# Properties

 Label 4140.3.d.a Level $4140$ Weight $3$ Character orbit 4140.d Analytic conductor $112.807$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$4140 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 23$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$3$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 4140.d (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$112.806829445$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{16} - 64 x^{14} - 16 x^{13} + 2252 x^{12} + 648 x^{11} - 30106 x^{10} + 12360 x^{9} + 374528 x^{8} + 196544 x^{7} + 1261236 x^{6} - 4237944 x^{5} + \cdots + 1535848276$$ x^16 - 64*x^14 - 16*x^13 + 2252*x^12 + 648*x^11 - 30106*x^10 + 12360*x^9 + 374528*x^8 + 196544*x^7 + 1261236*x^6 - 4237944*x^5 + 38013345*x^4 - 8913096*x^3 + 327235800*x^2 + 72566336*x + 1535848276 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{13}]$$ Coefficient ring index: $$2^{6}$$ Twist minimal: no (minimal twist has level 460) Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - \beta_{4} q^{5} - \beta_{7} q^{7}+O(q^{10})$$ q - b4 * q^5 - b7 * q^7 $$q - \beta_{4} q^{5} - \beta_{7} q^{7} + (\beta_{9} - 2 \beta_{4}) q^{11} + ( - \beta_{11} - 1) q^{13} + ( - \beta_{10} + \beta_1) q^{17} + ( - \beta_{9} - \beta_{8} - \beta_{7}) q^{19} + (\beta_{15} + \beta_{7} - \beta_{5} + \beta_{3} + \beta_1 + 1) q^{23} - 5 q^{25} + ( - \beta_{13} + \beta_{11} - 2 \beta_{5} - 4 \beta_{3} - 5) q^{29} + ( - \beta_{13} - \beta_{12} + \beta_{11} - \beta_{5} - 2 \beta_{3} + 1) q^{31} + (\beta_{13} - 2) q^{35} + ( - \beta_{15} + \beta_{10} + 2 \beta_{9} + 2 \beta_{7} - 2 \beta_{4}) q^{37} + ( - \beta_{14} + \beta_{13} + \beta_{12} - \beta_{5} - 2 \beta_{3} - \beta_{2} - 12) q^{41} + ( - 2 \beta_{15} + 2 \beta_{10} - \beta_{9} - \beta_{8} - \beta_{6} - 4 \beta_{4} - 2 \beta_1) q^{43} + ( - \beta_{14} - \beta_{13} + 2 \beta_{12} - \beta_{5} + \beta_{3} + \beta_{2} + 20) q^{47} + ( - \beta_{14} + \beta_{13} + 2 \beta_{11}) q^{49} + (\beta_{15} - \beta_{10} + 3 \beta_{9} - \beta_{8} + \beta_{6} - 8 \beta_{4} + 2 \beta_1) q^{53} + (\beta_{13} - \beta_{11} + \beta_{5} - \beta_{3} - \beta_{2} - 8) q^{55} + (\beta_{13} + \beta_{12} + \beta_{11} - \beta_{5} + 6 \beta_{3} + \beta_{2} + 6) q^{59} + ( - 2 \beta_{15} - 2 \beta_{10} + 3 \beta_{9} + 2 \beta_{6} - 6 \beta_{4} - 2 \beta_1) q^{61} + ( - \beta_{10} - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{7} + \beta_{6} + 2 \beta_{4}) q^{65} + ( - 3 \beta_{15} - \beta_{10} + 4 \beta_{9} + 2 \beta_{7} + 2 \beta_{6} - 6 \beta_{4} + \cdots + 4 \beta_1) q^{67}+ \cdots + (\beta_{15} - 4 \beta_{10} - 2 \beta_{9} + 2 \beta_{6} - 8 \beta_{4} + 3 \beta_1) q^{97}+O(q^{100})$$ q - b4 * q^5 - b7 * q^7 + (b9 - 2*b4) * q^11 + (-b11 - 1) * q^13 + (-b10 + b1) * q^17 + (-b9 - b8 - b7) * q^19 + (b15 + b7 - b5 + b3 + b1 + 1) * q^23 - 5 * q^25 + (-b13 + b11 - 2*b5 - 4*b3 - 5) * q^29 + (-b13 - b12 + b11 - b5 - 2*b3 + 1) * q^31 + (b13 - 2) * q^35 + (-b15 + b10 + 2*b9 + 2*b7 - 2*b4) * q^37 + (-b14 + b13 + b12 - b5 - 2*b3 - b2 - 12) * q^41 + (-2*b15 + 2*b10 - b9 - b8 - b6 - 4*b4 - 2*b1) * q^43 + (-b14 - b13 + 2*b12 - b5 + b3 + b2 + 20) * q^47 + (-b14 + b13 + 2*b11) * q^49 + (b15 - b10 + 3*b9 - b8 + b6 - 8*b4 + 2*b1) * q^53 + (b13 - b11 + b5 - b3 - b2 - 8) * q^55 + (b13 + b12 + b11 - b5 + 6*b3 + b2 + 6) * q^59 + (-2*b15 - 2*b10 + 3*b9 + 2*b6 - 6*b4 - 2*b1) * q^61 + (-b10 - b9 + b8 - b7 + b6 + 2*b4) * q^65 + (-3*b15 - b10 + 4*b9 + 2*b7 + 2*b6 - 6*b4 + 4*b1) * q^67 + (b14 - 3*b13 + b12 - b5 - 12*b3 + b2 + 16) * q^71 + (b14 - 5*b13 - 3*b5 + b3 - b2 - 16) * q^73 + (2*b13 - b11 + 2*b5 + 9*b3 - 21) * q^77 + (4*b10 - 3*b9 + b8 + 6*b7 - b6 - 2*b4) * q^79 + (b15 + b10 + b9 + 3*b8 + 6*b7 + b6 - 8*b4 - 2*b1) * q^83 + (-b14 + b12 + b11 + 4*b3 - 2) * q^85 + (-4*b15 - 5*b9 + b8 + b6 + 10*b4 - 12*b1) * q^89 + (2*b15 - 5*b9 - 8*b7 - 8*b1) * q^91 + (-b14 - b13 - 3*b5 + b3 - 5) * q^95 + (b15 - 4*b10 - 2*b9 + 2*b6 - 8*b4 + 3*b1) * q^97 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q+O(q^{10})$$ 16 * q $$16 q - 12 q^{13} + 14 q^{23} - 80 q^{25} - 90 q^{29} + 10 q^{31} - 30 q^{35} - 186 q^{41} + 320 q^{47} + 2 q^{49} - 120 q^{55} + 90 q^{59} + 238 q^{71} - 280 q^{73} - 324 q^{77} - 30 q^{85} - 80 q^{95}+O(q^{100})$$ 16 * q - 12 * q^13 + 14 * q^23 - 80 * q^25 - 90 * q^29 + 10 * q^31 - 30 * q^35 - 186 * q^41 + 320 * q^47 + 2 * q^49 - 120 * q^55 + 90 * q^59 + 238 * q^71 - 280 * q^73 - 324 * q^77 - 30 * q^85 - 80 * q^95

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 64 x^{14} - 16 x^{13} + 2252 x^{12} + 648 x^{11} - 30106 x^{10} + 12360 x^{9} + 374528 x^{8} + 196544 x^{7} + 1261236 x^{6} - 4237944 x^{5} + \cdots + 1535848276$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( 23\!\cdots\!29 \nu^{15} + \cdots - 21\!\cdots\!52 ) / 97\!\cdots\!90$$ (2344458730553760658365198875129*v^15 - 426371397773231433057547798695534*v^14 - 124798301485582862846759738436060*v^13 + 23998971637928865814719974604300176*v^12 + 11128263776716194827494628866698272*v^11 - 793720182192496947195882674665930584*v^10 - 263405859799302283600659946336572308*v^9 + 7470426342981993595900972083521499449*v^8 - 5742665374705697191778268320446409986*v^7 - 125999654872308859268456088333209460380*v^6 - 125045918219070475227690935304058401644*v^5 - 1689031876665514210452870157046160516866*v^4 + 839560893081460599408641083104218024091*v^3 - 56264315432308703724531670711456462128287*v^2 + 6154695825918687591901233935840754646334*v - 218549910321099423812203585664367592246552) / 97242930099284410940685420250539863782490 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 23\!\cdots\!29 \nu^{15} + \cdots - 60\!\cdots\!12 ) / 48\!\cdots\!45$$ (2344458730553760658365198875129*v^15 - 426371397773231433057547798695534*v^14 - 124798301485582862846759738436060*v^13 + 23998971637928865814719974604300176*v^12 + 11128263776716194827494628866698272*v^11 - 793720182192496947195882674665930584*v^10 - 263405859799302283600659946336572308*v^9 + 7470426342981993595900972083521499449*v^8 - 5742665374705697191778268320446409986*v^7 - 125999654872308859268456088333209460380*v^6 - 125045918219070475227690935304058401644*v^5 - 1689031876665514210452870157046160516866*v^4 + 839560893081460599408641083104218024091*v^3 - 7642850382666498254188960586186530237042*v^2 + 6154695825918687591901233935840754646334*v - 607521630718237067574945266666527047376512) / 48621465049642205470342710125269931891245 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 34\!\cdots\!21 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!88 ) / 19\!\cdots\!80$$ (-348556227015386031388459253755521*v^15 + 4688917461107521316730397750258*v^14 + 21454855733438243142746296642962276*v^13 + 5327303029275010776521828583216216*v^12 - 736950679962791611057370290248832940*v^11 - 203607907552537758684732338700181064*v^10 + 8906193406140217966589188944231854058*v^9 - 4834966685508775915162676269091384176*v^8 - 115603213905654512372054923223504770190*v^7 - 79991965831923426536769872211017939396*v^6 - 691610971280595135221166972036017204716*v^5 + 1227069934504352188951150693089570885536*v^4 - 16627851862765217940256070945543486461477*v^3 + 4785836898948850373641632787019755251198*v^2 - 32102846458410045857920075591924115543394*v - 12984056632653404739639012858650889448388) / 194485860198568821881370840501079727564980 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 34\!\cdots\!21 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!88 ) / 19\!\cdots\!80$$ (-348556227015386031388459253755521*v^15 + 4688917461107521316730397750258*v^14 + 21454855733438243142746296642962276*v^13 + 5327303029275010776521828583216216*v^12 - 736950679962791611057370290248832940*v^11 - 203607907552537758684732338700181064*v^10 + 8906193406140217966589188944231854058*v^9 - 4834966685508775915162676269091384176*v^8 - 115603213905654512372054923223504770190*v^7 - 79991965831923426536769872211017939396*v^6 - 691610971280595135221166972036017204716*v^5 + 1227069934504352188951150693089570885536*v^4 - 16627851862765217940256070945543486461477*v^3 + 4785836898948850373641632787019755251198*v^2 - 226588706656978867739290916093003843108374*v - 12984056632653404739639012858650889448388) / 194485860198568821881370840501079727564980 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 14\!\cdots\!29 \nu^{15} + \cdots - 33\!\cdots\!12 ) / 34\!\cdots\!80$$ (-14873625287857737507546878637759981129*v^15 - 59875892009270665578367480936152948516*v^14 + 1578668605107997104483070004116495890393*v^13 + 3129570480138493903714637108459895495288*v^12 - 79830195619387959874072844646981100438761*v^11 - 103981209681817299172178432850168215037924*v^10 + 2271773883358022744139144860425023693964475*v^9 + 763501295549600314057423631626870941788088*v^8 - 40258388812882225695714078322095582579332079*v^7 - 15385495481346150421900418350312745597560652*v^6 + 333610605633473871133857759756776255041266183*v^5 - 165059292097190696944821458158309327608298400*v^4 - 1260756798816914800687933972137332752303777576*v^3 - 5389879220774176082862905692377179791156298648*v^2 + 2774398515423796812294992044744835393766683540*v - 33321932756082469769134273882126672849934852312) / 3498022681531458830358335937252419979983730280 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 18\!\cdots\!44 \nu^{15} + \cdots + 93\!\cdots\!56 ) / 34\!\cdots\!80$$ (-18623579697759710846126877899871295344*v^15 - 21703595772142062442974688500750192133*v^14 + 812160790727809451057610610618880211010*v^13 + 1356602852337489828761185818610995756645*v^12 - 20635178274161696878574586124407724791014*v^11 - 10673954689623446975616530447518786177325*v^10 - 114830561216868739825144452559661705266754*v^9 - 1454006272929706602100749057639086156630525*v^8 - 2828517638829156791402015579916465413706118*v^7 + 10363976596706037227624892395301489864359197*v^6 - 67439418594425364208925079365758591943403066*v^5 - 65543499696976959656843137152787199723023109*v^4 - 1728672737523961711969732568805760617339585126*v^3 + 2340662899467883389486370633266088168340281164*v^2 - 16670152549392529884512843779037031269128908108*v + 9362194261564735234139963060933071305821107556) / 3498022681531458830358335937252419979983730280 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 20\!\cdots\!08 \nu^{15} + \cdots + 72\!\cdots\!04 ) / 34\!\cdots\!80$$ (-20496482832318386899006649038309944308*v^15 + 98220204983784824148051811845056252941*v^14 + 1512823321067985512147547465970029376794*v^13 - 5988912646376454462320675874682075307517*v^12 - 60453343486315864876792448612162000883650*v^11 + 208214241323481139310767569022701646028957*v^10 + 1072421952866790932504898493352040016124934*v^9 - 3278820798271030460806331339504308862403763*v^8 - 9395357617338813224121133229632492459724414*v^7 + 42334688672714591485416487311795531265279531*v^6 - 10282858365780076546528384359988344277159022*v^5 + 68778341886499851823870760014372644838356213*v^4 - 519502674594829989204165662626509309810127074*v^3 + 3620413496575926876284136291058769327076731804*v^2 - 4612061463503374318525465103319297410916446980*v + 7206196797619387903277844576884594109772987804) / 3498022681531458830358335937252419979983730280 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 31\!\cdots\!80 \nu^{15} + \cdots - 54\!\cdots\!00 ) / 34\!\cdots\!80$$ (31065807073552644421400874429804352080*v^15 - 320044333060826974315908002034717735125*v^14 - 1821065852717832046267921663368096090114*v^13 + 21129699040660965414011915358493270530701*v^12 + 63388359549609764857775106008285632205766*v^11 - 776662142408333167470083815042733517739421*v^10 - 789046040980224106163968736062287895645130*v^9 + 12948885694730053822272569560365487094456475*v^8 + 4591360755126054185429851609609581600380246*v^7 - 159742481747760152529020885445828514042006619*v^6 - 2068940909934942765549587450663100625322430*v^5 + 280013405125362817085046680694345568721997547*v^4 + 2673405719223729748876672680274854956606138930*v^3 - 17011273209274464928037026100080104102352331596*v^2 + 14617725523100157914135764007065029488206199540*v - 54269084266702185171699350838224308992966003100) / 3498022681531458830358335937252419979983730280 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!59 \nu^{15} + \cdots + 32\!\cdots\!44 ) / 17\!\cdots\!40$$ (16092578858448359565351314886286345459*v^15 - 29638055502307350016407683124579268408*v^14 - 1133444564448159079842249107359902393496*v^13 + 2096783648542250454453858324188919137148*v^12 + 42995758770138393040286032802922331497546*v^11 - 88908115271609700292105363466996038068436*v^10 - 702650721361360370409361425894076454863306*v^9 + 2285028901680760699487908300802477865763048*v^8 + 7282345448790377348358182308520876013814194*v^7 - 28738097623577774406907085930894276503777536*v^6 + 21138943281013168279313290597543097709368726*v^5 + 47463131646082762255631452874021063938021004*v^4 + 205047182097787728424235633678760415864241831*v^3 - 384224663557972965663646945812910481218206640*v^2 - 208582155813583872343240800370908619057164878*v + 3236317767046122877224061662350077884657767444) / 1749011340765729415179167968626209989991865140 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 60\!\cdots\!66 \nu^{15} + \cdots + 41\!\cdots\!16 ) / 34\!\cdots\!80$$ (60517885218273153533741338867405690966*v^15 + 51582516759858673219444240684754689907*v^14 - 4220129961733433825827763321763722630958*v^13 - 5812564786504245143860907923126975727335*v^12 + 155193137248720670646693911893161365532146*v^11 + 266684402532357030726658730048526704575339*v^10 - 2376350955706146145178997007585389305907922*v^9 - 4800989093960067014295301017807562321372361*v^8 + 26130509293756757488929629661199333275866630*v^7 + 79871260066967166607312917215657285198890049*v^6 + 59030557336611239117235514227663588690961286*v^5 - 821330225607110526470289173435612677830283141*v^4 - 139261102231898444965787069287825307134210116*v^3 - 62883557462136182219898679377167052557007800*v^2 + 16780323074344610634578454507196008494416023344*v + 4127334467453089125370450751996747235401142316) / 3498022681531458830358335937252419979983730280 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 32\!\cdots\!82 \nu^{15} + \cdots + 87\!\cdots\!64 ) / 17\!\cdots\!40$$ (-32664695460352774924416430064568306382*v^15 + 27735338300363055212936934955904115358*v^14 + 2328034774632157078645601634855487876893*v^13 - 1302829806624137426229866470206745802724*v^12 - 88424855923848064627581037559801904389067*v^11 + 39767965282198231435434881144089508615400*v^10 + 1492083501568685133581606729906455241673129*v^9 - 1071469892546886713686741289788143208100672*v^8 - 18515382808415897538850461634756526845467513*v^7 + 4800025967099206602218207517802888777205604*v^6 + 71521893462102468191773788748995620812386309*v^5 + 300056948486454816118932594265209136364679492*v^4 - 1599515454994635741395066499723998621897229449*v^3 + 173797405932638508650507686115246246862525502*v^2 - 1877502693205296855081104346914646769843771934*v + 8747438536773443620629005459658539069273708464) / 1749011340765729415179167968626209989991865140 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 66\!\cdots\!45 \nu^{15} + \cdots + 10\!\cdots\!68 ) / 34\!\cdots\!80$$ (-66852457936259456820656575676891435245*v^15 + 543903820053980623710253461590487233124*v^14 + 3962435054120902583253401723268048829705*v^13 - 34400858554801427884000802738138176962480*v^12 - 141609735217162919611757657076049492577353*v^11 + 1192367018845217791227775543702815763502764*v^10 + 1839328490887392639420117745325652674036507*v^9 - 16506564547011582325593878643933850358836208*v^8 - 13126471300408722197158497040606269299135079*v^7 + 116777297551392124118794088385239698629627284*v^6 - 92287020379699136932330159235548965074871113*v^5 + 1885380470894781272101193533179246741467665680*v^4 - 6025010163083433576398594247473149226974124804*v^3 + 6975078081151260733606285453462107744931285584*v^2 - 21606672451081284510854297097452111761662235204*v + 100511890790689077814140273245988123014649774968) / 3498022681531458830358335937252419979983730280 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 67\!\cdots\!87 \nu^{15} + \cdots - 20\!\cdots\!12 ) / 34\!\cdots\!80$$ (-67907950401446781070228953210922210987*v^15 - 140400730048296564052910793421545032824*v^14 + 4750629773137406554110220899926378795237*v^13 + 11143315946305414198055329932972773512168*v^12 - 175322609870700835938969674481436103038085*v^11 - 414282875247128390821230944868452476718876*v^10 + 2807435341824514130245929251514346762421959*v^9 + 4464094173136469955880205298352078663690648*v^8 - 38365298475438678256097603173055395977740991*v^7 - 41073526826868831028449742591788048248720404*v^6 + 117519051344498486245476350438495196867048035*v^5 - 30389093721023665839277441645482847663241856*v^4 - 1818461950304414011674109550005232976446932522*v^3 - 1583820223324501317610023133884427666367342060*v^2 + 2947375316614352195331737937743246219529528080*v - 20166804388869975517637671322868867385862937312) / 3498022681531458830358335937252419979983730280 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 59\!\cdots\!01 \nu^{15} + \cdots + 15\!\cdots\!28 ) / 17\!\cdots\!40$$ (-59085843202128644920222645085956056601*v^15 + 112396792299385458942294320570814840838*v^14 + 3457297803215612100793112967004365011810*v^13 - 6502213031804120741800770628993178021140*v^12 - 109733146672630318831051266460615105754832*v^11 + 227652348900174123185643434695132483391516*v^10 + 864186478994948806173909089548508652705140*v^9 - 4320244863891302846448897763322908780729000*v^8 - 2735533053593910581183548736509876150376152*v^7 + 14542189738455301303489846778369435624404464*v^6 - 248310480954007118672138739838723737545695200*v^5 + 616547193500403885268993754161899228785192672*v^4 - 3080428214092248197131375276934559387648427183*v^3 + 4343151425088180003087618667946453854146501466*v^2 - 9832679772801019689437423257905427270336181446*v + 15693158359514146463859159638972136856954720428) / 1749011340765729415179167968626209989991865140 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 64\!\cdots\!75 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!20 ) / 17\!\cdots\!40$$ (64513167332946294728414678907588803275*v^15 - 21364894086564715287377584218953322842*v^14 - 4338003724768380549582775478213953117742*v^13 + 1072344002643032462861879966998234362892*v^12 + 157064632798622493836560612844370401147204*v^11 - 47724339890947997466696479129985676619692*v^10 - 2314438396913080996608694660763535620133934*v^9 + 2910700055990813228177847840231929238382916*v^8 + 25931010071089763193017856168492984916363636*v^7 - 19761134358436451712639035440511775583128144*v^6 + 91390015805018943670428417129507167240554440*v^5 - 99624657133135583912915917623426748952609356*v^4 + 1115563687399581834810965449997616080101308763*v^3 + 1491246942381159738596363050133465053444862662*v^2 + 14979305895182235790272946178215162735186333802*v + 16910615086405954715806178207073728449988409420) / 1749011340765729415179167968626209989991865140
 $$\nu$$ $$=$$ $$-\beta_{4} + \beta_{3}$$ -b4 + b3 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{2} - 2\beta _1 + 8$$ b2 - 2*b1 + 8 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$- 3 \beta_{15} - \beta_{14} - \beta_{13} + \beta_{11} + 6 \beta_{9} + 3 \beta_{7} + 3 \beta_{6} - \beta_{5} - 37 \beta_{4} + 9 \beta_{3} + \beta_{2} + 3$$ -3*b15 - b14 - b13 + b11 + 6*b9 + 3*b7 + 3*b6 - b5 - 37*b4 + 9*b3 + b2 + 3 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- 12 \beta_{15} - 3 \beta_{14} + 2 \beta_{12} + 3 \beta_{11} + 12 \beta_{10} + 16 \beta_{9} + 8 \beta_{8} + 4 \beta_{7} - 4 \beta_{5} - 24 \beta_{4} + 14 \beta_{3} + 2 \beta_{2} - 80 \beta _1 - 51$$ -12*b15 - 3*b14 + 2*b12 + 3*b11 + 12*b10 + 16*b9 + 8*b8 + 4*b7 - 4*b5 - 24*b4 + 14*b3 + 2*b2 - 80*b1 - 51 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 105 \beta_{15} + 12 \beta_{14} + 14 \beta_{13} + \beta_{11} + 50 \beta_{10} + 260 \beta_{9} + 25 \beta_{8} + 180 \beta_{7} + 105 \beta_{6} + 8 \beta_{5} - 1125 \beta_{4} - 403 \beta_{3} + 10 \beta_{2} - 70 \beta _1 + 121$$ -105*b15 + 12*b14 + 14*b13 + b11 + 50*b10 + 260*b9 + 25*b8 + 180*b7 + 105*b6 + 8*b5 - 1125*b4 - 403*b3 + 10*b2 - 70*b1 + 121 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 492 \beta_{15} + 76 \beta_{14} + 2 \beta_{13} - 67 \beta_{12} - 88 \beta_{11} + 438 \beta_{10} + 902 \beta_{9} + 202 \beta_{8} + 470 \beta_{7} + 54 \beta_{6} + 105 \beta_{5} - 1992 \beta_{4} - 96 \beta_{3} - 1029 \beta_{2} + \cdots - 9948$$ -492*b15 + 76*b14 + 2*b13 - 67*b12 - 88*b11 + 438*b10 + 902*b9 + 202*b8 + 470*b7 + 54*b6 + 105*b5 - 1992*b4 - 96*b3 - 1029*b2 - 1886*b1 - 9948 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 2093 \beta_{15} + 1833 \beta_{14} + 1717 \beta_{13} + 6 \beta_{12} - 2546 \beta_{11} + 1554 \beta_{10} + 5040 \beta_{9} + 1036 \beta_{8} + 4452 \beta_{7} + 1694 \beta_{6} + 2005 \beta_{5} - 17921 \beta_{4} + \cdots - 10828$$ -2093*b15 + 1833*b14 + 1717*b13 + 6*b12 - 2546*b11 + 1554*b10 + 5040*b9 + 1036*b8 + 4452*b7 + 1694*b6 + 2005*b5 - 17921*b4 - 30306*b3 - 2749*b2 - 4368*b1 - 10828 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$- 7032 \beta_{15} + 9718 \beta_{14} - 476 \beta_{13} - 5252 \beta_{12} - 8558 \beta_{11} + 3808 \beta_{10} + 17352 \beta_{9} + 1272 \beta_{8} + 11040 \beta_{7} + 3464 \beta_{6} + 12708 \beta_{5} + \cdots - 467398$$ -7032*b15 + 9718*b14 - 476*b13 - 5252*b12 - 8558*b11 + 3808*b10 + 17352*b9 + 1272*b8 + 11040*b7 + 3464*b6 + 12708*b5 - 60064*b4 - 63452*b3 - 55267*b2 - 5576*b1 - 467398 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$28053 \beta_{15} + 78623 \beta_{14} + 72687 \beta_{13} - 80 \beta_{12} - 130637 \beta_{11} - 1824 \beta_{10} - 75510 \beta_{9} + 1314 \beta_{8} - 47247 \beta_{7} - 39969 \beta_{6} + 100283 \beta_{5} + \cdots - 1205919$$ 28053*b15 + 78623*b14 + 72687*b13 - 80*b12 - 130637*b11 - 1824*b10 - 75510*b9 + 1314*b8 - 47247*b7 - 39969*b6 + 100283*b5 + 425261*b4 - 1124603*b3 - 196087*b2 - 57408*b1 - 1205919 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$401930 \beta_{15} + 404837 \beta_{14} + 32552 \beta_{13} - 167844 \beta_{12} - 363817 \beta_{11} - 385430 \beta_{10} - 679140 \beta_{9} - 191720 \beta_{8} - 294010 \beta_{7} + 15500 \beta_{6} + \cdots - 13138755$$ 401930*b15 + 404837*b14 + 32552*b13 - 167844*b12 - 363817*b11 - 385430*b10 - 679140*b9 - 191720*b8 - 294010*b7 + 15500*b6 + 512402*b5 + 1117380*b4 - 3723658*b3 - 1680140*b2 + 2017660*b1 - 13138755 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$4719737 \beta_{15} + 1871644 \beta_{14} + 1472966 \beta_{13} - 152960 \beta_{12} - 3126813 \beta_{11} - 2668270 \beta_{10} - 11292204 \beta_{9} - 1695265 \beta_{8} - 8956222 \beta_{7} + \cdots - 49274749$$ 4719737*b15 + 1871644*b14 + 1472966*b13 - 152960*b12 - 3126813*b11 - 2668270*b10 - 11292204*b9 - 1695265*b8 - 8956222*b7 - 4319887*b6 + 2526084*b5 + 46905189*b4 - 22889857*b3 - 6671334*b2 + 6479946*b1 - 49274749 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$35357024 \beta_{15} + 7306256 \beta_{14} + 3282590 \beta_{13} - 1523959 \beta_{12} - 8191892 \beta_{11} - 27317252 \beta_{10} - 69695660 \beta_{9} - 12986388 \beta_{8} + \cdots - 121656184$$ 35357024*b15 + 7306256*b14 + 3282590*b13 - 1523959*b12 - 8191892*b11 - 27317252*b10 - 69695660*b9 - 12986388*b8 - 37465716*b7 - 8593372*b6 + 8891241*b5 + 192058512*b4 - 93874956*b3 - 19001651*b2 + 119396812*b1 - 121656184 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$238683133 \beta_{15} - 5803841 \beta_{14} - 19627253 \beta_{13} - 7811938 \beta_{12} + 17346326 \beta_{11} - 155666914 \beta_{10} - 544563500 \beta_{9} - 97260826 \beta_{8} + \cdots - 546243096$$ 238683133*b15 - 5803841*b14 - 19627253*b13 - 7811938*b12 + 17346326*b11 - 155666914*b10 - 544563500*b9 - 97260826*b8 - 422615622*b7 - 182130754*b6 - 4851545*b5 + 2069826045*b4 + 226480374*b3 - 47695775*b2 + 504243844*b1 - 546243096 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$1439013442 \beta_{15} - 228382132 \beta_{14} + 68953924 \beta_{13} + 144852348 \beta_{12} + 139890736 \beta_{11} - 1015933716 \beta_{10} - 2988873050 \beta_{9} + \cdots + 11047082428$$ 1439013442*b15 - 228382132*b14 + 68953924*b13 + 144852348*b12 + 139890736*b11 - 1015933716*b10 - 2988873050*b9 - 496930214*b8 - 1770634388*b7 - 573467386*b6 - 294366192*b5 + 9491328720*b4 + 1346596748*b3 + 1299106089*b2 + 4014142154*b1 + 11047082428 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$6968471215 \beta_{15} - 3180242887 \beta_{14} - 2976448991 \beta_{13} + 10488064 \beta_{12} + 5374132165 \beta_{11} - 4918684580 \beta_{10} - 15147940310 \beta_{9} + \cdots + 57576702111$$ 6968471215*b15 - 3180242887*b14 - 2976448991*b13 + 10488064*b12 + 5374132165*b11 - 4918684580*b10 - 15147940310*b9 - 2891101520*b8 - 10933071245*b7 - 4220391785*b6 - 4092112867*b5 + 52749131295*b4 + 45082668763*b3 + 8735228059*b2 + 18359505520*b1 + 57576702111

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/4140\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$461$$ $$1657$$ $$2071$$ $$3961$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$1$$ $$1$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
2161.1
 3.41677 − 2.23607i −0.886481 − 2.23607i −4.53300 − 2.23607i −1.83366 − 2.23607i 5.89296 − 2.23607i 0.613622 − 2.23607i −5.14043 − 2.23607i 2.47022 − 2.23607i 2.47022 + 2.23607i −5.14043 + 2.23607i 0.613622 + 2.23607i 5.89296 + 2.23607i −1.83366 + 2.23607i −4.53300 + 2.23607i −0.886481 + 2.23607i 3.41677 + 2.23607i
0 0 0 2.23607i 0 11.7428i 0 0 0
2161.2 0 0 0 2.23607i 0 9.10808i 0 0 0
2161.3 0 0 0 2.23607i 0 5.73038i 0 0 0
2161.4 0 0 0 2.23607i 0 0.167846i 0 0 0
2161.5 0 0 0 2.23607i 0 1.21480i 0 0 0
2161.6 0 0 0 2.23607i 0 2.35348i 0 0 0
2161.7 0 0 0 2.23607i 0 7.88014i 0 0 0
2161.8 0 0 0 2.23607i 0 8.25674i 0 0 0
2161.9 0 0 0 2.23607i 0 8.25674i 0 0 0
2161.10 0 0 0 2.23607i 0 7.88014i 0 0 0
2161.11 0 0 0 2.23607i 0 2.35348i 0 0 0
2161.12 0 0 0 2.23607i 0 1.21480i 0 0 0
2161.13 0 0 0 2.23607i 0 0.167846i 0 0 0
2161.14 0 0 0 2.23607i 0 5.73038i 0 0 0
2161.15 0 0 0 2.23607i 0 9.10808i 0 0 0
2161.16 0 0 0 2.23607i 0 11.7428i 0 0 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 2161.16 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
23.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 4140.3.d.a 16
3.b odd 2 1 460.3.f.a 16
12.b even 2 1 1840.3.k.c 16
15.d odd 2 1 2300.3.f.e 16
15.e even 4 2 2300.3.d.b 32
23.b odd 2 1 inner 4140.3.d.a 16
69.c even 2 1 460.3.f.a 16
276.h odd 2 1 1840.3.k.c 16
345.h even 2 1 2300.3.f.e 16
345.l odd 4 2 2300.3.d.b 32

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
460.3.f.a 16 3.b odd 2 1
460.3.f.a 16 69.c even 2 1
1840.3.k.c 16 12.b even 2 1
1840.3.k.c 16 276.h odd 2 1
2300.3.d.b 32 15.e even 4 2
2300.3.d.b 32 345.l odd 4 2
2300.3.f.e 16 15.d odd 2 1
2300.3.f.e 16 345.h even 2 1
4140.3.d.a 16 1.a even 1 1 trivial
4140.3.d.a 16 23.b odd 2 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{7}^{16} + 391 T_{7}^{14} + 58685 T_{7}^{12} + 4281913 T_{7}^{10} + 155886747 T_{7}^{8} + 2524614569 T_{7}^{6} + 12272252524 T_{7}^{4} + 13341794000 T_{7}^{2} + 366186496$$ acting on $$S_{3}^{\mathrm{new}}(4140, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16}$$
$3$ $$T^{16}$$
$5$ $$(T^{2} + 5)^{8}$$
$7$ $$T^{16} + 391 T^{14} + \cdots + 366186496$$
$11$ $$T^{16} + 842 T^{14} + \cdots + 538982656$$
$13$ $$(T^{8} + 6 T^{7} - 832 T^{6} + \cdots + 12532480)^{2}$$
$17$ $$T^{16} + \cdots + 645469713961216$$
$19$ $$T^{16} + 3578 T^{14} + \cdots + 48\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{16} - 14 T^{15} + \cdots + 61\!\cdots\!61$$
$29$ $$(T^{8} + 45 T^{7} - 2411 T^{6} + \cdots - 519358880)^{2}$$
$31$ $$(T^{8} - 5 T^{7} - 4394 T^{6} + \cdots - 162152849534)^{2}$$
$37$ $$T^{16} + \cdots + 216591737307136$$
$41$ $$(T^{8} + 93 T^{7} + \cdots + 580968030770)^{2}$$
$43$ $$T^{16} + 16556 T^{14} + \cdots + 17\!\cdots\!56$$
$47$ $$(T^{8} - 160 T^{7} + \cdots - 66361863793216)^{2}$$
$53$ $$T^{16} + 18049 T^{14} + \cdots + 55\!\cdots\!76$$
$59$ $$(T^{8} - 45 T^{7} + \cdots + 199085136256)^{2}$$
$61$ $$T^{16} + 31266 T^{14} + \cdots + 21\!\cdots\!76$$
$67$ $$T^{16} + 40765 T^{14} + \cdots + 11\!\cdots\!96$$
$71$ $$(T^{8} - 119 T^{7} + \cdots - 318523111508570)^{2}$$
$73$ $$(T^{8} + 140 T^{7} + \cdots - 71365498673344)^{2}$$
$79$ $$T^{16} + 56440 T^{14} + \cdots + 17\!\cdots\!16$$
$83$ $$T^{16} + 51025 T^{14} + \cdots + 14\!\cdots\!16$$
$89$ $$T^{16} + 93608 T^{14} + \cdots + 43\!\cdots\!16$$
$97$ $$T^{16} + 51438 T^{14} + \cdots + 31\!\cdots\!56$$