Properties

Label 43.4.c
Level 43
Weight 4
Character orbit c
Rep. character \(\chi_{43}(6,\cdot)\)
Character field \(\Q(\zeta_{3})\)
Dimension 20
Newform subspaces 1
Sturm bound 14
Trace bound 0

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Defining parameters

Level: \( N \) \(=\) \( 43 \)
Weight: \( k \) \(=\) \( 4 \)
Character orbit: \([\chi]\) \(=\) 43.c (of order \(3\) and degree \(2\))
Character conductor: \(\operatorname{cond}(\chi)\) \(=\) \( 43 \)
Character field: \(\Q(\zeta_{3})\)
Newform subspaces: \( 1 \)
Sturm bound: \(14\)
Trace bound: \(0\)

Dimensions

The following table gives the dimensions of various subspaces of \(M_{4}(43, [\chi])\).

Total New Old
Modular forms 24 24 0
Cusp forms 20 20 0
Eisenstein series 4 4 0

Trace form

\( 20q - 2q^{2} - 5q^{3} + 78q^{4} - 19q^{5} + 15q^{6} - 51q^{7} - 72q^{8} - 117q^{9} + O(q^{10}) \) \( 20q - 2q^{2} - 5q^{3} + 78q^{4} - 19q^{5} + 15q^{6} - 51q^{7} - 72q^{8} - 117q^{9} + 27q^{10} + 54q^{11} - 72q^{12} - 15q^{13} + 96q^{14} + 65q^{15} + 134q^{16} - 82q^{17} + 247q^{18} + 78q^{19} - 495q^{20} - 18q^{21} + 380q^{22} - 61q^{23} + 202q^{24} - 151q^{25} - 21q^{26} - 194q^{27} - 794q^{28} - 53q^{29} + 627q^{30} + 253q^{31} - 798q^{32} - 424q^{33} - 231q^{34} + 710q^{35} - 1092q^{36} - 129q^{37} - 854q^{38} + 1382q^{39} + 1345q^{40} + 782q^{41} + 62q^{42} + 1025q^{43} + 754q^{44} + 1888q^{45} - 40q^{46} - 668q^{47} - 2401q^{48} - 115q^{49} + 424q^{50} + 1590q^{51} - 564q^{52} + 773q^{53} + 364q^{54} - 1242q^{55} - 923q^{56} - 765q^{57} + 1328q^{58} - 2966q^{59} - 1075q^{60} + 437q^{61} + 1509q^{62} - 2222q^{63} - 1476q^{64} - 2126q^{65} + 1483q^{66} - 642q^{67} - 1052q^{68} - 3503q^{69} - 170q^{70} - 1545q^{71} + 3834q^{72} + 1292q^{73} - 2232q^{74} + 164q^{75} - 252q^{76} + 1448q^{77} + 5644q^{78} - 1405q^{79} - 3157q^{80} + 974q^{81} + 6608q^{82} + 543q^{83} + 7304q^{84} + 1946q^{85} + 2776q^{86} + 2818q^{87} - 5372q^{88} - 2196q^{89} - 1484q^{90} - 3513q^{91} + 2629q^{92} - 983q^{93} + 9878q^{94} - 149q^{95} + 3540q^{96} - 850q^{97} - 213q^{98} - 3181q^{99} + O(q^{100}) \)

Decomposition of \(S_{4}^{\mathrm{new}}(43, [\chi])\) into newform subspaces

Label Dim. \(A\) Field CM Traces $q$-expansion
\(a_2\) \(a_3\) \(a_5\) \(a_7\)
43.4.c.a \(20\) \(2.537\) \(\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)\) None \(-2\) \(-5\) \(-19\) \(-51\) \(q+\beta _{5}q^{2}+(-\beta _{4}-\beta _{6})q^{3}+(4+\beta _{2}+\cdots)q^{4}+\cdots\)

Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ \( ( 1 + T + 21 T^{2} + 30 T^{3} + 291 T^{4} + 493 T^{5} + 3299 T^{6} + 6020 T^{7} + 30260 T^{8} + 57696 T^{9} + 252608 T^{10} + 461568 T^{11} + 1936640 T^{12} + 3082240 T^{13} + 13512704 T^{14} + 16154624 T^{15} + 76283904 T^{16} + 62914560 T^{17} + 352321536 T^{18} + 134217728 T^{19} + 1073741824 T^{20} )^{2} \)
$3$ \( 1 + 5 T - 64 T^{2} - 207 T^{3} + 1736 T^{4} - 2493 T^{5} + 14940 T^{6} + 502453 T^{7} - 2029707 T^{8} - 12348180 T^{9} + 49889273 T^{10} - 155791671 T^{11} + 111657687 T^{12} + 13413963364 T^{13} - 31402447776 T^{14} - 104284718676 T^{15} + 597172338392 T^{16} - 7718563954902 T^{17} + 6795103553147 T^{18} + 149929321126415 T^{19} - 522136902551354 T^{20} + 4048091670413205 T^{21} + 4953630490244163 T^{22} - 151924494324336066 T^{23} + 317361864687382872 T^{24} - 1496371729803087132 T^{25} - 12165951673174882464 T^{26} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( T^{27} + 31535428783950579447 T^{28} - \)\(11\!\cdots\!77\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( T^{30} - \)\(68\!\cdots\!40\)\( T^{31} - \)\(30\!\cdots\!47\)\( T^{32} + \)\(20\!\cdots\!51\)\( T^{33} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( T^{34} - \)\(73\!\cdots\!99\)\( T^{35} + \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{36} - \)\(44\!\cdots\!29\)\( T^{37} - \)\(37\!\cdots\!16\)\( T^{38} + \)\(78\!\cdots\!15\)\( T^{39} + \)\(42\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$5$ \( 1 + 19 T - 369 T^{2} - 9420 T^{3} + 46555 T^{4} + 2017871 T^{5} + 1496842 T^{6} - 191282201 T^{7} - 899992568 T^{8} - 8445628937 T^{9} - 69732522494 T^{10} + 4381874197151 T^{11} + 59385793792057 T^{12} - 382392294295462 T^{13} - 10614686309241807 T^{14} - 29318878428412277 T^{15} + 668588555926177131 T^{16} + 9697248609861628750 T^{17} + 75906644519801998580 T^{18} - \)\(63\!\cdots\!54\)\( T^{19} - \)\(19\!\cdots\!04\)\( T^{20} - \)\(79\!\cdots\!50\)\( T^{21} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{22} + \)\(18\!\cdots\!50\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!75\)\( T^{24} - \)\(89\!\cdots\!25\)\( T^{25} - \)\(40\!\cdots\!75\)\( T^{26} - \)\(18\!\cdots\!50\)\( T^{27} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( T^{28} + \)\(32\!\cdots\!75\)\( T^{29} - \)\(64\!\cdots\!50\)\( T^{30} - \)\(98\!\cdots\!25\)\( T^{31} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{32} - \)\(34\!\cdots\!25\)\( T^{33} + \)\(34\!\cdots\!50\)\( T^{34} + \)\(57\!\cdots\!75\)\( T^{35} + \)\(16\!\cdots\!75\)\( T^{36} - \)\(41\!\cdots\!00\)\( T^{37} - \)\(20\!\cdots\!25\)\( T^{38} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{39} + \)\(86\!\cdots\!25\)\( T^{40} \)
$7$ \( 1 + 51 T - 357 T^{2} - 45708 T^{3} + 199158 T^{4} + 23478106 T^{5} - 285493259 T^{6} - 11658162295 T^{7} + 146829104946 T^{8} + 4094897966023 T^{9} - 71194687182651 T^{10} - 1461672246803082 T^{11} + 35394258687371444 T^{12} + 643809247546209966 T^{13} - 13649568920422493291 T^{14} - \)\(16\!\cdots\!91\)\( T^{15} + \)\(61\!\cdots\!77\)\( T^{16} + \)\(32\!\cdots\!32\)\( T^{17} - \)\(23\!\cdots\!26\)\( T^{18} - \)\(58\!\cdots\!98\)\( T^{19} + \)\(71\!\cdots\!44\)\( T^{20} - \)\(20\!\cdots\!14\)\( T^{21} - \)\(27\!\cdots\!74\)\( T^{22} + \)\(13\!\cdots\!24\)\( T^{23} + \)\(84\!\cdots\!77\)\( T^{24} - \)\(77\!\cdots\!13\)\( T^{25} - \)\(22\!\cdots\!59\)\( T^{26} + \)\(35\!\cdots\!62\)\( T^{27} + \)\(67\!\cdots\!44\)\( T^{28} - \)\(96\!\cdots\!26\)\( T^{29} - \)\(16\!\cdots\!99\)\( T^{30} + \)\(31\!\cdots\!61\)\( T^{31} + \)\(38\!\cdots\!46\)\( T^{32} - \)\(10\!\cdots\!85\)\( T^{33} - \)\(89\!\cdots\!91\)\( T^{34} + \)\(25\!\cdots\!42\)\( T^{35} + \)\(73\!\cdots\!58\)\( T^{36} - \)\(57\!\cdots\!44\)\( T^{37} - \)\(15\!\cdots\!93\)\( T^{38} + \)\(75\!\cdots\!57\)\( T^{39} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$11$ \( ( 1 - 27 T + 5077 T^{2} - 61984 T^{3} + 15043654 T^{4} - 162363748 T^{5} + 35128969454 T^{6} - 264446154846 T^{7} + 61397630693497 T^{8} - 405185649214743 T^{9} + 91897922249805306 T^{10} - 539302099104822933 T^{11} + \)\(10\!\cdots\!17\)\( T^{12} - \)\(62\!\cdots\!86\)\( T^{13} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( T^{14} - \)\(67\!\cdots\!48\)\( T^{15} + \)\(83\!\cdots\!74\)\( T^{16} - \)\(45\!\cdots\!24\)\( T^{17} + \)\(50\!\cdots\!57\)\( T^{18} - \)\(35\!\cdots\!17\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{20} )^{2} \)
$13$ \( 1 + 15 T - 15836 T^{2} - 84609 T^{3} + 136428704 T^{4} - 211873241 T^{5} - 798195901414 T^{6} + 5549492881873 T^{7} + 3492359466060033 T^{8} - 39363659442734576 T^{9} - 11971166560261837535 T^{10} + \)\(17\!\cdots\!97\)\( T^{11} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( T^{12} - \)\(59\!\cdots\!52\)\( T^{13} - \)\(74\!\cdots\!72\)\( T^{14} + \)\(14\!\cdots\!74\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!50\)\( T^{16} - \)\(26\!\cdots\!76\)\( T^{17} - \)\(23\!\cdots\!67\)\( T^{18} + \)\(22\!\cdots\!07\)\( T^{19} + \)\(44\!\cdots\!78\)\( T^{20} + \)\(48\!\cdots\!79\)\( T^{21} - \)\(11\!\cdots\!03\)\( T^{22} - \)\(27\!\cdots\!48\)\( T^{23} + \)\(32\!\cdots\!50\)\( T^{24} + \)\(75\!\cdots\!18\)\( T^{25} - \)\(83\!\cdots\!88\)\( T^{26} - \)\(14\!\cdots\!76\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!69\)\( T^{28} + \)\(21\!\cdots\!49\)\( T^{29} - \)\(31\!\cdots\!15\)\( T^{30} - \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{31} + \)\(44\!\cdots\!53\)\( T^{32} + \)\(15\!\cdots\!21\)\( T^{33} - \)\(48\!\cdots\!66\)\( T^{34} - \)\(28\!\cdots\!13\)\( T^{35} + \)\(40\!\cdots\!84\)\( T^{36} - \)\(54\!\cdots\!33\)\( T^{37} - \)\(22\!\cdots\!04\)\( T^{38} + \)\(46\!\cdots\!95\)\( T^{39} + \)\(68\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$17$ \( 1 + 82 T - 24818 T^{2} - 2873008 T^{3} + 275626616 T^{4} + 48442716340 T^{5} - 1590978438438 T^{6} - 545228525674854 T^{7} + 42616778692923 T^{8} + 4700974927774535486 T^{9} + \)\(11\!\cdots\!15\)\( T^{10} - \)\(32\!\cdots\!40\)\( T^{11} - \)\(15\!\cdots\!83\)\( T^{12} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!50\)\( T^{14} - \)\(88\!\cdots\!82\)\( T^{15} - \)\(99\!\cdots\!98\)\( T^{16} + \)\(31\!\cdots\!96\)\( T^{17} + \)\(60\!\cdots\!95\)\( T^{18} - \)\(56\!\cdots\!84\)\( T^{19} - \)\(31\!\cdots\!82\)\( T^{20} - \)\(27\!\cdots\!92\)\( T^{21} + \)\(14\!\cdots\!55\)\( T^{22} + \)\(37\!\cdots\!12\)\( T^{23} - \)\(57\!\cdots\!78\)\( T^{24} - \)\(25\!\cdots\!26\)\( T^{25} + \)\(19\!\cdots\!50\)\( T^{26} + \)\(13\!\cdots\!72\)\( T^{27} - \)\(52\!\cdots\!43\)\( T^{28} - \)\(54\!\cdots\!20\)\( T^{29} + \)\(92\!\cdots\!35\)\( T^{30} + \)\(18\!\cdots\!82\)\( T^{31} + \)\(84\!\cdots\!63\)\( T^{32} - \)\(52\!\cdots\!62\)\( T^{33} - \)\(75\!\cdots\!82\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( T^{35} + \)\(31\!\cdots\!56\)\( T^{36} - \)\(16\!\cdots\!64\)\( T^{37} - \)\(69\!\cdots\!22\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!14\)\( T^{39} + \)\(67\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$19$ \( 1 - 78 T - 30307 T^{2} + 1643314 T^{3} + 557392853 T^{4} - 19116976304 T^{5} - 6385440198566 T^{6} + 80081143266136 T^{7} + 48128038162948702 T^{8} + 395871623097331272 T^{9} - \)\(15\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(76\!\cdots\!40\)\( T^{11} - \)\(95\!\cdots\!37\)\( T^{12} + \)\(90\!\cdots\!74\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!19\)\( T^{14} + \)\(54\!\cdots\!06\)\( T^{15} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( T^{16} - \)\(60\!\cdots\!84\)\( T^{17} + \)\(38\!\cdots\!88\)\( T^{18} + \)\(19\!\cdots\!44\)\( T^{19} - \)\(94\!\cdots\!24\)\( T^{20} + \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!28\)\( T^{22} - \)\(19\!\cdots\!36\)\( T^{23} - \)\(25\!\cdots\!65\)\( T^{24} + \)\(82\!\cdots\!94\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!79\)\( T^{26} + \)\(64\!\cdots\!06\)\( T^{27} - \)\(46\!\cdots\!77\)\( T^{28} - \)\(25\!\cdots\!60\)\( T^{29} - \)\(36\!\cdots\!30\)\( T^{30} + \)\(62\!\cdots\!48\)\( T^{31} + \)\(52\!\cdots\!62\)\( T^{32} + \)\(59\!\cdots\!44\)\( T^{33} - \)\(32\!\cdots\!26\)\( T^{34} - \)\(66\!\cdots\!96\)\( T^{35} + \)\(13\!\cdots\!73\)\( T^{36} + \)\(27\!\cdots\!66\)\( T^{37} - \)\(34\!\cdots\!47\)\( T^{38} - \)\(60\!\cdots\!42\)\( T^{39} + \)\(53\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$23$ \( 1 + 61 T - 81824 T^{2} - 6253131 T^{3} + 3389445188 T^{4} + 298260670973 T^{5} - 95613835472806 T^{6} - 9095183914407171 T^{7} + 2101707189884822683 T^{8} + \)\(20\!\cdots\!68\)\( T^{9} - \)\(39\!\cdots\!71\)\( T^{10} - \)\(34\!\cdots\!69\)\( T^{11} + \)\(65\!\cdots\!49\)\( T^{12} + \)\(47\!\cdots\!72\)\( T^{13} - \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{14} - \)\(51\!\cdots\!20\)\( T^{15} + \)\(15\!\cdots\!62\)\( T^{16} + \)\(43\!\cdots\!14\)\( T^{17} - \)\(21\!\cdots\!19\)\( T^{18} - \)\(18\!\cdots\!05\)\( T^{19} + \)\(27\!\cdots\!22\)\( T^{20} - \)\(22\!\cdots\!35\)\( T^{21} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( T^{22} + \)\(77\!\cdots\!82\)\( T^{23} + \)\(33\!\cdots\!02\)\( T^{24} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( T^{25} - \)\(33\!\cdots\!72\)\( T^{26} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( T^{27} + \)\(31\!\cdots\!09\)\( T^{28} - \)\(20\!\cdots\!43\)\( T^{29} - \)\(27\!\cdots\!79\)\( T^{30} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!63\)\( T^{32} - \)\(11\!\cdots\!77\)\( T^{33} - \)\(14\!\cdots\!74\)\( T^{34} + \)\(56\!\cdots\!39\)\( T^{35} + \)\(78\!\cdots\!28\)\( T^{36} - \)\(17\!\cdots\!37\)\( T^{37} - \)\(27\!\cdots\!16\)\( T^{38} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( T^{39} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$29$ \( 1 + 53 T - 138329 T^{2} - 8566904 T^{3} + 9770438424 T^{4} + 711713671522 T^{5} - 454180068094483 T^{6} - 40428004977832863 T^{7} + 15194742238715729146 T^{8} + \)\(18\!\cdots\!33\)\( T^{9} - \)\(37\!\cdots\!31\)\( T^{10} - \)\(67\!\cdots\!46\)\( T^{11} + \)\(61\!\cdots\!62\)\( T^{12} + \)\(21\!\cdots\!70\)\( T^{13} - \)\(27\!\cdots\!19\)\( T^{14} - \)\(55\!\cdots\!63\)\( T^{15} - \)\(25\!\cdots\!79\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!10\)\( T^{19} - \)\(34\!\cdots\!60\)\( T^{20} - \)\(24\!\cdots\!90\)\( T^{21} + \)\(72\!\cdots\!86\)\( T^{22} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{23} - \)\(89\!\cdots\!39\)\( T^{24} - \)\(47\!\cdots\!87\)\( T^{25} - \)\(57\!\cdots\!59\)\( T^{26} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( T^{27} + \)\(77\!\cdots\!22\)\( T^{28} - \)\(20\!\cdots\!14\)\( T^{29} - \)\(27\!\cdots\!31\)\( T^{30} + \)\(32\!\cdots\!37\)\( T^{31} + \)\(67\!\cdots\!66\)\( T^{32} - \)\(43\!\cdots\!47\)\( T^{33} - \)\(11\!\cdots\!03\)\( T^{34} + \)\(45\!\cdots\!78\)\( T^{35} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( T^{36} - \)\(32\!\cdots\!16\)\( T^{37} - \)\(12\!\cdots\!49\)\( T^{38} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( T^{39} + \)\(55\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$31$ \( 1 - 253 T - 41875 T^{2} + 7234722 T^{3} + 561602045 T^{4} + 650618176597 T^{5} - 97721636388434 T^{6} - 29167394163008097 T^{7} + 4500921270624132994 T^{8} + \)\(12\!\cdots\!49\)\( T^{9} + \)\(95\!\cdots\!38\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!41\)\( T^{11} - \)\(81\!\cdots\!49\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(81\!\cdots\!75\)\( T^{14} - \)\(39\!\cdots\!15\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!87\)\( T^{16} - \)\(94\!\cdots\!70\)\( T^{17} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( T^{18} + \)\(16\!\cdots\!10\)\( T^{19} - \)\(33\!\cdots\!96\)\( T^{20} + \)\(49\!\cdots\!10\)\( T^{21} + \)\(31\!\cdots\!04\)\( T^{22} - \)\(25\!\cdots\!70\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!07\)\( T^{24} - \)\(93\!\cdots\!65\)\( T^{25} + \)\(56\!\cdots\!75\)\( T^{26} + \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{27} - \)\(50\!\cdots\!29\)\( T^{28} - \)\(23\!\cdots\!51\)\( T^{29} + \)\(52\!\cdots\!38\)\( T^{30} + \)\(19\!\cdots\!59\)\( T^{31} + \)\(21\!\cdots\!14\)\( T^{32} - \)\(42\!\cdots\!87\)\( T^{33} - \)\(42\!\cdots\!74\)\( T^{34} + \)\(84\!\cdots\!47\)\( T^{35} + \)\(21\!\cdots\!45\)\( T^{36} + \)\(82\!\cdots\!82\)\( T^{37} - \)\(14\!\cdots\!75\)\( T^{38} - \)\(25\!\cdots\!83\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$37$ \( 1 + 129 T - 268978 T^{2} - 43370241 T^{3} + 34974292754 T^{4} + 6620200735309 T^{5} - 2909843471321326 T^{6} - 614683056380244321 T^{7} + \)\(17\!\cdots\!39\)\( T^{8} + \)\(39\!\cdots\!18\)\( T^{9} - \)\(91\!\cdots\!59\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!75\)\( T^{11} + \)\(44\!\cdots\!41\)\( T^{12} + \)\(78\!\cdots\!22\)\( T^{13} - \)\(19\!\cdots\!38\)\( T^{14} - \)\(35\!\cdots\!54\)\( T^{15} + \)\(53\!\cdots\!04\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{17} + \)\(31\!\cdots\!45\)\( T^{18} - \)\(31\!\cdots\!85\)\( T^{19} - \)\(90\!\cdots\!42\)\( T^{20} - \)\(15\!\cdots\!05\)\( T^{21} + \)\(81\!\cdots\!05\)\( T^{22} + \)\(19\!\cdots\!70\)\( T^{23} + \)\(35\!\cdots\!24\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!22\)\( T^{25} - \)\(32\!\cdots\!02\)\( T^{26} + \)\(67\!\cdots\!14\)\( T^{27} + \)\(19\!\cdots\!01\)\( T^{28} - \)\(40\!\cdots\!75\)\( T^{29} - \)\(10\!\cdots\!91\)\( T^{30} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( T^{31} + \)\(50\!\cdots\!99\)\( T^{32} - \)\(88\!\cdots\!33\)\( T^{33} - \)\(21\!\cdots\!94\)\( T^{34} + \)\(24\!\cdots\!13\)\( T^{35} + \)\(65\!\cdots\!34\)\( T^{36} - \)\(41\!\cdots\!33\)\( T^{37} - \)\(12\!\cdots\!42\)\( T^{38} + \)\(31\!\cdots\!93\)\( T^{39} + \)\(12\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$41$ \( ( 1 - 391 T + 466858 T^{2} - 159315937 T^{3} + 107799629054 T^{4} - 32107569594125 T^{5} + 16028988094146372 T^{6} - 4181844238111783617 T^{7} + \)\(16\!\cdots\!81\)\( T^{8} - \)\(38\!\cdots\!70\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{10} - \)\(26\!\cdots\!70\)\( T^{11} + \)\(80\!\cdots\!21\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!37\)\( T^{13} + \)\(36\!\cdots\!32\)\( T^{14} - \)\(49\!\cdots\!25\)\( T^{15} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( T^{16} - \)\(11\!\cdots\!17\)\( T^{17} + \)\(23\!\cdots\!38\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!71\)\( T^{19} + \)\(24\!\cdots\!01\)\( T^{20} )^{2} \)
$43$ \( 1 - 1025 T + 585952 T^{2} - 190558261 T^{3} + 20265475934 T^{4} + 14357877818201 T^{5} - 8972906466293482 T^{6} + 2452051846789185023 T^{7} - \)\(15\!\cdots\!87\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!18\)\( T^{9} + \)\(66\!\cdots\!40\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!26\)\( T^{11} - \)\(10\!\cdots\!63\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!89\)\( T^{13} - \)\(35\!\cdots\!82\)\( T^{14} + \)\(45\!\cdots\!07\)\( T^{15} + \)\(51\!\cdots\!66\)\( T^{16} - \)\(38\!\cdots\!23\)\( T^{17} + \)\(93\!\cdots\!52\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!49\)\( T^{20} \)
$47$ \( ( 1 + 334 T + 469033 T^{2} + 125686554 T^{3} + 97290890628 T^{4} + 20127660597266 T^{5} + 12996286592743642 T^{6} + 2230581953572455798 T^{7} + \)\(14\!\cdots\!19\)\( T^{8} + \)\(24\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!34\)\( T^{10} + \)\(25\!\cdots\!64\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( T^{12} + \)\(24\!\cdots\!66\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!22\)\( T^{14} + \)\(24\!\cdots\!38\)\( T^{15} + \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{16} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( T^{17} + \)\(63\!\cdots\!73\)\( T^{18} + \)\(46\!\cdots\!42\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!49\)\( T^{20} )^{2} \)
$53$ \( 1 - 773 T - 541704 T^{2} + 559887799 T^{3} + 134971478324 T^{4} - 208241369369157 T^{5} - 17263563843724798 T^{6} + 53174144863295438605 T^{7} - \)\(60\!\cdots\!27\)\( T^{8} - \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{9} + \)\(82\!\cdots\!89\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( T^{11} - \)\(18\!\cdots\!03\)\( T^{12} - \)\(14\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(16\!\cdots\!32\)\( T^{14} + \)\(81\!\cdots\!34\)\( T^{15} + \)\(21\!\cdots\!18\)\( T^{16} + \)\(38\!\cdots\!40\)\( T^{17} - \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{18} - \)\(28\!\cdots\!09\)\( T^{19} + \)\(21\!\cdots\!62\)\( T^{20} - \)\(42\!\cdots\!93\)\( T^{21} - \)\(23\!\cdots\!35\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{24} + \)\(59\!\cdots\!38\)\( T^{25} + \)\(17\!\cdots\!48\)\( T^{26} - \)\(22\!\cdots\!16\)\( T^{27} - \)\(44\!\cdots\!43\)\( T^{28} + \)\(51\!\cdots\!29\)\( T^{29} + \)\(44\!\cdots\!61\)\( T^{30} - \)\(80\!\cdots\!92\)\( T^{31} - \)\(71\!\cdots\!67\)\( T^{32} + \)\(93\!\cdots\!85\)\( T^{33} - \)\(45\!\cdots\!82\)\( T^{34} - \)\(81\!\cdots\!01\)\( T^{35} + \)\(78\!\cdots\!64\)\( T^{36} + \)\(48\!\cdots\!03\)\( T^{37} - \)\(69\!\cdots\!76\)\( T^{38} - \)\(14\!\cdots\!49\)\( T^{39} + \)\(28\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$59$ \( ( 1 + 1483 T + 1378157 T^{2} + 969130766 T^{3} + 686264212828 T^{4} + 451249739385536 T^{5} + 271319879713111662 T^{6} + \)\(14\!\cdots\!74\)\( T^{7} + \)\(73\!\cdots\!15\)\( T^{8} + \)\(36\!\cdots\!33\)\( T^{9} + \)\(17\!\cdots\!86\)\( T^{10} + \)\(74\!\cdots\!07\)\( T^{11} + \)\(30\!\cdots\!15\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( T^{13} + \)\(48\!\cdots\!22\)\( T^{14} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( T^{17} + \)\(43\!\cdots\!77\)\( T^{18} + \)\(96\!\cdots\!77\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( T^{20} )^{2} \)
$61$ \( 1 - 437 T - 744916 T^{2} + 424927067 T^{3} + 139480796216 T^{4} - 122519571726057 T^{5} + 19509236640919974 T^{6} - 8885281027720171051 T^{7} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( T^{8} + \)\(92\!\cdots\!28\)\( T^{9} - \)\(74\!\cdots\!75\)\( T^{10} + \)\(52\!\cdots\!53\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!81\)\( T^{12} - \)\(90\!\cdots\!44\)\( T^{13} + \)\(54\!\cdots\!48\)\( T^{14} + \)\(67\!\cdots\!10\)\( T^{15} - \)\(60\!\cdots\!46\)\( T^{16} + \)\(50\!\cdots\!76\)\( T^{17} - \)\(13\!\cdots\!43\)\( T^{18} - \)\(85\!\cdots\!77\)\( T^{19} + \)\(79\!\cdots\!02\)\( T^{20} - \)\(19\!\cdots\!37\)\( T^{21} - \)\(70\!\cdots\!23\)\( T^{22} + \)\(58\!\cdots\!16\)\( T^{23} - \)\(16\!\cdots\!66\)\( T^{24} + \)\(40\!\cdots\!10\)\( T^{25} + \)\(74\!\cdots\!88\)\( T^{26} - \)\(28\!\cdots\!84\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!21\)\( T^{28} + \)\(83\!\cdots\!13\)\( T^{29} - \)\(26\!\cdots\!75\)\( T^{30} + \)\(76\!\cdots\!68\)\( T^{31} + \)\(32\!\cdots\!89\)\( T^{32} - \)\(37\!\cdots\!91\)\( T^{33} + \)\(18\!\cdots\!54\)\( T^{34} - \)\(26\!\cdots\!57\)\( T^{35} + \)\(69\!\cdots\!96\)\( T^{36} + \)\(47\!\cdots\!87\)\( T^{37} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{38} - \)\(25\!\cdots\!77\)\( T^{39} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$67$ \( 1 + 642 T - 1655222 T^{2} - 1351264924 T^{3} + 1395720548382 T^{4} + 1507860208990244 T^{5} - 730390077743505158 T^{6} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(20\!\cdots\!15\)\( T^{8} + \)\(69\!\cdots\!46\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!85\)\( T^{10} - \)\(33\!\cdots\!96\)\( T^{11} - \)\(78\!\cdots\!53\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!70\)\( T^{13} + \)\(56\!\cdots\!78\)\( T^{14} - \)\(39\!\cdots\!80\)\( T^{15} - \)\(28\!\cdots\!94\)\( T^{16} + \)\(89\!\cdots\!68\)\( T^{17} + \)\(11\!\cdots\!05\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!22\)\( T^{19} - \)\(36\!\cdots\!78\)\( T^{20} - \)\(30\!\cdots\!86\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!45\)\( T^{22} + \)\(24\!\cdots\!96\)\( T^{23} - \)\(22\!\cdots\!34\)\( T^{24} - \)\(96\!\cdots\!40\)\( T^{25} + \)\(41\!\cdots\!02\)\( T^{26} + \)\(28\!\cdots\!90\)\( T^{27} - \)\(52\!\cdots\!13\)\( T^{28} - \)\(66\!\cdots\!08\)\( T^{29} + \)\(19\!\cdots\!65\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!02\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!15\)\( T^{32} - \)\(19\!\cdots\!20\)\( T^{33} - \)\(36\!\cdots\!62\)\( T^{34} + \)\(22\!\cdots\!08\)\( T^{35} + \)\(62\!\cdots\!62\)\( T^{36} - \)\(18\!\cdots\!92\)\( T^{37} - \)\(67\!\cdots\!38\)\( T^{38} + \)\(78\!\cdots\!34\)\( T^{39} + \)\(36\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$71$ \( 1 + 1545 T - 164612 T^{2} - 823498495 T^{3} + 510816804584 T^{4} + 421399428301951 T^{5} - 410556697843186024 T^{6} + 14010431784563891953 T^{7} + \)\(29\!\cdots\!89\)\( T^{8} - \)\(96\!\cdots\!56\)\( T^{9} - \)\(10\!\cdots\!59\)\( T^{10} + \)\(85\!\cdots\!53\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( T^{12} - \)\(42\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(64\!\cdots\!76\)\( T^{14} + \)\(14\!\cdots\!32\)\( T^{15} - \)\(71\!\cdots\!48\)\( T^{16} - \)\(37\!\cdots\!38\)\( T^{17} + \)\(33\!\cdots\!67\)\( T^{18} + \)\(36\!\cdots\!55\)\( T^{19} - \)\(13\!\cdots\!22\)\( T^{20} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{21} + \)\(42\!\cdots\!07\)\( T^{22} - \)\(16\!\cdots\!78\)\( T^{23} - \)\(11\!\cdots\!68\)\( T^{24} + \)\(83\!\cdots\!32\)\( T^{25} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{26} - \)\(31\!\cdots\!12\)\( T^{27} + \)\(49\!\cdots\!27\)\( T^{28} + \)\(82\!\cdots\!23\)\( T^{29} - \)\(37\!\cdots\!59\)\( T^{30} - \)\(11\!\cdots\!16\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!69\)\( T^{32} + \)\(22\!\cdots\!43\)\( T^{33} - \)\(23\!\cdots\!84\)\( T^{34} + \)\(85\!\cdots\!01\)\( T^{35} + \)\(37\!\cdots\!24\)\( T^{36} - \)\(21\!\cdots\!45\)\( T^{37} - \)\(15\!\cdots\!72\)\( T^{38} + \)\(51\!\cdots\!95\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$73$ \( 1 - 1292 T - 800760 T^{2} + 1888773084 T^{3} - 294654454086 T^{4} - 930615313063966 T^{5} + 430214695631874962 T^{6} + \)\(18\!\cdots\!12\)\( T^{7} - \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{8} - \)\(52\!\cdots\!64\)\( T^{9} - \)\(10\!\cdots\!33\)\( T^{10} + \)\(39\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(82\!\cdots\!53\)\( T^{12} - \)\(16\!\cdots\!46\)\( T^{13} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( T^{14} + \)\(27\!\cdots\!50\)\( T^{15} + \)\(21\!\cdots\!44\)\( T^{16} + \)\(12\!\cdots\!62\)\( T^{17} - \)\(27\!\cdots\!53\)\( T^{18} - \)\(51\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!58\)\( T^{20} - \)\(19\!\cdots\!80\)\( T^{21} - \)\(41\!\cdots\!17\)\( T^{22} + \)\(75\!\cdots\!06\)\( T^{23} + \)\(48\!\cdots\!24\)\( T^{24} + \)\(24\!\cdots\!50\)\( T^{25} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{26} - \)\(21\!\cdots\!58\)\( T^{27} + \)\(43\!\cdots\!73\)\( T^{28} + \)\(80\!\cdots\!40\)\( T^{29} - \)\(81\!\cdots\!17\)\( T^{30} - \)\(16\!\cdots\!12\)\( T^{31} - \)\(12\!\cdots\!87\)\( T^{32} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(78\!\cdots\!98\)\( T^{34} - \)\(65\!\cdots\!38\)\( T^{35} - \)\(81\!\cdots\!66\)\( T^{36} + \)\(20\!\cdots\!68\)\( T^{37} - \)\(33\!\cdots\!40\)\( T^{38} - \)\(20\!\cdots\!76\)\( T^{39} + \)\(63\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$79$ \( 1 + 1405 T - 2150268 T^{2} - 3116848211 T^{3} + 3360157724444 T^{4} + 4151188953835363 T^{5} - 3817398869736906676 T^{6} - \)\(37\!\cdots\!15\)\( T^{7} + \)\(34\!\cdots\!89\)\( T^{8} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( T^{9} - \)\(24\!\cdots\!47\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!11\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!03\)\( T^{12} + \)\(47\!\cdots\!60\)\( T^{13} - \)\(67\!\cdots\!72\)\( T^{14} - \)\(13\!\cdots\!52\)\( T^{15} + \)\(28\!\cdots\!56\)\( T^{16} + \)\(29\!\cdots\!90\)\( T^{17} - \)\(11\!\cdots\!77\)\( T^{18} - \)\(35\!\cdots\!53\)\( T^{19} + \)\(54\!\cdots\!18\)\( T^{20} - \)\(17\!\cdots\!67\)\( T^{21} - \)\(29\!\cdots\!17\)\( T^{22} + \)\(34\!\cdots\!10\)\( T^{23} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( T^{24} - \)\(40\!\cdots\!48\)\( T^{25} - \)\(97\!\cdots\!92\)\( T^{26} + \)\(33\!\cdots\!40\)\( T^{27} + \)\(49\!\cdots\!43\)\( T^{28} - \)\(21\!\cdots\!49\)\( T^{29} - \)\(20\!\cdots\!47\)\( T^{30} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{31} + \)\(70\!\cdots\!69\)\( T^{32} - \)\(38\!\cdots\!85\)\( T^{33} - \)\(19\!\cdots\!16\)\( T^{34} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( T^{35} + \)\(40\!\cdots\!84\)\( T^{36} - \)\(18\!\cdots\!69\)\( T^{37} - \)\(63\!\cdots\!08\)\( T^{38} + \)\(20\!\cdots\!95\)\( T^{39} + \)\(72\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$83$ \( 1 - 543 T - 3210972 T^{2} + 2149693073 T^{3} + 5106187705928 T^{4} - 4006405925115629 T^{5} - 5191885555542057060 T^{6} + \)\(46\!\cdots\!33\)\( T^{7} + \)\(37\!\cdots\!57\)\( T^{8} - \)\(37\!\cdots\!40\)\( T^{9} - \)\(22\!\cdots\!35\)\( T^{10} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!11\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!48\)\( T^{13} - \)\(56\!\cdots\!52\)\( T^{14} + \)\(70\!\cdots\!28\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!76\)\( T^{16} - \)\(31\!\cdots\!22\)\( T^{17} - \)\(49\!\cdots\!25\)\( T^{18} + \)\(72\!\cdots\!87\)\( T^{19} - \)\(25\!\cdots\!94\)\( T^{20} + \)\(41\!\cdots\!69\)\( T^{21} - \)\(16\!\cdots\!25\)\( T^{22} - \)\(59\!\cdots\!66\)\( T^{23} + \)\(19\!\cdots\!36\)\( T^{24} + \)\(43\!\cdots\!96\)\( T^{25} - \)\(19\!\cdots\!68\)\( T^{26} - \)\(26\!\cdots\!84\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!31\)\( T^{28} + \)\(15\!\cdots\!95\)\( T^{29} - \)\(83\!\cdots\!15\)\( T^{30} - \)\(80\!\cdots\!20\)\( T^{31} + \)\(46\!\cdots\!17\)\( T^{32} + \)\(32\!\cdots\!51\)\( T^{33} - \)\(20\!\cdots\!40\)\( T^{34} - \)\(91\!\cdots\!47\)\( T^{35} + \)\(66\!\cdots\!48\)\( T^{36} + \)\(16\!\cdots\!91\)\( T^{37} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{38} - \)\(13\!\cdots\!89\)\( T^{39} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$89$ \( 1 + 2196 T - 2279256 T^{2} - 6744108292 T^{3} + 4590931714074 T^{4} + 12293000410375634 T^{5} - 9448115145172476374 T^{6} - \)\(17\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!61\)\( T^{8} + \)\(20\!\cdots\!52\)\( T^{9} - \)\(21\!\cdots\!85\)\( T^{10} - \)\(19\!\cdots\!24\)\( T^{11} + \)\(25\!\cdots\!53\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{13} - \)\(26\!\cdots\!20\)\( T^{14} - \)\(10\!\cdots\!82\)\( T^{15} + \)\(24\!\cdots\!12\)\( T^{16} + \)\(53\!\cdots\!26\)\( T^{17} - \)\(20\!\cdots\!41\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{20} - \)\(96\!\cdots\!52\)\( T^{21} - \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{22} + \)\(18\!\cdots\!34\)\( T^{23} + \)\(61\!\cdots\!52\)\( T^{24} - \)\(18\!\cdots\!18\)\( T^{25} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( T^{26} + \)\(13\!\cdots\!98\)\( T^{27} + \)\(15\!\cdots\!73\)\( T^{28} - \)\(83\!\cdots\!96\)\( T^{29} - \)\(66\!\cdots\!85\)\( T^{30} + \)\(43\!\cdots\!88\)\( T^{31} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( T^{32} - \)\(18\!\cdots\!92\)\( T^{33} - \)\(70\!\cdots\!54\)\( T^{34} + \)\(64\!\cdots\!66\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{36} - \)\(17\!\cdots\!88\)\( T^{37} - \)\(42\!\cdots\!96\)\( T^{38} + \)\(28\!\cdots\!84\)\( T^{39} + \)\(91\!\cdots\!01\)\( T^{40} \)
$97$ \( ( 1 + 425 T + 4855100 T^{2} + 2674736785 T^{3} + 12413935569789 T^{4} + 7844309405033348 T^{5} + 21709474743257501488 T^{6} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(28\!\cdots\!94\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!26\)\( T^{9} + \)\(29\!\cdots\!88\)\( T^{10} + \)\(16\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{14} + \)\(49\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(71\!\cdots\!21\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( T^{17} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{18} + \)\(18\!\cdots\!25\)\( T^{19} + \)\(40\!\cdots\!49\)\( T^{20} )^{2} \)
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