# Properties

 Label 384.5.e.d Level $384$ Weight $5$ Character orbit 384.e Analytic conductor $39.694$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$384 = 2^{7} \cdot 3$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$5$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 384.e (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$39.6940658242$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{16} - 4 x^{15} - 32 x^{14} + 356 x^{13} + 1348 x^{12} - 8992 x^{11} + 22064 x^{10} + 391324 x^{9} + 724325 x^{8} - 2262056 x^{7} + 45109352 x^{6} + \cdots + 21479188203$$ x^16 - 4*x^15 - 32*x^14 + 356*x^13 + 1348*x^12 - 8992*x^11 + 22064*x^10 + 391324*x^9 + 724325*x^8 - 2262056*x^7 + 45109352*x^6 + 210288484*x^5 + 385003542*x^4 + 866573964*x^3 + 12462543468*x^2 + 25672770504*x + 21479188203 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{11}]$$ Coefficient ring index: $$2^{54}\cdot 3^{10}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_{3} + 1) q^{3} + \beta_{6} q^{5} + (\beta_{3} + \beta_1 + 5) q^{7} + (\beta_{7} - \beta_{3}) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b3 + 1) * q^3 + b6 * q^5 + (b3 + b1 + 5) * q^7 + (b7 - b3) * q^9 $$q + ( - \beta_{3} + 1) q^{3} + \beta_{6} q^{5} + (\beta_{3} + \beta_1 + 5) q^{7} + (\beta_{7} - \beta_{3}) q^{9} - \beta_{9} q^{11} + ( - \beta_{8} + \beta_{3} + \beta_1) q^{13} + ( - \beta_{15} - \beta_{8} + \beta_{6} + \beta_{3} + \beta_1 + 26) q^{15} + (\beta_{15} + \beta_{9} - \beta_{6} - \beta_{2}) q^{17} + ( - \beta_{8} - \beta_{7} + \beta_{4} + \beta_{3} + \beta_1 - 51) q^{19} + (\beta_{12} + \beta_{10} - \beta_{9} + \beta_{4} - 4 \beta_{3} + 2 \beta_1 - 36) q^{21} + ( - \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{12} + \beta_{11} + \beta_{10} - 2 \beta_{7} + 4 \beta_{6} + \beta_{5} + \cdots - 3) q^{23}+ \cdots + ( - \beta_{15} + 4 \beta_{14} - 5 \beta_{13} - 24 \beta_{12} + 11 \beta_{11} + \cdots + 1642) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b3 + 1) * q^3 + b6 * q^5 + (b3 + b1 + 5) * q^7 + (b7 - b3) * q^9 - b9 * q^11 + (-b8 + b3 + b1) * q^13 + (-b15 - b8 + b6 + b3 + b1 + 26) * q^15 + (b15 + b9 - b6 - b2) * q^17 + (-b8 - b7 + b4 + b3 + b1 - 51) * q^19 + (b12 + b10 - b9 + b4 - 4*b3 + 2*b1 - 36) * q^21 + (-b15 + b14 - b12 + b11 + b10 - 2*b7 + 4*b6 + b5 + 9*b3 + b2 - 3) * q^23 + (b15 + b13 - b9 + b8 - b5 + b4 + b3 + b2 - 4*b1 - 128) * q^25 + (b15 + b13 + b11 + 2*b10 - 2*b8 + 4*b6 - b2 + b1 - 17) * q^27 + (3*b15 - 2*b14 - b13 - b11 - 3*b10 - 3*b9 + b8 + b7 - b6 - b5 - b4 - 13*b3 - b2 - 2*b1 + 5) * q^29 + (-b14 + b13 - b12 - 2*b11 - 3*b10 - b9 + 3*b8 - 5*b7 - 2*b5 - b4 + 11*b3 - b1 + 35) * q^31 + (-b13 - 2*b12 + b11 + b10 - 4*b9 - 3*b8 + 2*b7 + b6 + 3*b5 + b4 - 2*b2 - 6*b1 - 34) * q^33 + (2*b15 + 2*b14 - 2*b12 - 2*b11 - 4*b10 - b9 + 8*b7 + 12*b6 - b5 - b3 - 2*b2 - 2) * q^35 + (3*b15 + 2*b14 + b13 + 2*b12 - b11 + b10 - b9 + 4*b8 + b7 + b5 - b4 - 44*b3 + 3*b2 - 15*b1 - 125) * q^37 + (-2*b15 + b14 - b12 + 5*b11 + 3*b10 + 4*b9 + b8 - 19*b6 + 3*b5 + 2*b4 + 7*b3 - 3*b2 - 6) * q^39 + (-3*b15 + 4*b14 + 2*b13 + b11 + b10 - 7*b9 - 2*b8 + b7 + 5*b6 - 4*b5 + 2*b4 - 26*b3 - b2 + 4*b1 + 12) * q^41 + (-2*b15 - 2*b14 - 2*b12 + 6*b11 + 4*b10 + b8 + 13*b7 + 4*b5 + 3*b4 - 5*b3 - 2*b2 - 5*b1 - 31) * q^43 + (b15 - 2*b14 - 3*b13 + 3*b12 + b11 + 6*b10 + 12*b9 - 2*b8 - b7 - 4*b6 - 3*b5 - 38*b3 - 3*b2 - 19*b1 - 45) * q^45 + (-b15 + 6*b14 + b13 - 4*b12 - 3*b11 + 2*b10 - b9 - b8 + 15*b7 - 30*b6 - b5 + b4 + 11*b3 - b2 + 2*b1 - 9) * q^47 + (-b15 - 4*b14 + 3*b13 - 4*b12 - 4*b10 - 3*b9 - 5*b8 + 5*b5 - b4 - 5*b3 - b2 + 28*b1 + 272) * q^49 + (-b15 + 2*b14 + 5*b13 - 2*b12 - 5*b11 + 2*b10 - 4*b9 + 5*b8 - b7 - 40*b6 - 6*b5 + b4 + 10*b3 + b2 - 2*b1 + 19) * q^51 + (-8*b14 - 2*b13 + 4*b12 - 4*b11 - 14*b10 + 8*b9 + 2*b8 + 4*b7 - b6 + 6*b5 - 2*b4 + 42*b3 + 4*b2 - 4*b1 - 22) * q^53 + (-5*b14 + 5*b13 - 5*b12 + 6*b11 + b10 - 5*b9 - 5*b8 + 19*b7 + 2*b5 - b4 + 18*b3 + 2*b1 + 106) * q^55 + (-5*b15 + 4*b14 - 6*b12 + 5*b11 + 13*b10 + 9*b9 - 2*b8 + 11*b6 - 6*b5 + 6*b4 + 71*b3 - 3*b2 + 38*b1 + 13) * q^57 + (-2*b15 + 12*b14 + 2*b13 - 8*b12 + 10*b11 + 2*b9 - 2*b8 - 18*b7 - 60*b6 + 7*b5 + 2*b4 + 71*b3 - 2*b2 + 4*b1 - 22) * q^59 + (5*b15 + 6*b14 - b13 + 6*b12 - 7*b11 - b10 + b9 + 10*b8 - 9*b7 - 17*b5 - 7*b4 + 126*b3 + 5*b2 + 33*b1 + 173) * q^61 + (-b15 + 4*b14 + b13 - 6*b12 - b11 - 16*b10 + 3*b9 - 7*b8 + 3*b7 + 72*b6 - 3*b5 + 9*b4 + 24*b3 - 7*b2 + 9*b1 - 62) * q^63 + (-9*b15 + 16*b14 + 4*b13 - 8*b12 + 5*b11 - 7*b10 + 7*b9 - 4*b8 + b7 - 3*b6 + 18*b5 + 4*b4 + 192*b3 + b2 + 8*b1 - 82) * q^65 + (-10*b15 - 10*b14 - 10*b12 - 2*b11 - 12*b10 - 12*b8 - 16*b7 - b5 + 69*b3 - 10*b2 + 8*b1 + 204) * q^67 + (-2*b15 - 4*b14 - 8*b13 + 5*b12 + 2*b11 + 21*b10 + b9 + b8 - 2*b7 + b6 + 24*b5 - 7*b4 + 23*b3 + 2*b2 + 41*b1 + 692) * q^69 + (2*b15 + 15*b14 + 5*b13 - 5*b12 + 10*b11 + 39*b10 - 13*b9 - 5*b8 - 15*b7 + 102*b6 + 4*b5 + 5*b4 + 56*b3 - 12*b2 + 10*b1 - 16) * q^71 + (-7*b15 - 12*b14 + 5*b13 - 12*b12 + b11 - 11*b10 - 5*b9 - 3*b8 + 3*b7 - 23*b5 - 7*b4 + 219*b3 - 7*b2 - 44*b1 + 97) * q^73 + (-10*b15 + 8*b14 + 6*b13 - 12*b12 + 10*b11 + 32*b10 - 9*b9 + 5*b8 - 3*b7 + 124*b6 + 6*b5 + 3*b4 + 108*b3 + 6*b2 + 25*b1 - 354) * q^75 + (-12*b15 - 16*b14 - 2*b13 + 12*b12 - 30*b10 + 4*b9 + 2*b8 - 16*b7 + 8*b6 - 26*b5 - 2*b4 - 270*b3 + 16*b2 - 4*b1 + 122) * q^77 + (-2*b15 - 9*b14 + 7*b13 - 9*b12 - 9*b10 - 7*b9 - 17*b8 - 13*b7 + 2*b5 + 11*b4 + 25*b3 - 2*b2 + 17*b1 - 897) * q^79 + (-14*b15 + 8*b14 + 8*b13 - 6*b12 + 7*b11 + 43*b10 + 10*b8 + 3*b7 - 12*b6 + 30*b5 + 6*b4 - 6*b3 - 2*b2 - 54*b1 - 49) * q^81 + (-28*b15 + 26*b14 + 10*b13 - 6*b12 + 4*b11 - 20*b10 - 7*b9 - 10*b8 + 14*b7 + 152*b6 - 2*b5 + 10*b4 + 46*b3 + 8*b2 + 20*b1 - 20) * q^83 + (-2*b15 + 8*b14 - 10*b13 + 8*b12 - 14*b11 - 6*b10 + 10*b9 - 6*b8 - 34*b7 + 30*b5 - 10*b4 - 378*b3 - 2*b2 - 44*b1 + 898) * q^85 + (-6*b15 + 4*b14 + 5*b13 - 14*b12 + 7*b11 - 42*b10 - 37*b9 - 18*b8 + 17*b7 - 143*b6 + 3*b5 + 7*b4 + 72*b3 + b2 + 15*b1 - 967) * q^87 + (4*b15 + 24*b14 - 24*b12 + 7*b11 - 45*b10 + 12*b9 + 3*b7 - 52*b6 - 30*b5 - 236*b3 - 4*b2 + 110) * q^89 + (-10*b15 - 14*b14 + 4*b13 - 14*b12 + 6*b11 - 8*b10 - 4*b9 - 21*b8 + 7*b7 + 3*b5 + b4 + 134*b3 - 10*b2 + 69*b1 + 1405) * q^91 + (-5*b15 - 2*b14 - 3*b13 + 10*b12 - 13*b11 + 41*b10 - 25*b9 + 16*b8 - 3*b7 + 23*b6 - 51*b5 - 5*b4 - 88*b3 + 27*b2 - 71*b1 - 873) * q^93 + (-7*b15 + 23*b14 + 8*b13 - 7*b12 + 7*b11 + 75*b10 - 16*b9 - 8*b8 + 2*b7 - 172*b6 - 9*b5 + 8*b4 - 33*b3 - 9*b2 + 16*b1 + 19) * q^95 + (-2*b15 - 8*b14 + 6*b13 - 8*b12 + 7*b11 - b10 - 6*b9 + 30*b8 + 5*b7 + 52*b5 + 14*b4 - 368*b3 - 2*b2 + 48*b1 + 432) * q^97 + (-b15 + 4*b14 - 5*b13 - 24*b12 + 11*b11 + 62*b10 + 3*b9 - 34*b8 + 8*b7 - 192*b6 + 15*b5 + 154*b3 - 19*b2 + 51*b1 + 1642) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q + 8 q^{3} + 80 q^{7}+O(q^{10})$$ 16 * q + 8 * q^3 + 80 * q^7 $$16 q + 8 q^{3} + 80 q^{7} + 416 q^{15} - 816 q^{19} - 608 q^{21} - 2000 q^{25} - 280 q^{27} + 592 q^{31} - 496 q^{33} - 2240 q^{37} - 16 q^{39} - 368 q^{43} - 800 q^{45} + 3984 q^{49} + 352 q^{51} + 1920 q^{55} + 560 q^{57} + 3520 q^{61} - 816 q^{63} + 3536 q^{67} + 10784 q^{69} + 3680 q^{73} - 5112 q^{75} - 14448 q^{79} - 624 q^{81} + 11136 q^{85} - 14944 q^{87} + 22944 q^{91} - 13760 q^{93} + 3264 q^{97} + 26976 q^{99}+O(q^{100})$$ 16 * q + 8 * q^3 + 80 * q^7 + 416 * q^15 - 816 * q^19 - 608 * q^21 - 2000 * q^25 - 280 * q^27 + 592 * q^31 - 496 * q^33 - 2240 * q^37 - 16 * q^39 - 368 * q^43 - 800 * q^45 + 3984 * q^49 + 352 * q^51 + 1920 * q^55 + 560 * q^57 + 3520 * q^61 - 816 * q^63 + 3536 * q^67 + 10784 * q^69 + 3680 * q^73 - 5112 * q^75 - 14448 * q^79 - 624 * q^81 + 11136 * q^85 - 14944 * q^87 + 22944 * q^91 - 13760 * q^93 + 3264 * q^97 + 26976 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 4 x^{15} - 32 x^{14} + 356 x^{13} + 1348 x^{12} - 8992 x^{11} + 22064 x^{10} + 391324 x^{9} + 724325 x^{8} - 2262056 x^{7} + 45109352 x^{6} + \cdots + 21479188203$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!48 \nu^{15} + \cdots - 45\!\cdots\!28 ) / 65\!\cdots\!05$$ (131839451189518287953087740352539234290641314051729748*v^15 - 500714144488728650417526374219704779738855752733939248*v^14 - 25136456596098738449092418028348160263335778577092562630*v^13 + 256693217070547964178106098745548469353666737117992543858*v^12 + 160624828759432117535431942437264426850850483108305473968*v^11 - 12715657558614362695455280668790680849020314986894212214257*v^10 + 31585320085896748337163311628769530776586215294706390955816*v^9 + 319785225025962553031280004444736099331689368260215163330575*v^8 - 1772204691843134099504182376395028060648653097351324741230970*v^7 - 2306668800015137509983427674555372493420381470750835421458273*v^6 + 22812664983680314711635961883724305922325278193284660514042462*v^5 + 32896841542345584853048628725132109677529267459802350356922963*v^4 - 740689750345069103408831871973039715106211571943996525733702290*v^3 + 730932324891710230018137664748235097649862804818305349115803757*v^2 + 5645513870317326952650237706682038763140128879527195266006119270*v - 4573864312352467946930648856154217786765396489004850531413144828) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 19\!\cdots\!64 \nu^{15} + \cdots - 14\!\cdots\!64 ) / 65\!\cdots\!05$$ (194594495891782511122277897620332803426033527233270764*v^15 - 3533177857807977836637577183250362191491810512419440054*v^14 - 48766781757379781676558712130301209948541098496190236520*v^13 + 606107548817434872140244673966025683480449154975370942704*v^12 - 1596686907793469053953463498711168269727188231914125145476*v^11 - 22322514412851428828629923356281152946481046764821031016296*v^10 + 109888255864211143416769853580368619156702044421967128599668*v^9 + 43971546709650405908726596867094136305909702262815464308770*v^8 - 6341416919395213395246280856990026030705075512574704610311080*v^7 + 8191131897036533384881709329186192344566441067374318982194696*v^6 + 51397921652027886415463453432280003099350855361208462328713756*v^5 - 476965209346880137825925984740692545404440801711482591006441026*v^4 - 3461783866534680403056809666361156072962857735335115797942082800*v^3 + 9968896005238395124613436577534406481898160006497126809195801546*v^2 - 28768827551721790979857955929051740963778554164984405677652270640*v - 144714969754637660900132947527223075060173377041541159665003209864) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 26\!\cdots\!28 \nu^{15} + \cdots + 28\!\cdots\!33 ) / 65\!\cdots\!05$$ (-269188267812460519988488265939980063882533937349593028*v^15 + 2377005165229489482745569439166519452676435592356701148*v^14 + 789416296122730682191827280187888397491084001620561290*v^13 - 147577717642780327320390280027521661625531437033231059628*v^12 + 305631869352064413454934305507519852062240768655847147272*v^11 + 3702861231405039580541108129412982932910914021047651127647*v^10 - 28568305407188695873806293226322801855995782191449316069936*v^9 - 62129339677079411164786059547511867028329189831991828179315*v^8 + 393003665983209746770400344121110561915879405006948181259710*v^7 - 77472264068210456149528300144691395743794747311281893489597*v^6 - 19565223802976019498126757537461301424393817023864638238499322*v^5 - 2102232357128938651060754830064134655131042291670353625233253*v^4 + 59289312194118794867243906128769485336264552441026787734637590*v^3 - 699271592809348083218640080450059917116479536851936983267801287*v^2 - 3500350877272035139951729729060661831736796619580588693796597770*v + 2865527061880004629128795961862773744057244877765104482802647833) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 28\!\cdots\!72 \nu^{15} + \cdots + 58\!\cdots\!33 ) / 16\!\cdots\!15$$ (2800764926540732973893841178582387325691922992641572*v^15 - 40084338150661120355898117358261918462265600812740262*v^14 + 146917722087081614992392228111024169573155069400435330*v^13 + 1337684731730561243891385447856463416237417927477782182*v^12 - 11253293154793787914217069700674033623540572570099392228*v^11 + 4626755533623307217532649473739388598168143636515408277*v^10 + 416869315378385786366991312129068281082330209238501543024*v^9 - 1528708758575143051855115636905754398443414964702027175525*v^8 - 4632313239427733409178256877583750994768504512225493050990*v^7 + 51620407013938364732332366651465619804172635720790298878853*v^6 + 166838079275644807876445467348472615580210387910275895265978*v^5 - 1340124648345935158677327260246309235003958780800113012197223*v^4 + 3842646700594926625740901866192496965760005844077239519530830*v^3 + 19393978479114421792225300626182586023636824421439831598090833*v^2 - 55960219107691526225423729945100276492712180262353028708511030*v + 58520646862166293181166455902286694490618561040138628722996433) / 1687055639531660234699219012011199942581618994086057330092615 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!28 \nu^{15} + \cdots - 90\!\cdots\!67 ) / 72\!\cdots\!45$$ (-220703504023904302951538137639490844213374422599749528*v^15 + 527096732614161851418209294071845850203269862386588258*v^14 + 6284015103551728302269967942795387297522107250227313910*v^13 - 65576901520051147603920184533969829095638141249170991338*v^12 - 243227921990177808702914774230950143883201005787768847748*v^11 + 585934930075583834574215301612174575296358077200087534437*v^10 - 8058922516492423695759357007702092572941314702122342262196*v^9 - 63885770252037835522772743112143253554468896311452421740265*v^8 - 246798548798373400338028463761509438673192668994457316097750*v^7 - 782496521208656598048214112751340616463298167844433820200027*v^6 - 10547164274165260843061489179537752786149506792289297737208842*v^5 - 58196830532827982650817878788766715981523903823087664702903633*v^4 - 145102142538893040799626031868016133476363021888926745227314230*v^3 - 732089105890146427213150900603857270462591610378652480472813447*v^2 - 3093896690198746895728101799376444027758066677566990865538519230*v - 9077775806219600374356535965702394733880681558743542712850388467) / 72543392499861390092066417516481597531009616745700465193982445 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 68\!\cdots\!44 \nu^{15} + \cdots + 94\!\cdots\!56 ) / 21\!\cdots\!35$$ (681477551561160490334006228133010575973586702992399544*v^15 - 3618348906998688204447152946997520471627516675471432474*v^14 - 15983496212164404425646034867054189169222275389432034360*v^13 + 266313079209871473749729759154058002237838719106952327884*v^12 + 491343913972361614029636728656680406337620199284311791624*v^11 - 6578680139190950208692090796617981179365352580937661076396*v^10 + 28248622667365891487305402005903876016530795389641705426888*v^9 + 228165592710077091089287617145369027234669153849664285911550*v^8 + 138850095870392344221031308972338933942560307704331075831620*v^7 - 1231013807837737522590711546488487234758020761256870452128284*v^6 + 34976770271266603678267399863122852939096551136574082710902416*v^5 + 104436602667846559246040031049862959216051342579666962897306044*v^4 + 155566864839078414830082158992434250039832990592225542094423720*v^3 + 753433922987979918339052491070875923244906409619779076515836366*v^2 + 8963474114610768123911477069531441341217588672441221510967342580*v + 9498870344778294496024279475080875699762550343120289794383955856) / 217630177499584170276199252549444792593028850237101395581947335 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 30\!\cdots\!24 \nu^{15} + \cdots + 19\!\cdots\!44 ) / 72\!\cdots\!45$$ (-309235442031492677293488946266498399127487438917048624*v^15 + 2715615707505537588557931294559889543901698944426674424*v^14 + 542046650985516867058958321096768989107532842843724970*v^13 - 136331003467590421917716246136794117277456694498277692904*v^12 + 138139646214437143779928043074216536395721146083037000336*v^11 + 3527507890896159217992084086876705342279048630057024809561*v^10 - 19017880026927432773801354942907008835507318694841957852588*v^9 - 76126764165360917691255691887219537761592169781386354205125*v^8 + 140565125334424276119342041880732929837531549109215870878090*v^7 + 1524864492211577595639545987445419278527645801563585942290109*v^6 - 18282663645446127917139264842262901966674654916624853826823586*v^5 - 9399275740224945161562389202060844728261146396837129898508609*v^4 + 48388326105966522284397734393914061493024884181778209917998710*v^3 + 145281351185185261835775081214484558556934159977414999068367459*v^2 - 3482440035729149536528325201881127325935954667987908887073032110*v + 1932815896246914942971892582585695775216879640826192367806491944) / 72543392499861390092066417516481597531009616745700465193982445 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 75\!\cdots\!04 \nu^{15} + \cdots + 35\!\cdots\!53 ) / 14\!\cdots\!67$$ (-7551109798418552870272693487210604310860002278904*v^15 + 34533697018600221663762015825538813852524876492560*v^14 + 119928357526396457130947326415477564785893308449036*v^13 - 1905046427357300189032858596775935733586808405603862*v^12 - 4564938344192025633762851116605644917972480221218624*v^11 + 14398162849831379471926152819770358112997460629336138*v^10 - 316531602152439203829716502174548119631822366555746336*v^9 - 447414541010783152849107732119234148401920431722867876*v^8 - 3447229955396059385692682603928220066891103332713747940*v^7 - 30930719296350159088492140353075161709597601396119790794*v^6 - 321048988541789898115692323592692105339542684467792493324*v^5 + 171072635612125007255984698317637523122583298278468203798*v^4 - 3206969050599837713915934395905173336938080718682970597908*v^3 - 13241400951718689792215212329017871396427321620349476677106*v^2 - 19461084053222204702323420998140180025892757090544266228844*v + 356616929934851594746549355927493987183406993085915830069953) / 1450819489347582882411914619842303873824398188307732379467 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 43\!\cdots\!52 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!58 ) / 65\!\cdots\!05$$ (4361598287757788039442560877543258370994918200214327852*v^15 - 28095733992591991966094110278146056180059573103548165542*v^14 - 121272100291988770406474879343390624081572500913308314280*v^13 + 1923870478166913073553738769615383668129671567725008394242*v^12 + 2656090114991826640260728203125334417882605993074531409932*v^11 - 53667604115105789297928500189423006060484877473851530559768*v^10 + 138918927221665892924654840862184591780121291514545943704884*v^9 + 1275878609445621552563399261032195009454427370332439308392840*v^8 - 197673076812639963801879028787614022500583421797925080833040*v^7 - 17490758109408919920470536978764780867800716031214110801427292*v^6 + 135687321162512069759168195297305100231662748656012239618511468*v^5 + 426422762575755063349308621189562783003359267776994593673114782*v^4 - 468467605322812794474542030261573531341115468123098968641732760*v^3 - 3094143824946664617724272474720515683724642331012832617350603982*v^2 + 12144602755307665684491702436491628020483290404265481190985448480*v + 16022877904949489492980479861350396009086732521749342968379119458) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 46\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots + 44\!\cdots\!32 ) / 67\!\cdots\!65$$ (4668889956073961853105883639168*v^15 - 25871728873346714002012541207968*v^14 - 126005419800997440478927022992640*v^13 + 1931650357119967318624367576603648*v^12 + 3544259968666087260441581855500288*v^11 - 50554767306633622888186593659547712*v^10 + 164643318733841528714659928999110016*v^9 + 1542415596965550248478941496468045280*v^8 + 928140510545805541029704401231302080*v^7 - 12387389581978303846406124922979836928*v^6 + 198993391334864224764367051801069617152*v^5 + 628362737814238777751657329079454805408*v^4 + 459837995914463264031696304915306488960*v^3 + 1722841534534307297276129109978808246752*v^2 + 40265228441968860355008630779263870549440*v + 44013132320152515440659297487708081094432) / 672108280477603974429885920125776082365 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots + 87\!\cdots\!92 ) / 21\!\cdots\!35$$ (1660194212734138352247723462108336390318878878329098968*v^15 + 6094648099433845861595627028031059422028464135221832492*v^14 - 135377526825008069836203070481332812886082805849416777930*v^13 + 395682088128304332420582950923079071531687027844401938908*v^12 + 7244331757845242481015140288909000195139405756393468410728*v^11 - 14364881601446832938484975668218023115495838464478271359257*v^10 - 59728884158545133870783053158355366863026964314831126082364*v^9 + 1313857085547070357573534734768402629601305103986622262808425*v^8 + 3188020062386258890265050963624540065243522608613043981614230*v^7 - 3810199633047968052938395354416270695089229853067958896343093*v^6 + 80100842668281243552596395428741290547054990566694137774798282*v^5 + 864124445607145388734030851989217372435924097008997327618401373*v^4 + 1091714276381621759606679670376505557968877006826008908365236970*v^3 + 2906351134018304055594037738835213878082075420710065606575083617*v^2 + 28466190909903565465892490976307014859215837221655228990675851630*v + 87390093900227531207737261476891907357919153032138785793076427792) / 217630177499584170276199252549444792593028850237101395581947335 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 86\!\cdots\!88 \nu^{15} + \cdots + 42\!\cdots\!73 ) / 65\!\cdots\!05$$ (-8672303320675990817514437560151844548537517997725076688*v^15 + 62094519045395538783038969567210524680630163339668383138*v^14 + 143836783439366053941815960476171478205601008170206609870*v^13 - 3896824443893033103990191077184300806453678746938947017328*v^12 + 1078433317861419468714560001042484976433181842770653173592*v^11 + 89090443182346957622147477902185382456842575897477399476127*v^10 - 487622208812134281952488885394924885730024671052732672223316*v^9 - 1836996971778239302196390901479478028702115242381916064716165*v^8 + 2938080259172798449907903863849474677225775905878381157306410*v^7 + 15989813466306778351725837093157832343165203973405586621657003*v^6 - 380880300469955288491107727603151154870926823575180504807652622*v^5 - 420667056703102115225598930255364705225474029210791081674248623*v^4 + 529713224180137663021996174593726174828705577933342410331572450*v^3 - 11734541208504795922690421069007288578251540972199536580856016677*v^2 - 29636282706061158797696518887140931537973684241943686818426064910*v + 4290813577406295761591247792674523455097285863069043978317399673) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!16 \nu^{15} + \cdots - 34\!\cdots\!49 ) / 65\!\cdots\!05$$ (-11377230621776082579927294904412292947625100863372705416*v^15 + 27198485987753071674591707661880639920211043024340485786*v^14 + 558834927115128949390540955945233947828621096625877725330*v^13 - 4565926602668919437569129192949382387063050026048832180086*v^12 - 22402297341473445427932386878990441554510630895186020382376*v^11 + 134617404238232949090915696339840020994039385656344233707149*v^10 - 175854728926626890622561964873063349930230418826848303431972*v^9 - 6298241529292837147613831188186168436561691319915263117251045*v^8 - 5627847398429324874447467912328064440571768210516772481166690*v^7 + 30925637627196378776055399671936777054815529147555919973346221*v^6 - 613246340900544993287873364497766240833897348905102296754254754*v^5 - 3314255824495745946331622286067308278755831642966998923452268201*v^4 - 1861213638786672622400959421881152725277865944230847062585362890*v^3 - 24527976447923072943136721897249624155312320538039052949427613019*v^2 - 173161991022074400060232609446926733995715950259076908321367623570*v - 343434156619333675223764191839500200765259000373474394160934832549) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 18\!\cdots\!12 \nu^{15} + \cdots - 23\!\cdots\!08 ) / 65\!\cdots\!05$$ (-18187754044829657671632879131017245477838262662213032512*v^15 + 85914757945013404259688913060131905432552931904357910432*v^14 + 491796417471823060374998388826344296628601986063516934240*v^13 - 6563360574574854327587008051967256266811756488807674502272*v^12 - 19470213630044882659994957474024718645004125250923330279392*v^11 + 164595303397935304586508273054902215471699720486549692724928*v^10 - 497307530748555931610473627185577131463239301011131349490624*v^9 - 6444325535834502715270552696292007843024607880492362854015680*v^8 - 9824558408549476368821047364827843361618378750325405488243680*v^7 + 43936689029059034344969835016329325935855425023322816237701952*v^6 - 831705299927570537965003035562991742087944846680129574935044928*v^5 - 2944676519394689027019143755995405019716160547872728679327722752*v^4 - 5285645198498158648515967174617824962403901328117151170502801760*v^3 - 13755502167879775538830610114446173565565382898944029689935574848*v^2 - 192958107846339689705551940695702327604383240918109579511450614880*v - 239164130049430420930863526101560801024359031342018242223349556608) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 24\!\cdots\!92 \nu^{15} + \cdots + 17\!\cdots\!18 ) / 72\!\cdots\!45$$ (2417573662945782569269026758197038027299668142916936192*v^15 - 12230028156801738000708660624832025341718787823463959882*v^14 - 69728649550641306868576351991628703847667782219160944200*v^13 + 955642540807768901017961143732822668538756602464864370642*v^12 + 2337976938388706029666063043135674891645347478434750869992*v^11 - 26087089808521348868091232001066196587411029285770472823888*v^10 + 81643023214611251846119515935969490789571986036122681625264*v^9 + 883635309582521091186038894494731927820353091156497827081320*v^8 + 343832297728841208462511372544963142871494947746763504994820*v^7 - 6744831873352564437936921012690724456520373660661339775944572*v^6 + 120785342617090518985659793901465887148262319561537304864265248*v^5 + 349862160639136064619749220222545565522858937101026370210631172*v^4 + 248939733936293036876892191716707505040152290449432550665161440*v^3 + 1531700717659415167149544303432806671899364690277636424722340218*v^2 + 27797949589009736078015523158173219352873215083683349927559993980*v + 17931784177979460107612707024889170808476515204509918859635719218) / 72543392499861390092066417516481597531009616745700465193982445
 $$\nu$$ $$=$$ $$( 3 \beta_{15} - 3 \beta_{13} + 3 \beta_{12} - 9 \beta_{11} - 6 \beta_{10} - 3 \beta_{8} + 6 \beta_{7} + 3 \beta_{6} - 10 \beta_{5} - 3 \beta_{4} + 72 \beta_{3} - 3 \beta_{2} + 18 \beta _1 + 112 ) / 576$$ (3*b15 - 3*b13 + 3*b12 - 9*b11 - 6*b10 - 3*b8 + 6*b7 + 3*b6 - 10*b5 - 3*b4 + 72*b3 - 3*b2 + 18*b1 + 112) / 576 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( - 18 \beta_{14} - 9 \beta_{13} - 3 \beta_{12} - 12 \beta_{11} - 78 \beta_{10} + 21 \beta_{9} + 36 \beta_{7} - 36 \beta_{6} + 11 \beta_{5} - 12 \beta_{4} - 294 \beta_{3} - 33 \beta _1 + 1567 ) / 288$$ (-18*b14 - 9*b13 - 3*b12 - 12*b11 - 78*b10 + 21*b9 + 36*b7 - 36*b6 + 11*b5 - 12*b4 - 294*b3 - 33*b1 + 1567) / 288 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 399 \beta_{15} - 24 \beta_{14} - 93 \beta_{13} - 192 \beta_{12} - 111 \beta_{11} - 1239 \beta_{10} + 225 \beta_{9} + 27 \beta_{8} + 681 \beta_{7} - 2964 \beta_{6} - 47 \beta_{5} + 165 \beta_{4} - 4485 \beta_{3} + \cdots - 42649 ) / 1152$$ (399*b15 - 24*b14 - 93*b13 - 192*b12 - 111*b11 - 1239*b10 + 225*b9 + 27*b8 + 681*b7 - 2964*b6 - 47*b5 + 165*b4 - 4485*b3 - 549*b2 + 180*b1 - 42649) / 1152 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 504 \beta_{15} - 162 \beta_{14} + 90 \beta_{13} + 210 \beta_{12} + 24 \beta_{11} - 2727 \beta_{10} + 1410 \beta_{9} + 612 \beta_{8} + 576 \beta_{7} - 3060 \beta_{6} - 1018 \beta_{5} + 12 \beta_{4} - 11808 \beta_{3} + \cdots - 117170 ) / 288$$ (504*b15 - 162*b14 + 90*b13 + 210*b12 + 24*b11 - 2727*b10 + 1410*b9 + 612*b8 + 576*b7 - 3060*b6 - 1018*b5 + 12*b4 - 11808*b3 + 36*b2 - 1902*b1 - 117170) / 288 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 23835 \beta_{15} + 822 \beta_{14} + 9267 \beta_{13} - 1482 \beta_{12} + 2697 \beta_{11} - 4095 \beta_{10} - 13173 \beta_{9} + 22203 \beta_{8} + 13983 \beta_{7} - 157854 \beta_{6} - 25217 \beta_{5} + \cdots - 2541451 ) / 1152$$ (23835*b15 + 822*b14 + 9267*b13 - 1482*b12 + 2697*b11 - 4095*b10 - 13173*b9 + 22203*b8 + 13983*b7 - 157854*b6 - 25217*b5 + 6057*b4 - 137679*b3 + 2979*b2 - 43152*b1 - 2541451) / 1152 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( 25695 \beta_{15} - 20070 \beta_{14} + 47565 \beta_{13} + 29682 \beta_{12} + 5313 \beta_{11} + 21333 \beta_{10} - 14229 \beta_{9} + 76527 \beta_{8} + 13617 \beta_{7} - 20592 \beta_{6} + \cdots - 12550003 ) / 576$$ (25695*b15 - 20070*b14 + 47565*b13 + 29682*b12 + 5313*b11 + 21333*b10 - 14229*b9 + 76527*b8 + 13617*b7 - 20592*b6 - 104273*b5 + 27153*b4 + 352299*b3 + 60111*b2 - 450*b1 - 12550003) / 576 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 69963 \beta_{15} + 3003 \beta_{14} + 383475 \beta_{13} - 94905 \beta_{12} + 160743 \beta_{11} + 1434873 \beta_{10} - 919068 \beta_{9} + 475767 \beta_{8} + 207282 \beta_{7} + 975945 \beta_{6} + \cdots - 52056770 ) / 576$$ (69963*b15 + 3003*b14 + 383475*b13 - 94905*b12 + 160743*b11 + 1434873*b10 - 919068*b9 + 475767*b8 + 207282*b7 + 975945*b6 - 23092*b5 + 23871*b4 + 4235130*b3 + 392985*b2 - 283146*b1 - 52056770) / 576 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 260559 \beta_{15} + 59688 \beta_{14} + 236736 \beta_{13} - 75558 \beta_{12} + 179187 \beta_{11} + 1133697 \beta_{10} - 621375 \beta_{9} + 155187 \beta_{8} - 428958 \beta_{7} + \cdots - 46146125 ) / 72$$ (-260559*b15 + 59688*b14 + 236736*b13 - 75558*b12 + 179187*b11 + 1133697*b10 - 621375*b9 + 155187*b8 - 428958*b7 + 3576951*b6 + 173597*b5 + 135087*b4 + 9246900*b3 + 333495*b2 + 851907*b1 - 46146125) / 72 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 42954225 \beta_{15} + 24039156 \beta_{14} + 14825337 \beta_{13} - 17000310 \beta_{12} + 28946697 \beta_{11} + 161307858 \beta_{10} - 70251453 \beta_{9} + \cdots + 1687531457 ) / 1152$$ (-42954225*b15 + 24039156*b14 + 14825337*b13 - 17000310*b12 + 28946697*b11 + 161307858*b10 - 70251453*b9 - 10151433*b8 - 33912939*b7 + 517676892*b6 + 91500235*b5 - 1058559*b4 + 699900423*b3 + 24536403*b2 + 22741038*b1 + 1687531457) / 1152 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 185312709 \beta_{15} + 111978990 \beta_{14} - 38738799 \beta_{13} - 42483702 \beta_{12} + 62346909 \beta_{11} + 481446126 \beta_{10} - 148548129 \beta_{9} + \cdots + 10877942909 ) / 576$$ (-185312709*b15 + 111978990*b14 - 38738799*b13 - 42483702*b12 + 62346909*b11 + 481446126*b10 - 148548129*b9 - 143438625*b8 - 270523431*b7 + 1708762752*b6 + 298787263*b5 + 18886713*b4 + 2902042575*b3 + 16041987*b2 + 232851378*b1 + 10877942909) / 576 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( - 2596057755 \beta_{15} + 1107324282 \beta_{14} - 1404857001 \beta_{13} + 9575256 \beta_{12} + 517420167 \beta_{11} + 3646733652 \beta_{10} + \cdots + 425153221169 ) / 1152$$ (-2596057755*b15 + 1107324282*b14 - 1404857001*b13 + 9575256*b12 + 517420167*b11 + 3646733652*b10 + 337497627*b9 - 2922198327*b8 - 2506841139*b7 + 17429744310*b6 + 5335640407*b5 - 375864669*b4 + 4745455059*b3 - 501897051*b2 - 178237482*b1 + 425153221169) / 1152 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( - 1408718718 \beta_{15} + 696853548 \beta_{14} - 1908838827 \beta_{13} + 185930514 \beta_{12} - 318258924 \beta_{11} + 954713379 \beta_{10} + 1384340652 \beta_{9} + \cdots + 373014824522 ) / 144$$ (-1408718718*b15 + 696853548*b14 - 1908838827*b13 + 185930514*b12 - 318258924*b11 + 954713379*b10 + 1384340652*b9 - 2858025456*b8 - 1880646813*b7 + 1133596251*b6 + 2594370886*b5 - 339572394*b4 - 10977597339*b3 - 1563668298*b2 + 339216237*b1 + 373014824522) / 144 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 29974297578 \beta_{15} - 21184407888 \beta_{14} - 109916664456 \beta_{13} + 41550296328 \beta_{12} - 47039296458 \beta_{11} - 237455847273 \beta_{10} + \cdots + 21514937631830 ) / 1152$$ (-29974297578*b15 - 21184407888*b14 - 109916664456*b13 + 41550296328*b12 - 47039296458*b11 - 237455847273*b10 + 204122984010*b9 - 134724920166*b8 - 31214409852*b7 - 566452151418*b6 + 36375601522*b5 - 35182150950*b4 - 2034730168164*b3 - 101491924590*b2 - 49941862086*b1 + 21514937631830) / 1152 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( 107681168628 \beta_{15} - 82002501531 \beta_{14} - 149942222739 \beta_{13} + 56627239623 \beta_{12} - 124433511276 \beta_{11} - 634678808685 \beta_{10} + \cdots + 25098831316387 ) / 288$$ (107681168628*b15 - 82002501531*b14 - 149942222739*b13 + 56627239623*b12 - 124433511276*b11 - 634678808685*b10 + 350539446243*b9 - 130194387486*b8 + 115226548182*b7 - 2306823836904*b6 - 208027423321*b5 - 63071403006*b4 - 4543170736974*b3 - 212053327308*b2 - 91027166217*b1 + 25098831316387) / 288 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 5820299923323 \beta_{15} - 4301167909614 \beta_{14} - 1787943120429 \beta_{13} + 1949654378148 \beta_{12} - 3964444728267 \beta_{11} + \cdots + 114192210569339 ) / 1152$$ (5820299923323*b15 - 4301167909614*b14 - 1787943120429*b13 + 1949654378148*b12 - 3964444728267*b11 - 25967379434865*b10 + 11024545157001*b9 + 577699452891*b8 + 6304111742193*b7 - 75388109585484*b6 - 12700724372867*b5 - 1282760659779*b4 - 121550044336329*b3 - 4041260480385*b2 - 1921401179100*b1 + 114192210569339) / 1152

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/384\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$127$$ $$133$$ $$257$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$1$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
257.1
 −1.10373 − 0.840249i −1.10373 + 0.840249i 2.18273 + 4.51404i 2.18273 − 4.51404i 4.43019 + 3.93201i 4.43019 − 3.93201i −3.40000 + 2.59434i −3.40000 − 2.59434i 2.27178 − 3.46189i 2.27178 + 3.46189i 6.34189 − 3.61720i 6.34189 + 3.61720i −3.05642 − 3.40211i −3.05642 + 3.40211i −5.66644 − 2.02063i −5.66644 + 2.02063i
0 −8.70713 2.27724i 0 28.9306i 0 −2.36161 0 70.6284 + 39.6564i 0
257.2 0 −8.70713 + 2.27724i 0 28.9306i 0 −2.36161 0 70.6284 39.6564i 0
257.3 0 −6.57180 6.14911i 0 9.58700i 0 −22.6799 0 5.37699 + 80.8213i 0
257.4 0 −6.57180 + 6.14911i 0 9.58700i 0 −22.6799 0 5.37699 80.8213i 0
257.5 0 −5.70733 6.95891i 0 34.7105i 0 89.5593 0 −15.8529 + 79.4335i 0
257.6 0 −5.70733 + 6.95891i 0 34.7105i 0 89.5593 0 −15.8529 79.4335i 0
257.7 0 0.622561 8.97844i 0 0.562050i 0 −55.8203 0 −80.2248 11.1793i 0
257.8 0 0.622561 + 8.97844i 0 0.562050i 0 −55.8203 0 −80.2248 + 11.1793i 0
257.9 0 3.32132 8.36474i 0 25.4639i 0 36.1251 0 −58.9376 55.5640i 0
257.10 0 3.32132 + 8.36474i 0 25.4639i 0 36.1251 0 −58.9376 + 55.5640i 0
257.11 0 4.08506 8.01949i 0 47.0883i 0 −13.4570 0 −47.6246 65.5202i 0
257.12 0 4.08506 + 8.01949i 0 47.0883i 0 −13.4570 0 −47.6246 + 65.5202i 0
257.13 0 7.95805 4.20350i 0 19.3338i 0 67.6413 0 45.6611 66.9034i 0
257.14 0 7.95805 + 4.20350i 0 19.3338i 0 67.6413 0 45.6611 + 66.9034i 0
257.15 0 8.99926 0.115244i 0 25.0292i 0 −59.0069 0 80.9734 2.07423i 0
257.16 0 8.99926 + 0.115244i 0 25.0292i 0 −59.0069 0 80.9734 + 2.07423i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 257.16 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
3.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 384.5.e.d yes 16
3.b odd 2 1 inner 384.5.e.d yes 16
4.b odd 2 1 384.5.e.a 16
8.b even 2 1 384.5.e.b yes 16
8.d odd 2 1 384.5.e.c yes 16
12.b even 2 1 384.5.e.a 16
24.f even 2 1 384.5.e.c yes 16
24.h odd 2 1 384.5.e.b yes 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
384.5.e.a 16 4.b odd 2 1
384.5.e.a 16 12.b even 2 1
384.5.e.b yes 16 8.b even 2 1
384.5.e.b yes 16 24.h odd 2 1
384.5.e.c yes 16 8.d odd 2 1
384.5.e.c yes 16 24.f even 2 1
384.5.e.d yes 16 1.a even 1 1 trivial
384.5.e.d yes 16 3.b odd 2 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{5}^{\mathrm{new}}(384, [\chi])$$:

 $$T_{7}^{8} - 40 T_{7}^{7} - 9800 T_{7}^{6} + 186176 T_{7}^{5} + 29617840 T_{7}^{4} - 12942592 T_{7}^{3} - 22111959680 T_{7}^{2} - 271760728576 T_{7} - 519546316544$$ T7^8 - 40*T7^7 - 9800*T7^6 + 186176*T7^5 + 29617840*T7^4 - 12942592*T7^3 - 22111959680*T7^2 - 271760728576*T7 - 519546316544 $$T_{13}^{8} - 107088 T_{13}^{6} + 4006400 T_{13}^{5} + 3129196896 T_{13}^{4} - 218176770048 T_{13}^{3} - 13278939766016 T_{13}^{2} + \cdots + 115283511800064$$ T13^8 - 107088*T13^6 + 4006400*T13^5 + 3129196896*T13^4 - 218176770048*T13^3 - 13278939766016*T13^2 + 1020751011717120*T13 + 115283511800064

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16}$$
$3$ $$T^{16} - 8 T^{15} + \cdots + 18\!\cdots\!41$$
$5$ $$T^{16} + 6000 T^{14} + \cdots + 98\!\cdots\!04$$
$7$ $$(T^{8} - 40 T^{7} + \cdots - 519546316544)^{2}$$
$11$ $$T^{16} + 133456 T^{14} + \cdots + 83\!\cdots\!56$$
$13$ $$(T^{8} - 107088 T^{6} + \cdots + 115283511800064)^{2}$$
$17$ $$T^{16} + 693696 T^{14} + \cdots + 67\!\cdots\!56$$
$19$ $$(T^{8} + 408 T^{7} + \cdots - 30\!\cdots\!48)^{2}$$
$23$ $$T^{16} + 2222656 T^{14} + \cdots + 34\!\cdots\!44$$
$29$ $$T^{16} + 5824624 T^{14} + \cdots + 37\!\cdots\!00$$
$31$ $$(T^{8} - 296 T^{7} + \cdots - 45\!\cdots\!64)^{2}$$
$37$ $$(T^{8} + 1120 T^{7} + \cdots - 37\!\cdots\!20)^{2}$$
$41$ $$T^{16} + 20659648 T^{14} + \cdots + 71\!\cdots\!24$$
$43$ $$(T^{8} + 184 T^{7} + \cdots + 12\!\cdots\!48)^{2}$$
$47$ $$T^{16} + 43866624 T^{14} + \cdots + 14\!\cdots\!84$$
$53$ $$T^{16} + 46166640 T^{14} + \cdots + 20\!\cdots\!24$$
$59$ $$T^{16} + 110124688 T^{14} + \cdots + 23\!\cdots\!04$$
$61$ $$(T^{8} - 1760 T^{7} + \cdots - 33\!\cdots\!40)^{2}$$
$67$ $$(T^{8} - 1768 T^{7} + \cdots - 24\!\cdots\!80)^{2}$$
$71$ $$T^{16} + 289956160 T^{14} + \cdots + 79\!\cdots\!84$$
$73$ $$(T^{8} - 1840 T^{7} + \cdots + 11\!\cdots\!56)^{2}$$
$79$ $$(T^{8} + 7224 T^{7} + \cdots - 56\!\cdots\!72)^{2}$$
$83$ $$T^{16} + 554373456 T^{14} + \cdots + 97\!\cdots\!44$$
$89$ $$T^{16} + 720972928 T^{14} + \cdots + 14\!\cdots\!24$$
$97$ $$(T^{8} - 1632 T^{7} + \cdots - 33\!\cdots\!84)^{2}$$