# Properties

 Label 384.5.e.c Level $384$ Weight $5$ Character orbit 384.e Analytic conductor $39.694$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$384 = 2^{7} \cdot 3$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$5$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 384.e (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$39.6940658242$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{16} - 4 x^{15} - 32 x^{14} + 356 x^{13} + 1348 x^{12} - 8992 x^{11} + 22064 x^{10} + 391324 x^{9} + 724325 x^{8} - 2262056 x^{7} + 45109352 x^{6} + \cdots + 21479188203$$ x^16 - 4*x^15 - 32*x^14 + 356*x^13 + 1348*x^12 - 8992*x^11 + 22064*x^10 + 391324*x^9 + 724325*x^8 - 2262056*x^7 + 45109352*x^6 + 210288484*x^5 + 385003542*x^4 + 866573964*x^3 + 12462543468*x^2 + 25672770504*x + 21479188203 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{11}]$$ Coefficient ring index: $$2^{54}\cdot 3^{10}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_1 q^{3} - \beta_{3} q^{5} + ( - \beta_{2} + \beta_1 - 5) q^{7} + (\beta_{5} + \beta_1) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b1 * q^3 - b3 * q^5 + (-b2 + b1 - 5) * q^7 + (b5 + b1) * q^9 $$q + \beta_1 q^{3} - \beta_{3} q^{5} + ( - \beta_{2} + \beta_1 - 5) q^{7} + (\beta_{5} + \beta_1) q^{9} + \beta_{9} q^{11} + ( - \beta_{7} - \beta_{2} + \beta_1) q^{13} + ( - \beta_{15} - \beta_{7} - \beta_{3} - \beta_{2} + \beta_1 - 26) q^{15} + ( - \beta_{15} - \beta_{9} - \beta_{6} - \beta_{3}) q^{17} + ( - \beta_{12} + \beta_{7} - \beta_{5} + \beta_{2} - \beta_1 - 51) q^{19} + (\beta_{12} - \beta_{10} - \beta_{9} + \beta_{8} - 2 \beta_{2} - 4 \beta_1 + 41) q^{21} + ( - \beta_{15} + \beta_{13} - \beta_{11} - \beta_{10} - \beta_{8} - \beta_{6} + 2 \beta_{5} + \beta_{4} - 4 \beta_{3} + \cdots - 5) q^{23}+ \cdots + (\beta_{15} - 5 \beta_{14} - 4 \beta_{13} + 11 \beta_{11} + 62 \beta_{10} - 3 \beta_{9} + \cdots + 1769) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b1 * q^3 - b3 * q^5 + (-b2 + b1 - 5) * q^7 + (b5 + b1) * q^9 + b9 * q^11 + (-b7 - b2 + b1) * q^13 + (-b15 - b7 - b3 - b2 + b1 - 26) * q^15 + (-b15 - b9 - b6 - b3) * q^17 + (-b12 + b7 - b5 + b2 - b1 - 51) * q^19 + (b12 - b10 - b9 + b8 - 2*b2 - 4*b1 + 41) * q^21 + (-b15 + b13 - b11 - b10 - b8 - b6 + 2*b5 + b4 - 4*b3 + 9*b1 - 5) * q^23 + (-b15 + b14 - b12 + b9 - b7 + b6 + b4 - 4*b2 - b1 - 123) * q^25 + (-b15 + b14 + b11 + 2*b10 + 2*b7 - b6 + 4*b3 + b2 - 18) * q^27 + (3*b15 + b14 - 2*b13 - b12 + b11 + 3*b10 - 3*b9 + b7 + b6 - b5 - b4 + b3 + 2*b2 - 13*b1 + 6) * q^29 + (-b14 - b13 - b12 + 2*b11 + 3*b10 - b9 - b8 + 3*b7 + 5*b5 - 2*b4 + b2 + 11*b1 - 38) * q^31 + (-b14 - b12 + b11 + b10 + 4*b9 + 2*b8 + 3*b7 - 2*b6 + 2*b5 - 3*b4 + b3 - 6*b2 - 23) * q^33 + (-2*b15 - 2*b13 - 2*b11 - 4*b10 + b9 + 2*b8 - 2*b6 + 8*b5 + b4 + 12*b3 + b1 + 3) * q^35 + (3*b15 - b14 + 2*b13 - b12 + b11 - b10 - b9 + 2*b8 + 4*b7 - 3*b6 - b5 + b4 + 15*b2 - 44*b1 + 156) * q^37 + (-2*b15 + b13 + 2*b12 - 5*b11 - 3*b10 + 4*b9 - b8 + b7 + 3*b6 + 3*b4 + 19*b3 + 7*b1 - 8) * q^39 + (3*b15 + 2*b14 - 4*b13 - 2*b12 + b11 + b10 + 7*b9 + 2*b7 - b6 + b5 + 4*b4 + 5*b3 + 4*b2 + 26*b1 - 16) * q^41 + (2*b15 + 2*b13 - 3*b12 + 6*b11 + 4*b10 + 2*b8 - b7 - 2*b6 + 13*b5 - 4*b4 - 5*b2 + 5*b1 - 9) * q^43 + (b15 + 3*b14 - 2*b13 - b11 - 6*b10 + 12*b9 + 3*b8 - 2*b7 + 3*b6 + b5 - 3*b4 + 4*b3 + 19*b2 - 38*b1 + 61) * q^45 + (-b15 - b14 + 6*b13 + b12 + 3*b11 - 2*b10 - b9 - 4*b8 - b7 + b6 - 15*b5 - b4 + 30*b3 - 2*b2 + 11*b1 - 12) * q^47 + (b15 + 3*b14 + 4*b13 + b12 - 4*b10 + 3*b9 + 4*b8 + 5*b7 - b6 - 5*b4 + 28*b2 + 5*b1 + 235) * q^49 + (b15 + 5*b14 - 2*b13 - b12 - 5*b11 + 2*b10 + 4*b9 + 2*b8 - 5*b7 + b6 - b5 + 6*b4 - 40*b3 - 2*b2 - 10*b1 + 21) * q^51 + (2*b14 - 8*b13 - 2*b12 + 4*b11 + 14*b10 + 8*b9 + 4*b8 + 2*b7 - 4*b6 - 4*b5 + 6*b4 + b3 + 4*b2 + 42*b1 - 24) * q^53 + (-5*b14 - 5*b13 - b12 - 6*b11 - b10 - 5*b9 - 5*b8 - 5*b7 - 19*b5 + 2*b4 - 2*b2 + 18*b1 - 141) * q^55 + (5*b15 - 4*b13 - 6*b12 + 5*b11 + 13*b10 - 9*b9 + 6*b8 + 2*b7 - 3*b6 + 6*b4 + 11*b3 + 38*b2 - 71*b1 + 57) * q^57 + (2*b15 + 2*b14 - 12*b13 - 2*b12 + 10*b11 - 2*b9 + 8*b8 + 2*b7 - 2*b6 - 18*b5 - 7*b4 - 60*b3 + 4*b2 - 71*b1 + 37) * q^59 + (5*b15 + b14 + 6*b13 - 7*b12 + 7*b11 + b10 + b9 + 6*b8 + 10*b7 - 5*b6 + 9*b5 - 17*b4 - 33*b2 + 126*b1 - 244) * q^61 + (-b15 - b14 + 4*b13 + 9*b12 + b11 + 16*b10 + 3*b9 - 6*b8 - 7*b7 + 7*b6 - 3*b5 - 3*b4 - 72*b3 - 9*b2 + 24*b1 + 37) * q^63 + (9*b15 + 4*b14 - 16*b13 - 4*b12 + 5*b11 - 7*b10 - 7*b9 + 8*b8 + 4*b7 + b6 + b5 - 18*b4 - 3*b3 + 8*b2 - 192*b1 + 108) * q^65 + (10*b15 + 10*b13 - 2*b11 - 12*b10 + 10*b8 + 12*b7 - 10*b6 - 16*b5 + b4 + 8*b2 - 69*b1 + 247) * q^67 + (-2*b15 + 8*b14 - 4*b13 - 7*b12 - 2*b11 - 21*b10 + b9 + 5*b8 + b7 - 2*b6 + 2*b5 + 24*b4 - b3 - 41*b2 + 23*b1 - 675) * q^69 + (2*b15 - 5*b14 + 15*b13 + 5*b12 - 10*b11 - 39*b10 - 13*b9 - 5*b8 - 5*b7 + 12*b6 + 15*b5 + 4*b4 - 102*b3 - 10*b2 + 56*b1 - 25) * q^71 + (7*b15 + 5*b14 + 12*b13 + 7*b12 + b11 - 11*b10 + 5*b9 + 12*b8 + 3*b7 - 7*b6 + 3*b5 + 23*b4 - 44*b2 - 219*b1 + 352) * q^73 + (10*b15 + 6*b14 - 8*b13 - 3*b12 + 10*b11 + 32*b10 + 9*b9 + 12*b8 - 5*b7 + 6*b6 - 3*b5 - 6*b4 + 124*b3 + 25*b2 - 108*b1 - 267) * q^75 + (-12*b15 + 2*b14 - 16*b13 - 2*b12 + 30*b10 + 4*b9 + 12*b8 + 2*b7 - 16*b6 + 16*b5 - 26*b4 - 8*b3 + 4*b2 - 270*b1 + 160) * q^77 + (-2*b15 - 7*b14 - 9*b13 + 11*b12 + 9*b10 - 7*b9 - 9*b8 - 17*b7 + 2*b6 + 13*b5 + 2*b4 - 17*b2 + 25*b1 + 898) * q^79 + (14*b15 + 8*b14 - 8*b13 - 6*b12 + 7*b11 + 43*b10 + 6*b8 - 10*b7 - 2*b6 + 3*b5 - 30*b4 - 12*b3 - 54*b2 + 6*b1 + 7) * q^81 + (28*b15 + 10*b14 - 26*b13 - 10*b12 + 4*b11 - 20*b10 + 7*b9 + 6*b8 + 10*b7 + 8*b6 + 14*b5 + 2*b4 + 152*b3 + 20*b2 - 46*b1 + 24) * q^83 + (-2*b15 + 10*b14 + 8*b13 - 10*b12 + 14*b11 + 6*b10 + 10*b9 + 8*b8 - 6*b7 + 2*b6 + 34*b5 + 30*b4 + 44*b2 - 378*b1 - 516) * q^85 + (-6*b15 - 5*b14 + 4*b13 + 7*b12 - 7*b11 + 42*b10 - 37*b9 - 14*b8 - 18*b7 - b6 - 17*b5 + 3*b4 + 143*b3 - 15*b2 + 72*b1 + 884) * q^87 + (-4*b15 - 24*b13 + 7*b11 - 45*b10 - 12*b9 + 24*b8 - 4*b6 + 3*b5 + 30*b4 - 52*b3 + 236*b1 - 116) * q^89 + (10*b15 + 4*b14 + 14*b13 - b12 + 6*b11 - 8*b10 + 4*b9 + 14*b8 + 21*b7 - 10*b6 + 7*b5 - 3*b4 + 69*b2 - 134*b1 + 1480) * q^91 + (-5*b15 + 3*b14 - 2*b13 - 5*b12 + 13*b11 - 41*b10 - 25*b9 + 10*b8 + 16*b7 - 27*b6 + 3*b5 - 51*b4 - 23*b3 + 71*b2 - 88*b1 + 908) * q^93 + (-7*b15 - 8*b14 + 23*b13 + 8*b12 - 7*b11 - 75*b10 - 16*b9 - 7*b8 - 8*b7 + 9*b6 - 2*b5 - 9*b4 + 172*b3 - 16*b2 - 33*b1 + 21) * q^95 + (2*b15 + 6*b14 + 8*b13 - 14*b12 + 7*b11 - b10 + 6*b9 + 8*b8 - 30*b7 - 2*b6 + 5*b5 - 52*b4 + 48*b2 + 368*b1 + 36) * q^97 + (b15 - 5*b14 - 4*b13 + 11*b11 + 62*b10 - 3*b9 + 24*b8 + 34*b7 - 19*b6 + 8*b5 - 15*b4 - 192*b3 + 51*b2 - 154*b1 + 1769) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q + 8 q^{3} - 80 q^{7}+O(q^{10})$$ 16 * q + 8 * q^3 - 80 * q^7 $$16 q + 8 q^{3} - 80 q^{7} - 416 q^{15} - 816 q^{19} + 608 q^{21} - 2000 q^{25} - 280 q^{27} - 592 q^{31} - 496 q^{33} + 2240 q^{37} + 16 q^{39} - 368 q^{43} + 800 q^{45} + 3984 q^{49} + 352 q^{51} - 1920 q^{55} + 560 q^{57} - 3520 q^{61} + 816 q^{63} + 3536 q^{67} - 10784 q^{69} + 3680 q^{73} - 5112 q^{75} + 14448 q^{79} - 624 q^{81} - 11136 q^{85} + 14944 q^{87} + 22944 q^{91} + 13760 q^{93} + 3264 q^{97} + 26976 q^{99}+O(q^{100})$$ 16 * q + 8 * q^3 - 80 * q^7 - 416 * q^15 - 816 * q^19 + 608 * q^21 - 2000 * q^25 - 280 * q^27 - 592 * q^31 - 496 * q^33 + 2240 * q^37 + 16 * q^39 - 368 * q^43 + 800 * q^45 + 3984 * q^49 + 352 * q^51 - 1920 * q^55 + 560 * q^57 - 3520 * q^61 + 816 * q^63 + 3536 * q^67 - 10784 * q^69 + 3680 * q^73 - 5112 * q^75 + 14448 * q^79 - 624 * q^81 - 11136 * q^85 + 14944 * q^87 + 22944 * q^91 + 13760 * q^93 + 3264 * q^97 + 26976 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 4 x^{15} - 32 x^{14} + 356 x^{13} + 1348 x^{12} - 8992 x^{11} + 22064 x^{10} + 391324 x^{9} + 724325 x^{8} - 2262056 x^{7} + 45109352 x^{6} + \cdots + 21479188203$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!28 \nu^{15} + \cdots - 87\!\cdots\!42 ) / 65\!\cdots\!05$$ (-220703504023904302951538137639490844213374422599749528*v^15 + 527096732614161851418209294071845850203269862386588258*v^14 + 6284015103551728302269967942795387297522107250227313910*v^13 - 65576901520051147603920184533969829095638141249170991338*v^12 - 243227921990177808702914774230950143883201005787768847748*v^11 + 585934930075583834574215301612174575296358077200087534437*v^10 - 8058922516492423695759357007702092572941314702122342262196*v^9 - 63885770252037835522772743112143253554468896311452421740265*v^8 - 246798548798373400338028463761509438673192668994457316097750*v^7 - 782496521208656598048214112751340616463298167844433820200027*v^6 - 10547164274165260843061489179537752786149506792289297737208842*v^5 - 58196830532827982650817878788766715981523903823087664702903633*v^4 - 145102142538893040799626031868016133476363021888926745227314230*v^3 - 732089105890146427213150900603857270462591610378652480472813447*v^2 - 3093896690198746895728101799376444027758066677566990865538519230*v - 8715058843720293423896203878119986746225633475015040386880476242) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 35\!\cdots\!08 \nu^{15} + \cdots - 10\!\cdots\!37 ) / 65\!\cdots\!05$$ (-358052320646846534986938663226931673805267045897612808*v^15 + 2403387753354922683746252359018660523140849702009350158*v^14 - 18063025196424279464630622805364884568322587325244687430*v^13 + 43538597907716489253795634184056978632497158835590492892*v^12 + 223028776121318722287451473713834135029890245976383773492*v^11 - 8426861397133739280339957237765523340813042888646473552173*v^10 - 5041907837784371232402338605255363652350881598865267376316*v^9 + 193770115096845306343721201785080978748891282116770913410995*v^8 - 1625999574658297753071810496035426937405966361338833876069010*v^7 - 3166637585292004564181170087451404505627474385906551135147897*v^6 - 7299723093460965629552284833274748288218045622869275461665702*v^5 - 27402221347611336448830004893698740959125678654955667971213923*v^4 - 826502580689843349341213997712286363246310041391896483226378930*v^3 - 700428373807784280413653316305682089929208342412284114624810977*v^2 - 948733697153455083029593821755067096354734417620384293328997730*v - 10423396094192756741698056772411430788933785086254786435490973237) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 68\!\cdots\!44 \nu^{15} + \cdots - 94\!\cdots\!56 ) / 21\!\cdots\!35$$ (-681477551561160490334006228133010575973586702992399544*v^15 + 3618348906998688204447152946997520471627516675471432474*v^14 + 15983496212164404425646034867054189169222275389432034360*v^13 - 266313079209871473749729759154058002237838719106952327884*v^12 - 491343913972361614029636728656680406337620199284311791624*v^11 + 6578680139190950208692090796617981179365352580937661076396*v^10 - 28248622667365891487305402005903876016530795389641705426888*v^9 - 228165592710077091089287617145369027234669153849664285911550*v^8 - 138850095870392344221031308972338933942560307704331075831620*v^7 + 1231013807837737522590711546488487234758020761256870452128284*v^6 - 34976770271266603678267399863122852939096551136574082710902416*v^5 - 104436602667846559246040031049862959216051342579666962897306044*v^4 - 155566864839078414830082158992434250039832990592225542094423720*v^3 - 753433922987979918339052491070875923244906409619779076515836366*v^2 - 8963474114610768123911477069531441341217588672441221510967342580*v - 9498870344778294496024279475080875699762550343120289794383955856) / 217630177499584170276199252549444792593028850237101395581947335 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 26\!\cdots\!28 \nu^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!53 ) / 72\!\cdots\!45$$ (-269188267812460519988488265939980063882533937349593028*v^15 + 2377005165229489482745569439166519452676435592356701148*v^14 + 789416296122730682191827280187888397491084001620561290*v^13 - 147577717642780327320390280027521661625531437033231059628*v^12 + 305631869352064413454934305507519852062240768655847147272*v^11 + 3702861231405039580541108129412982932910914021047651127647*v^10 - 28568305407188695873806293226322801855995782191449316069936*v^9 - 62129339677079411164786059547511867028329189831991828179315*v^8 + 393003665983209746770400344121110561915879405006948181259710*v^7 - 77472264068210456149528300144691395743794747311281893489597*v^6 - 19565223802976019498126757537461301424393817023864638238499322*v^5 - 2102232357128938651060754830064134655131042291670353625233253*v^4 + 59289312194118794867243906128769485336264552441026787734637590*v^3 - 699271592809348083218640080450059917116479536851936983267801287*v^2 - 3500350877272035139951729729060661831736796619580588693796597770*v + 2575353491880559068760530291796847353933206410782302622026718053) / 72543392499861390092066417516481597531009616745700465193982445 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 95\!\cdots\!12 \nu^{15} + \cdots + 31\!\cdots\!83 ) / 21\!\cdots\!35$$ (953852795643636193642303555013874412436430754508525212*v^15 - 321081429621565423601186176483956622164833422694688202*v^14 - 56543737385581631923361465418275696093149094325906990050*v^13 + 302128452504230025582395620183654304684536189759717667162*v^12 + 2750206833122734411498211414461452977343807029329957087252*v^11 - 9638135766676468643022846544811847369292390924094577285973*v^10 - 7999565700538377055340839230713820156629756709150426507136*v^9 + 576233061800129309129712734118324521176655549390499788822725*v^8 + 1124252242262813658261268253814190285554096458576255538547790*v^7 - 2876528311653544128551371129031715121812273285661212561675077*v^6 + 42488815390385163834727293082939167772005272767589384517406358*v^5 + 336230714350071233789764543750101340468837492948345336671501607*v^4 + 371757272794080654284093720029087082584972518234002246570558370*v^3 + 833010490938783951347227869186757842725494845883067375244219183*v^2 + 12414494134030415325276446908250602576659034044476696481911591190*v + 31003747190999661453820401990045749002121734282852353101139831783) / 217630177499584170276199252549444792593028850237101395581947335 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 30\!\cdots\!56 \nu^{15} + \cdots - 54\!\cdots\!16 ) / 65\!\cdots\!05$$ (3027800883645935603615786194080661847979912964775228956*v^15 - 17988867565846567444822289399909847348841159500480553486*v^14 - 31600339116423224720338763252933423977454855076644441480*v^13 + 957300674433449574636535687762976046835428870950473479176*v^12 + 1261632898690302882911665792886096864843923557108392295436*v^11 - 21225833776690961064303258682834555177884520502413062105304*v^10 + 173730220084702710348768917463221964308144392958430295280132*v^9 + 525356722650708015581547657650458497827778078171959226354610*v^8 - 236863849664718314844569837418908099279113528850926667979400*v^7 + 4856116726782684404206717997577780548309809615266002779710184*v^6 + 182353499265570105192562285857950259786281002583151365911014284*v^5 + 5943304091960022825226005838069341904038811565667331411792246*v^4 + 1625716308858366304161237289388409008335453796820872746383980880*v^3 - 1874601935913780391981577529921304485798460655125411556791635966*v^2 + 50986391836296157674601965114990202072928741869264060057683352080*v - 54835204433116308976415489306219300250159136745422221627695271216) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 75\!\cdots\!04 \nu^{15} + \cdots - 35\!\cdots\!53 ) / 14\!\cdots\!67$$ (7551109798418552870272693487210604310860002278904*v^15 - 34533697018600221663762015825538813852524876492560*v^14 - 119928357526396457130947326415477564785893308449036*v^13 + 1905046427357300189032858596775935733586808405603862*v^12 + 4564938344192025633762851116605644917972480221218624*v^11 - 14398162849831379471926152819770358112997460629336138*v^10 + 316531602152439203829716502174548119631822366555746336*v^9 + 447414541010783152849107732119234148401920431722867876*v^8 + 3447229955396059385692682603928220066891103332713747940*v^7 + 30930719296350159088492140353075161709597601396119790794*v^6 + 321048988541789898115692323592692105339542684467792493324*v^5 - 171072635612125007255984698317637523122583298278468203798*v^4 + 3206969050599837713915934395905173336938080718682970597908*v^3 + 13241400951718689792215212329017871396427321620349476677106*v^2 + 19461084053222204702323420998140180025892757090544266228844*v - 356616929934851594746549355927493987183406993085915830069953) / 1450819489347582882411914619842303873824398188307732379467 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 37\!\cdots\!28 \nu^{15} + \cdots - 68\!\cdots\!67 ) / 65\!\cdots\!05$$ (-3716070913948038119194968352373185969843913634847182428*v^15 + 13720456321689059810207091560858736573980797530191017748*v^14 + 248400080117096592882428625716123895576206837388059055250*v^13 - 2287023858775158657847084199338029963816339736089275424178*v^12 - 5357768803137036699101378875498375004193299541964417303628*v^11 + 76073805384492365755474322888145378359554836439418224918697*v^10 - 141896472863698791297636889420288014573187944153308752911376*v^9 - 2176009360624686622201526252712396347428716809942454923214515*v^8 + 4125328914469837877128537190156343848737015980483139866415550*v^7 + 16647397593065297083274328616799366722957233918725124989075833*v^6 - 183087943388366504709686588441261676843173614366772164699137982*v^5 - 960933743733938657694007471145707488279006356044047913053923603*v^4 + 3326889279784433409493140155188568324256891413729726724211740030*v^3 - 9212417923688621349509756029053111589210574642500632551558249997*v^2 - 33385290236659806712993326824087770866924012290920613300584883610*v - 68294982517930930617672416716458244060240114007472899549331101967) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 43\!\cdots\!52 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!58 ) / 65\!\cdots\!05$$ (4361598287757788039442560877543258370994918200214327852*v^15 - 28095733992591991966094110278146056180059573103548165542*v^14 - 121272100291988770406474879343390624081572500913308314280*v^13 + 1923870478166913073553738769615383668129671567725008394242*v^12 + 2656090114991826640260728203125334417882605993074531409932*v^11 - 53667604115105789297928500189423006060484877473851530559768*v^10 + 138918927221665892924654840862184591780121291514545943704884*v^9 + 1275878609445621552563399261032195009454427370332439308392840*v^8 - 197673076812639963801879028787614022500583421797925080833040*v^7 - 17490758109408919920470536978764780867800716031214110801427292*v^6 + 135687321162512069759168195297305100231662748656012239618511468*v^5 + 426422762575755063349308621189562783003359267776994593673114782*v^4 - 468467605322812794474542030261573531341115468123098968641732760*v^3 - 3094143824946664617724272474720515683724642331012832617350603982*v^2 + 12144602755307665684491702436491628020483290404265481190985448480*v + 16022877904949489492980479861350396009086732521749342968379119458) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 46\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots - 44\!\cdots\!32 ) / 67\!\cdots\!65$$ (-4668889956073961853105883639168*v^15 + 25871728873346714002012541207968*v^14 + 126005419800997440478927022992640*v^13 - 1931650357119967318624367576603648*v^12 - 3544259968666087260441581855500288*v^11 + 50554767306633622888186593659547712*v^10 - 164643318733841528714659928999110016*v^9 - 1542415596965550248478941496468045280*v^8 - 928140510545805541029704401231302080*v^7 + 12387389581978303846406124922979836928*v^6 - 198993391334864224764367051801069617152*v^5 - 628362737814238777751657329079454805408*v^4 - 459837995914463264031696304915306488960*v^3 - 1722841534534307297276129109978808246752*v^2 - 40265228441968860355008630779263870549440*v - 44013132320152515440659297487708081094432) / 672108280477603974429885920125776082365 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!48 \nu^{15} + \cdots + 30\!\cdots\!03 ) / 21\!\cdots\!35$$ (-1614077979945701344986846732332191558269746574890189948*v^15 + 18615921267661514585507102856952525674907769916514247978*v^14 - 33038331344486505877069461325361687091417363708448502570*v^13 - 770942972572414172743822369265631101328450906239121552418*v^12 + 2615452085014389862270745728635620895083800162639479850732*v^11 + 19275996187035830468656454700873367993206473991939471849527*v^10 - 149103655112547740378149616499029645981797819059082423317496*v^9 - 269127823918291739833706637021983981574908179527959688479075*v^8 + 1876357602266389334331784713333040493682598758432935803503590*v^7 + 9374411299418498122639319729400998316880891157178695976402463*v^6 - 123190408992014742406044745332238937356607273334599895664851802*v^5 + 97370614564843168847706025748340767300499971952116054027972887*v^4 + 595313446776326794249761057920505989098349555065304075916394410*v^3 + 922090841518580717632628813091285579337557939087015175576222503*v^2 - 22835638287423524148300495688274831598648147061458718080770419410*v + 30736881342727219675820977629838441952253218819040768067056911103) / 217630177499584170276199252549444792593028850237101395581947335 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!72 \nu^{15} + \cdots - 32\!\cdots\!08 ) / 21\!\cdots\!35$$ (-2242857797261868779155075905850497574833151137310433872*v^15 + 13638808173573462715185837199379412735502192760818205272*v^14 + 39217491189304654190519742955243885185534688901782007390*v^13 - 883682793300243691797533081367520437211533185899184647352*v^12 - 884113077511024339224425293851853030719909729538024488832*v^11 + 19623807975527539665937387023329582266965846285155164046923*v^10 - 102830216064055687707405104862657014609512796367142146100724*v^9 - 607409924440018608514169892619140817062231528288097345795375*v^8 - 104988458373363220119246990963687617716364729171519322335810*v^7 + 792089283490227864999133793328908002656940682370021833173367*v^6 - 118858918553281727802206552897680841081876377557889536487188278*v^5 - 191552461934120433805076494784509983338110249415642147793585667*v^4 - 722293718852926622151476857586177006688938619574631514836039310*v^3 - 2898989661188988577036966406320857764103842716316560654192834263*v^2 - 15642945976325657051781761350976048886907026794596882439732764650*v - 32754462947478368445275197053683645265760889734551659102986895808) / 217630177499584170276199252549444792593028850237101395581947335 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 69\!\cdots\!28 \nu^{15} + \cdots - 93\!\cdots\!92 ) / 34\!\cdots\!95$$ (-697371145106912785373778949010338299648477474503299328*v^15 + 3406200482380143293459451498187189503130036199293514528*v^14 + 22137774959832650532047421125059239411666646389054127840*v^13 - 286218699757792734809952669462540696351458197406919435808*v^12 - 806043097529511413420063766317701624955095351791261289568*v^11 + 8455035890567139539191006360206243898014492516548165093792*v^10 - 20408430417130263760102642938236116782208770919546856736256*v^9 - 301908776611520711494309352896087666580173311313418860356320*v^8 - 143150656257421641448719646546661419143627432105585596361760*v^7 + 2689395640265369017653552561320936152547287061410383908111968*v^6 - 36264557291655943749672838813078840827407175467459339300963392*v^5 - 128876597299259909819621364238767695856039210019455213032848928*v^4 - 27837867373257819331538028862995988113595727964360482196056160*v^3 - 387430538074683424584066531352303542875963181302408292046306272*v^2 - 10085184298450316524327452136010312670775658880503936430949900320*v - 9343646271676162097107387050509010747264972017910305326905686592) / 34362659605197500569926197770964967251530871090068641407675895 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!96 \nu^{15} + \cdots + 73\!\cdots\!94 ) / 65\!\cdots\!05$$ (13675186690571672995990287032764325908746217605171389396*v^15 - 86985439652761164285161558981446594622834703641002377236*v^14 - 244319979562673872354438254458669718909981957783190764670*v^13 + 5592550914600517510064231261948562210038327434333718710876*v^12 + 4588862049273188700228599924606154992466474791558796409916*v^11 - 141656542859385484579726959242611134947060823485189091297059*v^10 + 667768082877631150540814729465652330771605750325567780029392*v^9 + 4094943755827716157584770856652370328587149592262701146081835*v^8 - 1262283253873434440268579380060062606420717627573113132023450*v^7 - 39418812821925011111080543668434215602555380180773205929827151*v^6 + 753247318679314477156859687456921603625022483436465885652669514*v^5 + 1266441560520862521858953824289719429426590054208613784380744081*v^4 - 31321397053951256553463536819136690301101092811011726575933370*v^3 + 17514071474315583629174231621410292527074657350304781764704099319*v^2 + 158730659943122738963994530869294023943756615743433356685323072390*v + 7356402391209661027804403466998886759839696265773535001274030694) / 652890532498752510828597757648334377779086550711304186745842005 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 20\!\cdots\!12 \nu^{15} + \cdots + 40\!\cdots\!38 ) / 72\!\cdots\!45$$ (2059529731886036112075908525785816399365674088249325112*v^15 - 9838689776395677413879786560036446503904013377586182822*v^14 - 60798969453552083935587743615713744522557120711068202200*v^13 + 781930516002115073598318881318489142948103488473103879322*v^12 + 2375205161622391159781818343782905047743487997857610075552*v^11 - 21248384454127749991098656218942229018037077367188906921488*v^10 + 50129859220287490316615208042237203737922381882745190083064*v^9 + 820376612986925711020452866215003857361054448885967305896500*v^8 + 1074752383179944731805939227479289157314182619016278091471540*v^7 - 8194526164888033081168968493442277000173290403176931082822892*v^6 + 94812962515135186584768045091440302383192113123275101726517688*v^5 + 402197927889682744064271440100614810356236936006116954610036592*v^4 + 452947240344772381198622455824790512220974950284348445282728320*v^3 + 632334709956680196857115520364684227888286984569668063344099598*v^2 + 25329331335168139778599522137513390340745416449874499440889873820*v + 40104025754396567871673644450827212509624572291950294558824439338) / 72543392499861390092066417516481597531009616745700465193982445
 $$\nu$$ $$=$$ $$( 4 \beta_{15} - 2 \beta_{14} - 4 \beta_{13} + 2 \beta_{12} + 2 \beta_{11} + 3 \beta_{10} - 5 \beta_{9} - \beta_{8} + 4 \beta_{7} + 2 \beta_{6} - 23 \beta_{5} + 7 \beta_{4} - 3 \beta_{3} + 20 \beta_{2} - 87 \beta _1 + 163 ) / 576$$ (4*b15 - 2*b14 - 4*b13 + 2*b12 + 2*b11 + 3*b10 - 5*b9 - b8 + 4*b7 + 2*b6 - 23*b5 + 7*b4 - 3*b3 + 20*b2 - 87*b1 + 163) / 576 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( 13 \beta_{15} + 4 \beta_{14} - 10 \beta_{13} - \beta_{12} + 17 \beta_{11} + 75 \beta_{10} + 16 \beta_{9} + 5 \beta_{8} + 13 \beta_{7} - 13 \beta_{6} - 23 \beta_{5} - 34 \beta_{4} + 36 \beta_{3} - 7 \beta_{2} + 63 \beta _1 + 1427 ) / 288$$ (13*b15 + 4*b14 - 10*b13 - b12 + 17*b11 + 75*b10 + 16*b9 + 5*b8 + 13*b7 - 13*b6 - 23*b5 - 34*b4 + 36*b3 - 7*b2 + 63*b1 + 1427) / 288 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 633 \beta_{15} - 9 \beta_{14} + 108 \beta_{13} - 249 \beta_{12} + 321 \beta_{11} + 1317 \beta_{10} + 123 \beta_{9} - 60 \beta_{8} + 57 \beta_{7} + 315 \beta_{6} - 699 \beta_{5} - 689 \beta_{4} + 2964 \beta_{3} + 348 \beta_{2} + \cdots - 43922 ) / 1152$$ (633*b15 - 9*b14 + 108*b13 - 249*b12 + 321*b11 + 1317*b10 + 123*b9 - 60*b8 + 57*b7 + 315*b6 - 699*b5 - 689*b4 + 2964*b3 + 348*b2 - 1275*b1 - 43922) / 1152 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 68 \beta_{15} + 194 \beta_{14} - 314 \beta_{13} - 116 \beta_{12} + 220 \beta_{11} + 3123 \beta_{10} + 1694 \beta_{9} + 58 \beta_{8} - 508 \beta_{7} + 400 \beta_{6} + 464 \beta_{5} - 1010 \beta_{4} + 3060 \beta_{3} + \cdots - 115958 ) / 288$$ (68*b15 + 194*b14 - 314*b13 - 116*b12 + 220*b11 + 3123*b10 + 1694*b9 + 58*b8 - 508*b7 + 400*b6 + 464*b5 - 1010*b4 + 3060*b3 - 1694*b2 - 7212*b1 - 115958) / 288 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( \beta_{15} + 12247 \beta_{14} - 1498 \beta_{13} - 9037 \beta_{12} + 3317 \beta_{11} + 12429 \beta_{10} + 8341 \beta_{9} - 3802 \beta_{8} - 19223 \beta_{7} + 20855 \beta_{6} + 12799 \beta_{5} + \cdots - 2467896 ) / 1152$$ (b15 + 12247*b14 - 1498*b13 - 9037*b12 + 3317*b11 + 12429*b10 + 8341*b9 - 3802*b8 - 19223*b7 + 20855*b6 + 12799*b5 - 6279*b4 + 157854*b3 - 37192*b2 - 151857*b1 - 2467896) / 1152 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 22141 \beta_{15} + 13751 \beta_{14} - 7790 \beta_{13} - 6947 \beta_{12} + 1475 \beta_{11} - 2765 \beta_{10} + 24863 \beta_{9} + 8794 \beta_{8} - 27613 \beta_{7} + 10669 \beta_{6} + 19907 \beta_{5} + \cdots - 3965456 ) / 192$$ (-22141*b15 + 13751*b14 - 7790*b13 - 6947*b12 + 1475*b11 - 2765*b10 + 24863*b9 + 8794*b8 - 27613*b7 + 10669*b6 + 19907*b5 + 20931*b4 + 6864*b3 - 4358*b2 - 267217*b1 - 3965456) / 192 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 463685 \beta_{15} + 312775 \beta_{14} + 165605 \beta_{13} + 46829 \beta_{12} - 51775 \beta_{11} - 1488507 \beta_{10} - 222818 \beta_{9} + 67697 \beta_{8} - 546467 \beta_{7} + \cdots - 50172173 ) / 576$$ (-463685*b15 + 312775*b14 + 165605*b13 + 46829*b12 - 51775*b11 - 1488507*b10 - 222818*b9 + 67697*b8 - 546467*b7 + 140663*b6 + 676228*b5 + 583216*b4 - 975945*b3 - 424546*b2 + 859566*b1 - 50172173) / 576 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 461717 \beta_{15} + 108514 \beta_{14} + 203780 \beta_{13} - 6865 \beta_{12} - 196765 \beta_{11} - 1295367 \beta_{10} - 276125 \beta_{9} + 68534 \beta_{8} - 283409 \beta_{7} + \cdots - 43506712 ) / 72$$ (-461717*b15 + 108514*b14 + 203780*b13 - 6865*b12 - 196765*b11 - 1295367*b10 - 276125*b9 + 68534*b8 - 283409*b7 - 132337*b6 + 435430*b5 + 977873*b4 - 3576951*b3 + 595463*b2 + 1147806*b1 - 43506712) / 72 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 42905517 \beta_{15} - 3543777 \beta_{14} + 35369424 \beta_{13} + 19427673 \beta_{12} - 24611997 \beta_{11} - 168303426 \beta_{10} - 58969893 \beta_{9} + \cdots + 1531224196 ) / 1152$$ (-42905517*b15 - 3543777*b14 + 35369424*b13 + 19427673*b12 - 24611997*b11 - 168303426*b10 - 58969893*b9 - 5670042*b8 - 8217681*b7 - 24585111*b6 + 67354563*b5 + 72356935*b4 - 517676892*b3 - 13997190*b2 + 823252107*b1 + 1531224196) / 1152 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 69804791 \beta_{15} - 92501603 \beta_{14} + 96246506 \beta_{13} + 34876091 \beta_{12} - 108292303 \beta_{11} - 511659036 \beta_{10} - 279788531 \beta_{9} + \cdots + 10487785712 ) / 576$$ (-69804791*b15 - 92501603*b14 + 96246506*b13 + 34876091*b12 - 108292303*b11 - 511659036*b10 - 279788531*b9 - 58216186*b8 + 89675821*b7 - 131549905*b6 + 33168709*b5 + 278690261*b4 - 1708762752*b3 + 125325770*b2 + 2477953317*b1 + 10487785712) / 576 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 33516937 \beta_{15} - 1873237115 \beta_{14} + 458804858 \beta_{13} + 844244783 \beta_{12} - 861724363 \beta_{11} - 3342518424 \beta_{10} - 2940596489 \beta_{9} + \cdots + 402080090394 ) / 1152$$ (33516937*b15 - 1873237115*b14 + 458804858*b13 + 844244783*b12 - 861724363*b11 - 3342518424*b10 - 2940596489*b9 - 638944168*b8 + 2453818213*b7 - 2127677641*b6 + 64463311*b5 + 90520707*b4 - 17429744310*b3 - 1114997710*b2 + 45400724415*b1 + 402080090394) / 1152 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( 517056830 \beta_{15} - 640445545 \beta_{14} - 57810902 \beta_{13} + 117356734 \beta_{12} - 112025992 \beta_{11} - 246254675 \beta_{10} - 815278270 \beta_{9} + \cdots + 118581350800 ) / 48$$ (517056830*b15 - 640445545*b14 - 57810902*b13 + 117356734*b12 - 112025992*b11 - 246254675*b10 - 815278270*b9 - 228118580*b8 + 948509216*b7 - 465406970*b6 - 783536833*b5 - 576416064*b4 - 377865417*b3 + 104740207*b2 + 6599966927*b1 + 118581350800) / 48 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( 124158997358 \beta_{15} - 87249591688 \beta_{14} - 64217369096 \beta_{13} + 12515078182 \beta_{12} + 21568170514 \beta_{11} + 255017682537 \beta_{10} + \cdots + 20568054435284 ) / 1152$$ (124158997358*b15 - 87249591688*b14 - 64217369096*b13 + 12515078182*b12 + 21568170514*b11 + 255017682537*b10 + 6956727866*b9 - 1482664880*b8 + 157391992934*b7 - 52641370346*b6 - 151635033784*b5 - 242476152538*b4 + 566452151418*b3 - 4607716550*b2 + 100902443460*b1 + 20568054435284) / 1152 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( 285682510210 \beta_{15} - 76313039837 \beta_{14} - 130256422525 \beta_{13} - 10557779896 \beta_{12} + 94699956482 \beta_{11} + 653199174885 \beta_{10} + \cdots + 24292276985813 ) / 288$$ (285682510210*b15 - 76313039837*b14 - 130256422525*b13 - 10557779896*b12 + 94699956482*b11 + 653199174885*b10 + 124284183667*b9 + 8373318629*b8 + 203823570388*b7 + 34051985726*b6 - 329914931036*b5 - 523033307449*b4 + 2306823836904*b3 + 56231199587*b2 - 2169885118356*b1 + 24292276985813) / 288 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 6610073552139 \beta_{15} + 780869951325 \beta_{14} - 4518467449902 \beta_{13} - 1286052411975 \beta_{12} + 3703487370819 \beta_{11} + \cdots + 126934006033042 ) / 1152$$ (6610073552139*b15 + 780869951325*b14 - 4518467449902*b13 - 1286052411975*b12 + 3703487370819*b11 + 25923721617705*b10 + 10017471987897*b9 + 1732354837860*b8 + 1991113618863*b7 + 3251486851569*b6 - 7880049195549*b5 - 13257474766583*b4 + 75388109585484*b3 + 3216224964408*b2 - 119514780583089*b1 + 126934006033042) / 1152

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/384\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$127$$ $$133$$ $$257$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$1$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
257.1
 −1.10373 + 0.840249i −1.10373 − 0.840249i 2.18273 − 4.51404i 2.18273 + 4.51404i 4.43019 − 3.93201i 4.43019 + 3.93201i −3.40000 − 2.59434i −3.40000 + 2.59434i 2.27178 + 3.46189i 2.27178 − 3.46189i 6.34189 + 3.61720i 6.34189 − 3.61720i −3.05642 + 3.40211i −3.05642 − 3.40211i −5.66644 + 2.02063i −5.66644 − 2.02063i
0 −8.70713 2.27724i 0 28.9306i 0 2.36161 0 70.6284 + 39.6564i 0
257.2 0 −8.70713 + 2.27724i 0 28.9306i 0 2.36161 0 70.6284 39.6564i 0
257.3 0 −6.57180 6.14911i 0 9.58700i 0 22.6799 0 5.37699 + 80.8213i 0
257.4 0 −6.57180 + 6.14911i 0 9.58700i 0 22.6799 0 5.37699 80.8213i 0
257.5 0 −5.70733 6.95891i 0 34.7105i 0 −89.5593 0 −15.8529 + 79.4335i 0
257.6 0 −5.70733 + 6.95891i 0 34.7105i 0 −89.5593 0 −15.8529 79.4335i 0
257.7 0 0.622561 8.97844i 0 0.562050i 0 55.8203 0 −80.2248 11.1793i 0
257.8 0 0.622561 + 8.97844i 0 0.562050i 0 55.8203 0 −80.2248 + 11.1793i 0
257.9 0 3.32132 8.36474i 0 25.4639i 0 −36.1251 0 −58.9376 55.5640i 0
257.10 0 3.32132 + 8.36474i 0 25.4639i 0 −36.1251 0 −58.9376 + 55.5640i 0
257.11 0 4.08506 8.01949i 0 47.0883i 0 13.4570 0 −47.6246 65.5202i 0
257.12 0 4.08506 + 8.01949i 0 47.0883i 0 13.4570 0 −47.6246 + 65.5202i 0
257.13 0 7.95805 4.20350i 0 19.3338i 0 −67.6413 0 45.6611 66.9034i 0
257.14 0 7.95805 + 4.20350i 0 19.3338i 0 −67.6413 0 45.6611 + 66.9034i 0
257.15 0 8.99926 0.115244i 0 25.0292i 0 59.0069 0 80.9734 2.07423i 0
257.16 0 8.99926 + 0.115244i 0 25.0292i 0 59.0069 0 80.9734 + 2.07423i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 257.16 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
3.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 384.5.e.c yes 16
3.b odd 2 1 inner 384.5.e.c yes 16
4.b odd 2 1 384.5.e.b yes 16
8.b even 2 1 384.5.e.a 16
8.d odd 2 1 384.5.e.d yes 16
12.b even 2 1 384.5.e.b yes 16
24.f even 2 1 384.5.e.d yes 16
24.h odd 2 1 384.5.e.a 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
384.5.e.a 16 8.b even 2 1
384.5.e.a 16 24.h odd 2 1
384.5.e.b yes 16 4.b odd 2 1
384.5.e.b yes 16 12.b even 2 1
384.5.e.c yes 16 1.a even 1 1 trivial
384.5.e.c yes 16 3.b odd 2 1 inner
384.5.e.d yes 16 8.d odd 2 1
384.5.e.d yes 16 24.f even 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{5}^{\mathrm{new}}(384, [\chi])$$:

 $$T_{7}^{8} + 40 T_{7}^{7} - 9800 T_{7}^{6} - 186176 T_{7}^{5} + 29617840 T_{7}^{4} + 12942592 T_{7}^{3} - 22111959680 T_{7}^{2} + 271760728576 T_{7} - 519546316544$$ T7^8 + 40*T7^7 - 9800*T7^6 - 186176*T7^5 + 29617840*T7^4 + 12942592*T7^3 - 22111959680*T7^2 + 271760728576*T7 - 519546316544 $$T_{13}^{8} - 107088 T_{13}^{6} - 4006400 T_{13}^{5} + 3129196896 T_{13}^{4} + 218176770048 T_{13}^{3} - 13278939766016 T_{13}^{2} + \cdots + 115283511800064$$ T13^8 - 107088*T13^6 - 4006400*T13^5 + 3129196896*T13^4 + 218176770048*T13^3 - 13278939766016*T13^2 - 1020751011717120*T13 + 115283511800064

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16}$$
$3$ $$T^{16} - 8 T^{15} + \cdots + 18\!\cdots\!41$$
$5$ $$T^{16} + 6000 T^{14} + \cdots + 98\!\cdots\!04$$
$7$ $$(T^{8} + 40 T^{7} + \cdots - 519546316544)^{2}$$
$11$ $$T^{16} + 133456 T^{14} + \cdots + 83\!\cdots\!56$$
$13$ $$(T^{8} - 107088 T^{6} + \cdots + 115283511800064)^{2}$$
$17$ $$T^{16} + 693696 T^{14} + \cdots + 67\!\cdots\!56$$
$19$ $$(T^{8} + 408 T^{7} + \cdots - 30\!\cdots\!48)^{2}$$
$23$ $$T^{16} + 2222656 T^{14} + \cdots + 34\!\cdots\!44$$
$29$ $$T^{16} + 5824624 T^{14} + \cdots + 37\!\cdots\!00$$
$31$ $$(T^{8} + 296 T^{7} + \cdots - 45\!\cdots\!64)^{2}$$
$37$ $$(T^{8} - 1120 T^{7} + \cdots - 37\!\cdots\!20)^{2}$$
$41$ $$T^{16} + 20659648 T^{14} + \cdots + 71\!\cdots\!24$$
$43$ $$(T^{8} + 184 T^{7} + \cdots + 12\!\cdots\!48)^{2}$$
$47$ $$T^{16} + 43866624 T^{14} + \cdots + 14\!\cdots\!84$$
$53$ $$T^{16} + 46166640 T^{14} + \cdots + 20\!\cdots\!24$$
$59$ $$T^{16} + 110124688 T^{14} + \cdots + 23\!\cdots\!04$$
$61$ $$(T^{8} + 1760 T^{7} + \cdots - 33\!\cdots\!40)^{2}$$
$67$ $$(T^{8} - 1768 T^{7} + \cdots - 24\!\cdots\!80)^{2}$$
$71$ $$T^{16} + 289956160 T^{14} + \cdots + 79\!\cdots\!84$$
$73$ $$(T^{8} - 1840 T^{7} + \cdots + 11\!\cdots\!56)^{2}$$
$79$ $$(T^{8} - 7224 T^{7} + \cdots - 56\!\cdots\!72)^{2}$$
$83$ $$T^{16} + 554373456 T^{14} + \cdots + 97\!\cdots\!44$$
$89$ $$T^{16} + 720972928 T^{14} + \cdots + 14\!\cdots\!24$$
$97$ $$(T^{8} - 1632 T^{7} + \cdots - 33\!\cdots\!84)^{2}$$