# Properties

 Label 49.22.a.f Level $49$ Weight $22$ Character orbit 49.a Self dual yes Analytic conductor $136.944$ Analytic rank $1$ Dimension $13$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [49,22,Mod(1,49)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(49, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0]))

N = Newforms(chi, 22, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("49.1");

S:= CuspForms(chi, 22);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$49 = 7^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$22$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 49.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$136.943898701$$ Analytic rank: $$1$$ Dimension: $$13$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{13} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{13} - 4879679 x^{11} - 12560597 x^{10} + 8757989673832 x^{9} + 34815675420589 x^{8} + \cdots + 22\!\cdots\!69$$ x^13 - 4879679*x^11 - 12560597*x^10 + 8757989673832*x^9 + 34815675420589*x^8 - 7151486241862562558*x^7 - 66522615452306219810*x^6 + 2684262183167963851207153*x^5 + 91366475163965817506097834*x^4 - 426498742837905476581164830291*x^3 - 28704008350803868802806014705273*x^2 + 23192652642590243313642887867218230*x + 2225395821011834913266890358383775769 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{5}]$$ Coefficient ring index: multiple of $$2^{43}\cdot 3^{9}\cdot 5^{3}\cdot 7^{19}$$ Twist minimal: no (minimal twist has level 7) Fricke sign: $$1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{12}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 - 22) q^{2} + (\beta_{2} + 6 \beta_1 - 9084) q^{3} + (\beta_{3} - 4 \beta_{2} + 51 \beta_1 + 906210) q^{4} + ( - \beta_{5} - \beta_{3} - 6 \beta_{2} + 1187 \beta_1 - 1484379) q^{5} + ( - \beta_{5} + \beta_{4} - \beta_{3} + 95 \beta_{2} + 24508 \beta_1 - 17588503) q^{6} + ( - \beta_{6} + 45 \beta_{5} - 5 \beta_{4} - 82 \beta_{3} + \cdots - 129113969) q^{8}+ \cdots + ( - \beta_{7} - 17 \beta_{5} - 3 \beta_{4} + 100 \beta_{3} + \cdots + 2789252598) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 - 22) * q^2 + (b2 + 6*b1 - 9084) * q^3 + (b3 - 4*b2 + 51*b1 + 906210) * q^4 + (-b5 - b3 - 6*b2 + 1187*b1 - 1484379) * q^5 + (-b5 + b4 - b3 + 95*b2 + 24508*b1 - 17588503) * q^6 + (-b6 + 45*b5 - 5*b4 - 82*b3 + 2160*b2 - 967877*b1 - 129113969) * q^8 + (-b7 - 17*b5 - 3*b4 + 100*b3 - 10732*b2 - 706996*b1 + 2789252598) * q^9 $$q + ( - \beta_1 - 22) q^{2} + (\beta_{2} + 6 \beta_1 - 9084) q^{3} + (\beta_{3} - 4 \beta_{2} + 51 \beta_1 + 906210) q^{4} + ( - \beta_{5} - \beta_{3} - 6 \beta_{2} + 1187 \beta_1 - 1484379) q^{5} + ( - \beta_{5} + \beta_{4} - \beta_{3} + 95 \beta_{2} + 24508 \beta_1 - 17588503) q^{6} + ( - \beta_{6} + 45 \beta_{5} - 5 \beta_{4} - 82 \beta_{3} + \cdots - 129113969) q^{8}+ \cdots + (1367743832 \beta_{12} + 24403911 \beta_{11} + \cdots - 91\!\cdots\!56) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 - 22) * q^2 + (b2 + 6*b1 - 9084) * q^3 + (b3 - 4*b2 + 51*b1 + 906210) * q^4 + (-b5 - b3 - 6*b2 + 1187*b1 - 1484379) * q^5 + (-b5 + b4 - b3 + 95*b2 + 24508*b1 - 17588503) * q^6 + (-b6 + 45*b5 - 5*b4 - 82*b3 + 2160*b2 - 967877*b1 - 129113969) * q^8 + (-b7 - 17*b5 - 3*b4 + 100*b3 - 10732*b2 - 706996*b1 + 2789252598) * q^9 + (b8 + 2*b6 - 173*b5 + 27*b4 - 4508*b3 + 30973*b2 + 3772354*b1 - 3531395919) * q^10 + (b11 + b6 + 300*b5 + 67*b4 + 4712*b3 - 91528*b2 + 7162876*b1 + 7454467684) * q^11 + (-b12 - 2*b11 + b9 + 2*b8 + 7*b7 + 8*b6 - 2545*b5 - 119*b4 - 35723*b3 + 961742*b2 + 8875633*b1 - 54132444958) * q^12 + (2*b12 - 3*b11 + b10 - b9 - 7*b7 - b6 + 1852*b5 - 72*b4 + 19549*b3 - 1081576*b2 - 35052902*b1 + 22043839435) * q^13 + (10*b11 + 20*b10 + 15*b9 - 56*b8 + 100*b7 - 177*b6 + 17016*b5 - 1702*b4 + 258436*b3 - 891435*b2 - 159441675*b1 - 48092374934) * q^15 + (7*b12 + 30*b11 - 44*b10 + 9*b9 - 84*b8 - 101*b7 + 295*b6 + 22858*b5 + 1210*b4 + 801954*b3 - 12682836*b2 + 235983643*b1 + 1009367418421) * q^16 + (-4*b12 - 22*b11 - 38*b10 - 146*b9 - 200*b8 + 413*b7 + 1254*b6 - 54961*b5 + 7905*b4 + 746154*b3 - 3185136*b2 + 1013847980*b1 - 279331647335) * q^17 + (7*b12 - 96*b11 - 94*b10 - 361*b9 - 91*b8 - 577*b7 - 1259*b6 + 82983*b5 - 28317*b4 - 113926*b3 - 10421893*b2 - 3142702902*b1 + 2059082107134) * q^18 + (40*b12 + 3*b11 - 572*b10 + 158*b9 + 184*b8 + 1876*b7 + 649*b6 + 100844*b5 - 27179*b4 + 906284*b3 - 13067592*b2 + 1819110094*b1 - 4373042270424) * q^19 + (-75*b12 - 10*b11 + 1560*b10 + 1215*b9 + 312*b8 + 945*b7 + 9149*b6 - 500790*b5 + 75674*b4 - 4727675*b3 + 105281932*b2 + 10936482026*b1 - 8124412312879) * q^20 + (7*b12 - 312*b11 + 5238*b10 + 3855*b9 + 189*b8 + 4291*b7 - 13041*b6 + 625116*b5 - 389866*b4 - 9221967*b3 + 220275582*b2 - 19009542662*b1 - 21700164964307) * q^22 + (-280*b12 - 1064*b11 - 6485*b10 + 2530*b9 + 1456*b8 - 1084*b7 + 31329*b6 + 860073*b5 - 124412*b4 + 7286721*b3 + 125175478*b2 + 27181500813*b1 + 4308518717155) * q^23 + (161*b12 + 826*b11 - 3708*b10 - 14201*b9 + 3764*b8 + 189*b7 + 77948*b6 - 5703497*b5 + 1258509*b4 - 15539412*b3 - 448920188*b2 + 93068543996*b1 + 11690218649406) * q^24 + (-280*b12 + 2580*b11 - 5360*b10 - 20680*b9 + 2520*b8 + 5390*b7 + 1340*b6 + 8235334*b5 - 1707210*b4 - 28161696*b3 - 383979216*b2 - 48553147328*b1 + 51754598526016) * q^25 + (-745*b12 + 1184*b11 - 21734*b10 + 8551*b9 - 5417*b8 - 20713*b7 - 21539*b6 + 95553*b5 - 3448267*b4 + 34357418*b3 - 427690779*b2 - 79501900180*b1 + 104501578444248) * q^26 + (1280*b12 + 2175*b11 + 38308*b10 + 27424*b9 - 8432*b8 - 13748*b7 + 899*b6 + 18083724*b5 + 2209329*b4 - 57717068*b3 + 512832796*b2 + 9773886000*b1 - 82478588901096) * q^27 + (-294*b12 + 4301*b11 + 47265*b10 + 35643*b9 + 19656*b8 - 103503*b7 + 159747*b6 + 8079954*b5 - 7348640*b4 + 9815243*b3 - 1778180912*b2 - 71075333316*b1 + 425234277489123) * q^29 + (5180*b12 + 17420*b11 - 28360*b10 + 5680*b9 - 4095*b8 + 45000*b7 - 453700*b6 + 147181346*b5 - 4296220*b4 + 546856181*b3 - 5911781154*b2 - 509430018617*b1 + 479304237050824) * q^30 + (-3000*b12 - 14526*b11 - 482*b10 - 4111*b9 - 21608*b8 - 110208*b7 - 893777*b6 - 47822974*b5 + 1433534*b4 - 326067486*b3 + 1310307341*b2 - 808185576591*b1 - 224300946922496) * q^31 + (5166*b12 - 35428*b11 + 10728*b10 + 44754*b9 - 32424*b8 + 34230*b7 + 273722*b6 + 161433784*b5 - 27681616*b4 - 753524836*b3 + 705638392*b2 - 870248841678*b1 - 463982065426090) * q^32 + (8528*b12 - 25224*b11 + 109228*b10 - 50780*b9 + 60808*b8 - 104230*b7 - 187792*b6 - 99277596*b5 - 23070418*b4 - 1930911830*b3 + 6491871252*b2 - 885138434730*b1 - 1110634817449343) * q^33 + (-12951*b12 - 41904*b11 - 293090*b10 - 209943*b9 + 98739*b8 + 40257*b7 - 1214285*b6 + 385804117*b5 + 7898513*b4 - 3345461486*b3 + 31684147529*b2 - 1337162294727*b1 - 3039945099249080) * q^34 + (5747*b12 - 33486*b11 - 736520*b10 - 557759*b9 - 351428*b8 + 747999*b7 + 3881*b6 + 253962748*b5 - 1547016*b4 + 5082689936*b3 - 76531216284*b2 - 457761648349*b1 + 3540053210657763) * q^36 + (-58254*b12 - 173367*b11 + 756825*b10 - 223733*b9 - 98616*b8 - 356091*b7 + 324263*b6 + 710584893*b5 - 4502760*b4 + 2153935754*b3 + 5733860470*b2 - 2832604154873*b1 + 4360795445220346) * q^37 + (34033*b12 + 158352*b11 + 307226*b10 + 1230737*b9 - 85303*b8 + 1187053*b7 + 189569*b6 - 362792894*b5 - 30160048*b4 - 1001109785*b3 - 76108661456*b2 + 2168396505132*b1 - 5370566039807591) * q^38 + (-57680*b12 + 294086*b11 + 423855*b10 + 1554317*b9 + 268576*b8 - 622120*b7 - 1221848*b6 + 702959029*b5 + 112462154*b4 - 14677787095*b3 + 92885802943*b2 + 2703315380018*b1 - 14845085226777071) * q^39 + (-66550*b12 + 263940*b11 + 1146600*b10 - 278970*b9 - 348584*b8 + 2813090*b7 + 3781667*b6 - 856024985*b5 + 214828777*b4 - 17785453730*b3 + 220094421256*b2 + 11673165452703*b1 - 25225968933109897) * q^40 + (83900*b12 + 404246*b11 - 1371374*b10 - 1025642*b9 - 634136*b8 + 648935*b7 + 7224514*b6 + 1263833173*b5 - 67816717*b4 - 23401811586*b3 + 73409101716*b2 + 3393077186896*b1 - 18691072370202860) * q^41 + (-68880*b12 + 151362*b11 + 182516*b10 + 298118*b9 + 2874480*b8 - 995556*b7 - 6427344*b6 - 308997136*b5 + 391122058*b4 + 4785923116*b3 - 514484630650*b2 + 9775856526254*b1 + 7632651832249720) * q^43 + (438256*b12 + 1158956*b11 - 1389280*b10 + 249092*b9 + 1146278*b8 + 379372*b7 + 21591539*b6 - 485032389*b5 + 355326105*b4 + 42459646607*b3 - 1074372611806*b2 + 29499302753880*b1 + 41988828030689327) * q^44 + (-258970*b12 - 1191165*b11 - 746825*b10 - 3571355*b9 + 1891768*b8 - 4227335*b7 + 34420421*b6 - 1414945716*b5 - 136699314*b4 - 32868350591*b3 - 742817989928*b2 + 16874137966416*b1 + 2876318488072065) * q^45 + (427357*b12 - 1540428*b11 - 2194854*b10 - 7434087*b9 - 1737652*b8 + 1487701*b7 - 14139671*b6 - 2350080607*b5 + 863350451*b4 - 77492492485*b3 - 218955217273*b2 - 18719203189575*b1 - 81698581356258680) * q^46 + (369568*b12 - 1659568*b11 - 7540240*b10 + 1662713*b9 + 999560*b8 - 17163860*b7 - 15051513*b6 + 2576256908*b5 + 463017236*b4 - 59887595704*b3 + 994785796751*b2 + 7557041906359*b1 - 41987711899064294) * q^47 + (-339603*b12 - 2261654*b11 + 13823900*b10 + 9898851*b9 + 2261956*b8 - 7913815*b7 + 6867105*b6 - 10476849654*b5 - 623849342*b4 - 180612801890*b3 + 2247109103652*b2 - 4621375748307*b1 - 166285869502500133) * q^48 + (559370*b12 - 310960*b11 + 19925740*b10 + 13248730*b9 - 13101074*b8 - 15166390*b7 + 19683542*b6 - 4691291538*b5 - 368583218*b4 + 91973920152*b3 - 5503476612402*b2 - 1148691677256*b1 + 144602042042766856) * q^50 + (-2264136*b12 - 5395361*b11 - 15055654*b10 + 5678958*b9 - 4988648*b8 + 8856712*b7 - 102181845*b6 - 22055536582*b5 - 1272657339*b4 + 23581178718*b3 - 2536274724250*b2 - 132951343038320*b1 - 16942649648838642) * q^51 + (1360753*b12 + 6485574*b11 - 7664456*b10 - 22516309*b9 - 10926484*b8 - 8295707*b7 - 144811497*b6 + 23993164536*b5 + 629163220*b4 + 76609003568*b3 - 8109707187004*b2 - 109776994722523*b1 + 190061312542298797) * q^52 + (-2138150*b12 + 4739937*b11 - 488575*b10 - 11390929*b9 + 9962960*b8 + 20032579*b7 + 140324179*b6 - 27505437549*b5 - 1605537702*b4 - 154141337494*b3 - 1009306688750*b2 + 71317313804379*b1 - 82041234806365870) * q^53 + (-1464431*b12 + 6246696*b11 - 4858390*b10 + 8194457*b9 - 1411441*b8 + 26977013*b7 + 5252785*b6 + 18369459336*b5 - 3350071026*b4 + 20395902959*b3 + 5880796406654*b2 + 206842769766546*b1 - 27351867977193345) * q^54 + (652440*b12 + 6551730*b11 - 7173645*b10 - 1091840*b9 - 3643472*b8 + 45014340*b7 - 189517019*b6 - 23054232623*b5 + 2569950546*b4 + 66236111857*b3 + 4826971779640*b2 + 85649584135895*b1 - 176452691982919193) * q^55 + (-3187996*b12 - 483358*b11 - 47266846*b10 - 24579194*b9 + 30588096*b8 + 84487626*b7 + 60313982*b6 - 5453774116*b5 - 5075062000*b4 - 247220034970*b3 - 19224757498000*b2 + 302899178669896*b1 - 93700388279993735) * q^57 + (7702807*b12 + 17274432*b11 + 50612522*b10 - 11627961*b9 + 2570925*b8 - 44743577*b7 - 117019951*b6 - 13217297665*b5 - 1618758069*b4 - 175987038874*b3 - 21877614097001*b2 - 478821990390218*b1 + 203643684590275926) * q^58 + (-4779008*b12 - 25820626*b11 + 42332072*b10 + 111214322*b9 + 21986480*b8 + 121317196*b7 - 137219228*b6 - 6029779444*b5 + 237010894*b4 - 154784327160*b3 - 14373394276405*b2 + 378038316114396*b1 - 574965440863420344) * q^59 + (6727000*b12 - 4669860*b11 + 8833280*b10 + 101765180*b9 - 50443834*b8 - 181843820*b7 - 430317353*b6 + 42801776031*b5 - 18745128203*b4 + 1258794801821*b3 - 16838744515638*b2 - 1419022431111234*b1 + 1617954492173481647) * q^60 + (3909398*b12 - 9890805*b11 + 104043119*b10 - 72357227*b9 + 11218760*b8 + 182724899*b7 - 64867339*b6 - 4255785761*b5 - 8292767356*b4 + 567673541570*b3 + 15107687150702*b2 + 1139990589147005*b1 + 219117452943123300) * q^61 + (1126434*b12 + 1875260*b11 - 148127340*b10 - 139661562*b9 + 2428971*b8 - 176134938*b7 + 556521330*b6 + 35215548166*b5 + 7498304548*b4 + 2093841241731*b3 + 790083391990*b2 + 965906431644715*b1 + 2432551146009278142) * q^62 + (12543048*b12 + 4543056*b11 - 142028576*b10 - 162006792*b9 - 8817760*b8 - 68875416*b7 - 174160768*b6 + 64415401560*b5 + 2191989320*b4 - 504555762400*b3 - 63918943657504*b2 + 1513746162902720*b1 + 507657129031803408) * q^64 + (-13356980*b12 - 34126690*b11 + 101580530*b10 - 103907050*b9 + 72864008*b8 - 15879905*b7 + 1969869226*b6 + 85164242511*b5 + 16017959491*b4 - 2049501289904*b3 - 18972691356616*b2 + 70710824976522*b1 - 1151498416274705392) * q^65 + (9188182*b12 + 72128720*b11 - 68051340*b10 + 35055206*b9 + 69990532*b8 - 370627306*b7 + 2479830382*b6 - 211344018488*b5 + 12031676792*b4 + 1146719575760*b3 - 72143303435044*b2 + 5298440060251313*b1 + 2686323194967643096) * q^66 + (-8157688*b12 - 24270798*b11 + 131072930*b10 + 128706688*b9 + 203157752*b8 + 672460976*b7 + 327917300*b6 + 147645075334*b5 + 38984040278*b4 + 2009104917062*b3 + 5270237671037*b2 - 613369170758824*b1 - 481605743774863998) * q^67 + (-5167415*b12 - 28708122*b11 - 14278744*b10 + 172426979*b9 - 122625364*b8 - 1082198915*b7 + 1417083943*b6 - 270971983248*b5 + 36172186812*b4 + 3362986872305*b3 + 6736152823552*b2 + 8334287083343304*b1 + 4679280032214533231) * q^68 + (-10956712*b12 - 98927368*b11 + 75511244*b10 + 209609632*b9 - 50517048*b8 + 597344524*b7 + 81316340*b6 + 363496165227*b5 - 28550739108*b4 + 4550703516303*b3 + 26005681917306*b2 + 940790440409139*b1 + 2118111322443511581) * q^69 + (-30044896*b12 - 7187210*b11 + 355702618*b10 + 514845340*b9 - 100694552*b8 - 824543956*b7 - 2155875980*b6 + 107562924598*b5 + 36370923054*b4 - 1950446400430*b3 + 6108100843096*b2 + 7871989890603634*b1 - 762678426940719770) * q^71 + (-16109016*b12 + 17465712*b11 - 458465472*b10 + 563695800*b9 - 341552400*b8 + 871929672*b7 - 4069882482*b6 + 812036307186*b5 - 35060039586*b4 + 1197553914588*b3 + 14250423721008*b2 - 8860146138252234*b1 - 3045495539597692626) * q^72 + (4581456*b12 - 113711364*b11 + 187820092*b10 - 634528636*b9 - 556529688*b8 + 89352942*b7 - 6189069916*b6 + 118619746858*b5 - 85503888298*b4 + 1226390537308*b3 - 2417677278100*b2 + 1731416084381240*b1 + 1722276895218428591) * q^73 + (-34386625*b12 + 98581984*b11 - 804795926*b10 - 1448786993*b9 - 565416194*b8 - 1142696545*b7 - 418653309*b6 + 280818666298*b5 + 107952925726*b4 + 4486191053146*b3 - 38246855720732*b2 - 8931787278746650*b1 + 8408293460290064123) * q^74 + (-8490280*b12 + 208526470*b11 - 1054701960*b10 - 296162240*b9 + 621977864*b8 + 2009470120*b7 - 6298312162*b6 + 178162542656*b5 + 73033313098*b4 - 1147466874944*b3 - 12727312627630*b2 + 24258999703252300*b1 - 6505390460581350724) * q^75 + (24921570*b12 + 387613440*b11 + 1832325504*b10 + 740919074*b9 + 407614282*b8 - 1917809250*b7 - 1513420977*b6 + 263963056297*b5 - 67409469525*b4 - 4958205838943*b3 - 52351148777378*b2 + 2499999100359174*b1 + 2761627997094046807) * q^76 + (13034413*b12 - 23900896*b11 + 1865682282*b10 + 465270461*b9 - 130906391*b8 + 3102610545*b7 + 13013344945*b6 - 934847759825*b5 + 69774984355*b4 + 1130592678608*b3 + 290159336317873*b2 + 46813443848334188*b1 - 7751706434782958152) * q^78 + (171344152*b12 + 130686510*b11 - 966416025*b10 - 1316467284*b9 + 540377712*b8 - 3360572900*b7 - 3832964823*b6 - 309010408515*b5 + 100195848014*b4 + 7329984613285*b3 + 37637025458732*b2 - 17163893628470825*b1 + 11751200733323298515) * q^79 + (-88860475*b12 - 76530630*b11 - 1655992580*b10 - 1376931605*b9 + 1294269700*b8 + 1786288385*b7 + 1902547725*b6 + 81064527862*b5 + 128727524630*b4 - 9758015636778*b3 + 457097416166852*b2 + 43075782438512841*b1 - 17386681566099383337) * q^80 + (204153152*b12 - 43102452*b11 + 1896123484*b10 + 1479641524*b9 + 783723976*b8 + 340042141*b7 + 8928907940*b6 - 1317677552985*b5 - 47166760701*b4 - 21559781214962*b3 + 107136499175140*b2 - 19568416134612246*b1 - 21896170937271273891) * q^81 + (67723391*b12 - 460750512*b11 + 1272385218*b10 + 1817855583*b9 - 1558195103*b8 + 613200791*b7 + 11844463733*b6 + 634824109327*b5 - 177751631069*b4 - 10960842363538*b3 - 259264749477957*b2 + 68324812561429026*b1 - 9732378602438939762) * q^82 + (21631976*b12 - 497230688*b11 - 3849808730*b10 - 822425954*b9 - 1309840808*b8 + 4908632204*b7 - 9312378040*b6 - 2020620962610*b5 + 223425808004*b4 - 26354595257542*b3 - 165255814866794*b2 + 13963599880154776*b1 - 47500716032461067554) * q^83 + (209099870*b12 + 122434035*b11 - 6501830625*b10 - 2030452015*b9 + 1843266992*b8 - 2669016205*b7 - 28399500511*b6 + 2212421219369*b5 - 384179702036*b4 + 21140303253884*b3 + 780320775247526*b2 + 59135488746598923*b1 + 25848664620876206902) * q^85 + (-457416862*b12 - 497012648*b11 + 4824669988*b10 + 3392446570*b9 + 727495636*b8 + 4499410562*b7 + 12053422570*b6 - 6470920518320*b5 - 451996811232*b4 - 3493744053352*b3 + 1157199170031916*b2 - 25616212255517026*b1 - 29646796220667784174) * q^86 + (255637952*b12 + 1084081214*b11 + 6210378251*b10 + 9001622095*b9 + 147324360*b8 - 1429215788*b7 + 5048714234*b6 + 3001113116953*b5 + 42668251646*b4 - 387105884423*b3 + 1117685380592047*b2 + 99208015298781932*b1 - 28282919799613358123) * q^87 + (-416262791*b12 - 573420534*b11 - 3689075516*b10 + 2597377167*b9 + 954192484*b8 - 193422539*b7 - 28862729388*b6 - 1764205311049*b5 - 1271045955059*b4 - 56927135015876*b3 + 751796297253076*b2 - 108250333647334492*b1 - 44296512639931020042) * q^88 + (-193669772*b12 - 153362598*b11 + 3509663186*b10 - 7797653602*b9 + 814689200*b8 - 5230007342*b7 - 16556715154*b6 + 1778453132342*b5 - 732430729360*b4 - 61130039100904*b3 - 530728771371620*b2 + 104143122524475418*b1 - 2410056824780300771) * q^89 + (-251231525*b12 - 1279166880*b11 - 1284624910*b10 - 6655449685*b9 + 1017699893*b8 - 6983082085*b7 + 42109329181*b6 - 6052617598377*b5 + 82658791731*b4 - 84218928946282*b3 - 366088954059889*b2 + 54325391598472098*b1 - 50862633159477778254) * q^90 + (-852638829*b12 - 177124314*b11 + 1851497520*b10 - 5774402835*b9 - 3126905502*b8 - 5955109749*b7 + 28336827608*b6 - 5438847309013*b5 - 331360858211*b4 + 12476800535479*b3 + 2062165975052166*b2 + 185483214041432327*b1 + 49022287939059776238) * q^92 + (308033082*b12 + 957940765*b11 - 176268739*b10 - 11913208185*b9 - 4349526440*b8 + 4928742089*b7 + 54095833155*b6 - 2488865540109*b5 + 1384520856712*b4 + 50204379978292*b3 + 551140015603522*b2 - 5567399366296851*b1 + 3054431178723617204) * q^93 + (-214452154*b12 - 3352441260*b11 - 11365598148*b10 - 7492882350*b9 - 7409341663*b8 - 10805099662*b7 + 45061293670*b6 - 5219437887418*b5 + 425531642296*b4 + 16054957492653*b3 + 1248035588491750*b2 + 182192749544146897*b1 - 21467151269047311578) * q^94 + (-146289080*b12 + 1178396950*b11 + 12804109505*b10 + 8876885390*b9 - 7140506968*b8 + 10164465400*b7 + 14945593289*b6 - 14491218869*b5 + 1073984370034*b4 + 338379952631*b3 + 696642193216308*b2 - 72866572328158881*b1 - 40719215965590205355) * q^95 + (292561486*b12 + 3396152732*b11 + 279874152*b10 + 16123395314*b9 + 6825538264*b8 - 8389547754*b7 + 59682350194*b6 - 2106191337024*b5 + 1440784861928*b4 + 8279726085196*b3 - 838671803159880*b2 + 387618719107767114*b1 - 6235505905020853298) * q^96 + (456554912*b12 + 6248668416*b11 - 3667560592*b10 + 11148743776*b9 + 6414762416*b8 - 2427622645*b7 - 20962996624*b6 + 6687262066105*b5 + 972323347697*b4 + 67795929025858*b3 - 1073158139369904*b2 + 107213015361443762*b1 + 8999698541303484490) * q^97 + (1367743832*b12 + 24403911*b11 + 1610047708*b10 + 16765287970*b9 - 7448982296*b8 + 4862629792*b7 - 56058622303*b6 + 14009320572120*b5 + 1184083197573*b4 + 30081432033676*b3 + 193549095805771*b2 + 212849514696426948*b1 - 9153456418495781556) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$13 q - 286 q^{2} - 118097 q^{3} + 11780748 q^{4} - 19296893 q^{5} - 228651010 q^{6} - 1678492320 q^{8} + 36260337262 q^{9}+O(q^{10})$$ 13 * q - 286 * q^2 - 118097 * q^3 + 11780748 * q^4 - 19296893 * q^5 - 228651010 * q^6 - 1678492320 * q^8 + 36260337262 * q^9 $$13 q - 286 q^{2} - 118097 q^{3} + 11780748 q^{4} - 19296893 q^{5} - 228651010 q^{6} - 1678492320 q^{8} + 36260337262 q^{9} - 45908292458 q^{10} + 96908527507 q^{11} - 703726516612 q^{12} + 286575277674 q^{13} - 625196966663 q^{15} + 13121838202992 q^{16} - 3631296873225 q^{17} + 26768119563764 q^{18} - 56849486179647 q^{19} - 105617876046508 q^{20} - 282103228670978 q^{22} + 56010101087361 q^{23} + 151975129265904 q^{24} + 672811740581052 q^{25} + 13\!\cdots\!76 q^{26}+ \cdots - 11\!\cdots\!26 q^{99}+O(q^{100})$$ 13 * q - 286 * q^2 - 118097 * q^3 + 11780748 * q^4 - 19296893 * q^5 - 228651010 * q^6 - 1678492320 * q^8 + 36260337262 * q^9 - 45908292458 * q^10 + 96908527507 * q^11 - 703726516612 * q^12 + 286575277674 * q^13 - 625196966663 * q^15 + 13121838202992 * q^16 - 3631296873225 * q^17 + 26768119563764 * q^18 - 56849486179647 * q^19 - 105617876046508 * q^20 - 282103228670978 * q^22 + 56010101087361 * q^23 + 151975129265904 * q^24 + 672811740581052 * q^25 + 1358522589413276 * q^26 - 1072224140788619 * q^27 + 5528054461213282 * q^29 + 6230983254308858 * q^30 - 2915918111714909 * q^31 - 6031769195105696 * q^32 - 14438281026776999 * q^33 - 39519438787183362 * q^34 + 46021063728431288 * q^36 + 56690306381981455 * q^37 - 69816975237291142 * q^38 - 192986544424759946 * q^39 - 327938659319189184 * q^40 - 242984263594363858 * q^41 + 99227037296598524 * q^43 + 545860052256697724 * q^44 + 37395922860484930 * q^45 - 1062080303131000686 * q^46 - 545845114015708227 * q^47 - 2161727157014252464 * q^48 + 1879853889187744552 * q^50 - 220241766654585435 * q^51 + 2470837410767658632 * q^52 - 1066530642992301045 * q^53 - 355603765001582734 * q^54 - 2293909216110943291 * q^55 - 1218008418068808845 * q^57 + 2647477665953695612 * q^58 - 7474478541444602961 * q^59 + 21033489989317069124 * q^60 + 2848450223489054583 * q^61 + 31623156687180867774 * q^62 + 6599863152734898304 * q^64 - 14969380626438713594 * q^65 + 34922560371104300090 * q^66 - 6260905331410186617 * q^67 + 60830600544042602196 * q^68 + 27535307338484141259 * q^69 - 9914846403403084320 * q^71 - 39591517263878049216 * q^72 + 22389609053337927163 * q^73 + 109307996679538553910 * q^74 - 84570010377850408348 * q^75 + 35901435092431831412 * q^76 - 100773634868531946748 * q^78 + 152765407297011897977 * q^79 - 226029126485786363824 * q^80 - 284650712144159176523 * q^81 - 126519604886693145484 * q^82 - 617508425316756086484 * q^83 + 336028691853598741449 * q^85 - 385414116959388791048 * q^86 - 367683551076552943442 * q^87 - 575858305808050147728 * q^88 - 31327966399121384405 * q^89 - 661212220270957472068 * q^90 + 637279418163131018772 * q^92 + 39704754034417637049 * q^93 - 279079228503504697758 * q^94 - 529353291415579422425 * q^95 - 81057395943474767264 * q^96 + 117001297959665399518 * q^97 - 118995989116988588726 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{13} - 4879679 x^{11} - 12560597 x^{10} + 8757989673832 x^{9} + 34815675420589 x^{8} + \cdots + 22\!\cdots\!69$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$2\nu$$ 2*v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!77 \nu^{12} + \cdots + 11\!\cdots\!75 ) / 65\!\cdots\!52$$ (147192836043653449298705635728530272967525038646656177*v^12 - 54056090956857761758214908507742159353000854048972090275*v^11 - 700186511184462241664075101936325440878081168881399099757622*v^10 + 257518034812277951344474135822582189211300859667229301276642621*v^9 + 1202888965644101429086526989216292338765391859924283305995346105313*v^8 - 444786581800318946554123461035679861335859459823045888534158399299542*v^7 - 904289225356676635238794618314319803231329017248451726763331886549377852*v^6 + 331285041088372300751937928789357954025838566526758964120738409160825822962*v^5 + 286272566332976542696131255999269692349133427501250864094776001838160000114603*v^4 - 94265473472186673123641903652492397588851203752490146300442190020520367942195495*v^3 - 32955238072625142415160139151119573628561967679802933909217651354893729516622556222*v^2 + 7556327872872508743569926399647625864831190248196185131745255091547090683908614240369*v + 1107261474730941243917569905490711146428135916789008679827744339967092472022702128853875) / 651604511476690695653202119461970806172387722949591953156258722382396034648113152 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!77 \nu^{12} + \cdots + 61\!\cdots\!11 ) / 16\!\cdots\!88$$ (147192836043653449298705635728530272967525038646656177*v^12 - 54056090956857761758214908507742159353000854048972090275*v^11 - 700186511184462241664075101936325440878081168881399099757622*v^10 + 257518034812277951344474135822582189211300859667229301276642621*v^9 + 1202888965644101429086526989216292338765391859924283305995346105313*v^8 - 444786581800318946554123461035679861335859459823045888534158399299542*v^7 - 904289225356676635238794618314319803231329017248451726763331886549377852*v^6 + 331285041088372300751937928789357954025838566526758964120738409160825822962*v^5 + 286272566332976542696131255999269692349133427501250864094776001838160000114603*v^4 - 94265473472186673123641903652492397588851203752490146300442190020520367942195495*v^3 - 32303633561148451719506937031657602822389579956853341956061392632511333481974443070*v^2 + 7554047257082340326135140192229508967009586891165861559909208186018752297787345844337*v + 618089261677415743222145836969280153803804091610152483550254370029541312089687947441011) / 162901127869172673913300529865492701543096930737397988289064680595599008662028288 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 19\!\cdots\!69 \nu^{12} + \cdots + 86\!\cdots\!55 ) / 43\!\cdots\!68$$ (19237180368397715339723169596744287855626508122721018369*v^12 - 3705990306353125041566349769550898483981717860769053527547*v^11 - 94616569680049321151899031528054018977297048171950339084257830*v^10 + 19018117734342029209521921203910942025082034298905807652250562669*v^9 + 168384581480818110702287850003391999386973034469055300012370392484233*v^8 - 34372703537542199396950718820159060928906006882904519578232834932621222*v^7 - 130368749437082588300399599863489939662771355168010576315931687897772147516*v^6 + 24998579406149761313148752783034283576259050357143418241434655306970191978674*v^5 + 41243102555379423260415132587291121605682007786871091871896980156692383079914347*v^4 - 5843785518383239309094674191781261055192117700699047180209785560193948558223097407*v^3 - 4244064101877007464895730083691682798071882610630771357802049516841241149430903884942*v^2 + 340910900210602726263520294791331091915522678046013260079654339863126587454126579874497*v + 86553259414909789352948194643620936683725138043584484886023932896344811817325899065660155) / 434403007651127130435468079641313870781591815299727968770839148254930689765408768 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!91 \nu^{12} + \cdots - 81\!\cdots\!29 ) / 13\!\cdots\!04$$ (-125247241776372221472182651566087932154463233093581009991*v^12 + 48934471757477083343478445007931308477550430110135016493453*v^11 + 595375598260600996843322372116616630919046254377270285856005098*v^10 - 229644060882447481970326004002758448275802622902641636180054899451*v^9 - 1022638148538981779224782690254806189968442000650220866042705999257743*v^8 + 389793387941472967768628555745608345715048950580917398352331219481411498*v^7 + 768831160829497785963136623019382943531871757832215281373589841452452520228*v^6 - 285460230864557872194164681162072509354195831370965204567354366626616363752478*v^5 - 242428948626140345971807020913422693920523236704221358346317658315542528592821133*v^4 + 80453932259092070863530093232966926656542743097431566887407174302815254787231731049*v^3 + 26971397141806931229865979666127837754621028323858724542267321300097642127137451811842*v^2 - 6455096888479559262310307479527811081175490417930606291623676976341813923025607532726151*v - 819616979146017807994284508018870633421313025704885384069005001847878839625351343128826029) / 1303209022953381391306404238923941612344775445899183906312517444764792069296226304 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 26\!\cdots\!01 \nu^{12} + \cdots - 17\!\cdots\!91 ) / 65\!\cdots\!52$$ (-2692684517099384729056804707557893172316115684725306246301*v^12 + 1029789783207919393498962923563902543440049996816088903175495*v^11 + 12822833544973957510885410522336931130319623883387485824136084926*v^10 - 4837854213086540356540672882264426580758571097640866291504305175993*v^9 - 22068550118173232044738251961514331705074044885766597219470188861997549*v^8 + 8213297487356523960184118714810015229588101909296605291969620512809656926*v^7 + 16619808878588388000666099276160456897418104955385759589844835075755012586636*v^6 - 6003430344724777279239770686477284815516012829648270317307040398318511716604426*v^5 - 5239523271731490432599459003966031948870775445064222168809745027907390646227880399*v^4 + 1686560355908213429650350803644445001752756298956487896421074791176263701106469937531*v^3 + 578271217616949739549607338255067345445391699262884338577841362788108470660654442663078*v^2 - 140678079635105173583994913701660853862093168695122233180850900644140258161400806190758237*v - 17045830878214710813045956568598805339556923880353300318326501519190528361796624817023792791) / 651604511476690695653202119461970806172387722949591953156258722382396034648113152 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!83 \nu^{12} + \cdots + 69\!\cdots\!13 ) / 13\!\cdots\!04$$ (13690775482616677907784742211622707717970401843670921726983*v^12 - 7305284064021303225631555918771781637336383374899683959486237*v^11 - 64265156515640940642393460204582640142847788195498002409772544906*v^10 + 33651880050127485896011921814716548539553789508331168813317857024507*v^9 + 108510251956166977224251489655264813117537934058004686498336827322436479*v^8 - 55685415202175746636772729839477708598443615033617277669434509161083549962*v^7 - 79531534536226885750057927399991092992642816688643713458972331503700547037348*v^6 + 39540308995577385868884286900551880278510980295676931275788936052560939928416734*v^5 + 23974136460152979505198810758621777161295250546618402308364359552880872666132630637*v^4 - 10823559369038821764716868049111754759392342626016869707111814546106976120383077223673*v^3 - 2459294593791942250153672818158558116061426782865341538903098724387996129328968616670050*v^2 + 836140603351264497747366744978912117188711770590815294197780905222009080696652872546758983*v + 69479138247860695181715235388214452186134645905775528780215854197006722043407955083909491613) / 1303209022953381391306404238923941612344775445899183906312517444764792069296226304 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 38\!\cdots\!71 \nu^{12} + \cdots + 20\!\cdots\!05 ) / 65\!\cdots\!52$$ (38375567027110982973102324964427900989489719576387724234871*v^12 - 11880120076913630904207815018603798221384521158220347118461965*v^11 - 180887406296339646578343614415465113514752895574232435131517339498*v^10 + 55790705965707386276525669667755631981346387430987771479111523984427*v^9 + 307464085934262155562596521909023241210056488240708034573480688930027343*v^8 - 95277114285324394967686342719951544627447466813028402264226422437924197994*v^7 - 228465653083689345264099422413596398957751324843786328032448924460359270908900*v^6 + 70538622784946376307489171680408727603963183125941440739395131123635295730761278*v^5 + 71273257065390184734861037508866971472679793313270937214442774766288091583378172797*v^4 - 19937772669565165042006176027060380122785803173385549121439901875972064038638209455529*v^3 - 7741595740645433334097605376100278203219693494211323315470248814884559000085804149605954*v^2 + 1574151007140605009519192776427557049664058234403335793272374223751601071026063415610518967*v + 202220120090715652084341145341022935002465083019730821546993904204542475989186778557610761805) / 651604511476690695653202119461970806172387722949591953156258722382396034648113152 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!85 \nu^{12} + \cdots + 88\!\cdots\!03 ) / 13\!\cdots\!04$$ (150801693135848859588073469864594882056880124043175323612885*v^12 - 51382890286935880545846679830506034686623132964191666633767863*v^11 - 715498622628781894291001985972297473965824517752008461080018444382*v^10 + 241171614723992173701443305966295166013441895698096154108636925922353*v^9 + 1225419894367229664369148569247941587186325609346185391300991673780655645*v^8 - 409744591324680062053097166329395466747191561808890995954291374392439035486*v^7 - 917198756954717946131889816463157496937888405438659370699065802353754399963116*v^6 + 299788204408007152248978421659653310700686368865193710821010261967006207846898074*v^5 + 287104949325734105584120258710924756458816806867813195054298590188543658928543134151*v^4 - 83263332275458952706828037782655678721590600389742241828573635065655698012694826907211*v^3 - 31340016311737391542695864488181246202754656351103088375196722284043194347879682365053798*v^2 + 6480965669192384342400741132266942961603728294135587994881945170545509048400867363522257557*v + 887428923598991019510243060639934418723213334066945059012358921345928017598713929421291386103) / 1303209022953381391306404238923941612344775445899183906312517444764792069296226304 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 67\!\cdots\!11 \nu^{12} + \cdots - 40\!\cdots\!41 ) / 43\!\cdots\!68$$ (-67175898000116661278693890404955578836234204809962284787811*v^12 + 23072132103927966350271412145395914505634953264270805359210977*v^11 + 318904439974440507582489838211509743024584269196385241641938584786*v^10 - 109242281161536520352568077414597861869186064709765536205220814031975*v^9 - 546328704550001736129019811570081596951787482834277953940935736955773867*v^8 + 187527742621816987844545865869928702235514030280740641770380796702195736850*v^7 + 408723175338868368942365521993637924405751661438383959568364810845756186561204*v^6 - 138816568821443290783243528917411363164082560056843364379719982808461758549397782*v^5 - 127722582566854365072212325430405787026405890974627723343719517757642032243380882177*v^4 + 39120506567803180828618931846466062118304736989311439597781540511513710561452645873453*v^3 + 13943376130145783247623179097329375062843712650296427837775616005070119916779620262411978*v^2 - 3093222372131423127155776605315910541958430321554868977622180146546611471449593213694487715*v - 402148577912474404332480668032150275453098673626938692172447794458667340100139809551944415041) / 434403007651127130435468079641313870781591815299727968770839148254930689765408768 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 15\!\cdots\!09 \nu^{12} + \cdots - 93\!\cdots\!55 ) / 65\!\cdots\!52$$ (-155279474451864762943733162122664841896550655694911876771609*v^12 + 56763784222865113271401884662797099528151557917030809982400379*v^11 + 742010042698213267881517290263579565801955725015931056649427637862*v^10 - 268942431993974969863022140157183439078588101624911845076835858930949*v^9 - 1281888115924768695687088705642570266596876787829297334156797032424831657*v^8 + 460728356624483863183099935088208713683329565316553188019326732555567742086*v^7 + 968983800429283322370854200778189197192165999260773143522309703563711010646684*v^6 - 338996463288487558421787056618874459797120712410275755919964730008277551985281218*v^5 - 306227699106628989055643929326494453602810584979071876666079409598575060559739261667*v^4 + 94594533747658588148967020577744428907323793178889683709191351484085031824067652213407*v^3 + 33631659608136510705162048108300025129967014141896320979555964505405887030572040590326574*v^2 - 7348610746315901026266140641450952149043239157713901447095796870689718437747385652170664153*v - 937415637178142037161846935822371987914882835126362264950920513583229441390492476837568642955) / 651604511476690695653202119461970806172387722949591953156258722382396034648113152 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 50\!\cdots\!79 \nu^{12} + \cdots + 33\!\cdots\!33 ) / 32\!\cdots\!76$$ (503330812885325731854682106754423999590368195012365085824379*v^12 - 191735211965991019992455073038249278895271772175457634028740685*v^11 - 2391616621804117428319156387531314896903276240497165428350838038218*v^10 + 901149213696853798863744711547892236494621413693222703412753766994543*v^9 + 4105788790816962962369685093797265452552710656978458591020103001697584511*v^8 - 1531886198809496203636604671980532319685350280019403583791862920488344971578*v^7 - 3085371539960066950465894319696227607516680454682365593167278814255215845894260*v^6 + 1122005732389379977929784658816393421898436738276654461721453861210173659722973334*v^5 + 973371663433001398266696322922661533710588307237426505021098187966032515119202022801*v^4 - 314407541360264001919751236630484452845860872753174047574041611141931864424411233074617*v^3 - 108858628776718894574873549548147766550714098757466990420926873460325444212077267833921202*v^2 + 24799078666194001592692741303386442712019171271390864221768381515721230665346892230477673531*v + 3327702958109552916348304514491224961893941946998279402955693336719887189984893046515664229733) / 325802255738345347826601059730985403086193861474795976578129361191198017324056576
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta_1 ) / 2$$ (b1) / 2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( \beta_{3} - 4\beta_{2} + 7\beta _1 + 3002878 ) / 4$$ (b3 - 4*b2 + 7*b1 + 3002878) / 4 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( \beta_{6} - 45\beta_{5} + 5\beta_{4} + 16\beta_{3} - 1896\beta_{2} + 5160267\beta _1 + 23188061 ) / 8$$ (b6 - 45*b5 + 5*b4 + 16*b3 - 1896*b2 + 5160267*b1 + 23188061) / 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 7 \beta_{12} + 30 \beta_{11} - 44 \beta_{10} + 9 \beta_{9} - 84 \beta_{8} - 101 \beta_{7} + 207 \beta_{6} + 26818 \beta_{5} + 770 \beta_{4} + 7089098 \beta_{3} - 37670196 \beta_{2} + 102681483 \beta _1 + 15496079641053 ) / 16$$ (7*b12 + 30*b11 - 44*b10 + 9*b9 - 84*b8 - 101*b7 + 207*b6 + 26818*b5 + 770*b4 + 7089098*b3 - 37670196*b2 + 102681483*b1 + 15496079641053) / 16 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 1484 \beta_{12} + 8032 \beta_{11} - 1472 \beta_{10} - 11436 \beta_{9} + 10416 \beta_{8} - 5780 \beta_{7} + 2021819 \beta_{6} - 135413331 \beta_{5} + 17378939 \beta_{4} + \cdots + 81463228144635 ) / 8$$ (-1484*b12 + 8032*b11 - 1472*b10 - 11436*b9 + 10416*b8 - 5780*b7 + 2021819*b6 - 135413331*b5 + 17378939*b4 + 165351498*b3 - 3667926888*b2 + 7735837392591*b1 + 81463228144635) / 8 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( 21669025 \beta_{12} + 78664290 \beta_{11} - 150576340 \beta_{10} - 15415521 \beta_{9} - 223627852 \beta_{8} - 281038019 \beta_{7} + 462475555 \beta_{6} + \cdots + 23\!\cdots\!81 ) / 16$$ (21669025*b12 + 78664290*b11 - 150576340*b10 - 15415521*b9 - 223627852*b8 - 281038019*b7 + 462475555*b6 + 93853006732*b5 + 1424256032*b4 + 11837045162238*b3 - 88256805906316*b2 + 480137689772379*b1 + 23230738940401443981) / 16 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 7164201205 \beta_{12} + 47314592614 \beta_{11} + 2202892292 \beta_{10} - 75169558715 \beta_{9} + 79158455292 \beta_{8} - 1685424817 \beta_{7} + \cdots + 73\!\cdots\!83 ) / 16$$ (-7164201205*b12 + 47314592614*b11 + 2202892292*b10 - 75169558715*b9 + 79158455292*b8 - 1685424817*b7 + 7275097790985*b6 - 569943798010916*b5 + 85690315906280*b4 + 882175027068922*b3 - 11358854926486452*b2 + 24718500523931052905*b1 + 738432763236633025383) / 16 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( 51978429565237 \beta_{12} + 165045758057418 \beta_{11} - 354958556804836 \beta_{10} - 96053779583029 \beta_{9} - 460314335906236 \beta_{8} + \cdots + 37\!\cdots\!09 ) / 16$$ (51978429565237*b12 + 165045758057418*b11 - 354958556804836*b10 - 96053779583029*b9 - 460314335906236*b8 - 625265911455167*b7 + 796102379316799*b6 + 244121346757993756*b5 + 3213203346440832*b4 + 19938581750048873674*b3 - 188028742125897040908*b2 + 1340890441486959934851*b1 + 37114989471217863059014009) / 16 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!61 \beta_{12} + \cdots + 20\!\cdots\!77 ) / 16$$ (-12680739929629961*b12 + 105919970618110014*b11 + 12069259150152596*b10 - 197557091227596583*b9 + 208277644803679724*b8 + 41257191319816075*b7 + 12848542552201018023*b6 - 1085094664094871668198*b5 + 184838727803960690218*b4 + 1833865863582248283650*b3 - 18476052058091171688020*b2 + 40951125024183799578523523*b1 + 2047328333839976392656168277) / 16 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( 55\!\cdots\!06 \beta_{12} + \cdots + 30\!\cdots\!39 ) / 8$$ (55892005072399072906*b12 + 162291643552874361036*b11 - 370536477189917700984*b10 - 141966922458979923074*b9 - 436881153174962690264*b8 - 633595643078489506646*b7 + 632539839554570850023*b6 + 276077183825365685566483*b5 + 4414608578007467728717*b4 + 17038009857097077242910856*b3 - 188595838110223781977629160*b2 + 1491419974923044259065211337*b1 + 30744258378162240729496218175239) / 8 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( - 19\!\cdots\!29 \beta_{12} + \cdots + 45\!\cdots\!13 ) / 16$$ (-19673988981477809371029*b12 + 216707099781963733860950*b11 + 20435289389930780315044*b10 - 463092856685428343004235*b9 + 469114070415174554885564*b8 + 132628491572967801547263*b7 + 22671271466901444968772143*b6 - 1990988385591893998722197714*b5 + 373327252012253988093950662*b4 + 3456162802951863478797808398*b3 - 33441309135540918256842709604*b2 + 69474655169210190068108801257967*b1 + 4543190052971309677156434160588413) / 16 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( 11\!\cdots\!81 \beta_{12} + \cdots + 52\!\cdots\!65 ) / 8$$ (113236721237760618808432381*b12 + 310631218756532906422032954*b11 - 732136189136125580761999300*b10 - 339000515708616010854160349*b9 - 802472462250695804314436956*b8 - 1225419678918064239639876983*b7 + 980724117253358913902560615*b6 + 576431392238145255523070147116*b5 + 11914913314081358534008046608*b4 + 29493965064513937352232206984646*b3 - 365162710445373163015642502580348*b2 + 2963902926684701187092202187237759*b1 + 52158631869567914550681356182785911265) / 8

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 1347.46 1200.86 846.595 782.007 453.062 345.792 −101.684 −357.683 −362.499 −629.250 −1082.21 −1100.84 −1341.60
−2716.92 −130903. 5.28448e6 1.84186e6 3.55654e8 0 −8.65972e9 6.67535e9 −5.00417e9
1.2 −2423.71 110187. 3.77722e6 1.52335e7 −2.67062e8 0 −4.07200e9 1.68089e9 −3.69216e10
1.3 −1715.19 92396.6 844728. −4.02673e7 −1.58478e8 0 2.14815e9 −1.92321e9 6.90662e10
1.4 −1586.01 −54205.1 418287. −519009. 8.59700e7 0 2.66270e9 −7.52216e9 8.23155e8
1.5 −928.125 −139849. −1.23574e6 1.09421e6 1.29797e8 0 3.09334e9 9.09732e9 −1.01556e9
1.6 −713.583 73254.7 −1.58795e6 3.44439e7 −5.22734e7 0 2.62963e9 −5.09410e9 −2.45786e10
1.7 181.368 178970. −2.06426e6 −7.58931e6 3.24596e7 0 −7.54748e8 2.15700e10 −1.37646e9
1.8 693.366 −70860.0 −1.61640e6 −3.51441e7 −4.91319e7 0 −2.57485e9 −5.43922e9 −2.43677e10
1.9 702.999 11606.3 −1.60294e6 918916. 8.15919e6 0 −2.60116e9 −1.03256e10 6.45997e8
1.10 1236.50 −177130. −568220. 3.17380e7 −2.19021e8 0 −3.29573e9 2.09148e10 3.92440e10
1.11 2142.43 1538.81 2.49284e6 1.96425e7 3.29679e6 0 8.47744e8 −1.04580e10 4.20827e10
1.12 2179.67 131142. 2.65382e6 −7.84677e6 2.85847e8 0 1.21336e9 6.73789e9 −1.71034e10
1.13 2661.21 −144246. 4.98486e6 −3.28434e7 −3.83867e8 0 7.68480e9 1.03465e10 −8.74029e10
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.13 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$7$$ $$1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 49.22.a.f 13
7.b odd 2 1 49.22.a.g 13
7.c even 3 2 7.22.c.a 26

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
7.22.c.a 26 7.c even 3 2
49.22.a.f 13 1.a even 1 1 trivial
49.22.a.g 13 7.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{22}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(49))$$:

 $$T_{2}^{13} + 286 T_{2}^{12} - 19480964 T_{2}^{11} - 4619999168 T_{2}^{10} + 139630520705152 T_{2}^{9} + \cdots - 16\!\cdots\!88$$ T2^13 + 286*T2^12 - 19480964*T2^11 - 4619999168*T2^10 + 139630520705152*T2^9 + 26599112041871872*T2^8 - 455450994264146531328*T2^7 - 61859958633577495904256*T2^6 + 683646542639067337121857536*T2^5 + 28700504823475999102904303616*T2^4 - 437527350634670316645387639717888*T2^3 + 29898620380750739922191850865164288*T2^2 + 96948354353417116156388846519678140416*T2 - 16116711687574048051207512607207968473088 $$T_{3}^{13} + 118097 T_{3}^{12} - 79149013746 T_{3}^{11} + \cdots - 56\!\cdots\!83$$ T3^13 + 118097*T3^12 - 79149013746*T3^11 - 8715324546521586*T3^10 + 2331009308990721045483*T3^9 + 228562027582065880858549947*T3^8 - 32649392962145697630665216251788*T3^7 - 2666543359513021564301932975038973836*T3^6 + 222084660979666228515526752047034346699911*T3^5 + 13755301011590623061736103125788323862552014839*T3^4 - 623859061978511610288262871761327882208647935183714*T3^3 - 25715590245226234652133661606019935327363581806561589858*T3^2 + 405990523153925110705783353240024909918614440557612509560173*T3 - 561655597600482683498315622111762696347683134716632605519720483

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{13} + 286 T^{12} + \cdots - 16\!\cdots\!88$$
$3$ $$T^{13} + 118097 T^{12} + \cdots - 56\!\cdots\!83$$
$5$ $$T^{13} + 19296893 T^{12} + \cdots - 87\!\cdots\!75$$
$7$ $$T^{13}$$
$11$ $$T^{13} - 96908527507 T^{12} + \cdots + 82\!\cdots\!25$$
$13$ $$T^{13} - 286575277674 T^{12} + \cdots + 12\!\cdots\!88$$
$17$ $$T^{13} + 3631296873225 T^{12} + \cdots - 93\!\cdots\!39$$
$19$ $$T^{13} + 56849486179647 T^{12} + \cdots - 41\!\cdots\!73$$
$23$ $$T^{13} - 56010101087361 T^{12} + \cdots - 21\!\cdots\!61$$
$29$ $$T^{13} + \cdots - 10\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{13} + \cdots - 48\!\cdots\!43$$
$37$ $$T^{13} + \cdots - 51\!\cdots\!75$$
$41$ $$T^{13} + \cdots - 78\!\cdots\!00$$
$43$ $$T^{13} + \cdots - 99\!\cdots\!48$$
$47$ $$T^{13} + \cdots - 22\!\cdots\!25$$
$53$ $$T^{13} + \cdots + 16\!\cdots\!77$$
$59$ $$T^{13} + \cdots + 26\!\cdots\!25$$
$61$ $$T^{13} + \cdots - 14\!\cdots\!87$$
$67$ $$T^{13} + \cdots - 11\!\cdots\!75$$
$71$ $$T^{13} + \cdots - 28\!\cdots\!48$$
$73$ $$T^{13} + \cdots + 38\!\cdots\!57$$
$79$ $$T^{13} + \cdots + 28\!\cdots\!71$$
$83$ $$T^{13} + \cdots + 43\!\cdots\!64$$
$89$ $$T^{13} + \cdots - 22\!\cdots\!87$$
$97$ $$T^{13} + \cdots + 57\!\cdots\!76$$