# Properties

 Label 384.6.c.a Level $384$ Weight $6$ Character orbit 384.c Analytic conductor $61.587$ Analytic rank $0$ Dimension $20$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$384 = 2^{7} \cdot 3$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$6$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 384.c (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$61.5873868082$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$20$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{20} + \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{20} + 306 x^{18} + 37827 x^{16} + 2442168 x^{14} + 88368509 x^{12} + 1774000974 x^{10} + 18093172325 x^{8} + 74958811500 x^{6} + 79355888475 x^{4} + \cdots + 2870280625$$ x^20 + 306*x^18 + 37827*x^16 + 2442168*x^14 + 88368509*x^12 + 1774000974*x^10 + 18093172325*x^8 + 74958811500*x^6 + 79355888475*x^4 + 28497132750*x^2 + 2870280625 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$2^{88}\cdot 3^{14}\cdot 41^{2}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{19}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{3} q^{3} - \beta_1 q^{5} + \beta_{9} q^{7} + ( - \beta_{11} + \beta_{6}) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b3 * q^3 - b1 * q^5 + b9 * q^7 + (-b11 + b6) * q^9 $$q + \beta_{3} q^{3} - \beta_1 q^{5} + \beta_{9} q^{7} + ( - \beta_{11} + \beta_{6}) q^{9} + ( - \beta_{4} + \beta_{3} - 47) q^{11} + (\beta_{7} + 3 \beta_{3}) q^{13} + ( - \beta_{13} - \beta_{7} + \beta_{6} - \beta_{3} - \beta_1 - 42) q^{15} + ( - \beta_{19} + \beta_{13} + 2 \beta_{9} - \beta_{6}) q^{17} + (\beta_{19} - 2 \beta_{11} - \beta_{10} + \beta_{8} + 5 \beta_{6} - 4 \beta_{3} - 6 \beta_1 - 1) q^{19} + ( - \beta_{18} - \beta_{11} + \beta_{10} + 4 \beta_{9} - \beta_{8} + \beta_{7} - 2 \beta_{4} + \beta_1 - 81) q^{21} + (\beta_{18} + \beta_{16} + \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{13} + \beta_{12} - 5 \beta_{11} - \beta_{10} + \beta_{9} + \cdots - 15) q^{23}+ \cdots + ( - 6 \beta_{19} + 44 \beta_{18} + 3 \beta_{17} + 13 \beta_{16} - 35 \beta_{15} + \cdots - 18919) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b3 * q^3 - b1 * q^5 + b9 * q^7 + (-b11 + b6) * q^9 + (-b4 + b3 - 47) * q^11 + (b7 + 3*b3) * q^13 + (-b13 - b7 + b6 - b3 - b1 - 42) * q^15 + (-b19 + b13 + 2*b9 - b6) * q^17 + (b19 - 2*b11 - b10 + b8 + 5*b6 - 4*b3 - 6*b1 - 1) * q^19 + (-b18 - b11 + b10 + 4*b9 - b8 + b7 - 2*b4 + b1 - 81) * q^21 + (b18 + b16 + b15 + b14 - b13 + b12 - 5*b11 - b10 + b9 + 2*b7 + b6 + b5 - 2*b4 + 20*b3 + 3*b1 - 15) * q^23 + (-b19 - b17 - b16 - b15 - b14 - 2*b13 - b12 + 3*b10 - b7 - b6 - b5 - 4*b4 - 24*b3 - 624) * q^25 + (-2*b19 + b17 - b16 - b15 - b14 + b11 - 2*b10 + b8 + b7 + 13*b6 - b5 - b4 - b2 + 10*b1 - 101) * q^27 + (-b19 - 2*b18 + b17 + b16 + b15 + b14 - b11 - 6*b10 - 12*b9 + 2*b8 - b7 + 12*b6 + 2*b5 - 44*b3 - 7*b1 - 4) * q^29 + (b19 - b18 - b17 + 2*b16 + 2*b15 + 3*b14 + b13 + 8*b11 - b10 + 2*b8 + b7 - 20*b6 + b5 - 23*b3 + 3*b2 + 24*b1 - 3) * q^31 + (-2*b18 - 3*b17 + b16 + b15 - b13 + 3*b12 + 10*b10 - 18*b9 - 2*b8 + b7 - 15*b6 - b5 + 8*b4 - 44*b3 - b2 + 7*b1 + 137) * q^33 + (2*b18 + 2*b16 + b15 - 2*b13 + 7*b12 + 15*b11 - 5*b10 + 2*b9 - 4*b7 - 2*b6 + 4*b5 + 3*b4 + 9*b3 - 6*b2 + 3*b1 + 357) * q^35 + (-b19 - 4*b18 - b17 - 5*b16 - 4*b15 - 3*b14 + 2*b13 - 7*b12 + 4*b11 - 2*b10 - 4*b9 - 2*b7 - 4*b6 + 12*b4 + 6*b3 - 9*b1 - 753) * q^37 + (-2*b19 + b18 + 4*b17 - 3*b16 + 3*b14 + 6*b13 - 6*b12 - b10 - 6*b9 + 2*b8 - 3*b7 - 7*b6 - 5*b5 - 2*b4 - 2*b3 + 2*b2 - 65*b1 + 648) * q^39 + (3*b19 - 4*b18 - 2*b17 + 6*b16 + 3*b15 + 3*b14 - b13 + 3*b12 - 6*b11 + 9*b10 + 46*b9 + 4*b8 + 2*b7 + 14*b6 + 4*b5 + 91*b3 - 3*b2 - 14*b1 + 8) * q^41 + (-b19 - 2*b18 - 4*b17 + 6*b16 - 3*b15 + 2*b14 - 2*b13 + 9*b12 - 19*b11 + b10 + 14*b9 - 5*b8 + 4*b7 + 27*b6 + 2*b5 - 21*b3 + 6*b2 - 77*b1 + 2) * q^43 + (b19 - b18 - 5*b17 + 3*b16 + 9*b15 + b14 - 4*b13 + 12*b12 - 12*b11 - 23*b10 + 56*b9 + 3*b8 + b7 - 14*b6 + 4*b5 - 6*b4 - 55*b3 - 2*b2 + 3*b1 - 597) * q^45 + (-b19 - 6*b18 - b17 - 7*b16 + 4*b15 + 2*b14 + 4*b13 - 2*b12 - 26*b11 + 12*b10 - 6*b9 - 3*b7 - 10*b6 + 4*b5 + 6*b4 - 130*b3 - 15*b2 + 2*b1 - 1851) * q^47 + (b19 - 8*b18 + b17 - 7*b16 - 9*b15 - b14 + 10*b13 - 15*b12 + 6*b11 + 41*b10 - 8*b9 + 5*b7 - 7*b6 + 3*b5 + 4*b4 - 354*b3 - 6*b2 - 20*b1 - 1706) * q^49 + (7*b19 + 2*b18 + b17 + b16 - 14*b15 + 3*b14 - 2*b13 - 3*b12 + 12*b11 + 3*b10 - 6*b9 - 6*b8 - 3*b7 + 10*b6 - 9*b5 + 3*b4 + 16*b3 - 3*b2 + 157*b1 - 97) * q^51 + (-10*b17 + 10*b16 + b15 + 2*b14 + 2*b13 + 9*b12 - 3*b11 - 34*b10 - 56*b9 - 8*b8 + 10*b7 - 36*b6 - 365*b3 - 6*b2 + 30*b1 - 45) * q^53 + (5*b19 + 7*b18 - b17 - 6*b16 - 6*b15 + 3*b14 - 7*b13 + 24*b11 + 15*b10 - 13*b9 - 10*b8 + b7 - 34*b6 - 7*b5 + 29*b3 + 27*b2 + 224*b1 + 13) * q^55 + (-7*b19 - 2*b18 + 8*b17 - 4*b16 + 20*b15 - 3*b14 - b13 + 12*b12 - 18*b11 + 45*b10 - 78*b9 + 6*b8 + 16*b6 + 12*b5 - 12*b4 + 44*b3 + b2 - 7*b1 + 784) * q^57 + (-2*b19 - 12*b18 - 2*b17 - 14*b16 - 12*b15 + 8*b13 - 12*b12 + 16*b11 + 21*b10 - 12*b9 + 10*b7 - 28*b6 + 4*b5 + 8*b4 - 225*b3 - 42*b2 - 20*b1 - 3185) * q^59 + (-3*b19 + 4*b18 - 3*b17 + b16 - 20*b15 + 3*b14 - 10*b13 - 17*b12 + 4*b11 - 70*b10 + 4*b9 - 4*b7 - 4*b6 - 12*b5 - 28*b4 + 648*b3 - 12*b2 - 7*b1 - 3595) * q^61 + (-b19 - 8*b18 - 13*b17 + 7*b16 - 20*b15 + 10*b14 - 8*b13 + 14*b11 + 22*b10 + 17*b9 - 12*b8 + 23*b7 - 32*b6 - 8*b5 + 6*b4 - 146*b3 - 7*b2 - 250*b1 - 1195) * q^63 + (-7*b19 + 4*b17 - 4*b16 - 7*b15 - b14 - 13*b13 + 3*b12 + 6*b11 + 103*b10 + 62*b9 - 16*b8 - 4*b7 + 86*b6 + 863*b3 + 15*b2 + 16*b1 + 114) * q^65 + (-8*b19 + 14*b18 + 12*b17 - 26*b16 - 11*b15 + 2*b14 + 14*b13 - 15*b12 + 35*b11 + 3*b10 - 50*b9 + 4*b8 - 12*b7 + 20*b6 - 14*b5 - 30*b3 + 54*b2 - 315*b1 + 12) * q^67 + (-18*b19 + 3*b18 + 12*b17 - 16*b16 + 11*b15 - 12*b14 + 14*b13 - 3*b12 - 2*b11 - 113*b10 + 44*b9 + 3*b8 - 16*b7 - 50*b6 - 20*b5 + 30*b4 - 32*b3 + 2*b2 - 7*b1 + 4186) * q^69 + (7*b19 + 11*b18 + 7*b17 + 18*b16 - 17*b15 + 23*b14 + 3*b13 + 13*b12 + 55*b11 - 29*b10 + 11*b9 - 25*b7 - 17*b6 + 17*b5 + 20*b4 + 24*b3 - 75*b2 + 3*b1 - 1788) * q^71 + (3*b19 + 8*b18 + 3*b17 + 11*b16 - 24*b15 - 2*b13 - 24*b12 + 28*b11 + 118*b10 + 8*b9 + 15*b7 + 22*b6 - 15*b5 + 12*b4 - 969*b3 + 33*b2 - 22*b1 + 2549) * q^73 + (-5*b19 - 16*b18 - 14*b17 + 2*b16 + 14*b15 + 24*b14 + 12*b13 + 18*b12 - 4*b11 + 11*b10 - 8*b9 + 9*b8 - 10*b7 - 71*b6 - 4*b5 + 9*b4 - 548*b3 - 10*b2 + 372*b1 - 5846) * q^75 + (-4*b19 + 8*b18 + 14*b17 - 22*b16 - 13*b15 - 6*b14 - 2*b13 - 9*b12 - 9*b11 - 158*b10 - 40*b9 - 14*b7 + 240*b6 - 8*b5 - 1395*b3 + 30*b2 - 5*b1 - 139) * q^77 + (-35*b19 - 17*b18 + 9*b17 + 8*b16 - 13*b15 + 19*b14 + 13*b13 + 21*b12 - 57*b11 - 29*b10 + 28*b9 + 4*b8 - 9*b7 + 219*b6 + 17*b5 - 314*b3 + 75*b2 + 341*b1 + 10) * q^79 + (18*b19 + 10*b18 + 4*b16 + 10*b15 + 17*b14 + 22*b13 + 12*b12 - 15*b11 + 175*b10 + 10*b8 + 12*b7 - 198*b6 - 34*b5 - 52*b4 - 38*b3 + b2 - 37*b1 + 2774) * q^81 + (14*b19 + 18*b18 + 14*b17 + 32*b16 + 31*b15 + 56*b14 + 10*b13 + 49*b12 - 107*b11 - 36*b10 + 18*b9 + 30*b7 - 10*b6 + 8*b5 - 29*b4 + 266*b3 - 108*b2 + 77*b1 + 11202) * q^83 + (10*b19 + 16*b18 + 10*b17 + 26*b16 + 2*b15 + 4*b14 + 4*b13 + 2*b12 + 10*b11 - 256*b10 + 16*b9 + 14*b7 + 48*b6 + 42*b5 - 56*b4 + 2536*b3 + 66*b2 + 2*b1 + 1756) * q^85 + (29*b19 + 24*b18 - b17 + 11*b16 + 17*b15 + 24*b14 - 17*b13 + 75*b12 + 29*b11 - 50*b10 + 4*b9 + 14*b8 - 6*b7 + 16*b6 + 6*b5 + 22*b4 - 86*b3 - 25*b2 - 364*b1 + 11230) * q^87 + (12*b19 + 24*b18 - 8*b17 - 16*b16 - b15 - 23*b14 + 12*b13 - 15*b12 + 14*b11 + 269*b10 - 64*b9 - 8*b8 + 8*b7 + 75*b6 - 24*b5 + 2469*b3 - 51*b2 + 72*b1 + 238) * q^89 + (5*b19 - 30*b18 + 30*b16 + 9*b15 + 62*b14 - 22*b13 + 21*b12 + 85*b11 - 10*b10 - 14*b9 + 13*b8 - 65*b6 + 30*b5 - 442*b3 + 138*b2 - 365*b1 + 11) * q^91 + (31*b19 + 8*b18 + 7*b17 + 19*b16 + 40*b15 + 39*b14 + 18*b13 + 51*b12 - 24*b11 - 282*b10 - 132*b9 - 12*b8 + 26*b7 - 382*b6 + 42*b5 + 36*b4 + 150*b3 + 6*b2 + 102*b1 + 7331) * q^93 + (-16*b19 - 5*b18 - 16*b17 - 21*b16 + b15 + 7*b14 - 27*b13 + 61*b12 + 99*b11 + 29*b10 - 5*b9 + 54*b7 - 109*b6 - 33*b5 - 70*b4 - 490*b3 - 204*b2 + 35*b1 - 21035) * q^95 + (-6*b19 + 48*b18 - 6*b17 + 42*b16 + 3*b15 + 31*b14 - 60*b13 + 69*b12 + 30*b11 + 243*b10 + 48*b9 - 54*b7 - 13*b6 + 54*b5 + 40*b4 - 2545*b3 - 99*b2 + 94*b1 + 106) * q^97 + (-6*b19 + 44*b18 + 3*b17 + 13*b16 - 35*b15 + 59*b14 - 16*b13 - 6*b12 + 43*b11 - 39*b10 + 92*b9 + 11*b8 + 15*b7 - 179*b6 + 23*b5 - 32*b4 + 203*b3 + 5*b2 + 344*b1 - 18919) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$20 q - 2 q^{3}+O(q^{10})$$ 20 * q - 2 * q^3 $$20 q - 2 q^{3} - 948 q^{11} - 852 q^{15} - 1640 q^{21} - 328 q^{23} - 12500 q^{25} - 2030 q^{27} + 2836 q^{33} + 7184 q^{35} - 15056 q^{37} + 12980 q^{39} - 11800 q^{45} - 36640 q^{47} - 33388 q^{49} - 1936 q^{51} + 15404 q^{57} - 62908 q^{59} - 73264 q^{61} - 23608 q^{63} + 84024 q^{69} - 34888 q^{71} + 52568 q^{73} - 115698 q^{75} + 55444 q^{81} + 225172 q^{83} + 30112 q^{85} + 225700 q^{87} + 148016 q^{93} - 418616 q^{95} + 7600 q^{97} - 378260 q^{99}+O(q^{100})$$ 20 * q - 2 * q^3 - 948 * q^11 - 852 * q^15 - 1640 * q^21 - 328 * q^23 - 12500 * q^25 - 2030 * q^27 + 2836 * q^33 + 7184 * q^35 - 15056 * q^37 + 12980 * q^39 - 11800 * q^45 - 36640 * q^47 - 33388 * q^49 - 1936 * q^51 + 15404 * q^57 - 62908 * q^59 - 73264 * q^61 - 23608 * q^63 + 84024 * q^69 - 34888 * q^71 + 52568 * q^73 - 115698 * q^75 + 55444 * q^81 + 225172 * q^83 + 30112 * q^85 + 225700 * q^87 + 148016 * q^93 - 418616 * q^95 + 7600 * q^97 - 378260 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{20} + 306 x^{18} + 37827 x^{16} + 2442168 x^{14} + 88368509 x^{12} + 1774000974 x^{10} + 18093172325 x^{8} + 74958811500 x^{6} + 79355888475 x^{4} + \cdots + 2870280625$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 87\!\cdots\!54 \nu^{19} + \cdots + 43\!\cdots\!50 \nu ) / 12\!\cdots\!00$$ (-877630987274709872248495160216654*v^19 - 269205113828240445632357121202158969*v^17 - 33412654397875138212725105610853638778*v^15 - 2171869530692738508045271019117295249037*v^13 - 79518401422094523042277315092170024939671*v^11 - 1630867407655517482108380785495308722325151*v^9 - 17350894303583371221619898228006582318529605*v^7 - 78995769934523043208374840086012045763245150*v^5 - 98694134946189134883430019200976312334579525*v^3 + 43540949605520342404406877136411693907578250*v) / 1217492191138047554733671849579249747602500 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 12\!\cdots\!64 \nu^{19} + \cdots + 61\!\cdots\!00 ) / 11\!\cdots\!75$$ (12288103926572895410995779943228064*v^19 + 542242648158324217265528033074724990*v^18 + 3745229006620921328799155084873047054*v^17 + 165535732833230955377646427604766476890*v^16 + 460320081285501684920837806025648223848*v^15 + 20398817312776091609057282520673136046680*v^14 + 29462821452820452763742525500886320705042*v^13 + 1311355918101363992885450924295924888889720*v^12 + 1051261047790030824201269801028815786880486*v^11 + 47161535267410856356398959264184401196572010*v^10 + 20568070425325550321020180724426182152405366*v^9 + 937673123597763607916436922060052046914106810*v^8 + 197657689962522156719372747078666728957751230*v^7 + 9388640712122762203303327148174784081191980300*v^6 + 652058055074909713841617223298446766365917400*v^5 + 36991164201275960618669344485084172768695446000*v^4 - 584900833642064158270808968625883379992004850*v^3 + 30500202457632135302900452907641614175298835250*v^2 - 4370055467179721344160893110895653590722004500*v + 6117376549920223125527749348657921593109602500) / 11870548863595963658653300533397685039124375 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 45\!\cdots\!26 \nu^{19} + \cdots + 13\!\cdots\!25 ) / 94\!\cdots\!00$$ (-459738277028909019906119559793272526*v^19 + 500626779656902543447258376068941895*v^18 - 140595451277343024735190672506828363911*v^17 + 152879138261640033862819312717529149595*v^16 - 17364187325365027254825570980952581634382*v^15 + 18841451611904064019797597367624640108140*v^14 - 1119431893418397567686082596759255107035803*v^13 + 1210780796114610321866152245423741994499810*v^12 - 40406514319058355671144866777899867986372349*v^11 + 43477452574733832675926711119914604955754855*v^10 - 807426980071764012166909002404529840615133869*v^9 + 860693710126092250394203632903524417745099255*v^8 - 8150966009791279669416616617295932230126083595*v^7 + 8514057634797048550657274968985432149625965400*v^6 - 32732936646341436089893949714163816009457307350*v^5 + 32121606488581784769012711483608513044355885500*v^4 - 29386905863089041723011114776871102909645576975*v^3 + 18992470069256714618876232098479434582437853875*v^2 - 6772566373714727159301714422096992369624510750*v + 1341596904113089647056239598536072152337478125) / 94964390908767709269226404267181480312995000 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 45\!\cdots\!26 \nu^{19} + \cdots + 15\!\cdots\!75 ) / 94\!\cdots\!00$$ (-459738277028909019906119559793272526*v^19 + 18044070660698168885105992794880404745*v^18 - 140595451277343024735190672506828363911*v^17 + 5515034860562242482374702121885596468045*v^16 - 17364187325365027254825570980952581634382*v^15 + 680542993340150289908370598224831677034940*v^14 - 1119431893418397567686082596759255107035803*v^13 + 43813150578552073869110747293970982354364310*v^12 - 40406514319058355671144866777899867986372349*v^11 + 1577829992094647404448876885456817351537913305*v^10 - 807426980071764012166909002404529840615133869*v^9 + 31395674890293626350996881378647017860526111305*v^8 - 8150966009791279669416616617295932230126083595*v^7 + 314033221223308452313519870862794562524590219800*v^6 - 32732936646341436089893949714163816009457307350*v^5 + 1227022363309880371621588656281782352444798057500*v^4 - 29386905863089041723011114776871102909645576975*v^3 + 943480562469180288049917732969540788382163905125*v^2 - 6772566373714727159301714422096992369624510750*v + 150158889722822227351826759038639176336918701875) / 94964390908767709269226404267181480312995000 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 45\!\cdots\!26 \nu^{19} + \cdots - 11\!\cdots\!25 ) / 94\!\cdots\!00$$ (459738277028909019906119559793272526*v^19 - 49486911998447377443301242341276979335*v^18 + 140595451277343024735190672506828363911*v^17 - 15104118524338860134629311720148330107835*v^16 + 17364187325365027254825570980952581634382*v^15 - 1860247038672090886211942203246286901252620*v^14 + 1119431893418397567686082596759255107035803*v^13 - 119438934976458710289947945499277988816284930*v^12 + 40406514319058355671144866777899867986372349*v^11 - 4283783168123404807717472095133844191295264615*v^10 + 807426980071764012166909002404529840615133869*v^9 - 84646411677551811354579659554744569062559796215*v^8 + 8150966009791279669416616617295932230126083595*v^7 - 834356548054714940883239690890139490009928379800*v^6 + 32732936646341436089893949714163816009457307350*v^5 - 3116851220361138421132626235104774797429463513500*v^4 + 29386905863089041723011114776871102909645576975*v^3 - 1734146772326009211715185644046020089558775417875*v^2 + 6772566373714727159301714422096992369624510750*v - 119330807572219291782744404742579423777059298125) / 94964390908767709269226404267181480312995000 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 46\!\cdots\!64 \nu^{19} + \cdots - 31\!\cdots\!00 \nu ) / 50\!\cdots\!75$$ (461227691633996115064*v^19 + 140717748754952081668404*v^17 + 17319054432688388812793948*v^15 + 1110616425664310628186808492*v^13 + 39741797741560917372468840536*v^11 + 781627306482316294778866975016*v^9 + 7618122809732203136442633426880*v^7 + 27347879925353439655251820064900*v^5 + 9161439551900211568500471993900*v^3 - 3176129755312840129066859484500*v) / 50585658082792434405556854375 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!78 \nu^{19} + \cdots + 32\!\cdots\!25 ) / 94\!\cdots\!00$$ (1379214831086727059718358679379817578*v^19 + 30710333501854084538220306234567919655*v^18 + 421786353832029074205572017520485091733*v^17 + 9387360400717884849228189374848180454155*v^16 + 52092561976095081764476712942857744903146*v^15 + 1158516438640957735039266017862368850989660*v^14 + 3358295680255192703058247790277765321107409*v^13 + 74593943583627811645448489726157452804067490*v^12 + 121219542957175067013434600333699603959117047*v^11 + 2686582002542732832242891906174039317455922695*v^10 + 2422280940215292036500727007213589521845401607*v^9 + 53457170782969006421056120694959481781120489495*v^8 + 24452898029373839008249849851887796690378250785*v^7 + 534531228249288295890000712970218085725103193400*v^6 + 98198809939024308269681849142491448028371922050*v^5 + 2085931966998108908068389252183502435750041411500*v^4 + 88160717589267125169033344330613308728936730925*v^3 + 1602404612350367501053237824057550544780993939875*v^2 + 20317699121144181477905143266290977108873532250*v + 324682403679033959591862551975992690340751228125) / 94964390908767709269226404267181480312995000 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 22\!\cdots\!74 \nu^{19} + \cdots + 31\!\cdots\!75 ) / 94\!\cdots\!00$$ (2278038552145837694211659191227700974*v^19 + 28750364715451812186803511234964339925*v^18 + 686866831958377725833598112317559878189*v^17 + 8786834804202697271936053754051307379825*v^16 + 83025749154460969091741021324706700287468*v^15 + 1084256838002803281777836135978040299778500*v^14 + 5171721095721457193343750572385320582115897*v^13 + 69809694592109911923626538093138627798404950*v^12 + 175856177107668054700624862515000693505473701*v^11 + 2514764612946085546085067395520614097557739525*v^10 + 3117217597174926598731539586739378039689338781*v^9 + 50075891074709100240798603965889191181514547925*v^8 + 22780775653615317359950348345694532161443875555*v^7 + 501798089495423871108750252726042882751527124600*v^6 - 11080598851498638099775581907201693330898592600*v^5 + 1971727898083774248738425984330328000211922790500*v^4 - 478399917615331736580495145712121909700970808975*v^3 + 1574844198841391992964920151359464832010610615625*v^2 - 231999065512259402790233025171387779144116467000*v + 316429201811621432767945236085299180620024984375) / 94964390908767709269226404267181480312995000 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 61\!\cdots\!54 \nu^{19} + \cdots - 73\!\cdots\!25 \nu ) / 18\!\cdots\!00$$ (-61670906658713728331779538678697554*v^19 - 18832730626206506540622198288695288626*v^17 - 2321157422527040584832220386415447831875*v^15 - 149188799136137433448634317033730801444326*v^13 - 5359587049502738028873899912165472091125927*v^11 - 106214770819440972221956369823521409285532219*v^9 - 1053781776487993880508333989567705250047887753*v^7 - 4022569530728140015634171216848892386890886925*v^5 - 2719932393311839702194392158113783588895884880*v^3 - 731189776330120113372100961942491460879570525*v) / 1899287818175354185384528085343629606259900 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 45\!\cdots\!26 \nu^{19} + \cdots - 13\!\cdots\!25 ) / 10\!\cdots\!00$$ (-459738277028909019906119559793272526*v^19 - 500626779656902543447258376068941895*v^18 - 140595451277343024735190672506828363911*v^17 - 152879138261640033862819312717529149595*v^16 - 17364187325365027254825570980952581634382*v^15 - 18841451611904064019797597367624640108140*v^14 - 1119431893418397567686082596759255107035803*v^13 - 1210780796114610321866152245423741994499810*v^12 - 40406514319058355671144866777899867986372349*v^11 - 43477452574733832675926711119914604955754855*v^10 - 807426980071764012166909002404529840615133869*v^9 - 860693710126092250394203632903524417745099255*v^8 - 8150966009791279669416616617295932230126083595*v^7 - 8514057634797048550657274968985432149625965400*v^6 - 32732936646341436089893949714163816009457307350*v^5 - 32121606488581784769012711483608513044355885500*v^4 - 29386905863089041723011114776871102909645576975*v^3 - 18992470069256714618876232098479434582437853875*v^2 - 6772566373714727159301714422096992369624510750*v - 1352148503102952725863931421232425650150033125) / 10551598989863078807691822696353497812555000 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 29\!\cdots\!96 \nu^{19} + \cdots + 76\!\cdots\!75 ) / 24\!\cdots\!00$$ (-29680063568700606905866091121373096*v^19 + 6734542918909049369302897908637179*v^18 - 9074179715415279108911641639931744381*v^17 + 2060547460577599133223161561813762919*v^16 - 1120280191281962803640489636171490851047*v^15 + 254671750956916632871614013668361533678*v^14 - 72183157490921698433843623570876427437013*v^13 + 16436400821581938501205566573602386205262*v^12 - 2603365389232905213869272721215295260305954*v^11 + 594359381162898669557181898490078791459521*v^10 - 51950721800433409047782229808621831422546174*v^9 + 11915699307607621221462839285225340587597601*v^8 - 523002418766536066325803921594659514282412570*v^7 + 121120964176053592519631413616354604885867630*v^6 - 2084546989431128777693809812700006122359936125*v^5 + 495997842565408052002512716305820470451423850*v^4 - 1808717367317335446355254020995454094016034975*v^3 + 485486477331264894891213019727056604277799275*v^2 - 407469304307576730357060284831221209425585125*v + 76640598697321299549429926789576415000957375) / 243498438227609510946734369915849949520500 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!26 \nu^{19} + \cdots + 42\!\cdots\!75 ) / 47\!\cdots\!00$$ (16514858264395033338150375217081151326*v^19 + 8336922456072879441190480475183613955*v^18 + 5048655236186143969518615011700557830736*v^17 + 2549653424359578668838034297520427646655*v^16 + 623210429888605837144743520702945493070757*v^15 + 314845811952708184109636342935824066263710*v^14 + 40147033417853117241781914425470017115075628*v^13 + 20285790705083937286326353496208384412479790*v^12 + 1447462911039464465898030158726793841409159499*v^11 + 731131446518570285852421499588240010192888745*v^10 + 28867109845417088634018633773693154767228468919*v^9 + 14556596998780970990078412113768730124992068745*v^8 + 290235524548897331761787889140831896040904869945*v^7 + 145551994552926190070931020862658988674779063950*v^6 + 1152147713237681387195711712702259203278224671475*v^5 + 566205603558511498993814502271814768703109776250*v^4 + 973859114970725762711395583019633391216545163850*v^3 + 419085123380285477403323297947535906706892059875*v^2 + 180110128007424477144489367666771991874734543875*v + 42102330036073854075990932411979423144466174375) / 47482195454383854634613202133590740156497500 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!64 \nu^{19} + \cdots - 13\!\cdots\!50 ) / 47\!\cdots\!00$$ (16533909350525160948727523116856424164*v^19 - 13000277568493633197991771373286024890*v^18 + 5048598516851899627341567117537862066879*v^17 - 3972001738130185058668042149712109025490*v^16 + 622141520179017142112385803492392357589273*v^15 - 489910065157964314118482596077420752025180*v^14 + 39974211003119893514470731105866717344695667*v^13 - 31521602965924525751008478696423738265399820*v^12 + 1435143723834760485817885078396858809459766686*v^11 - 1134275779256346873605049535148962832499043710*v^10 + 28402117023508044890911542065642215455932154666*v^9 - 22542557082702808470014303743965523805956957710*v^8 + 280805815447476335779893835635367179235839213130*v^7 - 224947012806043655848362062475106725844340100100*v^6 + 1058303618385784622154604805450690215216040146775*v^5 - 872728806662832446010764811514915299240795807500*v^4 + 628228914886455763440792979005588677646117894025*v^3 - 645563548434644474022077578232378926793058225250*v^2 + 44712098883739605102583291473992664528457269875*v - 131678759674138133677335545591054968840482811250) / 47482195454383854634613202133590740156497500 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!62 \nu^{19} + \cdots - 74\!\cdots\!75 ) / 31\!\cdots\!00$$ (-11625219114154205296794731749476066962*v^19 - 5462532584670415361810579320759474045*v^18 - 3554507958978621992073574100128642774107*v^17 - 1669261957506191203389746491792911904745*v^16 - 438884492717722643401607577868896030263284*v^15 - 205988166539694027632994933393172166183440*v^14 - 28283705872592916640944843723711600352095511*v^13 - 13268701276884036992955321621801103747670510*v^12 - 1020372374025216860751231820290361278032719363*v^11 - 478660083068615833950712481164862123374524705*v^10 - 20372145386921657700366602683503714311631701003*v^9 - 9566426588370804388519391799007725951240621105*v^8 - 205322360503715404153838071453179275798716701365*v^7 - 96804128821251853057111043588820272106146321900*v^6 - 821322528119654060687141170619302652678989602200*v^5 - 393003652744971470923296580789117826492551213000*v^4 - 731166918711726684874909609670271134504444539575*v^3 - 376363935612480247574148004659246685323418837625*v^2 - 203765618250134923576489356403009336682697904000*v - 74804055178977822887330947441589958138237761875) / 31654796969589236423075468089060493437665000 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 44\!\cdots\!06 \nu^{19} + \cdots + 34\!\cdots\!25 ) / 94\!\cdots\!00$$ (-44996224380604785019459262908794183606*v^19 + 12717995370463202631936016933789270595*v^18 - 13755838013782987061488637080027555934391*v^17 + 3882690164186174347796065703897810381095*v^16 - 1698088134659507934183511012256078415859542*v^15 + 478304238155750463884339476916737958710340*v^14 - 109395524327190060836821393500849947008197243*v^13 + 30713075293819528703335219208050655941434010*v^12 - 3944442402887896948078923914928263440378719069*v^11 + 1101324116622795700446648356467691401140618555*v^10 - 78675220515277840445234792473884719549523717789*v^9 + 21741044035417390575361482007212403272539623755*v^8 - 791239588670855506104769572259092421461231416595*v^7 + 213650417991309118532091294513208475270813899600*v^6 - 3143840018944951636411649964544975670716748617350*v^5 + 789195647823474451250451430992234897369426066500*v^4 - 2674806766532498638703443807506688829646892341975*v^3 + 398467325355975289234064686048056696459294751375*v^2 - 529302045137749192995077697256457359919862900750*v + 34070078706116601395362963165614836159469580625) / 94964390908767709269226404267181480312995000 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( - 53\!\cdots\!98 \nu^{19} + \cdots - 18\!\cdots\!25 ) / 94\!\cdots\!00$$ (-53234841437436517424464065506807254798*v^19 - 8407650101704533887137126513231075255*v^18 - 16262530579197180589017193427758426379153*v^17 - 2582056746260855171161968872017009914155*v^16 - 2005360978491465633483671858051139296430436*v^15 - 320651132675073462347897067046266395891260*v^14 - 128977813570819254892337374066842224954534069*v^13 - 20820964193736047580501724562727598863593090*v^12 - 4637962994242098912621693902086188242729150577*v^11 - 758918205130180689285243592325164697464232295*v^10 - 92052542462849703825579351299124889495288674537*v^9 - 15383460091871343187453680422873654233514517495*v^8 - 915798043290185033508928715693263378579060011935*v^7 - 159122540242509937186491357948482529796897505000*v^6 - 3518353243405970237436808871358764492133556550800*v^5 - 675341063149453351913169639708459955945102739500*v^4 - 2402057071571372687166177350043017364171146761925*v^3 - 734090377083806610996711382965386122777244859875*v^2 - 220872270838783528357985062200154532752883881000*v - 180065752760661606648820819100639875601954633125) / 94964390908767709269226404267181480312995000 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 35\!\cdots\!18 \nu^{19} + \cdots - 86\!\cdots\!50 ) / 47\!\cdots\!00$$ (-35817215362375642738986282536705090618*v^19 + 379308387458930818635991553714361590*v^18 - 10940175985898742324264981924755474293723*v^17 + 112740317687089134756967175143786675990*v^16 - 1348803601725818371208973675208534621858226*v^15 + 13290156216785409670714894187770500399380*v^14 - 86728374281376892437529853730010152410862379*v^13 + 789959281074403573044197238758477631680020*v^12 - 3117546863116958851380171606569331516627167157*v^11 + 24341186918560336609648873690280789899582410*v^10 - 61838651948608784209276907285473074709129735317*v^9 + 329518672285481290643819835749087661437073210*v^8 - 614477596781863873165938252159297014717059038535*v^7 - 101001141210686862874049659846539388458676700*v^6 - 2352732102322844086025861662845995644427272965050*v^5 - 39351145885860721835487819984820956924081431500*v^4 - 1573107906290071597185365518734716954007021994675*v^3 - 198331706490397056313452487909655379287999542250*v^2 - 170942881208498066117502957639429710946021689750*v - 86619842811946339722985864510066618214773311250) / 47482195454383854634613202133590740156497500 $$\beta_{18}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!18 \nu^{19} + \cdots - 22\!\cdots\!75 ) / 18\!\cdots\!00$$ (15722245351811026453246419399218200218*v^19 - 5512171258299816817814863655859173317*v^18 + 4801756153558807106402650357885073551353*v^17 - 1683441831095777994462866918276044579697*v^16 + 591902033432476835240208205375891574054106*v^15 - 207531525812259542431357905383193908187304*v^14 + 38048643200851393678439787230906774742172989*v^13 - 13344568094816703238282707139761950788589246*v^12 + 1367022819402391514903631762853770087697411347*v^11 - 479798515116698158013707099628605660569257313*v^10 + 27090034704156757203754445617252441514070111987*v^9 - 9523594192895026467738082951812808207483175313*v^8 + 268608043325065080714968162264655944422393735005*v^7 - 94793723043385129086982025949014977258389414980*v^6 + 1021469049554273101757886360817335657008574913050*v^5 - 364680275727447841052969656627897073663752086400*v^4 + 650554285614781851524264061181985657047510408425*v^3 - 249067595946300533044042009638904117699937597825*v^2 + 68397710548777747886685122032534106133283112250*v - 22705955673633143856338904804241110662697179875) / 18992878181753541853845280853436296062599000 $$\beta_{19}$$ $$=$$ $$( 51\!\cdots\!88 \nu^{19} + \cdots - 13\!\cdots\!50 ) / 47\!\cdots\!00$$ (51665361485259560946026339227324118588*v^19 - 13000277568493633197991771373286024890*v^18 + 15792292149603533981943239644122917018143*v^17 - 3972001738130185058668042149712109025490*v^16 + 1949058626828732792593055898969052538376641*v^15 - 489910065157964314118482596077420752025180*v^14 + 125523519380753871902342300344303322635460539*v^13 - 31521602965924525751008478696423738265399820*v^12 + 4523644379619139365612480571083422821127680062*v^11 - 1134275779256346873605049535148962832499043710*v^10 + 90144593186537986486143206891581506809302888122*v^9 - 22542557082702808470014303743965523805956957710*v^8 + 904755602979272931662156555094519132533097625810*v^7 - 224947012806043655848362062475106725844340100100*v^6 + 3572288100780127245537258704923074851551312405175*v^5 - 872728806662832446010764811514915299240795807500*v^4 + 2925293520522838270226270502001946229813421565425*v^3 - 645563548434644474022077578232378926793058225250*v^2 + 574966563390416991953358460530383062624939272875*v - 131678759674138133677335545591054968840482811250) / 47482195454383854634613202133590740156497500
 $$\nu$$ $$=$$ $$( 158 \beta_{19} - 32 \beta_{18} - 190 \beta_{17} + 222 \beta_{16} + 148 \beta_{15} + 18 \beta_{14} + 36 \beta_{13} + 74 \beta_{12} + 24 \beta_{11} + 596 \beta_{10} + 1948 \beta_{9} + 36 \beta_{8} + 190 \beta_{7} - 907 \beta_{6} + \cdots + 290 ) / 94464$$ (158*b19 - 32*b18 - 190*b17 + 222*b16 + 148*b15 + 18*b14 + 36*b13 + 74*b12 + 24*b11 + 596*b10 + 1948*b9 + 36*b8 + 190*b7 - 907*b6 + 32*b5 + 5394*b3 - 464*b2 + 3622*b1 + 290) / 94464 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( - 22 \beta_{19} - 536 \beta_{18} - 22 \beta_{17} - 558 \beta_{16} + 487 \beta_{15} - 66 \beta_{14} + 492 \beta_{13} - 1423 \beta_{12} - 5571 \beta_{11} - 1016 \beta_{10} - 536 \beta_{9} + 2806 \beta_{7} + \cdots - 2886677 ) / 94464$$ (-22*b19 - 536*b18 - 22*b17 - 558*b16 + 487*b15 - 66*b14 + 492*b13 - 1423*b12 - 5571*b11 - 1016*b10 - 536*b9 + 2806*b7 + 860*b6 + 596*b5 - 3456*b4 + 29547*b3 + 2344*b2 - 71*b1 - 2886677) / 94464 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( - 12588 \beta_{19} - 60 \beta_{18} + 7608 \beta_{17} - 7548 \beta_{16} - 7574 \beta_{15} + 700 \beta_{14} - 1716 \beta_{13} + 26 \beta_{12} + 86 \beta_{11} - 67332 \beta_{10} - 138228 \beta_{9} - 6636 \beta_{8} + \cdots - 52090 ) / 94464$$ (-12588*b19 - 60*b18 + 7608*b17 - 7548*b16 - 7574*b15 + 700*b14 - 1716*b13 + 26*b12 + 86*b11 - 67332*b10 - 138228*b9 - 6636*b8 - 7608*b7 + 233665*b6 + 60*b5 - 637594*b3 + 24796*b2 - 175054*b1 - 52090) / 94464 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 11516 \beta_{19} + 67004 \beta_{18} - 11516 \beta_{17} + 55488 \beta_{16} - 93969 \beta_{15} + 26788 \beta_{14} - 90036 \beta_{13} + 95367 \beta_{12} + 468545 \beta_{11} + \cdots + 169463777 ) / 94464$$ (-11516*b19 + 67004*b18 - 11516*b17 + 55488*b16 - 93969*b15 + 26788*b14 - 90036*b13 + 95367*b12 + 468545*b11 + 138468*b10 + 67004*b9 - 219820*b7 - 105148*b6 - 70238*b5 + 286056*b4 - 2993869*b3 - 292572*b2 + 22855*b1 + 169463777) / 94464 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 1157992 \beta_{19} + 142616 \beta_{18} - 333464 \beta_{17} + 190848 \beta_{16} + 555190 \beta_{15} - 143464 \beta_{14} - 11244 \beta_{13} - 364342 \beta_{12} + 574294 \beta_{11} + \cdots + 4975110 ) / 94464$$ (1157992*b19 + 142616*b18 - 333464*b17 + 190848*b16 + 555190*b15 - 143464*b14 - 11244*b13 - 364342*b12 + 574294*b11 + 6006380*b10 + 10379192*b9 + 670668*b8 + 333464*b7 - 26818725*b6 - 142616*b5 + 57433666*b3 - 1731620*b2 + 12164646*b1 + 4975110) / 94464 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( 9063 \beta_{19} - 40098 \beta_{18} + 9063 \beta_{17} - 31035 \beta_{16} + 72948 \beta_{15} - 21114 \beta_{14} + 58224 \beta_{13} - 37302 \beta_{12} - 264006 \beta_{11} - 70594 \beta_{10} + \cdots - 72004531 ) / 576$$ (9063*b19 - 40098*b18 + 9063*b17 - 31035*b16 + 72948*b15 - 21114*b14 + 58224*b13 - 37302*b12 - 264006*b11 - 70594*b10 - 40098*b9 + 106377*b7 + 69294*b6 + 43488*b5 - 145476*b4 + 1563810*b3 + 190737*b2 - 6390*b1 - 72004531) / 576 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 109740394 \beta_{19} - 18581960 \beta_{18} + 15180842 \beta_{17} + 3401118 \beta_{16} - 45757774 \beta_{15} + 12501430 \beta_{14} + 11813652 \beta_{13} + \cdots - 455565084 ) / 94464$$ (-109740394*b19 - 18581960*b18 + 15180842*b17 + 3401118*b16 - 45757774*b15 + 12501430*b14 + 11813652*b13 + 49158892*b12 - 91742014*b11 - 535085660*b10 - 832877468*b9 - 64163940*b8 - 15180842*b7 + 2672406603*b6 + 18581960*b5 - 5110435936*b3 + 125618720*b2 - 1025741952*b1 - 455565084) / 94464 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 150155950 \beta_{19} + 619978528 \beta_{18} - 150155950 \beta_{17} + 469822578 \beta_{16} - 1291363435 \beta_{15} + 365593198 \beta_{14} + \cdots + 916127584893 ) / 94464$$ (-150155950*b19 + 619978528*b18 - 150155950*b17 + 469822578*b16 - 1291363435*b15 + 365593198*b14 - 920290428*b13 + 419529751*b12 + 4106661071*b11 + 944390944*b10 + 619978528*b9 - 1430525714*b7 - 1136841228*b6 - 691314028*b5 + 2018979648*b4 - 22002449371*b3 - 3109098232*b2 - 5479809*b1 + 916127584893) / 94464 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( 10412254104 \beta_{19} + 1923147732 \beta_{18} - 677615484 \beta_{17} - 1245532248 \beta_{16} + 3986014962 \beta_{15} - 944260320 \beta_{14} + \cdots + 41783882666 ) / 94464$$ (10412254104*b19 + 1923147732*b18 - 677615484*b17 - 1245532248*b16 + 3986014962*b15 - 944260320*b14 - 1759431156*b13 - 5231547210*b12 + 10652918862*b11 + 48370660844*b10 + 70129530756*b9 + 6052059732*b8 + 677615484*b7 - 253659125295*b6 - 1923147732*b5 + 460492835514*b3 - 9559278636*b2 + 93367045134*b1 + 41783882666) / 94464 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( 14308089724 \beta_{19} - 57863278012 \beta_{18} + 14308089724 \beta_{17} - 43555188288 \beta_{16} + 129672026001 \beta_{15} - 35944057184 \beta_{14} + \cdots - 76164955966193 ) / 94464$$ (14308089724*b19 - 57863278012*b18 + 14308089724*b17 - 43555188288*b16 + 129672026001*b15 - 35944057184*b14 + 86479457460*b13 - 31262997747*b12 - 389549288785*b11 - 78726649252*b10 - 57863278012*b9 + 121515661676*b7 + 109768704356*b6 + 65640436654*b5 - 174215616696*b4 + 1923841591337*b3 + 299036654184*b2 + 7248511357*b1 - 76164955966193) / 94464 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( - 982668597896 \beta_{19} - 185692209688 \beta_{18} + 26830889248 \beta_{17} + 158861320440 \beta_{16} - 357064421880 \beta_{15} + \cdots - 3851636553484 ) / 94464$$ (-982668597896*b19 - 185692209688*b18 + 26830889248*b17 + 158861320440*b16 - 357064421880*b15 + 69994249204*b14 + 203600358060*b13 + 515925742320*b12 - 1104525250996*b11 - 4421224074300*b10 - 6110510769688*b9 - 566545140900*b8 - 26830889248*b7 + 23645751452327*b6 + 185692209688*b5 - 41968165145716*b3 + 765250270932*b2 - 8698147188908*b1 - 3851636553484) / 94464 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( - 4085546226 \beta_{19} + 16416458988 \beta_{18} - 4085546226 \beta_{17} + 12330912762 \beta_{16} - 38308667920 \beta_{15} + 10452870287 \beta_{14} + \cdots + 20156931540638 ) / 288$$ (-4085546226*b19 + 16416458988*b18 - 4085546226*b17 + 12330912762*b16 - 38308667920*b15 + 10452870287*b14 - 24587551440*b13 + 7638676027*b12 + 112033445008*b11 + 20526929968*b10 + 16416458988*b9 - 32398978098*b7 - 31738388710*b6 - 18796916049*b5 + 46734567696*b4 - 521791586672*b3 - 86260560469*b2 - 3268246193*b1 + 20156931540638) / 288 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( 92227714270454 \beta_{19} + 17490873542560 \beta_{18} - 633412128262 \beta_{17} - 16857461414298 \beta_{16} + 32453856638544 \beta_{15} + \cdots + 356237369188494 ) / 94464$$ (92227714270454*b19 + 17490873542560*b18 - 633412128262*b17 - 16857461414298*b16 + 32453856638544*b15 - 5325224988238*b14 - 21311201124684*b13 - 49311318052842*b12 + 108772411063564*b11 + 406815511497860*b10 + 544848603351244*b9 + 52792227474948*b8 + 633412128262*b7 - 2190694113096131*b6 - 17490873542560*b5 + 3853319541398278*b3 - 64025926827504*b2 + 814178268916898*b1 + 356237369188494) / 94464 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( 124793470842386 \beta_{19} - 500555902335512 \beta_{18} + 124793470842386 \beta_{17} - 375762431493126 \beta_{16} + \cdots - 58\!\cdots\!29 ) / 94464$$ (124793470842386*b19 - 500555902335512*b18 + 124793470842386*b17 - 375762431493126*b16 + 1194769816696091*b15 - 322483556808890*b14 + 750142844020284*b13 - 211957997159171*b12 - 3447772802130151*b11 - 588553786217560*b10 - 500555902335512*b9 + 949066203330862*b7 + 977686507677900*b6 + 575638148659772*b5 - 1370862926006688*b4 + 15425189554308551*b3 + 2653619003657816*b2 + 122143415866917*b1 - 589192433695359329) / 94464 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( - 86\!\cdots\!96 \beta_{19} + \cdots - 33\!\cdots\!78 ) / 94464$$ (-8619357642120396*b19 - 1632205627919724*b18 - 39867394281624*b17 + 1672073022201348*b16 - 2973229550437094*b15 + 422622622429036*b14 + 2120702761036380*b13 + 4645302572638442*b12 - 10434071284530298*b11 - 37571920489510772*b10 - 49312927892951652*b9 - 4906316647445916*b8 + 39867394281624*b7 + 202639272909962005*b6 + 1632205627919724*b5 - 355348213554652138*b3 + 5542253945959948*b2 - 76152078604049470*b1 - 33006352705435578) / 94464 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!60 \beta_{19} + \cdots + 53\!\cdots\!49 ) / 94464$$ (-11597057444711060*b19 + 46506307902894236*b18 - 11597057444711060*b17 + 34909250458183176*b16 - 112418320867588757*b15 + 30125986185614852*b14 - 69700422792316356*b13 + 18593717186123123*b12 + 322181938790141365*b11 + 52337995388419076*b10 + 46506307902894236*b9 - 85959914931268948*b7 - 91319523322960380*b6 - 53567498549220926*b5 + 124091732947067784*b4 - 1403172010824739961*b3 - 247674283289718788*b2 - 12591911889657549*b1 + 53344432078724351949) / 94464 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$( 80\!\cdots\!16 \beta_{19} + \cdots + 30\!\cdots\!14 ) / 94464$$ (803211094725780016*b19 + 151764492471869960*b18 + 9061125757087552*b17 - 160825618228957512*b16 + 273634956061996634*b15 - 35016516631120152*b14 - 205172694370698636*b13 - 434460574290954146*b12 + 986696510294767266*b11 + 3476892785200422956*b10 + 4505354636861090936*b9 + 455335033640298972*b8 - 9061125757087552*b7 - 18744719340260872721*b6 - 151764492471869960*b5 + 32851401466264036398*b3 - 491493843788396212*b2 + 7108661699929739210*b1 + 3060554462423643914) / 94464 $$\nu^{18}$$ $$=$$ $$( 65\!\cdots\!59 \beta_{19} + \cdots - 29\!\cdots\!47 ) / 576$$ (6565556375372259*b19 - 26335641757526922*b18 + 6565556375372259*b17 - 19770085382154663*b16 + 64112117859098164*b15 - 17101415759027684*b14 + 39466754508271440*b13 - 10174947214574920*b12 - 183071198544018406*b11 - 28744702183974114*b10 - 26335641757526922*b9 + 47903639893288197*b7 + 51848310068391442*b6 + 30341009846686446*b5 - 69074869012877700*b4 + 783295343885429882*b3 + 140568121277965231*b2 + 7543947591799040*b1 - 29730422629255025047) / 576 $$\nu^{19}$$ $$=$$ $$( - 74\!\cdots\!58 \beta_{19} + \cdots - 28\!\cdots\!48 ) / 94464$$ (-74708371392233043058*b19 - 14090944376847111368*b18 - 1136928763874855614*b17 + 15227873140721966982*b16 - 25252772578686353026*b15 + 3007940680210927318*b14 + 19525158517992486372*b13 + 40480645719408320008*b12 - 92556210129275393626*b11 - 322084108196630325228*b10 - 414021052731137598956*b9 - 42229197261268300932*b8 + 1136928763874855614*b7 + 1734782605134104559411*b6 + 14090944376847111368*b5 - 3041266931734990867708*b3 + 44301494057283521024*b2 - 662335979709016050228*b1 - 283877320004971716448) / 94464

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/384\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$127$$ $$133$$ $$257$$ $$\chi(n)$$ $$-1$$ $$1$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
383.1
 7.62048i − 7.62048i − 0.671758i 0.671758i 0.406991i − 0.406991i − 9.62962i 9.62962i 5.94193i − 5.94193i − 6.14819i 6.14819i − 7.32004i 7.32004i 4.52328i − 4.52328i 2.58939i − 2.58939i − 0.852576i 0.852576i
0 −15.4378 2.16198i 0 81.6092i 0 91.7503i 0 233.652 + 66.7525i 0
383.2 0 −15.4378 + 2.16198i 0 81.6092i 0 91.7503i 0 233.652 66.7525i 0
383.3 0 −15.1145 3.81453i 0 40.5648i 0 81.4905i 0 213.899 + 115.310i 0
383.4 0 −15.1145 + 3.81453i 0 40.5648i 0 81.4905i 0 213.899 115.310i 0
383.5 0 −10.1204 11.8566i 0 19.3214i 0 82.7816i 0 −38.1561 + 239.986i 0
383.6 0 −10.1204 + 11.8566i 0 19.3214i 0 82.7816i 0 −38.1561 239.986i 0
383.7 0 −5.16061 14.7095i 0 48.6693i 0 167.754i 0 −189.736 + 151.820i 0
383.8 0 −5.16061 + 14.7095i 0 48.6693i 0 167.754i 0 −189.736 151.820i 0
383.9 0 −2.25525 15.4245i 0 86.6842i 0 110.468i 0 −232.828 + 69.5720i 0
383.10 0 −2.25525 + 15.4245i 0 86.6842i 0 110.468i 0 −232.828 69.5720i 0
383.11 0 −1.67629 15.4981i 0 6.76651i 0 132.568i 0 −237.380 + 51.9584i 0
383.12 0 −1.67629 + 15.4981i 0 6.76651i 0 132.568i 0 −237.380 51.9584i 0
383.13 0 10.3565 11.6509i 0 68.3281i 0 220.652i 0 −28.4850 241.325i 0
383.14 0 10.3565 + 11.6509i 0 68.3281i 0 220.652i 0 −28.4850 + 241.325i 0
383.15 0 10.5848 11.4438i 0 101.915i 0 13.9460i 0 −18.9231 242.262i 0
383.16 0 10.5848 + 11.4438i 0 101.915i 0 13.9460i 0 −18.9231 + 242.262i 0
383.17 0 12.3458 9.51744i 0 26.7752i 0 70.6872i 0 61.8366 235.001i 0
383.18 0 12.3458 + 9.51744i 0 26.7752i 0 70.6872i 0 61.8366 + 235.001i 0
383.19 0 15.4777 1.85457i 0 55.8580i 0 225.953i 0 236.121 57.4091i 0
383.20 0 15.4777 + 1.85457i 0 55.8580i 0 225.953i 0 236.121 + 57.4091i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 383.20 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
12.b even 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 384.6.c.a 20
3.b odd 2 1 384.6.c.d yes 20
4.b odd 2 1 384.6.c.d yes 20
8.b even 2 1 384.6.c.c yes 20
8.d odd 2 1 384.6.c.b yes 20
12.b even 2 1 inner 384.6.c.a 20
24.f even 2 1 384.6.c.c yes 20
24.h odd 2 1 384.6.c.b yes 20

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
384.6.c.a 20 1.a even 1 1 trivial
384.6.c.a 20 12.b even 2 1 inner
384.6.c.b yes 20 8.d odd 2 1
384.6.c.b yes 20 24.h odd 2 1
384.6.c.c yes 20 8.b even 2 1
384.6.c.c yes 20 24.f even 2 1
384.6.c.d yes 20 3.b odd 2 1
384.6.c.d yes 20 4.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{6}^{\mathrm{new}}(384, [\chi])$$:

 $$T_{11}^{10} + 474 T_{11}^{9} - 742804 T_{11}^{8} - 368139504 T_{11}^{7} + 129628916560 T_{11}^{6} + 76348018199520 T_{11}^{5} + \cdots + 11\!\cdots\!16$$ T11^10 + 474*T11^9 - 742804*T11^8 - 368139504*T11^7 + 129628916560*T11^6 + 76348018199520*T11^5 - 1325356220305088*T11^4 - 3498937761828271872*T11^3 - 143524334927313786112*T11^2 + 30019229162747732359680*T11 + 1135278813973092926473216 $$T_{13}^{10} - 1985572 T_{13}^{8} - 389121024 T_{13}^{7} + 1179051645856 T_{13}^{6} + 377750230069248 T_{13}^{5} + \cdots + 30\!\cdots\!80$$ T13^10 - 1985572*T13^8 - 389121024*T13^7 + 1179051645856*T13^6 + 377750230069248*T13^5 - 207239138890801280*T13^4 - 87956968548008116224*T13^3 + 888635632386592666880*T13^2 + 3354990236182319367782400*T13 + 307278719962112441561082880

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{20}$$
$3$ $$T^{20} + 2 T^{19} + \cdots + 71\!\cdots\!49$$
$5$ $$T^{20} + 37500 T^{18} + \cdots + 36\!\cdots\!16$$
$7$ $$T^{20} + 184764 T^{18} + \cdots + 55\!\cdots\!00$$
$11$ $$(T^{10} + 474 T^{9} + \cdots + 11\!\cdots\!16)^{2}$$
$13$ $$(T^{10} - 1985572 T^{8} + \cdots + 30\!\cdots\!80)^{2}$$
$17$ $$T^{20} + 15994608 T^{18} + \cdots + 45\!\cdots\!84$$
$19$ $$T^{20} + 26387276 T^{18} + \cdots + 15\!\cdots\!00$$
$23$ $$(T^{10} + 164 T^{9} + \cdots + 90\!\cdots\!44)^{2}$$
$29$ $$T^{20} + 219109596 T^{18} + \cdots + 60\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{20} + 320247692 T^{18} + \cdots + 20\!\cdots\!00$$
$37$ $$(T^{10} + 7528 T^{9} + \cdots + 13\!\cdots\!60)^{2}$$
$41$ $$T^{20} + 1324231920 T^{18} + \cdots + 10\!\cdots\!36$$
$43$ $$T^{20} + 1477477740 T^{18} + \cdots + 79\!\cdots\!00$$
$47$ $$(T^{10} + 18320 T^{9} + \cdots + 30\!\cdots\!20)^{2}$$
$53$ $$T^{20} + 4334244732 T^{18} + \cdots + 81\!\cdots\!00$$
$59$ $$(T^{10} + 31454 T^{9} + \cdots - 30\!\cdots\!36)^{2}$$
$61$ $$(T^{10} + 36632 T^{9} + \cdots + 17\!\cdots\!08)^{2}$$
$67$ $$T^{20} + 16158911196 T^{18} + \cdots + 28\!\cdots\!16$$
$71$ $$(T^{10} + 17444 T^{9} + \cdots - 13\!\cdots\!84)^{2}$$
$73$ $$(T^{10} - 26284 T^{9} + \cdots - 16\!\cdots\!40)^{2}$$
$79$ $$T^{20} + 37377699244 T^{18} + \cdots + 91\!\cdots\!84$$
$83$ $$(T^{10} - 112586 T^{9} + \cdots - 22\!\cdots\!00)^{2}$$
$89$ $$T^{20} + 58375922848 T^{18} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$97$ $$(T^{10} - 3800 T^{9} + \cdots + 14\!\cdots\!68)^{2}$$