Properties

Label 43.6
Level 43
Weight 6
Dimension 364
Nonzero newspaces 4
Newform subspaces 5
Sturm bound 924
Trace bound 1

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Defining parameters

Level: \( N \) = \( 43\( 43 \) \)
Weight: \( k \) = \( 6 \)
Nonzero newspaces: \( 4 \)
Newform subspaces: \( 5 \)
Sturm bound: \(924\)
Trace bound: \(1\)

Dimensions

The following table gives the dimensions of various subspaces of \(M_{6}(\Gamma_1(43))\).

Total New Old
Modular forms 406 404 2
Cusp forms 364 364 0
Eisenstein series 42 40 2

Trace form

\( 364q - 21q^{2} - 21q^{3} - 21q^{4} - 21q^{5} - 21q^{6} - 21q^{7} - 21q^{8} - 21q^{9} + O(q^{10}) \) \( 364q - 21q^{2} - 21q^{3} - 21q^{4} - 21q^{5} - 21q^{6} - 21q^{7} - 21q^{8} - 21q^{9} - 21q^{10} - 21q^{11} - 21q^{12} - 21q^{13} - 21q^{14} - 21q^{15} - 21q^{16} - 21q^{17} - 21q^{18} - 21q^{19} - 21q^{20} - 21q^{21} - 21q^{22} - 21q^{23} - 21q^{24} - 21q^{25} - 21q^{26} - 21q^{27} - 21q^{28} - 21q^{29} - 21q^{30} - 30464q^{31} - 59829q^{32} + 15477q^{33} + 80367q^{34} + 63777q^{35} + 145131q^{36} + 32781q^{37} + 10395q^{38} - 26922q^{39} - 190869q^{40} - 32760q^{41} - 148218q^{42} - 180726q^{43} - 119658q^{44} - 93576q^{45} - 13797q^{46} + 14490q^{47} + 266091q^{48} + 117628q^{49} + 252315q^{50} + 135681q^{51} + 324331q^{52} + 75117q^{53} - 20433q^{54} - 155463q^{55} - 362229q^{56} - 107814q^{57} - 21q^{58} - 21q^{59} - 21q^{60} - 21q^{61} - 21q^{62} - 21q^{63} - 21q^{64} - 21q^{65} - 21q^{66} - 21q^{67} - 21q^{68} - 726831q^{69} - 695121q^{70} - 71799q^{71} + 579369q^{72} + 229761q^{73} + 991494q^{74} + 1010604q^{75} + 901236q^{76} + 599613q^{77} + 813792q^{78} + 83559q^{79} - 172221q^{80} - 492093q^{81} - 964131q^{82} - 496377q^{83} - 2572983q^{84} - 606942q^{85} - 1199373q^{86} - 1373652q^{87} - 916125q^{88} - 328041q^{89} - 746571q^{90} + 21063q^{91} + 558369q^{92} + 858627q^{93} + 1250739q^{94} + 795879q^{95} + 3000522q^{96} + 1481613q^{97} + 1693566q^{98} + 1469244q^{99} + O(q^{100}) \)

Decomposition of \(S_{6}^{\mathrm{new}}(\Gamma_1(43))\)

We only show spaces with even parity, since no modular forms exist when this condition is not satisfied. Within each space \( S_k^{\mathrm{new}}(N, \chi) \) we list the newforms together with their dimension.

Label \(\chi\) Newforms Dimension \(\chi\) degree
43.6.a \(\chi_{43}(1, \cdot)\) 43.6.a.a 8 1
43.6.a.b 10
43.6.c \(\chi_{43}(6, \cdot)\) 43.6.c.a 34 2
43.6.e \(\chi_{43}(4, \cdot)\) 43.6.e.a 108 6
43.6.g \(\chi_{43}(9, \cdot)\) 43.6.g.a 204 12

Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ (\( 1 + 12 T + 139 T^{2} + 1186 T^{3} + 9566 T^{4} + 66832 T^{5} + 428248 T^{6} + 2656128 T^{7} + 15088832 T^{8} + 84996096 T^{9} + 438525952 T^{10} + 2189950976 T^{11} + 10030678016 T^{12} + 39795556352 T^{13} + 149250113536 T^{14} + 412316860416 T^{15} + 1099511627776 T^{16} \))(\( 1 - 8 T + 91 T^{2} - 570 T^{3} + 4178 T^{4} - 19212 T^{5} + 126300 T^{6} - 603512 T^{7} + 4655376 T^{8} - 24295776 T^{9} + 168985984 T^{10} - 777464832 T^{11} + 4767105024 T^{12} - 19775881216 T^{13} + 132435148800 T^{14} - 644647747584 T^{15} + 4486093340672 T^{16} - 19585050869760 T^{17} + 100055558127616 T^{18} - 281474976710656 T^{19} + 1125899906842624 T^{20} \))
$3$ (\( 1 + 26 T + 1037 T^{2} + 21984 T^{3} + 515401 T^{4} + 8844604 T^{5} + 164541593 T^{6} + 2412229350 T^{7} + 42389674344 T^{8} + 586171732050 T^{9} + 9716016525057 T^{10} + 126910400247828 T^{11} + 1797092167059801 T^{12} + 18626792789994912 T^{13} + 213509103982151013 T^{14} + 1300820172573992382 T^{15} + 12157665459056928801 T^{16} \))(\( 1 - 28 T + 929 T^{2} - 15652 T^{3} + 384094 T^{4} - 5703294 T^{5} + 127217574 T^{6} - 1773759114 T^{7} + 38322042597 T^{8} - 511917861924 T^{9} + 10155906521514 T^{10} - 124396040447532 T^{11} + 2262878293310253 T^{12} - 25451504567188398 T^{13} + 443580252556263174 T^{14} - 4832336042504605242 T^{15} + 79081548490762113006 T^{16} - \)\(78\!\cdots\!64\)\( T^{17} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( T^{18} - \)\(82\!\cdots\!04\)\( T^{19} + \)\(71\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$5$ (\( 1 + 212 T + 32783 T^{2} + 3621372 T^{3} + 337987365 T^{4} + 26716499536 T^{5} + 1886184834567 T^{6} + 120009344570848 T^{7} + 7002693082424752 T^{8} + 375029201783900000 T^{9} + 18419773775068359375 T^{10} + \)\(81\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(32\!\cdots\!25\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(30\!\cdots\!75\)\( T^{14} + \)\(61\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(90\!\cdots\!25\)\( T^{16} \))(\( 1 - 138 T + 21587 T^{2} - 2230608 T^{3} + 229459202 T^{4} - 19157670180 T^{5} + 1558167162738 T^{6} - 109829488059312 T^{7} + 7514260269046033 T^{8} - 457924168440376602 T^{9} + 27012319396517106654 T^{10} - \)\(14\!\cdots\!50\)\( T^{11} + \)\(73\!\cdots\!25\)\( T^{12} - \)\(33\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!50\)\( T^{14} - \)\(57\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(21\!\cdots\!50\)\( T^{16} - \)\(64\!\cdots\!00\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!75\)\( T^{18} - \)\(39\!\cdots\!50\)\( T^{19} + \)\(88\!\cdots\!25\)\( T^{20} \))
$7$ (\( 1 + 136 T + 72882 T^{2} + 6236384 T^{3} + 2273171472 T^{4} + 116085882896 T^{5} + 47825461769326 T^{6} + 1608183672345720 T^{7} + 855930962462754846 T^{8} + 27028742981114516040 T^{9} + \)\(13\!\cdots\!74\)\( T^{10} + \)\(55\!\cdots\!28\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!72\)\( T^{12} + \)\(83\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(16\!\cdots\!18\)\( T^{14} + \)\(51\!\cdots\!48\)\( T^{15} + \)\(63\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 60 T + 71106 T^{2} - 5672772 T^{3} + 2998880769 T^{4} - 247503266272 T^{5} + 92903828588736 T^{6} - 7232195163049824 T^{7} + 2203025939434531374 T^{8} - \)\(15\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(41\!\cdots\!04\)\( T^{10} - \)\(26\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(62\!\cdots\!26\)\( T^{12} - \)\(34\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(74\!\cdots\!36\)\( T^{14} - \)\(33\!\cdots\!04\)\( T^{15} + \)\(67\!\cdots\!81\)\( T^{16} - \)\(21\!\cdots\!96\)\( T^{17} + \)\(45\!\cdots\!06\)\( T^{18} - \)\(64\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$11$ (\( 1 + 532 T + 730390 T^{2} + 277407524 T^{3} + 233648426873 T^{4} + 75202699287360 T^{5} + 55193097116019702 T^{6} + 16538641578891295312 T^{7} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{8} + \)\(26\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!02\)\( T^{10} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!73\)\( T^{12} + \)\(30\!\cdots\!24\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!90\)\( T^{14} + \)\(14\!\cdots\!32\)\( T^{15} + \)\(45\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 745 T + 1092200 T^{2} - 566790565 T^{3} + 495359905314 T^{4} - 194173124255379 T^{5} + 135383021483146674 T^{6} - 43098674076488688185 T^{7} + \)\(27\!\cdots\!81\)\( T^{8} - \)\(77\!\cdots\!58\)\( T^{9} + \)\(47\!\cdots\!16\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!58\)\( T^{11} + \)\(71\!\cdots\!81\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!35\)\( T^{13} + \)\(91\!\cdots\!74\)\( T^{14} - \)\(21\!\cdots\!29\)\( T^{15} + \)\(86\!\cdots\!14\)\( T^{16} - \)\(15\!\cdots\!15\)\( T^{17} + \)\(49\!\cdots\!00\)\( T^{18} - \)\(54\!\cdots\!95\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$13$ (\( 1 + 2492 T + 4165454 T^{2} + 5101254988 T^{3} + 5076664946873 T^{4} + 4290072329984560 T^{5} + 3197308617811643622 T^{6} + \)\(21\!\cdots\!28\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!48\)\( T^{8} + \)\(80\!\cdots\!04\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!78\)\( T^{10} + \)\(21\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(96\!\cdots\!73\)\( T^{12} + \)\(35\!\cdots\!84\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( T^{14} + \)\(24\!\cdots\!44\)\( T^{15} + \)\(36\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 1917 T + 3889346 T^{2} - 4848596699 T^{3} + 5963954609742 T^{4} - 5730569373162787 T^{5} + 5360926546177278684 T^{6} - \)\(42\!\cdots\!79\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!21\)\( T^{8} - \)\(21\!\cdots\!94\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!96\)\( T^{10} - \)\(81\!\cdots\!42\)\( T^{11} + \)\(44\!\cdots\!29\)\( T^{12} - \)\(21\!\cdots\!03\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{14} - \)\(40\!\cdots\!91\)\( T^{15} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( T^{16} - \)\(47\!\cdots\!43\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!46\)\( T^{18} - \)\(25\!\cdots\!81\)\( T^{19} + \)\(49\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$17$ (\( 1 + 2534 T + 10088213 T^{2} + 18871627772 T^{3} + 43872695037958 T^{4} + 64773449524240486 T^{5} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!98\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!73\)\( T^{8} + \)\(19\!\cdots\!86\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{10} + \)\(18\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(17\!\cdots\!58\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{13} + \)\(82\!\cdots\!37\)\( T^{14} + \)\(29\!\cdots\!62\)\( T^{15} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 4017 T + 16731071 T^{2} - 43371481422 T^{3} + 109028323359989 T^{4} - 214433083727073801 T^{5} + \)\(40\!\cdots\!11\)\( T^{6} - \)\(64\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(98\!\cdots\!87\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!91\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!87\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!63\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!12\)\( T^{13} + \)\(16\!\cdots\!11\)\( T^{14} - \)\(12\!\cdots\!57\)\( T^{15} + \)\(89\!\cdots\!61\)\( T^{16} - \)\(50\!\cdots\!46\)\( T^{17} + \)\(27\!\cdots\!71\)\( T^{18} - \)\(94\!\cdots\!69\)\( T^{19} + \)\(33\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$19$ (\( 1 + 1678 T + 4805907 T^{2} + 3688923072 T^{3} + 6298623964783 T^{4} + 4799890940703308 T^{5} + 9212340221857328609 T^{6} + \)\(43\!\cdots\!14\)\( T^{7} + \)\(59\!\cdots\!68\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( T^{9} + \)\(56\!\cdots\!09\)\( T^{10} + \)\(72\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(23\!\cdots\!83\)\( T^{12} + \)\(34\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{14} + \)\(95\!\cdots\!22\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 + 2404 T + 15222557 T^{2} + 35388594664 T^{3} + 123780260921510 T^{4} + 260083719347815286 T^{5} + \)\(66\!\cdots\!54\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!42\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!37\)\( T^{8} + \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{9} + \)\(73\!\cdots\!66\)\( T^{10} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( T^{12} + \)\(18\!\cdots\!58\)\( T^{13} + \)\(25\!\cdots\!54\)\( T^{14} + \)\(24\!\cdots\!14\)\( T^{15} + \)\(28\!\cdots\!10\)\( T^{16} + \)\(20\!\cdots\!36\)\( T^{17} + \)\(21\!\cdots\!57\)\( T^{18} + \)\(84\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(86\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$23$ (\( 1 + 2488 T + 19807447 T^{2} + 41115937228 T^{3} + 232966325434474 T^{4} + 412893749849663568 T^{5} + \)\(20\!\cdots\!08\)\( T^{6} + \)\(32\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!09\)\( T^{8} + \)\(20\!\cdots\!84\)\( T^{9} + \)\(85\!\cdots\!92\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{11} + \)\(39\!\cdots\!74\)\( T^{12} + \)\(45\!\cdots\!04\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!03\)\( T^{14} + \)\(11\!\cdots\!16\)\( T^{15} + \)\(29\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 1733 T + 47557957 T^{2} - 72067471074 T^{3} + 1063199488621929 T^{4} - 1395811354288602239 T^{5} + \)\(14\!\cdots\!11\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!39\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!37\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!02\)\( T^{10} - \)\(93\!\cdots\!91\)\( T^{11} + \)\(61\!\cdots\!11\)\( T^{12} - \)\(45\!\cdots\!50\)\( T^{13} + \)\(25\!\cdots\!11\)\( T^{14} - \)\(15\!\cdots\!77\)\( T^{15} + \)\(75\!\cdots\!21\)\( T^{16} - \)\(32\!\cdots\!18\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!57\)\( T^{18} - \)\(32\!\cdots\!19\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$29$ (\( 1 + 4360 T + 123420923 T^{2} + 388928438620 T^{3} + 6671975392676125 T^{4} + 14971808484524322944 T^{5} + \)\(21\!\cdots\!99\)\( T^{6} + \)\(36\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( T^{8} + \)\(75\!\cdots\!24\)\( T^{9} + \)\(91\!\cdots\!99\)\( T^{10} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!25\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(91\!\cdots\!23\)\( T^{14} + \)\(66\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(31\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 6996 T + 88174667 T^{2} - 354425388876 T^{3} + 2685110189553942 T^{4} - 3595496283776034360 T^{5} + \)\(29\!\cdots\!74\)\( T^{6} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{7} - \)\(13\!\cdots\!47\)\( T^{8} + \)\(63\!\cdots\!00\)\( T^{9} - \)\(82\!\cdots\!38\)\( T^{10} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(58\!\cdots\!47\)\( T^{12} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{13} + \)\(52\!\cdots\!74\)\( T^{14} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(19\!\cdots\!42\)\( T^{16} - \)\(54\!\cdots\!24\)\( T^{17} + \)\(27\!\cdots\!67\)\( T^{18} - \)\(44\!\cdots\!04\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$31$ (\( 1 - 5704 T + 154537635 T^{2} - 536298509268 T^{3} + 10208569817532730 T^{4} - 23021651844205871336 T^{5} + \)\(44\!\cdots\!56\)\( T^{6} - \)\(75\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( T^{8} - \)\(21\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(36\!\cdots\!56\)\( T^{10} - \)\(54\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(68\!\cdots\!30\)\( T^{12} - \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(85\!\cdots\!35\)\( T^{14} - \)\(89\!\cdots\!04\)\( T^{15} + \)\(45\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 + 4899 T + 169335305 T^{2} + 687234491898 T^{3} + 14314848605964873 T^{4} + 50115254632047551877 T^{5} + \)\(80\!\cdots\!39\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!98\)\( T^{7} + \)\(33\!\cdots\!11\)\( T^{8} + \)\(91\!\cdots\!15\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( T^{10} + \)\(26\!\cdots\!65\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!11\)\( T^{12} + \)\(58\!\cdots\!98\)\( T^{13} + \)\(54\!\cdots\!39\)\( T^{14} + \)\(96\!\cdots\!27\)\( T^{15} + \)\(78\!\cdots\!73\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( T^{17} + \)\(76\!\cdots\!05\)\( T^{18} + \)\(63\!\cdots\!49\)\( T^{19} + \)\(36\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$37$ (\( 1 + 3772 T + 191073025 T^{2} - 279875011868 T^{3} + 17131267855690943 T^{4} - 65662976081645242692 T^{5} + \)\(16\!\cdots\!59\)\( T^{6} - \)\(36\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{8} - \)\(25\!\cdots\!84\)\( T^{9} + \)\(80\!\cdots\!91\)\( T^{10} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(39\!\cdots\!43\)\( T^{12} - \)\(44\!\cdots\!76\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!25\)\( T^{14} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( T^{15} + \)\(53\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 1466 T + 314595515 T^{2} - 1000159162152 T^{3} + 48977417173952218 T^{4} - \)\(27\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(50\!\cdots\!42\)\( T^{6} - \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{7} + \)\(40\!\cdots\!01\)\( T^{8} - \)\(41\!\cdots\!94\)\( T^{9} + \)\(29\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(28\!\cdots\!58\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!49\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(11\!\cdots\!42\)\( T^{14} - \)\(43\!\cdots\!36\)\( T^{15} + \)\(54\!\cdots\!82\)\( T^{16} - \)\(77\!\cdots\!36\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!15\)\( T^{18} - \)\(54\!\cdots\!62\)\( T^{19} + \)\(25\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$41$ (\( 1 + 10698 T + 718082789 T^{2} + 6825101409152 T^{3} + 244397855377030766 T^{4} + \)\(20\!\cdots\!98\)\( T^{5} + \)\(51\!\cdots\!60\)\( T^{6} + \)\(36\!\cdots\!02\)\( T^{7} + \)\(71\!\cdots\!21\)\( T^{8} + \)\(42\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(68\!\cdots\!60\)\( T^{10} + \)\(31\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(44\!\cdots\!66\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!89\)\( T^{14} + \)\(29\!\cdots\!98\)\( T^{15} + \)\(32\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 10297 T + 512459663 T^{2} - 5996761727014 T^{3} + 151679237600092005 T^{4} - \)\(17\!\cdots\!49\)\( T^{5} + \)\(31\!\cdots\!39\)\( T^{6} - \)\(34\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!19\)\( T^{8} - \)\(50\!\cdots\!39\)\( T^{9} + \)\(65\!\cdots\!96\)\( T^{10} - \)\(58\!\cdots\!39\)\( T^{11} + \)\(68\!\cdots\!19\)\( T^{12} - \)\(52\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(57\!\cdots\!39\)\( T^{14} - \)\(36\!\cdots\!49\)\( T^{15} + \)\(36\!\cdots\!05\)\( T^{16} - \)\(16\!\cdots\!14\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!63\)\( T^{18} - \)\(38\!\cdots\!97\)\( T^{19} + \)\(43\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$43$ (\( ( 1 + 1849 T )^{8} \))(\( ( 1 - 1849 T )^{10} \))
$47$ (\( 1 + 77864 T + 4209868025 T^{2} + 159292711218168 T^{3} + 4925605431015049275 T^{4} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!31\)\( T^{6} + \)\(50\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(81\!\cdots\!28\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!19\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{13} + \)\(61\!\cdots\!25\)\( T^{14} + \)\(25\!\cdots\!52\)\( T^{15} + \)\(76\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 48592 T + 2515660075 T^{2} - 84810946501416 T^{3} + 2666904651640316270 T^{4} - \)\(68\!\cdots\!52\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!42\)\( T^{6} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(64\!\cdots\!57\)\( T^{8} - \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(25\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(34\!\cdots\!93\)\( T^{12} - \)\(40\!\cdots\!60\)\( T^{13} + \)\(45\!\cdots\!42\)\( T^{14} - \)\(43\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(38\!\cdots\!30\)\( T^{16} - \)\(28\!\cdots\!88\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!75\)\( T^{18} - \)\(85\!\cdots\!44\)\( T^{19} + \)\(40\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$53$ (\( 1 + 62352 T + 4104997514 T^{2} + 164980080105492 T^{3} + 6411159574721863281 T^{4} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(54\!\cdots\!26\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( T^{8} + \)\(53\!\cdots\!36\)\( T^{9} + \)\(95\!\cdots\!74\)\( T^{10} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!81\)\( T^{12} + \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!86\)\( T^{14} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(93\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 127165 T + 9906770390 T^{2} - 550920294329671 T^{3} + 24581308628857110150 T^{4} - \)\(91\!\cdots\!35\)\( T^{5} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( T^{6} - \)\(83\!\cdots\!31\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!05\)\( T^{8} - \)\(49\!\cdots\!78\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{10} - \)\(20\!\cdots\!54\)\( T^{11} + \)\(37\!\cdots\!45\)\( T^{12} - \)\(61\!\cdots\!67\)\( T^{13} + \)\(90\!\cdots\!20\)\( T^{14} - \)\(11\!\cdots\!55\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!50\)\( T^{16} - \)\(12\!\cdots\!47\)\( T^{17} + \)\(92\!\cdots\!90\)\( T^{18} - \)\(49\!\cdots\!45\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$59$ (\( 1 + 26224 T + 2774515012 T^{2} + 45419810356528 T^{3} + 3251157373342627972 T^{4} + \)\(32\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(23\!\cdots\!96\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{8} + \)\(79\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( T^{10} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{11} + \)\(84\!\cdots\!72\)\( T^{12} + \)\(84\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(37\!\cdots\!12\)\( T^{14} + \)\(25\!\cdots\!76\)\( T^{15} + \)\(68\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 99372 T + 7563799766 T^{2} - 407898209580180 T^{3} + 19000827281933813957 T^{4} - \)\(74\!\cdots\!72\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!44\)\( T^{6} - \)\(87\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!22\)\( T^{8} - \)\(76\!\cdots\!76\)\( T^{9} + \)\(20\!\cdots\!96\)\( T^{10} - \)\(54\!\cdots\!24\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!22\)\( T^{12} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(70\!\cdots\!44\)\( T^{14} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{15} + \)\(25\!\cdots\!57\)\( T^{16} - \)\(38\!\cdots\!20\)\( T^{17} + \)\(51\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(48\!\cdots\!28\)\( T^{19} + \)\(34\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$61$ (\( 1 + 82540 T + 7066815930 T^{2} + 341557091503436 T^{3} + 16786861393791028176 T^{4} + \)\(57\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!70\)\( T^{6} + \)\(60\!\cdots\!16\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!30\)\( T^{8} + \)\(50\!\cdots\!16\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{10} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(85\!\cdots\!76\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( T^{13} + \)\(25\!\cdots\!30\)\( T^{14} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(25\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 17408 T + 3107203610 T^{2} - 59824183442672 T^{3} + 5726081070022748105 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!64\)\( T^{5} + \)\(76\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(84\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(77\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(60\!\cdots\!70\)\( T^{12} - \)\(78\!\cdots\!44\)\( T^{13} + \)\(38\!\cdots\!32\)\( T^{14} - \)\(44\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(20\!\cdots\!05\)\( T^{16} - \)\(18\!\cdots\!72\)\( T^{17} + \)\(80\!\cdots\!10\)\( T^{18} - \)\(38\!\cdots\!08\)\( T^{19} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$67$ (\( 1 - 27784 T + 7986133086 T^{2} - 191439161437872 T^{3} + 30490262918267386393 T^{4} - \)\(62\!\cdots\!04\)\( T^{5} + \)\(72\!\cdots\!82\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{8} - \)\(17\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!18\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!93\)\( T^{12} - \)\(85\!\cdots\!04\)\( T^{13} + \)\(48\!\cdots\!14\)\( T^{14} - \)\(22\!\cdots\!12\)\( T^{15} + \)\(11\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 + 2021 T + 3389673908 T^{2} - 95129046044495 T^{3} + 5951903574650911354 T^{4} - \)\(26\!\cdots\!45\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!46\)\( T^{6} - \)\(38\!\cdots\!75\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!93\)\( T^{8} - \)\(78\!\cdots\!74\)\( T^{9} + \)\(36\!\cdots\!28\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{11} + \)\(50\!\cdots\!57\)\( T^{12} - \)\(94\!\cdots\!25\)\( T^{13} + \)\(51\!\cdots\!46\)\( T^{14} - \)\(11\!\cdots\!15\)\( T^{15} + \)\(36\!\cdots\!46\)\( T^{16} - \)\(77\!\cdots\!85\)\( T^{17} + \)\(37\!\cdots\!08\)\( T^{18} + \)\(30\!\cdots\!47\)\( T^{19} + \)\(20\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$71$ (\( 1 + 9504 T + 6761837728 T^{2} + 123767778948544 T^{3} + 23139305175095415788 T^{4} + \)\(61\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(57\!\cdots\!36\)\( T^{6} + \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!86\)\( T^{8} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(18\!\cdots\!36\)\( T^{10} + \)\(35\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(24\!\cdots\!88\)\( T^{12} + \)\(23\!\cdots\!44\)\( T^{13} + \)\(23\!\cdots\!28\)\( T^{14} + \)\(59\!\cdots\!04\)\( T^{15} + \)\(11\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 11286 T + 12540359910 T^{2} - 44404438984650 T^{3} + 71277357843109037437 T^{4} + \)\(33\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(24\!\cdots\!24\)\( T^{6} + \)\(30\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(61\!\cdots\!22\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!84\)\( T^{10} + \)\(18\!\cdots\!68\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!22\)\( T^{12} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!24\)\( T^{14} + \)\(63\!\cdots\!36\)\( T^{15} + \)\(24\!\cdots\!37\)\( T^{16} - \)\(27\!\cdots\!50\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{18} - \)\(22\!\cdots\!86\)\( T^{19} + \)\(36\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$73$ (\( 1 - 14260 T + 14183423290 T^{2} - 183318998319396 T^{3} + 92012288750177195552 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(35\!\cdots\!10\)\( T^{6} - \)\(34\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(90\!\cdots\!14\)\( T^{8} - \)\(72\!\cdots\!08\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!90\)\( T^{10} - \)\(93\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(16\!\cdots\!52\)\( T^{12} - \)\(70\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(11\!\cdots\!10\)\( T^{14} - \)\(23\!\cdots\!20\)\( T^{15} + \)\(34\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 49892 T + 9676771082 T^{2} - 435365481214596 T^{3} + 51788415419782211185 T^{4} - \)\(22\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(19\!\cdots\!88\)\( T^{6} - \)\(79\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(57\!\cdots\!14\)\( T^{8} - \)\(21\!\cdots\!32\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!60\)\( T^{10} - \)\(44\!\cdots\!76\)\( T^{11} + \)\(24\!\cdots\!86\)\( T^{12} - \)\(71\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(36\!\cdots\!88\)\( T^{14} - \)\(85\!\cdots\!84\)\( T^{15} + \)\(41\!\cdots\!65\)\( T^{16} - \)\(71\!\cdots\!72\)\( T^{17} + \)\(33\!\cdots\!82\)\( T^{18} - \)\(35\!\cdots\!56\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$79$ (\( 1 - 160248 T + 28127571285 T^{2} - 2813803255473368 T^{3} + \)\(29\!\cdots\!07\)\( T^{4} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!27\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(62\!\cdots\!72\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!27\)\( T^{10} - \)\(63\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(26\!\cdots\!07\)\( T^{12} - \)\(77\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( T^{14} - \)\(41\!\cdots\!52\)\( T^{15} + \)\(80\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 + 91524 T + 16857154847 T^{2} + 842558519651240 T^{3} + 99200238774687370926 T^{4} + \)\(23\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(37\!\cdots\!90\)\( T^{6} + \)\(59\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!17\)\( T^{8} + \)\(38\!\cdots\!04\)\( T^{9} + \)\(63\!\cdots\!18\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!17\)\( T^{12} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{13} + \)\(33\!\cdots\!90\)\( T^{14} + \)\(65\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(84\!\cdots\!26\)\( T^{16} + \)\(22\!\cdots\!60\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!47\)\( T^{18} + \)\(22\!\cdots\!76\)\( T^{19} + \)\(76\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$83$ (\( 1 + 77176 T + 20087963970 T^{2} + 1576267525049076 T^{3} + \)\(20\!\cdots\!93\)\( T^{4} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( T^{6} + \)\(91\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(61\!\cdots\!64\)\( T^{8} + \)\(35\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(20\!\cdots\!22\)\( T^{10} + \)\(93\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(48\!\cdots\!93\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(75\!\cdots\!30\)\( T^{14} + \)\(11\!\cdots\!32\)\( T^{15} + \)\(57\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 + 105203 T + 28621889044 T^{2} + 2443253098090515 T^{3} + \)\(38\!\cdots\!90\)\( T^{4} + \)\(27\!\cdots\!61\)\( T^{5} + \)\(31\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(19\!\cdots\!11\)\( T^{7} + \)\(18\!\cdots\!57\)\( T^{8} + \)\(99\!\cdots\!22\)\( T^{9} + \)\(83\!\cdots\!32\)\( T^{10} + \)\(39\!\cdots\!46\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!93\)\( T^{12} + \)\(11\!\cdots\!77\)\( T^{13} + \)\(76\!\cdots\!66\)\( T^{14} + \)\(25\!\cdots\!23\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{16} + \)\(35\!\cdots\!05\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{18} + \)\(24\!\cdots\!29\)\( T^{19} + \)\(89\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
$89$ (\( 1 + 265692 T + 60287015686 T^{2} + 9508315264777636 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{4} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!78\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( T^{8} + \)\(76\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(48\!\cdots\!78\)\( T^{10} + \)\(26\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!36\)\( T^{12} + \)\(51\!\cdots\!64\)\( T^{13} + \)\(18\!\cdots\!86\)\( T^{14} + \)\(44\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(94\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 + 62682 T + 34400806898 T^{2} + 1591902274833594 T^{3} + \)\(57\!\cdots\!17\)\( T^{4} + \)\(20\!\cdots\!96\)\( T^{5} + \)\(63\!\cdots\!68\)\( T^{6} + \)\(16\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!94\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(31\!\cdots\!32\)\( T^{10} + \)\(60\!\cdots\!32\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!94\)\( T^{12} + \)\(29\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(61\!\cdots\!68\)\( T^{14} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( T^{16} + \)\(26\!\cdots\!06\)\( T^{17} + \)\(32\!\cdots\!98\)\( T^{18} + \)\(33\!\cdots\!18\)\( T^{19} + \)\(29\!\cdots\!01\)\( T^{20} \))
$97$ (\( 1 - 144742 T + 53143560149 T^{2} - 6952055211960972 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!46\)\( T^{4} - \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!62\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!53\)\( T^{8} - \)\(17\!\cdots\!34\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!12\)\( T^{10} - \)\(96\!\cdots\!38\)\( T^{11} + \)\(73\!\cdots\!46\)\( T^{12} - \)\(32\!\cdots\!04\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!01\)\( T^{14} - \)\(49\!\cdots\!06\)\( T^{15} + \)\(29\!\cdots\!01\)\( T^{16} \))(\( 1 - 108383 T + 55022053811 T^{2} - 4727913772355050 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( T^{4} - \)\(99\!\cdots\!31\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!35\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!83\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!33\)\( T^{9} + \)\(25\!\cdots\!28\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!81\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!67\)\( T^{12} - \)\(88\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!35\)\( T^{14} - \)\(46\!\cdots\!67\)\( T^{15} + \)\(55\!\cdots\!33\)\( T^{16} - \)\(16\!\cdots\!50\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!11\)\( T^{18} - \)\(27\!\cdots\!31\)\( T^{19} + \)\(21\!\cdots\!49\)\( T^{20} \))
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