LMFDB - Newform orbit 384.8.d.f

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [384,8,Mod(193,384)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(384, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 1, 0]))

N = Newforms(chi, 8, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("384.193");

S:= CuspForms(chi, 8);

N := Newforms(S);

Level:	$ N $	$=$	$ 384 = 2^{7} \cdot 3 $
Weight:	$ k $	$=$	$ 8 $
Character orbit:	$[\chi]$	$=$	384.d (of order $2$, degree $1$, minimal)

Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

Self dual:	no
Analytic conductor:	$119.955849786$
Analytic rank:	$0$
Dimension:	$16$
Coefficient field:	$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	$ x^{16} - 8 x^{15} - 1020 x^{14} + 7280 x^{13} + 388150 x^{12} - 2423904 x^{11} - 70542796 x^{10} + \cdots + 694045717832241 $ x^16 - 8x^15 - 1020x^14 + 7280x^13 + 388150x^12 - 2423904x^11 - 70542796x^10 + 375107560x^9 + 6894477923x^8 - 29855519152x^7 - 372292484316x^6 + 1222974198808x^5 + 10528455140834x^4 - 23130795757272x^3 - 133992602927280x^2 + 145766920335192*x + 694045717832241
Coefficient ring:	$\Z[a_1, \ldots, a_{17}]$
Coefficient ring index:	$ 2^{108}\cdot 3^{28} $
Twist minimal:	yes
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

$q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $q$-expansion are expressed in terms of a basis $1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $q$-expansion of the trace form.

$f(q)$	$=$	$ q - \beta_{8} q^{3} - \beta_1 q^{5} + \beta_{10} q^{7} - 729 q^{9}+O(q^{10}) $ q - b8 * q^3 - b1 * q^5 + b10 * q^7 - 729 * q^9	$ q - \beta_{8} q^{3} - \beta_1 q^{5} + \beta_{10} q^{7} - 729 q^{9} + ( - \beta_{11} + 47 \beta_{8}) q^{11} + (\beta_{2} + 4 \beta_1) q^{13} + (\beta_{12} - \beta_{10}) q^{15} + (\beta_{5} + 4830) q^{17} + (\beta_{13} - 4 \beta_{9} - 260 \beta_{8}) q^{19} + (\beta_{4} + \beta_{2} - 11 \beta_1) q^{21} + ( - \beta_{15} - 2 \beta_{14} + \cdots + 4 \beta_{10}) q^{23}+ \cdots + (729 \beta_{11} - 34263 \beta_{8}) q^{99}+O(q^{100}) $ q - b8 * q^3 - b1 * q^5 + b10 * q^7 - 729 * q^9 + (-b11 + 47b8) q^11 + (b2 + 4b1) q^13 + (b12 - b10) * q^15 + (b5 + 4830) * q^17 + (b13 - 4b9 - 260b8) * q^19 + (b4 + b2 - 11b1) q^21 + (-b15 - 2b14 + b12 + 4b10) * q^23 + (b7 - 4b5 - 2b3 - 14779) * q^25 + 729b8 q^27 + (-b6 + b4 - 6b2 + 280b1) * q^29 + (-4b15 + 3b14 + 12b12 + 39b10) * q^31 + (2b7 + 2b5 + 7b3 + 34020) q^33 + (-6b13 + b11 + 115b9 - 1427b8) q^35 + (-3b6 + 12b4 + 7b2 + 121b1) * q^37 + (-9b14 - 9b12 - 54b10) q^39 + (-15b7 + 20b5 - 15b3 - 58182) q^41 + (-5b13 + 30b11 + 203b9 + 2914b8) * q^43 + 729b1 q^45 + (13b15 - 4b14 + 47b12 + 56b10) * q^47 + (7b7 - 28b5 + 28b3 + 72689) q^49 + (9b13 + 36b11 + 54b9 - 4842b8) * q^51 + (b6 + 41b4 + 90b2 + 744b1) q^53 + (2b15 + 45b14 - 138b12 + 132b10) * q^55 + (18b7 - 63b5 + 18b3 - 189540) q^57 + (30b13 - 54b11 + 515b9 + 1518b8) * q^59 + (-9b6 - 54b4 + 73b2 - 2777b1) * q^61 - 729b10 q^63 + (-51b7 + 48b5 - 87b3 + 392688) q^65 + (10b13 - 270b11 + 1067b9 - 746b8) * q^67 + (9b6 + 18b4 - 144b2 + 1413b1) * q^69 + (48b15 - 6b14 - 204b12 + 762b10) * q^71 + (b7 + 86b5 + 106b3 - 170450) * q^73 + (-45b13 - 261b11 + 621b9 + 14866b8) * q^75 + (27b6 - 93b4 - 492b2 + 1525b1) * q^77 + (-22b15 - 60b14 + 282b12 - 2657b10) * q^79 + 531441 * q^81 + (-30b13 + 455b11 + 1368b9 + 15671b8) * q^83 + (-3b6 - 114b4 - 14b2 - 15731b1) * q^85 + (-81b15 + 63b14 - 264b12 + 57b10) * q^87 + (-21b7 - 231b5 + 141b3 - 2693322) q^89 + (-15b13 + 1092b11 + 1440b9 - 63804b8) * q^91 + (36b6 + 26b4 + 269b2 + 7535b1) * q^93 + (61b15 + 80b14 + 1427b12 + 10070b10) * q^95 + (-190b7 - 302b5 - 100b3 + 2221070) q^97 + (729b11 - 34263b8) * q^99
$\operatorname{Tr}(f)(q)$	$=$	$ 16 q - 11664 q^{9}+O(q^{10}) $ 16 * q - 11664 * q^9	$ 16 q - 11664 q^{9} + 77280 q^{17} - 236464 q^{25} + 544320 q^{33} - 930912 q^{41} + 1163024 q^{49} - 3032640 q^{57} + 6283008 q^{65} - 2727200 q^{73} + 8503056 q^{81} - 43093152 q^{89} + 35537120 q^{97}+O(q^{100}) $ 16 * q - 11664 * q^9 + 77280 * q^17 - 236464 * q^25 + 544320 * q^33 - 930912 * q^41 + 1163024 * q^49 - 3032640 * q^57 + 6283008 * q^65 - 2727200 * q^73 + 8503056 * q^81 - 43093152 * q^89 + 35537120 * q^97

Display 100 coefficients 10 coefficients

Basis of coefficient ring in terms of a root $\nu$ of $ x^{16} - 8 x^{15} - 1020 x^{14} + 7280 x^{13} + 388150 x^{12} - 2423904 x^{11} - 70542796 x^{10} + \cdots + 694045717832241 $ x^16 - 8*x^15 - 1020*x^14 + 7280*x^13 + 388150*x^12 - 2423904*x^11 - 70542796*x^10 + 375107560*x^9 + 6894477923*x^8 - 29855519152*x^7 - 372292484316*x^6 + 1222974198808*x^5 + 10528455140834*x^4 - 23130795757272*x^3 - 133992602927280*x^2 + 145766920335192*x + 694045717832241 :

$\beta_{1}$	$=$	$ ( - 34\!\cdots\!03 \nu^{14} + \cdots + 43\!\cdots\!87 ) / 50\!\cdots\!34 $ (-34269836333569099314503v^14 + 239888854334983695201521v^13 + 33583203933541687597612640v^12 - 204617778707604913623295613v^11 - 11892379406517208403126458561v^10 + 61343277355100737501914805508v^9 + 1889292771523795393966981151761v^8 - 7927491346964761055691673639693v^7 - 146561701892964080189458897214159v^6 + 467691228244957961985655971961530v^5 + 5372359677984236091027991873308753v^4 - 11533577293431612610490392806236207v^3 - 77618925586459457163196497895542714v^2 + 83465002594061287939057139087659737v + 438410128070292095969494341404565987) / 50275082718458648024346446620434
$\beta_{2}$	$=$	$ ( 20\!\cdots\!52 \nu^{14} + \cdots - 29\!\cdots\!93 ) / 71\!\cdots\!62 $ (20982506462222776173152v^14 - 146877545235559433212064v^13 - 21560694040110576600930635v^12 + 131273572328725732237340642v^11 + 8140522056333629461729214083v^10 - 41909451942842914020646580492v^9 - 1398196848758973044165306580262v^8 + 5845694116985413839553702072534v^7 + 114184377904161037175115604457471v^6 - 363190533130434306791225781808956v^5 - 4225512036498698032686490437082824v^4 + 9063246148775483200094526147727766v^3 + 56343307116676940601556217148619497v^2 - 60936448911652775680700791139409912v - 293366211155643283594238172862505493) / 7182154674065521146335206660062
$\beta_{3}$	$=$	$ ( 12\!\cdots\!00 \nu^{14} + \cdots - 10\!\cdots\!70 ) / 11\!\cdots\!89 $ (129838300094992068900v^14 - 908868100664944482300v^13 - 122354865121492637527410v^12 + 745944476037600103434360v^11 + 40748546324666364542426412v^10 - 210602217343409004837108510v^9 - 5886536161218329947722991740v^8 + 24818000471924014588784101380v^7 + 411389167199635076485627640844v^6 - 1321923276943159530465199201734v^5 - 13627065761450215395353305447140v^4 + 29486716645177721897719564571280v^3 + 185549475770957380251868034035572v^2 - 200517354778391630357793001519914v - 1024248724679494376525357457686370) / 11157364118610441194928194989
$\beta_{4}$	$=$	$ ( - 17\!\cdots\!82 \nu^{14} + \cdots + 70\!\cdots\!63 ) / 83\!\cdots\!39 $ (-171968283565675185395882v^14 + 1203777984959726297771174v^13 + 163980404013469367495911367v^12 - 999531537885292646846493464v^11 - 55614288843428828587218917221v^10 + 287262506689734199008950989172v^9 + 8247405804957411038365186850788v^8 - 34724242289813887349732787988540v^7 - 585580253992406550030974969764901v^6 + 1879493159008657432444200747220584v^5 + 18674323307779877122151046047841582v^4 - 40522226878430993678585426936438600v^3 - 192045765659446616926301204285568825v^2 + 212626002347867816941692533503982766v + 707776065535750198244338047745797963) / 8379180453076441337391074436739
$\beta_{5}$	$=$	$ ( 27\!\cdots\!52 \nu^{14} + \cdots - 23\!\cdots\!50 ) / 11\!\cdots\!89 $ (271631220033806900052v^14 - 1901418540236648300364v^13 - 256026356507311894054986v^12 + 1560876580066947792234648v^11 + 85294542243407771822327940v^10 - 440826063676194853991615982v^9 - 12329136941103431037544129740v^8 + 51978751475380559368614210852v^7 + 862465326097768427211263171652v^6 - 2771190329137813370388630706806v^5 - 28608780519117370220211943743012v^4 + 61897743741664984506716542273776v^3 + 389798797690735401603002779204236v^2 - 421218331296476251527011967772266v - 2364435722927396750515947948374250) / 11157364118610441194928194989
$\beta_{6}$	$=$	$ ( 19\!\cdots\!97 \nu^{14} + \cdots - 47\!\cdots\!83 ) / 50\!\cdots\!34 $ (1950818802540399680728297v^14 - 13655731617782797765098079v^13 - 1855360960449242922942511234v^12 + 11309690273726633908601342431v^11 + 631234435521194964463663014785v^10 - 3260169800052026123160562217092v^9 - 96296935985426215780133423733155v^8 + 404873727269205539386800371294855v^7 + 7637242616658742963225360801003195v^6 - 24342603601002564183102176801327694v^5 - 322884439041135690489373739285927151v^4 + 686818819604527189013895810349520389v^3 + 6646559821688704583908202980756359996v^2 - 6994094798566295910167444793442449543v - 47425406044636899588714338461824093483) / 50275082718458648024346446620434
$\beta_{7}$	$=$	$ ( - 18\!\cdots\!80 \nu^{14} + \cdots + 15\!\cdots\!68 ) / 11\!\cdots\!89 $ (-1895408916692800933680v^14 + 13267862416849606535760v^13 + 1790372807492203732051032v^12 - 10914719056372267277271072v^11 - 598729905133070611256854104v^10 + 3094017334403033755281690960v^9 + 87165475207755251204927464272v^8 - 367346608834009476432517017120v^7 - 6166702255477747600643850014520v^6 + 19798935401257686489005713071408v^5 + 207920039003489078625243060322368v^4 - 449273123072474614268055642264672v^3 - 2854317063057881366507528924576280v^2 + 3082315608940257742903969947795648v + 15319160472874119740353249368444168) / 11157364118610441194928194989
$\beta_{8}$	$=$	$ ( - 2164418201736 \nu^{15} + 16233136513020 \nu^{14} + \cdots - 17\!\cdots\!93 ) / 34\!\cdots\!84 $ (-2164418201736v^15 + 16233136513020v^14 + 2113396887248082v^13 - 13983282337560003v^12 - 745352364059573184v^11 + 4253795753695796979v^10 + 118051414980919048296v^9 - 563366720394684615654v^8 - 9201692779747417702260v^7 + 34865055251715418683183v^6 + 345499499386881349610508v^5 - 952247409878019419133048v^4 - 5367673608387633578036736v^3 + 9021572378882869427785557v^2 + 31572774322038579867674382*v - 17322573362898402393768693) / 344727506127634082750384
$\beta_{9}$	$=$	$ ( - 12\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!36 ) / 80\!\cdots\!01 $ (-12638099089889855090176v^15 + 94785743174173913176320v^14 + 12163454363279426686895360v^13 - 80500037132791244481327360v^12 - 4206754010058192661924577536v^11 + 24025810148078008266116093952v^10 + 652192772543482186917606461952v^9 - 3116396080349582912093833791744v^8 - 50942079575441658952299964733696v^7 + 193010421382250219122871211738624v^6 + 2002573818478064577082223571103744v^5 - 5496353654994207955779342174195456v^4 - 35258155808869303450296213738076416v^3 + 58482206619774827361473588323979520v^2 + 221619118255719484869569329185878784*v - 120744506559704785377941525321767936) / 80158786161353423569912111375001
$\beta_{10}$	$=$	$ ( - 43\!\cdots\!48 \nu^{15} + \cdots - 20\!\cdots\!17 ) / 99\!\cdots\!12 $ (-43753092931074306704394673196548v^15 + 328148196983057300282960048974110v^14 + 41111362057772967871197640055839352v^13 - 272200767696433993550409554439063123v^12 - 13639247669571815088715992156450228768v^11 + 78021019838811758262245236726273388714v^10 + 1960429507580694260943824171716653666237v^9 - 9411605208167287810704600037463738103816v^8 - 136451459890237039806222679283034065153226v^7 + 522053102324005837631463761657032481272214v^6 + 4514775628710923054731815231605963112309081v^5 - 12614426861036145223633891629310654364883916v^4 - 61373165537782977758804866492070100303908452v^3 + 104941594522436669809514507251356338286887598v^2 + 366057233801297824019694158637128574565735377*v - 200952113085663317405555667074414796721767417) / 99437840909954898491691612050436927010812
$\beta_{11}$	$=$	$ ( 10\!\cdots\!32 \nu^{15} + \cdots + 41\!\cdots\!63 ) / 12\!\cdots\!12 $ (1043347659007874556521002193432v^15 - 7825107442559059173907516450740v^14 - 1015274170541986304931833251565974v^13 + 6717962904735056712861180134681721v^12 + 355262802472634902089304654131338432v^11 - 2028104103303244305940417960002766665v^10 - 55166437236492005890183878175467262968v^9 + 263571154222098630208873730349271909650v^8 + 4095999795876402115601480785199766347932v^7 - 15580343312470816227131016002987830213053v^6 - 137294510813194575936386122367624973758756v^5 + 382812386634323469289974336284605877981544v^4 + 1571872174393143081699770354510802833460096v^3 - 2748589609909296019008687429777714031025295v^2 - 7332255030849851306379050650154523953483082*v + 4137366098244939007010737492335707004306863) / 1235800952276403532076060868802589416912
$\beta_{12}$	$=$	$ ( - 26\!\cdots\!52 \nu^{15} + \cdots - 93\!\cdots\!05 ) / 17\!\cdots\!21 $ (-262603539573342064951784471778952v^15 + 1969526546800065487138383538342140v^14 + 246387916471646809620189505094747774v^13 - 1631392609692171922419497266780716321v^12 - 81526155399075522287194083070371919284v^11 + 466404889937307492577936110885696118331v^10 + 11656778616779996927201102125384696996374v^9 - 55980599249247809408141732495198730653472v^8 - 803788847683649329189319782797705635331900v^7 + 3077804685405844144317508035704491703346779v^6 + 26113489376458404107660912016803462012472426v^5 - 73111215644692375109202956550678763347762682v^4 - 339337626363136049440332502711159687489932100v^3 + 583694585741261585764859213179007436202342929v^2 + 1663311117370848502266965993703927583657365768*v - 931450212996633281305634904312671827886818905) / 174016221592421072360460321088264622268921
$\beta_{13}$	$=$	$ ( 32\!\cdots\!28 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!72 ) / 77\!\cdots\!57 $ (329368838832063962355185640928v^15 - 2470266291240479717663892306960v^14 - 311556205106593268793217290386456v^13 + 2062581038610003522873814754167524v^12 + 104169400925830444885776065895640696v^11 - 595702521068695209629959709928508824v^10 - 15002511773705349245811178268620991316v^9 + 72013281100866174430802230945001988888v^8 + 1001717516424306545396898416963678244512v^7 - 3846288827659767762616487550499260977928v^6 - 27329759905274481130126123282534632355396v^5 + 78111165554091984265704388094127990893448v^4 + 118920327072610798737757268476441895307960v^3 - 258463713354490573371006844876834115408112v^2 + 339233127060391603260843174731130920896980*v - 123841548050592412278687179601558790922972) / 77237559517275220754753804300161838557
$\beta_{14}$	$=$	$ ( - 75\!\cdots\!56 \nu^{15} + \cdots - 25\!\cdots\!63 ) / 17\!\cdots\!21 $ (-752414849188301134869178781042156v^15 + 5643111368912258511518840857816170v^14 + 707911053649538630873368121820032608v^13 - 4687009037817170354768261878173757197v^12 - 235368958650387035803946117705670327408v^11 + 1346274663809126943183155540031053929450v^10 + 33951875499334224243241065913835188825119v^9 - 162958238857159321705795713080602455033816v^8 - 2371524524436584314796702183764305918527790v^7 + 9070335218582399164216001631128722572568174v^6 + 78228803352322723716340066657255259823972099v^5 - 218634891454833627379243400629014605240796812v^4 - 1007784410509047345877670088474736718978521532v^3 + 1734957356630621186632539300922007851839598350v^2 + 4522088804857917473244844274301702061283885667*v - 2557713287069633135590383255134294864611310463) / 174016221592421072360460321088264622268921
$\beta_{15}$	$=$	$ ( - 38\!\cdots\!32 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!31 ) / 34\!\cdots\!42 $ (-3885467108879595917338484247359732v^15 + 29141003316596969380038631855197990v^14 + 3652765238230191209606564499598494532v^13 - 24184945932131296898039921830527383973v^12 - 1212770635454265878842778242920219247848v^11 + 6937245238395903718392033431879908859800v^10 + 174463062673220393541375281780128705839009v^9 - 837514256507078351906257350222059841215880v^8 - 12128866173106582388470992753183792931524786v^7 + 46408527172066447541128144991350034189128996v^6 + 396599977867456775514862493519220228226551333v^5 - 1109510550018317184988018819239076314600686672v^4 - 5002400211231108056422389769112320416928193516v^3 + 8636884000752485576531117323273360123213288632v^2 + 19856646370666876756746282019740820662062455977*v - 11405920950905098829260298376318130184232101931) / 348032443184842144720920642176529244537842

Display $\nu^j$ in terms of $\beta_i$

$\nu$	$=$	$ ( 6\beta_{15} - 12\beta_{14} - 62\beta_{12} + 188\beta_{10} - 27\beta_{9} + 27648 ) / 55296 $ (6b15 - 12b14 - 62b12 + 188b10 - 27*b9 + 27648) / 55296
$\nu^{2}$	$=$	$ ( 12 \beta_{15} - 24 \beta_{14} - 124 \beta_{12} + 376 \beta_{10} - 54 \beta_{9} + 39 \beta_{7} + \cdots + 14542848 ) / 110592 $ (12b15 - 24b14 - 124b12 + 376b10 - 54b9 + 39b7 + 12b6 + 615b5 - 40b4 - 807b3 + 56b2 + 596b1 + 14542848) / 110592
$\nu^{3}$	$=$	$ ( 9888 \beta_{15} - 21928 \beta_{14} - 288 \beta_{13} - 46208 \beta_{12} + 8352 \beta_{11} + \cdots + 43573248 ) / 221184 $ (9888b15 - 21928b14 - 288b13 - 46208b12 + 8352b11 + 130144b10 - 43362b9 + 1520928b8 + 117b7 + 36b6 + 1845b5 - 120b4 - 2421b3 + 168b2 + 1788*b1 + 43573248) / 221184
$\nu^{4}$	$=$	$ ( 4938 \beta_{15} - 10952 \beta_{14} - 144 \beta_{13} - 23042 \beta_{12} + 4176 \beta_{11} + \cdots + 1936935936 ) / 55296 $ (4938b15 - 10952b14 - 144b13 - 23042b12 + 4176b11 + 64884b10 - 21654b9 + 760464b8 + 2637b7 + 2606b6 + 95949b5 - 8708b4 - 168717b3 + 38572b2 + 465218*b1 + 1936935936) / 55296
$\nu^{5}$	$=$	$ ( 3453552 \beta_{15} - 8292808 \beta_{14} - 364800 \beta_{13} - 13398160 \beta_{12} + \cdots + 19296755712 ) / 221184 $ (3453552b15 - 8292808b14 - 364800b13 - 13398160b12 + 5579520b11 + 40659072b10 - 19488042b9 + 932847360b8 + 26175b7 + 26000b6 + 956415b5 - 86880b4 - 1683135b3 + 385440b2 + 4649200*b1 + 19296755712) / 221184
$\nu^{6}$	$=$	$ ( 2577822 \beta_{15} - 6192232 \beta_{14} - 273240 \beta_{13} - 9991046 \beta_{12} + \cdots + 642353144832 ) / 55296 $ (2577822b15 - 6192232b14 - 273240b13 - 9991046b12 + 4174200b11 + 30332188b10 - 14561910b9 + 697734360b8 + 494622b7 + 1260049b6 + 32699646b5 - 3790526b4 - 61913982b3 + 22926490b2 + 271746999*b1 + 642353144832) / 55296
$\nu^{7}$	$=$	$ ( 304967922 \beta_{15} - 746679828 \beta_{14} - 51763824 \beta_{13} - 1133014618 \beta_{12} + \cdots + 2231364049920 ) / 55296 $ (304967922b15 - 746679828b14 - 51763824b13 - 1133014618b12 + 716269680b11 + 3507185332b10 - 2284093827b9 + 116991589680b8 + 1708308b7 + 4387432b6 + 113612436b5 - 13190856b4 - 215226900b3 + 79905504b2 + 947046968*b1 + 2231364049920) / 55296
$\nu^{8}$	$=$	$ ( 603926685 \beta_{15} - 1478923888 \beta_{14} - 102890256 \beta_{13} - 2242743657 \beta_{12} + \cdots + 112235382065664 ) / 27648 $ (603926685b15 - 1478923888b14 - 102890256b13 - 2242743657b12 + 1422804432b11 + 6943671194b10 - 4534235118b9 + 232356019728b8 + 68572059b7 + 294670234b6 + 5747849691b5 - 858762828b4 - 11060406171b3 + 5606601444b2 + 66036176054*b1 + 112235382065664) / 27648
$\nu^{9}$	$=$	$ ( 143900998072 \beta_{15} - 353868327288 \beta_{14} - 32705604480 \beta_{13} - 529692128760 \beta_{12} + \cdots + 13\!\cdots\!32 ) / 73728 $ (143900998072b15 - 353868327288b14 - 32705604480b13 - 529692128760b12 + 443473625472b11 + 1645677868496b10 - 1385163792486b9 + 72007688880000b8 + 809234811b7 + 3500979728b6 + 68066634555b5 - 10199748640b4 - 131005413627b3 + 66640512800b2 + 784864244592*b1 + 1329000658808832) / 73728
$\nu^{10}$	$=$	$ ( 1061175725136 \beta_{15} - 2609731319784 \beta_{14} - 242209149840 \beta_{13} + \cdots + 15\!\cdots\!08 ) / 110592 $ (1061175725136b15 - 2609731319784b14 - 242209149840b13 - 3905548300400b12 + 3283426455120b11 + 12134697880256b10 - 10252905040386b9 + 533096746684560b8 + 90673104123b7 + 526967285082b6 + 8119205378811b5 - 1524380771276b4 - 15676673836731b3 + 10126749233764b2 + 119051461445878*b1 + 158327530169131008) / 110592
$\nu^{11}$	$=$	$ ( 152441390392872 \beta_{15} - 375229726968440 \beta_{14} - 43374027325728 \beta_{13} + \cdots + 17\!\cdots\!60 ) / 221184 $ (152441390392872b15 - 375229726968440b14 - 43374027325728b13 - 560059958667432b12 + 585603407276448b11 + 1741063807975600b10 - 1820557101744126b9 + 94946021715833376b8 + 975225066321b7 + 5700555954588b6 + 87444415153425b5 - 16488274839080b4 - 168850214811729b3 + 109565139072664b2 + 1288023928113604*b1 + 1705153281736642560) / 221184
$\nu^{12}$	$=$	$ ( 111422746025514 \beta_{15} - 274269868316848 \beta_{14} - 31866140017008 \beta_{13} + \cdots + 13\!\cdots\!00 ) / 27648 $ (111422746025514b15 - 274269868316848b14 - 31866140017008b13 - 409341606733250b12 + 430196563097136b11 + 1272541674266452b10 - 1337296992324048b9 + 69747326439013872b8 + 7863912887913b7 + 56823463303708b6 + 715395530681289b5 - 164103533562104b4 - 1382259164623113b3 + 1094415767168248b2 + 12859349838614148*b1 + 13946398339225190400) / 27648
$\nu^{13}$	$=$	$ ( 26\!\cdots\!40 \beta_{15} + \cdots + 35\!\cdots\!08 ) / 110592 $ (26820019856123340b15 - 66030228570320400b14 - 9237800461969248b13 - 98497469187108956b12 + 124606155633274848b11 + 306225327245343320b10 - 386974245535030476b9 + 20195555145957131616b8 + 198151563266163b7 + 1440481234258300b6 + 18034319218137651b5 - 4159881651155464b4 - 34845877776426483b3 + 27745012419579416b2 + 325998921880413028*b1 + 351570190341243230208) / 110592
$\nu^{14}$	$=$	$ ( 18\!\cdots\!36 \beta_{15} + \cdots + 19\!\cdots\!52 ) / 110592 $ (181015728089643636b15 - 445659217615183192b14 - 62739443079453504b13 - 664778569201598532b12 + 846253648847390784b11 + 2066779343737220168b10 - 2628031179263169654b9 + 137155269564930227520b8 + 11006110955313483b7 + 95470070529060532b6 + 1004814075527053323b5 - 275612232621130008b4 - 1941732673612828107b3 + 1839666758741867976b2 + 21612986600682471404*b1 + 19587299177369311229952) / 110592
$\nu^{15}$	$=$	$ ( 18\!\cdots\!12 \beta_{15} + \cdots + 28\!\cdots\!88 ) / 221184 $ (18794359334122360512b15 - 46273228816847520056b14 - 7681523842254896160b13 - 69017874909163109344b12 + 103593214225173980064b11 + 214575947354320952288b10 - 321640417831190967846b9 + 16788402043807554614304b8 + 158200444514246139b7 + 1381892342191054276b6 + 14444964444600707643b5 - 3989334212919551288b4 - 27914020416638102523b3 + 26628887404758474472b2 + 312843162055693153884*b1 + 281581642265305007628288) / 221184

Display $\beta_i$ in terms of $\nu^j$

Character values

We give the values of $\chi$ on generators for $\left(\mathbb{Z}/384\mathbb{Z}\right)^\times$.

$n$	$127$	$133$	$257$
$\chi(n)$	$1$	$-1$	$1$

Embeddings

For each embedding $\iota_m$ of the coefficient field, the values $\iota_m(a_n)$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label

$\iota_m(\nu)$

$ a_{2} $

$ a_{3} $

$ a_{4} $

$ a_{5} $

$ a_{6} $

$ a_{7} $

$ a_{8} $

$ a_{9} $

$ a_{10} $

193.1

9.25013	−	0.707107i
9.47155	+	0.707107i
19.4308	+	0.707107i
3.90187	−	0.707107i
−2.90187	−	0.707107i
−18.4308	+	0.707107i
−8.47155	+	0.707107i
−8.25013	−	0.707107i
−8.25013	+	0.707107i
−8.47155	−	0.707107i
−18.4308	−	0.707107i
−2.90187	+	0.707107i
3.90187	+	0.707107i
19.4308	−	0.707107i
9.47155	−	0.707107i
9.25013	+	0.707107i

−

27.0000i

−

484.521i

−826.966

−729.000

193.2

−

27.0000i

−

295.990i

1208.55

−729.000

193.3

−

27.0000i

−

183.972i

284.564

−729.000

193.4

−

27.0000i

−

124.096i

1165.97

−729.000

193.5

−

27.0000i

124.096i

−1165.97

−729.000

193.6

−

27.0000i

183.972i

−284.564

−729.000

193.7

−

27.0000i

295.990i

−1208.55

−729.000

193.8

−

27.0000i

484.521i

826.966

−729.000

193.9

27.0000i

−

484.521i

826.966

−729.000

193.10

27.0000i

−

295.990i

−1208.55

−729.000

193.11

27.0000i

−

183.972i

−284.564

−729.000

193.12

27.0000i

−

124.096i

−1165.97

−729.000

193.13

27.0000i

124.096i

1165.97

−729.000

193.14

27.0000i

183.972i

284.564

−729.000

193.15

27.0000i

295.990i

1208.55

−729.000

193.16

27.0000i

484.521i

−826.966

−729.000

Inner twists

Char	Parity	Ord	Mult	Type
1.a	even	1	1	trivial
4.b	odd	2	1	inner
8.b	even	2	1	inner
8.d	odd	2	1	inner

Twists

By twisting character orbit
Char	Parity	Ord	Mult	Type	Twist	Min	Dim
1.a	even	1	1	trivial	384.8.d.f	✓	16
4.b	odd	2	1	inner	384.8.d.f	✓	16
8.b	even	2	1	inner	384.8.d.f	✓	16
8.d	odd	2	1	inner	384.8.d.f	✓	16

By twisted newform orbit
Twist	Min	Dim	Char	Parity	Ord	Mult	Type
384.8.d.f	✓	16	1.a	even	1	1	trivial
384.8.d.f	✓	16	4.b	odd	2	1	inner
384.8.d.f	✓	16	8.b	even	2	1	inner
384.8.d.f	✓	16	8.d	odd	2	1	inner

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $S_{8}^{\mathrm{new}}(384, [\chi])$:

$ T_{5}^{8} + 371616T_{5}^{6} + 36963868032T_{5}^{4} + 1180874777241600T_{5}^{2} + 10720051644418560000 $

$ T_{7}^{8} - 3584928T_{7}^{6} + 4197967850880T_{7}^{4} - 1674896085793253376T_{7}^{2} + 109960973310053162225664 $

Hecke characteristic polynomials

$p$	$F_p(T)$
$2$	$ T^{16} $ T^16
$3$	$ (T^{2} + 729)^{8} $ (T^2 + 729)^8
$5$	$ (T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!00)^{2} $ (T^8 + 371616T^6 + 36963868032T^4 + 1180874777241600*T^2 + 10720051644418560000)^2
$7$	$ (T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!64)^{2} $ (T^8 - 3584928T^6 + 4197967850880T^4 - 1674896085793253376*T^2 + 109960973310053162225664)^2
$11$	$ (T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!96)^{2} $ (T^8 + 126799424T^6 + 4899417907471872T^4 + 67214397887185124212736*T^2 + 232363360252332601040500228096)^2
$13$	$ (T^{8} + \cdots + 17\!\cdots\!24)^{2} $ (T^8 + 318245760T^6 + 25305072659748864T^4 + 391506706869662139678720*T^2 + 1700589349083821300704449921024)^2
$17$	$ (T^{4} + \cdots - 23\!\cdots\!36)^{4} $ (T^4 - 19320T^3 - 275677416T^2 + 5972370032160*T - 23834510905265136)^4
$19$	$ (T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!76)^{2} $ (T^8 + 5744950848T^6 + 9559797621096457728T^4 + 6094191066221672630693019648*T^2 + 1321093910175615793051726717638475776)^2
$23$	$ (T^{8} + \cdots + 32\!\cdots\!44)^{2} $ (T^8 - 17810534016T^6 + 93091757867653847040T^4 - 123413862261986219071581585408*T^2 + 32430824691121481394267219603665977344)^2
$29$	$ (T^{8} + \cdots + 40\!\cdots\!64)^{2} $ (T^8 + 96093574560T^6 + 3002004264469238418816T^4 + 32252420670945691474339142215680*T^2 + 40898519492673201396959384304595764056064)^2
$31$	$ (T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!24)^{2} $ (T^8 - 155053631136T^6 + 6233572247347353548160T^4 - 71334169857738051081859569051648*T^2 + 237609341700523862749370528198594731905024)^2
$37$	$ (T^{8} + \cdots + 41\!\cdots\!64)^{2} $ (T^8 + 815053715712T^6 + 224287459640436320133120T^4 + 22317821818263219152664036249698304*T^2 + 415323506375348260334051119682686685559128064)^2
$41$	$ (T^{4} + \cdots + 31\!\cdots\!76)^{4} $ (T^4 + 232728T^3 - 578540431656T^2 + 18733354746744672*T + 31749598777217103637776)^4
$43$	$ (T^{8} + \cdots + 59\!\cdots\!76)^{2} $ (T^8 + 629422244928T^6 + 118510910520434352834048T^4 + 6115510706479629069164991073763328*T^2 + 59409186881152911065244337901956483084517376)^2
$47$	$ (T^{8} + \cdots + 32\!\cdots\!04)^{2} $ (T^8 - 1639414339200T^6 + 757233670104241697839104T^4 - 95004653380402530512031814611763200*T^2 + 327319717007941478677765223201549000301871104)^2
$53$	$ (T^{8} + \cdots + 29\!\cdots\!04)^{2} $ (T^8 + 6158991470496T^6 + 13260581353579572145929600T^4 + 11366724621715180868147221233935198208*T^2 + 2973742303409738510051626715717833365688362799104)^2
$59$	$ (T^{8} + \cdots + 36\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 + 7502487677504T^6 + 15171378857598067486582272T^4 + 4487395313134749367763847484957147136*T^2 + 360254404713561016079677574104648291204642963456)^2
$61$	$ (T^{8} + \cdots + 27\!\cdots\!64)^{2} $ (T^8 + 17143963828992T^6 + 84048322639831680619929600T^4 + 124176612735495573102519346896451928064*T^2 + 27198408207411883099007990691967959989240268324864)^2
$67$	$ (T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!16)^{2} $ (T^8 + 18631493656128T^6 + 75774541715869582251468288T^4 + 78323494414970225185995182856674623488*T^2 + 18732520067072342299214337103817515513129918857216)^2
$71$	$ (T^{8} + \cdots + 37\!\cdots\!24)^{2} $ (T^8 - 27329684840064T^6 + 222785254673736106732738560T^4 - 522438172174821723076189429434304561152*T^2 + 370666300376626584309994193698129919569388475777024)^2
$73$	$ (T^{4} + \cdots + 37\!\cdots\!64)^{4} $ (T^4 + 681800T^3 - 13762210651752T^2 - 7458444222743515360*T + 37017153532678571447259664)^4
$79$	$ (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!44)^{2} $ (T^8 - 64280992475808T^6 + 396233118120982450654074240T^4 - 681342994625987378189840730821540407296*T^2 + 156964117254516920810387231306735996532390208671744)^2
$83$	$ (T^{8} + \cdots + 57\!\cdots\!16)^{2} $ (T^8 + 47708870931008T^6 + 627793282412281820602295808T^4 + 3225477105526904301715979903324775661568*T^2 + 5774121883528628713302891326480979948048100129570816)^2
$89$	$ (T^{4} + \cdots - 18\!\cdots\!84)^{4} $ (T^4 + 10773288T^3 + 17588207037528T^2 - 79279993489803488352*T - 185809952080030584773075184)^4
$97$	$ (T^{4} + \cdots - 86\!\cdots\!16)^{4} $ (T^4 - 8884280T^3 - 93035636304744T^2 + 622813229845166544160*T - 867166283048362635880376816)^4
show more
show less

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Level:	\( N \)	\(=\)	\( 384 = 2^{7} \cdot 3 \)
Weight:	\( k \)	\(=\)	\( 8 \)
Character orbit:	\([\chi]\)	\(=\)	384.d (of order \(2\), degree \(1\), minimal)

\(f(q)\)	\(=\)	\( q - \beta_{8} q^{3} - \beta_1 q^{5} + \beta_{10} q^{7} - 729 q^{9}+O(q^{10}) \) q - b8 * q^3 - b1 * q^5 + b10 * q^7 - 729 * q^9	\( q - \beta_{8} q^{3} - \beta_1 q^{5} + \beta_{10} q^{7} - 729 q^{9} + ( - \beta_{11} + 47 \beta_{8}) q^{11} + (\beta_{2} + 4 \beta_1) q^{13} + (\beta_{12} - \beta_{10}) q^{15} + (\beta_{5} + 4830) q^{17} + (\beta_{13} - 4 \beta_{9} - 260 \beta_{8}) q^{19} + (\beta_{4} + \beta_{2} - 11 \beta_1) q^{21} + ( - \beta_{15} - 2 \beta_{14} + \cdots + 4 \beta_{10}) q^{23}+ \cdots + (729 \beta_{11} - 34263 \beta_{8}) q^{99}+O(q^{100}) \) q - b8 * q^3 - b1 * q^5 + b10 * q^7 - 729 * q^9 + (-b11 + 47b8) q^11 + (b2 + 4b1) q^13 + (b12 - b10) * q^15 + (b5 + 4830) * q^17 + (b13 - 4b9 - 260b8) * q^19 + (b4 + b2 - 11b1) q^21 + (-b15 - 2b14 + b12 + 4b10) * q^23 + (b7 - 4b5 - 2b3 - 14779) * q^25 + 729b8 q^27 + (-b6 + b4 - 6b2 + 280b1) * q^29 + (-4b15 + 3b14 + 12b12 + 39b10) * q^31 + (2b7 + 2b5 + 7b3 + 34020) q^33 + (-6b13 + b11 + 115b9 - 1427b8) q^35 + (-3b6 + 12b4 + 7b2 + 121b1) * q^37 + (-9b14 - 9b12 - 54b10) q^39 + (-15b7 + 20b5 - 15b3 - 58182) q^41 + (-5b13 + 30b11 + 203b9 + 2914b8) * q^43 + 729b1 q^45 + (13b15 - 4b14 + 47b12 + 56b10) * q^47 + (7b7 - 28b5 + 28b3 + 72689) q^49 + (9b13 + 36b11 + 54b9 - 4842b8) * q^51 + (b6 + 41b4 + 90b2 + 744b1) q^53 + (2b15 + 45b14 - 138b12 + 132b10) * q^55 + (18b7 - 63b5 + 18b3 - 189540) q^57 + (30b13 - 54b11 + 515b9 + 1518b8) * q^59 + (-9b6 - 54b4 + 73b2 - 2777b1) * q^61 - 729b10 q^63 + (-51b7 + 48b5 - 87b3 + 392688) q^65 + (10b13 - 270b11 + 1067b9 - 746b8) * q^67 + (9b6 + 18b4 - 144b2 + 1413b1) * q^69 + (48b15 - 6b14 - 204b12 + 762b10) * q^71 + (b7 + 86b5 + 106b3 - 170450) * q^73 + (-45b13 - 261b11 + 621b9 + 14866b8) * q^75 + (27b6 - 93b4 - 492b2 + 1525b1) * q^77 + (-22b15 - 60b14 + 282b12 - 2657b10) * q^79 + 531441 * q^81 + (-30b13 + 455b11 + 1368b9 + 15671b8) * q^83 + (-3b6 - 114b4 - 14b2 - 15731b1) * q^85 + (-81b15 + 63b14 - 264b12 + 57b10) * q^87 + (-21b7 - 231b5 + 141b3 - 2693322) q^89 + (-15b13 + 1092b11 + 1440b9 - 63804b8) * q^91 + (36b6 + 26b4 + 269b2 + 7535b1) * q^93 + (61b15 + 80b14 + 1427b12 + 10070b10) * q^95 + (-190b7 - 302b5 - 100b3 + 2221070) q^97 + (729b11 - 34263b8) * q^99
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\)	\(=\)	\( 16 q - 11664 q^{9}+O(q^{10}) \) 16 * q - 11664 * q^9	\( 16 q - 11664 q^{9} + 77280 q^{17} - 236464 q^{25} + 544320 q^{33} - 930912 q^{41} + 1163024 q^{49} - 3032640 q^{57} + 6283008 q^{65} - 2727200 q^{73} + 8503056 q^{81} - 43093152 q^{89} + 35537120 q^{97}+O(q^{100}) \) 16 * q - 11664 * q^9 + 77280 * q^17 - 236464 * q^25 + 544320 * q^33 - 930912 * q^41 + 1163024 * q^49 - 3032640 * q^57 + 6283008 * q^65 - 2727200 * q^73 + 8503056 * q^81 - 43093152 * q^89 + 35537120 * q^97

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Newspace parameters

Newform invariants

$q$-expansion

Character values

Embeddings

Inner twists

Twists

Hecke kernels

Hecke characteristic polynomials

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	384.8.d.f

Level	$384$
Weight	$8$
Character orbit	384.d
Analytic conductor	$119.956$
Analytic rank	$0$
Dimension	$16$
CM	no
Inner twists	$4$

Self dual:	no
Analytic conductor:	\(119.955849786\)
Analytic rank:	\(0\)
Dimension:	\(16\)
Coefficient field:	\(\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)\)
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	\( x^{16} - 8 x^{15} - 1020 x^{14} + 7280 x^{13} + 388150 x^{12} - 2423904 x^{11} - 70542796 x^{10} + \cdots + 694045717832241 \) x^16 - 8x^15 - 1020x^14 + 7280x^13 + 388150x^12 - 2423904x^11 - 70542796x^10 + 375107560x^9 + 6894477923x^8 - 29855519152x^7 - 372292484316x^6 + 1222974198808x^5 + 10528455140834x^4 - 23130795757272x^3 - 133992602927280x^2 + 145766920335192*x + 694045717832241
Coefficient ring:	\(\Z[a_1, \ldots, a_{17}]\)
Coefficient ring index:	\( 2^{108}\cdot 3^{28} \)
Twist minimal:	yes
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

\(\beta_{1}\)	\(=\)	\( ( - 34\!\cdots\!03 \nu^{14} + \cdots + 43\!\cdots\!87 ) / 50\!\cdots\!34 \) (-34269836333569099314503v^14 + 239888854334983695201521v^13 + 33583203933541687597612640v^12 - 204617778707604913623295613v^11 - 11892379406517208403126458561v^10 + 61343277355100737501914805508v^9 + 1889292771523795393966981151761v^8 - 7927491346964761055691673639693v^7 - 146561701892964080189458897214159v^6 + 467691228244957961985655971961530v^5 + 5372359677984236091027991873308753v^4 - 11533577293431612610490392806236207v^3 - 77618925586459457163196497895542714v^2 + 83465002594061287939057139087659737v + 438410128070292095969494341404565987) / 50275082718458648024346446620434
\(\beta_{2}\)	\(=\)	\( ( 20\!\cdots\!52 \nu^{14} + \cdots - 29\!\cdots\!93 ) / 71\!\cdots\!62 \) (20982506462222776173152v^14 - 146877545235559433212064v^13 - 21560694040110576600930635v^12 + 131273572328725732237340642v^11 + 8140522056333629461729214083v^10 - 41909451942842914020646580492v^9 - 1398196848758973044165306580262v^8 + 5845694116985413839553702072534v^7 + 114184377904161037175115604457471v^6 - 363190533130434306791225781808956v^5 - 4225512036498698032686490437082824v^4 + 9063246148775483200094526147727766v^3 + 56343307116676940601556217148619497v^2 - 60936448911652775680700791139409912v - 293366211155643283594238172862505493) / 7182154674065521146335206660062
\(\beta_{3}\)	\(=\)	\( ( 12\!\cdots\!00 \nu^{14} + \cdots - 10\!\cdots\!70 ) / 11\!\cdots\!89 \) (129838300094992068900v^14 - 908868100664944482300v^13 - 122354865121492637527410v^12 + 745944476037600103434360v^11 + 40748546324666364542426412v^10 - 210602217343409004837108510v^9 - 5886536161218329947722991740v^8 + 24818000471924014588784101380v^7 + 411389167199635076485627640844v^6 - 1321923276943159530465199201734v^5 - 13627065761450215395353305447140v^4 + 29486716645177721897719564571280v^3 + 185549475770957380251868034035572v^2 - 200517354778391630357793001519914v - 1024248724679494376525357457686370) / 11157364118610441194928194989
\(\beta_{4}\)	\(=\)	\( ( - 17\!\cdots\!82 \nu^{14} + \cdots + 70\!\cdots\!63 ) / 83\!\cdots\!39 \) (-171968283565675185395882v^14 + 1203777984959726297771174v^13 + 163980404013469367495911367v^12 - 999531537885292646846493464v^11 - 55614288843428828587218917221v^10 + 287262506689734199008950989172v^9 + 8247405804957411038365186850788v^8 - 34724242289813887349732787988540v^7 - 585580253992406550030974969764901v^6 + 1879493159008657432444200747220584v^5 + 18674323307779877122151046047841582v^4 - 40522226878430993678585426936438600v^3 - 192045765659446616926301204285568825v^2 + 212626002347867816941692533503982766v + 707776065535750198244338047745797963) / 8379180453076441337391074436739
\(\beta_{5}\)	\(=\)	\( ( 27\!\cdots\!52 \nu^{14} + \cdots - 23\!\cdots\!50 ) / 11\!\cdots\!89 \) (271631220033806900052v^14 - 1901418540236648300364v^13 - 256026356507311894054986v^12 + 1560876580066947792234648v^11 + 85294542243407771822327940v^10 - 440826063676194853991615982v^9 - 12329136941103431037544129740v^8 + 51978751475380559368614210852v^7 + 862465326097768427211263171652v^6 - 2771190329137813370388630706806v^5 - 28608780519117370220211943743012v^4 + 61897743741664984506716542273776v^3 + 389798797690735401603002779204236v^2 - 421218331296476251527011967772266v - 2364435722927396750515947948374250) / 11157364118610441194928194989
\(\beta_{6}\)	\(=\)	\( ( 19\!\cdots\!97 \nu^{14} + \cdots - 47\!\cdots\!83 ) / 50\!\cdots\!34 \) (1950818802540399680728297v^14 - 13655731617782797765098079v^13 - 1855360960449242922942511234v^12 + 11309690273726633908601342431v^11 + 631234435521194964463663014785v^10 - 3260169800052026123160562217092v^9 - 96296935985426215780133423733155v^8 + 404873727269205539386800371294855v^7 + 7637242616658742963225360801003195v^6 - 24342603601002564183102176801327694v^5 - 322884439041135690489373739285927151v^4 + 686818819604527189013895810349520389v^3 + 6646559821688704583908202980756359996v^2 - 6994094798566295910167444793442449543v - 47425406044636899588714338461824093483) / 50275082718458648024346446620434
\(\beta_{7}\)	\(=\)	\( ( - 18\!\cdots\!80 \nu^{14} + \cdots + 15\!\cdots\!68 ) / 11\!\cdots\!89 \) (-1895408916692800933680v^14 + 13267862416849606535760v^13 + 1790372807492203732051032v^12 - 10914719056372267277271072v^11 - 598729905133070611256854104v^10 + 3094017334403033755281690960v^9 + 87165475207755251204927464272v^8 - 367346608834009476432517017120v^7 - 6166702255477747600643850014520v^6 + 19798935401257686489005713071408v^5 + 207920039003489078625243060322368v^4 - 449273123072474614268055642264672v^3 - 2854317063057881366507528924576280v^2 + 3082315608940257742903969947795648v + 15319160472874119740353249368444168) / 11157364118610441194928194989
\(\beta_{8}\)	\(=\)	\( ( - 2164418201736 \nu^{15} + 16233136513020 \nu^{14} + \cdots - 17\!\cdots\!93 ) / 34\!\cdots\!84 \) (-2164418201736v^15 + 16233136513020v^14 + 2113396887248082v^13 - 13983282337560003v^12 - 745352364059573184v^11 + 4253795753695796979v^10 + 118051414980919048296v^9 - 563366720394684615654v^8 - 9201692779747417702260v^7 + 34865055251715418683183v^6 + 345499499386881349610508v^5 - 952247409878019419133048v^4 - 5367673608387633578036736v^3 + 9021572378882869427785557v^2 + 31572774322038579867674382*v - 17322573362898402393768693) / 344727506127634082750384
\(\beta_{9}\)	\(=\)	\( ( - 12\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!36 ) / 80\!\cdots\!01 \) (-12638099089889855090176v^15 + 94785743174173913176320v^14 + 12163454363279426686895360v^13 - 80500037132791244481327360v^12 - 4206754010058192661924577536v^11 + 24025810148078008266116093952v^10 + 652192772543482186917606461952v^9 - 3116396080349582912093833791744v^8 - 50942079575441658952299964733696v^7 + 193010421382250219122871211738624v^6 + 2002573818478064577082223571103744v^5 - 5496353654994207955779342174195456v^4 - 35258155808869303450296213738076416v^3 + 58482206619774827361473588323979520v^2 + 221619118255719484869569329185878784*v - 120744506559704785377941525321767936) / 80158786161353423569912111375001
\(\beta_{10}\)	\(=\)	\( ( - 43\!\cdots\!48 \nu^{15} + \cdots - 20\!\cdots\!17 ) / 99\!\cdots\!12 \) (-43753092931074306704394673196548v^15 + 328148196983057300282960048974110v^14 + 41111362057772967871197640055839352v^13 - 272200767696433993550409554439063123v^12 - 13639247669571815088715992156450228768v^11 + 78021019838811758262245236726273388714v^10 + 1960429507580694260943824171716653666237v^9 - 9411605208167287810704600037463738103816v^8 - 136451459890237039806222679283034065153226v^7 + 522053102324005837631463761657032481272214v^6 + 4514775628710923054731815231605963112309081v^5 - 12614426861036145223633891629310654364883916v^4 - 61373165537782977758804866492070100303908452v^3 + 104941594522436669809514507251356338286887598v^2 + 366057233801297824019694158637128574565735377*v - 200952113085663317405555667074414796721767417) / 99437840909954898491691612050436927010812
\(\beta_{11}\)	\(=\)	\( ( 10\!\cdots\!32 \nu^{15} + \cdots + 41\!\cdots\!63 ) / 12\!\cdots\!12 \) (1043347659007874556521002193432v^15 - 7825107442559059173907516450740v^14 - 1015274170541986304931833251565974v^13 + 6717962904735056712861180134681721v^12 + 355262802472634902089304654131338432v^11 - 2028104103303244305940417960002766665v^10 - 55166437236492005890183878175467262968v^9 + 263571154222098630208873730349271909650v^8 + 4095999795876402115601480785199766347932v^7 - 15580343312470816227131016002987830213053v^6 - 137294510813194575936386122367624973758756v^5 + 382812386634323469289974336284605877981544v^4 + 1571872174393143081699770354510802833460096v^3 - 2748589609909296019008687429777714031025295v^2 - 7332255030849851306379050650154523953483082*v + 4137366098244939007010737492335707004306863) / 1235800952276403532076060868802589416912
\(\beta_{12}\)	\(=\)	\( ( - 26\!\cdots\!52 \nu^{15} + \cdots - 93\!\cdots\!05 ) / 17\!\cdots\!21 \) (-262603539573342064951784471778952v^15 + 1969526546800065487138383538342140v^14 + 246387916471646809620189505094747774v^13 - 1631392609692171922419497266780716321v^12 - 81526155399075522287194083070371919284v^11 + 466404889937307492577936110885696118331v^10 + 11656778616779996927201102125384696996374v^9 - 55980599249247809408141732495198730653472v^8 - 803788847683649329189319782797705635331900v^7 + 3077804685405844144317508035704491703346779v^6 + 26113489376458404107660912016803462012472426v^5 - 73111215644692375109202956550678763347762682v^4 - 339337626363136049440332502711159687489932100v^3 + 583694585741261585764859213179007436202342929v^2 + 1663311117370848502266965993703927583657365768*v - 931450212996633281305634904312671827886818905) / 174016221592421072360460321088264622268921
\(\beta_{13}\)	\(=\)	\( ( 32\!\cdots\!28 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!72 ) / 77\!\cdots\!57 \) (329368838832063962355185640928v^15 - 2470266291240479717663892306960v^14 - 311556205106593268793217290386456v^13 + 2062581038610003522873814754167524v^12 + 104169400925830444885776065895640696v^11 - 595702521068695209629959709928508824v^10 - 15002511773705349245811178268620991316v^9 + 72013281100866174430802230945001988888v^8 + 1001717516424306545396898416963678244512v^7 - 3846288827659767762616487550499260977928v^6 - 27329759905274481130126123282534632355396v^5 + 78111165554091984265704388094127990893448v^4 + 118920327072610798737757268476441895307960v^3 - 258463713354490573371006844876834115408112v^2 + 339233127060391603260843174731130920896980*v - 123841548050592412278687179601558790922972) / 77237559517275220754753804300161838557
\(\beta_{14}\)	\(=\)	\( ( - 75\!\cdots\!56 \nu^{15} + \cdots - 25\!\cdots\!63 ) / 17\!\cdots\!21 \) (-752414849188301134869178781042156v^15 + 5643111368912258511518840857816170v^14 + 707911053649538630873368121820032608v^13 - 4687009037817170354768261878173757197v^12 - 235368958650387035803946117705670327408v^11 + 1346274663809126943183155540031053929450v^10 + 33951875499334224243241065913835188825119v^9 - 162958238857159321705795713080602455033816v^8 - 2371524524436584314796702183764305918527790v^7 + 9070335218582399164216001631128722572568174v^6 + 78228803352322723716340066657255259823972099v^5 - 218634891454833627379243400629014605240796812v^4 - 1007784410509047345877670088474736718978521532v^3 + 1734957356630621186632539300922007851839598350v^2 + 4522088804857917473244844274301702061283885667*v - 2557713287069633135590383255134294864611310463) / 174016221592421072360460321088264622268921
\(\beta_{15}\)	\(=\)	\( ( - 38\!\cdots\!32 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!31 ) / 34\!\cdots\!42 \) (-3885467108879595917338484247359732v^15 + 29141003316596969380038631855197990v^14 + 3652765238230191209606564499598494532v^13 - 24184945932131296898039921830527383973v^12 - 1212770635454265878842778242920219247848v^11 + 6937245238395903718392033431879908859800v^10 + 174463062673220393541375281780128705839009v^9 - 837514256507078351906257350222059841215880v^8 - 12128866173106582388470992753183792931524786v^7 + 46408527172066447541128144991350034189128996v^6 + 396599977867456775514862493519220228226551333v^5 - 1109510550018317184988018819239076314600686672v^4 - 5002400211231108056422389769112320416928193516v^3 + 8636884000752485576531117323273360123213288632v^2 + 19856646370666876756746282019740820662062455977*v - 11405920950905098829260298376318130184232101931) / 348032443184842144720920642176529244537842

\(\nu\)	\(=\)	\( ( 6\beta_{15} - 12\beta_{14} - 62\beta_{12} + 188\beta_{10} - 27\beta_{9} + 27648 ) / 55296 \) (6b15 - 12b14 - 62b12 + 188b10 - 27*b9 + 27648) / 55296
\(\nu^{2}\)	\(=\)	\( ( 12 \beta_{15} - 24 \beta_{14} - 124 \beta_{12} + 376 \beta_{10} - 54 \beta_{9} + 39 \beta_{7} + \cdots + 14542848 ) / 110592 \) (12b15 - 24b14 - 124b12 + 376b10 - 54b9 + 39b7 + 12b6 + 615b5 - 40b4 - 807b3 + 56b2 + 596b1 + 14542848) / 110592
\(\nu^{3}\)	\(=\)	\( ( 9888 \beta_{15} - 21928 \beta_{14} - 288 \beta_{13} - 46208 \beta_{12} + 8352 \beta_{11} + \cdots + 43573248 ) / 221184 \) (9888b15 - 21928b14 - 288b13 - 46208b12 + 8352b11 + 130144b10 - 43362b9 + 1520928b8 + 117b7 + 36b6 + 1845b5 - 120b4 - 2421b3 + 168b2 + 1788*b1 + 43573248) / 221184
\(\nu^{4}\)	\(=\)	\( ( 4938 \beta_{15} - 10952 \beta_{14} - 144 \beta_{13} - 23042 \beta_{12} + 4176 \beta_{11} + \cdots + 1936935936 ) / 55296 \) (4938b15 - 10952b14 - 144b13 - 23042b12 + 4176b11 + 64884b10 - 21654b9 + 760464b8 + 2637b7 + 2606b6 + 95949b5 - 8708b4 - 168717b3 + 38572b2 + 465218*b1 + 1936935936) / 55296
\(\nu^{5}\)	\(=\)	\( ( 3453552 \beta_{15} - 8292808 \beta_{14} - 364800 \beta_{13} - 13398160 \beta_{12} + \cdots + 19296755712 ) / 221184 \) (3453552b15 - 8292808b14 - 364800b13 - 13398160b12 + 5579520b11 + 40659072b10 - 19488042b9 + 932847360b8 + 26175b7 + 26000b6 + 956415b5 - 86880b4 - 1683135b3 + 385440b2 + 4649200*b1 + 19296755712) / 221184
\(\nu^{6}\)	\(=\)	\( ( 2577822 \beta_{15} - 6192232 \beta_{14} - 273240 \beta_{13} - 9991046 \beta_{12} + \cdots + 642353144832 ) / 55296 \) (2577822b15 - 6192232b14 - 273240b13 - 9991046b12 + 4174200b11 + 30332188b10 - 14561910b9 + 697734360b8 + 494622b7 + 1260049b6 + 32699646b5 - 3790526b4 - 61913982b3 + 22926490b2 + 271746999*b1 + 642353144832) / 55296
\(\nu^{7}\)	\(=\)	\( ( 304967922 \beta_{15} - 746679828 \beta_{14} - 51763824 \beta_{13} - 1133014618 \beta_{12} + \cdots + 2231364049920 ) / 55296 \) (304967922b15 - 746679828b14 - 51763824b13 - 1133014618b12 + 716269680b11 + 3507185332b10 - 2284093827b9 + 116991589680b8 + 1708308b7 + 4387432b6 + 113612436b5 - 13190856b4 - 215226900b3 + 79905504b2 + 947046968*b1 + 2231364049920) / 55296
\(\nu^{8}\)	\(=\)	\( ( 603926685 \beta_{15} - 1478923888 \beta_{14} - 102890256 \beta_{13} - 2242743657 \beta_{12} + \cdots + 112235382065664 ) / 27648 \) (603926685b15 - 1478923888b14 - 102890256b13 - 2242743657b12 + 1422804432b11 + 6943671194b10 - 4534235118b9 + 232356019728b8 + 68572059b7 + 294670234b6 + 5747849691b5 - 858762828b4 - 11060406171b3 + 5606601444b2 + 66036176054*b1 + 112235382065664) / 27648
\(\nu^{9}\)	\(=\)	\( ( 143900998072 \beta_{15} - 353868327288 \beta_{14} - 32705604480 \beta_{13} - 529692128760 \beta_{12} + \cdots + 13\!\cdots\!32 ) / 73728 \) (143900998072b15 - 353868327288b14 - 32705604480b13 - 529692128760b12 + 443473625472b11 + 1645677868496b10 - 1385163792486b9 + 72007688880000b8 + 809234811b7 + 3500979728b6 + 68066634555b5 - 10199748640b4 - 131005413627b3 + 66640512800b2 + 784864244592*b1 + 1329000658808832) / 73728
\(\nu^{10}\)	\(=\)	\( ( 1061175725136 \beta_{15} - 2609731319784 \beta_{14} - 242209149840 \beta_{13} + \cdots + 15\!\cdots\!08 ) / 110592 \) (1061175725136b15 - 2609731319784b14 - 242209149840b13 - 3905548300400b12 + 3283426455120b11 + 12134697880256b10 - 10252905040386b9 + 533096746684560b8 + 90673104123b7 + 526967285082b6 + 8119205378811b5 - 1524380771276b4 - 15676673836731b3 + 10126749233764b2 + 119051461445878*b1 + 158327530169131008) / 110592
\(\nu^{11}\)	\(=\)	\( ( 152441390392872 \beta_{15} - 375229726968440 \beta_{14} - 43374027325728 \beta_{13} + \cdots + 17\!\cdots\!60 ) / 221184 \) (152441390392872b15 - 375229726968440b14 - 43374027325728b13 - 560059958667432b12 + 585603407276448b11 + 1741063807975600b10 - 1820557101744126b9 + 94946021715833376b8 + 975225066321b7 + 5700555954588b6 + 87444415153425b5 - 16488274839080b4 - 168850214811729b3 + 109565139072664b2 + 1288023928113604*b1 + 1705153281736642560) / 221184
\(\nu^{12}\)	\(=\)	\( ( 111422746025514 \beta_{15} - 274269868316848 \beta_{14} - 31866140017008 \beta_{13} + \cdots + 13\!\cdots\!00 ) / 27648 \) (111422746025514b15 - 274269868316848b14 - 31866140017008b13 - 409341606733250b12 + 430196563097136b11 + 1272541674266452b10 - 1337296992324048b9 + 69747326439013872b8 + 7863912887913b7 + 56823463303708b6 + 715395530681289b5 - 164103533562104b4 - 1382259164623113b3 + 1094415767168248b2 + 12859349838614148*b1 + 13946398339225190400) / 27648
\(\nu^{13}\)	\(=\)	\( ( 26\!\cdots\!40 \beta_{15} + \cdots + 35\!\cdots\!08 ) / 110592 \) (26820019856123340b15 - 66030228570320400b14 - 9237800461969248b13 - 98497469187108956b12 + 124606155633274848b11 + 306225327245343320b10 - 386974245535030476b9 + 20195555145957131616b8 + 198151563266163b7 + 1440481234258300b6 + 18034319218137651b5 - 4159881651155464b4 - 34845877776426483b3 + 27745012419579416b2 + 325998921880413028*b1 + 351570190341243230208) / 110592
\(\nu^{14}\)	\(=\)	\( ( 18\!\cdots\!36 \beta_{15} + \cdots + 19\!\cdots\!52 ) / 110592 \) (181015728089643636b15 - 445659217615183192b14 - 62739443079453504b13 - 664778569201598532b12 + 846253648847390784b11 + 2066779343737220168b10 - 2628031179263169654b9 + 137155269564930227520b8 + 11006110955313483b7 + 95470070529060532b6 + 1004814075527053323b5 - 275612232621130008b4 - 1941732673612828107b3 + 1839666758741867976b2 + 21612986600682471404*b1 + 19587299177369311229952) / 110592
\(\nu^{15}\)	\(=\)	\( ( 18\!\cdots\!12 \beta_{15} + \cdots + 28\!\cdots\!88 ) / 221184 \) (18794359334122360512b15 - 46273228816847520056b14 - 7681523842254896160b13 - 69017874909163109344b12 + 103593214225173980064b11 + 214575947354320952288b10 - 321640417831190967846b9 + 16788402043807554614304b8 + 158200444514246139b7 + 1381892342191054276b6 + 14444964444600707643b5 - 3989334212919551288b4 - 27914020416638102523b3 + 26628887404758474472b2 + 312843162055693153884*b1 + 281581642265305007628288) / 221184

\(n\):		e.g. 2-40 or 990-1000
Embeddings:		e.g. 1-3 or 193.16
Significant digits:
Format:

$p$	$F_p(T)$
$2$	\( T^{16} \) T^16
$3$	\( (T^{2} + 729)^{8} \) (T^2 + 729)^8
$5$	\( (T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!00)^{2} \) (T^8 + 371616T^6 + 36963868032T^4 + 1180874777241600*T^2 + 10720051644418560000)^2
$7$	\( (T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!64)^{2} \) (T^8 - 3584928T^6 + 4197967850880T^4 - 1674896085793253376*T^2 + 109960973310053162225664)^2
$11$	\( (T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!96)^{2} \) (T^8 + 126799424T^6 + 4899417907471872T^4 + 67214397887185124212736*T^2 + 232363360252332601040500228096)^2
$13$	\( (T^{8} + \cdots + 17\!\cdots\!24)^{2} \) (T^8 + 318245760T^6 + 25305072659748864T^4 + 391506706869662139678720*T^2 + 1700589349083821300704449921024)^2
$17$	\( (T^{4} + \cdots - 23\!\cdots\!36)^{4} \) (T^4 - 19320T^3 - 275677416T^2 + 5972370032160*T - 23834510905265136)^4
$19$	\( (T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!76)^{2} \) (T^8 + 5744950848T^6 + 9559797621096457728T^4 + 6094191066221672630693019648*T^2 + 1321093910175615793051726717638475776)^2
$23$	\( (T^{8} + \cdots + 32\!\cdots\!44)^{2} \) (T^8 - 17810534016T^6 + 93091757867653847040T^4 - 123413862261986219071581585408*T^2 + 32430824691121481394267219603665977344)^2
$29$	\( (T^{8} + \cdots + 40\!\cdots\!64)^{2} \) (T^8 + 96093574560T^6 + 3002004264469238418816T^4 + 32252420670945691474339142215680*T^2 + 40898519492673201396959384304595764056064)^2
$31$	\( (T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!24)^{2} \) (T^8 - 155053631136T^6 + 6233572247347353548160T^4 - 71334169857738051081859569051648*T^2 + 237609341700523862749370528198594731905024)^2
$37$	\( (T^{8} + \cdots + 41\!\cdots\!64)^{2} \) (T^8 + 815053715712T^6 + 224287459640436320133120T^4 + 22317821818263219152664036249698304*T^2 + 415323506375348260334051119682686685559128064)^2
$41$	\( (T^{4} + \cdots + 31\!\cdots\!76)^{4} \) (T^4 + 232728T^3 - 578540431656T^2 + 18733354746744672*T + 31749598777217103637776)^4
$43$	\( (T^{8} + \cdots + 59\!\cdots\!76)^{2} \) (T^8 + 629422244928T^6 + 118510910520434352834048T^4 + 6115510706479629069164991073763328*T^2 + 59409186881152911065244337901956483084517376)^2
$47$	\( (T^{8} + \cdots + 32\!\cdots\!04)^{2} \) (T^8 - 1639414339200T^6 + 757233670104241697839104T^4 - 95004653380402530512031814611763200*T^2 + 327319717007941478677765223201549000301871104)^2
$53$	\( (T^{8} + \cdots + 29\!\cdots\!04)^{2} \) (T^8 + 6158991470496T^6 + 13260581353579572145929600T^4 + 11366724621715180868147221233935198208*T^2 + 2973742303409738510051626715717833365688362799104)^2
$59$	\( (T^{8} + \cdots + 36\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 + 7502487677504T^6 + 15171378857598067486582272T^4 + 4487395313134749367763847484957147136*T^2 + 360254404713561016079677574104648291204642963456)^2
$61$	\( (T^{8} + \cdots + 27\!\cdots\!64)^{2} \) (T^8 + 17143963828992T^6 + 84048322639831680619929600T^4 + 124176612735495573102519346896451928064*T^2 + 27198408207411883099007990691967959989240268324864)^2
$67$	\( (T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!16)^{2} \) (T^8 + 18631493656128T^6 + 75774541715869582251468288T^4 + 78323494414970225185995182856674623488*T^2 + 18732520067072342299214337103817515513129918857216)^2
$71$	\( (T^{8} + \cdots + 37\!\cdots\!24)^{2} \) (T^8 - 27329684840064T^6 + 222785254673736106732738560T^4 - 522438172174821723076189429434304561152*T^2 + 370666300376626584309994193698129919569388475777024)^2
$73$	\( (T^{4} + \cdots + 37\!\cdots\!64)^{4} \) (T^4 + 681800T^3 - 13762210651752T^2 - 7458444222743515360*T + 37017153532678571447259664)^4
$79$	\( (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!44)^{2} \) (T^8 - 64280992475808T^6 + 396233118120982450654074240T^4 - 681342994625987378189840730821540407296*T^2 + 156964117254516920810387231306735996532390208671744)^2
$83$	\( (T^{8} + \cdots + 57\!\cdots\!16)^{2} \) (T^8 + 47708870931008T^6 + 627793282412281820602295808T^4 + 3225477105526904301715979903324775661568*T^2 + 5774121883528628713302891326480979948048100129570816)^2
$89$	\( (T^{4} + \cdots - 18\!\cdots\!84)^{4} \) (T^4 + 10773288T^3 + 17588207037528T^2 - 79279993489803488352*T - 185809952080030584773075184)^4
$97$	\( (T^{4} + \cdots - 86\!\cdots\!16)^{4} \) (T^4 - 8884280T^3 - 93035636304744T^2 + 622813229845166544160*T - 867166283048362635880376816)^4
show more
show less

\(n\)	\(127\)	\(133\)	\(257\)
\(\chi(n)\)	\(1\)	\(-1\)	\(1\)