# Properties

 Label 49.26.a.e Level $49$ Weight $26$ Character orbit 49.a Self dual yes Analytic conductor $194.038$ Analytic rank $0$ Dimension $12$ CM no Inner twists $2$

# Learn more

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$49 = 7^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$26$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 49.a (trivial)

## Newform invariants

 Self dual: yes Analytic conductor: $$194.038422177$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$12$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{12} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{12} - 6 x^{11} - 1893235651143 x^{10} + \cdots + 18\!\cdots\!00$$ x^12 - 6*x^11 - 1893235651143*x^10 - 2806413319284680*x^9 + 1366207034897721655024398*x^8 + 3312795166707293294503326972*x^7 - 472740950482561735952171872520774042*x^6 - 1306463460138017667257494385745612412176*x^5 + 81582696677278884463837972328572242548650191945*x^4 + 210395555452534295320647430642617820851383278332906*x^3 - 6559737221151479218960148352096969186826132314084199521375*x^2 - 10145823620894406299505180212681539035695843286608488793425800*x + 186490559268947851964754942137649552284372963082878767942887530577000 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{13}]$$ Coefficient ring index: multiple of $$2^{48}\cdot 3^{20}\cdot 5^{5}\cdot 7^{15}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{11}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + (\beta_{2} - 705) q^{2} - \beta_1 q^{3} + (\beta_{3} - 414 \beta_{2} + 13487358) q^{4} + (\beta_{4} - 24 \beta_1) q^{5} + ( - \beta_{5} - 2 \beta_{4} - 782 \beta_1) q^{6} + ( - \beta_{8} + \beta_{7} - 766 \beta_{3} + 13042881 \beta_{2} + \cdots - 5116252380) q^{8}+ \cdots + (2 \beta_{8} - \beta_{7} + 9 \beta_{6} - 9028 \beta_{3} + \cdots + 414821946565) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (b2 - 705) * q^2 - b1 * q^3 + (b3 - 414*b2 + 13487358) * q^4 + (b4 - 24*b1) * q^5 + (-b5 - 2*b4 - 782*b1) * q^6 + (-b8 + b7 - 766*b3 + 13042881*b2 - 5116252380) * q^8 + (2*b8 - b7 + 9*b6 - 9028*b3 + 40333032*b2 + 414821946565) * q^9 $$q + (\beta_{2} - 705) q^{2} - \beta_1 q^{3} + (\beta_{3} - 414 \beta_{2} + 13487358) q^{4} + (\beta_{4} - 24 \beta_1) q^{5} + ( - \beta_{5} - 2 \beta_{4} - 782 \beta_1) q^{6} + ( - \beta_{8} + \beta_{7} - 766 \beta_{3} + 13042881 \beta_{2} + \cdots - 5116252380) q^{8}+ \cdots + (50908319360787 \beta_{8} + \cdots - 12\!\cdots\!24) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (b2 - 705) * q^2 - b1 * q^3 + (b3 - 414*b2 + 13487358) * q^4 + (b4 - 24*b1) * q^5 + (-b5 - 2*b4 - 782*b1) * q^6 + (-b8 + b7 - 766*b3 + 13042881*b2 - 5116252380) * q^8 + (2*b8 - b7 + 9*b6 - 9028*b3 + 40333032*b2 + 414821946565) * q^9 + (-b9 - 102*b5 + 171*b4 + 803437*b1) * q^10 + (39*b8 - 51*b7 - 125*b6 + 27212*b3 + 202888584*b2 + 3299454639804) * q^11 + (b10 + b9 + 348*b5 + 4518*b4 - 1816049*b1) * q^12 + (-b11 + b10 + 4*b9 + 570*b5 + 34613*b4 + 8088801*b1) * q^13 + (-4282*b8 - 3188*b7 + 2377*b6 + 949852*b3 - 21337803775*b2 + 29795522725512) * q^15 + (-2570*b8 - 5686*b7 - 5632*b6 + 3448924*b3 - 12901599398*b2 + 158119535404888) * q^16 + (13*b11 + 63*b10 - 172*b9 + 762*b5 - 62224*b4 - 84554321*b1) * q^17 + (19761*b8 - 13865*b7 - 21184*b6 - 7755740*b3 + 126732793120*b2 + 1584788071172275) * q^18 + (-78*b11 - 126*b10 - 2000*b9 - 273984*b5 + 2036100*b4 + 2670282059*b1) * q^19 + (-104*b11 + 579*b10 + 2999*b9 + 322584*b5 + 5347542*b4 - 1810810631*b1) * q^20 + (49587*b8 + 412437*b7 + 657984*b6 - 657051732*b3 + 4261464392829*b2 + 7117448613019660) * q^22 + (211508*b8 + 17986*b7 - 1632241*b6 + 432262644*b3 + 4222189838589*b2 + 6433081887363840) * q^23 + (-312*b11 + 958*b10 - 44702*b9 - 2312628*b5 + 37098456*b4 + 40058898318*b1) * q^24 + (1479274*b8 - 1642429*b7 + 1960361*b6 - 2425958404*b3 + 8566558841980*b2 + 191394916299817411) * q^25 + (2768*b11 + 1584*b10 - 127403*b9 - 29290038*b5 - 115012239*b4 + 53680591271*b1) * q^26 + (4602*b11 - 16078*b10 + 36704*b9 - 42382680*b5 - 209130540*b4 - 105141500568*b1) * q^27 + (-10561532*b8 + 2152472*b7 + 8604528*b6 - 18276969440*b3 + 173336047166792*b2 + 724541590226944674) * q^29 + (-26845991*b8 + 19007711*b7 + 17802176*b6 - 1603659964*b3 + 55167489635755*b2 - 1014163232654314224) * q^30 + (936*b11 - 68784*b10 + 349616*b9 + 236956200*b5 + 1805883264*b4 - 109390096622*b1) * q^31 + (6477140*b8 + 8858668*b7 + 55641088*b6 - 4366689368*b3 - 168751830683444*b2 - 540282638343496560) * q^32 + (-42861*b11 + 14369*b10 + 2299436*b9 - 866433082*b5 - 3741749126*b4 - 2204098150319*b1) * q^33 + (-80080*b11 + 163984*b10 - 1162454*b9 - 2283271980*b5 + 6832637570*b4 - 93686517378*b1) * q^34 + (10540516*b8 + 111700444*b7 - 168175104*b6 + 59088667405*b3 + 10546205872614*b2 - 9137688591615924538) * q^36 + (161562952*b8 - 22123426*b7 - 32348254*b6 + 64578433816*b3 + 1103739732760288*b2 + 12654452083466404010) * q^37 + (60320*b11 + 1181088*b10 + 5573740*b9 + 5727089181*b5 + 79296035590*b4 - 5324585168374*b1) * q^38 + (-148170326*b8 - 114510640*b7 - 1073375593*b6 + 1125056570276*b3 - 1609736354666165*b2 - 10225806686936257032) * q^39 + (358904*b11 - 483734*b10 - 7330042*b9 - 17319332460*b5 - 113396298856*b4 - 13277903243830*b1) * q^40 + (769808*b11 - 397560*b10 + 6029776*b9 - 26344969800*b5 + 101182082642*b4 - 36389503172200*b1) * q^41 + (103674143*b8 - 1526542991*b7 + 370291717*b6 - 112736714524*b3 - 19480487323250890*b2 - 31739095204594348100) * q^43 + (448568172*b8 - 1937198892*b7 - 437508608*b6 + 6161312574836*b3 - 20275900461334676*b2 + 82615798739421884088) * q^44 + (-1190241*b11 - 10492839*b10 - 89572140*b9 + 11861204274*b5 + 923866865019*b4 + 60159439347993*b1) * q^45 + (210625375*b8 + 1850355497*b7 + 4393930304*b6 + 4032165385500*b3 + 22000957542501829*b2 + 191988085319176533672) * q^46 + (-1434940*b11 + 4484604*b10 - 91011728*b9 - 46589121960*b5 - 676221920744*b4 - 29111138443798*b1) * q^47 + (-4183920*b11 - 7499788*b10 + 24184604*b9 - 30869749032*b5 + 1598440501152*b4 + 45849562746628*b1) * q^48 + (7620579377*b8 + 3773365783*b7 + 3750507328*b6 - 30428887190492*b3 + 113332364515124190*b2 + 263780576749930883253) * q^50 + (-2600206732*b8 + 13703474656*b7 + 4715968846*b6 + 53964828017608*b3 + 4052588039104118*b2 + 106748119313541138672) * q^51 + (11983752*b11 + 53022837*b10 + 428404465*b9 - 47083126344*b5 + 3792429734058*b4 - 1294863910109473*b1) * q^52 + (-1127120176*b8 - 9094393898*b7 + 20210631426*b6 + 73460871919448*b3 - 89437711534129384*b2 + 1479618223822607547750) * q^53 + (-2232672*b11 - 14280160*b10 + 843659876*b9 + 530071020786*b5 - 1506825487896*b4 - 1657271164594248*b1) * q^54 + (7947628*b11 + 92944652*b10 - 287686752*b9 + 772167576384*b5 + 5943191876728*b4 + 1436328707679968*b1) * q^55 + (-69496162066*b8 + 8019497125*b7 - 12662460041*b6 - 100817109105980*b3 + 92549463167338412*b2 - 3371339651345073118440) * q^57 + (-28432541680*b8 - 32201720144*b7 - 29369245184*b6 + 328972733390144*b3 + 167646480790927634*b2 + 7556974125077369699550) * q^58 + (-78308074*b11 - 127405458*b10 - 33864320*b9 - 872332261656*b5 - 550180906388*b4 - 5131895004953641*b1) * q^59 + (47659517956*b8 - 1167173956*b7 - 231057481216*b6 + 550198413310064*b3 - 335548038400040660*b2 + 2282961054080448612864) * q^60 + (64986272*b11 - 84485528*b10 - 1749244368*b9 + 1586791757448*b5 + 6295192497989*b4 - 10511751448693088*b1) * q^61 + (62383360*b11 - 528498048*b10 - 109719544*b9 + 2053048691850*b5 - 14952033584932*b4 + 9248962328019076*b1) * q^62 + (152327496440*b8 + 76659825160*b7 - 34900674560*b6 - 365313092133520*b3 - 300660020688414520*b2 - 12779251691534496154528) * q^64 + (213316975238*b8 + 15682478257*b7 + 68757908407*b6 + 1062782649835012*b3 - 1026337875993034360*b2 + 16708273294387357676952) * q^65 + (351803088*b11 - 107097744*b10 - 7027364820*b9 - 358003737216*b5 - 83563297144020*b4 - 33474978324381244*b1) * q^66 + (-322467720781*b8 + 96748126621*b7 + 658586841685*b6 + 760822077265924*b3 + 917638831607949218*b2 + 12361351082505783842380) * q^67 + (-403658736*b11 + 1198719114*b10 - 9095442558*b9 - 4848031608336*b5 + 62691649116692*b4 - 67237497031878882*b1) * q^68 + (-607390095*b11 + 1670365823*b10 + 11590984412*b9 - 6711557100074*b5 - 103599899679958*b4 + 33817276190232311*b1) * q^69 + (444351032344*b8 - 1019209112944*b7 - 178280101666*b6 - 535953326359960*b3 + 650959212028872086*b2 + 46868299308174638044032) * q^71 + (-531758565357*b8 + 66881848557*b7 + 456536586240*b6 + 1536957995644218*b3 - 11427021904914756243*b2 - 46243371117860262861420) * q^72 + (-1070506125*b11 + 1412142153*b10 + 18679444316*b9 + 13799622950862*b5 - 151173553340322*b4 - 158882270234630711*b1) * q^73 + (694374716370*b8 + 116953174398*b7 + 92824291456*b6 - 1246613763568888*b3 + 15122944246590658928*b2 + 42452307421276096279878) * q^74 + (1283439222*b11 - 6641235162*b10 + 58745057040*b9 - 23088230402688*b5 - 45134783589204*b4 - 387414345503667397*b1) * q^75 + (2538616288*b11 - 2189494105*b10 - 66110214729*b9 - 44656464154284*b5 - 289315946497766*b4 + 161117263002081977*b1) * q^76 + (-2338887596569*b8 + 2943894213025*b7 + 3971607777856*b6 + 477898597621180*b3 + 26673266829773170133*b2 - 67708878748218837254160) * q^78 + (785214060858*b8 - 1190062443618*b7 - 3878207196552*b6 - 9847646503332912*b3 + 28384957680177411630*b2 + 124031799344689331520392) * q^79 + (1935123632*b11 - 292693572*b10 + 52892229940*b9 + 14752814692872*b5 + 144827690394400*b4 - 616429277086321108*b1) * q^80 + (1072357706382*b8 - 2077019866899*b7 - 2612219295657*b6 - 8056004242993596*b3 + 12800025362030637108*b2 - 218691833775139690691871) * q^81 + (-1338346880*b11 + 21005524736*b10 - 99332412218*b9 + 181584968124*b5 - 103929352902674*b4 - 817617718018790654*b1) * q^82 + (-5174664560*b11 - 3576254760*b10 + 179058672560*b9 + 48320619690120*b5 + 850916093077920*b4 + 386130507168787501*b1) * q^83 + (2399618762092*b8 + 402127781378*b7 - 17735065474162*b6 + 22019589086705288*b3 + 68435037960424142800*b2 - 27805657287181847761872) * q^85 + (-1775302783275*b8 + 7933385354595*b7 + 8805940468160*b6 - 37266389263358732*b3 - 41135876941067932397*b2 - 884339298919620704092740) * q^86 + (-587715492*b11 - 25155400828*b10 - 390923183152*b9 - 114202567963640*b5 + 2052999155061896*b4 - 973981844991167950*b1) * q^87 + (-8887796968980*b8 + 3249161733396*b7 - 8574137309184*b6 - 25796134480648376*b3 + 138479072886916018260*b2 - 1240766161229777135742320) * q^88 + (-6120193027*b11 - 33253118625*b10 - 57554991884*b9 + 197662210393386*b5 - 800168890486206*b4 - 1365315271373751793*b1) * q^89 + (-1655894448*b11 + 14868533808*b10 - 279157083417*b9 + 278821689099678*b5 + 3402175605821883*b4 + 1198840563635219757*b1) * q^90 + (-5864574056100*b8 - 11445172829724*b7 + 29846559346176*b6 + 15530192411298264*b3 + 190769717343104192644*b2 + 672843597013579045979760) * q^92 + (-1174795596836*b8 - 18144117920710*b7 + 13900277260814*b6 - 58621004030385400*b3 - 248526783909799803608*b2 + 137289356172881522748720) * q^93 + (-7358901056*b11 + 101267993408*b10 + 698607188480*b9 - 138263013313122*b5 + 3479094108671932*b4 - 2122233273268305180*b1) * q^94 + (22052617213546*b8 + 10092981034784*b7 + 60909277569719*b6 - 93447945090103516*b3 + 856995566990837759995*b2 + 899359362595605886468344) * q^95 + (27685183968*b11 - 16648421256*b10 - 109008721368*b9 + 286675869782992*b5 - 1573709089821184*b4 - 1016074345932719464*b1) * q^96 + (40997658845*b11 + 13804343863*b10 + 593661280068*b9 + 384296439172194*b5 + 411827448030644*b4 - 512410541962514441*b1) * q^97 + (50908319360787*b8 - 13149620378207*b7 - 2392462326733*b6 - 8768076338808020*b3 + 778844102568997747228*b2 - 12364715668610647245524) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$12 q - 8460 q^{2} + 161848296 q^{4} - 61395028560 q^{8} + 4977863358780 q^{9}+O(q^{10})$$ 12 * q - 8460 * q^2 + 161848296 * q^4 - 61395028560 * q^8 + 4977863358780 * q^9 $$12 q - 8460 q^{2} + 161848296 q^{4} - 61395028560 q^{8} + 4977863358780 q^{9} + 39593455677648 q^{11} + 357546272706144 q^{15} + 18\!\cdots\!56 q^{16}+ \cdots - 14\!\cdots\!88 q^{99}+O(q^{100})$$ 12 * q - 8460 * q^2 + 161848296 * q^4 - 61395028560 * q^8 + 4977863358780 * q^9 + 39593455677648 * q^11 + 357546272706144 * q^15 + 1897434424858656 * q^16 + 19017456854067300 * q^18 + 85409383356235920 * q^22 + 77196982648366080 * q^23 + 2296738995597808932 * q^25 + 8694499082723336088 * q^29 - 12169958791851770688 * q^30 - 6483391660121958720 * q^32 - 109652263099391094456 * q^36 + 151853425001596848120 * q^37 - 122709680243235084384 * q^39 - 380869142455132177200 * q^43 + 991389584873062609056 * q^44 + 2303857023830118404064 * q^46 + 3165366920999170599036 * q^50 + 1280977431762493664064 * q^51 + 17755418685871290573000 * q^53 - 40456075816140877421280 * q^57 + 90683689500928436394600 * q^58 + 27395532648965383354368 * q^60 - 153351020298413953854336 * q^64 + 200499279532648292123424 * q^65 + 148336212990069406108560 * q^67 + 562419591698095656528384 * q^71 - 554920453414323154337040 * q^72 + 509427689055313155358536 * q^74 - 812506544978626047049920 * q^78 + 1488381592136271978244704 * q^79 - 2624302005301676288302452 * q^81 - 333667887446182173142464 * q^85 - 10612071587035448449112880 * q^86 - 14889193934757325628907840 * q^88 + 8074123164162948551757120 * q^92 + 1647472274074578272984640 * q^93 + 10792312351147270637620128 * q^95 - 148376588023327766946288 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{12} - 6 x^{11} - 1893235651143 x^{10} + \cdots + 18\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 31\!\cdots\!47 \nu^{11} + \cdots - 35\!\cdots\!00 ) / 27\!\cdots\!00$$ (-31521376890257024186330168604286968582301791423384296795480787523629192912565949750554064579680991514852752655891332381599984163568619464233544770264924442041072618619120100447*v^11 + 31157253504815084534177887374731621766393404463994364476406167672236005181895957283595644467525443257495041498569733726632834527399783009022634024872044513959163046031223231036177336*v^10 + 44799781260714711565072801835447880839057418774107333716836337848520562328064506134470096321999358743222135584471270867979650814682123491012595117649146451441171270286502131457457780624944*v^9 - 55025608610598310290815173608634194005525847494517904610237423850347536179181304377434914146463108075505288448531584880506021313801015220226197457394196522635179247392032619138085680721401054548*v^8 - 23105009949180266744658739512161119868389544835499878363640978683854953089455157524905871670081887896920964554694507666300593384362819890407589191657281954297533092728508731501727230199315720749473370*v^7 + 34759254477264165411577873278398594631218911537661973073404856180483115100272456776081367190825149396055776852758122447562758297956214067974194259554574510693653873581719000047416830071163013108900450633156*v^6 + 5381019734657553573200728716399656264335696236601229453522524271825421884880575883465251100720969442185562146461279022461657475335298434246750674307021251197595662885948257725649255048951306640731139411610100232*v^5 - 9429803759875566411069162071818498721265926171197740187611120427317085329307631609316888145493823735759888633674492360921924916066022348576983737554550037291793955703931830633696122250216615373647027573896037294451452*v^4 - 549670661243362222270189412729740828752507126196467740050690985445594383615586519412437548079372215568147253531424135530020544907952536346155894887725136163277514372267106782913249534735467226223217041186209037440592448551*v^3 + 1048901482594077842780085227828791916124981912287130358957696252590205505863949178986587549031480299497434893521715854328467583712897592890992622170160412373692032771606587992802075746965385633846403012470881134093441724553882900*v^2 + 573470812838644864056886017374731260287417906433165070397821964324016060211783347563895524560859123781038537500500870665427667781690803814041631931263931889427696742213230568886596367911038128558962765696330340442588285967909740305800*v - 35527133564287273966105464689805869399036162179215414530882656953258457369012393916367756067729912119063015629600047251075176138345412326767371854852007996445334326710967983510856569762193150132336655693431002193741170116280679733940852000) / 277431554633311848695547705343938754468739712126119700179083530410904551141500603103003072672873948671537104225588192688496022336368094775540882117889254075579161946757196009957163923752560563061549596904633971907194400420140953100000 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 31\!\cdots\!47 \nu^{11} + \cdots + 35\!\cdots\!00 ) / 27\!\cdots\!00$$ (31521376890257024186330168604286968582301791423384296795480787523629192912565949750554064579680991514852752655891332381599984163568619464233544770264924442041072618619120100447*v^11 - 31157253504815084534177887374731621766393404463994364476406167672236005181895957283595644467525443257495041498569733726632834527399783009022634024872044513959163046031223231036177336*v^10 - 44799781260714711565072801835447880839057418774107333716836337848520562328064506134470096321999358743222135584471270867979650814682123491012595117649146451441171270286502131457457780624944*v^9 + 55025608610598310290815173608634194005525847494517904610237423850347536179181304377434914146463108075505288448531584880506021313801015220226197457394196522635179247392032619138085680721401054548*v^8 + 23105009949180266744658739512161119868389544835499878363640978683854953089455157524905871670081887896920964554694507666300593384362819890407589191657281954297533092728508731501727230199315720749473370*v^7 - 34759254477264165411577873278398594631218911537661973073404856180483115100272456776081367190825149396055776852758122447562758297956214067974194259554574510693653873581719000047416830071163013108900450633156*v^6 - 5381019734657553573200728716399656264335696236601229453522524271825421884880575883465251100720969442185562146461279022461657475335298434246750674307021251197595662885948257725649255048951306640731139411610100232*v^5 + 9429803759875566411069162071818498721265926171197740187611120427317085329307631609316888145493823735759888633674492360921924916066022348576983737554550037291793955703931830633696122250216615373647027573896037294451452*v^4 + 549670661243362222270189412729740828752507126196467740050690985445594383615586519412437548079372215568147253531424135530020544907952536346155894887725136163277514372267106782913249534735467226223217041186209037440592448551*v^3 - 1048901482594077842780085227828791916124981912287130358957696252590205505863949178986587549031480299497434893521715854328467583712897592890992622170160412373692032771606587992802075746965385633846403012470881134093441724553882900*v^2 - 18607703572021166665790606686853751349938482180925670039654903502206957928782141357889379215111226437964329049324485288435623108954614262959867695485423738269372848698838548972268520405917002435863571887062396628199485127627834105800*v + 35526856132732640654256769142100525460281693439503288411182477869728046464461252415764653064657239245114344092495821662882487642323075958672596313969890107191258747549021226314846612598269397571773594143834097559769262921880259592987752000) / 277431554633311848695547705343938754468739712126119700179083530410904551141500603103003072672873948671537104225588192688496022336368094775540882117889254075579161946757196009957163923752560563061549596904633971907194400420140953100000 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 70\!\cdots\!49 \nu^{11} + \cdots - 40\!\cdots\!00 ) / 13\!\cdots\!00$$ (70446014882884617220091008680462216567173214027195860401334741911173546267277800925833703284662581095004443821440085598708093873876471285638456327589529846805599225627534648899649*v^11 + 21790467621181107955784821676135563849236364998070239937685669014790521891028862921771518725055609419432629294802558906391160956976117854092973464206764027670739772292022928546530992088*v^10 - 91861449677579838521055157451945242881948853120748976802197687097069417741293864165957946629599829374116782159749680786805745482992001890957382733486796879211782717236989150872557495306465248*v^9 - 33233457019201229862351568841851596736329248055512917532721183159333187964608798406117592749865096082265113940675317877096233843412408172906362456396286308094138886384354402911505925923452566156884*v^8 + 42001658834280827152955711025706744711410574969137809404233134121213918558969911662133030799280341506670837591244079215877885546182395068596568686346630709922507774496319157009495471205768526761668533590*v^7 + 19851408996810217176360557804547313578167620806191181209806680235797827079995599815064951295210369157285802829224025647476268477801557580874442599920662411953440846551884175907214543501800059797466693648854948*v^6 - 8436223691617577727390756742188804270285950182181867720822168280060515731126064832208130365856273338045901398896212573542516291001933642486444228565530240351768453354230518475080943980467476361742623543825281378344*v^5 - 6005312271019154902575375674473902238258450823882894892362995379370887044911212648982371931722584442671791025967464322514750720229900333063079685357478308884021872201109365419786221810156738017020161504065567008002974716*v^4 + 737199667821463596049540062620599273817351266082134662885447654768076421509401847523789747670772785011628356207092594663766624166529555424993988994624180594116128258176316290148927459657436308754853918457869884018774223718217*v^3 + 878086727825283422119504643319851756656379468417204403980396306566527209590890570185661151425582164263326865659628883209798100280245809850215957779678086109805730849890888123684651652584878732807116390946972572246897369596169097300*v^2 - 21253497766183955095604484356797977670154082415995009117042587084652024726456488682510201302960211403927767643407197975824190063516167472645215833059784539163272873778172282870646082847949390248219155279736695097885632705349808393532600*v - 40953381875179559848724633086580499982213101477157162893920724709408334868259691197039802525592545014196329671615633983255113872724825614587967855995703643700564248392651434768936779042540347292788704491854868605863053090783483574373592836000) / 138715777316655924347773852671969377234369856063059850089541765205452275570750301551501536336436974335768552112794096344248011168184047387770441058944627037789580973378598004978581961876280281530774798452316985953597200210070476550000 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 58\!\cdots\!49 \nu^{11} + \cdots - 10\!\cdots\!00 ) / 12\!\cdots\!00$$ (58250001936343819357946188906592236749739454272326843021966558608303665667376188209623916523709909458318578444084749307552572119066271668701473601042683062183456144116805734156679795670949*v^11 + 314328351766095734525848593831747702437839831724886128888711722169124575575200405199142532206216268437630693807465002170188436427483029386419417908800300634936767009564440066411257259399741814148*v^10 - 33684229960869786482300692664041199250507068932797022957154936690422111447217862758100828507791028766102455877426120814672163041740952253720308861304157358617481461328749088229752817888157228482032928*v^9 - 412888027243382441582462668208806528438206380017971081966849453913954680623067578157389900861106206408088211709442078025595436493535634265527035825077623902458902901700888734349947369970952604589718942950804*v^8 - 18995102469800310443267026771659341078327343673889048597012320090675251690314264757550030281764584210651001580549760542449680021325806862480930248465233706493573054730215177462809467931464618453916633104291785970*v^7 + 190564619380528245632054820482092787352896618702009384046327349775824154704578089058486362595029310135916053000946311120708843875371456711361756104991453851703225735781770153596677030208014414784654591739609789347146348*v^6 + 15560532645007566143266825866368015501404566243807913695337890314295215914428685435972968126243374762346710428386372224856551251011300276458392338189193247465294252229451134538477515627773151729687093997183335326892471569176*v^5 - 38657161246890282190219831631042777977216329729157796777331356533486386476142788027005111011286519932177603468422715401124678240589553097916219715156036438200281840622457627329743820451314683090151108627990234385552839372428611676*v^4 - 2968483101299705962859538675641630577806688321784589916614407351231574659519429356356479415785865671752230564853035504477949758489181578985748845803488287763448482911323387555590368226447194622307969622658509994327982231142248625130323*v^3 + 3418483149011139296463405392555288431198672611192328729347170961363813964598835765009743289802662579383958607471183201760855731872821528575737281108173989744251902827524602721812624115553072709303113586741655592295666943721551829583872950880*v^2 + 145639573377727567832870222605449369663359680000684993053496382556444479702347998244573611534127160819963547771323341882279387237061949170911869458016998347917999666898392641114663160556810978241541027429643931486626955270684186637676433483224200*v - 102605463980396657857031138592743848348906856711536571623269980806138967908050467332926351872423824708776448719825125569100509689646291900155913574779190900860199453929028885032154750976627448119997885340824425431637697800630868441814718416622151272000) / 12961381230491908674837317920366741627167709552477632725413619882857135302765468857591871703028979670546701762962254258852238507623724237088971816681090839831261839792089410802857166640937968216491062336975604936082101116569610644548760540000 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 75\!\cdots\!41 \nu^{11} + \cdots - 85\!\cdots\!00 ) / 32\!\cdots\!00$$ (-7584068057264905841919162629048665000706340796339293849482909538637232419737764073813995789441963395588803939970175905935636713713241630748538310630107918139093924859026895687844885173704141*v^11 + 1896836108768624016276074375987716268470794190541801709789440218677752059330274504948733357634692940241373880259690380374930584243453060817517525945166333107033439861440720268669872670625023094933*v^10 + 13061743059284255972126569770594143579049414942551965854385164342947225569093480572254375637689261733703184412294194091969618852456862891988464135161083827214550595567294548562555265693230998671087088732*v^9 - 2587157858801165323660263490519820735004883091532336211653707029106663573917355743371941086924702518364353587120717154776273881753989503353869336879917797658422532397826757349687526374984941762449241779971644*v^8 - 8057529983203753543086621989669828293742503195500770696741231091424889184749675871252597340181620760955065329819978939316374095900429791275271194346030935506336047374483744142545896970509402709102938521603022059010*v^7 + 1264483964308644992129262788533574736214713537674309623460539566483293188894460607487021754623809197349228523342162965248575071835064662149841060146675909446124916624956195356363483162545688521354775233404095487581184618*v^6 + 2136244483865228787277209054024419012937940991445415604478058287907432212139758744451728065834825591510235163793956444148277677376637096416403058295583498626505874544581880539646974178666865407860454900309152489418204061407796*v^5 - 277086089579725153929357514930501124147261372509957843819401987610016138764757171386122103435508794692168006563340855419457293117739705694491726154414569916862131872419468784145808425695886065574913301248292379999934351092486706556*v^4 - 231866740624258695586862305209915722927170605346439728007647770776258352675106643375758406511329676774787622836469292564834981505646537078893551651819175900785677488788250845608267661932892080335838524033630285493315288791324308611289153*v^3 + 26596855318589804985903595854761258862571361033260502001631094842507607902531753548747106492892007434625039313072970600355863091653097712857948661850333673864434012076334750291348272302059572109862713445073914690230524773877224533761434843025*v^2 + 7552972566627715345151483846710701432846663901771618830775412891420751637523084881566682021270337221441227307133541978107882532464523508502146464674810738978103946968810773285042092310749995197567370938774836352426847434843950103019180055038014400*v - 850061042281481030066016694345684228424807571450219576171697296262883475463338345640910077580413335335607130658168592952197071800682408812443975773602526314754411758051163829455779065036781652570241431015015811125994514504052998441125783029892986271000) / 32403453076229771687093294800916854067919273881194081813534049707142838256913672143979679257572449176366754407405635647130596269059310592722429541702727099578154599480223527007142916602344920541227655842439012340205252791424026611371901350000 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 30\!\cdots\!67 \nu^{11} + \cdots - 12\!\cdots\!00 ) / 27\!\cdots\!00$$ (-300417136155627906023553979090441209692467769224954198043173914462054519485714740923441575928950453524839988568108810690257371147759531077817747503706062233130002988888402222725074767*v^11 + 3642640470369120450872121731083460066983835521612089214534245551618375585786390679339792356737970653774617106373299613136610177457259977984661984117402590783308846452081593101748801883196*v^10 + 391992840904961099831338393528009271072735113720120740065770665221042008120801049159089374301144408348119566418237445913025084941144721734883258968747202396755776290398725215472298735219507401984*v^9 - 36097216952362743400686681091957594350977075856833762098876452361913515143841393941086350109002919901843881367846317216659721511523100601382926983155930612267846635591341875465963744519368988239199828*v^8 - 179413246419954029480471538196262644384033448935376451539622685435520431901386581261852329143411200103218565693865785971824155047691277622380258241520889635694525549428137738657604849585067893978324461065770*v^7 + 38826152882685449998491977149450059497300521702020271142002753042668567016818293098128183833882807623459590436144206331749186232596643036176221531152835163714587471915404272214384544314634375334524133918869927516*v^6 + 36119572896899725755487631967695305405967352166310458240282053737772657039998051131350786947533191456379293759197650216239096658288906763274965550485742853279893162705539983401892054773708112577521244691872265444990552*v^5 - 14452301314171360035463428362666991577365095942297660384227146969134111096333538262366125262430496445370230783042431559765779521104896608340483470005224274167567197634103737258239188981675039511529621943303641615748523663772*v^4 - 3187113686798066176939470450590841680693040534439951119104971234488513792572523530163754057703443977909118237777543614530484132864427616001829498684330119444361621426454052244433772109265018819745707473321851428687124028690399911*v^3 + 2222226832909457003856903493079829292051013978348216473828734912844516147701017006202070594285225293112306301679578576395102195246862050596916175068689321533701244428510991119999363452206732721003887346575064774659674512634891332027000*v^2 + 97180563377811364282164179827203855520707473512932524700824847232120921854807273664884570657453753754016695826931336721560638445696473872072164559087766947436221179104636033273845932316554508772825042621477310822854254167497619298176349800*v - 123316525918123619706771409916918890117245239935590865857687935501156122828891167986218018919064497682069490699679428759717015281870742826053446605746518460946364892744406574230405689860401464824025634030709809465033530674861666113694433898292000) / 277431554633311848695547705343938754468739712126119700179083530410904551141500603103003072672873948671537104225588192688496022336368094775540882117889254075579161946757196009957163923752560563061549596904633971907194400420140953100000 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 32\!\cdots\!83 \nu^{11} + \cdots + 74\!\cdots\!00 ) / 79\!\cdots\!00$$ (32654654633821226753684405559839201565471515891727163444889983325979212851321044880786528438630261455916814499412392841815815568689835372909543894042608985173941408573056312397188983*v^11 + 3414586493689315292508633330119382110491379979355372956790232592865523515326963344718469759269134465938891601968113637330050292073585373942814522539788828039607505818698416212906432694256*v^10 - 43719301252329590454572300474423222081586540655434253757096847452914492229371108279371216790141464557498295027025448158379128431623223121625464602900417276296238013047960027776507465082896474896*v^9 - 1852331668126667617104210436889363124043250467041169902942002133173112649131465184350421586328725687951750144740675662186864065688750087768751466024234605465431315287110787542401042756713037107188748*v^8 + 20744013125227666546819172526259817992879167881039009785810430327599715755982050518078533869677264642157908585532396805040037542491435671722264703020124849504060548161101837198757568571238113699738383576970*v^7 - 1258917436902614185085530410170012381986416379295193617009065388773863369533988328924599103290812776623390933596288926280528340636014324239584143544508555193366571482366577252106846923391931613232275207143012084*v^6 - 4359484330528618239874755102742588631552422593827227134409315495678111905911281061128074117641325324968048296348765615457767423382395512170297099771726001049504984029526006743408806569791000242594055186650719404169128*v^5 + 940749337622941793524029379529345786596815697119560738540631037537300281900832833487956911864593635623784457903313187004399500220600688591025816199068649039506678719208925215484922953953432621756827464616791831217842298268*v^4 + 400442408552058425981677976624583035727452529698431278967821636033821950975463969012093984357084555317228600067407957731259717330780198793040880369600313395887261296568566811531569304026350642652797574709530723180247207202299999*v^3 - 164903746382251832697784263852714769735183821536947857716058761135229786705630673665354446802377132800089461493324216841629558587741211750521846637036368888218809391048000870378881036072805626154172832801542675732342203767027527390220*v^2 - 12458666475099071170773830471512005940753756168280866787087214713128930964664510226499112683736286198001840101566322412704430107246784625645074486108385536266086452306159558931726208428559696718977428315324075982985326086861084868428371400*v + 7472349818589833612913696751299668676465435667518705641480766012463569774118530822679056832885452508118386132534777154609064935284123164740861340420660960573847403894751188548088014058067093086563389096749326943214167458103266651277848716912000) / 7926615846666052819872791581255392984821134632174848576545243726025844318328588660085802076367827104901060120731091219671314923896231279301168060511121545016547484193062743141633254964358873230329988482989542054491268583432598660000 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 82\!\cdots\!91 \nu^{11} + \cdots - 23\!\cdots\!00 ) / 11\!\cdots\!00$$ (82751839320439144002032996320024480632369309808380849861418683883333126361394932983899129286119010913534786157024870562747985175706446271936401897250503638472749165920859849004325591*v^11 + 34944666293495285822895794119192342098058910778069543631843247861396722317416790407982587170558900318914269714285625581650864505009084675254206505199004895536010858887705362901709391856517*v^10 - 106886148994674894935503606081798034448161905894618406288308966826469655411433090045618447334633915903861620773824492137971802877513723329038360996935357182595088012675225237537226528861084734532*v^9 - 51657130674738393796870568555377757307079065584175174362327377129561775689679911545318925385714997305443842004590430377650855420742917230298700377770337057437259617678634701822462973250954814561264156*v^8 + 48058506227508701085949480145172391978797054208326067804775623526201944920775350794701579101071221514312994141888142737716270679468093790006540954511349613273279066479266141236355187201697884920142325278710*v^7 + 27683520564009634773361418196901819006530349099765120569742171625708955874870068406635265882407319015704148415447263214768332919561112436030287271681318751767386043896540189670266470324241736862194652326676600282*v^6 - 9392831360811118006779383897579669370030790377681139312145087301166344197852767107817773861389468755903692715666032487988991473695304993038827671920400504766422652126678427287471099916187533118578840468236329822952396*v^5 - 6618384231845192014907342200795889334374172280491992940856722456373251501013417594787662927502632885131693151866146752068271888802868773877921978286282291050351162065606465502272642798452480611786331063049016263458040542044*v^4 + 793013688431853985137076322267989800986029258959730214798315910066768441191548627438075425056402927835887215495458984681737322974037592066422404521984403387519061536320210169722160141000739629552528201738470520990612591896096803*v^3 + 682212854290943258398817332397585963070629798238820519105525979425694125460022983810866759495127199634449806742284533147454808147790717435561289258173066253937844057216218718320003726131710066775784446594256343825668538074321540032625*v^2 - 22653652127913640061265773908966041215036184246803422065701844008580162181030182643646549149930989558505093074263959903466183740778889538840236700236222831602002480388369016549821463999365077500844903052435801792208455237540378729171570400*v - 23492670548157780273192454604241263945098850282580285297128442858188789213394234619512512851725970691956291418978024388505245186412664093967681637901943504884176662556805560679123703067086810633235844904641253046022062706717306780280641745459000) / 11559648109721327028981154389330781436197488005254987507461813767121022964229191795958461361369747861314046009399508028687334264015337282314203421578718919815798414448216500414881830156356690127564566537693082162799766684172539712500 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 53\!\cdots\!81 \nu^{11} + \cdots + 50\!\cdots\!00 ) / 32\!\cdots\!00$$ (-5394279297910000324532033423754088837585554877067990253829603116701998912454747117417191521044861566993443473575654162160259273121709623141093766471737800507240751760247907694762537531914074881*v^11 - 2121094440197801295574962629750118340738944692960397536556910873883463605206862073313736465896251820995880496873132598913073185414605519302085177762287444038626157864836297838798839198322308439355697*v^10 + 9086096304778616950714445688582442985235459869901767245822899811462841960247920581805342852490587794500298496067863056421078917033321331916121130024493246071075353312340956757594702945979946266257461864212*v^9 + 2694092328912691375463865361690363161777863726158701277161701708587768053574374883734236399749872565886176696154941706028176089983757748870342812008333237599521984389600342577547978220515423827885996404106341196*v^8 - 5617583505765674070482276431180440774722210033500819291455128199695403135717319870599317487633502148754643786265691649316378430788169389997013680013393303502497979796358812918928255641359444896096431284552997281095410*v^7 - 1179819035230326471218114897432432574265153525660500284155919954698585030104391795032073169784119265815261895336302455715578308660647314951603481562052635672754564988205286512193742975237169200345266379712207671359723933362*v^6 + 1544999710672748648676315086231688991416049535373039588319174652592077540123112851902697734021575857530961842688133131326253451463207633544016097619057054960626252162533413769966848771204898937640247287875092488234561882698904236*v^5 + 222312244621955725180426636074513679226319799075564600952732556083852579350882149512656688924973027854181771028423777319679096441844631904507776286074130320040202401545299230871917856822656212208781233355214123385628785252615885866604*v^4 - 179653699664067589912347471327617351539771456113105466127950812472795632569524061337181234975498268952210355032563442515939674694539593826166158673513366956856902214167905552280015070944314727665022391094938462553962451131601018745663944573*v^3 - 18069731148312913241669296411309493011405534534600347211257717295220766670727751377608631237599447422257465404236957908812611991003514139102863427833219826491769267306872862864770967593045541177977370599181552340404019261329904912257229088179725*v^2 + 6554890594363543630837035697068592384950768067383230206426576418591201741487575026277923564967034103615047713884690790530463212359635435931092231561944877797313698184689073676205122998130072346741036467671663213457259433063897597895030437885499380400*v + 502105731604816833990644819272385577650616712102918884220304165728888063644933174815228105130103500078568029014911060122250657899493389181237569906409647998289802641032198166206075809119771394080014233324222196559725307607713758830612893316520926183539000) / 32403453076229771687093294800916854067919273881194081813534049707142838256913672143979679257572449176366754407405635647130596269059310592722429541702727099578154599480223527007142916602344920541227655842439012340205252791424026611371901350000 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 46\!\cdots\!87 \nu^{11} + \cdots + 54\!\cdots\!00 ) / 25\!\cdots\!00$$ (-460300895389443274897761348156468659358676967550494167849284375867477011238776626349617244374574948310780883359494378777224903154218357772882367292534897097896616283327428462199238208780200787*v^11 - 1623171016583370718905889952904325799410650313441108740641384312288585920592147355515601684714692558936253681014804753673378121020774226057188210454919925701518581293369380919422459277754629802738918*v^10 + 592186410264504067438182058003491687261317708213275443903500181501373313426110199862640208378452734168585881388160072207423419956114502537673543797613330141478370610575454145012329139445070984015483460136*v^9 + 2136373347185310926054991234262653818305607253692296665098837400248836487110436490163387247520234502451538927083273561333266985731856107575953889553807564220894857623068451166984775141673417775911140491825801900*v^8 - 306504344425366029207924669544686176069170208767059060072842876760472592472512230740037848072813983984019358247046377463062051638526998215234085738425714665688533440662819804682757254199814710821411604682469085962746*v^7 - 989840799736184716661848833574740910531861786453460617156012964042858590881797512949650182658995624116680764045619107011296408399697162915890247251357695684477948394266327830248625084448949256536601160387616772776956607344*v^6 + 95604771357674335858787975992881477840447885270444917496826493042871119574529177204384011952819652562522400709502280310427870161918558911969352808934906462136088348404955920458313321129357326550100486130322520886984046441798464*v^5 + 202184861042218667651799501920340423594213681358815541645503836623432793488045341987268202177657197839466803717390914984395619470858135121643174204855313559045647314031216944306332639915891731492199586678546218169437496611829634454772*v^4 - 16740614466987594019338074258822519829197331732359887155340058093686794001695173846194041719365373065605740346427322709948316481118157179631825950864425111809975140545540898428081806245976222456679137083438111501414419658868191110576898675*v^3 - 18049049149380322283498840925773333230376061484947099104521295746129215478335306517675904506954556673582058986115584587471582401733286532582527111242430119652818119297874534952141264160083570163827007612407666339436104459561596216956395281616282*v^2 + 847786938545575658293942626402334099511273306003762771058714361092186919663910828697367195663881141393002015159475713028280382272759033697875998625659725107632311904157158389834004505684771903911966584754201223210173793961754231140488183004820121080*v + 544227721801055847635277534145573616571844271605343192627815365956325505870092055334628479181937492185714447363648650529608188186932203276335835307760601245966649554052878334142015509175002721918931465103918590948603350894692232939057372709488786662132400) / 2592276246098381734967463584073348325433541910495526545082723976571427060553093771518374340605795934109340352592450851770447701524744847417794363336218167966252367958417882160571433328187593643298212467395120987216420223313922128909752108000 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!48 \nu^{11} + \cdots + 18\!\cdots\!00 ) / 14\!\cdots\!00$$ (-161279123299484275407743181404670632467162032982670613384327708605005178369441964107109740604109437090703346354888428795491458572136195916850246998168115089739464291693901904391036704016290273848*v^11 - 2430064677805770238266697585132814161467318232086591381724760024900978688770514365695134597307426222611739319582334539262329016160887322799904962574949296177072403587026723741624758476205585673608251*v^10 + 285147026207793109964632827421659627116122215110778832400295896416700892962060672306839631267640240024131005857327597962921354707179912444991104572884751837261611503463478175259199406489122368597907801292396*v^9 + 4025506605220677698954000819997384905554538121830566679935237426745126058710604500706504506707550489705651366197947121889720113719259079433296779074285109697375661202904623526927342509916709627234616480850195768*v^8 - 186642372632299638149650228881189097952364269935309930150576923686188711381241980054466426565177650096548918651827545996674452173277152469855604156476098658168216435563491712087592565030652841869442014288747175597830580*v^7 - 2363432852786301924333522822111667393510291600165838831323644083741885881229768494358753306788023262047728665572863784380953066325228442383163658054553144509549974263887748950835314021099383690106934705237644240805430358746*v^6 + 55954343435005222582952892065053617687591503884058154924809457832495606430116809375937658107293549655085072602106234849874316873591312925758814294903234235749927690401560531039557808318456042424244393840958179192539729460340825788*v^5 + 592571946602024488041578727565940069715509023335738465753040535804160121440840658795582092956214871041379163424154575212715696382850098618047530395890843304991275205610534352521469562782221914099379524042816772173046567140325426191232*v^4 - 7770144644076197063514502261762340367511975310548262849671013040591029360967796746916015814884593284470954950211344867045823645107532312513946577813705617119865791839852206449008978103451942415468651989361673642225436258446124797888575399684*v^3 - 62289035198590218393526588353622238224234081256403598671847913704970034898352360664265406260511979302343269872152051519373013191211263005861741716680219992174002074658233680409056750778980782911088824317793287611791573596802424150255740939387275*v^2 + 412371261103898533331588107008205549416625511105042701099800878271270325238304919804312433695009598730877043574385197697958488423591785733587769190498992551116500689120930478907012899947099956034402921213044632927553007211177453164037439160852093892200*v + 1857855484073002609946662929542781358929565310103837654267400220990845332202395192979941784384522812552360569771580144659288957760263362341069145325001146204620979372312870930918929518577987054781482785138572968305773694749420965031135145807810566542557000) / 140414963330329010644070944137306367627650186818507687858647548730952299113292579290578610116147279764255935765424421137565917165923679235130528014045150764838669931080968617030952638610161322345319841983902386807556095429504115315944905850000
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta_{2} + \beta _1 + 1 ) / 2$$ (b2 + b1 + 1) / 2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( 2 \beta_{8} - \beta_{7} + 9 \beta_{6} + 2 \beta_{5} + 4 \beta_{4} - 9027 \beta_{3} + 40334030 \beta_{2} + 2976 \beta _1 + 1262157100774 ) / 4$$ (2*b8 - b7 + 9*b6 + 2*b5 + 4*b4 - 9027*b3 + 40334030*b2 + 2976*b1 + 1262157100774) / 4 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( - 4602 \beta_{11} + 16075 \beta_{10} - 36707 \beta_{9} + 63518 \beta_{8} - 43712 \beta_{7} - 44490 \beta_{6} + 42385872 \beta_{5} + 209125458 \beta_{4} - 42387172 \beta_{3} + \cdots + 56\!\cdots\!20 ) / 8$$ (-4602*b11 + 16075*b10 - 36707*b9 + 63518*b8 - 43712*b7 - 44490*b6 + 42385872*b5 + 209125458*b4 - 42387172*b3 + 3007570339666*b2 + 1799829638757*b1 + 5635545466383220) / 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 2032056 \beta_{11} + 51256304 \beta_{10} - 1739060632 \beta_{9} + 3078364325175 \beta_{8} - 2309268638457 \beta_{7} + 10132611743536 \beta_{6} + \cdots + 11\!\cdots\!76 ) / 8$$ (-2032056*b11 + 51256304*b10 - 1739060632*b9 + 3078364325175*b8 - 2309268638457*b7 + 10132611743536*b6 + 2388997099832*b5 + 10087433255344*b4 - 15500220427465086*b3 + 57667816290906400239*b2 + 8506241643672768*b1 + 1135902926368918247275676) / 8 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 26\!\cdots\!35 \beta_{11} + \cdots + 67\!\cdots\!24 ) / 8$$ (-2698761148803135*b11 + 12842819525191276*b10 - 38664396893794913*b9 + 79824187404192078*b8 - 41314439104615216*b7 - 24275465833559288*b6 + 35613903149851542244*b5 + 134110464916037384126*b4 - 72079223477522352344*b3 + 1695998931649210709870556*b2 + 939239699397105415592976*b1 + 6712384621605441493096838324) / 8 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 56\!\cdots\!09 \beta_{11} + \cdots + 29\!\cdots\!94 ) / 4$$ (-5698869222290916009*b11 + 31424095453547744101*b10 - 890813738999842641752*b9 + 988086106536341055361417*b8 - 901060932737194454445961*b7 + 2672804911667174491919049*b6 + 682257219958625174428008*b5 + 4997922831426691722746502*b4 - 5018330991291671552993294747*b3 + 18217401962429376238557782052350*b2 + 4029790608626068904200041105*b1 + 296387870307713804972424572831008694) / 4 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 14\!\cdots\!43 \beta_{11} + \cdots + 59\!\cdots\!80 ) / 8$$ (-1465192083663284714240620143*b11 + 8276542952505915160009913628*b10 - 28834940736588206267861343555*b9 + 69108130851432347308985052696*b8 - 27888683527297780759668375588*b7 - 5691486225613291017508175618*b6 + 24514044878404495758752281373714*b5 + 70378913255640802203440435781820*b4 - 72120981674246541332684139274356*b3 + 1034633115447352217939366930993058198*b2 + 520698514731420376321789155297654954*b1 + 5936358322875808741316909927361063017780) / 8 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 13\!\cdots\!84 \beta_{11} + \cdots + 32\!\cdots\!76 ) / 8$$ (-13681707100058237938909962693384*b11 + 52722830033108459963718642886328*b10 - 1372852552910456551239179522991376*b9 + 1200257286032152043279155686916844613*b8 - 1211628380362090738171211428606717033*b7 + 2899559069333056066481851554964098688*b6 + 831249663644556237752117700600929248*b5 + 8384714701405337660106415313183013200*b4 - 6048561691807199601187839463596366405950*b3 + 22297715478925202771160502234706920855920351*b2 + 6575330516401796938458838174802565750264*b1 + 328624784805801922017803185798983252480580013276) / 8 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 80\!\cdots\!06 \beta_{11} + \cdots + 46\!\cdots\!84 ) / 8$$ (-808598596816032901617742059451348420506*b11 + 5024540084606731527296761300468351384515*b10 - 18902889686440524785572211394179817728241*b9 + 52460167808579996223447379433002070627744*b8 - 17423034020605350895904141241931974964388*b7 + 2391915240930113795176175080649991879216*b6 + 15641103845114872684327178919621803847751578*b5 + 36275117455314864210639425030748443461578588*b4 - 58473273159136454377114265434501691607766792*b3 + 674402562238758234475784999003404933353761687920*b2 + 296439886932117807208796720270090720220700321227*b1 + 4670327605042219904321265943080122408054120159514484) / 8 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 59\!\cdots\!94 \beta_{11} + \cdots + 93\!\cdots\!74 ) / 4$$ (-5970456885945141548271974730112887130316094*b11 + 19309931399614299667608777522794658452909258*b10 - 485113697035375105037013950326509290493961972*b9 + 356563877788065763526538842665772734664441725284*b8 - 380575573274810215651665706592109972034729847925*b7 + 809077885686028553708659675160941344258235992377*b6 + 265483018191558919432682420590769429190248355742*b5 + 3183032361621531964464245699037267768889167792512*b4 - 1784860005658833958558319992983304804813815049249323*b3 + 6704604693123857058818250711223520481819950845318628058*b2 + 2470924472335965411142007009795303882846438295769698*b1 + 93545317575627193285324791979591387110564570442826590066774) / 4 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( - 45\!\cdots\!32 \beta_{11} + \cdots + 34\!\cdots\!00 ) / 8$$ (-455579148131088766540368314366773419900630419179932*b11 + 2986658915436837547500961710164979956792744135080269*b10 - 11697061000973206438811352081391750248719147268749547*b9 + 37428677016614920753392626948530622206467941996924226*b8 - 10834615443541599455305446752207634166943695046374168*b7 + 4469121225715319613764986544532513917778483608933542*b6 + 9598641203652250461132767236588007032722829730029935220*b5 + 19142712888108824411912037032459219901183422350945304918*b4 - 42967541395141265856087172026876511659083174355103556996*b3 + 450070511912933261174300203904843636834919924300251116176618*b2 + 170906910415162370019444057777147097302584709265431994965903*b1 + 3432167344604377051010174469605345339575871549869157416381872500) / 8

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 365993. −375379. 568120. −574437. 245972. −247870. 765345. −764338. 767021. −760822. 452270. −441867.
−10092.2 −741372. 6.82987e7 −7.48736e8 7.48209e9 0 −3.50647e11 −2.97656e11 7.55642e12
1.2 −10092.2 741372. 6.82987e7 7.48736e8 −7.48209e9 0 −3.50647e11 −2.97656e11 −7.55642e12
1.3 −7023.80 −1.14256e6 1.57794e7 4.38325e8 8.02510e9 0 1.24848e11 4.58148e11 −3.07871e12
1.4 −7023.80 1.14256e6 1.57794e7 −4.38325e8 −8.02510e9 0 1.24848e11 4.58148e11 3.07871e12
1.5 −2603.49 −493842. −2.67763e7 3.09471e8 1.28571e9 0 1.57070e11 −6.03409e11 −8.05703e11
1.6 −2603.49 493842. −2.67763e7 −3.09471e8 −1.28571e9 0 1.57070e11 −6.03409e11 8.05703e11
1.7 300.357 −1.52968e6 −3.34642e7 −9.44412e8 −4.59451e8 0 −2.01295e10 1.49264e12 −2.83661e11
1.8 300.357 1.52968e6 −3.34642e7 9.44412e8 4.59451e8 0 −2.01295e10 1.49264e12 2.83661e11
1.9 5492.18 −1.52784e6 −3.39037e6 1.00981e9 −8.39119e9 0 −2.02908e11 1.48702e12 5.54607e12
1.10 5492.18 1.52784e6 −3.39037e6 −1.00981e9 8.39119e9 0 −2.02908e11 1.48702e12 −5.54607e12
1.11 9696.98 −894137. 6.04770e7 −4.19963e8 −8.67043e9 0 2.61068e11 −4.78083e10 −4.07237e12
1.12 9696.98 894137. 6.04770e7 4.19963e8 8.67043e9 0 2.61068e11 −4.78083e10 4.07237e12
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.12 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$7$$ $$-1$$

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
7.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 49.26.a.e 12
7.b odd 2 1 inner 49.26.a.e 12

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
49.26.a.e 12 1.a even 1 1 trivial
49.26.a.e 12 7.b odd 2 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{26}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(49))$$:

 $$T_{2}^{6} + 4230 T_{2}^{5} - 132178920 T_{2}^{4} - 479489817600 T_{2}^{3} + \cdots - 29\!\cdots\!00$$ T2^6 + 4230*T2^5 - 132178920*T2^4 - 479489817600*T2^3 + 3501092793452544*T2^2 + 8823925634130247680*T2 - 2952117639861344665600 $$T_{3}^{12} - 7572663336048 T_{3}^{10} + \cdots + 76\!\cdots\!00$$ T3^12 - 7572663336048*T3^10 + 21858037383293640123863616*T3^8 - 30254035286143413745588235882648770560*T3^6 + 20885826301863276037357704910007450550215968358400*T3^4 - 6718592178640832260338943939092051236404129889861570396160000*T3^2 + 764138774003843798685352677900747166309281219897411748649867673600000000

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{6} + 4230 T^{5} + \cdots - 29\!\cdots\!00)^{2}$$
$3$ $$T^{12} - 7572663336048 T^{10} + \cdots + 76\!\cdots\!00$$
$5$ $$T^{12} + \cdots + 16\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{12}$$
$11$ $$(T^{6} - 19796727838824 T^{5} + \cdots + 92\!\cdots\!04)^{2}$$
$13$ $$T^{12} + \cdots + 16\!\cdots\!00$$
$17$ $$T^{12} + \cdots + 39\!\cdots\!00$$
$19$ $$T^{12} + \cdots + 82\!\cdots\!00$$
$23$ $$(T^{6} + \cdots + 15\!\cdots\!00)^{2}$$
$29$ $$(T^{6} + \cdots + 15\!\cdots\!84)^{2}$$
$31$ $$T^{12} + \cdots + 25\!\cdots\!00$$
$37$ $$(T^{6} + \cdots + 16\!\cdots\!00)^{2}$$
$41$ $$T^{12} + \cdots + 76\!\cdots\!00$$
$43$ $$(T^{6} + \cdots + 18\!\cdots\!00)^{2}$$
$47$ $$T^{12} + \cdots + 31\!\cdots\!00$$
$53$ $$(T^{6} + \cdots + 11\!\cdots\!00)^{2}$$
$59$ $$T^{12} + \cdots + 75\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{12} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$67$ $$(T^{6} + \cdots + 17\!\cdots\!00)^{2}$$
$71$ $$(T^{6} + \cdots - 17\!\cdots\!64)^{2}$$
$73$ $$T^{12} + \cdots + 61\!\cdots\!00$$
$79$ $$(T^{6} + \cdots - 83\!\cdots\!96)^{2}$$
$83$ $$T^{12} + \cdots + 41\!\cdots\!00$$
$89$ $$T^{12} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{12} + \cdots + 15\!\cdots\!00$$
show more
show less