# Properties

 Label 384.10.d.f Level $384$ Weight $10$ Character orbit 384.d Analytic conductor $197.774$ Analytic rank $0$ Dimension $20$ CM no Inner twists $4$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$384 = 2^{7} \cdot 3$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$10$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 384.d (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$197.773761087$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$20$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{20} - 8 x^{19} - 300700 x^{18} + 6140664 x^{17} + 35387063979 x^{16} - 1130222504088 x^{15} + \cdots + 12\!\cdots\!52$$ x^20 - 8*x^19 - 300700*x^18 + 6140664*x^17 + 35387063979*x^16 - 1130222504088*x^15 - 2027709461599244*x^14 + 84850591004671480*x^13 + 57031067836759165823*x^12 - 2761881829653049004184*x^11 - 715774112122919877685260*x^10 + 33804686703728196561023832*x^9 + 4440127592352179578492608037*x^8 - 186062650255909170075184345736*x^7 - 13450754766452318411315895909412*x^6 + 457952106473696272472169073091112*x^5 + 15298236539262291502286172763910964*x^4 - 382483105264444074951018570546548352*x^3 + 3006361776222337276289989101322653304*x^2 - 10187939951443559461324435287012809264*x + 12842550816412602186535854197192532452 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{13}]$$ Coefficient ring index: $$2^{175}\cdot 3^{32}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{19}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - \beta_1 q^{3} - \beta_{7} q^{5} + \beta_{10} q^{7} - 6561 q^{9}+O(q^{10})$$ q - b1 * q^3 - b7 * q^5 + b10 * q^7 - 6561 * q^9 $$q - \beta_1 q^{3} - \beta_{7} q^{5} + \beta_{10} q^{7} - 6561 q^{9} + ( - \beta_{6} + 92 \beta_1) q^{11} + (\beta_{14} + 5 \beta_{7}) q^{13} + ( - \beta_{13} - \beta_{11} + \beta_{10}) q^{15} + (\beta_{2} - 45288) q^{17} + ( - \beta_{9} + \beta_{6} - 41 \beta_1) q^{19} + (\beta_{16} + \beta_{15} + \beta_{14} + 20 \beta_{7}) q^{21} + ( - \beta_{17} - 2 \beta_{13} + 12 \beta_{11} + 118 \beta_{10}) q^{23} + ( - \beta_{3} + 2 \beta_{2} - 484130) q^{25} + 6561 \beta_1 q^{27} + ( - \beta_{18} - 4 \beta_{15} - 9 \beta_{14} + 465 \beta_{7}) q^{29} + (\beta_{19} - 4 \beta_{17} - 111 \beta_{11} - 195 \beta_{10}) q^{31} + (\beta_{4} + \beta_{3} - 2 \beta_{2} + 602704) q^{33} + (7 \beta_{12} - 12 \beta_{9} + \beta_{8} - 68 \beta_{6} + 7213 \beta_1) q^{35} + (5 \beta_{18} + 5 \beta_{16} - 9 \beta_{15} + 2 \beta_{14} - 2643 \beta_{7}) q^{37} + ( - 3 \beta_{19} + \beta_{13} + 229 \beta_{11} - 130 \beta_{10}) q^{39} + ( - 4 \beta_{5} - 3 \beta_{4} - 2 \beta_{3} - 14 \beta_{2} + \cdots + 3713193) q^{41}+ \cdots + (6561 \beta_{6} - 603612 \beta_1) q^{99}+O(q^{100})$$ q - b1 * q^3 - b7 * q^5 + b10 * q^7 - 6561 * q^9 + (-b6 + 92*b1) * q^11 + (b14 + 5*b7) * q^13 + (-b13 - b11 + b10) * q^15 + (b2 - 45288) * q^17 + (-b9 + b6 - 41*b1) * q^19 + (b16 + b15 + b14 + 20*b7) * q^21 + (-b17 - 2*b13 + 12*b11 + 118*b10) * q^23 + (-b3 + 2*b2 - 484130) * q^25 + 6561*b1 * q^27 + (-b18 - 4*b15 - 9*b14 + 465*b7) * q^29 + (b19 - 4*b17 - 111*b11 - 195*b10) * q^31 + (b4 + b3 - 2*b2 + 602704) * q^33 + (7*b12 - 12*b9 + b8 - 68*b6 + 7213*b1) * q^35 + (5*b18 + 5*b16 - 9*b15 + 2*b14 - 2643*b7) * q^37 + (-3*b19 + b13 + 229*b11 - 130*b10) * q^39 + (-4*b5 - 3*b4 - 2*b3 - 14*b2 + 3713193) * q^41 + (13*b12 - 23*b9 - 3*b8 - 62*b6 + 14472*b1) * q^43 + 6561*b7 * q^45 + (6*b19 + 21*b17 - 50*b13 + 566*b11 + 2138*b10) * q^47 + (-9*b5 + 5*b4 + 6*b3 - 48*b2 + 12638762) * q^49 + (9*b12 - 24*b9 + 6*b8 - 75*b6 + 45299*b1) * q^51 + (-39*b18 + 32*b16 + 83*b15 + 59*b14 - 4516*b7) * q^53 + (-13*b19 + 34*b17 + 188*b13 + 2432*b11 - 3934*b10) * q^55 + (-3*b5 - b4 - 19*b3 - 37*b2 - 266794) * q^57 + (-9*b12 - 72*b9 + 9*b8 - 119*b6 + 403917*b1) * q^59 + (55*b18 - 127*b16 - 71*b15 + 174*b14 - 4343*b7) * q^61 - 6561*b10 * q^63 + (-18*b5 + 23*b4 - 52*b3 + 34*b2 + 12279455) * q^65 + (-31*b12 + 10*b9 - 39*b8 + 345*b6 - 941911*b1) * q^67 + (81*b18 + 85*b16 + 106*b15 + 85*b14 + 16979*b7) * q^69 + (30*b19 - 80*b17 + 700*b13 + 8012*b11 + 4470*b10) * q^71 + (-45*b5 - 25*b4 - 30*b3 + 582*b2 - 44759479) * q^73 + (216*b9 + 27*b8 - 621*b6 + 484269*b1) * q^75 + (-245*b18 - 572*b16 - 481*b15 - 2021*b14 - 96763*b7) * q^77 + (-16*b19 - 134*b17 - 1936*b13 + 17939*b11 + 18139*b10) * q^79 + 43046721 * q^81 + (-172*b12 + 570*b9 + 32*b8 + 393*b6 - 425534*b1) * q^83 + (85*b18 + 719*b16 + 781*b15 - 179*b14 + 153636*b7) * q^85 + (27*b19 - 81*b17 + 479*b13 + 7742*b11 + 19555*b10) * q^87 + (34*b5 + 67*b4 + 66*b3 - 1169*b2 + 44120653) * q^89 + (-196*b12 + 1015*b9 - 84*b8 + 7497*b6 - 1474249*b1) * q^91 + (324*b18 - 180*b16 - 369*b15 + 2007*b14 + 17325*b7) * q^93 + (-126*b19 + 21*b17 - 4230*b13 + 39464*b11 - 29544*b10) * q^95 + (-9*b5 - 121*b4 + 265*b3 - 80*b2 + 21684074) * q^97 + (6561*b6 - 603612*b1) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$20 q - 131220 q^{9}+O(q^{10})$$ 20 * q - 131220 * q^9 $$20 q - 131220 q^{9} - 905768 q^{17} - 9682620 q^{25} + 12054096 q^{33} + 74264008 q^{41} + 252775700 q^{49} - 5335632 q^{57} + 245588672 q^{65} - 895193896 q^{73} + 860934420 q^{81} + 882422136 q^{89} + 433683736 q^{97}+O(q^{100})$$ 20 * q - 131220 * q^9 - 905768 * q^17 - 9682620 * q^25 + 12054096 * q^33 + 74264008 * q^41 + 252775700 * q^49 - 5335632 * q^57 + 245588672 * q^65 - 895193896 * q^73 + 860934420 * q^81 + 882422136 * q^89 + 433683736 * q^97

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{20} - 8 x^{19} - 300700 x^{18} + 6140664 x^{17} + 35387063979 x^{16} - 1130222504088 x^{15} + \cdots + 12\!\cdots\!52$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 18\!\cdots\!92 \nu^{19} + \cdots + 47\!\cdots\!08 ) / 23\!\cdots\!20$$ (-1812653989431974665849711721945710249323925174592*v^19 + 2269643125557248794776340828219661271911132669044223*v^18 + 528842698860166497185759938717582721129079868413469736*v^17 - 709540547832381890258725319995061028382848255674554860848*v^16 - 51100681021852931730092906321842966297183504379025747825624*v^15 + 87939795891676534229059171128082987341965098399436381556969934*v^14 + 1192857977022257902215850610375689112698917857590420590799696664*v^13 - 5441538929692899386952027795414297115344376116283333463508436222772*v^12 + 92242220732601646940392445069218779015216446956029047568060683728784*v^11 + 174464693756947989748940388394775324737906884528802898091644372922151047*v^10 - 5675505091716073684793854428395613346323428621525068450305611806601319736*v^9 - 2815387684700939852856456195042162026773670206873844398986356987061336787864*v^8 + 97307981201464488878002712462435182356876519516205803602332464633837033053864*v^7 + 24169576164971710541864129633981520079914522753525822735568709169192753848250788*v^6 - 717064586815842491237374548912168914116558308448627912256440504113896622129978072*v^5 - 104088592171564619671669523410531395804540921042228911149273736557078695856849924852*v^4 + 2193178087437956147573046714316381964652497512203753904605425705961590666558148887168*v^3 + 175427514597318218231624582964611773061608960929713914196406452065488198655740890592052*v^2 - 1859991538607990571926225694939838906681225667063788732403923536941320913401267796892848*v + 4706953850358129015232629778624787624863496629112914919614461286996259842759039107880608) / 2370955357780333001201746515389359172771943917956576407064703451973524709027752882120 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 39\!\cdots\!29 \nu^{19} + \cdots - 10\!\cdots\!28 ) / 22\!\cdots\!90$$ (-3917666168505378590512189897096595845080527571289859329286938519051380122539582003653145598783059781879251922072497736150358383906776371944778929*v^19 - 462519228784779771198254775593547077299742099270520958537561159474336266090756609496606233418645765929114732768595589067855246065912360316562721081*v^18 + 1170351881385225031539135037596052364985066730793796865503839202087710028959341736729304171260507740130484283000372257270185972692825683477590286691515*v^17 + 123800372008902988159979677774329342865136347848291257811705883704651806838371801951563831504007406568868627873822967204711524636888465443233718485514841*v^16 - 138178521884112092541105249079006646443245733006729204923658896186221210471417654168576240338888192908007490736121395727302658319794114018629259547427660286*v^15 - 12897642611247536874191602457746866848714655573288782846417356028056427880253749354287434129378698718518219510830599832839599765428765393305933864135844529422*v^14 + 8090884290622126041908212484573849005090251716821785590406921697376904976158441578813013245088015353854872487315883181672342577668156387559446241787712922097422*v^13 + 655941707151039983243202488311350792119994223708642909446220218051892140750490247069816995998167124173288166389004952311641694989283630643027744654977409916423330*v^12 - 241520758372274750299831342377160932908063044377906264686280179691758657866525098307407969287655149567416023646580385655563235142665515127626296801617212192743040821*v^11 - 16822337282986836048787873848688565904154604008479630392537307024215411473244760792712933528320507657422413187682796781819428454485347183302294545820183191557300959117*v^10 + 3477855201015806238159885970117018786226443294372610558095419775997305613731402039522589798466228880837285211576718250990866058610962285315173183767211905557434519532487*v^9 + 210048077561312569219615344392500299940582684334396494408047644984227440055555245608991140805556262114684829560248638692830871122465779429960023144510836353703605239996397*v^8 - 24757268756023073238382769056614415985649525455023562821315640679767589597593715242906524363247439973109809834164716251360120733852028387851822993210379908708999781538406004*v^7 - 1293950450531644299089624301576538943441137271336993481430537398246479186063704216570838463158143634148671688545642085749638383264079089066828484714185082367595369507934890612*v^6 + 81536409247491247479412398522654051588605992737536240956047259957039947490939852681134285962337136962857552848378632350820468018730097433993217680370149746131063853376770675872*v^5 + 3321324171355893912559852684737076141169157258075579800243016253300753727958190520162504554674444187144428497690761311474612134741855235784010878045964265679459668920210059344920*v^4 - 82829180326301809148625238727310263077167503390550586361509353103724464870353410613643667842355805296417052994861475796275202832733436331225297037786850442339938800419039166452620*v^3 + 655975470304012022329611774681523994978690970421453996638449397382815741194662465968530911685844285701634757026633732034317681840801414182343300743495450709922192510824163957172804*v^2 - 2236171706265640840392521994832551786897657404454807240488108561181497874722967323965578893211560027622619858092479615113271729965730480913490151543732530262576855566476543708580308*v - 10706095065198440116324409605421525000252148501321066334238755736917989386735528253401401992618276263810266233401281810149576490212126345868955581360674487980628868011626236346227381128) / 22047911629892377632200717961971004190827993072332318348071516283974744288515387768974369493231818902972491406028368014307572618137826041732339807236413393560070548424856854803190 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 23\!\cdots\!12 \nu^{19} + \cdots - 95\!\cdots\!09 ) / 14\!\cdots\!35$$ (-239068058290903245489660814929507872147811326158460745169231685041775528715374038872625810061977424122064399622576882815849795563020307599348471512*v^19 - 400980397396797667861731221707065287887390963370864983974661854968614966057772295060328170731113471894079672620369873624738488225534891349557409868*v^18 + 71477333968954026812483396637771186668049848255183655172193913765634926030595380307211810705921907510738501453453486618718051607460726644960007475465920*v^17 - 776632824719788021988659904045244705978425040600219834859573201179377217587452680545776089070516137424747825132046016592964288642337331250421159726870652*v^16 - 8345464436751947132028024886236730278586094702797334878496433717031541938975661783930005238426832346215866059060136163892575331528205269368577745993941401328*v^15 + 188008163606292847916711134954961354528943558537048553002821595228131122898277377196998567787977955857184224123891516061713852103337673817243350272840125184984*v^14 + 472265004123608499416683946112697712081824750188437506419380882321192191892242798960444194585588929387730494595732214582730417618553306461843866123545691466245216*v^13 - 15381452200103139099263143995705350399743510329379461509937690589870362706058887869869576200422454253343308658051062775507973146168968630509216620865992794715989560*v^12 - 12965832996042254998110118522935002528821872466611331465730833647936160757975808390537844798135485047049191045635917699958070685434924065607342862067734881080642459448*v^11 + 507687471669347056947986858101562155654064239618946260138844576379268714434664185458291383612500194358614493232030452625670683909543201218582939239742468201610282344964*v^10 + 153185249055618431038994045474558384587588950350062688019733475934242802263860996548085804521182488655981089007848259569722288685855528072719253086430905593240117441294336*v^9 - 5695649603789599796648069912438770200476151954462701706873066700372691706682644747684519827692890658308083142507570660680473852091683568336976478241970096737667331161202284*v^8 - 834316598392495598762992298988656594478784951198081078911004205745692440868772298416115910578350130695757325024808938111821190874555604698958665016624014700914163192790148672*v^7 + 25809725164854595577897276053487083646965876559021679874800137082569012926220770804427712804840371858549931289901751264486429241260601265322759014949511060638177776536730131344*v^6 + 1789263713241389683422463920689492558518511255257391923605471116691511108476035964409387908463891981562325906633711191351397292635271175303597652229690502324569860178683823105696*v^5 - 39899288395749344005762478881951072554875099308099952530548716394138017455158047261184381787021131966456722713734799266147942301712791154703502184647300741024846922881584376246240*v^4 + 305733641371098458885720611160825449133754655356242642677940399090859190152260248659047837060430503104909228043098938589212944522888011862135204836759308871478982075826522557162720*v^3 - 1022846792803120090405774707214057986142052718181010963614963698130630616284967699521496018378217642645447004192968276026532024712325012128080384973884951167793268042840100141408848*v^2 + 1269072096174589293856685719505742659701399007716491089989242188532328657636597968273264510883177661969382147617393266645294606340631203658017180223754881442741846186607653642913856*v - 95687602505553601054255215066391408069342440532402182412411959948751427803326131532423602537272600692237390570033513471461541594069897749075147704957367994544531688245116450699689912509) / 143311425594300454609304666752811527240381954970160069262464855845835837875350020498333401706006822869321194139184392092999222017895869271260208747036687058140458564761569556220735 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 73\!\cdots\!39 \nu^{19} + \cdots + 21\!\cdots\!42 ) / 31\!\cdots\!30$$ (-73619477000478241768598541768516340325538885724480943334232281934544656574011528347938884701535664062263914859018030967955676164601129354405725439*v^19 + 11491714161776148433483002197075677259213483728862533192615986844853107058422369711283744545135936209452746434165311863043649392749421795444479999369*v^18 + 22035892072004902087781905891724138780873811894412479964299033055459162044300734620104178577009356113463800353475059666618988631290431698773594924037845*v^17 - 3717121631484961347204109154770450332911038957675890673080832352660661004381545513201725332245860058151007958528660364328294348136193894239654558742570409*v^16 - 2533859793795528641825905642950011285862552595837921671379629436318583477681922972525317540967226362064617750711556271525628012226598557145459166966258090146*v^15 + 464937275626028139886409463454964759488767993071558073396668498874169500824804787988408494641297970444821320518168234343452987064749475553971775606621323865198*v^14 + 136478013620961669991685283221010530968917355052483521227858277150332940063278405663050235114761522151944328662335308479142225709287691521659326706692247485490322*v^13 - 27866954706443365361366265547083438082722502066560880190153641464043148300355968975509503761698236408998897076072887881666300696667816262761591682766335587326385730*v^12 - 3253130500170236872246134444007342273956818259146313648742236622774710504921756461051111930674862379298385391665984868165014072588736318917442311677266746430714459451*v^11 + 796795448955939865951478000960584277827045513664532002983138551621029917076992028199750568439363959707850107960960583581363662472270966411385725963664648404606969360413*v^10 + 22529582386763290087908325859409145871702066808160825600545452808506714197781051473039931146370649051880326973060306941051114777972890553213715111094006382508681289325577*v^9 - 9482164414091482627292736196257934084964838418795688481728542033218404157340633443137324629324695319128358827515134784132218231342136341568710937693884883528051683927476093*v^8 + 25422407655867972027341439246400630134815937247237797156118185153493964396424501385598103021679357642026932585141558083102906463248881943360401062326020306260854424708317876*v^7 + 51682865193241723811884848678701220507115820282509020874620513334513996169350532166681734854647056104670473073636620864543497577348257131421231743073486408070242155339141193908*v^6 - 779018018338928009810161801860064046259540902591408992440645784634823839614342547189987778608998659986870892986044862324013127719317567022163594826227229037376051641408078187168*v^5 - 113545869366961420873351533891329770592163902552326609112632883604701498436197570002367562760072092917476012810429209119257674605813654827442504323729711116940890283731803357108120*v^4 + 2331657827694816606374285429460670572533441807636587407516536392328462390504289851066660402300282284510579539060025519979192158543058156487648740930592863039797465535021612743480140*v^3 - 17451405476885321383313386684472088462330745580292725681746077920564094465475085704243608624648229039672623946483277649229630887712877743135295895042609300347394296444026062303644036*v^2 + 57881798790162299927551805012317846327065299358966344566412360837468857162677853563746620806087199775582535017681007099693988826623525340992285740035133213558889097875223666707622932*v + 214852448806388849512328683994258449388499468770285877258849838979759840505732208161509419478536078866611228164650944505373941985160585135477616328753992864572110147025390492902627166742) / 31846983465400101024289925945069228275640434437813348724992190187963519527855560110740755934668182859849154253152087131777604892865748726946713054897041568475657458835904345826830 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 91\!\cdots\!09 \nu^{19} + \cdots - 73\!\cdots\!32 ) / 28\!\cdots\!70$$ (919756494131559797451357494217402817700265463682776466323490902369441381373043234182129012794680264246663468550416741451125371077923323000812884509*v^19 + 8852981129873837292176377277382480308567767948434591227817831023282241782826761102085319729317578921873874596075180484683654094475873179615886923341*v^18 - 274978087779006945818132022582688974934732820183804545290318629699543646118900311412302733527292936024256071590955089385612094274862704135043393998789135*v^17 + 798449178189623431399921232061858644159384858035680504800854322991856919156442230376493404022038115371996161049201184186255247158051596477184531000096099*v^16 + 32130377217195080575175459097588984824530091231589271488134197027254394682293890584682983321522146727033559980498201780762994463458661592821829771622654700006*v^15 - 467008111930562167661011179084485299222874425171884962865008404780216743901795890966604731786466932365018432140927513583598556371537250176474584244042957014938*v^14 - 1822610494976192202473785071006900462746331858923902076904302155870223125655143545629846817750362168812252904388315258200020592788656200875435599606907670731729942*v^13 + 44607533890371566025918823126672018906476368184786604618640639451043616701348968210245052544890443876046879183926485705872498437630003073725234250620633076498847510*v^12 + 50350650754971256287877703677366479348371022045229383756991278861502108785677682150273908939004863904398301980408878074383366333711045686855920282678881637097201460561*v^11 - 1549693315559027366065506827776475561945688276095543942049591894616749750592947490225884623191643704272282070724286386929966959200163817093482750661324181852880262065103*v^10 - 604898315682055451058730706595999954667069596221470414274381683035015896281392126424562449756304732030359981523997686737173632060187052495106693681767637141471584696258667*v^9 + 17042726914857780901822950254116495684462384749549904658304567921517108696170937812913677645870013265738925963098186501257619845113508188292464879975242655562510532917865343*v^8 + 3387943024809666700545192563752966505860647830501549927745589511245620188099884081224707758164053099765414289167743595811840003560948359233373106419145891315050453699236891684*v^7 - 71733638555995964839569434504501289301616095742207346499286655271027949962691226744310301437161618719108510462381279066835448796627548517418578836417301922980498828791914548988*v^6 - 7722472524666116626402750627292996898509586936675138546764441825515893035054009475983184065966324874806634390806597748355075821001120093223369220425906245062080971101591160823392*v^5 + 89678689765951019443438434478818736424234627569288763048899698301876430019571615306591490859081172062892399978069949279183352110362311921066613217798088554718120240937771635237640*v^4 + 234182088759034523448031090536852559048496599997713236140652784451938574690790856696415940190075575949688660064561701906503616695804889665116653004176420915228481392906720132723100*v^3 - 6867070195267567755389451656854643645087783426124217740472082560385743645805982053744965443578647573275512710441943594671419449494417674357326558044815630911962907349164164447901204*v^2 + 31358347564453426231082511415571499568199317881124463732058904635794015534201597536295134694622231906540925821006805162955934329988296059651116371076567923257052097989611548810692868*v - 739940998391856653122623698473190050412871934486871737920097160786634924107544906753221175624337302483190570423086343506937380163266192424482990436218739457802336391110210737192025318032) / 286622851188600909218609333505623054480763909940320138524929711691671675750700040996666803412013645738642388278368784185998444035791738542520417494073374116280917129523139112441470 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 11\!\cdots\!59 \nu^{19} + \cdots - 86\!\cdots\!00 ) / 40\!\cdots\!10$$ (1187024141606594847252204932922251609619891040827322082760986308350447175025741479467519988059260920512357794125781090132620391782964147957352534259*v^19 - 230181714637264941579720246885955581372523293436839582834815269679334938388540278459491487014847079336063474385358139911802834099547356216555215663005*v^18 - 353117613605952472833334065417524060724715159182633679698571482453718973867411901349435508669585080529025000050482688551248702300262104925742055302624479*v^17 + 73509164947401627719420005478964039588046089940791316495588184739233690733635500038095010741601259389552954975120535106489165255741863822098513546657416985*v^16 + 40039798792600038207819400193912757759956062195924717108387954607060869866298050229787690155185044653480029147011151907697289573899646342367015785330875448450*v^15 - 9101251168466235187204888737037644033798588174851628531593723898471226478213596607159679235347784823927246154642580699349758316396872488589452972380519958600998*v^14 - 2087572137579662301745538300043618721409966362258717991184929140730371749458735460460584169039574696806925382768213260732018273898020990169174584354123585387856790*v^13 + 541545600617800346557593784120737965887947311591652583838686106667654250060745550236888951096727144651820107335960605905989315030451803440302758151206377634760165178*v^12 + 45186758828428751297127482740643303516980648047271217818691311588286715123305334535757445701452609394700147651647919201013739484423514742237279825090549035895728288559*v^11 - 15446894529689230575876081239063881608094982197071670685777735073345055483046062069988620805973884724280368384392917821976537334271072515412803166985988338761745061347257*v^10 - 147666497351770961951727265641820120482937411733741848804626534090863876106727590264368530907108240014543837088620812471137298277924278107227581108179227576035894215340523*v^9 + 185981521988276453718901997007612848278380842186271810340467124525845420299975946642433633475426138651724679151590524393167469193410257022420655775694873053584492183263260957*v^8 - 2903964221212446369180285048466212097833585601455366233165115996839524269330963561282018084879322189243782331326104636328267045701542566704960539433369692224965046600399476236*v^7 - 1065414068611680678040301788519259968327294903537309408257617377448328433778617567486416396260876013881684993898551842710458545951457082585136698627278430521037936917342517747676*v^6 + 24709106940920144350842983380570193884259462988646524025544244213857373583389145391183487881448498436299932093375915009568111423067066383085818169143671705635611399348208982096688*v^5 + 2919515335707010048538450427162654741855426763071644254566168758580023011274551592687333980044946509137872489441781522686681586948423157680948562237145729040496240718181842920149264*v^4 - 61711248907348345049453294633171202588143703572794341913654013264840823503697338731844661641815412533115586143394804624504992058251382561142363045833443637948088563053277246287150764*v^3 - 3097625875208278917513211020512162238224071263699944572180315496147517224451981749608336681215762258263438824184051173925103660174176605294043520679258593065760471684511715385500474492*v^2 + 33995944735811121474835984361918192129576795066743017572116275854368410910658651893282001070798750472998476532670180096579787458717089905021296037159799734240458137764413848172818351460*v - 86707740305729747772169747260511713565666139868598647766500092468085873339830717130199802028394806216302612087407488598107589404688170364470614840837971483996943863522905461509001995500) / 40946121598371558459801333357946150640109129991474305503561387384524525107242862999523829058859092248377484039766969169428349147970248363217202499153339159468702447074734158920210 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!44 \nu^{19} + \cdots - 38\!\cdots\!36 ) / 25\!\cdots\!40$$ (15953176620058071630254480574107829045841841015410593650761037116232400503518226295114062276084629512917622381829819419761084770350115015663594235944*v^19 + 38630007403568091514638962839062574469862014174845672514250896671126352857213760242810722453110588810952983976457566326388555794247177602624213297739*v^18 - 4787189507559841170067899254775908624716171722352840078817796575336261561042075837947313215640462977592297319883574261314090552293596277445734764271123897*v^17 + 48524934460710320883971357717917873670206294735495679704775819238853125173201574228145764846258913457781219771385675541946103244100131953876837067353568671*v^16 + 562231880569248322924213450327864131224581061101718309348105408489056848224087586421724158595166495077265900310262971005676742168805387055296951095742755314108*v^15 - 12268513219751484069781300739058741278000173996422121095707274451284925130162250056040551771045299959122712480892141042122960229752335897053218305894524033891078*v^14 - 32153418000005166794344315269385399003769744188327151391607835265478003057450829745063088540199647521502575040040232505731013947257688344714808543565226155281235418*v^13 + 1025790191800174864534246502717435788430208971445414362487799236698112402344117822243034943052597988019764266801524411814237015333818145766712284546536192031081336014*v^12 + 902624935133744469578962065828903215599150174384989219507091243408399950699876476699325950878465719604174788472555295515408415317901204269170653419842226821258775233152*v^11 - 34863382942510664467392546843080733404014762283474483955109457699583187595897666820067737258602922107422561316427945662345667336712319059904266971333276607432226937295609*v^10 - 11306744210058197738107844507824445767343913442168324532002634184724449539394921091751776103896029350392269363614431347452047218790268102726436283406774475793049610800521253*v^9 + 423529038330323314435230801040680895528680340639666979638401812956030702566774795896348138241919101289023557065559152069077938048583580594017788729718227305491891493061012763*v^8 + 69990889666927161786468150410821273345583764002864277513954997027851869555554177732426961733859390214467694907158824119431103908356720569014063484583638875094924461838267345172*v^7 - 2271203033833549679074081479714762271284299673433922887359149523727679194762477645784152939082889637800974837402427520223282539782885834565956896086390932757828136580980095550516*v^6 - 212161311979065658051680331463689441599185527035326440331616667194279169571887008163177448380012891798317476772558985635964841874449317277633399127542402943910802185238427479471416*v^5 + 5370716761555016982896420387671380620590648534432012817763301025259549177017715901753275768268051089280696684857393736206879327291485073215519777317651002346579294778179391432209624*v^4 + 247951730054144590596754713414910205386429674521428802742278951115078197568866943759569574178039330125953276629836914453586937047041756833664035558384283993956693831071106424619003144*v^3 - 4231606731706495673633042654502506662057319926731423071189674049537481793907794965983850263549722957155684416643564683463166995486199121646264798674195345473476867972812400516799705484*v^2 + 22030207003188088699580942950387755405617386420952822023880852933340431355840075312808828844098563192826389945598211694171526031298472571164362656555058647598590679341853341589632890796*v - 38015259210958221708729720179731607154521637089088899116013061493738863060507920825165828244696869898377943971566415107740452297602962180560327427271078361324068159530168539022872758036) / 254775867723200808194319407560553826205123475502506789799937521503708156222844480885926047477345462878793234025216697054220839142925989815573704439176332547805259670687234766614640 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 23\!\cdots\!90 \nu^{19} + \cdots + 12\!\cdots\!56 ) / 19\!\cdots\!80$$ (-23254411790697448755250818386953951837011384287996691537471346144441315452154877240464100170826711514520702779910220999877282642907050903885895324490*v^19 + 20722186919437893789875260654445237469871751198293209920141339483713826700878473215816709617431310187096687726558093918348126967938298213111457300675821*v^18 + 6916969885449276916556617361911508488267874908157189202454142842282184703577018160657400450921873575705746673872017195705130584378402094332225777310158458*v^17 - 6330946466681413754596731746486851577812627383228005876533311555339915185051486431505690420077888852663671412973484931095531059256887032405619559675072153086*v^16 - 723905210535921783232012280365301060771998214348373345517783041485092238137043589558203926801934857240246776873615290321179722201226662046020490759269708663348*v^15 + 757200913729029752043805024067868559476117980624397613252336837043048000089987426470534207762922038541587938658117436517221943340258852824504169256516813480637650*v^14 + 27165701758108533172564357254357613195235078759087812613431497584347806889541132546180775407113664333121530510775550945736227186098805265731831704597861214807365068*v^13 - 44144542697828464596882381937902416396583732017332127911261789604125143850546405984307143106043621446268723067067947984931300899380022718081664992390952149125202882336*v^12 + 231703875086277235589326269595606584212471083341738364310641463343209510504065808294106975926516348956808378075787235433420767316469774379164694877537899226130446167742*v^11 + 1267594253226459167949029562288773565617008877780479760087172392244455460721883258305455636317958287937791258325897646407222997898226807544697623033414702736052811141883517*v^10 - 34994749255425100109771214026001112862798347215881123722519528443440521208043992617399612238710942235498218924005283694889945002707481810168950289538782289976401981638139070*v^9 - 16425616627748672100144364125291426968820963332824590706935562094654643033519086490386936489959912275611923899628988826527063922322541424137629297875770576000310504423072080926*v^8 + 530996249363777828875967140645350679673120546696777013796622705837145851149049868906296362650236862094483767921142401446583716911963607309914126450765098603846786706387161717392*v^7 + 107183764692675163586742301116322971584194751048672067438962255186581110130117623880820814216293398954771289613397979808584554624294530163844928977257510450587810241699941688036940*v^6 - 3121990257743654488387581865429135557982433233474980991145956209961071770954295019270120553175124484677630394012670693357393723686673309640130832255068151149732272974728393030594616*v^5 - 351556499018582024303791206059147444912228533430986203683800453496783611985320376880545331388314724004945254288864180548001935144741581904928254929177256512805868302347288666024663860*v^4 + 7514973304727940147849088325026313587343599989184445981173616443978587722988494032736833172480151299841994095803176576969490751299902956771489662060421772205944303812498553772384573672*v^3 + 464799121671482348436809301961734291037512946746932422818386312877052844478253997268727732995703305828056129172425460614370351075945223238748910294145321585473751996799363915161188882972*v^2 - 5014687589729116746022042091940376856771698657571482809656021569532562260218146491960944849463117480191521899984078445791764102872784402699157039041409497463237864974333016916007565833256*v + 12741556330126385097787941751623097392783288626013375660027114828158036562899420181384109210788967018871649271814624033150717255320356492545013797488846336038588895759999671527785259827656) / 191081900792400606145739555670415369653842606626880092349953141127781117167133360664444535608009097159094925518912522790665629357194492361680278329382249410853944753015426074960980 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 27\!\cdots\!64 \nu^{19} + \cdots - 13\!\cdots\!08 ) / 11\!\cdots\!80$$ (-272320818879254142028343108130926621579387025336739263296469120206813362517352422898649593739649695351257871712113924134804165256769417689805972582864*v^19 - 17887539099041102392344207544792406606424030282600897250777007787772334408787135788942987019299341346286030321889044817084784733992916600824473319619973*v^18 + 80961065861968203251357837907409845072557354130064246708611458291434839343186455841703851271739269393954752520507170062300746192959194284112309667974606680*v^17 + 4377040275472296779314959040440622600469593027864102167083896221179135340849645164024442658997823568340307356711814347788731939486025243185618581888076381568*v^16 - 9434965755215753739039368924486814653350227338447199379212381127808917872074104462133216602082200458575824514570635362697677228442402555253969475600975534876696*v^15 - 410999054119355720503288862293449131440629431864410004523372410103768007018827670401948028525519979792309543160988176049094639721890697021367834464601481638476602*v^14 + 536985715812680099211645793882367718768035012182782433067808845745045556963277477497725950509226805391075294931990580221498310804704981175285978500745946118779175576*v^13 + 19044079392148371512456051550591955840436182932596646155429915925392216523284536429735938850373507579556153059413361556918651193431814319449244710501059262627439738140*v^12 - 15100058041199474632393881936323692329650298106893460767321798353714755123164576674617447522578266639438136014166369877263623759282968194881778016789837616590822747095040*v^11 - 496919268170657590857006458133909756632177963234254339183153538814225916808083550043434174203380662228899178443040691434458681013496483350457184151443379563760820974619549*v^10 + 192569738576913254901703473515500170331462488820442139798071636243792293968406307608383986432993759010725958714080992369114175538099324659366063052216308657359196171065226168*v^9 + 8431067127995660237914326522965008441132546826973621099037956463817286417190710477742072535689225905707217451804549652212236958388309133585455528066993346100026366943606270136*v^8 - 1233388459625579999205994519738725406135767758998416092048661547839436926187297465437864717684313804527737281023887863006248170302349628373630113701541665662416156550868088776440*v^7 - 75823983027186786673031997068094087678459506394844531541203694049750207216277945061619783975711346191486536275989997439263592264949603016631732976020246395909586476700430304069324*v^6 + 4162110939734331829088792803895597071314436413316279040120935328970662392569200254991858940346111292849601290361261546611816041494573453926900397877225715110912185171975664487820360*v^5 + 318897492541802836771380291272890728558545349606933498730931459809429165011898895790058064393305184357785377395736496303564225181082681023187314311379206964529994334434661282652430076*v^4 - 7183585521968255810200508263544294312463364580554956276148048577436724653770246974985299724891864845208261915793744188358459436416702027789386396102683478590043613770611906623174958912*v^3 - 492359287756626089578027308811174219197653382273556561395469406340010517173966353276368550675910581029180218467602410352782194421844030192827552143712661115019139774772344080961165779964*v^2 + 5277340591705653225800829508509421125309383633741739673220614530982219575062862426879961200032144665770926263439119545535098147833031230466088787793943248674264994513514809298901351988688*v - 13390514114974623894631704969161654027264083420228548334256100443223064828568237699723955252726792702714854572626446070450087386309363878496558462842232750456429400710287131468197933887008) / 1146491404754403636874437334022492217923055639761280554099718846766686703002800163986667213648054582954569553113475136743993776143166954170081669976293496465123668518092556449765880 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 63\!\cdots\!13 \nu^{19} + \cdots - 16\!\cdots\!20 ) / 17\!\cdots\!20$$ (63008373173408908428812243337603969256529165522872593059048160573666663419824929192158334155201817921724520669703741814463374218018403668373655107913*v^19 - 769189762537547279231086058159815282919596579299501725650055077807670970726079391340767824123983678637655193320779179989555232862005237375020492293067*v^18 - 18972438737080064313349888646889560116330756796839820107113009857008705922447091463452805263833493545185808990295129731194925893244233559023397663175849188*v^17 + 463252507288873952451970587333691349307676839371701506339744923016474906415655248864383020825022189503092372433819014399258602882082383475688576549706047867*v^16 + 2236281998620004525162309040447593126909971139259765828895329066516451427718757726477598845072633837024977099934015136271398500200921682331656726557728558928570*v^15 - 79702928754090538475960521049660267724700755535104329085304130247971228652464745530015361098469351345923330585859676440242344948672696203878374828726658085736186*v^14 - 128414308400053059922106070851567213813921224042240099595156693793067905911267388304243999520097669009015386584778597502243176032992088328600125430962757547810497456*v^13 + 5793112719796368033318480852300029783057728608262875613851013205072406486921647132860080964616704395163466550861211352039344667322446440697284143922608972293734891526*v^12 + 3624779422881492985454636773648105979910435424922222031522942720732295651950849016872514392039235761713942493453758948393806562941629810627225114580820299345791374436949*v^11 - 184719894856551228108483818261059721713143480048421634008877987926889760873091086051354591613529460686321253587170880568579458651740721270287591538455975399165582388171511*v^10 - 45878160441901762571355629649067142508275232475993777237532205810859958714371742080646893145731954157490354975490763302115838834077521803137954942885897654199151404419604380*v^9 + 2215690323653185841611960181242613252624685764040903352373612342571720790805523668772626901968441152360804911217380171905014040891938128485493726413165916656304952339848002263*v^8 + 289953368675914729188338988613228921926080132572328543019915033466239271214217932131757061223243617123311871879783808523142964631082818870726390307948038109653772466532387851912*v^7 - 11820051868205667238221301792080068944001638933153877755558398182591448784121575190864605541547752238310487190740907145838707879915587833011572954847287632077108030702208860102364*v^6 - 910198153496468765444505900872170290911268129674290387880478096449085988715165105164288050238831703041823526057379494229683483369133091254575849887771722114187614689095409378038016*v^5 + 27378707479984608931448611726310467203743493546181546490988819101981198879625150500049431447780152918920622802448683028851775007792846397702816787582988313929925599125348237491399464*v^4 + 1121023250812989777924741565164485239097210348084988896680617697596594972295738977521418125429046948026414770182040774160467601381936520363463737832737430719505858058890388144293893700*v^3 - 19638645185865406594012477886199580840960391532687629828119787231452196060313713167948568490486407402473390092080863132818240685806716607951614883905970036385800999305900307634030537492*v^2 + 100234935992689231932076298601602839554240030387646993394650168148610393758799636903272081923683645751581050393754208284955310458397706042270848951923454788287165854988977601443663053616*v - 164459191526742860510664744399651310186163647422042206489675669287465969141038298872882042069249764451476202113349254007586634941871407894252394728386201709140111964067966276604616963620) / 176383293039139021057605743695768033526623944578658546784572130271797954308123102151794955945854551223779931248226944114460580945102608333858718457891307148480564387398854838425520 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 14\!\cdots\!96 \nu^{19} + \cdots + 30\!\cdots\!80 ) / 31\!\cdots\!65$$ (-1440913531152323855627874688353413480810094030934343422831322978834167722038706714860976780612260096*v^19 + 2889170783781711734777361659005182542913367883418213713797321806456752876542464596957354748479001344*v^18 + 432123952761635966682783411617081460807391445689650065615013212161170008531151985960960972535374348809216*v^17 - 6268388413667219250274967452175288861916502794030745641080292397784850269732808728459830920461412747535104*v^16 - 50680205189322085445351344066898964223457359614119247278239257119353238036517833914204740068559664389300902400*v^15 + 1323437336230676816238832825655076703898906861032826138447379881155330328681911098721481397467713533640430541312*v^14 + 2889930679156682643037735860038713126456677324476751241538658018927767962531632870332701813599290059611586466516992*v^13 - 104307602037050509516174469650382486522489019278946040372886515203616913291062761000697294090417080598364824541312512*v^12 - 80621927574259449510090451540460557868236958203017320384089011083838578492480856334127730026140802083972730771398802688*v^11 + 3438538019910902996071447174048431301100796150434869193516706622246922381422729077433135211517782274910437586044076760832*v^10 + 995695373405427246717316642352635895437434608720543213967139872326129645848018921764821746511507866681697695485192917478400*v^9 - 40837667327645000085344807959957277923894707899608910284667446054664063629268997309075359469288982922637721326267587115261696*v^8 - 6070683049128668269830145218855454619454503675326691132983494754722204093620226391478185408844232345277962122128074799266781184*v^7 + 213805367640042182408669301619894677753352519285784014019533959198548918925871407863797310926559977135202783514180628112381324288*v^6 + 18165533234477233058372787962082545353855348098039479862726257669059519685350260531822855362355753214030237327057867636284686303232*v^5 - 489727838037071941414529075448942398076609312012285775885298340643634461658576993715565094431561938804753164446120972536812014061568*v^4 - 21044249258898648061624823641009221977005103764598384972400870427313460891125667452414354959603617004931281632897048091208213654717440*v^3 + 363823763065278134061695439840375983341547106778679083813037047122324336786489013330065337769780210540617893901232434903391669548913664*v^2 - 1849234591490151725738328449831339376981205945734402981406370563879910080264444883803551914609920317703539603340485581019581384599089152*v + 3027919419580067759842547868730843822525903666571433965002084687097269487911895726713362118768233711328962514294527941048426544041722880) / 3161906007234640725838582025394792702057844357055882187617006971513260307163350017061520486908695349780185951335523696412225758965 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!68 \nu^{19} + \cdots + 21\!\cdots\!76 ) / 16\!\cdots\!40$$ (145099563256266310471629435564286178818413904381164653655724319858017987786978355627117885660691014540293365898918006424035127745518627199642948366568*v^19 + 12227176188189906396399572308978125831999472252158344240437882959506637271563362329109481736832093528613496304809509646571360956666729234675027299113741*v^18 - 43117134486007127054172566679638578645085080467944075636704860009032983636887686524706649085314268882170242635725466816632674977844616279640094821628019280*v^17 - 3107017428037132137722479536514327323695478333673486824520017676993193676731000037948602120007981019179489938935143313072789328000326692072121249518049822136*v^16 + 5031319765903699211187528216205770176303085463800278292644218217065296713700326680777581966938507210036393153428649392956413507831159433507533424178881407441832*v^15 + 303773765834988317035249299814088485772202848775539002239260734073516354482636605290393724322883930483347101174108698889061155721191032218085074367849241564010474*v^14 - 287639565469290140947637139714334071617090534374732707131503682345190022848329322396239440347166978592773272981820667788054951664007090157569808764418428078632003272*v^13 - 14383224486294434525600419061879715134370612992127355235961046003358778948132977012910150572478827123330857205097796116610942221526829783873010499787574280288023567500*v^12 + 8171282091897868438922825581010478750477486389341818466432174222509546124358753640424587766624434513589833449531918502715584420094270978474358038344456886572569006046200*v^11 + 349057257516351441224462793300684442925679228640206580606341916696863998191691972481861080095793714381312190935648758215637965540159738127733095588506861088738160807612613*v^10 - 105965958778936509689019241814817208018097818481837724283421393480618746309447511291253900544456376027837783763144061198781601274727631501341076118148203219503489125634236176*v^9 - 4500071554002066274775988815767900103938827766167179038146027338363651606371022410902501819149284660603971587750035868592287382844775246843124056333720881544610385210852481872*v^8 + 659608442754473937813950111781506648337899039818470252868563121256592866377081472616989508500037298757159114324642758800976649088877344114620569499106018208985876130138786634520*v^7 + 29113834221129686601726520893746002031656167638967915702473834478327954083302625020463213664655165458039974773920154587783071633850025215034969395867548679493283458940859315738668*v^6 - 1892799066463489818278155015309921107066340747888110078878547082376102433202710051595487217665609656620486013848514043336096001499581702270036063417912860615459276104155279471802440*v^5 - 84079447991144849240346403026635401617821733507533125794450147964925078722646393005788019007343112060113263845127428747414461831706124882437542284330141820169203078814287583721379772*v^4 + 2062426719133297127066710599774889189548109439791630018512080565668127702182719456044130464065112350710592547528608496506569838988839219796660427385422925844985089056460512689456178144*v^3 + 73909883479018402887940477998104836715159219137761785888070453496539516116311492518068948176528763589710254213330163877135994979508598681363785694850588782956260929184803564657691054428*v^2 - 844117783593411997724255129449962106884903187144416456980009981359440685941162856499992690758612960555325046717954124681757780690021274723783670433749790044448473987158057788891601115056*v + 2172895843321702960874126324914507719546575151625897280548884990887209629145311713970434582466796797111108886792108372089893844408326948674468514824690066175971087434512734706001317750976) / 163784486393486233839205333431784602560436519965897222014245549538098100428971451998095316235436368993509936159067876677713396591880993452868809996613356637874809788298936635680840 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 48\!\cdots\!81 \nu^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!60 ) / 11\!\cdots\!80$$ (-4870877578903797622133509081179062339263936251962638276913462376785530562105989150518862188054961828123089534548664248513156718536807439655588364320781*v^19 - 20038005755492120354612774676167410524529777255010553862074280022737805075503604109265264396413002145959177110471309112249718240728891925058463708649961*v^18 + 1461325202233470194445235825524582385239805086695859687217961353070862019655253657211564754022030385763265978310059671994580938522069514135049592386200810676*v^17 - 12385052545132454627010583605902106191810440658732522590425694994512383168177387565235810691794242099173281700365736613105862850055192398583649714565657876209*v^16 - 171600715561548756775639630383561894220144978463862786641474404087468456655563188408785714140195248496172040093833735767752314424474993163004370488829087046479570*v^15 + 3466891664802626842644771404205632069040493924755960923669347838316338452963954988769478308283962211439363648887268411233101667298432150748900357509658922635877162*v^14 + 9813492395727148213683426685823506830278084890149146677750535230076909035544237594962739185240479539758743570067581614658662776401370881528416919576635486591270944592*v^13 - 297785505522627259560502385998524447864349575583219484387387184520207243012630598399838836060889296726463773818589689675481321829454163870023859459676030521339233423442*v^12 - 275553519206983713404641665246544782980405082507810438264606625957627488465031289482225893639001797610122477320573737735152941287109870516895260577772133946070447607515033*v^11 + 10238321409959881681268840579625490526019107096540485262375481642834381386548684304072420399681739722444157007658075407593729062305140736733992600628686514459170217316681987*v^10 + 3454154837918401321582269391311819291928011371121475200384047598844646015139276799673022028219311466164496456653838876520429469767921619691769288840773343564339746054722851900*v^9 - 124920658100130268173280903161958060535658377062762059051591488517689962867453524911728416677531289116653857432646229334328257471473369699579592478585103431799274264651908948821*v^8 - 21381580512108036555553736600860828503066489783441666534731069619512939528403893984473233048934478301857373974546554356117738211224218757210113998778713705788187280173987964218984*v^7 + 672393359368380792744501616149013030296270814503141981345291518415033682719088930530594166766558076108408721501042046810323857304641650512602355974343655843637498748084061636696228*v^6 + 64730225375643871802047986504798714010884152811823381474765066503326394868851937469201814828207215777224126004720616301437655342530168458752287902229182676286369093223534519489413872*v^5 - 1600356299053363884745915612335958439035525499924407956747444839827802209702387009758806771696730717039753285341106380039483553805980815242086464435205656800792383032316068594241133288*v^4 - 75469322156138670842730248205361712033361984429249258736746091631965641462118196237238925131284791463134782295557261799428193173335092240316594460535035333788560401159038680177710593140*v^3 + 1282841881974341183609067866353127612295773623025803427762090266473752767279903573315149119272934204429019964616339101588677053175878482378944599372998798365034481296041326920754748481204*v^2 - 6490391631858424909517935185727825221684390937500145221090591689768329680468708658634615725397407536140604893388375300144770350033117324163417164216582298249144282845091767264323538050512*v + 10605052804818974298837669437596450187007393762582966830629057941577589823427827523968159194985774534992894356184084023964110491717398263827366986519178300492207706276531386819260721166860) / 1146491404754403636874437334022492217923055639761280554099718846766686703002800163986667213648054582954569553113475136743993776143166954170081669976293496465123668518092556449765880 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!32 \nu^{19} + \cdots - 27\!\cdots\!28 ) / 22\!\cdots\!60$$ (10443717458788922711484958837613101023329562262333430319912229814612597197050914899722245254437208769036065632422899846626971794638552736612845648462632*v^19 - 15946977154022459724976427704231257851243394070574967977616529839647932795470844563423921939130640202111346552360808874230197179930666510857537927216053*v^18 - 3138911397330899539125027115544533022744532556893575261157264184120637510862157741283418876103460721332657012223855354957606738512199591784303327033196415261*v^17 + 43902563696067785888018225891955773205813994092271019176155929766114358382204464521541149923407626122643836307312700861735164998946435179746269434208159332923*v^16 + 369379919274725608854948051034932666923022719444497362008364082901483674942665474824543683594331122193626671272906768589107756897174938427333536437478575709919884*v^15 - 9432891302193693252157799231838637425704368197634972627888932896467822784156474701488043273529972714331539247039234781315880001185850396626736831764681948895877174*v^14 - 21183095694152800020226742506268661207382251578271513499911982428678521631714887638230039864055191334734793884893386718218854973471677892736598862441650264124422736354*v^13 + 750674641412477864733329498986473659553528963335054480611206787811774001168445188583808992873516033180229424189915231509020198670122630858289634889113219964424239183942*v^12 + 597433868938849844530374962585311220515746060865699300926975342812246988599538200524054874797959235515522171177119017504389162693102828384751027967430480715192297340929856*v^11 - 25034396206805469465279447153176283476603064537740442411538852674881072494240374005362954999150410420345460429720754622747273220442136713061385713193354501631855671489906777*v^10 - 7556141838167569202054933054828367055772278798849048408849596800047602638225976394634806582862958454340043922907477247594248078232891853753926463945477594163504016527924423129*v^9 + 305033646200895133003748938503669495998946970624611619048510239731515876736823394364832805670960114276846552704944878267875807053841673654990785588813607673903861988532231072199*v^8 + 47434261232978957483142831482766822474051061338065795647817804037302594513100179030678063663340678941717116092013665271298146829444604812876739131151118733594536235869918116368676*v^7 - 1647071304843639514879410885673084690799283467033126654030646349832114265189039210849747924871211392338293611040381150253859184560953652788773275324429681166898496705989516010791108*v^6 - 146519768544217630480520881375962113939490242074293960186054855974839919686690225995635842724687561790551370625080918475955378036184055064674014126462514754695417751941936996903907608*v^5 + 3904382918116120421059115083173834605493895133517262944231750741803272565304216968982093257567304825063052959780350986160278106211793902453611651518875480712518317155357075042422178072*v^4 + 175522232800494769676800094292336599506754076646230435650035580584293923620453337042705261150457096433430675041590297935691990296298244660899447374531601020364486739953708765081290749992*v^3 - 3014854708395883653654338417512818012403226608957926314862392534033140215409873990139985974103425787494211101579460580477752369575977105520587133181637424108281971182320867776539340132332*v^2 + 15729481283975137938882670646753500753703724078020537134769836348329873099191049918775299892577299904717680325886041231902804320018645010258192353387176926854730243566701343419664832844508*v - 27174149949867713145658236459294603371192439489941822615258740419236155267518270525253822664096106016189032628440278843014423786020169805042204893654998309997206832762754105221164853361828) / 2292982809508807273748874668044984435846111279522561108199437693533373406005600327973334427296109165909139106226950273487987552286333908340163339952586992930247337036185112899531760 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!80 \nu^{19} + \cdots - 55\!\cdots\!76 ) / 19\!\cdots\!80$$ (152814529719549839054982240854929636208692496621892801320738724168716272780125717630979045511567490597773796574746984116482473958605390332608104799480*v^19 - 4107405538920826661356405443124213761289766046105964919201881103383136926361903145011387819844755338512335268890191695265127791422343690786215591167151*v^18 - 46290738221117646225353002300995411635828335419104323685660855809513846677296387707346904096235585384010666532987844825968185265372447382556890835595984003*v^17 + 1783129485587675101115840019181673107373959989172793841087267256752767693728741735801508945925239360490687326548095430717022257512411981571802178899079677701*v^16 + 5496844117669767449671283353418387580260297996152534893000131584910838407091140466013352810183429853611216177859867699110459782439300530180742054233199488865428*v^15 - 269467249919419264007798849158295176811725187534290429142723924444224065432484265814250114739897190982863195320363045926484403251273008241611101111716576945599570*v^14 - 318908675711814710586605641180564789702925728573604753184802419804544084856884662113434813341669894864059378539652806610980272959471790774172996552180628575555489598*v^13 + 18353634771195741220621869278364125068081861316837233686411217376218131409251173352955475010459864174835087180600104709288281425048477024619818459913376737464090288186*v^12 + 9156226916381126567845050578777902630322581700502106785748450326089603955623145274741869613145111426938293895109185216524046943192711268753002386598855325502854015688448*v^11 - 568423259712620010561906384039856472984568266611363050155304558843580693380890158577230842669138223554527674526158909343741660477491152727741757443079319036697399653512827*v^10 - 119902551402992742333417296350768284289748006899225984577256904098448843121196832884517982190616230737545152995627890114093044859510997748010373395347850225854199224075274535*v^9 + 6891920616932823747043045689734920329492873598290164294600210979436097226484994427583356003516255290691081040422779344393253070859546732828287726797351772913063828833304536921*v^8 + 793487951961727938403394131677516247183247171729476724628969060118246013508600740877912971197443905756283102305982501591117781651156343724125130492073613623128637735832892357788*v^7 - 37460177659482390380516504795777348030084046283540056652235416893988449371873723390173056866987701217268598196163103897331178876811698541902468274455796257749930460988645443780860*v^6 - 2632464884146023358062689781359413387360529559518230465025277600171780856569274145241191588824478804625234824833514904703056220907632265105219998765576791310710614516826604934103784*v^5 + 87794482568278837435417093397537532765251557772055447068513122939979056154508999289877578050461231228380142121911819570070662352420634432701938823802882586223328271092835950098046600*v^4 + 3450058652032749605791918522782942377007971026353980147702103361837249245952354867026472230925054984830149667835023808910125146600851575828491163210362085206377111249999710689189027288*v^3 - 61160161136454909662189134338084146509400143969370556745072836833957629284946953721030048690888994267609182604892223856620872955324401713231136407676416430180188309567842620915540114212*v^2 + 322259040867422119683035964857458083197527240621531820209556927060937882439578032953567849840971260940029440168905818203864512297908730307363595921119722979102135390774998131427670277156*v - 559603276973930834019629965205626998432928847476669404100544844649414181778562805722059615683327712844340602646938835284224396789876753822763142990646658325177079206682822610617413720476) / 19598143671015446784178415966196448169624882730962060753841347807977550478680344683532772882872727913753325694247438234940064549455845370428746495321256349831173820822094982047280 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( 35\!\cdots\!72 \nu^{19} + \cdots - 88\!\cdots\!12 ) / 22\!\cdots\!60$$ (35240178558729946702025594047656923902062431762956529631520927232066800460832428442082982328148252472792564100648488885984301373829774662606272689633272*v^19 - 323121806771953677481874931286111817078219204483984275652630543636764909990456560968701973660058215167542101301013719593924788183159074461664018569697647*v^18 - 10587425678084282046730018015726126428798325169145026231568047688709729218245138965371046414309966994788985428544391793228755014758147277078068872758140804203*v^17 + 227681620815331540175782452596748511780650951792027135184930792148401427406930971169584828671553507410682206192273810020627585977814128707271230344363168342557*v^16 + 1244138729026003790580598995072095286973791388217594194940137788749381037452028786958810939732854907319040524316767348137713449787652739136909588726750653547232436*v^15 - 40926883720615190867986977475348223803492065753716438436915599234562283846456674176746822548656106439269824836233291401755534213381297507429356388142994605878810034*v^14 - 71109098116956539644691428987026369707189006924584080734979125531621680822364773282519167337742366224823302493979690777325484844971776506926265293086548104831566568846*v^13 + 3028747963973710895435938743697726408102535648528411948261806102867958618427765816660250202544331405532661503139906505940891835687896520643313945502912656448571155049706*v^12 + 1990370747845440111606223584718359076169026437325950757949250309529827548915700969655083467329760616188064005293377599811135967714049753566186315329457199528921716744459648*v^11 - 97037891357314735383835773978338871221974325252393668600101391912065842983918193455711672869509354616800197702344684315531133723144155113601773293395421727543271023431252475*v^10 - 24742930074885624832881264411265139501116628722190101582749142600436752596374958792647100371916470440745197854787759030456676549062523120567939937191944465536559494098049700399*v^9 + 1149507111486279639821170495415265506952309127283040737662112074092682571006796406036613108801566845627154282238477305004768028740905358749728056131762696890067911347890701650193*v^8 + 152725404281346420233310151644879055747130669033329096627508757295474807558483184739940571652360715560457455545733778344429718356429189789473607097599765706185296089917228306578748*v^7 - 6028119300931577318633347269998977764861200804168355252831523000573481332658590101286850322990888580458629284587912938043566634024295307579085727468154395722857334242841717663416988*v^6 - 466256525659654741523411057583835421667517389939752038123515483812613873741912641695379299572637541603992765143932133397414982787546095941883159321619272751270015395999079627870761384*v^5 + 13724795938699791124407119083566005524521475062039592881222578202422151028216027464394900105952132737218118490957332276888108224864794398859770443436444426658037150768531683714392667912*v^4 + 556041825248157341746016294071847721801814966618702505201105597729749216427644542845782183358150759679239209306948740106550684710746893174424911505660289882104540610422877831894185120024*v^3 - 9743317033180332023029719959374950197768448839782225900847536209596637428124423076012122784842094615330238419084640132990481121895247683456884976135052203854714704659401585309804278875620*v^2 + 51122553543959023043161137611694948020997237723751309913007267596655069149444061042275794214114518000555633245597144086386713627200888496865165269269534880340992076691793589150694147161092*v - 88564561483620240834686095999770200979513404271067611648831180640592542366744390510478448970517806690295545689837841833915522442068860227011469448073318215213465620438773399996508650449212) / 2292982809508807273748874668044984435846111279522561108199437693533373406005600327973334427296109165909139106226950273487987552286333908340163339952586992930247337036185112899531760 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 51\!\cdots\!13 \nu^{19} + \cdots + 15\!\cdots\!80 ) / 19\!\cdots\!60$$ (-518704961379556269037724256300458986231880991897640289364995701966238438516697477749592045025928701861835325822083760022653184700795850761578024646413*v^19 - 9107364620900846377762625043561899391930988848068778421987827151461025867648059106648006102698718043522120071861824674790295637880558077621127654783593*v^18 + 156502980870046811525643627461814587433163043462872770852466049508920990418989390663004366370367186490873847572819454846602423408295724471021882735383654708*v^17 + 747164772165319384359470611744798140004833422408650260877715057590039021295786221098871398853782349959950780267343316220677174006914032303477710946674635983*v^16 - 18561638342679794956383635810977790821256193446575145543518648862778069760964114423803103787096557849752244052468482624942313803924829090005511563712704243934930*v^15 + 134679207031427269931992288147490211242850652290832337689696543637410990092406979160443663872286460146406808597073126736589192377603440388760211115088262903538986*v^14 + 1080865805626864215963401655147580562794982380674036161138849178957526959854214004273950073867494340713742170017585993988987718656606646023146432277263908357136608336*v^13 - 19314290156174478176979205546826203835237634540915498657348921826121565905302027061997670120495209726277741685786306002257142390282138973547285312434825506944666136786*v^12 - 31445864095038073801062799674281913840392962249083495627071332776433280216232677977043265046398853907710303644705582574509551412245232770742747799561139343626376383369369*v^11 + 804434116760436185340090933383696840089673036723865665967876742027200389151944117192062681178428618249729921243642626745120095857310354677356381068383544927194373936501891*v^10 + 424525199738073773893017974713605932684048400900500565136242631849651696542154802794902706904826824813967909861981453186718842312368567772945731452047278873394026404862661820*v^9 - 11481446467081455459092549221135769598890324572331696655746981882679489672310761442005951396679865651080499995340320519792670918428449983456093980427510950235423084383295322773*v^8 - 2843864976241445546310203805453501769265559620681529133887988332335985710662596794833783417799463521712513166766876981673319486832489628003321734663443270701212995198944959897192*v^7 + 71600779368468196549903206090057400293330601145195980481445059058415271321762614456021944551632219526715514321353318717412603875327744627993007970217454365787907981281771743899044*v^6 + 9264027404050901929341036164264341955999558019345001086664466423920548870950530406584414636576223374980844864527945488238792457109512182351337862019333703724102539616322492761512176*v^5 - 198125548994682059923502686370390946025067152239540948515854333877798662971536663395384780264552087532505728682695886501711689916294932832487336784361233965249779998830406947366416104*v^4 - 11550239085806484473588437724426067219170863713908139242716779281240406733112055220862363268588232642506735287925494654363343731520270070544856145547589527309354070346749354672591627380*v^3 + 190405855858531442728623643074004007884853180385989374694037328428370955708275418784822921841042107141769691738101596837387377854506501525883739644463474224700612671937153009651195843252*v^2 - 955616546968876070255811379702251102099573625969137866465979406732487550828295872496290050058625662699806725445291548805389154307830956183469691370545363831173855258796506455273360052176*v + 1555917262139954421857674506715813278056702875289154009234738725467373695466487692620863133461743496377259016509564688784671450625410513237168638300169857741141007822119160135837458010380) / 19767093185420752359904091965905038240052683444160009553443428392529081086255175241149434718069906602664992295059916150758513381778740589139339137522301663191787388242975111202860 $$\beta_{18}$$ $$=$$ $$( 69\!\cdots\!92 \nu^{19} + \cdots - 23\!\cdots\!56 ) / 25\!\cdots\!40$$ (6945443337476541127850640219743873482394858500169199753115974609600345377151118845112571795304245816022843674205845520468188044222639882806001100491592*v^19 + 99514767838746993895308233467150145561159248609185616888816676510304158905887955444165050267139133715872293811527889512096158328269687468629277281051239*v^18 - 2096895723974429951155125112723101529871992537720134341657826470085267101853070856580620335309717836044493888507144789855451699419378830958020159241527289585*v^17 - 3394811235787548652649412372063765045774034425143938627007919845648622091794337071066204404127141101036668724470375958907393106625931410771979935175931327929*v^16 + 248845837889693858064479432442441062744819650729666743124213066203677545620936399310236314719537689005969373192893793688202806883845329037614514952996461243771068*v^15 - 2562814385819209521301175203366641689630388778868125789058074730716127172524606027090810958746007045051392262506920190234554871333319021137134385735632983250283694*v^14 - 14498642589488130889717580098456069836329464987238717409534795981001139292913893843908115154070823852964958285648033248659936799097041031247015631736272910978559727018*v^13 + 300786860569574928838532692245597251428452610158837010583692177605961625980980273062823613417398316292156003354216738314273888929055885828904565960813864972972687011230*v^12 + 422036343027765317865447503941808380604707339879566321288967361150170996194829329502871826993818969884119377691860363314432890301857307115107133504884718339712276357126720*v^11 - 11898883952086149874700649328822055655190338100778411342720228091353214017881997730940283760849748607230231948615148403260729453025601118755198678594326662336714138789805453*v^10 - 5701805094773611836503987262478544146707129838992782137823423978151267202555486897563833495245630349946800766854485051945322623186069072360831883209150684861597361489938579869*v^9 + 166428890793864233923262581303604721276672446824057697462723466665157280847116695507699711820004391219018210644940443838633640169068449438747207344308591097434765807583491317507*v^8 + 38284664389232236180560032431836425596190853596360269027532423433678368584616755764037870536686423833162603875737333601552976714237240484400021963810055351476703304235679274825780*v^7 - 1023245030229904675820980677294279275961769397808360562326036123613281345476141258639219742473467159027334947620602258043591399228088034798838271182961250353126456054634330008262228*v^6 - 125262291069258433729686667997311991090707048045476844260035410965352710871605393366896383959129226596918642283726732335742404915141098079494274593352979782086866310235117051207667320*v^5 + 2786665836358281353228187570649413079286762408978526359074593647511564453207862530201095002705688527781760784288622329962918541107541076120798518711254669617335506663309884459504483832*v^4 + 157153113469650308480253175461722837987308967656243146988663791392191555196311946680257381182691771308251292080778897101638388903388468172035629554731164121562603102491966273366630976456*v^3 - 2604741267415722572159812416985771816697331554608472205087294448051992663638713152314839760243255271511537312095825657989351106410374071645913187671111649244682188159690798289119059599068*v^2 + 13453810175020924720863933334244929078499564562612042407538208093511566666738050335682596715180383638769480230179140365362073140079075700958739627913961335043888381895680655948756602017996*v - 23130167265585545254766139148846827945427975585748005843640120570616145213712609201502243924066956485524645187225747420787616245338966329502328817311588045825304396554325599575877579384756) / 254775867723200808194319407560553826205123475502506789799937521503708156222844480885926047477345462878793234025216697054220839142925989815573704439176332547805259670687234766614640 $$\beta_{19}$$ $$=$$ $$( 91\!\cdots\!87 \nu^{19} + \cdots - 22\!\cdots\!40 ) / 11\!\cdots\!80$$ (91169914045133885962483783574731980966117285536299009769191973657690689109108808826673234810835965621156576556755007727072977817553283423220349952522287*v^19 + 97766843879525238573244849062126578831251926240687832065592017082964994861815421429735982266043748065463696402009767773765956142115939842065104494039907*v^18 - 27414591515469889116947993962706292974112092769882344799932715699420511607123365044646559686030681768237515490005912923083586285680125192092815238794948085372*v^17 + 313191077971441942852992960059618271364313244070806490299739088244052734183849030350346893472523230761547301648143759180221633133326816829357399402953174139653*v^16 + 3229297543133417397759807442533009843475684646030981808602519416703922675406818076992342969452132213607108622178868635183425734163629164454391426641947128946716470*v^15 - 74354937153616016231447032097146569530465707276379531742527113305937335844898480444285092726083007308927105553315515781792067252410481744198199379671636065880024214*v^14 - 185561357851180658156032469494071869267702549895640310786969637279883632677868575060914410965448013635464017761837534076575129918931041444113671776981076618318911166544*v^13 + 6122361709242282767319356222772950289230624134225885602293328367669147498277295443516909607608779238276337446084865563385337186474169883105080257392037912094139920967674*v^12 + 5255200560468244396204666994180214251514989267287098439569112733308501844343819322989807421422229179058614691330417187993494234594480914442542661141882305737873344087493251*v^11 - 207969569759000724556923296298998966090609607302864489880405674695064294689786506236146304546419240001572247024060342605167669552301805154875718496305585924341777174053066449*v^10 - 67073870875219041713387066283641219989150476942060235019675554840788287181275806517462935921933027511234426678197673944080677179194127929387520252163297322962985699233806298180*v^9 + 2572811427205779606838726914732323466879934592658053918257299935687375719118248633841706930390275266923107914110065686661397201036689423488447566272690769874937461730438132042857*v^8 + 425109280554470114550397271640775101046897146624406416928479724549228747892583263499640968925587000343564171242172176268805607067511325124294307505011643842284067496468131883118648*v^7 - 14113869475339442979851581405594522179431837639560378957845015602123301355710319523311186043357272999065735630966332153197420212227975079694179691442267637602969827350490291272678116*v^6 - 1324029594330378668195060416854380108632361272064744875154604065885740600219683412024746199923921224502716308940759589384882690349467382317522146554275509810660273639453851782256666944*v^5 + 34120522452427261300641834014213356857383038145408472909256571035548444183101318698268437572138450404468881195288239918659346690509463547607124413897690595187881148229446521515007477016*v^4 + 1597247027836045953272450444242706197558841674426580877360444441987729656202473683403917273849696376730072016401838304624464558901409775233240044585764396108069503731864752757137045450780*v^3 - 27243925467487507288349996978662265429124208871688711274370562190889987273409026903106554963465383875974145380473606925934122719815681096179644449228255840119830759615414388480878389907468*v^2 + 138016132619146727407987381705116967314567973059847649370651211393242023251311886205756710710711040691561295764841052529631458725829858675828724251304855035013619178387773660776953020570064*v - 225666717688911363830330528245946813559699871272874413648435621196876371384434987762982649730042905856666431480046250767594288898967257498481164309894803829194060636482270405485652979592540) / 1146491404754403636874437334022492217923055639761280554099718846766686703002800163986667213648054582954569553113475136743993776143166954170081669976293496465123668518092556449765880
 $$\nu$$ $$=$$ $$( 2 \beta_{16} - \beta_{15} + 2 \beta_{14} + 81 \beta_{11} + 79 \beta_{7} - 9 \beta_{5} - 17 \beta_{4} + 91 \beta_{3} - 326 \beta_{2} + 530686 ) / 1327104$$ (2*b16 - b15 + 2*b14 + 81*b11 + 79*b7 - 9*b5 - 17*b4 + 91*b3 - 326*b2 + 530686) / 1327104 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( - 192 \beta_{19} - 694 \beta_{16} - 325 \beta_{15} + 4490 \beta_{14} - 1280 \beta_{13} + 3349 \beta_{11} + 29312 \beta_{10} - 101621 \beta_{7} + 15888 \beta_{5} + 3712 \beta_{4} + \cdots + 79820576560 ) / 2654208$$ (-192*b19 - 694*b16 - 325*b15 + 4490*b14 - 1280*b13 + 3349*b11 + 29312*b10 - 101621*b7 + 15888*b5 + 3712*b4 + 14800*b3 + 110992*b2 + 32768*b1 + 79820576560) / 2654208 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 10368 \beta_{19} + 27216 \beta_{18} + 27216 \beta_{17} + 215168 \beta_{16} - 128968 \beta_{15} - 64768 \beta_{14} - 627744 \beta_{13} - 27 \beta_{12} + 7685286 \beta_{11} + \cdots - 743501056640 ) / 1327104$$ (10368*b19 + 27216*b18 + 27216*b17 + 215168*b16 - 128968*b15 - 64768*b14 - 627744*b13 - 27*b12 + 7685286*b11 + 1765632*b10 + 639*b9 + 144*b8 - 42373400*b7 + 630*b6 - 351486*b5 - 1528394*b4 + 4625338*b3 - 27257408*b2 + 19740*b1 - 743501056640) / 1327104 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 12849408 \beta_{19} - 6912864 \beta_{18} - 6912864 \beta_{17} - 40858082 \beta_{16} - 5030495 \beta_{15} + 306086302 \beta_{14} - 104345664 \beta_{13} + \cdots + 25\!\cdots\!00 ) / 1327104$$ (-12849408*b19 - 6912864*b18 - 6912864*b17 - 40858082*b16 - 5030495*b15 + 306086302*b14 - 104345664*b13 + 85536*b12 - 46725531*b11 + 1044082176*b10 + 384912*b9 - 27216*b8 - 8554734799*b7 + 322704*b6 + 601258362*b5 + 185568554*b4 + 470523026*b3 + 4087650908*b2 + 2956368144*b1 + 2599347746102900) / 1327104 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 2853705600 \beta_{19} + 7327635840 \beta_{18} + 7327272960 \beta_{17} + 50167925846 \beta_{16} - 26768711083 \beta_{15} - 26885857834 \beta_{14} + \cdots - 18\!\cdots\!20 ) / 2654208$$ (2853705600*b19 + 7327635840*b18 + 7327272960*b17 + 50167925846*b16 - 26768711083*b15 - 26885857834*b14 - 149390036480*b13 + 20487960*b12 + 1659602736403*b11 + 238496741120*b10 + 196237560*b9 + 68742960*b8 - 10186122180923*b7 + 1038325920*b6 - 60902920674*b5 - 220313688266*b4 + 612899125414*b3 - 3957367016804*b2 - 183652125520*b1 - 183305884005948620) / 2654208 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 2719601510784 \beta_{19} - 1659649479264 \beta_{18} - 1659511221984 \beta_{17} - 9200106658474 \beta_{16} - 295772850043 \beta_{15} + \cdots + 36\!\cdots\!48 ) / 2654208$$ (-2719601510784*b19 - 1659649479264*b18 - 1659511221984*b17 - 9200106658474*b16 - 295772850043*b15 + 64236072916694*b14 - 19726656074560*b13 + 33342540300*b12 - 41818028831005*b11 + 195342599992576*b10 + 132298176420*b9 - 10997596800*b8 - 1653831422844971*b7 + 35410922280*b6 + 85040349926268*b5 + 29315985441244*b4 + 56727132488332*b3 + 622855983982120*b2 + 962749917792592*b1 + 362086123773748126648) / 2654208 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 161649862732512 \beta_{19} + 372952919493504 \beta_{18} + 372901627312704 \beta_{17} + \cdots - 89\!\cdots\!64 ) / 1327104$$ (161649862732512*b19 + 372952919493504*b18 + 372901627312704*b17 + 2516032696210696*b16 - 1287559089895028*b15 - 1849052960989208*b14 - 7140302008050176*b13 + 1410495039765*b12 + 80646434667171559*b11 + 9346589716958144*b10 + 12534351357675*b9 + 5135536213836*b8 - 484953577076026900*b7 + 79132924365306*b6 - 2708992435751352*b5 - 7875525135198304*b4 + 20861168312198312*b3 - 142216886772483352*b2 - 23767902566124304*b1 - 8991392620011148413064) / 1327104 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!48 \beta_{19} + \cdots + 21\!\cdots\!98 ) / 221184$$ (-21449144168878848*b19 - 13892515240897440*b18 - 13889933671463136*b17 - 77848849919814218*b16 + 1429980350077237*b15 + 501392271300220342*b14 - 133358336698915136*b13 + 360292204427148*b12 - 546148294478387627*b11 + 1471462790769052160*b10 + 1392481357936452*b9 - 135340383251808*b8 - 11491923727006742971*b7 + 94152987564552*b6 + 499604343393736785*b5 + 188837348236003921*b4 + 278964807586633741*b3 + 3947663330799078478*b2 + 10430799079055652528*b1 + 2118979567546264419606298) / 221184 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( 33\!\cdots\!32 \beta_{19} + \cdots - 16\!\cdots\!08 ) / 2654208$$ (33051742384793260032*b19 + 69411095055210633984*b18 + 69393194546079446784*b17 + 464999110599870931186*b16 - 230338761126920396537*b15 - 427607444956451176718*b14 - 1251638310454958470656*b13 + 262157916443807520*b12 + 14519870337118273042785*b11 + 1376419480870594916352*b10 + 2672835385104154080*b9 + 1254547504259501184*b8 - 84559185500153408102953*b7 + 18910575696792032064*b6 - 462361405010871572694*b5 - 1127910808128321401518*b4 + 2853317727867354790274*b3 - 20461463402924800335724*b2 - 7993868842349655933696*b1 - 1614899621333943542197660708) / 2654208 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!40 \beta_{19} + \cdots + 17\!\cdots\!16 ) / 2654208$$ (-22899608576329790173440*b19 - 15601263979412158119072*b18 - 15596263138602955953312*b17 - 88603214546259254644978*b16 + 5173084288999095101321*b15 + 529894723257375233683982*b14 - 119253379375170276255680*b13 + 479070944867402318700*b12 - 800898831238996209721529*b11 + 1511918107109125833207296*b10 + 1819910864934774235620*b9 - 203969124782808386400*b8 - 10648615249868614418277287*b7 - 214959216148993285560*b6 + 423596097674869295349156*b5 + 173746733435107259241988*b4 + 191986317605770273009684*b3 + 3587280407434032670306648*b2 + 14127007174736578172802608*b1 + 1791494591872627037302430499016) / 2654208 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!64 \beta_{19} + \cdots - 68\!\cdots\!72 ) / 1327104$$ (1584853280736952386831264*b19 + 3073159126150971794953632*b18 + 3071886753493391630604192*b17 + 20462058841333219788106970*b16 - 9830474099903234680402765*b15 - 22345342271594509833490438*b14 - 52256097774226606573182144*b13 + 9764922945849504403707*b12 + 623346087964839711059393736*b11 + 46554866603296357431335232*b10 + 126052644787362402721821*b9 + 68434422111581476978764*b8 - 3510593582711615311916077181*b7 + 1006784134872460422093198*b6 - 19107723377924355813147396*b5 - 40465145131208407910645252*b4 + 97847077082218918274572300*b3 - 737198584976266766644166840*b2 - 548353338873121156418686632*b1 - 68973912360596493716088312720872) / 1327104 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( - 98\!\cdots\!16 \beta_{19} + \cdots + 63\!\cdots\!12 ) / 1327104$$ (-980227236923687689828770816*b19 - 699060001433031763283027808*b18 - 698716828633419209390537376*b17 - 4016990713838201186837447558*b16 + 369386537033730084042792499*b15 + 22462749344222535072069341818*b14 - 4160397128354274887990124480*b13 + 24268382129225907762214356*b12 - 43148600449315759748810259045*b11 + 62354211632697132200166856704*b10 + 90654787708298445741001596*b9 - 11577786642163678129687296*b8 - 389620278049797341829654506077*b7 - 28257266156575081921408872*b6 + 15003663582521152439002019850*b5 + 6620868375751659288590095754*b4 + 5276232210884656870240000994*b3 + 135291632796162479978954548940*b2 + 729893960598882708462263229360*b1 + 63284430416128399999704493655391812) / 1327104 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( 29\!\cdots\!56 \beta_{19} + \cdots - 11\!\cdots\!96 ) / 2654208$$ (290890577999822499108312080256*b19 + 526908326824559792606471542656*b18 + 526588784436624194731865956992*b17 + 3488555151806731095933934000010*b16 - 1627604440446285946678812883141*b15 - 4369941573078183386112169633270*b14 - 8460426030874117063044838539008*b13 + 1106063511917863598515991952*b12 + 103797034003458624769177766049697*b11 + 5718611642159422334772385081088*b10 + 21799530676016661578857165488*b9 + 13891221644192752962868606464*b8 - 565080369895980133375781818974005*b7 + 199561951295603141855247497184*b6 - 3087130379053206204979245418626*b5 - 5818024952922438498005843927018*b4 + 13459232619644378529130994665606*b3 - 106413331262324446859021282337956*b2 - 132856279036922461229470040583232*b1 - 11404899736699674311559868318492409996) / 2654208 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!92 \beta_{19} + \cdots + 89\!\cdots\!24 ) / 2654208$$ (-163535547706872448229980579041792*b19 - 121573852703890493816946279033504*b18 - 121489054242008318174979590302368*b17 - 705694921629837991175626529996026*b16 + 85027731913323779117446648115981*b15 + 3712976916269101134060278558565638*b14 - 544714463337797824824155525040064*b13 + 4635894181669754778607585960116*b12 - 8600734710389243902583190472722061*b11 + 10029528573214168215971225072622592*b10 + 17022356149567981611452726695932*b9 - 2452312505874692271628690288416*b8 - 54528593967025084873204767721492067*b7 - 8750402405329842972611012680200*b6 + 2131131224320678944396158048245524*b5 + 1004180951485972042689834732193972*b4 + 541345449338904766858012938274756*b3 + 20341095805507791286552165384330168*b2 + 142199894846022388638499123731661264*b1 + 8965834364227463295740019043719682325224) / 2654208 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 12\!\cdots\!44 \beta_{19} + \cdots - 46\!\cdots\!16 ) / 1327104$$ (12923808391861979769595026252752544*b19 + 22076006342607255054932396599428576*b18 + 22057570142862449133201725543882976*b17 + 145400406422185543683744858032990284*b16 - 65965610999365034678507620411839398*b15 - 203817389652707144959434266656316564*b14 - 335251184821488476437648069457105216*b13 + 13513550629627482615744712389081*b12 + 4230185574145525496034652121385603739*b11 + 152548746671479316346566981727690560*b10 + 879962325009555881450122930806303*b9 + 670509809965370243908502878566516*b8 - 22258163623156197232915884893419422022*b7 + 9414023538331392263995585202201418*b6 - 122597573545938172313166543123438924*b5 - 209500685723336123128168072720503580*b4 + 464161741644200729552440448463393764*b3 - 3845950840558378435241397878701123384*b2 - 7392933735472736556814145404644182632*b1 - 460733687732108182442520397894616602138216) / 1327104 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!28 \beta_{19} + \cdots + 53\!\cdots\!62 ) / 221184$$ (-1115937018639979844358841891931670528*b19 - 861514553131485285604004203380224832*b18 - 860704343423820637309610570421432000*b17 - 5044687848418329674040135082858454644*b16 + 731039497019577067548197281572687194*b15 + 25115058760988516819723787852662473100*b14 - 2754784183630611146649021219137509504*b13 + 35393888986016837125286111016672792*b12 - 67720996497292315019506317542811028918*b11 + 66035525972471235174351012884952100864*b10 + 127698494642415447397658350821090504*b9 - 20569491361125054835562687193251712*b8 - 304616463648306136047008819420029978502*b7 - 92531177979530830037477526221350704*b6 + 12643738192018409657020127264944206357*b5 + 6319489374761192604545762101340149685*b4 + 2030682783951254119886503726011257537*b3 + 127061622848407254676470915020496691622*b2 + 1106935718024868862608839751417380035872*b1 + 53061932165541310841124776709003877180942562) / 221184 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$( 22\!\cdots\!40 \beta_{19} + \cdots - 73\!\cdots\!44 ) / 2654208$$ (2240642657439274629537618075855482768640*b19 + 3637757282970843122762564093279573332992*b18 + 3633755838572453908534965069396881209344*b17 + 23844727869920159885412627589705643308018*b16 - 10533815558309605512299483058316185690233*b15 - 36715923779210380017227669838085810431758*b14 - 52340147016641311494941770868192058934272*b13 - 4452092980280434468608739344155926080*b12 + 679120982871802049662553102342711138781753*b11 + 11998244829988303511073147360117356149248*b10 + 133690176857740623524340051124406878272*b9 + 124803773989203353162363605005977592576*b8 - 3453772519438813181211714268965525546526633*b7 + 1714068791049743931791642507443270991232*b6 - 19223666860073357921373590422255909497270*b5 - 30225844851244090667997373713904576308526*b4 + 64214807506491163569051083177828502776354*b3 - 556774176201407537185157328773937490086604*b2 - 1547320093517380617451406722913270559081984*b1 - 73196503766376982927060750612736675882635103044) / 2654208 $$\nu^{18}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!60 \beta_{19} + \cdots + 45\!\cdots\!24 ) / 2654208$$ (-1081546797291654268497447846610615481410560*b19 - 864102718290934159390558515813285411794592*b18 - 863048720281759461823504211680034579064480*b17 - 5098370189411860216449852363362911290327082*b16 + 846039086115295399092767200483661358945701*b15 + 24140290847368718611402235503116519572900822*b14 - 1793156286214826101190701684180652526249920*b13 + 37733988382480551273693791759539225918812*b12 - 73862519921163600347292046173498202002439925*b11 + 61810017632447672560986328033821956938373120*b10 + 133731054360269914460966867053827803797812*b9 - 23896579850227364461666957530451013287392*b8 - 233732121400335582683511455575173170319419723*b7 - 126050205383843134134048121700442742471704*b6 + 10827258946227528783856519078767021582184644*b5 + 5706568255986441378991070933073841051677412*b4 + 776047696544004932101144909459564442369716*b3 + 114009010301978843493712837012490622429240280*b2 + 1202785282277802916045247235608133433172377328*b1 + 45331712054632833725972131598100648160091147902024) / 2654208 $$\nu^{19}$$ $$=$$ $$( 95\!\cdots\!40 \beta_{19} + \cdots - 28\!\cdots\!88 ) / 1327104$$ (95236764653987121179370734994199126508468640*b19 + 147929205701859407428952245862969823409682400*b18 + 147721967565645358833113436689808315177916896*b17 + 965373811453916445471689174798115113810289446*b16 - 415852667079737327641880637792815212143565843*b15 - 1609468987483341013647642983669632791171499450*b14 - 2020352499634687552024009231852055475539404608*b13 - 496347499090759760161799171792399945968725*b12 + 26947835433244264311577633099667000952017955138*b11 - 516882626382736560073697665919757907843776*b10 + 4776206700289405339048522904399152729984221*b9 + 5647909685586049611701267551262831684315772*b8 - 132488421920636316063641931273877093818551645603*b7 + 75952822758776975120224181709992199183731070*b6 - 745940745288212803780255831907599735660823964*b5 - 1091901941966369590069053482970736070529840908*b4 + 2227467948774669930812896712553891793031913172*b3 - 20176948028833810828003496798897845383411793592*b2 - 77270585889227674961015894420569636796821825368*b1 - 2869631482593084949550389553469392767614005313082088) / 1327104

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/384\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$127$$ $$133$$ $$257$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$-1$$ $$1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
193.1
 255.957 − 0.707107i 80.4463 + 0.707107i 5.69422 + 0.707107i −271.678 − 0.707107i −67.7122 + 0.707107i −69.1264 − 0.707107i −270.264 + 0.707107i 4.28001 − 0.707107i 79.0321 − 0.707107i 257.371 + 0.707107i 257.371 − 0.707107i 79.0321 + 0.707107i 4.28001 + 0.707107i −270.264 − 0.707107i −69.1264 + 0.707107i −67.7122 − 0.707107i −271.678 + 0.707107i 5.69422 − 0.707107i 80.4463 − 0.707107i 255.957 + 0.707107i
0 81.0000i 0 2358.11i 0 −1310.82 0 −6561.00 0
193.2 0 81.0000i 0 1825.80i 0 10705.0 0 −6561.00 0
193.3 0 81.0000i 0 1655.59i 0 −11370.0 0 −6561.00 0
193.4 0 81.0000i 0 573.512i 0 2185.20 0 −6561.00 0
193.5 0 81.0000i 0 471.295i 0 −3820.46 0 −6561.00 0
193.6 0 81.0000i 0 471.295i 0 3820.46 0 −6561.00 0
193.7 0 81.0000i 0 573.512i 0 −2185.20 0 −6561.00 0
193.8 0 81.0000i 0 1655.59i 0 11370.0 0 −6561.00 0
193.9 0 81.0000i 0 1825.80i 0 −10705.0 0 −6561.00 0
193.10 0 81.0000i 0 2358.11i 0 1310.82 0 −6561.00 0
193.11 0 81.0000i 0 2358.11i 0 1310.82 0 −6561.00 0
193.12 0 81.0000i 0 1825.80i 0 −10705.0 0 −6561.00 0
193.13 0 81.0000i 0 1655.59i 0 11370.0 0 −6561.00 0
193.14 0 81.0000i 0 573.512i 0 −2185.20 0 −6561.00 0
193.15 0 81.0000i 0 471.295i 0 3820.46 0 −6561.00 0
193.16 0 81.0000i 0 471.295i 0 −3820.46 0 −6561.00 0
193.17 0 81.0000i 0 573.512i 0 2185.20 0 −6561.00 0
193.18 0 81.0000i 0 1655.59i 0 −11370.0 0 −6561.00 0
193.19 0 81.0000i 0 1825.80i 0 10705.0 0 −6561.00 0
193.20 0 81.0000i 0 2358.11i 0 −1310.82 0 −6561.00 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 193.20 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
4.b odd 2 1 inner
8.b even 2 1 inner
8.d odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 384.10.d.f 20
4.b odd 2 1 inner 384.10.d.f 20
8.b even 2 1 inner 384.10.d.f 20
8.d odd 2 1 inner 384.10.d.f 20

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
384.10.d.f 20 1.a even 1 1 trivial
384.10.d.f 20 4.b odd 2 1 inner
384.10.d.f 20 8.b even 2 1 inner
384.10.d.f 20 8.d odd 2 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{10}^{\mathrm{new}}(384, [\chi])$$:

 $$T_{5}^{10} + 12186280 T_{5}^{8} + 49400434717312 T_{5}^{6} + \cdots + 37\!\cdots\!00$$ T5^10 + 12186280*T5^8 + 49400434717312*T5^6 + 75307658973913207808*T5^4 + 31133146799068835992064000*T5^2 + 3712060433222732827194183680000 $$T_{7}^{10} - 264961960 T_{7}^{8} + \cdots - 17\!\cdots\!00$$ T7^10 - 264961960*T7^8 + 20060677312918144*T7^6 - 337663757948405234619392*T7^4 + 1554838726737166256291690860544*T7^2 - 1774166006182626760648265607906099200

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{20}$$
$3$ $$(T^{2} + 6561)^{10}$$
$5$ $$(T^{10} + 12186280 T^{8} + \cdots + 37\!\cdots\!00)^{2}$$
$7$ $$(T^{10} - 264961960 T^{8} + \cdots - 17\!\cdots\!00)^{2}$$
$11$ $$(T^{10} + 17985071696 T^{8} + \cdots + 25\!\cdots\!00)^{2}$$
$13$ $$(T^{10} + 73095742624 T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!68)^{2}$$
$17$ $$(T^{5} + 226442 T^{4} + \cdots + 23\!\cdots\!36)^{4}$$
$19$ $$(T^{10} + 1203448472144 T^{8} + \cdots + 44\!\cdots\!36)^{2}$$
$23$ $$(T^{10} - 11315448983200 T^{8} + \cdots - 45\!\cdots\!88)^{2}$$
$29$ $$(T^{10} + 33712416022696 T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!32)^{2}$$
$31$ $$(T^{10} - 174454618599144 T^{8} + \cdots - 14\!\cdots\!92)^{2}$$
$37$ $$(T^{10} + 349412744876544 T^{8} + \cdots + 24\!\cdots\!00)^{2}$$
$41$ $$(T^{5} - 18566002 T^{4} + \cdots - 30\!\cdots\!00)^{4}$$
$43$ $$(T^{10} + \cdots + 66\!\cdots\!36)^{2}$$
$47$ $$(T^{10} + \cdots - 17\!\cdots\!72)^{2}$$
$53$ $$(T^{10} + \cdots + 36\!\cdots\!48)^{2}$$
$59$ $$(T^{10} + \cdots + 21\!\cdots\!76)^{2}$$
$61$ $$(T^{10} + \cdots + 16\!\cdots\!00)^{2}$$
$67$ $$(T^{10} + \cdots + 36\!\cdots\!36)^{2}$$
$71$ $$(T^{10} + \cdots - 86\!\cdots\!52)^{2}$$
$73$ $$(T^{5} + 223798474 T^{4} + \cdots - 10\!\cdots\!04)^{4}$$
$79$ $$(T^{10} + \cdots - 18\!\cdots\!12)^{2}$$
$83$ $$(T^{10} + \cdots + 57\!\cdots\!56)^{2}$$
$89$ $$(T^{5} - 220605534 T^{4} + \cdots + 12\!\cdots\!84)^{4}$$
$97$ $$(T^{5} - 108420934 T^{4} + \cdots - 23\!\cdots\!04)^{4}$$