# Properties

 Label 338.8.a.q Level $338$ Weight $8$ Character orbit 338.a Self dual yes Analytic conductor $105.586$ Analytic rank $0$ Dimension $12$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [338,8,Mod(1,338)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(338, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0]))

N = Newforms(chi, 8, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("338.1");

S:= CuspForms(chi, 8);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$338 = 2 \cdot 13^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$8$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 338.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$105.586138614$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$12$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{12} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{12} - 17025 x^{10} - 75278 x^{9} + 107730318 x^{8} + 758876874 x^{7} - 313838788711 x^{6} + \cdots + 68\!\cdots\!76$$ x^12 - 17025*x^10 - 75278*x^9 + 107730318*x^8 + 758876874*x^7 - 313838788711*x^6 - 2360012829090*x^5 + 435559991026452*x^4 + 2604474827033352*x^3 - 281358598710393360*x^2 - 906283741127427936*x + 68022881171184237376 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{5}]$$ Coefficient ring index: $$2^{6}\cdot 13^{8}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$+1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{11}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - 8 q^{2} + ( - \beta_1 + 9) q^{3} + 64 q^{4} + ( - \beta_{4} + \beta_{3} - \beta_1 - 24) q^{5} + (8 \beta_1 - 72) q^{6} + ( - \beta_{9} + 8 \beta_{3} + \cdots + 30) q^{7}+ \cdots + (\beta_{7} + \beta_{5} - 2 \beta_{4} + \cdots + 879) q^{9}+O(q^{10})$$ q - 8 * q^2 + (-b1 + 9) * q^3 + 64 * q^4 + (-b4 + b3 - b1 - 24) * q^5 + (8*b1 - 72) * q^6 + (-b9 + 8*b3 - b2 + b1 + 30) * q^7 - 512 * q^8 + (b7 + b5 - 2*b4 - b3 + 4*b2 - 14*b1 + 879) * q^9 $$q - 8 q^{2} + ( - \beta_1 + 9) q^{3} + 64 q^{4} + ( - \beta_{4} + \beta_{3} - \beta_1 - 24) q^{5} + (8 \beta_1 - 72) q^{6} + ( - \beta_{9} + 8 \beta_{3} + \cdots + 30) q^{7}+ \cdots + ( - 596 \beta_{11} + 1588 \beta_{10} + \cdots - 135349) q^{99}+O(q^{100})$$ q - 8 * q^2 + (-b1 + 9) * q^3 + 64 * q^4 + (-b4 + b3 - b1 - 24) * q^5 + (8*b1 - 72) * q^6 + (-b9 + 8*b3 - b2 + b1 + 30) * q^7 - 512 * q^8 + (b7 + b5 - 2*b4 - b3 + 4*b2 - 14*b1 + 879) * q^9 + (8*b4 - 8*b3 + 8*b1 + 192) * q^10 + (-b11 - b10 - b9 - 2*b8 - b7 - b6 - b4 + 51*b3 + 23*b1 - 273) * q^11 + (-64*b1 + 576) * q^12 + (8*b9 - 64*b3 + 8*b2 - 8*b1 - 240) * q^14 + (b11 - 5*b10 - 7*b9 - 7*b8 + 4*b7 - 3*b6 + b5 - 30*b4 + 159*b3 + 8*b2 - 51*b1 + 2500) * q^15 + 4096 * q^16 + (-5*b11 - 2*b10 - 2*b8 - 10*b7 + b6 + 6*b5 + 18*b4 + 118*b3 + 67*b2 - 41*b1 + 503) * q^17 + (-8*b7 - 8*b5 + 16*b4 + 8*b3 - 32*b2 + 112*b1 - 7032) * q^18 + (8*b11 - 14*b10 - 13*b9 - 2*b8 + 5*b7 + 6*b6 + 6*b5 + 26*b4 - 124*b3 - 24*b2 + 132*b1 - 6833) * q^19 + (-64*b4 + 64*b3 - 64*b1 - 1536) * q^20 + (-19*b11 + 32*b10 - 10*b9 + 14*b8 - 7*b7 - 7*b6 + 3*b5 - 36*b4 + 367*b3 + 36*b2 + 221*b1 - 4548) * q^21 + (8*b11 + 8*b10 + 8*b9 + 16*b8 + 8*b7 + 8*b6 + 8*b4 - 408*b3 - 184*b1 + 2184) * q^22 + (12*b11 + 12*b10 - 3*b9 - 11*b8 + 47*b7 - 5*b6 + b5 - 19*b4 + 434*b3 - 39*b2 - 7*b1 + 13337) * q^23 + (512*b1 - 4608) * q^24 + (-15*b11 - 22*b10 - 76*b9 + 12*b8 + 21*b7 - 11*b6 + 9*b5 + 43*b4 - 112*b3 - 350*b2 - 768*b1 + 30757) * q^25 + (23*b11 - 19*b10 - 26*b9 - 38*b8 + 35*b7 - 51*b6 + 12*b5 - 161*b4 - 823*b3 + 159*b2 - 225*b1 + 37050) * q^27 + (-64*b9 + 512*b3 - 64*b2 + 64*b1 + 1920) * q^28 + (5*b11 - 10*b10 - 6*b9 - 28*b8 - 14*b7 + 65*b6 - 6*b5 + 11*b4 + 754*b3 + 18*b2 + 322*b1 - 3235) * q^29 + (-8*b11 + 40*b10 + 56*b9 + 56*b8 - 32*b7 + 24*b6 - 8*b5 + 240*b4 - 1272*b3 - 64*b2 + 408*b1 - 20000) * q^30 + (-14*b11 + 14*b10 - 53*b9 + 56*b8 + 70*b7 + 154*b6 + 28*b5 - 246*b4 - 462*b3 - 135*b2 + 1319*b1 - 47418) * q^31 - 32768 * q^32 + (22*b11 + 40*b10 + 16*b9 - 14*b8 - 192*b7 - 208*b6 - 16*b5 - 451*b4 + 1061*b3 + 221*b2 - 63*b1 - 80045) * q^33 + (40*b11 + 16*b10 + 16*b8 + 80*b7 - 8*b6 - 48*b5 - 144*b4 - 944*b3 - 536*b2 + 328*b1 - 4024) * q^34 + (-77*b11 + 7*b10 + 105*b9 + 42*b8 - 309*b7 - 28*b6 - 56*b5 - 525*b4 + 6951*b3 + 934*b2 - 1277*b1 - 14555) * q^35 + (64*b7 + 64*b5 - 128*b4 - 64*b3 + 256*b2 - 896*b1 + 56256) * q^36 + (43*b11 - 160*b10 - 38*b9 + 58*b8 + 83*b7 + 71*b6 - 7*b5 - 438*b4 - 527*b3 + 620*b2 + 1433*b1 + 18710) * q^37 + (-64*b11 + 112*b10 + 104*b9 + 16*b8 - 40*b7 - 48*b6 - 48*b5 - 208*b4 + 992*b3 + 192*b2 - 1056*b1 + 54664) * q^38 + (512*b4 - 512*b3 + 512*b1 + 12288) * q^40 + (38*b11 + 88*b10 + 56*b9 - 94*b8 + 124*b7 + 280*b6 + 16*b5 - 317*b4 + 1890*b3 - 1038*b2 - 2557*b1 - 61805) * q^41 + (152*b11 - 256*b10 + 80*b9 - 112*b8 + 56*b7 + 56*b6 - 24*b5 + 288*b4 - 2936*b3 - 288*b2 - 1768*b1 + 36384) * q^42 + (-2*b11 - 14*b10 - 274*b9 - 87*b8 - 60*b7 + 159*b6 - 79*b5 - 43*b4 - 12128*b3 - 1947*b2 - 3659*b1 + 127048) * q^43 + (-64*b11 - 64*b10 - 64*b9 - 128*b8 - 64*b7 - 64*b6 - 64*b4 + 3264*b3 + 1472*b1 - 17472) * q^44 + (97*b11 - 14*b10 - 6*b9 - 240*b8 + 70*b7 - 483*b6 + 90*b5 - 788*b4 - 2737*b3 + 1776*b2 - 5157*b1 + 225703) * q^45 + (-96*b11 - 96*b10 + 24*b9 + 88*b8 - 376*b7 + 40*b6 - 8*b5 + 152*b4 - 3472*b3 + 312*b2 + 56*b1 - 106696) * q^46 + (-170*b11 - 54*b10 + 112*b9 + 79*b8 + 407*b7 - 17*b6 + 83*b5 - 127*b4 + 2704*b3 - 1350*b2 - 5970*b1 + 282599) * q^47 + (-4096*b1 + 36864) * q^48 + (70*b11 - 280*b10 - 112*b9 - 42*b8 + 567*b7 - 252*b6 - 105*b5 + 105*b4 - 945*b3 - 2226*b2 - 7427*b1 + 430620) * q^49 + (120*b11 + 176*b10 + 608*b9 - 96*b8 - 168*b7 + 88*b6 - 72*b5 - 344*b4 + 896*b3 + 2800*b2 + 6144*b1 - 246056) * q^50 + (94*b11 + 250*b10 + 214*b9 + 7*b8 - 642*b7 - 1154*b6 - 57*b5 - 45*b4 + 10100*b3 - 1511*b2 - 7393*b1 + 169192) * q^51 + (-6*b11 + 162*b10 - 172*b9 + 30*b8 + 651*b7 + 1346*b6 - 7*b5 - 1440*b4 + 7266*b3 + 2688*b2 - 7784*b1 + 346091) * q^53 + (-184*b11 + 152*b10 + 208*b9 + 304*b8 - 280*b7 + 408*b6 - 96*b5 + 1288*b4 + 6584*b3 - 1272*b2 + 1800*b1 - 296400) * q^54 + (-343*b11 + 751*b10 - b9 + 705*b8 + 270*b7 + 287*b6 + 125*b5 + 634*b4 + 1911*b3 + 3616*b2 - 18655*b1 + 38766) * q^55 + (512*b9 - 4096*b3 + 512*b2 - 512*b1 - 15360) * q^56 + (38*b11 + 236*b10 + 1140*b9 + 210*b8 + 1027*b7 + 576*b6 - 345*b5 - 655*b4 - 13838*b3 - 3470*b2 + 4781*b1 - 412869) * q^57 + (-40*b11 + 80*b10 + 48*b9 + 224*b8 + 112*b7 - 520*b6 + 48*b5 - 88*b4 - 6032*b3 - 144*b2 - 2576*b1 + 25880) * q^58 + (68*b11 - 186*b10 + 99*b9 - 10*b8 - 842*b7 - 402*b6 + 206*b5 + 1678*b4 - 15310*b3 + 1931*b2 - 10612*b1 - 595871) * q^59 + (64*b11 - 320*b10 - 448*b9 - 448*b8 + 256*b7 - 192*b6 + 64*b5 - 1920*b4 + 10176*b3 + 512*b2 - 3264*b1 + 160000) * q^60 + (383*b11 - 740*b10 - 802*b9 - 194*b8 - 895*b7 - 229*b6 + 251*b5 + 1142*b4 + 1473*b3 - 5570*b2 - 1479*b1 + 139756) * q^61 + (112*b11 - 112*b10 + 424*b9 - 448*b8 - 560*b7 - 1232*b6 - 224*b5 + 1968*b4 + 3696*b3 + 1080*b2 - 10552*b1 + 379344) * q^62 + (-721*b11 + 773*b10 - 719*b9 + 19*b8 - 2608*b7 - 1655*b6 + 211*b5 + 2714*b4 + 21657*b3 + 7202*b2 + 4241*b1 - 847972) * q^63 + 262144 * q^64 + (-176*b11 - 320*b10 - 128*b9 + 112*b8 + 1536*b7 + 1664*b6 + 128*b5 + 3608*b4 - 8488*b3 - 1768*b2 + 504*b1 + 640360) * q^66 + (191*b11 - 683*b10 + 202*b9 - 40*b8 + 649*b7 + 3098*b6 + 422*b5 - 123*b4 + 541*b3 - 6781*b2 - 16627*b1 - 897222) * q^67 + (-320*b11 - 128*b10 - 128*b8 - 640*b7 + 64*b6 + 384*b5 + 1152*b4 + 7552*b3 + 4288*b2 - 2624*b1 + 32192) * q^68 + (270*b11 - 216*b10 - 864*b9 - 492*b8 - 220*b7 + 574*b6 + 552*b5 - 3621*b4 - 47089*b3 + 7750*b2 - 22971*b1 + 81296) * q^69 + (616*b11 - 56*b10 - 840*b9 - 336*b8 + 2472*b7 + 224*b6 + 448*b5 + 4200*b4 - 55608*b3 - 7472*b2 + 10216*b1 + 116440) * q^70 + (-47*b11 - 469*b10 + 606*b9 + 290*b8 + 739*b7 - 406*b6 - 1006*b5 + 3795*b4 - 21855*b3 - 4967*b2 - 30408*b1 - 186725) * q^71 + (-512*b7 - 512*b5 + 1024*b4 + 512*b3 - 2048*b2 + 7168*b1 - 450048) * q^72 + (776*b11 - 12*b10 + 400*b9 - 84*b8 + 168*b7 - 80*b6 - 588*b5 + 8434*b4 + 57372*b3 + 12319*b2 - 5654*b1 - 1119724) * q^73 + (-344*b11 + 1280*b10 + 304*b9 - 464*b8 - 664*b7 - 568*b6 + 56*b5 + 3504*b4 + 4216*b3 - 4960*b2 - 11464*b1 - 149680) * q^74 + (-1198*b11 + 1568*b10 - 505*b9 + 1598*b8 + 1644*b7 + 778*b6 + 606*b5 - 3804*b4 - 21472*b3 + 14861*b2 - 15312*b1 + 2334619) * q^75 + (512*b11 - 896*b10 - 832*b9 - 128*b8 + 320*b7 + 384*b6 + 384*b5 + 1664*b4 - 7936*b3 - 1536*b2 + 8448*b1 - 437312) * q^76 + (863*b11 - 2492*b10 - 750*b9 - 1094*b8 - 661*b7 - 3145*b6 + 1229*b5 - 710*b4 + 82535*b3 - 13442*b2 - 17915*b1 + 295764) * q^77 + (-211*b11 + 299*b10 + 1892*b9 + 926*b8 + 331*b7 + 1542*b6 - 518*b5 - 3045*b4 + 57649*b3 - 5689*b2 - 9696*b1 + 1414933) * q^79 + (-4096*b4 + 4096*b3 - 4096*b1 - 98304) * q^80 + (465*b11 - 678*b10 - 536*b9 - 1892*b8 + 2283*b7 - 171*b6 - 1349*b5 - 11883*b4 - 23022*b3 + 10637*b2 - 46374*b1 - 404290) * q^81 + (-304*b11 - 704*b10 - 448*b9 + 752*b8 - 992*b7 - 2240*b6 - 128*b5 + 2536*b4 - 15120*b3 + 8304*b2 + 20456*b1 + 494440) * q^82 + (-620*b11 - 716*b10 - 2654*b9 - 210*b8 - 2529*b7 + 282*b6 + 938*b5 - 238*b4 - 40322*b3 - 407*b2 + 2249*b1 + 249233) * q^83 + (-1216*b11 + 2048*b10 - 640*b9 + 896*b8 - 448*b7 - 448*b6 + 192*b5 - 2304*b4 + 23488*b3 + 2304*b2 + 14144*b1 - 291072) * q^84 + (369*b11 + 1110*b10 - 1998*b9 - 828*b8 - 354*b7 - 3187*b6 + 734*b5 + 1479*b4 + 4692*b3 + 10652*b2 - 20670*b1 - 1283379) * q^85 + (16*b11 + 112*b10 + 2192*b9 + 696*b8 + 480*b7 - 1272*b6 + 632*b5 + 344*b4 + 97024*b3 + 15576*b2 + 29272*b1 - 1016384) * q^86 + (825*b11 + 1131*b10 + 2539*b9 - 26*b8 - 1899*b7 - 1418*b6 - 650*b5 - 2589*b4 - 14695*b3 - 30760*b2 + 4861*b1 - 1156857) * q^87 + (512*b11 + 512*b10 + 512*b9 + 1024*b8 + 512*b7 + 512*b6 + 512*b4 - 26112*b3 - 11776*b1 + 139776) * q^88 + (682*b11 + 44*b10 - 848*b9 + 170*b8 + 2626*b7 - 1296*b6 - 1350*b5 - 4021*b4 - 52279*b3 - 6025*b2 - 22877*b1 - 2503218) * q^89 + (-776*b11 + 112*b10 + 48*b9 + 1920*b8 - 560*b7 + 3864*b6 - 720*b5 + 6304*b4 + 21896*b3 - 14208*b2 + 41256*b1 - 1805624) * q^90 + (768*b11 + 768*b10 - 192*b9 - 704*b8 + 3008*b7 - 320*b6 + 64*b5 - 1216*b4 + 27776*b3 - 2496*b2 - 448*b1 + 853568) * q^92 + (219*b11 + 312*b10 - 1958*b9 - 350*b8 + 2137*b7 + 375*b6 - 2465*b5 + 4362*b4 - 72939*b3 - 50582*b2 + 33137*b1 - 4397666) * q^93 + (1360*b11 + 432*b10 - 896*b9 - 632*b8 - 3256*b7 + 136*b6 - 664*b5 + 1016*b4 - 21632*b3 + 10800*b2 + 47760*b1 - 2260792) * q^94 + (-73*b11 + 1805*b10 + 5756*b9 + 1591*b8 - 22*b7 + 5209*b6 - 1333*b5 + 2002*b4 - 204039*b3 + 20611*b2 + 5230*b1 - 2470982) * q^95 + (32768*b1 - 294912) * q^96 + (-1123*b11 + 306*b10 - 1300*b9 + 2286*b8 + 567*b7 + 6531*b6 + 1979*b5 + 7598*b4 - 62908*b3 - 37249*b2 + 17161*b1 - 589166) * q^97 + (-560*b11 + 2240*b10 + 896*b9 + 336*b8 - 4536*b7 + 2016*b6 + 840*b5 - 840*b4 + 7560*b3 + 17808*b2 + 59416*b1 - 3444960) * q^98 + (-596*b11 + 1588*b10 - 3732*b9 + 285*b8 - 454*b7 + 856*b6 + 1885*b5 - 7453*b4 + 307578*b3 + 54433*b2 + 18370*b1 - 135349) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$12 q - 96 q^{2} + 108 q^{3} + 768 q^{4} - 292 q^{5} - 864 q^{6} + 364 q^{7} - 6144 q^{8} + 10514 q^{9}+O(q^{10})$$ 12 * q - 96 * q^2 + 108 * q^3 + 768 * q^4 - 292 * q^5 - 864 * q^6 + 364 * q^7 - 6144 * q^8 + 10514 * q^9 $$12 q - 96 q^{2} + 108 q^{3} + 768 q^{4} - 292 q^{5} - 864 q^{6} + 364 q^{7} - 6144 q^{8} + 10514 q^{9} + 2336 q^{10} - 3276 q^{11} + 6912 q^{12} - 2912 q^{14} + 29840 q^{15} + 49152 q^{16} + 5846 q^{17} - 84112 q^{18} - 81780 q^{19} - 18688 q^{20} - 55012 q^{21} + 26208 q^{22} + 159932 q^{23} - 55296 q^{24} + 370464 q^{25} + 443064 q^{27} + 23296 q^{28} - 38410 q^{29} - 238720 q^{30} - 569460 q^{31} - 393216 q^{32} - 963204 q^{33} - 46768 q^{34} - 179288 q^{35} + 672896 q^{36} + 220572 q^{37} + 654240 q^{38} + 149504 q^{40} - 738160 q^{41} + 440096 q^{42} + 1533740 q^{43} - 209664 q^{44} + 2696130 q^{45} - 1279456 q^{46} + 3393496 q^{47} + 442368 q^{48} + 5174902 q^{49} - 2963712 q^{50} + 2034136 q^{51} + 4139006 q^{53} - 3544512 q^{54} + 448984 q^{55} - 186368 q^{56} - 4943718 q^{57} + 307280 q^{58} - 7150412 q^{59} + 1909760 q^{60} + 1707712 q^{61} + 4555680 q^{62} - 10194096 q^{63} + 3145728 q^{64} + 7705632 q^{66} - 10730940 q^{67} + 374144 q^{68} + 931888 q^{69} + 1434304 q^{70} - 2203932 q^{71} - 5383168 q^{72} - 13447948 q^{73} - 1764576 q^{74} + 27924940 q^{75} - 5233920 q^{76} + 3591684 q^{77} + 16994852 q^{79} - 1196032 q^{80} - 4937212 q^{81} + 5905280 q^{82} + 2997700 q^{83} - 3520768 q^{84} - 15452802 q^{85} - 12269920 q^{86} - 13764336 q^{87} + 1677312 q^{88} - 30037252 q^{89} - 21569040 q^{90} + 10235648 q^{92} - 52543960 q^{93} - 27147968 q^{94} - 29704236 q^{95} - 3538944 q^{96} - 6886052 q^{97} - 41399216 q^{98} - 1882740 q^{99}+O(q^{100})$$ 12 * q - 96 * q^2 + 108 * q^3 + 768 * q^4 - 292 * q^5 - 864 * q^6 + 364 * q^7 - 6144 * q^8 + 10514 * q^9 + 2336 * q^10 - 3276 * q^11 + 6912 * q^12 - 2912 * q^14 + 29840 * q^15 + 49152 * q^16 + 5846 * q^17 - 84112 * q^18 - 81780 * q^19 - 18688 * q^20 - 55012 * q^21 + 26208 * q^22 + 159932 * q^23 - 55296 * q^24 + 370464 * q^25 + 443064 * q^27 + 23296 * q^28 - 38410 * q^29 - 238720 * q^30 - 569460 * q^31 - 393216 * q^32 - 963204 * q^33 - 46768 * q^34 - 179288 * q^35 + 672896 * q^36 + 220572 * q^37 + 654240 * q^38 + 149504 * q^40 - 738160 * q^41 + 440096 * q^42 + 1533740 * q^43 - 209664 * q^44 + 2696130 * q^45 - 1279456 * q^46 + 3393496 * q^47 + 442368 * q^48 + 5174902 * q^49 - 2963712 * q^50 + 2034136 * q^51 + 4139006 * q^53 - 3544512 * q^54 + 448984 * q^55 - 186368 * q^56 - 4943718 * q^57 + 307280 * q^58 - 7150412 * q^59 + 1909760 * q^60 + 1707712 * q^61 + 4555680 * q^62 - 10194096 * q^63 + 3145728 * q^64 + 7705632 * q^66 - 10730940 * q^67 + 374144 * q^68 + 931888 * q^69 + 1434304 * q^70 - 2203932 * q^71 - 5383168 * q^72 - 13447948 * q^73 - 1764576 * q^74 + 27924940 * q^75 - 5233920 * q^76 + 3591684 * q^77 + 16994852 * q^79 - 1196032 * q^80 - 4937212 * q^81 + 5905280 * q^82 + 2997700 * q^83 - 3520768 * q^84 - 15452802 * q^85 - 12269920 * q^86 - 13764336 * q^87 + 1677312 * q^88 - 30037252 * q^89 - 21569040 * q^90 + 10235648 * q^92 - 52543960 * q^93 - 27147968 * q^94 - 29704236 * q^95 - 3538944 * q^96 - 6886052 * q^97 - 41399216 * q^98 - 1882740 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{12} - 17025 x^{10} - 75278 x^{9} + 107730318 x^{8} + 758876874 x^{7} - 313838788711 x^{6} + \cdots + 68\!\cdots\!76$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!33 \nu^{11} + \cdots + 10\!\cdots\!00 ) / 41\!\cdots\!16$$ (-113870897143346431222345387498681449184509533*v^11 - 8430765677851961211462515175640578129355982370*v^10 + 1552831475082309215124621918361989615004910709649*v^9 + 165421806709450952404330879631175895969534286820736*v^8 - 6624279435236655799179345800459845251742444366437870*v^7 - 1095112179569397590346598953281494784420039080728956990*v^6 + 6880082624022397030084320574967301935745670488738667711*v^5 + 2958173754132818160192119649304941897847049126403081218272*v^4 + 9254601726247738095719446941433681456920448275412067129316*v^3 - 3089354888758829409981245102633198390199286426365716637047824*v^2 - 5947235203310486452660370008561616259101995644177047345546016*v + 1057969912343890721807595559349966524593545906856869283973302400) / 4100523628685374144240132062689257367490091470044322558050016 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!31 \nu^{11} + \cdots + 21\!\cdots\!88 ) / 31\!\cdots\!32$$ (-10232852802175972845377001528996550577464631*v^11 - 3883445855586873163266614970486475306331698802*v^10 + 335866504452753573301996144791953892158463414739*v^9 + 58500085423225410480025906071459948088810985382316*v^8 - 3120312812088056625585550428286359902317669260707618*v^7 - 316784654808712435016426596422463978323535035421880322*v^6 + 11830391737933019057580889093758391225183265065786295333*v^5 + 741483857111439860046822527464824212083536937966212616372*v^4 - 18776955392657973623185945352236649284444551406217513983228*v^3 - 722512276100639676205286226547838232619279058067849085464448*v^2 + 9299700066623425790802215526077641963449534200124514816827808*v + 218671089700375663711654115633217608484340322529065367997286688) / 315424894514259549556933235591481335960776266926486350619232 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 42\!\cdots\!63 \nu^{11} + \cdots + 44\!\cdots\!60 ) / 31\!\cdots\!32$$ (-42995117234109031541345922642573871001594563*v^11 - 4417148464365226136789787416858543296752717180*v^10 + 663810703759508510425000713436451930985283959119*v^9 + 79683809699243251012018158586241733393055539721166*v^8 - 3497903285247299336134598732375615442300442517744910*v^7 - 499690214645601452625057508920957680850356146863280150*v^6 + 7023603952139117033021302733709231409011649798431502901*v^5 + 1304697806852585104821049825077279154033281387177190660082*v^4 - 4245908117069710765879904474866102113860590618760679922824*v^3 - 1342086781457220459811459992959188225312629195099264541147064*v^2 + 233543057458031555324386999076401902790681066236576671201808*v + 448296113959178569392666807163836482991079092326576674825403360) / 315424894514259549556933235591481335960776266926486350619232 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 29\!\cdots\!96 \nu^{11} + \cdots - 70\!\cdots\!52 ) / 14\!\cdots\!72$$ (-29796523127583975116587547028715083318340152507497596*v^11 + 962328788611223347202024108173578039084755513311633133*v^10 + 466153878369801052301058208940061169603246486470526809452*v^9 - 12626241733672750772596592879821773947240334184930630830445*v^8 - 2669323741391882963476943327354828864710045915843914375655678*v^7 + 62852759389254782677744623335909802264773208253268207856199158*v^6 + 6754207946754625440246745712070814154347755062996795197180432774*v^5 - 152436470262798810542780709760079350411870643732817558299127003907*v^4 - 7314928401746064767505368090498418585795001198280031881716444769066*v^3 + 177251975807955607806985880456453341995589019832910451519879467695244*v^2 + 2776876694675665260624176936712409721174539853498951880206982689813144*v - 70679651908191414015890356208444345694413947209593557711205552742698352) / 14051590310044652067312127629716262017139011902672748633313354803472 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 74\!\cdots\!27 \nu^{11} + \cdots - 47\!\cdots\!88 ) / 28\!\cdots\!44$$ (-74545770458784110067648535362893653281755371177136127*v^11 + 4255625823519589886650843818934939175519118181318233792*v^10 + 1108084194887734462647386622295989599920057771974675794779*v^9 - 60678356839721937859030429967419238260820608045586395181430*v^8 - 5983286179418186082511186096558743977966315407165358916094094*v^7 + 328579309696133372683099186294302071503856168691847295089796490*v^6 + 13985215517090671665801180777167515699659566635718081177989550353*v^5 - 844202400923739715912410618162958745525108025431198266230944974906*v^4 - 13365744982305970853947026719965338585643185829924291698176300580000*v^3 + 1031794418340005018773472456499894820979047791818414676279435855472264*v^2 + 4536301109795925764097956048698719440875886031945397462129697329071952*v - 475323536985535813101139160863366759925770847567696313064626838422646688) / 28103180620089304134624255259432524034278023805345497266626709606944 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 60\!\cdots\!83 \nu^{11} + \cdots + 20\!\cdots\!56 ) / 20\!\cdots\!08$$ (-6093756414715038689340547002772404775191693783*v^11 + 130106452194690115446404994074263202537197235901*v^10 + 95809158066453192504012326313993186682375332007007*v^9 - 1485733891004325689939504336635818453818503562378811*v^8 - 540491729114281689246872593094206261071286934192509792*v^7 + 5554028477647237103841870841150984604080012015392086496*v^6 + 1309464176139761868941324439619146275905707257129702878595*v^5 - 7441112191237086575017596676758123765895666104594227750141*v^4 - 1294002973344261660378777185873190048482507911200514331458398*v^3 + 822239787791773958248574823594423495235813361871401146473164*v^2 + 399821025186867583131771352471892051211256530765087400598239880*v + 2069410772796239182642039233472724887380875161452040037848794656) / 2050261814342687072120066031344628683745045735022161279025008 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!51 \nu^{11} + \cdots + 17\!\cdots\!52 ) / 41\!\cdots\!16$$ (-22589030912615383557439871828195753774219702251*v^11 - 580250376475481717494341992442571499473841699652*v^10 + 401277609860103125918623840562725348000385141355639*v^9 + 8941791859835305760264647572436307796789827400189974*v^8 - 2501086904931317779798132772362782690442188547653236078*v^7 - 47967794594666491702391744795234765032473365738650937446*v^6 + 6542393849861880039620323658797517921303637385130491646397*v^5 + 102206049918248708279316510625355475841246128015575996892058*v^4 - 6761043534436068394704996667711402959671119541333455376430936*v^3 - 78450671294937981505074051912845826974492535656280234058527304*v^2 + 2293024809163373608651793677302475321029164871862678321951548784*v + 17033414823941865489846973444698747553166693843905999307722397952) / 4100523628685374144240132062689257367490091470044322558050016 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!75 \nu^{11} + \cdots + 39\!\cdots\!20 ) / 70\!\cdots\!36$$ (-101661927878837558198017579095976747313993320548536275*v^11 - 4201651810694337741206175938521537516885926790603869350*v^10 + 1695017892331965858101083435841935114772208400582611675945*v^9 + 75137442905098763167816618385573680680554499382586020462984*v^8 - 9979394593183063496863504821921907650641807622617216228960364*v^7 - 465274666354332225610769747742336052585920308120487753339424342*v^6 + 24567550464816980510037572084398095309833773774154636803288522389*v^5 + 1190105542794736896670796945829870149055729723376244003457934406188*v^4 - 23479471226223890986760079446840975593998251330063253484203346692762*v^3 - 1198641628714492072952423260644726440107158884873642707388220487059332*v^2 + 6647980060080791139040156121847947393855069592612037056716097954720800*v + 395088847000591821912218608139429502531928145960508193597755681337561720) / 7025795155022326033656063814858131008569505951336374316656677401736 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!79 \nu^{11} + \cdots - 13\!\cdots\!12 ) / 70\!\cdots\!36$$ (155792046073667103500744666057020706586117945074321479*v^11 - 1845997269382170850004475621629572206629917886923590901*v^10 - 2447932640375978751755248065482406711179931775143279497887*v^9 + 13842079590652706962846462485924906792214467519653852665515*v^8 + 13865978426115589756879108167937656099769677844148666892125392*v^7 - 16315827426839747157948146962495480741329098037287850813527760*v^6 - 33652481558833127945851977060384918113378451886472988103477657899*v^5 - 37428229192035079248534306593544573133046177634738712071863344803*v^4 + 32876158884449052278966949895448222816175479697321281372362189679078*v^3 + 47480264296599142377692829254959509459293615908630164252597081541388*v^2 - 10469640124343181119878666717609926826715150598143566149706815427293120*v - 13648768985094707048916627699673977517587936922549098006367656322939912) / 7025795155022326033656063814858131008569505951336374316656677401736 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 87\!\cdots\!75 \nu^{11} + \cdots - 92\!\cdots\!44 ) / 28\!\cdots\!44$$ (-872243528129346061162564953966629924871874989009839675*v^11 + 26644825493616381489433360429266403584813722336856649888*v^10 + 13509342176083482999360911503296182303427910479095552193951*v^9 - 325988241993002629212981236764031619692239880863739723226830*v^8 - 76482994719077967517111426810998734408094831385363702647971646*v^7 + 1449514876243241842573661799271986385765926499557517736264673666*v^6 + 189840191160919889863948303014225737467834329615279166922775527653*v^5 - 2959537315537728101624257649119027852673474918478493243917211404754*v^4 - 196869654870607711679855293499957487110199252045048434845584758733928*v^3 + 2755216303426928533147952407832597075287525064148084100984083426801400*v^2 + 68778891134602208239019140004911543350334484382511517851163520462443568*v - 922779819141414380804131847624066898904309815793529161015489870288778944) / 28103180620089304134624255259432524034278023805345497266626709606944 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 80\!\cdots\!73 \nu^{11} + \cdots + 21\!\cdots\!20 ) / 19\!\cdots\!32$$ (-8025934100643111826584509282402808336394112549070273*v^11 - 218051849016873759251288655215381028236235234194493210*v^10 + 132326676554612460383160821338590605472627626679972731761*v^9 + 4100307695070029437082483477612064353962266890193233683360*v^8 - 773341295823898172518738606604137473018242961655480472380482*v^7 - 26094923895697173991928097066315866990300656640211454075415998*v^6 + 1902719273781711495075473233909343534044432575690142999725010835*v^5 + 67279018177995616842296379282805186587585422556578542701933248024*v^4 - 1857153280612746065460956967208637182556669306962294149459140537248*v^3 - 67033325827667315313334226125725470243630006101886659019469897170968*v^2 + 592918682661768124013420326668345947190960502175338098151550822169376*v + 21363113795106631690863111632120992733875393726709017357312444364501120) / 197909722676685240384677853939665662213225519755954206103004997232
 $$\nu$$ $$=$$ $$( -38\beta_{3} + 15\beta_{2} + 169\beta _1 + 5 ) / 169$$ (-38*b3 + 15*b2 + 169*b1 + 5) / 169 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( - 13 \beta_{7} + 104 \beta_{6} + 169 \beta_{5} - 338 \beta_{4} - 246 \beta_{3} + 964 \beta_{2} + \cdots + 480017 ) / 169$$ (-13*b7 + 104*b6 + 169*b5 - 338*b4 - 246*b3 + 964*b2 + 1196*b1 + 480017) / 169 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( - 3224 \beta_{11} - 1859 \beta_{10} - 2002 \beta_{9} + 6110 \beta_{8} - 533 \beta_{7} + \cdots + 3213748 ) / 169$$ (-3224*b11 - 1859*b10 - 2002*b9 + 6110*b8 - 533*b7 + 12051*b6 + 5226*b5 + 3380*b4 - 162421*b3 + 104145*b2 + 737802*b1 + 3213748) / 169 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 65923 \beta_{11} - 94042 \beta_{10} - 204308 \beta_{9} - 18824 \beta_{8} - 42848 \beta_{7} + \cdots + 2099195493 ) / 169$$ (-65923*b11 - 94042*b10 - 204308*b9 - 18824*b8 - 42848*b7 + 998465*b6 + 1055860*b5 - 2235259*b4 - 883076*b3 + 8878144*b2 + 13471874*b1 + 2099195493) / 169 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 21981505 \beta_{11} - 16489135 \beta_{10} - 17850989 \beta_{9} + 34621678 \beta_{8} + \cdots + 37038335417 ) / 169$$ (-21981505*b11 - 16489135*b10 - 17850989*b9 + 34621678*b8 - 2162589*b7 + 105328054*b6 + 42351062*b5 + 25021542*b4 - 656358000*b3 + 736995014*b2 + 3796220220*b1 + 37038335417) / 169 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 879759426 \beta_{11} - 1035047286 \beta_{10} - 2095175394 \beta_{9} - 28565004 \beta_{8} + \cdots + 10797189112364 ) / 169$$ (-879759426*b11 - 1035047286*b10 - 2095175394*b9 - 28565004*b8 + 289225586*b7 + 7725952676*b6 + 6189175096*b5 - 11943173801*b4 + 6371226811*b3 + 65286148696*b2 + 112433507043*b1 + 10797189112364) / 169 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 143412646247 \beta_{11} - 117792624677 \beta_{10} - 134234545393 \beta_{9} + 173269169333 \beta_{8} + \cdots + 312076299260861 ) / 169$$ (-143412646247*b11 - 117792624677*b10 - 134234545393*b9 + 173269169333*b8 + 27970345065*b7 + 779820810431*b6 + 302489941390*b5 + 112163676339*b4 - 1969868993286*b3 + 4990369249192*b2 + 20981327742102*b1 + 312076299260861) / 169 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 8223671730066 \beta_{11} - 8060505994788 \beta_{10} - 15655530111936 \beta_{9} + \cdots + 59\!\cdots\!15 ) / 169$$ (-8223671730066*b11 - 8060505994788*b10 - 15655530111936*b9 + 686882660022*b8 + 6209734614655*b7 + 56482572281200*b6 + 36907007962331*b5 - 61483013278687*b4 + 139592931986223*b3 + 448060808349650*b2 + 843111880883077*b1 + 59597994240397215) / 169 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 968804529093115 \beta_{11} - 777008216241556 \beta_{10} - 937162229861585 \beta_{9} + \cdots + 23\!\cdots\!75 ) / 169$$ (-968804529093115*b11 - 777008216241556*b10 - 937162229861585*b9 + 868964226418951*b8 + 543594801296378*b7 + 5495543348677902*b6 + 2080082310021378*b5 + 327627210651403*b4 + 438043720212177*b3 + 33396057385544427*b2 + 121215776007057446*b1 + 2352169320644038875) / 169 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 66\!\cdots\!95 \beta_{11} + \cdots + 34\!\cdots\!86 ) / 169$$ (-66989000918528195*b11 - 55653187203488108*b10 - 105157282117151680*b9 + 9187331196913532*b8 + 68942377836902349*b7 + 403280615717386043*b6 + 224852262098043151*b5 - 317411662053610800*b4 + 1567954757601669971*b3 + 2994140587824132736*b2 + 5999007429032890961*b1 + 343789855036992243586) / 169 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( - 66\!\cdots\!22 \beta_{11} + \cdots + 16\!\cdots\!16 ) / 169$$ (-6697397139345420222*b11 - 4968843262662619275*b10 - 6327586956205939866*b9 + 4461926585114426727*b8 + 5986429086830020907*b7 + 37930100756622860084*b6 + 14042264673101878330*b5 - 126442446275414243*b4 + 78855649677284073205*b3 + 223160407496456332333*b2 + 723737451613563614058*b1 + 16788160582150345037616) / 169

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 81.9852 55.4822 74.4429 33.1826 24.2118 26.2314 −26.3171 −37.1794 −33.9085 −62.3476 −69.0176 −66.7659
−8.00000 −67.8928 64.0000 −145.341 543.142 −229.806 −512.000 2422.43 1162.73
1.2 −8.00000 −63.0837 64.0000 119.855 504.669 −1111.19 −512.000 1792.55 −958.841
1.3 −8.00000 −53.9339 64.0000 193.461 431.471 94.6847 −512.000 721.863 −1547.69
1.4 −8.00000 −40.7841 64.0000 −488.619 326.272 1508.40 −512.000 −523.661 3908.95
1.5 −8.00000 −10.1193 64.0000 −17.6732 80.9547 1027.75 −512.000 −2084.60 141.386
1.6 −8.00000 −5.72241 64.0000 −178.768 45.7793 −920.259 −512.000 −2154.25 1430.15
1.7 −8.00000 18.7156 64.0000 521.602 −149.725 1327.34 −512.000 −1836.73 −4172.81
1.8 −8.00000 51.2719 64.0000 −325.958 −410.175 −1423.39 −512.000 441.807 2607.66
1.9 −8.00000 54.4175 64.0000 −534.156 −435.340 1243.91 −512.000 774.266 4273.25
1.10 −8.00000 54.7462 64.0000 −166.556 −437.969 −508.593 −512.000 810.143 1332.45
1.11 −8.00000 83.1100 64.0000 420.243 −664.880 1052.48 −512.000 4720.28 −3361.94
1.12 −8.00000 87.2749 64.0000 309.911 −698.199 −1697.32 −512.000 5429.90 −2479.29
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.12 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$2$$ $$+1$$
$$13$$ $$+1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 338.8.a.q 12
13.b even 2 1 338.8.a.r yes 12
13.d odd 4 2 338.8.b.k 24

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
338.8.a.q 12 1.a even 1 1 trivial
338.8.a.r yes 12 13.b even 2 1
338.8.b.k 24 13.d odd 4 2

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{8}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(338))$$:

 $$T_{3}^{12} - 108 T_{3}^{11} - 12547 T_{3}^{10} + 1469828 T_{3}^{9} + 55623513 T_{3}^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!57$$ T3^12 - 108*T3^11 - 12547*T3^10 + 1469828*T3^9 + 55623513*T3^8 - 7315623100*T3^7 - 99312471419*T3^6 + 15984444489144*T3^5 + 54199404368001*T3^4 - 13873114351350540*T3^3 - 232335444005847*T3^2 + 2422434228752420064*T3 + 11312075870523876357 $$T_{5}^{12} + 292 T_{5}^{11} - 611350 T_{5}^{10} - 166063254 T_{5}^{9} + 125333226625 T_{5}^{8} + \cdots - 10\!\cdots\!00$$ T5^12 + 292*T5^11 - 611350*T5^10 - 166063254*T5^9 + 125333226625*T5^8 + 31603434588050*T5^7 - 9984692491001375*T5^6 - 2432646957823807500*T5^5 + 272484654092307762500*T5^4 + 71700323572515997750000*T5^3 - 1398708702977501982500000*T5^2 - 625308567950188572100000000*T5 - 10249008486484040588875000000

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T + 8)^{12}$$
$3$ $$T^{12} + \cdots + 11\!\cdots\!57$$
$5$ $$T^{12} + \cdots - 10\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{12} + \cdots + 73\!\cdots\!12$$
$11$ $$T^{12} + \cdots - 33\!\cdots\!31$$
$13$ $$T^{12}$$
$17$ $$T^{12} + \cdots - 66\!\cdots\!63$$
$19$ $$T^{12} + \cdots + 50\!\cdots\!21$$
$23$ $$T^{12} + \cdots + 99\!\cdots\!32$$
$29$ $$T^{12} + \cdots + 24\!\cdots\!24$$
$31$ $$T^{12} + \cdots - 46\!\cdots\!44$$
$37$ $$T^{12} + \cdots + 24\!\cdots\!72$$
$41$ $$T^{12} + \cdots - 95\!\cdots\!07$$
$43$ $$T^{12} + \cdots - 24\!\cdots\!79$$
$47$ $$T^{12} + \cdots - 12\!\cdots\!96$$
$53$ $$T^{12} + \cdots - 45\!\cdots\!04$$
$59$ $$T^{12} + \cdots - 88\!\cdots\!11$$
$61$ $$T^{12} + \cdots + 12\!\cdots\!12$$
$67$ $$T^{12} + \cdots + 11\!\cdots\!73$$
$71$ $$T^{12} + \cdots - 14\!\cdots\!48$$
$73$ $$T^{12} + \cdots - 19\!\cdots\!87$$
$79$ $$T^{12} + \cdots - 60\!\cdots\!12$$
$83$ $$T^{12} + \cdots + 31\!\cdots\!73$$
$89$ $$T^{12} + \cdots + 14\!\cdots\!21$$
$97$ $$T^{12} + \cdots - 99\!\cdots\!59$$