# Properties

 Label 38.4.e.b Level $38$ Weight $4$ Character orbit 38.e Analytic conductor $2.242$ Analytic rank $0$ Dimension $18$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$38 = 2 \cdot 19$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$4$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 38.e (of order $$9$$, degree $$6$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$2.24207258022$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$18$$ Relative dimension: $$3$$ over $$\Q(\zeta_{9})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{18} + \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{18} + 165 x^{16} - 56 x^{15} + 18435 x^{14} - 11748 x^{13} + 1092662 x^{12} - 1833567 x^{11} + 46842546 x^{10} - 93643115 x^{9} + 1273086000 x^{8} + \cdots + 3892796082289$$ x^18 + 165*x^16 - 56*x^15 + 18435*x^14 - 11748*x^13 + 1092662*x^12 - 1833567*x^11 + 46842546*x^10 - 93643115*x^9 + 1273086000*x^8 - 3159018183*x^7 + 24752942108*x^6 - 51265274250*x^5 + 247917053361*x^4 - 421854393530*x^3 + 1634375353605*x^2 - 2066139456366*x + 3892796082289 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: $$3^{2}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{9}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{17}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - 2 \beta_{8} q^{2} + (\beta_{9} + \beta_{6} + \beta_{4} + \beta_{3}) q^{3} + 4 \beta_{7} q^{4} + ( - \beta_{16} + \beta_{5}) q^{5} + (2 \beta_{11} - 2 \beta_{10} - 2 \beta_{9} + 2 \beta_{4} - 2 \beta_{3} - 2) q^{6} + ( - \beta_{15} - \beta_{13} - \beta_{12} + \beta_{11} - \beta_{10} - 5 \beta_{9} - \beta_{8} + 4 \beta_{7} + \cdots - 4) q^{7}+ \cdots + (\beta_{13} + \beta_{12} - 3 \beta_{11} + 12 \beta_{9} - 6 \beta_{8} - 12 \beta_{7} + 2 \beta_{6} + \cdots + 6) q^{9}+O(q^{10})$$ q - 2*b8 * q^2 + (b9 + b6 + b4 + b3) * q^3 + 4*b7 * q^4 + (-b16 + b5) * q^5 + (2*b11 - 2*b10 - 2*b9 + 2*b4 - 2*b3 - 2) * q^6 + (-b15 - b13 - b12 + b11 - b10 - 5*b9 - b8 + 4*b7 + b6 - b5 + 4*b4 + 5*b3 - 4) * q^7 + 8*b4 * q^8 + (b13 + b12 - 3*b11 + 12*b9 - 6*b8 - 12*b7 + 2*b6 - 4*b4 + 2*b3 - b2 - 3*b1 + 6) * q^9 $$q - 2 \beta_{8} q^{2} + (\beta_{9} + \beta_{6} + \beta_{4} + \beta_{3}) q^{3} + 4 \beta_{7} q^{4} + ( - \beta_{16} + \beta_{5}) q^{5} + (2 \beta_{11} - 2 \beta_{10} - 2 \beta_{9} + 2 \beta_{4} - 2 \beta_{3} - 2) q^{6} + ( - \beta_{15} - \beta_{13} - \beta_{12} + \beta_{11} - \beta_{10} - 5 \beta_{9} - \beta_{8} + 4 \beta_{7} + \cdots - 4) q^{7}+ \cdots + (13 \beta_{17} + 24 \beta_{16} + 7 \beta_{15} - 17 \beta_{14} + 92 \beta_{13} + \cdots + 35) q^{99}+O(q^{100})$$ q - 2*b8 * q^2 + (b9 + b6 + b4 + b3) * q^3 + 4*b7 * q^4 + (-b16 + b5) * q^5 + (2*b11 - 2*b10 - 2*b9 + 2*b4 - 2*b3 - 2) * q^6 + (-b15 - b13 - b12 + b11 - b10 - 5*b9 - b8 + 4*b7 + b6 - b5 + 4*b4 + 5*b3 - 4) * q^7 + 8*b4 * q^8 + (b13 + b12 - 3*b11 + 12*b9 - 6*b8 - 12*b7 + 2*b6 - 4*b4 + 2*b3 - b2 - 3*b1 + 6) * q^9 + 2*b12 * q^10 + (2*b17 - b14 + 3*b10 + 7*b9 - 7*b8 - 2*b7 - 3*b6 + 2*b5 - 10*b4 + 2*b3 - 2*b1) * q^11 + (4*b9 + 4*b8 - 4*b4 - 4*b3 + 4*b2 + 4*b1 + 4) * q^12 + (-b17 + b16 + b15 + b14 - 2*b13 - b12 - 3*b11 + 3*b10 - 13*b9 + 6*b8 - 3*b6 + 3*b4 - 3*b3 - 5*b2 - 3*b1 + 3) * q^13 + (-2*b17 + 2*b16 - 2*b15 - 2*b14 - 2*b12 + 2*b11 - 10*b9 + 8*b8 + 2*b7 - 2*b5 - 2*b4 - 8*b3 + 2*b2 + 2*b1 + 10) * q^14 + (3*b15 + 3*b14 + 3*b13 + 2*b10 + 9*b8 + 2*b7 - 3*b5 - 9*b4 + 6*b3 + 3*b1 - 6) * q^15 - 16*b3 * q^16 + (-2*b17 + b16 + 2*b15 + 3*b13 - 2*b12 - 6*b11 + 3*b10 - 2*b9 + 26*b8 - 3*b7 + 2*b4 + 3*b2 + 6*b1 - 5) * q^17 + (2*b15 + 2*b14 + 2*b13 + 4*b11 - 6*b10 - 4*b9 - 12*b8 + 12*b7 - 6*b6 + 8*b3 - 6*b2 - 24) * q^18 + (b17 - 2*b16 - 2*b15 - 3*b14 - 3*b13 + b12 + 6*b11 - 3*b10 - 2*b9 + 15*b8 - 14*b7 - 4*b6 - 26*b4 - 4*b3 + 6*b2 + 6*b1 - 10) * q^19 + (4*b15 + 4*b14) * q^20 + (2*b17 + 6*b16 - 2*b15 - 2*b14 - 4*b13 - 5*b11 + 5*b9 - 34*b8 - 13*b7 - 5*b4 + 5*b1 - 8) * q^21 + (4*b17 - 4*b14 + 4*b12 - 6*b11 + 6*b10 - 4*b9 + 14*b7 - 4*b6 + 2*b5 + 10*b4 + 20*b3 - 6*b1 - 14) * q^22 + (-6*b17 - 3*b16 - b15 + 2*b14 - 3*b13 + 7*b10 + 43*b8 + 35*b7 + 5*b6 + b5 - 43*b4 - 31*b3 - 5*b2 - 3*b1 + 31) * q^23 + (-8*b13 + 8*b9 - 8*b8 - 8*b7 + 8*b6 + 8*b4 + 8*b3 - 8) * q^24 + (3*b17 - 3*b15 + 15*b13 + 3*b12 + 3*b11 - 3*b10 - 60*b9 + 55*b8 - 10*b6 - 3*b5 + 44*b4 - 44*b3 + 5*b2 - 10*b1 + 11) * q^25 + (2*b17 - 2*b16 - 2*b15 + 10*b13 - 6*b11 + 10*b10 + 6*b9 - 6*b8 - 12*b7 - 6*b6 - 26*b4 - 6*b3 - 6*b2 - 6*b1 + 26) * q^26 + (-2*b17 - 3*b14 - 4*b13 - 4*b11 - 8*b10 + 100*b9 - 100*b8 - 69*b7 + 12*b6 - 2*b5 + 83*b4 + 69*b3 - 6*b1) * q^27 + (4*b16 - 4*b15 - 4*b13 - 4*b12 + 16*b9 - 20*b8 - 16*b7 + 4*b6 - 16*b4 + 4*b3 + 4*b2 + 20) * q^28 + (b16 - b15 + 2*b14 - 4*b12 + 15*b11 - 19*b9 - 24*b8 + 19*b7 + 2*b5 + 16*b4 + 40*b3 + 24) * q^29 + (-6*b17 - 6*b16 - 6*b12 - 6*b10 - 12*b9 + 12*b8 - 18*b7 + 6*b6 + 4*b4 + 18*b3 - 4*b1) * q^30 + (4*b17 - 4*b16 - 2*b15 - 21*b13 + 6*b12 + 6*b11 - 21*b10 + 36*b9 - 11*b8 - 47*b7 + 6*b6 + 6*b5 + 13*b4 - 36*b3 - 7*b2 - 7*b1 - 13) * q^31 + 32*b9 * q^32 + (3*b17 - 4*b16 + 6*b15 + 3*b14 + 13*b13 + 6*b12 + 16*b11 - 4*b10 - 52*b9 + 2*b8 + 77*b7 - 13*b6 + 4*b5 - 77*b4 - 2*b3 + 16*b2 + 12*b1 + 52) * q^33 + (2*b17 - 4*b16 - 4*b15 - 6*b13 - 6*b10 + 10*b8 - 52*b7 + 12*b6 + 4*b5 - 10*b4 - 4*b3 - 12*b2 - 6*b1 + 4) * q^34 + (5*b17 + 2*b15 - 3*b14 + 3*b12 + 3*b11 - 3*b10 - 37*b9 + 176*b7 + 28*b6 - 5*b5 + 139*b4 - 62*b3 + 3*b1 - 176) * q^35 + (-4*b16 + 12*b13 - 12*b11 + 8*b10 - 16*b9 + 48*b8 + 24*b7 + 16*b4 + 8*b2 + 12*b1 + 8) * q^36 + (-4*b17 - 5*b16 + 19*b13 + b12 - 7*b11 - 12*b10 + 71*b9 - 63*b8 + 63*b7 - 12*b6 + 4*b5 + 134*b3 - 16*b2 - 50) * q^37 + (-4*b17 + 4*b16 + 2*b15 - 12*b13 - 8*b11 + 14*b10 + 8*b9 + 20*b8 - 30*b7 + 12*b6 + 2*b5 - 32*b4 + 52*b3 + 12*b2 + 6*b1 + 4) * q^38 + (-2*b17 + 3*b16 - 6*b15 - 6*b14 - 30*b13 - 5*b12 + 23*b11 + 7*b10 - 189*b9 - 90*b8 + 90*b7 + 7*b6 + 2*b5 - 99*b3 - 17*b2 + 85) * q^39 - 8*b16 * q^40 + (-8*b17 + 4*b15 + 12*b14 - 12*b12 - 21*b10 - 32*b9 - 14*b7 + 11*b6 - 6*b5 - 46*b4 - 25*b3 + 21*b2 + 21*b1 + 14) * q^41 + (12*b17 + 4*b16 - 4*b14 + 8*b10 + 16*b8 + 68*b7 + 10*b6 - 16*b4 + 10*b3 - 10*b2 - 10) * q^42 + (-3*b17 + 6*b16 - 7*b15 - 3*b14 + 14*b13 - 7*b12 + 13*b11 - 12*b10 + 75*b9 + 21*b8 - 109*b7 - 14*b6 - 6*b5 + 109*b4 - 21*b3 + 13*b2 + b1 - 75) * q^43 + (4*b17 + 8*b15 + 4*b12 - 8*b11 + 8*b10 - 40*b9 + 28*b8 - 12*b6 + 8*b5 + 20*b4 - 20*b3 - 12*b2 - 12*b1 + 8) * q^44 + (-6*b17 + 6*b16 + 7*b15 + 17*b13 + 3*b12 - 20*b11 + 17*b10 + 84*b9 + 53*b8 - 31*b7 - 20*b6 + 3*b5 - 176*b4 - 84*b3 + 12*b2 + 12*b1 + 176) * q^45 + (-4*b17 + 2*b16 + 12*b14 + 10*b13 + 2*b12 + 10*b11 - 4*b10 + 62*b9 - 62*b8 - 86*b7 - 6*b6 - 6*b5 + 70*b4 + 86*b3 - 14*b1) * q^46 + (-4*b16 + 4*b15 - 4*b14 + 5*b13 + 2*b12 + 11*b11 + 91*b9 - 63*b8 - 91*b7 + 4*b6 - 4*b5 - b4 + 62*b3 - 5*b2 - 9*b1 + 63) * q^47 + (16*b11 - 16*b9 + 16*b8 + 16*b7 - 16*b3 - 16) * q^48 + (2*b17 + 9*b16 + 6*b14 - 28*b13 + 9*b12 - 28*b11 + 30*b10 - 22*b9 + 22*b8 - 96*b7 - 2*b6 - 7*b5 - 108*b4 + 96*b3 - 21*b1) * q^49 + (-6*b17 + 6*b16 + 6*b15 - 10*b13 - 6*b12 - 20*b11 - 10*b10 + 88*b9 - 22*b8 - 110*b7 - 20*b6 - 6*b5 - 120*b4 - 88*b3 + 6*b2 + 6*b1 + 120) * q^50 + (9*b17 - 3*b16 - 3*b15 - 3*b14 - 6*b13 + 9*b12 - 51*b11 + 51*b10 + 73*b9 + 196*b8 - 6*b6 + 85*b4 - 85*b3 - 12*b2 - 6*b1 + 111) * q^51 + (-4*b17 + 4*b16 - 4*b14 + 12*b13 - 12*b11 - 8*b10 + 12*b9 - 52*b8 + 12*b7 - 12*b6 - 4*b5 - 12*b4 + 52*b3 - 12*b2 - 20*b1 - 12) * q^52 + (b17 + 14*b16 - 5*b15 - 19*b14 + 18*b13 + 8*b10 + 10*b8 - 110*b7 - 9*b6 + 5*b5 - 10*b4 + 23*b3 + 9*b2 + 18*b1 - 23) * q^53 + (-4*b17 + 4*b14 - 4*b12 + 24*b11 - 16*b10 - 138*b9 + 200*b7 - 12*b6 + 6*b5 + 62*b4 - 166*b3 - 8*b2 + 16*b1 - 200) * q^54 + (15*b17 + 6*b16 - 15*b15 - 5*b14 - 21*b13 + 10*b12 + 14*b11 + 19*b10 - 72*b9 + 51*b8 - 169*b7 + 72*b4 + 19*b2 - 14*b1 - 241) * q^55 + (8*b17 + 8*b16 - 8*b15 - 8*b14 - 8*b13 + 8*b11 - 8*b9 - 40*b8 + 40*b7 - 8*b5 + 32*b3 - 32) * q^56 + (3*b17 - 3*b16 + 12*b15 + 15*b14 + 37*b13 - 4*b12 - 19*b11 + 10*b10 - 262*b9 + 236*b8 + 209*b7 - 34*b6 - 3*b5 - 71*b4 + 19*b3 - 6*b2 + 25*b1 - 114) * q^57 + (6*b17 + 2*b16 - 8*b15 - 8*b14 + 4*b12 - 80*b9 - 48*b8 + 48*b7 - 6*b5 - 32*b3 + 30*b2 + 38) * q^58 + (-16*b17 - 20*b16 + 16*b15 + 18*b14 + b13 + 2*b12 + 2*b11 - 40*b10 + 87*b9 - 117*b8 - 40*b7 - 87*b4 - 40*b2 - 2*b1 + 47) * q^59 + (-12*b17 - 12*b15 + 12*b11 - 12*b10 - 36*b9 - 24*b7 - 8*b6 - 60*b4 - 8*b3 + 12*b1 + 24) * q^60 + (7*b17 + 3*b16 + 4*b15 + b14 - 29*b13 - 30*b10 + 227*b8 + 102*b7 - 4*b5 - 227*b4 + 120*b3 - 29*b1 - 120) * q^61 + (4*b17 + 4*b16 + 12*b15 + 4*b14 + 14*b13 + 12*b12 + 12*b11 + 30*b10 + 72*b9 + 26*b8 + 22*b7 - 14*b6 - 4*b5 - 22*b4 - 26*b3 + 12*b2 + 42*b1 - 72) * q^62 + (-25*b17 + 4*b16 + 6*b15 + 4*b14 - 6*b13 - 25*b12 + 17*b11 - 17*b10 - 105*b9 + 168*b8 - 3*b6 + 2*b5 + 215*b4 - 215*b3 - 9*b2 - 3*b1 - 47) * q^63 + (64*b4 - 64) * q^64 + (21*b17 - 4*b16 - 5*b14 - 17*b13 - 4*b12 - 17*b11 + 17*b10 + 253*b9 - 253*b8 - 146*b7 + 25*b5 + 191*b4 + 146*b3 - b1) * q^65 + (-12*b16 + 12*b15 + 6*b14 - 32*b13 + 8*b12 - 26*b11 + 4*b9 - 104*b8 - 4*b7 + 24*b6 + 6*b5 + 50*b4 + 154*b3 + 32*b2 + 8*b1 + 104) * q^66 + (-10*b16 + 10*b15 - 9*b14 + 37*b13 - b12 - 25*b11 + 213*b9 + 38*b8 - 213*b7 - 9*b6 - 9*b5 + 39*b4 + b3 - 37*b2 - 28*b1 - 38) * q^67 + (8*b16 - 4*b14 + 24*b13 + 8*b12 + 24*b11 - 12*b10 + 8*b9 - 8*b8 - 20*b7 - 12*b6 - 8*b5 - 104*b4 + 20*b3 + 12*b1) * q^68 + (-9*b17 + 9*b16 - 10*b15 + 36*b13 - 25*b12 + 29*b11 + 36*b10 + 35*b9 - 60*b8 - 95*b7 + 29*b6 - 25*b5 - 416*b4 - 35*b3 + 30*b2 + 30*b1 + 416) * q^69 + (-10*b17 - 4*b16 + 6*b15 - 4*b14 - 10*b12 + 56*b11 - 56*b10 + 124*b9 + 352*b8 + 6*b6 + 10*b5 + 278*b4 - 278*b3 + 6*b2 + 6*b1 + 74) * q^70 + (11*b17 - 10*b16 - 14*b15 + 11*b14 - 41*b13 - 14*b12 + 16*b11 + 3*b10 - 198*b9 - 217*b8 + 91*b7 + 41*b6 + 10*b5 - 91*b4 + 217*b3 + 16*b2 + 19*b1 + 198) * q^71 + (-8*b17 - 16*b13 - 24*b10 - 16*b8 - 96*b7 + 24*b6 + 16*b4 - 32*b3 - 24*b2 - 16*b1 + 32) * q^72 + (-15*b17 - 14*b15 + b14 - b12 - 15*b11 + 31*b10 - 58*b9 + 159*b7 + 5*b6 + 21*b5 + 101*b4 - 489*b3 - 16*b2 - 31*b1 - 159) * q^73 + (-2*b17 + 2*b15 + 10*b14 + 32*b13 + 8*b12 - 24*b11 - 14*b10 - 268*b9 + 100*b8 + 126*b7 + 268*b4 - 14*b2 + 24*b1 - 142) * q^74 + (6*b17 + 10*b16 - 6*b15 - 6*b14 - 27*b13 - 4*b12 - 18*b11 + 45*b10 + 251*b9 - 454*b8 + 454*b7 + 45*b6 - 6*b5 + 705*b3 + 28*b2 - 248) * q^75 + (12*b17 - 4*b16 + 8*b14 - 24*b13 + 4*b12 + 24*b11 - 104*b9 - 8*b8 - 40*b7 + 12*b6 + 4*b5 - 44*b4 + 64*b3 - 16*b2 - 28*b1 - 16) * q^76 + (-4*b17 - 25*b16 + 2*b15 + 2*b14 + 51*b13 + 21*b12 - 52*b11 + b10 - 412*b9 - 441*b8 + 441*b7 + b6 + 4*b5 + 29*b3 - 29*b2 + 357) * q^77 + (10*b17 + 12*b16 - 10*b15 - 6*b14 + 34*b13 + 4*b12 + 14*b11 + 46*b10 + 198*b9 - 170*b8 + 180*b7 - 198*b4 + 46*b2 - 14*b1 + 378) * q^78 + (26*b17 + 2*b15 - 24*b14 + 24*b12 - 40*b11 + 37*b10 - 66*b9 - 151*b7 + 9*b6 + 15*b5 - 217*b4 - 227*b3 + 3*b2 - 37*b1 + 151) * q^79 - 16*b17 * q^80 + (5*b17 - 15*b16 + 11*b15 + 5*b14 - 40*b13 + 11*b12 - 35*b11 - 51*b10 + 198*b9 - 87*b8 - 609*b7 + 40*b6 + 15*b5 + 609*b4 + 87*b3 - 35*b2 - 86*b1 - 198) * q^81 + (-12*b17 - 8*b16 - 24*b15 - 8*b14 - 42*b13 - 12*b12 + 22*b11 - 22*b10 + 50*b9 - 28*b8 + 42*b6 - 16*b5 - 92*b4 + 92*b3 + 42*b1 + 64) * q^82 + (15*b17 - 15*b16 + 8*b15 - 68*b13 + 11*b12 + 57*b11 - 68*b10 + 176*b9 + 270*b8 + 94*b7 + 57*b6 + 11*b5 + 2*b4 - 176*b3 + 20*b2 + 20*b1 - 2) * q^83 + (8*b17 - 24*b14 + 20*b13 + 20*b11 - 20*b10 - 20*b9 + 20*b8 - 32*b7 + 8*b5 + 136*b4 + 32*b3 - 16*b1) * q^84 + (3*b16 - 3*b15 + 7*b14 + 32*b13 - 5*b12 + 43*b11 + 101*b9 + 114*b8 - 101*b7 - 42*b6 + 7*b5 + 346*b4 + 232*b3 - 32*b2 + 10*b1 - 114) * q^85 + (14*b16 - 14*b15 - 8*b14 - 26*b13 - 12*b12 - 28*b11 + 42*b9 + 150*b8 - 42*b7 + 2*b6 - 8*b5 - 68*b4 - 218*b3 + 26*b2 + 24*b1 - 150) * q^86 + (6*b17 + 3*b16 + 3*b14 + 41*b13 + 3*b12 + 41*b11 - 41*b10 + 113*b9 - 113*b8 + 36*b7 + 3*b5 - 488*b4 - 36*b3 + 60*b1) * q^87 + (16*b17 - 16*b16 + 8*b15 + 24*b13 + 16*b12 - 24*b11 + 24*b10 + 40*b9 - 16*b8 - 56*b7 - 24*b6 + 16*b5 - 80*b4 - 40*b3 - 16*b2 - 16*b1 + 80) * q^88 + (-6*b17 + 2*b16 - 25*b15 + 2*b14 + 14*b13 - 6*b12 + 67*b11 - 67*b10 + 342*b9 + 222*b8 - 27*b5 - 38*b4 + 38*b3 + 14*b2 + 260) * q^89 + (18*b17 - 14*b16 + 6*b15 + 18*b14 - 24*b13 + 6*b12 - 40*b11 + 6*b10 + 168*b9 - 352*b8 - 106*b7 + 24*b6 + 14*b5 + 106*b4 + 352*b3 - 40*b2 - 34*b1 - 168) * q^90 + (-17*b17 - 44*b16 - 2*b15 + 42*b14 + 22*b13 + 17*b10 - 46*b8 - 201*b7 - 51*b6 + 2*b5 + 46*b4 + 109*b3 + 51*b2 + 22*b1 - 109) * q^91 + (-8*b17 + 4*b15 + 12*b14 - 12*b12 - 12*b11 - 8*b10 - 172*b9 + 124*b7 - 28*b6 - 24*b5 - 48*b4 - 140*b3 + 20*b2 + 8*b1 - 124) * q^92 + (-39*b17 - 17*b16 + 39*b15 + 12*b14 - 47*b13 - 27*b12 + 66*b11 - 85*b10 - 630*b9 - 53*b8 - 195*b7 + 630*b4 - 85*b2 - 66*b1 - 825) * q^93 + (-16*b17 - 8*b16 + 4*b15 + 4*b14 + 10*b13 - 8*b12 + 8*b11 - 18*b10 - 124*b9 - 126*b8 + 126*b7 - 18*b6 + 16*b5 + 2*b3 + 22*b2 - 182) * q^94 + (-21*b17 + 41*b16 - 50*b15 - 30*b14 - 16*b13 - 15*b12 + 47*b11 - 69*b10 - 569*b9 + 498*b8 + 322*b7 + 24*b6 - 19*b5 - 58*b4 - 274*b3 - 2*b2 - 58*b1 + 88) * q^95 + (32*b9 + 32*b8 - 32*b7 + 32*b2 + 32) * q^96 + (21*b17 + 36*b16 - 21*b15 - 45*b14 - 38*b13 - 24*b12 - 5*b11 + 43*b10 - 84*b9 + 274*b8 + 457*b7 + 84*b4 + 43*b2 + 5*b1 + 373) * q^97 + (4*b17 + 18*b15 + 14*b14 - 14*b12 - 4*b11 + 60*b10 - 192*b9 - 44*b7 - 42*b6 - 12*b5 - 236*b4 + 216*b3 - 56*b2 - 60*b1 + 44) * q^98 + (13*b17 + 24*b16 + 7*b15 - 17*b14 + 92*b13 + 31*b10 + 603*b8 + 302*b7 - 77*b6 - 7*b5 - 603*b4 - 35*b3 + 77*b2 + 92*b1 + 35) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$18 q + 6 q^{3} - 12 q^{6} - 33 q^{7} + 72 q^{8} + 42 q^{9}+O(q^{10})$$ 18 * q + 6 * q^3 - 12 * q^6 - 33 * q^7 + 72 * q^8 + 42 * q^9 $$18 q + 6 q^{3} - 12 q^{6} - 33 q^{7} + 72 q^{8} + 42 q^{9} - 75 q^{11} + 36 q^{12} + 99 q^{13} + 162 q^{14} - 183 q^{15} - 111 q^{17} - 408 q^{18} - 372 q^{19} + 24 q^{20} - 207 q^{21} - 180 q^{22} + 198 q^{23} - 48 q^{24} + 534 q^{25} + 180 q^{26} + 678 q^{27} + 216 q^{28} + 669 q^{29} - 42 q^{31} + 315 q^{33} - 48 q^{34} - 1995 q^{35} + 168 q^{36} - 1056 q^{37} - 180 q^{38} + 1812 q^{39} - 210 q^{41} - 342 q^{42} - 399 q^{43} + 360 q^{44} + 1494 q^{45} + 672 q^{46} + 1149 q^{47} - 192 q^{48} - 858 q^{49} + 1068 q^{50} + 2646 q^{51} - 468 q^{52} - 633 q^{53} - 2898 q^{54} - 3483 q^{55} - 528 q^{56} - 2814 q^{57} + 636 q^{58} + 51 q^{59} - 84 q^{60} - 4104 q^{61} - 1326 q^{62} + 1215 q^{63} - 576 q^{64} + 1755 q^{65} + 2340 q^{66} - 675 q^{67} - 948 q^{68} + 3693 q^{69} + 3990 q^{70} + 2964 q^{71} + 672 q^{72} - 2004 q^{73} - 486 q^{74} - 4446 q^{75} - 408 q^{76} + 5820 q^{77} + 4992 q^{78} + 543 q^{79} + 1722 q^{81} + 420 q^{82} + 381 q^{83} + 1092 q^{84} + 1266 q^{85} - 3396 q^{86} - 4506 q^{87} + 600 q^{88} + 4386 q^{89} - 2148 q^{90} - 1356 q^{91} - 2628 q^{92} - 8604 q^{93} - 3264 q^{94} + 921 q^{95} + 576 q^{96} + 7599 q^{97} - 954 q^{98} - 5055 q^{99}+O(q^{100})$$ 18 * q + 6 * q^3 - 12 * q^6 - 33 * q^7 + 72 * q^8 + 42 * q^9 - 75 * q^11 + 36 * q^12 + 99 * q^13 + 162 * q^14 - 183 * q^15 - 111 * q^17 - 408 * q^18 - 372 * q^19 + 24 * q^20 - 207 * q^21 - 180 * q^22 + 198 * q^23 - 48 * q^24 + 534 * q^25 + 180 * q^26 + 678 * q^27 + 216 * q^28 + 669 * q^29 - 42 * q^31 + 315 * q^33 - 48 * q^34 - 1995 * q^35 + 168 * q^36 - 1056 * q^37 - 180 * q^38 + 1812 * q^39 - 210 * q^41 - 342 * q^42 - 399 * q^43 + 360 * q^44 + 1494 * q^45 + 672 * q^46 + 1149 * q^47 - 192 * q^48 - 858 * q^49 + 1068 * q^50 + 2646 * q^51 - 468 * q^52 - 633 * q^53 - 2898 * q^54 - 3483 * q^55 - 528 * q^56 - 2814 * q^57 + 636 * q^58 + 51 * q^59 - 84 * q^60 - 4104 * q^61 - 1326 * q^62 + 1215 * q^63 - 576 * q^64 + 1755 * q^65 + 2340 * q^66 - 675 * q^67 - 948 * q^68 + 3693 * q^69 + 3990 * q^70 + 2964 * q^71 + 672 * q^72 - 2004 * q^73 - 486 * q^74 - 4446 * q^75 - 408 * q^76 + 5820 * q^77 + 4992 * q^78 + 543 * q^79 + 1722 * q^81 + 420 * q^82 + 381 * q^83 + 1092 * q^84 + 1266 * q^85 - 3396 * q^86 - 4506 * q^87 + 600 * q^88 + 4386 * q^89 - 2148 * q^90 - 1356 * q^91 - 2628 * q^92 - 8604 * q^93 - 3264 * q^94 + 921 * q^95 + 576 * q^96 + 7599 * q^97 - 954 * q^98 - 5055 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{18} + 165 x^{16} - 56 x^{15} + 18435 x^{14} - 11748 x^{13} + 1092662 x^{12} - 1833567 x^{11} + 46842546 x^{10} - 93643115 x^{9} + 1273086000 x^{8} + \cdots + 3892796082289$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 64\!\cdots\!63 \nu^{17} + \cdots - 68\!\cdots\!38 ) / 31\!\cdots\!93$$ (-64732107794238387604875181230534606891256963*v^17 - 510770385157181196636073850481812450704510751*v^16 - 7846886746255534196897222231905165417420728556*v^15 - 77675996521656142431279974151324675231175814498*v^14 - 733625100729710165739349169457657348045144985822*v^13 - 8308168268500999512892927148935165493188828864058*v^12 - 17855880113363671400356053345421792770195097655758*v^11 - 414248721317723731851642321931853914252528438470299*v^10 + 407297240449423505536505780146607794993182761610737*v^9 - 19258949393953193406859110466415965079048785213881581*v^8 + 65311606586612630018726738069677343510244853510335338*v^7 - 508682484726804808607414810223961567402119743345929028*v^6 + 2233812415177190459295241061278430649296192143963097972*v^5 - 12092116209478530883827663030163706448977934945170108366*v^4 + 53364905821209110765785853600733151975935797559806409539*v^3 - 102210666698929430044863908084731273340585484716181633977*v^2 + 145835015516949951384150533830617583551066624876802272023*v - 684369322197453732065630610359106627597241753456292893238) / 311767154607030948924897561068010276220251374112933021393 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 23\!\cdots\!97 \nu^{17} + \cdots - 84\!\cdots\!58 ) / 41\!\cdots\!44$$ (-2331791224306596646578430840224454794485292667799454787738511197*v^17 - 27407396097550456603993655830747053270202638778652314558288502899*v^16 - 473472774944518512927166604474089429742425986472870536815493587023*v^15 - 4408541660906934204844497193540422702825660639488135044112204857754*v^14 - 55053509919153837640614677568070099383326341552643162109934000644314*v^13 - 472055058871305552857563653736150048471764932040743757016532202380270*v^12 - 3691855754043283237335824677227944869413776212059353483662561179730858*v^11 - 24412132129200037605052947666295300496823347996695279820486288632636909*v^10 - 137372301949614731761368053010723661893217440128918937630787955542345267*v^9 - 870927533026428049569698525231009747824018478176361641087610036956861211*v^8 - 3498116469467935896933509854112822150995076561280218674629372773170325966*v^7 - 18474251288638648043038095341801467210530217984163205251070616648671414128*v^6 - 45009727940343685832991464243128652460134372069654778634877905123971523924*v^5 - 266261633505948886130906802254893906430609058554900832645963231202394103658*v^4 - 477604143347144383130702946069503341383690626410818340583903232690472275367*v^3 - 1767871490460863418903639512250125918669775144015533306032356935721942227441*v^2 - 1644507042103381187835057940709149583183642896738752617840507745161383921559*v - 8420815000398827074495777726434458554831476016400825837080627274998639635158) / 4183168071574629783142970664639830706400951965423024726187040474185874804544 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 18\!\cdots\!06 \nu^{17} + \cdots + 97\!\cdots\!92 ) / 32\!\cdots\!99$$ (18256020100380433461883384160536259887035458719106*v^17 - 6721976269677096884053053444522405183408796808809*v^16 + 2959203387456894354208478569632900031042342178736397*v^15 - 1837181386012717711473867761217758646115206403710644*v^14 + 328483622043714952071328780643689942767467691381803296*v^13 - 290653555474344625051077232921971493145944559794771234*v^12 + 19084914317415935894911082069692996410378730839205425278*v^11 - 35327844166006273970632304692630623658927314463081909096*v^10 + 812141631361198686451541575539221632408687968044752624819*v^9 - 1667255622362246989335566489806511253016071392397052092899*v^8 + 21241576523596643051306799399236431892842760995906676100217*v^7 - 50888946283541659184476607327338731631824183736327991000464*v^6 + 399067093405715626517725656634791378174893008908983343460844*v^5 - 703934094530270461892732892981661316263282329903962822114104*v^4 + 3270297085844625416400736898445640364008317952852415349164728*v^3 - 2159810372525659791089833001166099373582708721550835268025803*v^2 + 19223327044962329730140027469407756221791336709829799702403519*v + 9799298706577751088073310586619489568202639719831976536668892) / 32374836635857914829208137433985391113539563442009303740513299 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 19\!\cdots\!39 \nu^{17} + \cdots - 52\!\cdots\!50 ) / 20\!\cdots\!72$$ (1932276464711938931525371619122100474270950489048925819737034639*v^17 - 116378325021521527510463851436707217796938343389844692317029863599*v^16 - 135351573669777245351954618763392183856875287890142784647460171323*v^15 - 19505748752287506947785917717491235304885355226646945493942794233266*v^14 - 32811665767290781280634845299145092453696490136463092763321738293314*v^13 - 2172678021125823500438878656991851752173375129421604335243011010427590*v^12 - 4836110593733213342976701088285597557823128917275005190299365091366578*v^11 - 128683441073685732193551006091372436670053394045497783964708801030166465*v^10 - 181416706777163024687820726552620840458921069526037094589382215961284527*v^9 - 4979210067405867444030936219582722753333589210504537385608919381961693399*v^8 - 6610654962511056143120524140282051069007946650650824948083372241037054710*v^7 - 119155303639696068622305448469991372597272114920830088981769733077734818224*v^6 - 88508227937740732355456581364688443061503236004806869769068523765386442084*v^5 - 1734717722865144841887523554410966748099176813943586695980200942932037968946*v^4 - 2068880689529434182467139192882305644010708063086621634310738857540268774499*v^3 - 11018147352028249753090370668568146224629506345375180483894027658955767794757*v^2 - 6454022097426885893779694267129812672208530469688217065605973324920941422563*v - 52868896860977578062002713647610303191949267417267705617179664092894074589150) / 2091584035787314891571485332319915353200475982711512363093520237092937402272 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 50\!\cdots\!79 \nu^{17} + \cdots + 31\!\cdots\!66 ) / 40\!\cdots\!08$$ (50609399541838240700780058659998555063149806949881118361679*v^17 + 872632171785534026787394217331408520163726759309557672792745*v^16 + 10851344748823141081242846971633360271844214218063703788466333*v^15 + 141353926436082781688897425329661098539185749166858863790540774*v^14 + 1274036867470784903180754533581257400426755312961034086234443742*v^13 + 15251918231681452090502966850655578708979260255662271037236941674*v^12 + 86863650538042516741138960909378552368541861323242305255994353790*v^11 + 817725251027194464569101783056921351245454107503883397163524917423*v^10 + 3019931618873897497091602434080910518012440952554312007666495675081*v^9 + 30060137955764816021098065727952444853529157373810176987195013271777*v^8 + 69720621775440687203172919181299598757674073629120802148078288896130*v^7 + 675278091634913963343871945047999989931987210230911095815361042258256*v^6 + 574218835572978688672233274430659986506639901568307247279688536448412*v^5 + 10293448165419340698683599449300375049082485945238088458174667242367374*v^4 + 2866176817924413835949400393664144552835093018385900838357820352613805*v^3 + 81791219824222725725475617221361030054347750043021476785166636078388515*v^2 - 23223604053520759529635592515208332817437523400465086836640613339996347*v + 311561620183508809048982519723350809271844484075770291764028882800413466) / 40283582635080167013115671394699986579749737251649362269840436757276608 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 55\!\cdots\!10 \nu^{17} + \cdots + 10\!\cdots\!79 ) / 41\!\cdots\!44$$ (5529350030968800550443294795196667647811187900991589276655346010*v^17 + 35010332672962982851734376407574607061416281234082011714002784661*v^16 + 959955312355503397759304672955285553670320394520180512389945090373*v^15 + 5349983595820379182129090080890969861286255183752981038288093316647*v^14 + 106967200447742902724823343884860389470991427198069737746635996619016*v^13 + 555028369756961597907818188383291558052369344107769479789559135701314*v^12 + 6372659426569239449288172728892374639360357333462405414278728792383642*v^11 + 24961096090538565621853240231636024087891727174640394666258621863115172*v^10 + 232631540771535587705390277158740985026617200619526014123188114844913817*v^9 + 867543154630931913328906614026810926848229203094529584807435356633320725*v^8 + 5318250189726404931328066438454481772454312897685927351991093249723107379*v^7 + 16437493177202275509079054467019083890710908611398538046003241324909581208*v^6 + 65057786786512674650192028719579224026510611470255429229228900823378750008*v^5 + 282639921593837565549141188668821776109125071799695996715374902705508629200*v^4 + 346117321982759415921410172988025345494723256874225502935449187081363872996*v^3 + 2022426926730287122045493266892945358539944075786333314313691105178867523435*v^2 + 804265687542370208867217375950321570874598850568791997006498126138191378131*v + 10766668391650537769854707292961803383799241473132093793371154710242715670179) / 4183168071574629783142970664639830706400951965423024726187040474185874804544 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 83\!\cdots\!42 \nu^{17} + \cdots - 14\!\cdots\!51 ) / 41\!\cdots\!44$$ (8311119473201882381651592452289826330673024693594959868540863342*v^17 - 5255431876623108429091103631430229953422665403096504974031832397*v^16 + 1280717970463585383028829376917475889601687196576185980893425432395*v^15 - 1592258883251346852671990135403553305226808119887706945143997764871*v^14 + 138536871705574557406826931519454950950352544475688960183949690115288*v^13 - 229938841999944430920642001160179391965262246064166251152461404042322*v^12 + 7497439480895218177466092725431278958249315185024118828559801086743222*v^11 - 24259176461942304938827858535680297009259638373750280485979086856015884*v^10 + 304398952992537987964855038961659111349180679283332049398627425977392143*v^9 - 1091877875706505427871957233505172211335207984616250012202268858521626613*v^8 + 7459234939920205843648412789328080113086170025901462870319921785432272989*v^7 - 33494976063957214954703811574232815598301404462543273319338770729736975176*v^6 + 135601756303193281294129335007920360246016097045801979103820744025641327128*v^5 - 485700425660614851879402774932571012305632805292725565557756003249813990816*v^4 + 991565712085796687764162595691262874837014505993893520887466791918467574180*v^3 - 3803714664226678085332518118798715909315148633155462971565585570038494329875*v^2 + 5090043187660967331552876459004740557204130983511680099990198849685133484765*v - 14760323154424457337557545729035511661968151048850688092607335000030937273651) / 4183168071574629783142970664639830706400951965423024726187040474185874804544 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 11\!\cdots\!57 \nu^{17} + \cdots - 71\!\cdots\!30 ) / 41\!\cdots\!44$$ (11277095251952708999559335535701826980610712642641774230867556157*v^17 + 20400786248052708773897260080263670159650390714666319844711771315*v^16 + 1818214748452638802823162777669438376062006166646586344150577729959*v^15 + 2401244612067428503112853318971359720454050194654625523618832255938*v^14 + 199140639448306876376431152185248920654120591976263223434506691304922*v^13 + 191866365454362006894210981611823923647801926263377347740175560926526*v^12 + 11228095613359342288609379697783456646309351271117945599044143503262218*v^11 - 3773557654013782944523325088700862842629296959181281035991620725465795*v^10 + 438777817776195940461940756887522794208204522520145330066698645364638915*v^9 - 353067556385906339451175482637837834659939674068631856579565130250695869*v^8 + 10573240895205175544436321237683014167595117383019871145165649275209810774*v^7 - 18277763917586471912393941208012080502683826578294424751151784008907242528*v^6 + 172114207926909985507852094268002594597173614800615194478685868166615868724*v^5 - 237659164121942524335703769585206746476133013346726803180190885805473130470*v^4 + 1258592398924580499527178539782346269894527569804821177046845999363677104119*v^3 - 2219564923970907872710934320467830220179920702830577248175760019043171944319*v^2 + 7545998437831231281881593733969833965627696720251999278390648892677108025999*v - 7170243504458661100870458375165381861342803240041680928682801371871565025330) / 4183168071574629783142970664639830706400951965423024726187040474185874804544 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 14\!\cdots\!22 \nu^{17} + \cdots - 21\!\cdots\!81 ) / 40\!\cdots\!08$$ (-140688793899543292064338629732489786521632565694516644061622*v^17 - 867834378486845420878524478965346412567393182456927146599983*v^16 - 25296507722021241738641395957852924301064410731257235993118239*v^15 - 132760457115784199299388526437257023747677492311736698121504573*v^14 - 2846966029934426341240063944146577261470090436326817977208849224*v^13 - 13721739567044639836164443811434245928434274487499727547104833766*v^12 - 175223922488261572788307481947661984420305634003720722882719326926*v^11 - 607578198872899897257940525564604066739247947269123471805348622948*v^10 - 6571207922513233445971678834941584584550713190445844996277426092123*v^9 - 19860590188291454009833007934460858018504966824095255043129048098735*v^8 - 159452494924542121089607317766306649998255907832609334297792157765345*v^7 - 339138734109675585093664037782713221588740099666043154662813104130120*v^6 - 2172889368016266560134231095190416743057725884229708990058580189578440*v^5 - 4935228967906159146943673225451370010551145671451450443241730616885408*v^4 - 17500267483971692517218660441052352903380120293672581273826145178186708*v^3 - 25540868211513180132744622910751744808200757436969848948605885102248369*v^2 - 58369545466668256233300608411636290024878165987091041119907818603009849*v - 215467581620730153834442083720476091075120278236732036388293332324466481) / 40283582635080167013115671394699986579749737251649362269840436757276608 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 19\!\cdots\!05 \nu^{17} + \cdots - 42\!\cdots\!11 ) / 40\!\cdots\!08$$ (196457982223671395991037047083228240320969065942493185334705*v^17 - 409329161518428609575297186342488908629001660095590496639822*v^16 + 29205261271118710043894880819801643166783029213741560630446110*v^15 - 84286967069916258490656071332822238701095842674401591937219711*v^14 + 3123462154158705278362855998817917308013217822955162229562008134*v^13 - 10534728761975372747966863316040301474136063349636477332165501212*v^12 + 162781815392692717252695772382243665424998753780702300734546494368*v^11 - 861589469774374976402178265969055963474609675525394498082003349549*v^10 + 6769399681814423350212285125193561000698092891752219326537195388502*v^9 - 36434532811285218502707693365190546650642338264017551913105402602782*v^8 + 167048188464846952354243798201785739966925099471306888278840805406521*v^7 - 1030662422995070388105223614092157351036813205775260106510645647786024*v^6 + 3278643882715117538564454954116484307184158804794218168502616411413460*v^5 - 14803037531762940178587658038653997768195525830236384628283665280615506*v^4 + 24438115754760982738737731086307614992234455360998546238360362174833937*v^3 - 104821780016142099669798263449357988575565673506319101735582466871546102*v^2 + 155328793936986690209451411092994003646362352802808448434305623709825324*v - 422748112211717582991487668892232419712268522094895763885608647878097711) / 40283582635080167013115671394699986579749737251649362269840436757276608 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!35 \nu^{17} + \cdots + 11\!\cdots\!41 ) / 20\!\cdots\!72$$ (-10852649207728476001028045473499972045363043280987516106969688335*v^17 + 154755799462052537079256012482519135555977674742336273231699466586*v^16 - 1316989079901737760455776450921856389688901723079023569865375335546*v^15 + 25931882367369958970755097964715675242520046702462043209154468771497*v^14 - 137412531957650479503382898835012969388911620706187230748639565240026*v^13 + 2916809359634464685387498852400178341218405267994940162542908095111988*v^12 - 5987406743629904976989993303400377363942275988133154983650814742198448*v^11 + 179614781888508722613655790309831329723218591459520067262069759161089123*v^10 - 385395976560147340779372520637015084089731797501140801664898396726882338*v^9 + 7202221102576110764013467984736033657584636039671272478549925607506155466*v^8 - 11797452403590710528046898840779978809645248135075481872804340781437300671*v^7 + 186446848786898827000645789705602001853019468875942274494790889190133706712*v^6 - 369596198043633650130846436868292730370377133522927319333008103216269752748*v^5 + 2995367287128416318990820910822150952424966843581703985296646145740716951598*v^4 - 3597217480304150153524202051981406021856735180679961850149034506011100099071*v^3 + 25144838830730959085859035698059574801984957453363780316013659351780859202658*v^2 - 36260509562332181459320153832337901946614158308216014298351018874376916292604*v + 112657441220350911670235189799024304172782322556457567234210627223144911633241) / 2091584035787314891571485332319915353200475982711512363093520237092937402272 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!14 \nu^{17} + \cdots + 39\!\cdots\!97 ) / 40\!\cdots\!08$$ (-213321689675060891681697872743630512569744454373966560906914*v^17 + 18195927321005206917730245402107665485484641054494771695519*v^16 - 32860046192001985475702631496756345065220749514541329889543369*v^15 + 25150246851886172760598887840063578754607383540285930632075141*v^14 - 3535617535565139042213418008112520161829517621199686923972158840*v^13 + 4235324996605532362720224841212364965521469599804239042951105766*v^12 - 189395968010903595163657909045390988197344742662720376265876426066*v^11 + 546688548864923919221103711259197981758636777360683971480267414988*v^10 - 7469785808397670876355398142960344010037654915975707182005490216181*v^9 + 24960654053331835478090239977012738811687403379779939255942039961815*v^8 - 179120630549540471049440960441578088785740365936552970017816176492423*v^7 + 797664436818122686149177749256555932976998573479488289078045005332120*v^6 - 3141020035740155844246503505262323777701106164715929786895494624701544*v^5 + 11261126930824670455368070724379782261103055116407268263020176099496624*v^4 - 23631014742694009572699379051575896904675466873899838837676591759492852*v^3 + 102654591112183864919746508635791766638629742196251786946620289292488097*v^2 - 150710491498477744932262398911760263995543518641650310546759453532695167*v + 398974230977655648569985001464006338651613269063100152615878891581469097) / 40283582635080167013115671394699986579749737251649362269840436757276608 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!39 \nu^{17} + \cdots - 20\!\cdots\!55 ) / 17\!\cdots\!56$$ (1027541138304546453800870212161013481180894143010071840055281439*v^17 - 11251284080220839000378089992624083676317624970075761052075386088*v^16 + 135191259102520915105151259841875906114531393499743176748011255596*v^15 - 1886708897239081630678619824022856156516761670720005452097686070903*v^14 + 14364771555822521697576957978231163183331554102635056926475137219962*v^13 - 210993672142253325488972447412786076709288432694249639795726159860320*v^12 + 694777023269632442204527462247578276879462744024858370822007798641204*v^11 - 12991071327487007494820381994711276896963076626811002200206558930887151*v^10 + 39048801748549761494754860834700111369599834043523830630075933797894740*v^9 - 503335825481051783107619045938054095463089937725923814615546975340911128*v^8 + 1156440729832036292440749197333291810561468427261887407938604945101474081*v^7 - 12266427946171152014399632901447722488258566694325956181940779650624069880*v^6 + 31131816000583560014451544087300828417467209490194905597780186629658104428*v^5 - 167387987290097861249885304238867686071551704693462095975269582027393800558*v^4 + 268158577336199100832921797861469200580950565774058047925830274488525872355*v^3 - 911356645878271262977180020148334935266536982267953603025826918489298074220*v^2 + 1764840092989143129257883655919696069007501925230345785644557129032725496202*v - 2029385996675391261773877650243284396350251077419791717182802815603995097855) / 174298669648942907630957111026659612766706331892626030257793353091078116856 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!44 \nu^{17} + \cdots + 56\!\cdots\!27 ) / 17\!\cdots\!56$$ (1315770864799794066770458150656441943139170761931700311040461744*v^17 + 9697335358337875351884219322535850589313752390710056978289894207*v^16 + 219466923955844697711462665095880196018873059326848554473792422183*v^15 + 1357524642301717213666226270427029634212635321103826169988594052803*v^14 + 23678033901059729293547123500738780487421456213782212460718677749308*v^13 + 135605346781519665851963848421141542994334625713711828948053981143062*v^12 + 1312238643599648108290597209156880693895004036598922848869046602730510*v^11 + 5145599315389570392728679250918683795595956726596205233256363347242050*v^10 + 41457457385335972034170872976534967951658184500119890592645467353596451*v^9 + 156780603198652868747200462981161354771531957531276377670023827057261799*v^8 + 816474152243653686592573449509150750766952474805591637865844307822596559*v^7 + 1582125242242887909479890180816624066724564848934950761140267989411300512*v^6 + 5595427019092635102238854884751075153245215883853501267747707413002551440*v^5 + 18212558616109216559305323801376775547238911544481846372755988941854235452*v^4 + 40019374478609145085652078474146947061783874678787273901458421329291356718*v^3 - 278625780145514450913242453793109661579557388805360204489090325045512340063*v^2 - 8044492711802917344752084426972250664890910703437475921254813008412316667*v + 567123298807522374816144068749145503273560179209680244977620412623354370927) / 174298669648942907630957111026659612766706331892626030257793353091078116856 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( 55\!\cdots\!46 \nu^{17} + \cdots - 77\!\cdots\!15 ) / 20\!\cdots\!72$$ (55087187160651364352954231631297922390899739389642164428068630646*v^17 - 3992376777096031824889587568776664049268243246427915261763397089*v^16 + 8807012830342213310793639542231877900846665936746754443716092398615*v^15 - 4544311879337634438359052252014338871122066003647794533148999310355*v^14 + 966250729681744252841414156595011810890592764149894623886598667144408*v^13 - 834345338375798262878576620642066520698088409946851401290708867828378*v^12 + 54591615887879381409700174489737478870974344164394695510073230605205102*v^11 - 116376175634109811370569724715669884750859685601995685304382078208919788*v^10 + 2235854013156146918039576991692705486822769761837928946869831404672731243*v^9 - 5643865782079651588587228947421206066816260642285293109849290385912376137*v^8 + 55734199660550392686499803357034909891433454194321469165501159318673436513*v^7 - 184297268468882440524778993568949975063311251208006126207750863210080841768*v^6 + 976036381396043718206710544525453711241232693877958051131227604222697753208*v^5 - 2757160246883489868582834362333293715886170349315377204208786832484471209376*v^4 + 6892130427304120450091626480952975205144853837153034782936175511342307313476*v^3 - 21124391224882311643968016402329788915310830102097039054659586046501362231103*v^2 + 31455851659954691954677333676251264637855928913211630453438739840256073713937*v - 77767915963352222833566533880683638137146294865256424004129909140238574943215) / 2091584035787314891571485332319915353200475982711512363093520237092937402272 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 55\!\cdots\!90 \nu^{17} + \cdots - 49\!\cdots\!95 ) / 20\!\cdots\!72$$ (-55955092773252144593287361773415035601777959313305580712943494290*v^17 - 203719257110885351836219148857101369603459597339101927497705407929*v^16 - 9128813401585359196486442443727317731132943445640903495151722826601*v^15 - 28934559233025268070999317515352850018010538986290852757135116437411*v^14 - 999597433798623464690268480504360182192753960834836173928861656267016*v^13 - 2861292804618570189237898024905323473417242267600294705934543597385386*v^12 - 56458780191946811353594005024642420731075935103925480802311727751674850*v^11 - 94678126786372035490535518723908135413997316080548808136349368297296068*v^10 - 2104010288545701841320082536436578224580553589295456530918882225481664013*v^9 - 3024765374585991619093752759052333123936228041500071837647820112535316633*v^8 - 47868377956455953553733028866248451887478944074785214175509406992882991967*v^7 - 34400720911359408917812959413992005967523870990410648021715953247112163576*v^6 - 655541908919615123383919137843363417834613952639814341457655805703833777560*v^5 - 1058907596479156271193000274332738527208504198510560315450367535740792111056*v^4 - 3615633026607574990101934683096579487538887523317261318889867459835390214916*v^3 - 7254216859080440274046337725838836078766176331885388879183670038000748290631*v^2 - 13013146711605142479816092092337442869616798128349396526041778880035357194223*v - 49090488611175958740255359458663642058964493717121302453771838857735609540495) / 2091584035787314891571485332319915353200475982711512363093520237092937402272
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{15} - 3\beta_{11} - 5\beta_{9} + 5\beta_{7} - 3\beta_{6} + 36\beta_{4} + 5\beta_{3} - \beta_{2} - \beta _1 - 36$$ b15 - 3*b11 - 5*b9 + 5*b7 - 3*b6 + 36*b4 + 5*b3 - b2 - b1 - 36 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{16} + 2 \beta_{13} - \beta_{12} + 6 \beta_{11} - 8 \beta_{10} + 24 \beta_{9} - 88 \beta_{8} + 88 \beta_{7} - 8 \beta_{6} + 112 \beta_{3} + 57 \beta_{2} + 8$$ b16 + 2*b13 - b12 + 6*b11 - 8*b10 + 24*b9 - 88*b8 + 88*b7 - 8*b6 + 112*b3 + 57*b2 + 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$5 \beta_{17} + 7 \beta_{16} + 56 \beta_{14} + 296 \beta_{13} + 7 \beta_{12} + 296 \beta_{11} - 274 \beta_{10} + 622 \beta_{9} - 622 \beta_{8} - 222 \beta_{7} - 22 \beta_{6} - 2 \beta_{5} - 2078 \beta_{4} + 222 \beta_{3} + 29 \beta_1$$ 5*b17 + 7*b16 + 56*b14 + 296*b13 + 7*b12 + 296*b11 - 274*b10 + 622*b9 - 622*b8 - 222*b7 - 22*b6 - 2*b5 - 2078*b4 + 222*b3 + 29*b1 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$40 \beta_{17} - 40 \beta_{16} + 6 \beta_{15} + 879 \beta_{13} + 156 \beta_{12} + 268 \beta_{11} + 879 \beta_{10} + 9012 \beta_{9} - 2569 \beta_{8} - 11581 \beta_{7} + 268 \beta_{6} + 156 \beta_{5} - 1595 \beta_{4} - 9012 \beta_{3} + \cdots + 1595$$ 40*b17 - 40*b16 + 6*b15 + 879*b13 + 156*b12 + 268*b11 + 879*b10 + 9012*b9 - 2569*b8 - 11581*b7 + 268*b6 + 156*b5 - 1595*b4 - 9012*b3 - 3938*b2 - 3938*b1 + 1595 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 893 \beta_{17} - 400 \beta_{16} - 3312 \beta_{15} - 3312 \beta_{14} - 23021 \beta_{13} - 493 \beta_{12} - 2780 \beta_{11} + 25801 \beta_{10} - 31030 \beta_{9} + 35155 \beta_{8} - 35155 \beta_{7} + \cdots + 145459$$ -893*b17 - 400*b16 - 3312*b15 - 3312*b14 - 23021*b13 - 493*b12 - 2780*b11 + 25801*b10 - 31030*b9 + 35155*b8 - 35155*b7 + 25801*b6 + 893*b5 - 66185*b3 - 2478*b2 + 145459 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 14918 \beta_{17} - 14572 \beta_{16} - 1818 \beta_{14} - 128486 \beta_{13} - 14572 \beta_{12} - 128486 \beta_{11} + 37444 \beta_{10} - 1038778 \beta_{9} + 1038778 \beta_{8} + 233570 \beta_{7} + \cdots + 295792 \beta_1$$ -14918*b17 - 14572*b16 - 1818*b14 - 128486*b13 - 14572*b12 - 128486*b11 + 37444*b10 - 1038778*b9 + 1038778*b8 + 233570*b7 + 91042*b6 - 346*b5 + 319773*b4 - 233570*b3 + 295792*b1 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$58696 \beta_{17} - 58696 \beta_{16} + 224404 \beta_{15} - 292430 \beta_{13} - 34846 \beta_{12} - 1918802 \beta_{11} - 292430 \beta_{10} - 3361386 \beta_{9} + 3261130 \beta_{8} + \cdots - 11160210$$ 58696*b17 - 58696*b16 + 224404*b15 - 292430*b13 - 34846*b12 - 1918802*b11 - 292430*b10 - 3361386*b9 + 3261130*b8 + 6622516*b7 - 1918802*b6 - 34846*b5 + 11160210*b4 + 3361386*b3 + 571199*b2 + 571199*b1 - 11160210 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$1409632 \beta_{17} + 1293906 \beta_{16} + 386589 \beta_{15} + 386589 \beta_{14} + 4671837 \beta_{13} + 115726 \beta_{12} + 8449912 \beta_{11} - 13121749 \beta_{10} + 20972780 \beta_{9} + \cdots - 40208848$$ 1409632*b17 + 1293906*b16 + 386589*b15 + 386589*b14 + 4671837*b13 + 115726*b12 + 8449912*b11 - 13121749*b10 + 20972780*b9 - 69920703*b8 + 69920703*b7 - 13121749*b6 - 1409632*b5 + 90893483*b3 + 23356371*b2 - 40208848 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$3551481 \beta_{17} + 9258444 \beta_{16} + 16810526 \beta_{14} + 190372536 \beta_{13} + 9258444 \beta_{12} + 190372536 \beta_{11} - 160533576 \beta_{10} + 640135440 \beta_{9} + \cdots - 74540953 \beta_1$$ 3551481*b17 + 9258444*b16 + 16810526*b14 + 190372536*b13 + 9258444*b12 + 190372536*b11 - 160533576*b10 + 640135440*b9 - 640135440*b8 - 310353742*b7 - 29838960*b6 - 5706963*b5 - 902199260*b4 + 310353742*b3 - 74540953*b1 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 17339398 \beta_{17} + 17339398 \beta_{16} - 50766222 \beta_{15} + 750873190 \beta_{13} + 109791635 \beta_{12} + 529267958 \beta_{11} + 750873190 \beta_{10} + \cdots + 4346923604$$ -17339398*b17 + 17339398*b16 - 50766222*b15 + 750873190*b13 + 109791635*b12 + 529267958*b11 + 750873190*b10 + 6039569000*b9 - 1912116366*b8 - 7951685366*b7 + 529267958*b6 + 109791635*b5 - 4346923604*b4 - 6039569000*b3 - 1907531249*b2 - 1907531249*b1 + 4346923604 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$- 890919814 \beta_{17} - 375717320 \beta_{16} - 1339981704 \beta_{15} - 1339981704 \beta_{14} - 13528021390 \beta_{13} - 515202494 \beta_{12} - 3012820279 \beta_{11} + \cdots + 75363031909$$ -890919814*b17 - 375717320*b16 - 1339981704*b15 - 1339981704*b14 - 13528021390*b13 - 515202494*b12 - 3012820279*b11 + 16540841669*b10 - 28297062725*b9 + 32248680410*b8 - 32248680410*b7 + 16540841669*b6 + 890919814*b5 - 60545743135*b3 - 8246508828*b2 + 75363031909 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 9302450500 \beta_{17} - 11254259423 \beta_{16} - 5647093956 \beta_{14} - 121694400067 \beta_{13} - 11254259423 \beta_{12} - 121694400067 \beta_{11} + \cdots + 159584620144 \beta_1$$ -9302450500*b17 - 11254259423*b16 - 5647093956*b14 - 121694400067*b13 - 11254259423*b12 - 121694400067*b11 + 56142874133*b10 - 699602981387*b9 + 699602981387*b8 + 176858485096*b7 + 65551525934*b6 + 1951808923*b5 + 438194213457*b4 - 176858485096*b3 + 159584620144*b1 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$45203148824 \beta_{17} - 45203148824 \beta_{16} + 110912225908 \beta_{15} - 300460695808 \beta_{13} - 38993259452 \beta_{12} - 1149648891760 \beta_{11} + \cdots - 6433442474541$$ 45203148824*b17 - 45203148824*b16 + 110912225908*b15 - 300460695808*b13 - 38993259452*b12 - 1149648891760*b11 - 300460695808*b10 - 3115524089800*b9 + 2530386494240*b8 + 5645910584040*b7 - 1149648891760*b6 - 38993259452*b5 + 6433442474541*b4 + 3115524089800*b3 + 845467528556*b2 + 845467528556*b1 - 6433442474541 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$994183242116 \beta_{17} + 792214993472 \beta_{16} + 580600861908 \beta_{15} + 580600861908 \beta_{14} + 5697403289404 \beta_{13} + 201968248644 \beta_{12} + \cdots - 42530549970820$$ 994183242116*b17 + 792214993472*b16 + 580600861908*b15 + 580600861908*b14 + 5697403289404*b13 + 201968248644*b12 + 5689131318464*b11 - 11386534607868*b10 + 16480906012216*b9 - 45455051759780*b8 + 45455051759780*b7 - 11386534607868*b6 - 994183242116*b5 + 61935957771996*b3 + 13590445167669*b2 - 42530549970820 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$3930296819656 \beta_{17} + 7858333786556 \beta_{16} + 9402098067641 \beta_{14} + 128074633720903 \beta_{13} + 7858333786556 \beta_{12} + \cdots - 83123860453267 \beta_1$$ 3930296819656*b17 + 7858333786556*b16 + 9402098067641*b14 + 128074633720903*b13 + 7858333786556*b12 + 128074633720903*b11 - 98545965521027*b10 + 521545359414761*b9 - 521545359414761*b8 - 224416276031732*b7 - 29528668199876*b6 - 3928036966900*b5 - 557483903681648*b4 + 224416276031732*b3 - 83123860453267*b1 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$- 20122050426723 \beta_{17} + 20122050426723 \beta_{16} - 57162326555028 \beta_{15} + 493750285485482 \beta_{13} + 67957658485045 \beta_{12} + \cdots + 40\!\cdots\!04$$ -20122050426723*b17 + 20122050426723*b16 - 57162326555028*b15 + 493750285485482*b13 + 67957658485045*b12 + 560816701204698*b11 + 493750285485482*b10 + 3973829786944264*b9 - 1538217906478700*b8 - 5512047693422964*b7 + 560816701204698*b6 + 67957658485045*b5 - 4036005654079904*b4 - 3973829786944264*b3 - 1173032816647721*b2 - 1173032816647721*b1 + 4036005654079904

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/38\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$21$$ $$\chi(n)$$ $$\beta_{7}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
5.1
 −4.21239 + 7.29608i 1.11938 − 1.93882i 2.15332 − 3.72966i −3.03492 − 5.25663i −1.54550 − 2.67688i 4.75406 + 8.23428i −3.03492 + 5.25663i −1.54550 + 2.67688i 4.75406 − 8.23428i −4.21239 − 7.29608i 1.11938 + 1.93882i 2.15332 + 3.72966i 2.89395 + 5.01246i 1.58432 + 2.74412i −3.71222 − 6.42975i 2.89395 − 5.01246i 1.58432 − 2.74412i −3.71222 + 6.42975i
1.87939 0.684040i −1.31024 + 7.43077i 3.06418 2.57115i 3.45478 + 2.89891i 2.62049 + 14.8615i 4.21085 + 7.29340i 4.00000 6.92820i −28.1279 10.2377i 8.47584 + 3.08495i
5.2 1.87939 0.684040i 0.541460 3.07077i 3.06418 2.57115i 8.27240 + 6.94137i −1.08292 6.14154i −13.7717 23.8533i 4.00000 6.92820i 16.2353 + 5.90915i 20.2952 + 7.38685i
5.3 1.87939 0.684040i 0.900544 5.10724i 3.06418 2.57115i −10.9611 9.19749i −1.80109 10.2145i 16.0725 + 27.8383i 4.00000 6.92820i 0.0987659 + 0.0359478i −26.8917 9.78776i
9.1 −0.347296 1.96962i −5.68185 + 4.76764i −3.75877 + 1.36808i 18.4168 + 6.70318i 11.3637 + 9.53528i −15.6039 + 27.0267i 4.00000 + 6.92820i 4.86455 27.5882i 6.80659 38.6021i
9.2 −0.347296 1.96962i −3.39993 + 2.85288i −3.75877 + 1.36808i −20.2092 7.35554i 6.79986 + 5.70576i 2.98693 5.17352i 4.00000 + 6.92820i −1.26790 + 7.19064i −7.46901 + 42.3588i
9.3 −0.347296 1.96962i 6.25156 5.24568i −3.75877 + 1.36808i 0.852642 + 0.310336i −12.5031 10.4914i −4.68031 + 8.10654i 4.00000 + 6.92820i 6.87632 38.9975i 0.315124 1.78716i
17.1 −0.347296 + 1.96962i −5.68185 4.76764i −3.75877 1.36808i 18.4168 6.70318i 11.3637 9.53528i −15.6039 27.0267i 4.00000 6.92820i 4.86455 + 27.5882i 6.80659 + 38.6021i
17.2 −0.347296 + 1.96962i −3.39993 2.85288i −3.75877 1.36808i −20.2092 + 7.35554i 6.79986 5.70576i 2.98693 + 5.17352i 4.00000 6.92820i −1.26790 7.19064i −7.46901 42.3588i
17.3 −0.347296 + 1.96962i 6.25156 + 5.24568i −3.75877 1.36808i 0.852642 0.310336i −12.5031 + 10.4914i −4.68031 8.10654i 4.00000 6.92820i 6.87632 + 38.9975i 0.315124 + 1.78716i
23.1 1.87939 + 0.684040i −1.31024 7.43077i 3.06418 + 2.57115i 3.45478 2.89891i 2.62049 14.8615i 4.21085 7.29340i 4.00000 + 6.92820i −28.1279 + 10.2377i 8.47584 3.08495i
23.2 1.87939 + 0.684040i 0.541460 + 3.07077i 3.06418 + 2.57115i 8.27240 6.94137i −1.08292 + 6.14154i −13.7717 + 23.8533i 4.00000 + 6.92820i 16.2353 5.90915i 20.2952 7.38685i
23.3 1.87939 + 0.684040i 0.900544 + 5.10724i 3.06418 + 2.57115i −10.9611 + 9.19749i −1.80109 + 10.2145i 16.0725 27.8383i 4.00000 + 6.92820i 0.0987659 0.0359478i −26.8917 + 9.78776i
25.1 −1.53209 + 1.28558i −3.05945 1.11355i 0.694593 3.93923i −1.91957 10.8864i 6.11891 2.22710i 9.80910 16.9899i 4.00000 + 6.92820i −12.5629 10.5416i 16.9363 + 14.2112i
25.2 −1.53209 + 1.28558i −0.598158 0.217712i 0.694593 3.93923i 3.08282 + 17.4836i 1.19632 0.435424i −11.6036 + 20.0980i 4.00000 + 6.92820i −20.3728 17.0948i −27.1996 22.8232i
25.3 −1.53209 + 1.28558i 9.35607 + 3.40533i 0.694593 3.93923i −0.989599 5.61230i −18.7121 + 6.81067i −3.91986 + 6.78940i 4.00000 + 6.92820i 55.2566 + 46.3658i 8.73118 + 7.32633i
35.1 −1.53209 1.28558i −3.05945 + 1.11355i 0.694593 + 3.93923i −1.91957 + 10.8864i 6.11891 + 2.22710i 9.80910 + 16.9899i 4.00000 6.92820i −12.5629 + 10.5416i 16.9363 14.2112i
35.2 −1.53209 1.28558i −0.598158 + 0.217712i 0.694593 + 3.93923i 3.08282 17.4836i 1.19632 + 0.435424i −11.6036 20.0980i 4.00000 6.92820i −20.3728 + 17.0948i −27.1996 + 22.8232i
35.3 −1.53209 1.28558i 9.35607 3.40533i 0.694593 + 3.93923i −0.989599 + 5.61230i −18.7121 6.81067i −3.91986 6.78940i 4.00000 6.92820i 55.2566 46.3658i 8.73118 7.32633i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 35.3 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
19.e even 9 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 38.4.e.b 18
19.e even 9 1 inner 38.4.e.b 18
19.e even 9 1 722.4.a.t 9
19.f odd 18 1 722.4.a.u 9

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
38.4.e.b 18 1.a even 1 1 trivial
38.4.e.b 18 19.e even 9 1 inner
722.4.a.t 9 19.e even 9 1
722.4.a.u 9 19.f odd 18 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{3}^{18} - 6 T_{3}^{17} - 3 T_{3}^{16} - 298 T_{3}^{15} + 3495 T_{3}^{14} + 10455 T_{3}^{13} + 207596 T_{3}^{12} - 770469 T_{3}^{11} + 3933852 T_{3}^{10} + 76842539 T_{3}^{9} + 766535988 T_{3}^{8} + \cdots + 457499373769$$ acting on $$S_{4}^{\mathrm{new}}(38, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{6} - 8 T^{3} + 64)^{3}$$
$3$ $$T^{18} - 6 T^{17} + \cdots + 457499373769$$
$5$ $$T^{18} - 267 T^{16} + \cdots + 88\!\cdots\!24$$
$7$ $$T^{18} + 33 T^{17} + \cdots + 21\!\cdots\!04$$
$11$ $$T^{18} + 75 T^{17} + \cdots + 19\!\cdots\!21$$
$13$ $$T^{18} - 99 T^{17} + \cdots + 42\!\cdots\!76$$
$17$ $$T^{18} + 111 T^{17} + \cdots + 35\!\cdots\!61$$
$19$ $$T^{18} + 372 T^{17} + \cdots + 33\!\cdots\!39$$
$23$ $$T^{18} - 198 T^{17} + \cdots + 85\!\cdots\!16$$
$29$ $$T^{18} - 669 T^{17} + \cdots + 86\!\cdots\!56$$
$31$ $$T^{18} + 42 T^{17} + \cdots + 40\!\cdots\!76$$
$37$ $$(T^{9} + 528 T^{8} + \cdots - 64\!\cdots\!08)^{2}$$
$41$ $$T^{18} + 210 T^{17} + \cdots + 96\!\cdots\!49$$
$43$ $$T^{18} + 399 T^{17} + \cdots + 33\!\cdots\!29$$
$47$ $$T^{18} - 1149 T^{17} + \cdots + 15\!\cdots\!96$$
$53$ $$T^{18} + 633 T^{17} + \cdots + 18\!\cdots\!04$$
$59$ $$T^{18} - 51 T^{17} + \cdots + 10\!\cdots\!41$$
$61$ $$T^{18} + 4104 T^{17} + \cdots + 40\!\cdots\!16$$
$67$ $$T^{18} + 675 T^{17} + \cdots + 23\!\cdots\!04$$
$71$ $$T^{18} - 2964 T^{17} + \cdots + 12\!\cdots\!04$$
$73$ $$T^{18} + 2004 T^{17} + \cdots + 60\!\cdots\!64$$
$79$ $$T^{18} - 543 T^{17} + \cdots + 11\!\cdots\!64$$
$83$ $$T^{18} - 381 T^{17} + \cdots + 40\!\cdots\!49$$
$89$ $$T^{18} - 4386 T^{17} + \cdots + 53\!\cdots\!61$$
$97$ $$T^{18} - 7599 T^{17} + \cdots + 20\!\cdots\!61$$