LMFDB - Newform orbit 384.10.d.e

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [384,10,Mod(193,384)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(384, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 1, 0]))

N = Newforms(chi, 10, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("384.193");

S:= CuspForms(chi, 10);

N := Newforms(S);

Level:	$ N $	$=$	$ 384 = 2^{7} \cdot 3 $
Weight:	$ k $	$=$	$ 10 $
Character orbit:	$[\chi]$	$=$	384.d (of order $2$, degree $1$, minimal)

Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

Self dual:	no
Analytic conductor:	$197.773761087$
Analytic rank:	$0$
Dimension:	$16$
Coefficient field:	$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} + \cdots)$
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	$ x^{16} + 6652 x^{14} + 14752282 x^{12} + 12902853544 x^{10} + 5499992247865 x^{8} + \cdots + 22\!\cdots\!04 $ x^16 + 6652x^14 + 14752282x^12 + 12902853544x^10 + 5499992247865x^8 + 1244818462999132x^6 + 152005723146135388x^4 + 9402732979306492240*x^2 + 229772108081563865104
Coefficient ring:	$\Z[a_1, \ldots, a_{17}]$
Coefficient ring index:	$ 2^{108}\cdot 3^{28} $
Twist minimal:	yes
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

$q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $q$-expansion are expressed in terms of a basis $1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $q$-expansion of the trace form.

$f(q)$	$=$	$ q + \beta_{8} q^{3} + \beta_{9} q^{5} + \beta_1 q^{7} - 6561 q^{9}+O(q^{10}) $ q + b8 * q^3 + b9 * q^5 + b1 * q^7 - 6561 * q^9	$ q + \beta_{8} q^{3} + \beta_{9} q^{5} + \beta_1 q^{7} - 6561 q^{9} + ( - \beta_{11} + 12 \beta_{10} + 66 \beta_{8}) q^{11} + (\beta_{13} + 28 \beta_{9}) q^{13} + (\beta_{7} - \beta_{4} + 5 \beta_1) q^{15} + ( - 3 \beta_{5} - \beta_{3} + \cdots + 82110) q^{17}+ \cdots + (6561 \beta_{11} + \cdots - 433026 \beta_{8}) q^{99}+O(q^{100}) $ q + b8 * q^3 + b9 * q^5 + b1 * q^7 - 6561 * q^9 + (-b11 + 12b10 + 66b8) * q^11 + (b13 + 28b9) q^13 + (b7 - b4 + 5b1) q^15 + (-3b5 - b3 - 3b2 + 82110) * q^17 + (5b15 - 8b11 - 75b10 - 1556b8) * q^19 + (-b14 + 3b13 + 3b12 - 158b9) q^21 + (9b7 + 4b6 + 8b4 - 24b1) * q^23 + (7b5 - 10b3 - 3b2 + 36797) q^25 - 6561b8 q^27 + (-18b14 + 26b13 + 7b12 + 854b9) * q^29 + (14b7 - 53b6 + 22b4 + 372b1) * q^31 + (16b3 + 65b2 - 432540) * q^33 + (66b15 + 121b11 - 1897b10 - 46046b8) * q^35 + (b14 + 25b13 - 24b12 - 3504b9) q^37 + (9b7 - 81b6 - 9b4 + 45b1) * q^39 + (63b5 + 12b3 + 202b2 - 4205622) q^41 + (-97b15 - 314b11 + 180b10 + 108536b8) * q^43 - 6561b9 q^45 + (139b7 - 370b6 + 144b4 + 458b1) * q^47 + (-119b5 - 242b3 - 791b2 + 12525089) q^49 + (-243b15 - 324b11 + 3483b10 + 82062b8) * q^51 + (-232b14 + 238b13 - 145b12 - 8576b9) * q^53 + (396b7 + 217b6 + 402b4 + 5243b1) * q^55 + (-405b5 + 279b3 + 369b2 + 10222524) q^57 + (102b15 + 1530b11 - 28841b10 + 177208b8) * q^59 + (-555b14 + 1507b13 + 378b12 - 26450b9) * q^61 - 6561b1 q^63 + (807b5 + 104b3 - 590b2 - 53101584) q^65 + (-430b15 + 1138b11 - 48189b10 - 449528b8) * q^67 + (-441b14 + 270b13 - 54b12 + 16506b9) * q^69 + (400b7 + 618b6 - 1984b4 - 4696b1) * q^71 + (-71b5 + 1412b3 + 2307b2 + 17993758) q^73 + (567b15 - 1053b11 - 38394b10 + 37043b8) * q^75 + (-904b14 + 2304b13 + 1341b12 - 143061b9) * q^77 + (-4198b7 + 2056b6 + 652b4 + 6151b1) * q^79 + 43046721 * q^81 + (1770b15 - 6241b11 - 180810b10 - 944782b8) * q^83 + (1903b14 + 1312b13 - 2706b12 + 189066b9) * q^85 + (-1410b7 - 1539b6 - 2397b4 - 10938b1) * q^87 + (2982b5 - 3821b3 - 6931b2 - 32999994) q^89 + (3117b15 - 4164b11 - 286215b10 - 250592b8) * q^91 + (-1382b14 - 3063b13 + 1230b12 - 97261b9) * q^93 + (-1705b7 + 7010b6 + 4100b4 - 57380b1) * q^95 + (-6832b5 + 2706b3 + 7036b2 + 1196366) q^97 + (6561b11 - 78732b10 - 433026b8) q^99
$\operatorname{Tr}(f)(q)$	$=$	$ 16 q - 104976 q^{9}+O(q^{10}) $ 16 * q - 104976 * q^9	$ 16 q - 104976 q^{9} + 1313760 q^{17} + 588752 q^{25} - 6920640 q^{33} - 67289952 q^{41} + 200401424 q^{49} + 163560384 q^{57} - 849625344 q^{65} + 287900128 q^{73} + 688747536 q^{81} - 527999904 q^{89} + 19141856 q^{97}+O(q^{100}) $ 16 * q - 104976 * q^9 + 1313760 * q^17 + 588752 * q^25 - 6920640 * q^33 - 67289952 * q^41 + 200401424 * q^49 + 163560384 * q^57 - 849625344 * q^65 + 287900128 * q^73 + 688747536 * q^81 - 527999904 * q^89 + 19141856 * q^97

Display 100 coefficients 10 coefficients

Basis of coefficient ring in terms of a root $\nu$ of $ x^{16} + 6652 x^{14} + 14752282 x^{12} + 12902853544 x^{10} + 5499992247865 x^{8} + \cdots + 22\!\cdots\!04 $ x^16 + 6652*x^14 + 14752282*x^12 + 12902853544*x^10 + 5499992247865*x^8 + 1244818462999132*x^6 + 152005723146135388*x^4 + 9402732979306492240*x^2 + 229772108081563865104 :

$\beta_{1}$	$=$	$ ( - 22\!\cdots\!93 \nu^{14} + \cdots + 43\!\cdots\!80 ) / 14\!\cdots\!12 $ (-22939477070602300324679223193v^14 - 117785479708330100874152416925288v^12 - 115932830268075939047557385266413036v^10 + 159227156161775944389271280709421263110v^8 + 202181831803743587350054829091515868657097v^6 + 72709911469730767566923015039383317151976778v^4 + 9898187705503793742250519602883367980216938308*v^2 + 434876976225959114181484936337307916213293814480) / 1481803708893510141368664943395709558635912
$\beta_{2}$	$=$	$ ( 12\!\cdots\!99 \nu^{14} + \cdots + 22\!\cdots\!24 ) / 11\!\cdots\!45 $ (1238005096058224781770025799v^14 + 8087948783329188877265725726564v^12 + 17300605515870867118967641071887076v^10 + 13911149018902298311200171681144025134v^8 + 5144328477877648926226051420857003962833v^6 + 921555409066546496799201337519887103810854v^4 + 75999444951863469448980745251629973422670156*v^2 + 2209604464509186805953250654004847210869600224) / 1156213880222776327534850923373680991445
$\beta_{3}$	$=$	$ ( - 29\!\cdots\!69 \nu^{14} + \cdots - 55\!\cdots\!04 ) / 11\!\cdots\!45 $ (-2951537379019573212783160569v^14 - 19313037954871701087804780347804v^12 - 41436503736423510586829006070491676v^10 - 33534024307392986091210145297938770514v^8 - 12494177648133995176187331732660821516783v^6 - 2251674396022079267363607585575211000516954v^4 - 186452575557687893141833493306948966509284276*v^2 - 5594977194349935557021643355020386973026998304) / 1156213880222776327534850923373680991445
$\beta_{4}$	$=$	$ ( 68\!\cdots\!77 \nu^{14} + \cdots + 11\!\cdots\!68 ) / 21\!\cdots\!05 $ (6876191244338654394868600352477v^14 + 44828376480306408774653441392702276v^12 + 95483718358517386918511684869560671976v^10 + 75999234265703683647970795678259028413546v^8 + 27635512472151652995344177885415647552332687v^6 + 4845828961927048715850732512492825090077037538v^4 + 395648369516531996467541841541253369977077879068*v^2 + 11986872463778488632378964255787685230595338255368) / 2160963742136368956162636375785409773010705
$\beta_{5}$	$=$	$ ( 41\!\cdots\!11 \nu^{14} + \cdots + 75\!\cdots\!96 ) / 11\!\cdots\!45 $ (4168454895601060852793511711v^14 + 27228579974180092678677614176516v^12 + 58226582909831018237337727799688324v^10 + 46789716059378667398070824827442494686v^8 + 17290066951263613420180753892038757422777v^6 + 3095508299255053071192858978104116835828886v^4 + 255178839716420710148321155014316120222443564*v^2 + 7549738080583944203714113691810848950663596896) / 1156213880222776327534850923373680991445
$\beta_{6}$	$=$	$ ( - 15\!\cdots\!07 \nu^{14} + \cdots - 27\!\cdots\!08 ) / 27\!\cdots\!80 $ (-1541394804426973707633250500607v^14 - 10046847508077252835412162149302296v^12 - 21393002091569378992460270694433137396v^10 - 17022267005309574335029043087713576082806v^8 - 6198537681645950752579606164268399575519857v^6 - 1091658593702322690386483312442410210371221018v^4 - 89762931335043691684508898514339717752465395428*v^2 - 2742948226708964859962947144141418690637297702608) / 274408094239538915068271285814020288636280
$\beta_{7}$	$=$	$ ( 43\!\cdots\!77 \nu^{14} + \cdots + 83\!\cdots\!48 ) / 56\!\cdots\!80 $ (437047601987025655684195297277v^14 + 2850454234732320534344197390438216v^12 + 6077849929075216785579372133619592156v^10 + 4854261335783378099778901842399283911266v^8 + 1782525798042474395222035308964982033913427v^6 + 318708972511133486926325312374514321077835598v^4 + 26759087672715052409922976452781880480560285868*v^2 + 837091762935489778986649684321176919869133441648) / 56743030428088462743876666322592816796780
$\beta_{8}$	$=$	$ ( - 8542683072695 \nu^{15} + \cdots - 42\!\cdots\!84 \nu ) / 17\!\cdots\!40 $ (-8542683072695v^15 - 79127148521387796v^13 - 269338477278918235242v^11 - 406415972065916777490176v^9 - 264995015104009634693323647v^7 - 78323162791610413583049899364v^5 - 9888983675781503689809500823200v^3 - 421667072069910452634856981496184v) / 1728890222760357452158440299040
$\beta_{9}$	$=$	$ ( - 32\!\cdots\!22 \nu^{15} + \cdots - 54\!\cdots\!00 \nu ) / 14\!\cdots\!40 $ (-32108218259564489659714721514647557322v^15 - 209755034076085222040193378498764955530644v^13 - 448607125230713205679206338578712591112510657v^11 - 360476470617673360492266599887033739448321626399v^9 - 132966813019992171367384745931764298363847108406023v^7 - 23657399436725702725747185316670276978863776024506805v^5 - 1922818568953711747107966850230914165465136449241479738v^3 - 54251742240217990284134913943473420073352687245783024900v) / 14038456130884646810198785637889629109720041103709140
$\beta_{10}$	$=$	$ ( - 58\!\cdots\!80 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!16 \nu ) / 59\!\cdots\!83 $ (-584246028145213348974324480v^15 - 3811940262978742144820785723392v^13 - 8134108687400096931849368708307840v^11 - 6507954800433365124103385623756570240v^9 - 2396222087348329281539943506781642477696v^7 - 430073563783166210436518078112340250269056v^5 - 36283607038559775522344773051150324207743744v^3 - 1141584313507536351853995291523505834169263616v) / 59260944696215395105686470577812359268383
$\beta_{11}$	$=$	$ ( - 11\!\cdots\!15 \nu^{15} + \cdots + 56\!\cdots\!24 \nu ) / 23\!\cdots\!20 $ (-1184886338939695298540258339038335715v^15 - 7543815341605276602491197590353966237604v^13 - 15302337491355206415588182970394343002057938v^11 - 10760957495908764811744771191844765922229796384v^9 - 3113095060539967958600271395651951509093979790123v^7 - 341717838544966832884541091620015565862269783367956v^5 - 6144289886291840059059526102720365545765022533202400v^3 + 563958668253018530792155190825592425301996563069984424v) / 23368216614040194440613875385584068430661741329520
$\beta_{12}$	$=$	$ ( - 60\!\cdots\!06 \nu^{15} + \cdots - 14\!\cdots\!60 \nu ) / 66\!\cdots\!40 $ (-60918131841819157667084642910825812606v^15 - 400060485189307085330197293126730604938132v^13 - 864260763061622524036031510302022569646146041v^11 - 709658604551784542702057740391842760054907351647v^9 - 268893904664458459924002592056294545810347901372539v^7 - 49247738128867445580970635629791901892108612601523925v^5 - 4183343950393061645252034524825403163705278830556193754v^3 - 141047980315368127284771555261644016628107597902544543460v) / 668497910994506990961846935137601386177144814462340
$\beta_{13}$	$=$	$ ( - 46\!\cdots\!07 \nu^{15} + \cdots - 84\!\cdots\!48 \nu ) / 28\!\cdots\!28 $ (-468534853876887793746143178635237024207v^15 - 3059986187953926478771172895194555142543064v^13 - 6541236355588745116026073476959446201610251200v^11 - 5251391009968652536572036397306722956055441300866v^9 - 1936518463770298194658955287497500665396415596936213v^7 - 345327312616824947018730878983697344434202531330230462v^5 - 28331813126390393279539388143290640904099758774790316932v^3 - 846587299155104105937223481804117223988729901000552390848v) / 2807691226176929362039757127577925821944008220741828
$\beta_{14}$	$=$	$ ( - 46\!\cdots\!14 \nu^{15} + \cdots - 82\!\cdots\!20 \nu ) / 70\!\cdots\!70 $ (-4675908095334940551395610090783916416514v^15 - 30544826490280528840109540829095721598198388v^13 - 65321031481234488048539508633019055959083321609v^11 - 52483229416468876104184392363178121642745576953863v^9 - 19366635541541305958265039321841761582630038001059831v^7 - 3452293943368582723384312146282007141271234058747627885v^5 - 282385948133508852371576643734056188231619829610292206826v^3 - 8273699623374098903009086359949477896048735575467843779620v) / 7019228065442323405099392818944814554860020551854570
$\beta_{15}$	$=$	$ ( 24\!\cdots\!37 \nu^{15} + \cdots + 51\!\cdots\!04 \nu ) / 35\!\cdots\!28 $ (2475618635938183848624860544911797637v^15 + 16181540289104060162499495377306158083804v^13 + 34649746440466434015528730217484132520312758v^11 + 27935823649598477728728440921819452680989260232v^9 + 10388078941527224936090772458270352923749024265493v^7 + 1886285347236266160730624778636376528598890521204868v^5 + 161201508605153717822738163957444008534144218684846736v^3 + 5137381781436305812328322588678312036831266275464479304v) / 3505232492106029166092081307837610264599261199428

Display $\nu^j$ in terms of $\beta_i$

$\nu$	$=$	$ ( 47\beta_{14} - 168\beta_{13} - 6\beta_{12} + 243\beta_{10} - 2240\beta_{9} ) / 497664 $ (47b14 - 168b13 - 6b12 + 243b10 - 2240*b9) / 497664
$\nu^{2}$	$=$	$ ( 152 \beta_{7} - 216 \beta_{6} + 3888 \beta_{5} - 368 \beta_{4} - 1539 \beta_{3} - 17901 \beta_{2} + \cdots - 827615232 ) / 995328 $ (152b7 - 216b6 + 3888b5 - 368b4 - 1539b3 - 17901b2 - 536*b1 - 827615232) / 995328
$\nu^{3}$	$=$	$ ( - 2592 \beta_{15} - 53384 \beta_{14} + 131424 \beta_{13} + 5496 \beta_{12} + \cdots + 3402432 \beta_{8} ) / 221184 $ (-2592b15 - 53384b14 + 131424b13 + 5496b12 + 7776b11 - 268893b10 + 5919608b9 + 3402432b8) / 221184
$\nu^{4}$	$=$	$ ( 161054 \beta_{7} + 698652 \beta_{6} - 6467688 \beta_{5} + 787888 \beta_{4} + 1163241 \beta_{3} + \cdots + 917228344320 ) / 497664 $ (161054b7 + 698652b6 - 6467688b5 + 787888b4 + 1163241b3 + 24713343b2 - 162680*b1 + 917228344320) / 497664
$\nu^{5}$	$=$	$ ( 96966720 \beta_{15} + 1294687948 \beta_{14} - 3011846016 \beta_{13} + \cdots - 152748426240 \beta_{8} ) / 1990656 $ (96966720b15 + 1294687948b14 - 3011846016b13 - 172570512b12 - 355518720b11 + 8941146363b10 - 150850976776b9 - 152748426240b8) / 1990656
$\nu^{6}$	$=$	$ ( - 197514002 \beta_{7} - 654598692 \beta_{6} + 3968196480 \beta_{5} - 672516880 \beta_{4} + \cdots - 534395209162752 ) / 110592 $ (-197514002b7 - 654598692b6 + 3968196480b5 - 672516880b4 - 568922427b3 - 14726630277b2 + 391019048*b1 - 534395209162752) / 110592
$\nu^{7}$	$=$	$ ( - 356133062880 \beta_{15} - 3477533646448 \beta_{14} + 8031406902816 \beta_{13} + \cdots + 582628552382016 \beta_{8} ) / 1990656 $ (-356133062880b15 - 3477533646448b14 + 8031406902816b13 + 484813887816b12 + 1354308929568b11 - 32790822538977b10 + 407652173700664b9 + 582628552382016b8) / 1990656
$\nu^{8}$	$=$	$ ( 1644453766136 \beta_{7} + 5305766535144 \beta_{6} - 24067365218460 \beta_{5} + \cdots + 32\!\cdots\!76 ) / 248832 $ (1644453766136b7 + 5305766535144b6 - 24067365218460b5 + 5367211765648b4 + 3307421571399b3 + 88927481734389b2 - 3416506332056*b1 + 3218049995447563776) / 248832
$\nu^{9}$	$=$	$ ( 45286804351296 \beta_{15} + 345932368464388 \beta_{14} - 798147228511488 \beta_{13} + \cdots - 74\!\cdots\!80 \beta_{8} ) / 73728 $ (45286804351296b15 + 345932368464388b14 - 798147228511488b13 - 48573389453520b12 - 173202612647040b11 + 4172598539801109b10 - 40587328141679032b9 - 74554498265921280b8) / 73728
$\nu^{10}$	$=$	$ ( - 22\!\cdots\!06 \beta_{7} + \cdots - 34\!\cdots\!72 ) / 995328 $ (-22147777497688706b7 - 71201908683409428b6 + 258783710191430976b5 - 71854083180531952b4 - 35322743554054641b3 - 955565456086790415b2 + 46300448912767352*b1 - 34566160149288299446272) / 995328
$\nu^{11}$	$=$	$ ( - 40\!\cdots\!44 \beta_{15} + \cdots + 65\!\cdots\!56 \beta_{8} ) / 1990656 $ (-4004173385141634144b15 - 25102034895760156976b14 + 57908094512523698976b13 + 3528538229318422920b12 + 15327382205447867808b11 - 368987610306871972665b10 + 2945541906832522148984b9 + 6598359114727106523456b8) / 1990656
$\nu^{12}$	$=$	$ ( 39\!\cdots\!24 \beta_{7} + \cdots + 51\!\cdots\!88 ) / 55296 $ (3961649878079310124b7 + 12729524310569912400b6 - 38655219119890851576b5 + 12841470884152130096b4 + 5270760679403902923b3 + 142721397533498833197b2 - 8289131313743962408*b1 + 5162446820970238753778688) / 55296
$\nu^{13}$	$=$	$ ( 12\!\cdots\!16 \beta_{15} + \cdots - 20\!\cdots\!64 \beta_{8} ) / 1990656 $ (12688429817765014612416b15 + 67510767305990658646268b14 - 155737899302405222357376b13 - 9491435519638151736528b12 - 48575640413861968747392b11 + 1169276983366853879630271b10 - 7922056329121696955653928b9 - 20911949941043779318980864b8) / 1990656
$\nu^{14}$	$=$	$ ( - 22\!\cdots\!62 \beta_{7} + \cdots - 25\!\cdots\!64 ) / 995328 $ (-223139540106358869768562b7 - 716934427217711457234948b6 + 1872004847288619180008448b5 - 723200099820843222873296b4 - 255213289837087552247031b3 - 6911646319534148177557833b2 + 466943444266606613592520*b1 - 250002528217875441488562315264) / 995328
$\nu^{15}$	$=$	$ ( - 43\!\cdots\!00 \beta_{15} + \cdots + 71\!\cdots\!24 \beta_{8} ) / 221184 $ (-4363115918565904812568800b15 - 20188681327999960832145904b14 + 46572318621176574414082080b13 + 2838428102056092090828744b12 + 16703815474269238731197472b11 - 402075779585614619047487793b10 + 2369049516255808679342530744b9 + 7191060263395912637076815424b8) / 221184

Display $\beta_i$ in terms of $\nu^j$

Character values

We give the values of $\chi$ on generators for $\left(\mathbb{Z}/384\mathbb{Z}\right)^\times$.

$n$	$127$	$133$	$257$
$\chi(n)$	$1$	$-1$	$1$

Embeddings

For each embedding $\iota_m$ of the coefficient field, the values $\iota_m(a_n)$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label

$\iota_m(\nu)$

$ a_{2} $

$ a_{3} $

$ a_{4} $

$ a_{5} $

$ a_{6} $

$ a_{7} $

$ a_{8} $

$ a_{9} $

$ a_{10} $

193.1

	−	10.2298i
		52.4568i
	−	20.6095i
	−	11.9097i
		13.3239i
		19.1953i
	−	51.0426i
		8.81560i
	−	8.81560i
		51.0426i
	−	19.1953i
	−	13.3239i
		11.9097i
		20.6095i
	−	52.4568i
		10.2298i

−

81.0000i

−

1749.39i

−10793.2

−6561.00

193.2

−

81.0000i

−

1565.53i

−660.228

−6561.00

193.3

−

81.0000i

−

1462.68i

4141.00

−6561.00

193.4

−

81.0000i

−

120.932i

−8799.87

−6561.00

193.5

−

81.0000i

120.932i

8799.87

−6561.00

193.6

−

81.0000i

1462.68i

−4141.00

−6561.00

193.7

−

81.0000i

1565.53i

660.228

−6561.00

193.8

−

81.0000i

1749.39i

10793.2

−6561.00

193.9

81.0000i

−

1749.39i

10793.2

−6561.00

193.10

81.0000i

−

1565.53i

660.228

−6561.00

193.11

81.0000i

−

1462.68i

−4141.00

−6561.00

193.12

81.0000i

−

120.932i

8799.87

−6561.00

193.13

81.0000i

120.932i

−8799.87

−6561.00

193.14

81.0000i

1462.68i

4141.00

−6561.00

193.15

81.0000i

1565.53i

−660.228

−6561.00

193.16

81.0000i

1749.39i

−10793.2

−6561.00

Inner twists

Char	Parity	Ord	Mult	Type
1.a	even	1	1	trivial
4.b	odd	2	1	inner
8.b	even	2	1	inner
8.d	odd	2	1	inner

Twists

By twisting character orbit
Char	Parity	Ord	Mult	Type	Twist	Min	Dim
1.a	even	1	1	trivial	384.10.d.e	✓	16
4.b	odd	2	1	inner	384.10.d.e	✓	16
8.b	even	2	1	inner	384.10.d.e	✓	16
8.d	odd	2	1	inner	384.10.d.e	✓	16

By twisted newform orbit
Twist	Min	Dim	Char	Parity	Ord	Mult	Type
384.10.d.e	✓	16	1.a	even	1	1	trivial
384.10.d.e	✓	16	4.b	odd	2	1	inner
384.10.d.e	✓	16	8.b	even	2	1	inner
384.10.d.e	✓	16	8.d	odd	2	1	inner

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $S_{10}^{\mathrm{new}}(384, [\chi])$:

$ T_{5}^{8} + 7665312T_{5}^{6} + 19403468055936T_{5}^{4} + 16329208256304998400T_{5}^{2} + 234680999043339717120000 $

$ T_{7}^{8} - 211514784 T_{7}^{6} + \cdots + 67\!\cdots\!52 $

Hecke characteristic polynomials

$p$	$F_p(T)$
$2$	$ T^{16} $ T^16
$3$	$ (T^{2} + 6561)^{8} $ (T^2 + 6561)^8
$5$	$ (T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!00)^{2} $ (T^8 + 7665312T^6 + 19403468055936T^4 + 16329208256304998400*T^2 + 234680999043339717120000)^2
$7$	$ (T^{8} + \cdots + 67\!\cdots\!52)^{2} $ (T^8 - 211514784T^6 + 12438489197632896T^4 - 160072620760174494984192*T^2 + 67429884632354151465767473152)^2
$11$	$ (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!84)^{2} $ (T^8 + 7985830976T^6 + 20110048540787885568T^4 + 15882894523197420668049440768*T^2 + 1593876488155192940144262290916573184)^2
$13$	$ (T^{8} + \cdots + 84\!\cdots\!52)^{2} $ (T^8 + 27671324544T^6 + 252249198945242830848T^4 + 845709970056106855063570219008*T^2 + 849818349310324497590236100557985021952)^2
$17$	$ (T^{4} + \cdots + 10\!\cdots\!16)^{4} $ (T^4 - 328440T^3 - 238564345320T^2 + 12399633443458080*T + 1088639568518066739216)^4
$19$	$ (T^{8} + \cdots + 30\!\cdots\!00)^{2} $ (T^8 + 1695655577664T^6 + 940014344917963827611136T^4 + 174165570792810362320611965931110400*T^2 + 3035089542872785103571767083768595234856960000)^2
$23$	$ (T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!32)^{2} $ (T^8 - 5690145269376T^6 + 8138618286491213666703360T^4 - 3115052992974245299328127025157898240*T^2 + 185117622646633366769992413637512689662093688832)^2
$29$	$ (T^{8} + \cdots + 45\!\cdots\!52)^{2} $ (T^8 + 57648139484832T^6 + 486753588055356738990302592T^4 + 315151237022547793460938434849058154496*T^2 + 45617604143692659010462249986322399607060107825152)^2
$31$	$ (T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!72)^{2} $ (T^8 - 125577217143456T^6 + 4548429091090094869603587456T^4 - 54539220210100362070955006329187419908096*T^2 + 102165781026178233885215178276563364089494998095695872)^2
$37$	$ (T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!08)^{2} $ (T^8 + 204554491105536T^6 + 2446866685730694695651794944T^4 + 9986507358151982496564332456960836239360*T^2 + 13625512950120792940413055552045757494991024195371008)^2
$41$	$ (T^{4} + \cdots + 97\!\cdots\!68)^{4} $ (T^4 + 16822488T^3 - 260561780002728T^2 + 371156590984292133984*T + 973249744158212092250615568)^4
$43$	$ (T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!16)^{2} $ (T^8 + 1438572401750592T^6 + 478285851052183092493659268608T^4 + 47066395285287785044889788262634021592645632*T^2 + 216241710899087664916980975571381944228178804057497993216)^2
$47$	$ (T^{8} + \cdots + 26\!\cdots\!72)^{2} $ (T^8 - 5392235632588416T^6 + 8399157288374595854187819030528T^4 - 3781222898210811559041706074357070565414141952*T^2 + 267945070937453286525170864136869782072418573916945930780672)^2
$53$	$ (T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!28)^{2} $ (T^8 + 16862060901222048T^6 + 101726154986006283588528679069056T^4 + 255467372288136018968971086516562336355079383040*T^2 + 217252843334456569797999595987146999088769369629955386657148928)^2
$59$	$ (T^{8} + \cdots + 93\!\cdots\!64)^{2} $ (T^8 + 23959948405768256T^6 + 150441263523514675393091906569728T^4 + 170440117963890887042929070527381503581643358208*T^2 + 9398662151685582022164386702830002560774065632935953330929664)^2
$61$	$ (T^{8} + \cdots + 48\!\cdots\!32)^{2} $ (T^8 + 80770157913791232T^6 + 2061400673933548676597436392300544T^4 + 18308928045085055817627305766960762844341750202368*T^2 + 48793905754463140938407814340528038575586889878229946741903327232)^2
$67$	$ (T^{8} + \cdots + 61\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 + 41930224471420992T^6 + 606781309529645679162674329486848T^4 + 3453099868077268125105645797804120015352693276672*T^2 + 6167620897921804845908740795569496735039773255401724530571411456)^2
$71$	$ (T^{8} + \cdots + 19\!\cdots\!52)^{2} $ (T^8 - 124513646121903744T^6 + 4794848961461516276329329179744256T^4 - 56973309133092781656510389088413365874833253597184*T^2 + 198059864101961421480932159208452174657224856314516256201666199552)^2
$73$	$ (T^{4} + \cdots + 39\!\cdots\!48)^{4} $ (T^4 - 71975032T^3 - 44811606517279464T^2 + 2283909634853544306498080*T + 399244194471335813210913490885648)^4
$79$	$ (T^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!92)^{2} $ (T^8 - 690558579682941600T^6 + 136354132746614856091117956315829632T^4 - 7565537963763498153968835313913640650512138870941696*T^2 + 117012257149927168232226642828221704701463034669924354299976693256192)^2
$83$	$ (T^{8} + \cdots + 35\!\cdots\!00)^{2} $ (T^8 + 698306690880904256T^6 + 148137309749334685775541364919256576T^4 + 12422921118115394142834975271249271243802715773747200*T^2 + 358573118653171466214576397941052366208500677104299620394549288960000)^2
$89$	$ (T^{4} + \cdots - 19\!\cdots\!72)^{4} $ (T^4 + 131999976T^3 - 581043192895590696T^2 - 72694490230297401972324192*T - 1970802948860484102149251654636272)^4
$97$	$ (T^{4} + \cdots + 32\!\cdots\!84)^{4} $ (T^4 - 4785464T^3 - 1405461130385627496T^2 - 62857827573897860366821088*T + 328302400679742400742302110736608784)^4
show more
show less

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Level:	\( N \)	\(=\)	\( 384 = 2^{7} \cdot 3 \)
Weight:	\( k \)	\(=\)	\( 10 \)
Character orbit:	\([\chi]\)	\(=\)	384.d (of order \(2\), degree \(1\), minimal)

\(f(q)\)	\(=\)	\( q + \beta_{8} q^{3} + \beta_{9} q^{5} + \beta_1 q^{7} - 6561 q^{9}+O(q^{10}) \) q + b8 * q^3 + b9 * q^5 + b1 * q^7 - 6561 * q^9	\( q + \beta_{8} q^{3} + \beta_{9} q^{5} + \beta_1 q^{7} - 6561 q^{9} + ( - \beta_{11} + 12 \beta_{10} + 66 \beta_{8}) q^{11} + (\beta_{13} + 28 \beta_{9}) q^{13} + (\beta_{7} - \beta_{4} + 5 \beta_1) q^{15} + ( - 3 \beta_{5} - \beta_{3} + \cdots + 82110) q^{17}+ \cdots + (6561 \beta_{11} + \cdots - 433026 \beta_{8}) q^{99}+O(q^{100}) \) q + b8 * q^3 + b9 * q^5 + b1 * q^7 - 6561 * q^9 + (-b11 + 12b10 + 66b8) * q^11 + (b13 + 28b9) q^13 + (b7 - b4 + 5b1) q^15 + (-3b5 - b3 - 3b2 + 82110) * q^17 + (5b15 - 8b11 - 75b10 - 1556b8) * q^19 + (-b14 + 3b13 + 3b12 - 158b9) q^21 + (9b7 + 4b6 + 8b4 - 24b1) * q^23 + (7b5 - 10b3 - 3b2 + 36797) q^25 - 6561b8 q^27 + (-18b14 + 26b13 + 7b12 + 854b9) * q^29 + (14b7 - 53b6 + 22b4 + 372b1) * q^31 + (16b3 + 65b2 - 432540) * q^33 + (66b15 + 121b11 - 1897b10 - 46046b8) * q^35 + (b14 + 25b13 - 24b12 - 3504b9) q^37 + (9b7 - 81b6 - 9b4 + 45b1) * q^39 + (63b5 + 12b3 + 202b2 - 4205622) q^41 + (-97b15 - 314b11 + 180b10 + 108536b8) * q^43 - 6561b9 q^45 + (139b7 - 370b6 + 144b4 + 458b1) * q^47 + (-119b5 - 242b3 - 791b2 + 12525089) q^49 + (-243b15 - 324b11 + 3483b10 + 82062b8) * q^51 + (-232b14 + 238b13 - 145b12 - 8576b9) * q^53 + (396b7 + 217b6 + 402b4 + 5243b1) * q^55 + (-405b5 + 279b3 + 369b2 + 10222524) q^57 + (102b15 + 1530b11 - 28841b10 + 177208b8) * q^59 + (-555b14 + 1507b13 + 378b12 - 26450b9) * q^61 - 6561b1 q^63 + (807b5 + 104b3 - 590b2 - 53101584) q^65 + (-430b15 + 1138b11 - 48189b10 - 449528b8) * q^67 + (-441b14 + 270b13 - 54b12 + 16506b9) * q^69 + (400b7 + 618b6 - 1984b4 - 4696b1) * q^71 + (-71b5 + 1412b3 + 2307b2 + 17993758) q^73 + (567b15 - 1053b11 - 38394b10 + 37043b8) * q^75 + (-904b14 + 2304b13 + 1341b12 - 143061b9) * q^77 + (-4198b7 + 2056b6 + 652b4 + 6151b1) * q^79 + 43046721 * q^81 + (1770b15 - 6241b11 - 180810b10 - 944782b8) * q^83 + (1903b14 + 1312b13 - 2706b12 + 189066b9) * q^85 + (-1410b7 - 1539b6 - 2397b4 - 10938b1) * q^87 + (2982b5 - 3821b3 - 6931b2 - 32999994) q^89 + (3117b15 - 4164b11 - 286215b10 - 250592b8) * q^91 + (-1382b14 - 3063b13 + 1230b12 - 97261b9) * q^93 + (-1705b7 + 7010b6 + 4100b4 - 57380b1) * q^95 + (-6832b5 + 2706b3 + 7036b2 + 1196366) q^97 + (6561b11 - 78732b10 - 433026b8) q^99
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\)	\(=\)	\( 16 q - 104976 q^{9}+O(q^{10}) \) 16 * q - 104976 * q^9	\( 16 q - 104976 q^{9} + 1313760 q^{17} + 588752 q^{25} - 6920640 q^{33} - 67289952 q^{41} + 200401424 q^{49} + 163560384 q^{57} - 849625344 q^{65} + 287900128 q^{73} + 688747536 q^{81} - 527999904 q^{89} + 19141856 q^{97}+O(q^{100}) \) 16 * q - 104976 * q^9 + 1313760 * q^17 + 588752 * q^25 - 6920640 * q^33 - 67289952 * q^41 + 200401424 * q^49 + 163560384 * q^57 - 849625344 * q^65 + 287900128 * q^73 + 688747536 * q^81 - 527999904 * q^89 + 19141856 * q^97

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Newspace parameters

Newform invariants

$q$-expansion

Character values

Embeddings

Inner twists

Twists

Hecke kernels

Hecke characteristic polynomials

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	384.10.d.e

Level	$384$
Weight	$10$
Character orbit	384.d
Analytic conductor	$197.774$
Analytic rank	$0$
Dimension	$16$
CM	no
Inner twists	$4$

Self dual:	no
Analytic conductor:	\(197.773761087\)
Analytic rank:	\(0\)
Dimension:	\(16\)
Coefficient field:	\(\mathbb{Q}[x]/(x^{16} + \cdots)\)
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	\( x^{16} + 6652 x^{14} + 14752282 x^{12} + 12902853544 x^{10} + 5499992247865 x^{8} + \cdots + 22\!\cdots\!04 \) x^16 + 6652x^14 + 14752282x^12 + 12902853544x^10 + 5499992247865x^8 + 1244818462999132x^6 + 152005723146135388x^4 + 9402732979306492240*x^2 + 229772108081563865104
Coefficient ring:	\(\Z[a_1, \ldots, a_{17}]\)
Coefficient ring index:	\( 2^{108}\cdot 3^{28} \)
Twist minimal:	yes
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

\(\beta_{1}\)	\(=\)	\( ( - 22\!\cdots\!93 \nu^{14} + \cdots + 43\!\cdots\!80 ) / 14\!\cdots\!12 \) (-22939477070602300324679223193v^14 - 117785479708330100874152416925288v^12 - 115932830268075939047557385266413036v^10 + 159227156161775944389271280709421263110v^8 + 202181831803743587350054829091515868657097v^6 + 72709911469730767566923015039383317151976778v^4 + 9898187705503793742250519602883367980216938308*v^2 + 434876976225959114181484936337307916213293814480) / 1481803708893510141368664943395709558635912
\(\beta_{2}\)	\(=\)	\( ( 12\!\cdots\!99 \nu^{14} + \cdots + 22\!\cdots\!24 ) / 11\!\cdots\!45 \) (1238005096058224781770025799v^14 + 8087948783329188877265725726564v^12 + 17300605515870867118967641071887076v^10 + 13911149018902298311200171681144025134v^8 + 5144328477877648926226051420857003962833v^6 + 921555409066546496799201337519887103810854v^4 + 75999444951863469448980745251629973422670156*v^2 + 2209604464509186805953250654004847210869600224) / 1156213880222776327534850923373680991445
\(\beta_{3}\)	\(=\)	\( ( - 29\!\cdots\!69 \nu^{14} + \cdots - 55\!\cdots\!04 ) / 11\!\cdots\!45 \) (-2951537379019573212783160569v^14 - 19313037954871701087804780347804v^12 - 41436503736423510586829006070491676v^10 - 33534024307392986091210145297938770514v^8 - 12494177648133995176187331732660821516783v^6 - 2251674396022079267363607585575211000516954v^4 - 186452575557687893141833493306948966509284276*v^2 - 5594977194349935557021643355020386973026998304) / 1156213880222776327534850923373680991445
\(\beta_{4}\)	\(=\)	\( ( 68\!\cdots\!77 \nu^{14} + \cdots + 11\!\cdots\!68 ) / 21\!\cdots\!05 \) (6876191244338654394868600352477v^14 + 44828376480306408774653441392702276v^12 + 95483718358517386918511684869560671976v^10 + 75999234265703683647970795678259028413546v^8 + 27635512472151652995344177885415647552332687v^6 + 4845828961927048715850732512492825090077037538v^4 + 395648369516531996467541841541253369977077879068*v^2 + 11986872463778488632378964255787685230595338255368) / 2160963742136368956162636375785409773010705
\(\beta_{5}\)	\(=\)	\( ( 41\!\cdots\!11 \nu^{14} + \cdots + 75\!\cdots\!96 ) / 11\!\cdots\!45 \) (4168454895601060852793511711v^14 + 27228579974180092678677614176516v^12 + 58226582909831018237337727799688324v^10 + 46789716059378667398070824827442494686v^8 + 17290066951263613420180753892038757422777v^6 + 3095508299255053071192858978104116835828886v^4 + 255178839716420710148321155014316120222443564*v^2 + 7549738080583944203714113691810848950663596896) / 1156213880222776327534850923373680991445
\(\beta_{6}\)	\(=\)	\( ( - 15\!\cdots\!07 \nu^{14} + \cdots - 27\!\cdots\!08 ) / 27\!\cdots\!80 \) (-1541394804426973707633250500607v^14 - 10046847508077252835412162149302296v^12 - 21393002091569378992460270694433137396v^10 - 17022267005309574335029043087713576082806v^8 - 6198537681645950752579606164268399575519857v^6 - 1091658593702322690386483312442410210371221018v^4 - 89762931335043691684508898514339717752465395428*v^2 - 2742948226708964859962947144141418690637297702608) / 274408094239538915068271285814020288636280
\(\beta_{7}\)	\(=\)	\( ( 43\!\cdots\!77 \nu^{14} + \cdots + 83\!\cdots\!48 ) / 56\!\cdots\!80 \) (437047601987025655684195297277v^14 + 2850454234732320534344197390438216v^12 + 6077849929075216785579372133619592156v^10 + 4854261335783378099778901842399283911266v^8 + 1782525798042474395222035308964982033913427v^6 + 318708972511133486926325312374514321077835598v^4 + 26759087672715052409922976452781880480560285868*v^2 + 837091762935489778986649684321176919869133441648) / 56743030428088462743876666322592816796780
\(\beta_{8}\)	\(=\)	\( ( - 8542683072695 \nu^{15} + \cdots - 42\!\cdots\!84 \nu ) / 17\!\cdots\!40 \) (-8542683072695v^15 - 79127148521387796v^13 - 269338477278918235242v^11 - 406415972065916777490176v^9 - 264995015104009634693323647v^7 - 78323162791610413583049899364v^5 - 9888983675781503689809500823200v^3 - 421667072069910452634856981496184v) / 1728890222760357452158440299040
\(\beta_{9}\)	\(=\)	\( ( - 32\!\cdots\!22 \nu^{15} + \cdots - 54\!\cdots\!00 \nu ) / 14\!\cdots\!40 \) (-32108218259564489659714721514647557322v^15 - 209755034076085222040193378498764955530644v^13 - 448607125230713205679206338578712591112510657v^11 - 360476470617673360492266599887033739448321626399v^9 - 132966813019992171367384745931764298363847108406023v^7 - 23657399436725702725747185316670276978863776024506805v^5 - 1922818568953711747107966850230914165465136449241479738v^3 - 54251742240217990284134913943473420073352687245783024900v) / 14038456130884646810198785637889629109720041103709140
\(\beta_{10}\)	\(=\)	\( ( - 58\!\cdots\!80 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!16 \nu ) / 59\!\cdots\!83 \) (-584246028145213348974324480v^15 - 3811940262978742144820785723392v^13 - 8134108687400096931849368708307840v^11 - 6507954800433365124103385623756570240v^9 - 2396222087348329281539943506781642477696v^7 - 430073563783166210436518078112340250269056v^5 - 36283607038559775522344773051150324207743744v^3 - 1141584313507536351853995291523505834169263616v) / 59260944696215395105686470577812359268383
\(\beta_{11}\)	\(=\)	\( ( - 11\!\cdots\!15 \nu^{15} + \cdots + 56\!\cdots\!24 \nu ) / 23\!\cdots\!20 \) (-1184886338939695298540258339038335715v^15 - 7543815341605276602491197590353966237604v^13 - 15302337491355206415588182970394343002057938v^11 - 10760957495908764811744771191844765922229796384v^9 - 3113095060539967958600271395651951509093979790123v^7 - 341717838544966832884541091620015565862269783367956v^5 - 6144289886291840059059526102720365545765022533202400v^3 + 563958668253018530792155190825592425301996563069984424v) / 23368216614040194440613875385584068430661741329520
\(\beta_{12}\)	\(=\)	\( ( - 60\!\cdots\!06 \nu^{15} + \cdots - 14\!\cdots\!60 \nu ) / 66\!\cdots\!40 \) (-60918131841819157667084642910825812606v^15 - 400060485189307085330197293126730604938132v^13 - 864260763061622524036031510302022569646146041v^11 - 709658604551784542702057740391842760054907351647v^9 - 268893904664458459924002592056294545810347901372539v^7 - 49247738128867445580970635629791901892108612601523925v^5 - 4183343950393061645252034524825403163705278830556193754v^3 - 141047980315368127284771555261644016628107597902544543460v) / 668497910994506990961846935137601386177144814462340
\(\beta_{13}\)	\(=\)	\( ( - 46\!\cdots\!07 \nu^{15} + \cdots - 84\!\cdots\!48 \nu ) / 28\!\cdots\!28 \) (-468534853876887793746143178635237024207v^15 - 3059986187953926478771172895194555142543064v^13 - 6541236355588745116026073476959446201610251200v^11 - 5251391009968652536572036397306722956055441300866v^9 - 1936518463770298194658955287497500665396415596936213v^7 - 345327312616824947018730878983697344434202531330230462v^5 - 28331813126390393279539388143290640904099758774790316932v^3 - 846587299155104105937223481804117223988729901000552390848v) / 2807691226176929362039757127577925821944008220741828
\(\beta_{14}\)	\(=\)	\( ( - 46\!\cdots\!14 \nu^{15} + \cdots - 82\!\cdots\!20 \nu ) / 70\!\cdots\!70 \) (-4675908095334940551395610090783916416514v^15 - 30544826490280528840109540829095721598198388v^13 - 65321031481234488048539508633019055959083321609v^11 - 52483229416468876104184392363178121642745576953863v^9 - 19366635541541305958265039321841761582630038001059831v^7 - 3452293943368582723384312146282007141271234058747627885v^5 - 282385948133508852371576643734056188231619829610292206826v^3 - 8273699623374098903009086359949477896048735575467843779620v) / 7019228065442323405099392818944814554860020551854570
\(\beta_{15}\)	\(=\)	\( ( 24\!\cdots\!37 \nu^{15} + \cdots + 51\!\cdots\!04 \nu ) / 35\!\cdots\!28 \) (2475618635938183848624860544911797637v^15 + 16181540289104060162499495377306158083804v^13 + 34649746440466434015528730217484132520312758v^11 + 27935823649598477728728440921819452680989260232v^9 + 10388078941527224936090772458270352923749024265493v^7 + 1886285347236266160730624778636376528598890521204868v^5 + 161201508605153717822738163957444008534144218684846736v^3 + 5137381781436305812328322588678312036831266275464479304v) / 3505232492106029166092081307837610264599261199428

\(\nu\)	\(=\)	\( ( 47\beta_{14} - 168\beta_{13} - 6\beta_{12} + 243\beta_{10} - 2240\beta_{9} ) / 497664 \) (47b14 - 168b13 - 6b12 + 243b10 - 2240*b9) / 497664
\(\nu^{2}\)	\(=\)	\( ( 152 \beta_{7} - 216 \beta_{6} + 3888 \beta_{5} - 368 \beta_{4} - 1539 \beta_{3} - 17901 \beta_{2} + \cdots - 827615232 ) / 995328 \) (152b7 - 216b6 + 3888b5 - 368b4 - 1539b3 - 17901b2 - 536*b1 - 827615232) / 995328
\(\nu^{3}\)	\(=\)	\( ( - 2592 \beta_{15} - 53384 \beta_{14} + 131424 \beta_{13} + 5496 \beta_{12} + \cdots + 3402432 \beta_{8} ) / 221184 \) (-2592b15 - 53384b14 + 131424b13 + 5496b12 + 7776b11 - 268893b10 + 5919608b9 + 3402432b8) / 221184
\(\nu^{4}\)	\(=\)	\( ( 161054 \beta_{7} + 698652 \beta_{6} - 6467688 \beta_{5} + 787888 \beta_{4} + 1163241 \beta_{3} + \cdots + 917228344320 ) / 497664 \) (161054b7 + 698652b6 - 6467688b5 + 787888b4 + 1163241b3 + 24713343b2 - 162680*b1 + 917228344320) / 497664
\(\nu^{5}\)	\(=\)	\( ( 96966720 \beta_{15} + 1294687948 \beta_{14} - 3011846016 \beta_{13} + \cdots - 152748426240 \beta_{8} ) / 1990656 \) (96966720b15 + 1294687948b14 - 3011846016b13 - 172570512b12 - 355518720b11 + 8941146363b10 - 150850976776b9 - 152748426240b8) / 1990656
\(\nu^{6}\)	\(=\)	\( ( - 197514002 \beta_{7} - 654598692 \beta_{6} + 3968196480 \beta_{5} - 672516880 \beta_{4} + \cdots - 534395209162752 ) / 110592 \) (-197514002b7 - 654598692b6 + 3968196480b5 - 672516880b4 - 568922427b3 - 14726630277b2 + 391019048*b1 - 534395209162752) / 110592
\(\nu^{7}\)	\(=\)	\( ( - 356133062880 \beta_{15} - 3477533646448 \beta_{14} + 8031406902816 \beta_{13} + \cdots + 582628552382016 \beta_{8} ) / 1990656 \) (-356133062880b15 - 3477533646448b14 + 8031406902816b13 + 484813887816b12 + 1354308929568b11 - 32790822538977b10 + 407652173700664b9 + 582628552382016b8) / 1990656
\(\nu^{8}\)	\(=\)	\( ( 1644453766136 \beta_{7} + 5305766535144 \beta_{6} - 24067365218460 \beta_{5} + \cdots + 32\!\cdots\!76 ) / 248832 \) (1644453766136b7 + 5305766535144b6 - 24067365218460b5 + 5367211765648b4 + 3307421571399b3 + 88927481734389b2 - 3416506332056*b1 + 3218049995447563776) / 248832
\(\nu^{9}\)	\(=\)	\( ( 45286804351296 \beta_{15} + 345932368464388 \beta_{14} - 798147228511488 \beta_{13} + \cdots - 74\!\cdots\!80 \beta_{8} ) / 73728 \) (45286804351296b15 + 345932368464388b14 - 798147228511488b13 - 48573389453520b12 - 173202612647040b11 + 4172598539801109b10 - 40587328141679032b9 - 74554498265921280b8) / 73728
\(\nu^{10}\)	\(=\)	\( ( - 22\!\cdots\!06 \beta_{7} + \cdots - 34\!\cdots\!72 ) / 995328 \) (-22147777497688706b7 - 71201908683409428b6 + 258783710191430976b5 - 71854083180531952b4 - 35322743554054641b3 - 955565456086790415b2 + 46300448912767352*b1 - 34566160149288299446272) / 995328
\(\nu^{11}\)	\(=\)	\( ( - 40\!\cdots\!44 \beta_{15} + \cdots + 65\!\cdots\!56 \beta_{8} ) / 1990656 \) (-4004173385141634144b15 - 25102034895760156976b14 + 57908094512523698976b13 + 3528538229318422920b12 + 15327382205447867808b11 - 368987610306871972665b10 + 2945541906832522148984b9 + 6598359114727106523456b8) / 1990656
\(\nu^{12}\)	\(=\)	\( ( 39\!\cdots\!24 \beta_{7} + \cdots + 51\!\cdots\!88 ) / 55296 \) (3961649878079310124b7 + 12729524310569912400b6 - 38655219119890851576b5 + 12841470884152130096b4 + 5270760679403902923b3 + 142721397533498833197b2 - 8289131313743962408*b1 + 5162446820970238753778688) / 55296
\(\nu^{13}\)	\(=\)	\( ( 12\!\cdots\!16 \beta_{15} + \cdots - 20\!\cdots\!64 \beta_{8} ) / 1990656 \) (12688429817765014612416b15 + 67510767305990658646268b14 - 155737899302405222357376b13 - 9491435519638151736528b12 - 48575640413861968747392b11 + 1169276983366853879630271b10 - 7922056329121696955653928b9 - 20911949941043779318980864b8) / 1990656
\(\nu^{14}\)	\(=\)	\( ( - 22\!\cdots\!62 \beta_{7} + \cdots - 25\!\cdots\!64 ) / 995328 \) (-223139540106358869768562b7 - 716934427217711457234948b6 + 1872004847288619180008448b5 - 723200099820843222873296b4 - 255213289837087552247031b3 - 6911646319534148177557833b2 + 466943444266606613592520*b1 - 250002528217875441488562315264) / 995328
\(\nu^{15}\)	\(=\)	\( ( - 43\!\cdots\!00 \beta_{15} + \cdots + 71\!\cdots\!24 \beta_{8} ) / 221184 \) (-4363115918565904812568800b15 - 20188681327999960832145904b14 + 46572318621176574414082080b13 + 2838428102056092090828744b12 + 16703815474269238731197472b11 - 402075779585614619047487793b10 + 2369049516255808679342530744b9 + 7191060263395912637076815424b8) / 221184

\(n\):		e.g. 2-40 or 990-1000
Embeddings:		e.g. 1-3 or 193.16
Significant digits:
Format:

$p$	$F_p(T)$
$2$	\( T^{16} \) T^16
$3$	\( (T^{2} + 6561)^{8} \) (T^2 + 6561)^8
$5$	\( (T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!00)^{2} \) (T^8 + 7665312T^6 + 19403468055936T^4 + 16329208256304998400*T^2 + 234680999043339717120000)^2
$7$	\( (T^{8} + \cdots + 67\!\cdots\!52)^{2} \) (T^8 - 211514784T^6 + 12438489197632896T^4 - 160072620760174494984192*T^2 + 67429884632354151465767473152)^2
$11$	\( (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!84)^{2} \) (T^8 + 7985830976T^6 + 20110048540787885568T^4 + 15882894523197420668049440768*T^2 + 1593876488155192940144262290916573184)^2
$13$	\( (T^{8} + \cdots + 84\!\cdots\!52)^{2} \) (T^8 + 27671324544T^6 + 252249198945242830848T^4 + 845709970056106855063570219008*T^2 + 849818349310324497590236100557985021952)^2
$17$	\( (T^{4} + \cdots + 10\!\cdots\!16)^{4} \) (T^4 - 328440T^3 - 238564345320T^2 + 12399633443458080*T + 1088639568518066739216)^4
$19$	\( (T^{8} + \cdots + 30\!\cdots\!00)^{2} \) (T^8 + 1695655577664T^6 + 940014344917963827611136T^4 + 174165570792810362320611965931110400*T^2 + 3035089542872785103571767083768595234856960000)^2
$23$	\( (T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!32)^{2} \) (T^8 - 5690145269376T^6 + 8138618286491213666703360T^4 - 3115052992974245299328127025157898240*T^2 + 185117622646633366769992413637512689662093688832)^2
$29$	\( (T^{8} + \cdots + 45\!\cdots\!52)^{2} \) (T^8 + 57648139484832T^6 + 486753588055356738990302592T^4 + 315151237022547793460938434849058154496*T^2 + 45617604143692659010462249986322399607060107825152)^2
$31$	\( (T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!72)^{2} \) (T^8 - 125577217143456T^6 + 4548429091090094869603587456T^4 - 54539220210100362070955006329187419908096*T^2 + 102165781026178233885215178276563364089494998095695872)^2
$37$	\( (T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!08)^{2} \) (T^8 + 204554491105536T^6 + 2446866685730694695651794944T^4 + 9986507358151982496564332456960836239360*T^2 + 13625512950120792940413055552045757494991024195371008)^2
$41$	\( (T^{4} + \cdots + 97\!\cdots\!68)^{4} \) (T^4 + 16822488T^3 - 260561780002728T^2 + 371156590984292133984*T + 973249744158212092250615568)^4
$43$	\( (T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!16)^{2} \) (T^8 + 1438572401750592T^6 + 478285851052183092493659268608T^4 + 47066395285287785044889788262634021592645632*T^2 + 216241710899087664916980975571381944228178804057497993216)^2
$47$	\( (T^{8} + \cdots + 26\!\cdots\!72)^{2} \) (T^8 - 5392235632588416T^6 + 8399157288374595854187819030528T^4 - 3781222898210811559041706074357070565414141952*T^2 + 267945070937453286525170864136869782072418573916945930780672)^2
$53$	\( (T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!28)^{2} \) (T^8 + 16862060901222048T^6 + 101726154986006283588528679069056T^4 + 255467372288136018968971086516562336355079383040*T^2 + 217252843334456569797999595987146999088769369629955386657148928)^2
$59$	\( (T^{8} + \cdots + 93\!\cdots\!64)^{2} \) (T^8 + 23959948405768256T^6 + 150441263523514675393091906569728T^4 + 170440117963890887042929070527381503581643358208*T^2 + 9398662151685582022164386702830002560774065632935953330929664)^2
$61$	\( (T^{8} + \cdots + 48\!\cdots\!32)^{2} \) (T^8 + 80770157913791232T^6 + 2061400673933548676597436392300544T^4 + 18308928045085055817627305766960762844341750202368*T^2 + 48793905754463140938407814340528038575586889878229946741903327232)^2
$67$	\( (T^{8} + \cdots + 61\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 + 41930224471420992T^6 + 606781309529645679162674329486848T^4 + 3453099868077268125105645797804120015352693276672*T^2 + 6167620897921804845908740795569496735039773255401724530571411456)^2
$71$	\( (T^{8} + \cdots + 19\!\cdots\!52)^{2} \) (T^8 - 124513646121903744T^6 + 4794848961461516276329329179744256T^4 - 56973309133092781656510389088413365874833253597184*T^2 + 198059864101961421480932159208452174657224856314516256201666199552)^2
$73$	\( (T^{4} + \cdots + 39\!\cdots\!48)^{4} \) (T^4 - 71975032T^3 - 44811606517279464T^2 + 2283909634853544306498080*T + 399244194471335813210913490885648)^4
$79$	\( (T^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!92)^{2} \) (T^8 - 690558579682941600T^6 + 136354132746614856091117956315829632T^4 - 7565537963763498153968835313913640650512138870941696*T^2 + 117012257149927168232226642828221704701463034669924354299976693256192)^2
$83$	\( (T^{8} + \cdots + 35\!\cdots\!00)^{2} \) (T^8 + 698306690880904256T^6 + 148137309749334685775541364919256576T^4 + 12422921118115394142834975271249271243802715773747200*T^2 + 358573118653171466214576397941052366208500677104299620394549288960000)^2
$89$	\( (T^{4} + \cdots - 19\!\cdots\!72)^{4} \) (T^4 + 131999976T^3 - 581043192895590696T^2 - 72694490230297401972324192*T - 1970802948860484102149251654636272)^4
$97$	\( (T^{4} + \cdots + 32\!\cdots\!84)^{4} \) (T^4 - 4785464T^3 - 1405461130385627496T^2 - 62857827573897860366821088*T + 328302400679742400742302110736608784)^4
show more
show less

\(n\)	\(127\)	\(133\)	\(257\)
\(\chi(n)\)	\(1\)	\(-1\)	\(1\)