * q^25 + (2368*b9 + 2368*b8 + 7104*b7 - 2075473*b6 + 2075473*b5 + 229904*b4 + 225168*b3 - 31750*b2 + 4736*b1 + 148499022) * q^26 + (-7176*b9 + 35904*b8 + 14352*b7 + 1880484*b5 - 141612*b4 - 7176*b3 + 28728*b2 - 199035168*b1 - 199049520) * q^27 + (20236*b9 - 23954*b8 + 10118*b7 + 3136240*b6 + 10118*b4 - 228110*b3 + 34072*b2 + 356888846*b1 - 356868610) * q^28 + (-20418*b9 - 65844*b8 + 6806*b7 - 2459782*b6 - 2459782*b5 + 391156*b4 - 404768*b3 - 6806*b2 - 325207178*b1 - 13612) * q^29 + (8855*b9 - 84051*b8 + 3037*b7 + 5720131*b6 - 2450307*b5 - 394116*b4 - 51554*b3 - 48290*b2 + 450241808*b1 + 590521655) * q^30 + (874*b9 + 874*b8 + 2622*b7 - 3454355*b6 + 3454355*b5 - 57453*b4 - 59201*b3 + 46048*b2 + 1748*b1 + 309076428) * q^31 + (4972*b9 + 2762*b8 - 9944*b7 + 6036416*b5 + 358396*b4 + 4972*b3 + 7734*b2 - 461112846*b1 - 461102902) * q^32 + (-29172*b9 + 58608*b8 - 14586*b7 + 1214466*b6 - 14586*b4 + 412676*b3 - 73194*b2 + 750527294*b1 - 750556466) * q^33 + (41466*b9 + 181704*b8 - 13822*b7 - 6525199*b6 - 6525199*b5 - 1046572*b4 + 1074216*b3 + 13822*b2 - 1185338210*b1 + 27644) * q^34 + (-22374*b9 + 316448*b8 - 18326*b7 - 6631892*b6 - 153171*b5 + 1400245*b4 + 77474*b3 + 62302*b2 + 137217861*b1 + 934677179) * q^35 + (-20194*b9 - 20194*b8 - 60582*b7 + 10365848*b6 - 10365848*b5 - 747432*b4 - 707044*b3 + 2783*b2 - 40388*b1 + 771646727) * q^36 + (37858*b9 - 348157*b8 - 75716*b7 - 12313790*b5 - 864170*b4 + 37858*b3 - 310299*b2 - 262697360*b1 - 262621644) * q^37 + (-52432*b9 - 132102*b8 - 26216*b7 - 16602752*b6 - 26216*b4 + 380456*b3 + 105886*b2 + 1527574814*b1 - 1527627246) * q^38 + (3102*b9 - 85436*b8 - 1034*b7 + 29847689*b6 + 29847689*b5 + 595841*b4 - 593773*b3 + 1034*b2 - 1201325824*b1 + 2068) * q^39 + (19290*b9 - 278405*b8 + 18860*b7 - 13867480*b6 + 29877760*b5 - 187150*b4 - 2179590*b3 - 154795*b2 + 1114843415*b1 + 1598373035) * q^40 + (41239*b9 + 41239*b8 + 123717*b7 + 11701795*b6 - 11701795*b5 - 1355183*b4 - 1437661*b3 + 51453*b2 + 82478*b1 + 735970658) * q^41 + (-127102*b9 + 861133*b8 + 254204*b7 - 24258430*b5 + 4270666*b4 - 127102*b3 + 734031*b2 - 1863050651*b1 - 1863304855) * q^42 + (325960*b9 + 82010*b8 + 162980*b7 - 7194633*b6 + 162980*b4 + 2148163*b3 + 80970*b2 + 576751863*b1 - 576425903) * q^43 + (-267234*b9 - 543466*b8 + 89078*b7 + 21368336*b6 + 21368336*b5 - 539572*b4 + 361416*b3 - 89078*b2 + 682730180*b1 - 178156) * q^44 + (78366*b9 - 934015*b8 + 62555*b7 - 54581789*b6 - 10612712*b5 - 1938988*b4 + 5503647*b3 + 214357*b2 + 1562066090*b1 - 1041446056) * q^45 + (22979*b9 + 22979*b8 + 68937*b7 + 21761715*b6 - 21761715*b5 + 6857412*b4 + 6811454*b3 - 425852*b2 + 45958*b1 - 744315467) * q^46 + (84130*b9 - 167695*b8 - 168260*b7 - 58354321*b5 - 9178823*b4 + 84130*b3 - 83565*b2 + 1591717488*b1 + 1591885748) * q^47 + (-518512*b9 + 391068*b8 - 259256*b7 - 17795840*b6 - 259256*b4 - 12309416*b3 - 650324*b2 - 4258527548*b1 + 4258009036) * q^48 + (693171*b9 + 718301*b8 - 231057*b7 + 25701365*b6 + 25701365*b5 + 7034643*b4 - 6572529*b3 + 231057*b2 + 3189136393*b1 + 462114) * q^49 + (-330050*b9 + 2417025*b8 - 151800*b7 + 94620800*b6 - 6210975*b5 - 6205950*b4 - 2836750*b3 + 1014275*b2 - 7822734075*b1 - 6853342575) * q^50 + (-196164*b9 - 196164*b8 - 588492*b7 - 127423929*b6 + 127423929*b5 - 377117*b4 + 15211*b3 - 350676*b2 - 392328*b1 - 3263121530) * q^51 + (350380*b9 - 2422695*b8 - 700760*b7 + 185635968*b5 - 1630532*b4 + 350380*b3 - 2072315*b2 + 9712377967*b1 + 9713078727) * q^52 + (-248116*b9 - 481351*b8 - 124058*b7 + 170203258*b6 - 124058*b4 + 5721798*b3 + 357293*b2 - 10143675498*b1 + 10143427382) * q^53 + (-489564*b9 + 1157112*b8 + 163188*b7 - 275765328*b6 - 275765328*b5 - 11606712*b4 + 11280336*b3 - 163188*b2 + 10378537284*b1 - 326376) * q^54 + (506000*b9 - 674806*b8 - 110528*b7 + 38380881*b6 - 190366957*b5 + 10849069*b4 + 3313541*b3 - 4061750*b2 - 6408470002*b1 - 8461511740) * q^55 + (123028*b9 + 123028*b8 + 369084*b7 + 122015816*b6 - 122015816*b5 - 10544816*b4 - 10790872*b3 + 4415328*b2 + 246056*b1 - 17252489764) * q^56 + (-719760*b9 + 3573390*b8 + 1439520*b7 + 104511228*b5 + 24908472*b4 - 719760*b3 + 2853630*b2 + 2800523418*b1 + 2799083898) * q^57 + (2018568*b9 - 931952*b8 + 1009284*b7 - 133212688*b6 + 1009284*b4 + 30869580*b3 + 1941236*b2 - 13555860792*b1 + 13557879360) * q^58 + (-1308990*b9 - 1608672*b8 + 436330*b7 - 18109844*b6 - 18109844*b5 - 1485070*b4 + 612410*b3 - 436330*b2 + 23045944166*b1 - 872660) * q^59 + (20746*b9 - 2818172*b8 + 558864*b7 + 391014448*b6 + 236157824*b5 + 13477390*b4 - 21466466*b3 + 2621542*b2 - 11556212654*b1 - 22044605166) * q^60 + (478515*b9 + 478515*b8 + 1435545*b7 - 357438525*b6 + 357438525*b5 - 16011855*b4 - 16968885*b3 - 5811495*b2 + 957030*b1 + 908293082) * q^61 + (-198262*b9 - 1781477*b8 + 396524*b7 + 226435162*b5 - 6448366*b4 - 198262*b3 - 1979739*b2 + 19372537191*b1 + 19372140667) * q^62 + (-2050492*b9 - 1777437*b8 - 1025246*b7 + 349127461*b6 - 1025246*b4 - 23288875*b3 + 752191*b2 - 20673408682*b1 + 20671358190) * q^63 + (3485532*b9 - 5392320*b8 - 1161844*b7 + 49112576*b6 + 49112576*b5 + 12708056*b4 - 10384368*b3 + 1161844*b2 + 21962222436*b1 + 2323688) * q^64 + (-1504801*b9 + 865613*b8 + 233519*b7 - 381787219*b6 - 288497687*b5 - 1298259*b4 - 2537395*b3 + 9454123*b2 - 4754870749*b1 - 33788369439) * q^65 + (-456962*b9 - 456962*b8 - 1370886*b7 + 569846398*b6 - 569846398*b5 + 19465864*b4 + 20379788*b3 - 5843948*b2 - 913924*b1 - 6302594122) * q^66 + (1543252*b9 + 2743242*b8 - 3086504*b7 - 920570223*b5 - 29446685*b4 + 1543252*b3 + 4286494*b2 - 8191752935*b1 - 8188666431) * q^67 + (-1548184*b9 + 14907801*b8 - 774092*b7 - 1052975536*b6 - 774092*b4 - 19440676*b3 - 15681893*b2 - 20674453645*b1 + 20672905461) * q^68 + (-2547681*b9 + 10600295*b8 + 849227*b7 + 666542137*b6 + 666542137*b5 - 43608623*b4 + 41910169*b3 - 849227*b2 - 10645084592*b1 - 1698454) * q^69 + (2757153*b9 - 797060*b8 - 1772155*b7 - 834622147*b6 + 808507549*b5 - 27574894*b4 + 101311716*b3 - 13188319*b2 - 823343885*b1 + 38039185352) * q^70 + (-1273230*b9 - 1273230*b8 - 3819690*b7 - 81174075*b6 + 81174075*b5 + 57930235*b4 + 60476695*b3 + 17198840*b2 - 2546460*b1 - 4595879828) * q^71 + (370206*b9 + 854001*b8 - 740412*b7 - 374948568*b5 - 16479354*b4 + 370206*b3 + 1224207*b2 - 1477048011*b1 - 1476307599) * q^72 + (2917968*b9 - 12896202*b8 + 1458984*b7 + 745932300*b6 + 1458984*b4 - 33219696*b3 + 14355186*b2 + 45007413377*b1 - 45004495409) * q^73 + (-1298586*b9 - 52166*b8 + 432862*b7 + 552683985*b6 + 552683985*b5 + 127889212*b4 - 128754936*b3 - 432862*b2 - 68550908120*b1 - 865724) * q^74 + (-2073800*b9 + 12489350*b8 - 769700*b7 - 668909025*b6 - 526261700*b5 - 137190500*b4 - 138114825*b3 - 14161350*b2 + 39928361075*b1 + 71942425425) * q^75 + (1153516*b9 + 1153516*b8 + 3460548*b7 + 650181712*b6 - 650181712*b5 - 42868752*b4 - 45175784*b3 - 7859264*b2 + 2307032*b1 + 30230108932) * q^76 + (-3352338*b9 - 23045748*b8 + 6704676*b7 - 55941094*b5 + 45907752*b4 - 3352338*b3 - 26398086*b2 - 42561974532*b1 - 42568679208) * q^77 + (2696156*b9 - 35459109*b8 + 1348078*b7 - 441286586*b6 + 1348078*b4 + 15996922*b3 + 36807187*b2 + 169002123733*b1 - 168999427577) * q^78 + (2326956*b9 - 6968620*b8 - 775652*b7 + 529713288*b6 + 529713288*b5 - 34058552*b4 + 35609856*b3 + 775652*b2 - 64626318320*b1 + 1551304) * q^79 + (-278990*b9 - 4857568*b8 + 5189466*b7 + 877289728*b6 + 1108941184*b5 + 193493652*b4 + 115866168*b3 + 27516270*b2 + 31704334894*b1 + 87415779620) * q^80 + (3750675*b9 + 3750675*b8 + 11252025*b7 - 832040841*b6 + 832040841*b5 + 67098825*b4 + 59597475*b3 + 5909973*b2 + 7501350*b1 + 111141692637) * q^81 + (-2400882*b9 + 26757553*b8 + 4801764*b7 + 414358082*b5 - 50790426*b4 - 2400882*b3 + 24356671*b2 - 67114655899*b1 - 67119457663) * q^82 + (-1064800*b9 + 62219200*b8 - 532400*b7 - 299220649*b6 - 532400*b4 + 87806227*b3 - 62751600*b2 + 9046343737*b1 - 9047408537) * q^83 + (-2157978*b9 + 7089166*b8 + 719326*b7 - 2852788192*b6 - 2852788192*b5 - 220087524*b4 + 218648872*b3 - 719326*b2 - 181598709276*b1 - 1438652) * q^84 + (3081251*b9 - 25661472*b8 + 2610339*b7 + 1546742653*b6 - 1963088411*b5 + 223882575*b4 - 45021031*b3 + 26853802*b2 + 200391665846*b1 + 53716744254) * q^85 + (-3127083*b9 - 3127083*b8 - 9381249*b7 + 281623251*b6 - 281623251*b5 - 294760724*b4 - 288506558*b3 - 11011114*b2 - 6254166*b1 + 41180895169) * q^86 + (10375948*b9 + 6514658*b8 - 20751896*b7 + 3275317732*b5 + 262351852*b4 + 10375948*b3 + 16890606*b2 - 207141744342*b1 - 207120992446) * q^87 + (-17855552*b9 + 7190128*b8 - 8927776*b7 + 2258329744*b6 - 8927776*b4 + 139255072*b3 - 16117904*b2 + 184659748240*b1 - 184677603792) * q^88 + (12876636*b9 - 60523552*b8 - 4292212*b7 - 2645320316*b6 - 2645320316*b5 - 14313712*b4 + 22898136*b3 + 4292212*b2 + 27880756676*b1 + 8584424) * q^89 + (-8108131*b9 + 2194908*b8 - 12692021*b7 + 3661446631*b6 - 1124769912*b5 - 207747224*b4 - 396353050*b3 - 63524537*b2 - 59575409209*b1 + 308782808016) * q^90 + (-8737952*b9 - 8737952*b8 - 26213856*b7 - 3009177049*b6 + 3009177049*b5 - 118771881*b4 - 101295977*b3 - 41766612*b2 - 17475904*b1 + 274927308738) * q^91 + (2549278*b9 + 11483788*b8 - 5098556*b7 + 1149202032*b5 - 253796922*b4 + 2549278*b3 + 14033066*b2 + 90864732502*b1 + 90869831058) * q^92 + (20049924*b9 - 28241136*b8 + 10024962*b7 - 145221414*b6 + 10024962*b4 - 119548928*b3 + 38266098*b2 + 9128778886*b1 - 9108728962) * q^93 + (-28297029*b9 + 110770872*b8 + 9432343*b7 + 1166642797*b6 + 1166642797*b5 + 378385318*b4 - 397250004*b3 - 9432343*b2 - 333789859059*b1 - 18864686) * q^94 + (16847850*b9 + 32302120*b8 - 9236690*b7 + 400557980*b6 + 1522266440*b5 - 229724930*b4 + 570029130*b3 - 3164050*b2 + 148745901790*b1 - 104169150800) * q^95 + (5565448*b9 + 5565448*b8 + 16696344*b7 - 1542009536*b6 + 1542009536*b5 + 715152544*b4 + 704021648*b3 + 52292224*b2 + 11130896*b1 - 346415968360) * q^96 + (-19506756*b9 - 14644276*b8 + 39013512*b7 - 2211395576*b5 - 259357116*b4 - 19506756*b3 - 34151032*b2 - 141432234119*b1 - 141471247631) * q^97 + (18795772*b9 - 67331233*b8 + 9397886*b7 + 1309667521*b6 + 9397886*b4 - 184659478*b3 + 76729119*b2 + 148469450369*b1 - 148450654597) * q^98 + (15997938*b9 + 18816424*b8 - 5332646*b7 - 902769373*b6 - 902769373*b5 - 81439721*b4 + 92105013*b3 + 5332646*b2 + 312683727136*b1 + 10665292) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$10 q - 2 q^{2} + 318 q^{3} - 4250 q^{5} - 175080 q^{6} + 279598 q^{7} - 469980 q^{8}+O(q^{10})$$ 10 * q - 2 * q^2 + 318 * q^3 - 4250 * q^5 - 175080 * q^6 + 279598 * q^7 - 469980 * q^8 $$10 q - 2 q^{2} + 318 q^{3} - 4250 q^{5} - 175080 q^{6} + 279598 q^{7} - 469980 q^{8} + 1552150 q^{10} + 312620 q^{11} - 2359992 q^{12} + 5290738 q^{13} - 5821650 q^{15} + 30547960 q^{16} - 41269502 q^{17} - 140573742 q^{18} + 334988100 q^{20} + 107493420 q^{21} - 155490544 q^{22} - 510099842 q^{23} + 942201250 q^{25} + 1475846420 q^{26} - 1993958640 q^{27} - 3562106488 q^{28} + 5922516000 q^{30} + 3077089820 q^{31} - 4623883832 q^{32} - 7503698004 q^{33} + 9330787150 q^{35} + 7760793660 q^{36} - 2599618502 q^{37} - 15310240920 q^{38} + 15901243500 q^{40} + 7412079020 q^{41} - 18593270064 q^{42} - 5784410402 q^{43} - 10510145100 q^{45} - 7382547880 q^{46} + 16053249598 q^{47} + 42572492208 q^{48} - 68314688750 q^{50} - 33139878180 q^{51} + 96763417228 q^{52} + 101763514618 q^{53} - 84180068500 q^{55} - 172002747600 q^{56} + 27733489920 q^{57} + 135238672320 q^{58} - 220124568600 q^{60} + 7731718220 q^{61} + 193287375176 q^{62} + 207465112158 q^{63} - 338075024150 q^{65} - 60815472960 q^{66} - 80010636002 q^{67} + 204699541412 q^{68} + 376969924200 q^{70} - 46557252580 q^{71} - 13986370620 q^{72} - 448527032342 q^{73} + 719724648750 q^{75} + 305095930800 q^{76} - 425580405844 q^{77} - 1690993241784 q^{78} + 873032236000 q^{80} + 1107831051810 q^{81} - 671946416464 q^{82} - 91118376722 q^{83} + 543768569650 q^{85} + 414117747320 q^{86} - 2078422804320 q^{87} - 1842434230560 q^{88} + 3098742811350 q^{90} + 2737742572220 q^{91} + 906853941448 q^{92} - 91295366484 q^{93} - 1044695070000 q^{95} - 3473259523680 q^{96} - 1409507601302 q^{97} - 1481746533298 q^{98}+O(q^{100})$$ 10 * q - 2 * q^2 + 318 * q^3 - 4250 * q^5 - 175080 * q^6 + 279598 * q^7 - 469980 * q^8 + 1552150 * q^10 + 312620 * q^11 - 2359992 * q^12 + 5290738 * q^13 - 5821650 * q^15 + 30547960 * q^16 - 41269502 * q^17 - 140573742 * q^18 + 334988100 * q^20 + 107493420 * q^21 - 155490544 * q^22 - 510099842 * q^23 + 942201250 * q^25 + 1475846420 * q^26 - 1993958640 * q^27 - 3562106488 * q^28 + 5922516000 * q^30 + 3077089820 * q^31 - 4623883832 * q^32 - 7503698004 * q^33 + 9330787150 * q^35 + 7760793660 * q^36 - 2599618502 * q^37 - 15310240920 * q^38 + 15901243500 * q^40 + 7412079020 * q^41 - 18593270064 * q^42 - 5784410402 * q^43 - 10510145100 * q^45 - 7382547880 * q^46 + 16053249598 * q^47 + 42572492208 * q^48 - 68314688750 * q^50 - 33139878180 * q^51 + 96763417228 * q^52 + 101763514618 * q^53 - 84180068500 * q^55 - 172002747600 * q^56 + 27733489920 * q^57 + 135238672320 * q^58 - 220124568600 * q^60 + 7731718220 * q^61 + 193287375176 * q^62 + 207465112158 * q^63 - 338075024150 * q^65 - 60815472960 * q^66 - 80010636002 * q^67 + 204699541412 * q^68 + 376969924200 * q^70 - 46557252580 * q^71 - 13986370620 * q^72 - 448527032342 * q^73 + 719724648750 * q^75 + 305095930800 * q^76 - 425580405844 * q^77 - 1690993241784 * q^78 + 873032236000 * q^80 + 1107831051810 * q^81 - 671946416464 * q^82 - 91118376722 * q^83 + 543768569650 * q^85 + 414117747320 * q^86 - 2078422804320 * q^87 - 1842434230560 * q^88 + 3098742811350 * q^90 + 2737742572220 * q^91 + 906853941448 * q^92 - 91295366484 * q^93 - 1044695070000 * q^95 - 3473259523680 * q^96 - 1409507601302 * q^97 - 1481746533298 * q^98

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{10} + 7950x^{8} + 16939113x^{6} + 4574579500x^{4} + 337520899536x^{2} + 6615595526400$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( 26465 \nu^{9} + 176059482 \nu^{7} + 167682655437 \nu^{5} - 471206316514012 \nu^{3} - 74\!\cdots\!92 \nu ) / 33\!\cdots\!60$$ (26465*v^9 + 176059482*v^7 + 167682655437*v^5 - 471206316514012*v^3 - 74051197721967792*v) / 331432249567930560 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 2320992487 \nu^{8} + 18354612359011 \nu^{6} + \cdots + 42\!\cdots\!28 ) / 38\!\cdots\!64$$ (2320992487*v^8 + 18354612359011*v^6 + 38845393037997532*v^4 + 10130038436679479120*v^2 + 426318798942494041328) / 38260249149343664 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 1460065153745 \nu^{9} + 56782570931856 \nu^{8} + \cdots - 65\!\cdots\!80 ) / 14\!\cdots\!68$$ (-1460065153745*v^9 + 56782570931856*v^8 - 12139554619625226*v^7 + 443851486200673740*v^6 - 28622226067176430581*v^5 + 895246572101635993932*v^4 - 14156648484078610304972*v^3 + 107169695769803286210192*v^2 - 2027644187794242534025296*v - 6533501860383838228284480) / 14761263244806577695168 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 1460065153745 \nu^{9} + 56782570931856 \nu^{8} + \cdots - 65\!\cdots\!80 ) / 14\!\cdots\!68$$ (1460065153745*v^9 + 56782570931856*v^8 + 12139554619625226*v^7 + 443851486200673740*v^6 + 28622226067176430581*v^5 + 895246572101635993932*v^4 + 14156648484078610304972*v^3 + 107169695769803286210192*v^2 + 2027644187794242534025296*v - 6533501860383838228284480) / 14761263244806577695168 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 5235689538055 \nu^{9} + 55538770561995 \nu^{8} + \cdots + 59\!\cdots\!80 ) / 36\!\cdots\!20$$ (-5235689538055*v^9 + 55538770561995*v^8 - 41442283296757419*v^7 + 435965240789061795*v^6 - 87197435573947855164*v^5 + 899839510432588290600*v^4 - 20649894168080864495176*v^3 + 175947108827095765306560*v^2 - 793507565493230588239296*v + 5944836817560414423041280) / 36903158112016444237920 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 5235689538055 \nu^{9} - 55538770561995 \nu^{8} + \cdots - 59\!\cdots\!80 ) / 36\!\cdots\!20$$ (-5235689538055*v^9 - 55538770561995*v^8 - 41442283296757419*v^7 - 435965240789061795*v^6 - 87197435573947855164*v^5 - 899839510432588290600*v^4 - 20649894168080864495176*v^3 - 175947108827095765306560*v^2 - 793507565493230588239296*v - 5944836817560414423041280) / 36903158112016444237920 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 376177622934695 \nu^{9} + \cdots + 16\!\cdots\!20 ) / 36\!\cdots\!20$$ (-376177622934695*v^9 + 9729747775768230*v^8 - 2976051436518182454*v^7 + 77304269778556212630*v^6 - 6255030881417068414659*v^5 + 163052460859659824350800*v^4 - 1472166091279814924658596*v^3 + 38045822826426740187992640*v^2 - 68962051683062712569457456*v + 1617400797457427999252399520) / 36903158112016444237920 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 965372918064815 \nu^{9} + \cdots - 14\!\cdots\!76 \nu ) / 73\!\cdots\!40$$ (-965372918064815*v^9 - 7610912724754399674*v^7 - 15857812727700803242119*v^5 - 3409281739438565772959276*v^3 - 141787358891786376066203376*v) / 73806316224032888475840 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 458260888172395 \nu^{9} + 686396955964080 \nu^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!80 ) / 10\!\cdots\!20$$ (458260888172395*v^9 + 686396955964080*v^8 + 3620821054949609706*v^7 + 5464898865611044200*v^6 + 7585957296195105172011*v^5 + 11534160100210655699160*v^4 + 1728703095314786513642524*v^3 + 2641833178499739596316960*v^2 + 76473743983794177244851504*v + 117980688504678036173642880) / 10543759460576126925120
 $$\nu$$ $$=$$ $$( - 3 \beta_{9} - 8 \beta_{8} + \beta_{7} - 115 \beta_{6} - 115 \beta_{5} + 16 \beta_{4} - 18 \beta_{3} - \beta_{2} - 641 \beta _1 - 2 ) / 1500$$ (-3*b9 - 8*b8 + b7 - 115*b6 - 115*b5 + 16*b4 - 18*b3 - b2 - 641*b1 - 2) / 1500 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( \beta_{9} + \beta_{8} + 3 \beta_{7} - 1280 \beta_{6} + 1280 \beta_{5} - 272 \beta_{4} - 274 \beta_{3} - 43 \beta_{2} + 2 \beta _1 - 317606 ) / 200$$ (b9 + b8 + 3*b7 - 1280*b6 + 1280*b5 - 272*b4 - 274*b3 - 43*b2 + 2*b1 - 317606) / 200 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 23829 \beta_{9} + 54169 \beta_{8} - 7943 \beta_{7} + 1387820 \beta_{6} + 1387820 \beta_{5} - 69338 \beta_{4} + 85224 \beta_{3} + 7943 \beta_{2} + 12075838 \beta _1 + 15886 ) / 3000$$ (23829*b9 + 54169*b8 - 7943*b7 + 1387820*b6 + 1387820*b5 - 69338*b4 + 85224*b3 + 7943*b2 + 12075838*b1 + 15886) / 3000 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 907 \beta_{9} - 907 \beta_{8} - 2721 \beta_{7} + 1004276 \beta_{6} - 1004276 \beta_{5} + 207576 \beta_{4} + 209390 \beta_{3} + 36189 \beta_{2} - 1814 \beta _1 + 234283294 ) / 40$$ (-907*b9 - 907*b8 - 2721*b7 + 1004276*b6 - 1004276*b5 + 207576*b4 + 209390*b3 + 36189*b2 - 1814*b1 + 234283294) / 40 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 91566861 \beta_{9} - 210463921 \beta_{8} + 30522287 \beta_{7} - 5260650380 \beta_{6} - 5260650380 \beta_{5} + 232020842 \beta_{4} - 293065416 \beta_{3} + \cdots - 61044574 ) / 3000$$ (-91566861*b9 - 210463921*b8 + 30522287*b7 - 5260650380*b6 - 5260650380*b5 + 232020842*b4 - 293065416*b3 - 30522287*b2 - 82772851342*b1 - 61044574) / 3000 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( 21041599 \beta_{9} + 21041599 \beta_{8} + 63124797 \beta_{7} - 18616513460 \beta_{6} + 18616513460 \beta_{5} - 3930827608 \beta_{4} - 3972910806 \beta_{3} + \cdots - 4481712980374 ) / 200$$ (21041599*b9 + 21041599*b8 + 63124797*b7 - 18616513460*b6 + 18616513460*b5 - 3930827608*b4 - 3972910806*b3 - 719458777*b2 + 42083198*b1 - 4481712980374) / 200 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 351810148749 \beta_{9} + 824142222289 \beta_{8} - 117270049583 \beta_{7} + 19611758189420 \beta_{6} + 19611758189420 \beta_{5} + \cdots + 234540099166 ) / 3000$$ (351810148749*b9 + 824142222289*b8 - 117270049583*b7 + 19611758189420*b6 + 19611758189420*b5 - 776405313578*b4 + 1010945412744*b3 + 117270049583*b2 + 441604038628078*b1 + 234540099166) / 3000 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 94863113647 \beta_{9} - 94863113647 \beta_{8} - 284589340941 \beta_{7} + 68767072032500 \beta_{6} - 68767072032500 \beta_{5} + \cdots + 17\!\cdots\!62 ) / 200$$ (-94863113647*b9 - 94863113647*b8 - 284589340941*b7 + 68767072032500*b6 - 68767072032500*b5 + 14901957295064*b4 + 15091683522358*b3 + 2852120830441*b2 - 189726227294*b1 + 17185780963155062) / 200 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 13\!\cdots\!41 \beta_{9} + \cdots - 901852006264894 ) / 3000$$ (-1352778009397341*b9 - 3229433130847201*b8 + 450926003132447*b7 - 73070031671492780*b6 - 73070031671492780*b5 + 2549963392403402*b4 - 3451815398668296*b3 - 450926003132447*b2 - 2164346590698077902*b1 - 901852006264894) / 3000

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$2$$ $$\chi(n)$$ $$\beta_{1}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
2.1
 − 8.55327i 60.9123i − 62.7587i − 5.61354i 14.0132i 8.55327i − 60.9123i 62.7587i 5.61354i − 14.0132i
−61.7891 61.7891i 877.187 877.187i 3539.78i −13781.9 7362.02i −108401. 67595.3 + 67595.3i −34368.1 + 34368.1i 1.00747e6i 396679. + 1.30646e6i
2.2 −54.8437 54.8437i −506.429 + 506.429i 1919.66i 15616.9 + 502.591i 55548.9 78559.8 + 78559.8i −119359. + 119359.i 18500.3i −828925. 884053.i
2.3 3.05147 + 3.05147i −299.721 + 299.721i 4077.38i −15614.1 + 583.350i −1829.18 −139850. 139850.i 24940.8 24940.8i 351775.i −49426.1 45865.9i
2.4 34.6956 + 34.6956i 539.020 539.020i 1688.43i 12911.0 + 8800.45i 37403.2 25919.1 + 25919.1i 200694. 200694.i 49644.2i 142616. + 753290.i
2.5 77.8857 + 77.8857i −451.057 + 451.057i 8036.37i −1256.84 15574.4i −70261.7 107575. + 107575.i −306898. + 306898.i 124537.i 1.11513e6 1.31091e6i
3.1 −61.7891 + 61.7891i 877.187 + 877.187i 3539.78i −13781.9 + 7362.02i −108401. 67595.3 67595.3i −34368.1 34368.1i 1.00747e6i 396679. 1.30646e6i
3.2 −54.8437 + 54.8437i −506.429 506.429i 1919.66i 15616.9 502.591i 55548.9 78559.8 78559.8i −119359. 119359.i 18500.3i −828925. + 884053.i
3.3 3.05147 3.05147i −299.721 299.721i 4077.38i −15614.1 583.350i −1829.18 −139850. + 139850.i 24940.8 + 24940.8i 351775.i −49426.1 + 45865.9i
3.4 34.6956 34.6956i 539.020 + 539.020i 1688.43i 12911.0 8800.45i 37403.2 25919.1 25919.1i 200694. + 200694.i 49644.2i 142616. 753290.i
3.5 77.8857 77.8857i −451.057 451.057i 8036.37i −1256.84 + 15574.4i −70261.7 107575. 107575.i −306898. 306898.i 124537.i 1.11513e6 + 1.31091e6i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 3.5 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
5.c odd 4 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 5.13.c.a 10
3.b odd 2 1 45.13.g.a 10
4.b odd 2 1 80.13.p.c 10
5.b even 2 1 25.13.c.b 10
5.c odd 4 1 inner 5.13.c.a 10
5.c odd 4 1 25.13.c.b 10
15.e even 4 1 45.13.g.a 10
20.e even 4 1 80.13.p.c 10

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
5.13.c.a 10 1.a even 1 1 trivial
5.13.c.a 10 5.c odd 4 1 inner
25.13.c.b 10 5.b even 2 1
25.13.c.b 10 5.c odd 4 1
45.13.g.a 10 3.b odd 2 1
45.13.g.a 10 15.e even 4 1
80.13.p.c 10 4.b odd 2 1
80.13.p.c 10 20.e even 4 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{13}^{\mathrm{new}}(5, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{10} + 2 T^{9} + \cdots + 24\!\cdots\!32$$
$3$ $$T^{10} - 318 T^{9} + \cdots + 33\!\cdots\!32$$
$5$ $$T^{10} + 4250 T^{9} + \cdots + 86\!\cdots\!25$$
$7$ $$T^{10} - 279598 T^{9} + \cdots + 13\!\cdots\!32$$
$11$ $$(T^{5} - 156310 T^{4} + \cdots - 33\!\cdots\!32)^{2}$$
$13$ $$T^{10} - 5290738 T^{9} + \cdots + 12\!\cdots\!32$$
$17$ $$T^{10} + 41269502 T^{9} + \cdots + 18\!\cdots\!32$$
$19$ $$T^{10} + \cdots + 47\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{10} + 510099842 T^{9} + \cdots + 29\!\cdots\!32$$
$29$ $$T^{10} + \cdots + 76\!\cdots\!00$$
$31$ $$(T^{5} - 1538544910 T^{4} + \cdots - 82\!\cdots\!32)^{2}$$
$37$ $$T^{10} + 2599618502 T^{9} + \cdots + 22\!\cdots\!32$$
$41$ $$(T^{5} - 3706039510 T^{4} + \cdots - 11\!\cdots\!32)^{2}$$
$43$ $$T^{10} + 5784410402 T^{9} + \cdots + 22\!\cdots\!32$$
$47$ $$T^{10} - 16053249598 T^{9} + \cdots + 27\!\cdots\!32$$
$53$ $$T^{10} - 101763514618 T^{9} + \cdots + 91\!\cdots\!32$$
$59$ $$T^{10} + \cdots + 99\!\cdots\!00$$
$61$ $$(T^{5} - 3865859110 T^{4} + \cdots + 13\!\cdots\!68)^{2}$$
$67$ $$T^{10} + 80010636002 T^{9} + \cdots + 28\!\cdots\!32$$
$71$ $$(T^{5} + 23278626290 T^{4} + \cdots - 61\!\cdots\!32)^{2}$$
$73$ $$T^{10} + 448527032342 T^{9} + \cdots + 16\!\cdots\!32$$
$79$ $$T^{10} + \cdots + 22\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{10} + 91118376722 T^{9} + \cdots + 48\!\cdots\!32$$
$89$ $$T^{10} + \cdots + 35\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{10} + 1409507601302 T^{9} + \cdots + 32\!\cdots\!32$$